Страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2. Как связаны между собой графики функций $y = \sqrt[n]{x}$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = x^n$, $x \in [0; +\infty)$? Проиллюстрируйте свой ответ на примере функций $y = x^2$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = \sqrt{x}$.

Как связаны между собой графики функций $y = \sqrt[n]{x}$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = x^n$, $x \in [0; +\infty)$?

Функции $f(x) = x^n$ и $g(x) = \sqrt[n]{x}$ на промежутке $x \in [0; +\infty)$ являются взаимно обратными. Это означает, что если применить одну функцию к результату другой, мы вернемся к исходному значению.

Проверим это математически:

1. Найдем композицию $f(g(x))$:

$f(g(x)) = f(\sqrt[n]{x}) = (\sqrt[n]{x})^n = x$

2. Найдем композицию $g(f(x))$:

$g(f(x)) = g(x^n) = \sqrt[n]{x^n} = x$ (поскольку по условию $x \ge 0$)

Так как $f(g(x)) = x$ и $g(f(x)) = x$, функции являются взаимно обратными.

Основное свойство графиков взаимно обратных функций заключается в том, что они симметричны друг другу относительно прямой $y = x$ (биссектрисы первого и третьего координатных углов). Если точка с координатами $(a, b)$ принадлежит графику функции $y = x^n$, то точка с координатами $(b, a)$ будет принадлежать графику функции $y = \sqrt[n]{x}$.

Ответ: Графики функций $y = x^n$ и $y = \sqrt[n]{x}$ на промежутке $[0; +\infty)$ симметричны друг другу относительно прямой $y=x$.

Проиллюстрируйте свой ответ на примере функций $y = x^2$, $x \in [0; +\infty)$, и $y = \sqrt{x}$.

Рассмотрим частный случай при $n=2$: функции $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ на промежутке $x \in [0; +\infty)$.

График функции $y = x^2$ при $x \ge 0$ — это правая ветвь параболы, вершина которой находится в начале координат. Эта ветвь проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$, $(3, 9)$ и так далее.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox, с вершиной в начале координат. Этот график проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(4, 2)$, $(9, 3)$ и так далее.

Сравним координаты точек на обоих графиках:

• Точка $(2, 4)$ лежит на графике $y = x^2$, так как $4 = 2^2$.
• Точка $(4, 2)$ лежит на графике $y = \sqrt{x}$, так как $2 = \sqrt{4}$.

Точки $(2, 4)$ и $(4, 2)$ симметричны относительно прямой $y=x$. Это справедливо для любой точки: если $(a, b)$ лежит на графике $y = x^2$ (т.е. $b=a^2$), то точка $(b, a)$ лежит на графике $y = \sqrt{x}$ (т.к. $a = \sqrt{a^2} = \sqrt{b}$).

Точки пересечения графиков $(0,0)$ и $(1,1)$ лежат на оси симметрии $y=x$.

Ниже приведена графическая иллюстрация:

Ответ: График функции $y=x^2$ для $x \ge 0$ является правой ветвью параболы, а график функции $y=\sqrt{x}$ — верхней ветвью параболы, "лежащей на боку". Эти два графика симметричны друг другу относительно прямой $y=x$, что наглядно демонстрирует их свойство как взаимно обратных функций.

3. Если $n$ — чётное натуральное число, то что вы можете сказать о чётности или нечётности функции $y = \sqrt[n]{x}$?

Чтобы определить чётность или нечётность функции, необходимо проанализировать её область определения и поведение функции для противоположных значений аргумента.

1. Определение чётности и нечётности функции.
Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняется два условия:

• $-x \in D(f)$ (симметрия области определения относительно нуля).
• $f(-x) = f(x)$.

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения $D(f)$ выполняется два условия:

• $-x \in D(f)$ (симметрия области определения относительно нуля).
• $f(-x) = -f(x)$.

Если хотя бы одно из этих условий (в частности, симметрия области определения) не выполняется, функция не является ни чётной, ни нечётной (её называют функцией общего вида).

2. Анализ функции $y = \sqrt[n]{x}$ при чётном $n$.
В условии сказано, что $n$ — чётное натуральное число (например, $n=2, 4, 6, \dots$).По определению, арифметический корень чётной степени извлекается только из неотрицательного числа. Это связано с тем, что любое действительное число, возведённое в чётную степень, даёт неотрицательный результат.Следовательно, для функции $y = \sqrt[n]{x}$ с чётным показателем корня $n$ подкоренное выражение $x$ должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

3. Определение области определения.
Область определения данной функции $D(y)$ — это множество всех значений $x$, для которых функция существует. В нашем случае это луч $[0; +\infty)$.

4. Проверка на симметрию.
Проверим, является ли область определения $D(y) = [0; +\infty)$ симметричной относительно начала координат.Возьмём любое значение $x > 0$ из этой области, например, $x=4$. Значение $-x = -4$ не принадлежит области определения $[0; +\infty)$.Так как для $x \in D(y)$ не всегда выполняется, что $-x \in D(y)$, то область определения не является симметричной.

5. Вывод.
Поскольку обязательное условие симметрии области определения для чётной или нечётной функции не выполняется, функция $y = \sqrt[n]{x}$ при чётном натуральном $n$ не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: Если $n$ — чётное натуральное число, то функция $y = \sqrt[n]{x}$ не является ни чётной, ни нечётной (является функцией общего вида), так как её область определения $D(y) = [0; +\infty)$ несимметрична относительно начала координат.

4. Если $n$ — нечётное натуральное число, отличное от 1, то что вы можете сказать о чётности или нечётности функции $y = \sqrt[n]{x}$?

Для определения чётности или нечётности функции $y = f(x) = \sqrt[n]{x}$ необходимо проверить выполнение двух условий: симметричность области определения и соотношение между $f(x)$ и $f(-x)$.

1. Область определения функции

Функция $y = \sqrt[n]{x}$ задана с условием, что $n$ — нечётное натуральное число, отличное от 1 (то есть $n=3, 5, 7, \dots$). Корень нечётной степени определён для любого действительного числа $x$. Это означает, что область определения функции $D(y)$ — это множество всех действительных чисел, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Эта область определения является симметричной относительно начала координат, так как для любого числа $x$, принадлежащего области определения, число $-x$ также принадлежит этой области.

2. Проверка на чётность/нечётность

Согласно определению, функция является:

• чётной, если выполняется равенство $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения.
• нечётной, если выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения.

Найдём значение нашей функции $f(x) = \sqrt[n]{x}$ для аргумента $-x$:

$f(-x) = \sqrt[n]{-x}$

Так как $n$ — нечётное число, то для любого $a$ справедливо свойство корня $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$. Это следует из того, что $(-b)^n = -b^n$ при нечётном $n$. Например, $\sqrt[3]{-8} = -2$, а $-\sqrt[3]{8} = -2$.

Применяя это свойство, получаем:

$f(-x) = \sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$

Поскольку $f(x) = \sqrt[n]{x}$, мы видим, что выполняется равенство:

$f(-x) = -f(x)$

Так как область определения функции симметрична относительно нуля и выполняется условие $f(-x) = -f(x)$, то данная функция является нечётной.

Ответ: Функция $y = \sqrt[n]{x}$, где $n$ — нечётное натуральное число, отличное от 1, является нечётной.

7.41. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

а) $\frac{1}{\sqrt[4]{3} + \sqrt[3]{4}}$;

б) $\frac{2}{\sqrt[12]{5} + \sqrt[12]{3}}$;

в) $\frac{1}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[4]{2}}$;

г) $\frac{1}{\sqrt[12]{4} - \sqrt[12]{2}}$.

а)

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{1}{\sqrt[4]{3} + \sqrt[3]{4}}$, мы приведем корни к общему показателю и применим формулы сокращенного умножения в несколько шагов.

Let $a = \sqrt[4]{3}$ and $b = \sqrt[3]{4}$. The expression is $\frac{1}{a+b}$. The least common multiple of the root indices 4 and 3 is 12. We can rewrite the terms as $a = \sqrt[12]{3^3} = \sqrt[12]{27}$ and $b = \sqrt[12]{4^4} = \sqrt[12]{256}$. Let $x = \sqrt[12]{27}$ and $y = \sqrt[12]{256}$. The denominator is $x+y$.

Шаг 1: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение для суммы кубов. Мы хотим получить $x^3+y^3$. Для этого используем формулу $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$. Умножим на $x^2-xy+y^2$: $$ \frac{1}{x+y} = \frac{x^2-xy+y^2}{(x+y)(x^2-xy+y^2)} = \frac{x^2-xy+y^2}{x^3+y^3} $$ Знаменатель становится: $$ x^3+y^3 = (\sqrt[12]{27})^3 + (\sqrt[12]{256})^3 = \sqrt[4]{27} + \sqrt[4]{256} = \sqrt[4]{27} + 4 $$ Числитель: $$ x^2-xy+y^2 = (\sqrt[12]{27})^2 - \sqrt[12]{27 \cdot 256} + (\sqrt[12]{256})^2 = \sqrt[6]{27} - \sqrt[12]{6912} + \sqrt[6]{256} = \sqrt{3} - \sqrt[12]{6912} + \sqrt[3]{16} $$

Шаг 2: Теперь у нас дробь $\frac{\sqrt{3} - \sqrt[12]{6912} + \sqrt[3]{16}}{4+\sqrt[4]{27}}$. Знаменатель имеет вид $u+v$, где $u=4, v=\sqrt[4]{27}$. Чтобы избавиться от корня 4-й степени, дважды применим формулу разности квадратов. Умножим на $4-\sqrt[4]{27}$. Знаменатель станет $4^2 - (\sqrt[4]{27})^2 = 16 - \sqrt{27}$.

Шаг 3: Знаменатель теперь $16-\sqrt{27} = 16-3\sqrt{3}$. Умножим на сопряженное $16+3\sqrt{3}$. Знаменатель станет $16^2 - (3\sqrt{3})^2 = 256 - 9 \cdot 3 = 256 - 27 = 229$.

В знаменателе получилось рациональное число 229. Числитель будет произведением всех множителей: $$ (\sqrt{3} + \sqrt[3]{16} - \sqrt[12]{6912})(4-\sqrt[4]{27})(16+3\sqrt{3}) $$

Ответ: $ \frac{(\sqrt{3} + \sqrt[3]{16} - \sqrt[12]{6912})(4-\sqrt[4]{27})(16+3\sqrt{3})}{229} $

б)

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{2}{\sqrt[12]{5} + \sqrt[12]{3}}$, мы применим последовательность умножений на сопряженные выражения.

Let $a = \sqrt[12]{5}$ and $b = \sqrt[12]{3}$. The expression is $\frac{2}{a+b}$.

Шаг 1: Умножим числитель и знаменатель на $a-b = \sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3}$. Знаменатель: $(a+b)(a-b) = a^2-b^2 = (\sqrt[12]{5})^2 - (\sqrt[12]{3})^2 = \sqrt[6]{5} - \sqrt[6]{3}$. Дробь: $\frac{2(\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})}{\sqrt[6]{5}-\sqrt[6]{3}}$.

Шаг 2: Пусть $u=\sqrt[6]{5}, v=\sqrt[6]{3}$. Знаменатель $u-v$. Умножим на $u+v=\sqrt[6]{5}+\sqrt[6]{3}$. Знаменатель: $(u-v)(u+v) = u^2-v^2 = (\sqrt[6]{5})^2 - (\sqrt[6]{3})^2 = \sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{3}$. Дробь: $\frac{2(\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})(\sqrt[6]{5}+\sqrt[6]{3})}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{3}}$.

Шаг 3: Пусть $p=\sqrt[3]{5}, q=\sqrt[3]{3}$. Знаменатель $p-q$. Умножим на $p^2+pq+q^2$ (неполный квадрат суммы), чтобы получить разность кубов. Множитель: $(\sqrt[3]{5})^2 + \sqrt[3]{5}\sqrt[3]{3} + (\sqrt[3]{3})^2 = \sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}$. