Страница 56, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9.44. Исследуйте функцию $y = f(x)$ на монотонность и экстремум и постройте её график:

a) $y = \sqrt{x - x}$;

б) $y = \frac{\sqrt{x - 1}}{x}$;

в) $y = \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x}$;

г) $y = x\sqrt{x} + 2.$

а) $y = \sqrt{x} - x$

1. Область определения. Функция определена при условии, что подкоренное выражение неотрицательно, то есть $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Производная и критические точки. Найдем производную функции по $x$:

$y' = (\sqrt{x} - x)' = (x^{1/2} - x)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 1 = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$.

Производная определена для всех $x > 0$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $y' = 0$.

$\frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 \implies 2\sqrt{x} = 1 \implies \sqrt{x} = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{4}$.

Также к критическим точкам относится точка $x=0$, в которой производная не существует (и которая является граничной точкой области определения).

3. Промежутки монотонности и экстремумы. Исследуем знак производной на интервалах, на которые область определения разбивается критической точкой $x = \frac{1}{4}$: это $(0, \frac{1}{4})$ и $(\frac{1}{4}, +\infty)$.

- На интервале $(0, \frac{1}{4})$ возьмем пробную точку $x=0.01$. $y'(0.01) = \frac{1}{2\sqrt{0.01}} - 1 = \frac{1}{0.2} - 1 = 5 - 1 = 4 > 0$. Следовательно, функция возрастает на промежутке $[0, \frac{1}{4}]$.

- На интервале $(\frac{1}{4}, +\infty)$ возьмем пробную точку $x=1$. $y'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -0.5 < 0$. Следовательно, функция убывает на промежутке $[\frac{1}{4}, +\infty)$.

В точке $x=\frac{1}{4}$ производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка максимума. Найдем значение функции в этой точке: $y_{max} = y(\frac{1}{4}) = \sqrt{\frac{1}{4}} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$. Точка максимума $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$.

4. Построение графика. Найдем точки пересечения с осями. При $x=0$, $y=0$. При $y=0$, $\sqrt{x}-x=0 \implies \sqrt{x}(1-\sqrt{x})=0$, откуда $x=0$ или $x=1$. Точки пересечения: $(0,0)$ и $(1,0)$. График начинается в точке $(0,0)$, возрастает до точки $(\frac{1}{4}, \frac{1}{4})$, а затем убывает, пересекая ось Ох в точке $(1,0)$ и уходя в $-\infty$ при $x \to +\infty$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, \frac{1}{4}]$ и убывает на промежутке $[\frac{1}{4}, +\infty)$; точка максимума $x_{max} = \frac{1}{4}$, $y_{max} = \frac{1}{4}$.

б) $y = \frac{\sqrt{x}-1}{x}$

1. Область определения. Для существования $\sqrt{x}$ необходимо $x \ge 0$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. Таким образом, область определения: $D(y) = (0, +\infty)$.

2. Производная и критические точки. Найдем производную, используя правило дифференцирования частного:

$y' = \frac{(\sqrt{x}-1)' \cdot x - (\sqrt{x}-1) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot x - (\sqrt{x}-1)}{x^2} = \frac{\frac{\sqrt{x}}{2} - \sqrt{x} + 1}{x^2} = \frac{1-\frac{\sqrt{x}}{2}}{x^2} = \frac{2-\sqrt{x}}{2x^2}$.

Производная определена во всей области определения функции.

Найдем критические точки из условия $y' = 0$: $\frac{2-\sqrt{x}}{2x^2} = 0 \implies 2-\sqrt{x} = 0 \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4$.

3. Промежутки монотонности и экстремумы. Критическая точка $x=4$ разбивает область $(0, +\infty)$ на два интервала: $(0, 4)$ и $(4, +\infty)$.

- На интервале $(0, 4)$ (например, при $x=1$), $y' = \frac{2-\sqrt{1}}{2(1)^2} = \frac{1}{2} > 0$, функция возрастает на $(0, 4]$.

- На интервале $(4, +\infty)$ (например, при $x=9$), $y' = \frac{2-\sqrt{9}}{2(9)^2} = \frac{-1}{162} < 0$, функция убывает на $[4, +\infty)$.

В точке $x=4$ производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка максимума. $y_{max} = y(4) = \frac{\sqrt{4}-1}{4} = \frac{2-1}{4} = \frac{1}{4}$. Точка максимума $(4, \frac{1}{4})$.

