Страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

9.3. Вычислите:

а) $f(4)$, если $f(x) = x^{\frac{5}{2}}$;

б) $f(1)$, если $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$;

в) $f(0)$, если $f(x) = x^{\frac{6}{7}}$;

г) $f(8)$, если $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$.

а) f(4), если $f(x) = x^{\frac{5}{2}}$;
Чтобы найти значение функции $f(4)$, необходимо подставить значение $x=4$ в заданную формулу функции $f(x) = x^{\frac{5}{2}}$.
$f(4) = 4^{\frac{5}{2}}$
Используем свойство степени с рациональным показателем $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. В нашем случае $a=4$, $n=2$ (квадратный корень), $m=5$.
$4^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{4})^5$
Вычисляем квадратный корень из 4:
$\sqrt{4} = 2$
Теперь возводим полученный результат в 5-ю степень:
$2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$
Следовательно, $f(4) = 32$.
Ответ: 32

б) f(1), если $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$;
Подставим значение $x=1$ в формулу функции $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$.
$f(1) = 1^{-\frac{4}{3}}$
Число 1 в любой степени равно 1.
$f(1) = 1$
Ответ: 1

в) f(0), если $f(x) = x^{\frac{6}{7}}$;
Подставим значение $x=0$ в формулу функции $f(x) = x^{\frac{6}{7}}$.
$f(0) = 0^{\frac{6}{7}}$
Ноль в любой положительной степени равен нулю. Так как показатель $\frac{6}{7} > 0$:
$f(0) = 0$
Ответ: 0

г) f(8), если $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$.
Подставим значение $x=8$ в формулу функции $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$.
$f(8) = 8^{-\frac{2}{3}}$
Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$
Теперь вычислим знаменатель $8^{\frac{2}{3}}$, используя свойство $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. В нашем случае $a=8$, $n=3$ (кубический корень), $m=2$.
$8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2$
Вычисляем кубический корень из 8:
$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.
Теперь возводим полученный результат во 2-ю степень:
$2^2 = 4$
Таким образом, знаменатель равен 4. Подставляем это значение обратно в дробь:
$f(8) = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

9.4. Исследуйте степенную функцию на чётность:

а) $y = x^{10}$;

б) $y = x^{-\frac{1}{3}};$

в) $y = x^{-15};$

г) $y = x^{\frac{4}{3}}$.

Для исследования функции $y = f(x)$ на чётность необходимо выполнить два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ должна быть симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Должно выполняться одно из равенств:
   • $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения — в этом случае функция является чётной.
   • $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения — в этом случае функция является нечётной.
   Если ни одно из этих равенств не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).

а) $y = x^{10}$

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно нуля.
Найдём значение функции для $-x$:
$y(-x) = (-x)^{10} = x^{10}$.
Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная функция.

б) $y = x^{-1/3}$

Представим функцию в виде $y = \frac{1}{x^{1/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.
Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. То есть, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
Найдём значение функции для $-x$:
$y(-x) = (-x)^{-1/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{-x}} = \frac{1}{-\sqrt[3]{x}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = -y(x)$.
Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.

в) $y = x^{-15}$

Представим функцию в виде $y = \frac{1}{x^{15}}$.
Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, так как знаменатель не может быть равен нулю. То есть, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля.
Найдём значение функции для $-x$:
$y(-x) = (-x)^{-15} = \frac{1}{(-x)^{15}} = \frac{1}{-x^{15}} = -y(x)$.
Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная функция.

г) $y = x^{4/3}$

Представим функцию в виде $y = \sqrt[3]{x^4}$ или $y = (\sqrt[3]{x})^4$.
Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной относительно нуля, так как корень нечётной степени извлекается из любого действительного числа.
Найдём значение функции для $-x$:
$y(-x) = (-x)^{4/3} = \sqrt[3]{(-x)^4} = \sqrt[3]{x^4} = y(x)$.
Поскольку $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная функция.

9.5. Исследуйте степенную функцию на ограниченность:

а) $y = x^8$;

б) $y = x^{-\frac{3}{4}}$;

в) $y = x^{-5}$;

г) $y = x^{\frac{2}{5}}$.

а) Функция $y = x^8$ определена для всех действительных чисел, то есть ее область определения $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Поскольку показатель степени 8 — четное число, значение $x^8$ всегда неотрицательно, то есть $y \ge 0$ для любого $x$. Минимальное значение функции достигается при $x=0$ и равно $y=0$. Это означает, что функция ограничена снизу числом 0. Сверху функция не ограничена, так как при $x \to \pm\infty$, значения $y = x^8$ неограниченно возрастают, стремясь к $+\infty$.
Ответ: функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

б) Функция $y = x^{-\frac{3}{4}}$ может быть представлена в виде $y = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$. Область определения этой функции задается условием $x^3 > 0$, так как выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Условию $x^3 > 0$ удовлетворяют все $x > 0$. Таким образом, $D(y) = (0, +\infty)$. Для всех $x$ из области определения значение $y$ будет положительным, $y > 0$. Следовательно, функция ограничена снизу (например, числом 0). При $x \to 0^+$, знаменатель $\sqrt[4]{x^3}$ стремится к нулю, оставаясь положительным, а значит вся дробь стремится к $+\infty$. Это означает, что функция не ограничена сверху.
Ответ: функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

в) Функция $y = x^{-5}$ может быть представлена в виде $y = \frac{1}{x^5}$. Область определения функции — все действительные числа, кроме тех, где знаменатель равен нулю, то есть $x \neq 0$. Итак, $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. Рассмотрим поведение функции на разных интервалах:

• При $x > 0$, $x^5 > 0$, и $y > 0$. Когда $x \to 0^+$, $y \to +\infty$. Это значит, что функция не ограничена сверху.
• При $x < 0$, $x^5 < 0$, и $y < 0$. Когда $x \to 0^-$, $y \to -\infty$. Это значит, что функция не ограничена снизу.

Таким образом, функция не является ни ограниченной сверху, ни ограниченной снизу.
Ответ: функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

г) Функция $y = x^{\frac{2}{5}}$ может быть представлена в виде $y = \sqrt[5]{x^2}$. Поскольку корень пятой степени (нечетной) определен для любого действительного числа, а выражение $x^2$ определено для всех $x$, область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$). Корень пятой степени из неотрицательного числа также неотрицателен. Следовательно, $y = \sqrt[5]{x^2} \ge 0$ для любого $x$. Минимальное значение функции равно 0 и достигается при $x=0$. Это означает, что функция ограничена снизу числом 0. Сверху функция не ограничена, так как при $x \to \pm\infty$, $x^2 \to +\infty$, и, следовательно, $y = \sqrt[5]{x^2} \to +\infty$.
Ответ: функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

9.6. Исследуйте степенную функцию на монотонность:

а) $y = x^{12};$

б) $y = x^{-\frac{1}{6}};$

в) $y = x^{-11};$

г) $y = x^{\frac{1}{7}}.$

а) $y = x^{12}$

Это степенная функция с показателем $p = 12$. Так как показатель является четным натуральным числом, область определения функции — все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Для исследования на монотонность найдем производную функции: $y' = (x^{12})' = 12x^{11}$.

Теперь определим знаки производной. Производная обращается в ноль при $x = 0$. Если $x > 0$, то $x^{11} > 0$, следовательно, $y' = 12x^{11} > 0$. На этом промежутке функция возрастает. Если $x < 0$, то $x^{11} < 0$, следовательно, $y' = 12x^{11} < 0$. На этом промежутке функция убывает.

Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

б) $y = x^{-\frac{1}{6}}$

Это степенная функция с показателем $p = -\frac{1}{6}$. Функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^{1/6}} = \frac{1}{\sqrt[6]{x}}$. Подкоренное выражение для корня четной степени должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), а знаменатель не должен быть равен нулю ($x \neq 0$). Следовательно, область определения функции: $D(y) = (0; +\infty)$.

Найдем производную функции: $y' = (x^{-\frac{1}{6}})' = -\frac{1}{6}x^{-\frac{1}{6}-1} = -\frac{1}{6}x^{-\frac{7}{6}} = -\frac{1}{6\sqrt[6]{x^7}}$.

Определим знак производной на области определения. Для любого $x$ из промежутка $(0; +\infty)$ выражение $\sqrt[6]{x^7}$ положительно. Следовательно, производная $y' = -\frac{1}{6\sqrt[6]{x^7}}$ всегда отрицательна на всей области определения.

Так как производная отрицательна, функция монотонно убывает на всей своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

в) $y = x^{-11}$

Это степенная функция с показателем $p = -11$. Функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^{11}}$. Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции: $y' = (x^{-11})' = -11x^{-11-1} = -11x^{-12} = -\frac{11}{x^{12}}$.

Определим знак производной. Для любого $x \neq 0$, выражение $x^{12}$ (степень с четным показателем) положительно. Следовательно, производная $y' = -\frac{11}{x^{12}}$ всегда отрицательна на всей области определения.

Функция убывает на каждом из интервалов, составляющих ее область определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$ и на промежутке $(0; +\infty)$.

г) $y = x^{\frac{1}{7}}$

Это степенная функция с показателем $p = \frac{1}{7}$. Функцию можно записать в виде $y = \sqrt[7]{x}$. Так как корень нечетной степени определен для любых действительных чисел, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции: $y' = (x^{\frac{1}{7}})' = \frac{1}{7}x^{\frac{1}{7}-1} = \frac{1}{7}x^{-\frac{6}{7}} = \frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}}$.

Определим знак производной. Производная не определена в точке $x = 0$. Для любого $x \neq 0$, выражение $x^6$ (степень с четным показателем) положительно. Значит, $\sqrt[7]{x^6}$ также положительно. Следовательно, производная $y' = \frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}}$ всегда положительна для всех $x \neq 0$.

Так как производная положительна на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, а сама функция непрерывна в точке $x = 0$, то функция монотонно возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

9.7. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = x^{\frac{1}{4}}$:

а) на отрезке $[0; 1]$;

б) на луче $[1; +\infty)$;

в) на интервале $(2; 3)$;

г) на полуинтервале $(5; 16]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^{\frac{1}{4}}$ на различных промежутках, сначала проанализируем саму функцию. Эта функция также может быть записана как $y = \sqrt[4]{x}$.

Область определения функции — $x \ge 0$.

Для определения характера монотонности функции найдем ее производную:

$y' = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$

На всей области определения, где $x > 0$, производная $y'$ положительна ($y' > 0$). Это означает, что функция $y = x^{\frac{1}{4}}$ является строго возрастающей на промежутке $[0, +\infty)$.

Строго возрастающая функция на некотором промежутке принимает меньшие значения при меньших значениях аргумента и большие значения при больших значениях аргумента.

а) на отрезке [0; 1]

Так как функция является строго возрастающей на отрезке $[0; 1]$, свое наименьшее значение она принимает в левой граничной точке $x=0$, а наибольшее — в правой граничной точке $x=1$.

Наименьшее значение:

$y_{наим} = y(0) = 0^{\frac{1}{4}} = 0$

Наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(1) = 1^{\frac{1}{4}} = 1$

Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно 1.

б) на луче [1; +∞)

На луче $[1; +\infty)$ функция также является строго возрастающей. Наименьшее значение будет достигаться в начальной точке луча, которая принадлежит данному промежутку, то есть при $x=1$.

Наименьшее значение:

$y_{наим} = y(1) = 1^{\frac{1}{4}} = 1$

Поскольку $x$ может принимать сколь угодно большие значения, стремясь к $+\infty$, значение функции $y$ также будет неограниченно расти. Следовательно, функция не ограничена сверху на данном луче и не имеет наибольшего значения.

Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшего значения не существует.

в) на интервале (2; 3)

На открытом интервале $(2; 3)$ функция $y = x^{\frac{1}{4}}$ строго возрастает. Граничные точки $x=2$ и $x=3$ не принадлежат этому интервалу. Значения функции на этом интервале строго больше, чем $y(2)$, и строго меньше, чем $y(3)$.

$y(2) = 2^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{2}$

$y(3) = 3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3}$

Для любого $x \in (2; 3)$, выполняется неравенство $\sqrt[4]{2} < y(x) < \sqrt[4]{3}$. Поскольку значения $\sqrt[4]{2}$ и $\sqrt[4]{3}$ не достигаются, у функции нет ни наименьшего, ни наибольшего значения на данном интервале.

Ответ: наименьшего и наибольшего значений не существует.

г) на полуинтервале (5; 16]

На полуинтервале $(5; 16]$ функция $y = x^{\frac{1}{4}}$ строго возрастает. Правая граница $x=16$ принадлежит интервалу, а левая $x=5$ — нет.

Наибольшее значение функция примет в самой правой точке промежутка, которая в него включена, то есть при $x=16$.

Наибольшее значение:

$y_{наиб} = y(16) = 16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2$

Так как левая граница $x=5$ не включена в интервал, наименьшее значение не достигается. Значения функции на этом полуинтервале всегда больше $y(5) = \sqrt[4]{5}$, но никогда не равны этому числу.

Ответ: наибольшее значение равно 2, наименьшего значения не существует.

9.8. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = x^{\frac{5}{2}}:$

а) на луче $[0; +\infty)$;

б) на полуинтервале $[1; 3)$;

в) на отрезке $[1; 2]$;

г) на полуинтервале $(6; 8]$.

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^{\frac{5}{2}}$ на различных промежутках, исследуем её на монотонность. Область определения функции — $x \ge 0$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^{\frac{5}{2}})' = \frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1} = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}}$.

На всей области определения, где $x > 0$, производная $y' = \frac{5}{2}x^{\frac{3}{2}} > 0$. Это означает, что функция $y = x^{\frac{5}{2}}$ является строго возрастающей на промежутке $[0; +\infty)$.

Это свойство мы будем использовать для решения задачи на каждом из заданных промежутков.

а) на луче $[0; +\infty)$

Поскольку функция является возрастающей на всем луче $[0; +\infty)$, наименьшее значение она принимает в самой левой точке промежутка, то есть при $x = 0$.

$y_{наим} = y(0) = 0^{\frac{5}{2}} = 0$.

Так как промежуток неограничен справа ($x \to +\infty$), функция $y = x^{\frac{5}{2}}$ также неограниченно возрастает. Следовательно, наибольшего значения на этом промежутке не существует.

Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшего значения не существует.

б) на полуинтервале $[1; 3)$

На данном полуинтервале функция $y = x^{\frac{5}{2}}$ возрастает. Наименьшее значение достигается в левой точке $x=1$, которая включена в промежуток.

$y_{наим} = y(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1$.

Правая граница $x=3$ не включена в промежуток. При $x$, стремящемся к 3, значения функции стремятся к $y(3) = 3^{\frac{5}{2}} = \sqrt{3^5} = \sqrt{243} = 9\sqrt{3}$. Однако это значение не достигается. Таким образом, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке $[1; 2]$

На отрезке $[1; 2]$ функция $y = x^{\frac{5}{2}}$ возрастает. Наименьшее значение достигается в левой точке $x=1$, а наибольшее — в правой точке $x=2$, так как обе точки принадлежат отрезку.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = 1^{\frac{5}{2}} = 1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(2) = 2^{\frac{5}{2}} = \sqrt{2^5} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшее значение равно $4\sqrt{2}$.

г) на полуинтервале $(6; 8]$

На данном полуинтервале функция $y = x^{\frac{5}{2}}$ возрастает. Левая граница $x=6$ не включена в промежуток. При $x$, стремящемся к 6, значения функции стремятся к $y(6) = 6^{\frac{5}{2}} = \sqrt{6^5} = \sqrt{7776} = 36\sqrt{6}$. Так как это значение не достигается, наименьшего значения на данном полуинтервале не существует.

Наибольшее значение достигается в правой точке $x=8$, которая включена в промежуток.

$y_{наиб} = y(8) = 8^{\frac{5}{2}} = \sqrt{8^5} = \sqrt{(2^3)^5} = \sqrt{2^{15}} = \sqrt{2^{14} \cdot 2} = 2^7\sqrt{2} = 128\sqrt{2}$.

Ответ: наименьшего значения не существует, наибольшее значение равно $128\sqrt{2}$.

9.9. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

$y = x^{-\frac{2}{3}}$

а) на отрезке $[1; 8];$

б) на интервале $(3; 5);$

в) на луче $[1; +\infty);$

г) на полуинтервале $(0; 1].$

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^{-\frac{2}{3}}$ исследуем ее на монотонность. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$. На всех заданных промежутках $x>0$. Функцию можно представить в виде $y = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$.

Найдем производную функции: $y' = (x^{-\frac{2}{3}})' = -\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$. Поскольку для любого $x > 0$ выражение $\sqrt[3]{x^5}$ положительно, производная $y'$ всегда отрицательна ($y' < 0$) при $x > 0$. Следовательно, функция $y = x^{-\frac{2}{3}}$ является строго убывающей на интервале $(0; +\infty)$.

а) на отрезке [1; 8]. Так как функция строго убывает на отрезке $[1; 8]$, она принимает наибольшее значение в левой крайней точке ($x=1$), а наименьшее — в правой крайней точке ($x=8$). Наибольшее значение: $y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$. Наименьшее значение: $y(8) = 8^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$. Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{4}$, наибольшее значение равно 1.

б) на интервале (3; 5). Функция строго убывает на интервале $(3; 5)$. Поскольку интервал открытый, функция не достигает своих точных верхней и нижней граней. Значения функции на этом интервале лежат между $y(5)$ и $y(3)$: $y(5) = 5^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{25}}$ и $y(3) = 3^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{9}}$. Однако, так как точки $x=3$ и $x=5$ не принадлежат интервалу, наибольшее и наименьшее значения не достигаются. Ответ: наибольшего и наименьшего значений на данном интервале не существует.

в) на луче [1; +∞). Функция строго убывает на луче $[1; +\infty)$. Наибольшее значение достигается в левой крайней точке $x=1$, так как она включена в промежуток: $y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$. При $x \to +\infty$ значение функции стремится к нулю: $\lim_{x \to +\infty} x^{-\frac{2}{3}} = 0$. Однако значение $0$ не достигается ни при каком конечном значении $x$. Следовательно, наименьшего значения на этом луче не существует. Ответ: наибольшее значение равно 1, а наименьшего значения не существует.

г) на полуинтервале (0; 1]. Функция строго убывает на полуинтервале $(0; 1]$. Наименьшее значение достигается в правой крайней точке $x=1$, так как она включена в промежуток: $y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$. При $x \to 0^+$ (приближении к нулю справа) значение функции неограниченно возрастает: $\lim_{x \to 0^+} x^{-\frac{2}{3}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = +\infty$. Следовательно, функция не ограничена сверху, и наибольшего значения на этом полуинтервале не существует. Ответ: наименьшее значение равно 1, а наибольшего значения не существует.

9.10. Постройте график функции:

а) $y = (x + 2)^{\frac{1}{2}}$; в) $y = (x - 1)^{-\frac{2}{3}};$

б) $y = x^{\frac{7}{2}} - 3$; г) $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4.$

а) $y = (x + 2)^{\frac{1}{2}}$

Данную функцию можно записать в виде $y = \sqrt{x+2}$. График этой функции можно получить, преобразовав график базовой функции $y_0 = \sqrt{x}$.

1. Область определения функции (ОДЗ): Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Следовательно, область определения $D(y) = [-2; +\infty)$.

2. Построение графика: График функции $y = \sqrt{x+2}$ получается из графика функции $y_0 = \sqrt{x}$ сдвигом вдоль оси абсцисс (Ox) на 2 единицы влево.

3. Ключевые точки для построения:

• Начальная точка графика (вершина): при $x = -2$, $y = \sqrt{-2+2} = 0$. Точка $(-2, 0)$.
• Точка пересечения с осью ординат (Oy): при $x=0$, $y = \sqrt{0+2} = \sqrt{2} \approx 1.41$. Точка $(0, \sqrt{2})$.
• Дополнительная целочисленная точка: выберем $x$ так, чтобы $x+2$ был полным квадратом, например $x=2$. Тогда $y = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(2, 2)$.

График представляет собой ветвь параболы, которая "лежит на боку", с вершиной в точке $(-2, 0)$ и проходит через указанные точки, уходя вправо и вверх.

Ответ: График функции $y = (x+2)^{\frac{1}{2}}$ является графиком функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 2 единицы влево по оси Ox. Это ветвь параболы с вершиной в точке $(-2, 0)$, которая проходит, например, через точки $(0, \sqrt{2})$ и $(2, 2)$.

б) $y = x^{\frac{7}{2}} - 3$

Функцию можно представить в виде $y = \sqrt{x^7} - 3$. Ее график строится на основе графика базовой функции $y_0 = x^{\frac{7}{2}}$.

1. Область определения функции (ОДЗ): Показатель степени $\frac{7}{2}$ имеет четный знаменатель, поэтому основание степени $x$ должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Область определения $D(y) = [0; +\infty)$.

2. Построение графика: График функции $y = x^{\frac{7}{2}} - 3$ получается из графика функции $y_0 = x^{\frac{7}{2}}$ сдвигом вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы вниз.

3. Ключевые точки для построения:

• Начальная точка графика: при $x=0$, $y = 0^{\frac{7}{2}} - 3 = -3$. Точка $(0, -3)$. Это также точка пересечения с осью Oy.
• Дополнительная точка: при $x=1$, $y = 1^{\frac{7}{2}} - 3 = 1 - 3 = -2$. Точка $(1, -2)$.
• Точка пересечения с осью абсцисс (Ox): при $y=0$, $x^{\frac{7}{2}} - 3 = 0 \implies x^{\frac{7}{2}} = 3 \implies x = 3^{\frac{2}{7}} = \sqrt[7]{9}$. Так как $1^7=1$ и $2^7=128$, то $1 < \sqrt[7]{9} < 2$. Точка $(\sqrt[7]{9}, 0)$.

График начинается в точке $(0, -3)$ и очень быстро возрастает, будучи выпуклым вниз (вогнутым), так как показатель степени $3.5 > 1$.

Ответ: График функции $y = x^{\frac{7}{2}} - 3$ является графиком функции $y = x^{\frac{7}{2}}$, сдвинутым на 3 единицы вниз по оси Oy. График выходит из точки $(0, -3)$, проходит через точку $(1, -2)$ и далее круто возрастает.

в) $y = (x - 1)^{-\frac{2}{3}}$

Запишем функцию в виде $y = \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^2}}$. График строится на основе базовой функции $y_0 = x^{-\frac{2}{3}}$.

1. Область определения функции (ОДЗ): Выражение в знаменателе не должно равняться нулю.
$(x-1)^{\frac{2}{3}} \ne 0 \implies x-1 \ne 0 \implies x \ne 1$.
Так как в знаменателе показателя степени стоит нечетное число 3, корень третьей степени извлекается из любого числа.
Область определения $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2. Построение графика: График функции $y = (x-1)^{-\frac{2}{3}}$ получается из графика функции $y_0 = x^{-\frac{2}{3}}$ сдвигом вдоль оси Ox на 1 единицу вправо.

3. Анализ и ключевые точки:

• Асимптоты: Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой (при $x \to 1$, $y \to +\infty$). Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой (при $x \to \pm\infty$, $y \to 0$).
• Симметрия: График симметричен относительно вертикальной асимптоты $x=1$.
• Значения функции: $y>0$ для всех $x$ из области определения.
• Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$, $y = (0-1)^{-\frac{2}{3}} = (-1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{-1})^2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Симметричная точка: при $x=2$, $y = (2-1)^{-\frac{2}{3}} = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$. Точка $(2, 1)$.

График состоит из двух ветвей, расположенных в верхней полуплоскости. Они симметричны относительно прямой $x=1$ и приближаются к асимптотам.

Ответ: График функции $y = (x - 1)^{-\frac{2}{3}}$ является графиком функции $y = x^{-\frac{2}{3}}$, сдвинутым на 1 единицу вправо по оси Ox. Он имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. График состоит из двух симметричных ветвей, проходящих через точки $(0, 1)$ и $(2, 1)$.

г) $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4$

Перепишем функцию как $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + 4$. График строится на основе базовой функции $y_0 = x^{-\frac{1}{3}}$.

1. Область определения функции (ОДЗ): Выражение в знаменателе не должно равняться нулю.
$\sqrt[3]{x} \ne 0 \implies x \ne 0$.
Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Построение графика: График функции $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4$ получается из графика функции $y_0 = x^{-\frac{1}{3}}$ (график, похожий на гиперболу $y=1/x$, но с другой кривизной) сдвигом вдоль оси Oy на 4 единицы вверх.

3. Анализ и ключевые точки:

• Асимптоты: Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой (при $x \to 0^+$, $y \to +\infty$; при $x \to 0^-$, $y \to -\infty$). Прямая $y=4$ является горизонтальной асимптотой (при $x \to \pm\infty$, $y \to 4$).
• Точка пересечения с осью Ox: при $y=0$, $x^{-\frac{1}{3}} + 4 = 0 \implies \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = -4 \implies \sqrt[3]{x} = -\frac{1}{4} \implies x = (-\frac{1}{4})^3 = -\frac{1}{64}$. Точка $(-\frac{1}{64}, 0)$.
• Дополнительные точки:
  • при $x=1$, $y = 1^{-\frac{1}{3}} + 4 = 1+4=5$. Точка $(1, 5)$.
  • при $x=-1$, $y = (-1)^{-\frac{1}{3}} + 4 = -1+4=3$. Точка $(-1, 3)$.
  • при $x=8$, $y = 8^{-\frac{1}{3}} + 4 = \frac{1}{2}+4=4.5$. Точка $(8, 4.5)$.

График состоит из двух ветвей. Правая ветвь ($x>0$) лежит выше горизонтальной асимптоты $y=4$. Левая ветвь ($x<0$) пересекает ось Ox и приближается к асимптоте $y=4$ снизу.

Ответ: График функции $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4$ является графиком функции $y = x^{-\frac{1}{3}}$, сдвинутым на 4 единицы вверх по оси Oy. Он имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=4$, пересекает ось Ox в точке $(-\frac{1}{64}, 0)$ и проходит через точки $(1, 5)$ и $(-1, 3)$.