4. Построение графика. Исследуем поведение на границах. При $x \to 0^+$, $y \to \frac{-1}{0^+} \to -\infty$. Значит, $x=0$ (ось OY) — вертикальная асимптота. При $x \to +\infty$, $y = \frac{\sqrt{x}-1}{x} \approx \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \to 0$. Значит, $y=0$ (ось OX) — горизонтальная асимптота. Точка пересечения с осью OX: $y=0 \implies \sqrt{x}-1=0 \implies x=1$. График выходит из $-\infty$ около оси OY, возрастает, пересекает ось OX в точке $(1,0)$, достигает максимума в $(4, \frac{1}{4})$ и затем асимптотически приближается к оси OX сверху.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(0, 4]$ и убывает на промежутке $[4, +\infty)$; точка максимума $x_{max} = 4$, $y_{max} = \frac{1}{4}$.

в) $y = \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x}$

1. Область определения. Выражение $\sqrt{x}$ в знаменателе требует, чтобы $x > 0$. Область определения: $D(y) = (0, +\infty)$.

2. Производная и критические точки. Перепишем функцию в виде $y = x^{-1/2} + x^{1/2}$.

$y' = -\frac{1}{2}x^{-3/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}$.

Производная определена на всей области определения. Найдем критические точки из условия $y'=0$: $\frac{x-1}{2x\sqrt{x}} = 0 \implies x-1 = 0 \implies x=1$.

3. Промежутки монотонности и экстремумы. Критическая точка $x=1$ делит область определения на интервалы $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

- На интервале $(0, 1)$, $x-1 < 0$, поэтому $y' < 0$. Функция убывает на $(0, 1]$.

- На интервале $(1, +\infty)$, $x-1 > 0$, поэтому $y' > 0$. Функция возрастает на $[1, +\infty)$.

В точке $x=1$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(1) = \frac{1}{\sqrt{1}} + \sqrt{1} = 1+1=2$. Точка минимума $(1, 2)$.

4. Построение графика. При $x \to 0^+$, $y = \frac{1}{\sqrt{x}} + \sqrt{x} \to +\infty$. Значит, $x=0$ — вертикальная асимптота. При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Пересечений с осями нет, так как минимальное значение функции равно 2. График представляет собой кривую, которая убывает от $+\infty$ вдоль оси OY до точки минимума $(1,2)$, а затем возрастает до $+\infty$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = 1$, $y_{min} = 2$.

г) $y = x\sqrt{x+2}$

1. Область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательно: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$. Область определения: $D(y) = [-2, +\infty)$.

2. Производная и критические точки. Найдем производную по правилу произведения:

$y' = (x)'\sqrt{x+2} + x(\sqrt{x+2})' = 1 \cdot \sqrt{x+2} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+2}} = \sqrt{x+2} + \frac{x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{2(x+2)+x}{2\sqrt{x+2}} = \frac{3x+4}{2\sqrt{x+2}}$.

Производная определена при $x > -2$. Критические точки: $y'=0 \implies 3x+4=0 \implies x = -\frac{4}{3}$. Также $x=-2$ — граничная точка, где производная не существует.

3. Промежутки монотонности и экстремумы. Исследуем знак производной на интервалах $(-2, -\frac{4}{3})$ и $(-\frac{4}{3}, +\infty)$.

- На интервале $(-2, -\frac{4}{3})$ (например, при $x=-1.5$), $3x+4 = 3(-1.5)+4 = -0.5 < 0$, поэтому $y' < 0$. Функция убывает на $[-2, -\frac{4}{3}]$.

- На интервале $(-\frac{4}{3}, +\infty)$ (например, при $x=0$), $3x+4 = 4 > 0$, поэтому $y' > 0$. Функция возрастает на $[-\frac{4}{3}, +\infty)$.

В точке $x = -\frac{4}{3}$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(-\frac{4}{3}) = -\frac{4}{3}\sqrt{-\frac{4}{3}+2} = -\frac{4}{3}\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{4\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = -\frac{4\sqrt{6}}{9}$. Точка минимума $(-\frac{4}{3}, -\frac{4\sqrt{6}}{9})$.

4. Построение графика. Точки пересечения с осями: $y=0 \implies x\sqrt{x+2}=0$, откуда $x=0$ или $x=-2$. График проходит через точки $(-2,0)$ и $(0,0)$. График начинается в точке $(-2,0)$, убывает до точки минимума $(-\frac{4}{3}, -\frac{4\sqrt{6}}{9}) \approx (-1.33, -1.09)$, затем возрастает, проходя через начало координат, и уходит в $+\infty$ при $x \to +\infty$.

Ответ: функция убывает на промежутке $[-2, -\frac{4}{3}]$ и возрастает на промежутке $[-\frac{4}{3}, +\infty)$; точка минимума $x_{min} = -\frac{4}{3}$, $y_{min} = -\frac{4\sqrt{6}}{9}$.

9.45. Постройте график уравнения:

а) $(3y + x)^3 = 27x;$

б) $(x + y)^3 = x^2.$

a)

Рассмотрим уравнение $(3y + x)^3 = 27x$.

Чтобы построить его график, необходимо выразить переменную y через x. Для этого извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt[3]{(3y + x)^3} = \sqrt[3]{27x}$

$3y + x = 3\sqrt[3]{x}$

Теперь выразим y:

$3y = 3\sqrt[3]{x} - x$

$y = \frac{3\sqrt[3]{x} - x}{3}$

$y = \sqrt[3]{x} - \frac{1}{3}x$

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = \sqrt[3]{x} - \frac{1}{3}x$.

Проведем исследование этой функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как кубический корень определен для любых действительных чисел.

2. Четность: Проверим, является ли функция четной или нечетной. $y(-x) = \sqrt[3]{-x} - \frac{1}{3}(-x) = -\sqrt[3]{x} + \frac{1}{3}x = -(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{3}x) = -y(x)$. Функция является нечетной, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат: При $x=0$, $y=0$. График проходит через начало координат $(0; 0)$. При $y=0$, имеем $\sqrt[3]{x} - \frac{1}{3}x = 0$, что равносильно $\sqrt[3]{x}(1 - \frac{1}{3}x^{2/3}) = 0$. Отсюда либо $\sqrt[3]{x}=0 \Rightarrow x=0$, либо $1 - \frac{1}{3}x^{2/3} = 0 \Rightarrow x^{2/3}=3 \Rightarrow x^2=27 \Rightarrow x=\pm\sqrt{27}=\pm3\sqrt{3}$. Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$, $(-3\sqrt{3}; 0)$, $(3\sqrt{3}; 0)$.

4. Экстремумы функции: Найдем производную функции: $y' = (\sqrt[3]{x} - \frac{1}{3}x)' = (x^{1/3})' - (\frac{1}{3}x)' = \frac{1}{3}x^{-2/3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{1}{3}$. Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x^2} = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm1$. При $x=1$, $y(1) = \sqrt[3]{1} - \frac{1}{3}(1) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Это точка локального максимума. При $x=-1$, $y(-1) = \sqrt[3]{-1} - \frac{1}{3}(-1) = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$. Это точка локального минимума.

Ответ: Графиком уравнения является кривая, заданная функцией $y = \sqrt[3]{x} - \frac{1}{3}x$. Это нечётная функция, её график симметричен относительно начала координат. График пересекает ось абсцисс в точках $(-3\sqrt{3}; 0)$, $(0; 0)$ и $(3\sqrt{3}; 0)$. Функция имеет точку локального минимума $(-1; -2/3)$ и точку локального максимума $(1; 2/3)$.

б)

Рассмотрим уравнение $(x + y)^3 = x^2$.

Правая часть уравнения $x^2$ всегда неотрицательна, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, и левая часть должна быть неотрицательной: $(x + y)^3 \ge 0$, что равносильно $x + y \ge 0$, или $y \ge -x$. Это означает, что весь график уравнения лежит в полуплоскости выше прямой $y = -x$ или на самой прямой.

Выразим y через x. Для этого извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$\sqrt[3]{(x + y)^3} = \sqrt[3]{x^2}$

$x + y = \sqrt[3]{x^2}$

Отсюда получаем функцию:

$y = \sqrt[3]{x^2} - x$

Таким образом, нам нужно построить график функции $y = \sqrt[3]{x^2} - x$.

Проведем исследование этой функции:

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение под корнем $x^2$ всегда неотрицательно.

2. Точки пересечения с осями координат: При $x=0$, $y=0$. График проходит через начало координат $(0; 0)$. При $y=0$, имеем $\sqrt[3]{x^2} - x = 0$, что равносильно $\sqrt[3]{x^2}(1 - \sqrt[3]{x}) = 0$. Отсюда либо $\sqrt[3]{x^2}=0 \Rightarrow x=0$, либо $1 - \sqrt[3]{x} = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x}=1 \Rightarrow x=1$. Точки пересечения с осью Ox: $(0; 0)$ и $(1; 0)$.

3. Экстремумы и характерные точки: Найдем производную функции: $y' = (\sqrt[3]{x^2} - x)' = (x^{2/3})' - (x)' = \frac{2}{3}x^{-1/3} - 1 = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} - 1$. Производная не определена в точке $x=0$. Исследуем поведение функции в этой точке. Так как $\lim_{x\to 0^-} y'(x) = -\infty$ и $\lim_{x\to 0^+} y'(x) = +\infty$, в точке $(0; 0)$ график имеет точку возврата (касп), направленную вниз. Это точка локального минимума. Приравняем производную к нулю: $\frac{2}{3\sqrt[3]{x}} - 1 = 0 \Rightarrow \sqrt[3]{x} = \frac{2}{3} \Rightarrow x = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$. Найдем значение функции в этой точке: $y(\frac{8}{27}) = \sqrt[3]{(\frac{8}{27})^2} - \frac{8}{27} = \sqrt[3]{\frac{64}{729}} - \frac{8}{27} = \frac{4}{9} - \frac{8}{27} = \frac{12-8}{27} = \frac{4}{27}$. В точке $(\frac{8}{27}; \frac{4}{27})$ функция имеет локальный максимум.

Ответ: Графиком уравнения является кривая, заданная функцией $y = \sqrt[3]{x^2} - x$. График проходит через точки $(0; 0)$ и $(1; 0)$. В точке $(0; 0)$ график имеет касп (точку возврата), и это точка локального минимума. В точке $(\frac{8}{27}; \frac{4}{27})$ функция имеет локальный максимум. Весь график расположен в области $y \ge -x$.

9.46. Используя свойство монотонности функции, решите уравнение:

a) $2x^5 + x^3 + 5x - 80 = \sqrt[3]{14 - 3x}$;

б) $\sqrt[4]{10 + 3x} = 74 - x^5 - 3x^3 - 8x$.

а) $2x^5 + x^3 + 5x - 80 = \sqrt[3]{14 - 3x}$

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения:

$f(x) = 2x^5 + x^3 + 5x - 80$

$g(x) = \sqrt[3]{14 - 3x}$

Обе функции определены для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$.

Исследуем на монотонность функцию $f(x)$. Найдем ее производную:

$f'(x) = (2x^5 + x^3 + 5x - 80)' = 10x^4 + 3x^2 + 5$

Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $10x^4 \ge 0$ и $3x^2 \ge 0$. Следовательно, $f'(x) = 10x^4 + 3x^2 + 5 > 0$ при всех $x \in \mathbb{R}$. Поскольку производная функции $f(x)$ положительна на всей области определения, функция $f(x)$ является строго возрастающей.

Теперь исследуем на монотонность функцию $g(x)$. Можно заметить, что она является композицией двух функций: возрастающей $y = \sqrt[3]{u}$ и убывающей $u = 14 - 3x$, следовательно, функция $g(x)$ является убывающей. Также можно найти ее производную:

$g'(x) = (\sqrt[3]{14 - 3x})' = ((14 - 3x)^{1/3})' = \frac{1}{3}(14-3x)^{-2/3} \cdot (-3) = -\frac{1}{\sqrt[3]{(14-3x)^2}}$

Производная $g'(x)$ отрицательна для всех $x$, при которых она определена (т.е. при $x \ne 14/3$). Это означает, что функция $g(x)$ является строго убывающей на всей области определения.

Таким образом, исходное уравнение имеет вид $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ — строго возрастающая функция, а $g(x)$ — строго убывающая. Такое уравнение может иметь не более одного корня. Если мы найдем один корень, он будет единственным.

Попробуем подобрать корень методом подстановки. Проверим $x=2$.

Левая часть: $f(2) = 2 \cdot 2^5 + 2^3 + 5 \cdot 2 - 80 = 2 \cdot 32 + 8 + 10 - 80 = 64 + 18 - 80 = 2$.

Правая часть: $g(2) = \sqrt[3]{14 - 3 \cdot 2} = \sqrt[3]{14 - 6} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Поскольку $f(2) = g(2)$, то $x=2$ является корнем уравнения. Так как уравнение не может иметь более одного корня, $x=2$ — это единственное решение.

Ответ: 2.

б) $\sqrt[4]{10 + 3x} = 74 - x^5 - 3x^3 - 8x$

Найдем область определения уравнения. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:

$10 + 3x \ge 0 \implies 3x \ge -10 \implies x \ge -10/3$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \in [-10/3; +\infty)$.

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения, на этой области:

$f(x) = \sqrt[4]{10 + 3x}$

$g(x) = 74 - x^5 - 3x^3 - 8x$

Исследуем на монотонность функцию $f(x)$ на ее ОДЗ. Найдем производную:

$f'(x) = (\sqrt[4]{10 + 3x})' = ((10 + 3x)^{1/4})' = \frac{1}{4}(10 + 3x)^{-3/4} \cdot 3 = \frac{3}{4\sqrt[4]{(10+3x)^3}}$

На интервале $(-10/3; +\infty)$ производная $f'(x)$ положительна, так как числитель и знаменатель положительны. Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на своей области определения.

Исследуем на монотонность функцию $g(x)$. Найдем ее производную:

$g'(x) = (74 - x^5 - 3x^3 - 8x)' = -5x^4 - 9x^2 - 8 = -(5x^4 + 9x^2 + 8)$

Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$, выражение в скобках $5x^4 + 9x^2 + 8$ всегда положительно. Значит, $g'(x) < 0$ для всех действительных $x$, в том числе и на ОДЗ. Следовательно, функция $g(x)$ является строго убывающей.

Исходное уравнение имеет вид $f(x) = g(x)$, где на ОДЗ функция $f(x)$ строго возрастает, а функция $g(x)$ строго убывает. Это означает, что уравнение может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень подбором. Проверим значение $x=2$.

$x=2$ принадлежит ОДЗ, так как $2 > -10/3$.

Левая часть: $f(2) = \sqrt[4]{10 + 3 \cdot 2} = \sqrt[4]{10 + 6} = \sqrt[4]{16} = 2$.

Правая часть: $g(2) = 74 - 2^5 - 3 \cdot 2^3 - 8 \cdot 2 = 74 - 32 - 3 \cdot 8 - 16 = 74 - 32 - 24 - 16 = 74 - 72 = 2$.

Так как $f(2) = g(2)$, то $x=2$ является корнем уравнения. В силу монотонности функций это единственный корень.

Ответ: 2.

9.47. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном промежутке:

a) $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x$, $[1; 9];$

б) $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x$, $(0; 8);$

в) $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x$, $(1; 9);$

г) $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x$, $[0; 8].$

а)

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x$ на отрезке $[1; 9]$, воспользуемся алгоритмом нахождения экстремумов непрерывной функции на замкнутом интервале.

1. Перепишем функцию в виде со степенным показателем: $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x$.

2. Найдем производную функции:
$y' = \left(\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x\right)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - 2 = x^{\frac{1}{2}} - 2 = \sqrt{x} - 2$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю. Производная определена на всем промежутке $[1; 9]$.
$y' = 0 \implies \sqrt{x} - 2 = 0 \implies \sqrt{x} = 2$.
Отсюда $x = 4$. Эта точка принадлежит отрезку $[1; 9]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=4$ и на концах отрезка $x=1$ и $x=9$:
$y(1) = \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} - 2(1) = \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3}$.
$y(4) = \frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}} - 2(4) = \frac{2}{3}(\sqrt{4})^3 - 8 = \frac{2}{3} \cdot 8 - 8 = \frac{16}{3} - \frac{24}{3} = -\frac{8}{3}$.
$y(9) = \frac{2}{3}(9)^{\frac{3}{2}} - 2(9) = \frac{2}{3}(\sqrt{9})^3 - 18 = \frac{2}{3} \cdot 27 - 18 = 18 - 18 = 0$.

5. Сравним полученные значения: $-\frac{4}{3} \approx -1.33$, $-\frac{8}{3} \approx -2.67$ и $0$. Наименьшее значение равно $-\frac{8}{3}$, а наибольшее равно $0$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -\frac{8}{3}$, наибольшее значение $y_{max} = 0$.

б)

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x$ на интервале $(0; 8)$, найдем критические точки функции и исследуем ее поведение на границах интервала.

1. Найдем производную функции:
$y' = \left(\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x\right)' = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} - 1 = x^{-\frac{1}{3}} - 1 = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 1$.

2. Найдем критические точки.
Приравняем производную к нулю: $y' = 0 \implies \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 1 = 0 \implies \sqrt[3]{x} = 1$, откуда $x=1$. Эта точка принадлежит интервалу $(0; 8)$.
Производная не определена при $x=0$, но эта точка не входит в заданный интервал.

3. Вычислим значение функции в критической точке $x=1$:
$y(1) = \frac{3}{2}(1)^{\frac{2}{3}} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

4. Исследуем поведение функции на границах интервала, найдя пределы:
$\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} \left(\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x\right) = \frac{3}{2}(0) - 0 = 0$.
$\lim_{x \to 8^-} y(x) = \lim_{x \to 8^-} \left(\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x\right) = \frac{3}{2}(8)^{\frac{2}{3}} - 8 = \frac{3}{2}(\sqrt[3]{8})^2 - 8 = \frac{3}{2} \cdot 4 - 8 = 6-8 = -2$.

5. На интервале $(0;1)$ производная $y' > 0$ (функция возрастает), на интервале $(1;8)$ производная $y' < 0$ (функция убывает). Следовательно, в точке $x=1$ достигается максимум. Наибольшее значение равно $\frac{1}{2}$. Функция стремится к $-2$ при $x \to 8$, но никогда не достигает этого значения, так как точка $x=8$ не включена в интервал. Таким образом, наименьшего значения на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение $y_{max} = \frac{1}{2}$, наименьшее значение на данном интервале не существует.

в)

Рассмотрим функцию $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x$ на интервале $(1; 9)$. Эта та же функция, что и в пункте а).

1. Функция и ее производная: $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x$, $y' = \sqrt{x} - 2$.

2. Критическая точка $x=4$ принадлежит интервалу $(1; 9)$.

3. Значение функции в критической точке: $y(4) = -\frac{8}{3}$.

4. Исследуем поведение функции на границах интервала:
$\lim_{x \to 1^+} y(x) = \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} - 2(1) = -\frac{4}{3}$.
$\lim_{x \to 9^-} y(x) = \frac{2}{3}(9)^{\frac{3}{2}} - 2(9) = 0$.

5. На интервале $(1;4)$ производная $y' < 0$ (функция убывает), на интервале $(4;9)$ производная $y' > 0$ (функция возрастает). Следовательно, в точке $x=4$ достигается минимум. Наименьшее значение равно $-\frac{8}{3}$. Функция стремится к $0$ при $x \to 9$, но не достигает этого значения. Таким образом, наибольшего значения на данном интервале не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -\frac{8}{3}$, наибольшее значение на данном интервале не существует.

г)

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x$ на отрезке $[0; 8]$ (та же функция, что и в пункте б), применим стандартный алгоритм.

1. Производная функции: $y' = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 1$.

2. Критические точки: $x=1$ (где $y'=0$) и $x=0$ (где $y'$ не определена). Обе точки принадлежат отрезку $[0; 8]$.

3. Вычислим значения функции в критических точках $x=0, x=1$ и на правом конце отрезка $x=8$:
$y(0) = \frac{3}{2}(0)^{\frac{2}{3}} - 0 = 0$.
$y(1) = \frac{3}{2}(1)^{\frac{2}{3}} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
$y(8) = \frac{3}{2}(8)^{\frac{2}{3}} - 8 = \frac{3}{2}(\sqrt[3]{8})^2 - 8 = \frac{3}{2} \cdot 4 - 8 = 6 - 8 = -2$.

4. Сравним полученные значения: $0$, $\frac{1}{2}$ и $-2$. Наименьшее значение равно $-2$, а наибольшее равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -2$, наибольшее значение $y_{max} = \frac{1}{2}$.

9.48. На графике функции $y = x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}x$ выбирают произвольную точку $M$ и соединяют с началом координат $O$. Строят прямоугольник, диагональю которого является отрезок $OM$, а две стороны расположены на осях координат. Найдите наименьшее значение периметра такого прямоугольника.

Пусть произвольная точка $M$ на графике функции имеет координаты $(x, y)$. Так как точка $M$ принадлежит графику функции $y = x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}x$, ее координаты можно записать как $(x, x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}x)$.

Начало координат $O$ имеет координаты $(0, 0)$. Прямоугольник, для которого отрезок $OM$ является диагональю, а две стороны лежат на осях координат, имеет вершины в точках $(0, 0)$, $(x, 0)$, $(0, y)$ и $(x, y)$. Длины сторон этого прямоугольника равны $|x|$ и $|y|$.

Периметр $P$ такого прямоугольника вычисляется по формуле:$P = 2(|x| + |y|)$

Подставив выражение для $y$, получим функцию периметра $P(x)$:$P(x) = 2(|x| + |x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}x|)$

Задача состоит в нахождении наименьшего значения функции $P(x)$. Областью определения исходной функции $y(x)$, а следовательно и функции $P(x)$, являются все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).

Рассмотрим значение функции $P(x)$ в точке $x = 0$. При $x = 0$, значение $y$ равно $y = 0^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3} \cdot 0 = 0$. Таким образом, точка $(0,0)$ принадлежит графику функции. В этом случае точка $M$ совпадает с началом координат $O$, и периметр прямоугольника равен:$P(0) = 2(|0| + |0|) = 0$.

Поскольку периметр является суммой длин сторон, умноженной на два, а длины сторон ($|x|$ и $|y|$) не могут быть отрицательными, периметр также не может быть отрицательным: $P(x) \ge 0$ для любого $x$.Так как мы нашли точку, в которой периметр достигает значения 0, это и есть его наименьшее возможное значение.

Для полноты решения проведем исследование функции $P(x)$ с помощью производной.Сначала определим знак выражения $y(x) = x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}x = x^{\frac{2}{3}}(1 - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}})$.Так как $x^{\frac{2}{3}} \ge 0$ для всех $x$, знак $y(x)$ определяется знаком выражения $(1 - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}})$.

• При $x < 0$, имеем $x^{\frac{1}{3}} < 0$, поэтому $1 - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}} > 0$, и следовательно $y > 0$.
• При $0 < x < 27$, имеем $0 < x^{\frac{1}{3}} < 3$, поэтому $1 - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}} > 0$, и следовательно $y > 0$.
• При $x > 27$, имеем $x^{\frac{1}{3}} > 3$, поэтому $1 - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}} < 0$, и следовательно $y < 0$.

Теперь исследуем $P(x)$ на разных интервалах.
1. При $x < 0$В этом случае $|x| = -x$ и $|y| = y$, так как $y > 0$.$P(x) = 2(-x + (x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}x)) = 2(x^{\frac{2}{3}} - \frac{4}{3}x)$.Найдем производную: $P'(x) = 2(\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} - \frac{4}{3}) = \frac{4}{3}(x^{-\frac{1}{3}} - 2)$.Для $x < 0$, $x^{-\frac{1}{3}} = 1/\sqrt[3]{x}$ является отрицательным числом. Значит, $x^{-\frac{1}{3}} - 2$ также отрицательно, и $P'(x) < 0$. Таким образом, на интервале $(-\infty, 0)$ функция $P(x)$ убывает.

2. При $x > 0$В этом случае $|x| = x$.

• На интервале $0 < x \le 27$, $y \ge 0$, поэтому $|y| = y$. $P(x) = 2(x + x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}x) = 2(x^{\frac{2}{3}} + \frac{2}{3}x)$. Производная: $P'(x) = 2(\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} + \frac{2}{3}) = \frac{4}{3}(x^{-\frac{1}{3}} + 1)$. Для $x > 0$, $x^{-\frac{1}{3}} > 0$, значит $P'(x) > 0$. Функция $P(x)$ возрастает на $(0, 27]$.
• На интервале $x > 27$, $y < 0$, поэтому $|y| = -y$. $P(x) = 2(x - (x^{\frac{2}{3}} - \frac{1}{3}x)) = 2(\frac{4}{3}x - x^{\frac{2}{3}})$. Производная: $P'(x) = 2(\frac{4}{3} - \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}) = \frac{4}{3}(2 - x^{-\frac{1}{3}})$. Для $x > 27$, $x^{\frac{1}{3}} > 3$, откуда $0 < x^{-\frac{1}{3}} < 1/3$. Тогда $2 - x^{-\frac{1}{3}} > 0$, и $P'(x) > 0$. Функция $P(x)$ возрастает на $(27, \infty)$.

Таким образом, функция $P(x)$ убывает на интервале $(-\infty, 0)$ и возрастает на интервале $(0, \infty)$. Это означает, что в точке $x=0$ функция достигает своего глобального минимума.Значение этого минимума равно $P(0) = 0$.

Ответ: $0$

10.1. Вычислите:

а) $\frac{3 + 7i}{3 - i}$;

б) $\frac{-i(3 + i)}{7 - i}$;

в) $\frac{(2 + 3i)(4 - i)}{i(1 - 7i)}$;

г) $\frac{i^5 + i^4 + i}{(3 + i)^2}$.

Для вычисления частного двух комплексных чисел $\frac{3 + 7i}{3 - i}$ необходимо умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Комплексно сопряженным к числу $3 - i$ является число $3 + i$.

$\frac{3 + 7i}{3 - i} = \frac{(3 + 7i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)}$

Раскроем скобки в числителе, помня, что $i^2 = -1$:
$(3 + 7i)(3 + i) = 3 \cdot 3 + 3 \cdot i + 7i \cdot 3 + 7i \cdot i = 9 + 3i + 21i + 7i^2 = 9 + 24i - 7 = 2 + 24i$.

Раскроем скобки в знаменателе по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ или по свойству $z \cdot \bar{z} = a^2+b^2$ для комплексного числа $z = a+bi$:
$(3 - i)(3 + i) = 3^2 - i^2 = 9 - (-1) = 9 + 1 = 10$.

Подставим полученные значения обратно в дробь и упростим:
$\frac{2 + 24i}{10} = \frac{2}{10} + \frac{24}{10}i = \frac{1}{5} + \frac{12}{5}i$.

Ответ: $\frac{1}{5} + \frac{12}{5}i$.

Сначала упростим выражение в числителе, раскрыв скобки:
$-i(3 + i) = -3i - i^2 = -3i - (-1) = 1 - 3i$.

Теперь задача сводится к делению комплексных чисел $\frac{1 - 3i}{7 - i}$. Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $7 + i$.

$\frac{1 - 3i}{7 - i} = \frac{(1 - 3i)(7 + i)}{(7 - i)(7 + i)}$

Вычислим числитель:
$(1 - 3i)(7 + i) = 1 \cdot 7 + 1 \cdot i - 3i \cdot 7 - 3i \cdot i = 7 + i - 21i - 3i^2 = 7 - 20i - 3(-1) = 7 - 20i + 3 = 10 - 20i$.

Вычислим знаменатель:
$(7 - i)(7 + i) = 7^2 - i^2 = 49 - (-1) = 50$.

Подставим результаты и упростим дробь:
$\frac{10 - 20i}{50} = \frac{10}{50} - \frac{20}{50}i = \frac{1}{5} - \frac{2}{5}i$.

Ответ: $\frac{1}{5} - \frac{2}{5}i$.

Для начала упростим числитель и знаменатель исходной дроби по отдельности.

Числитель: $(2 + 3i)(4 - i) = 2 \cdot 4 - 2 \cdot i + 3i \cdot 4 - 3i \cdot i = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 8 + 10i - 3(-1) = 11 + 10i$.

Знаменатель: $i(1 - 7i) = i - 7i^2 = i - 7(-1) = 7 + i$.

Теперь наша дробь имеет вид: $\frac{11 + 10i}{7 + i}$.

Для выполнения деления умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $7 - i$.

$\frac{11 + 10i}{7 + i} = \frac{(11 + 10i)(7 - i)}{(7 + i)(7 - i)}$

Вычислим новый числитель:
$(11 + 10i)(7 - i) = 11 \cdot 7 - 11 \cdot i + 10i \cdot 7 - 10i \cdot i = 77 - 11i + 70i - 10i^2 = 77 + 59i - 10(-1) = 87 + 59i$.

Вычислим новый знаменатель:
$(7 + i)(7 - i) = 7^2 - i^2 = 49 - (-1) = 50$.

Подставим результаты и запишем в алгебраической форме:
$\frac{87 + 59i}{50} = \frac{87}{50} + \frac{59}{50}i$.

Ответ: $\frac{87}{50} + \frac{59}{50}i$.

Упростим числитель и знаменатель исходной дроби.

Для упрощения числителя воспользуемся свойствами степеней мнимой единицы: $i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$. Отсюда $i^5 = i^4 \cdot i = 1 \cdot i = i$.
Числитель: $i^5 + i^4 + i = i + 1 + i = 1 + 2i$.

Для упрощения знаменателя раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:
$(3 + i)^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot i + i^2 = 9 + 6i - 1 = 8 + 6i$.

Дробь принимает вид: $\frac{1 + 2i}{8 + 6i}$.

Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю, т.е. на $8 - 6i$.

$\frac{1 + 2i}{8 + 6i} = \frac{(1 + 2i)(8 - 6i)}{(8 + 6i)(8 - 6i)}$

Вычислим новый числитель:
$(1 + 2i)(8 - 6i) = 1 \cdot 8 - 1 \cdot 6i + 2i \cdot 8 - 2i \cdot 6i = 8 - 6i + 16i - 12i^2 = 8 + 10i - 12(-1) = 20 + 10i$.

Вычислим новый знаменатель:
$(8 + 6i)(8 - 6i) = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$.

Подставим результаты и упростим:
$\frac{20 + 10i}{100} = \frac{20}{100} + \frac{10}{100}i = \frac{1}{5} + \frac{1}{10}i$.

Ответ: $\frac{1}{5} + \frac{1}{10}i$.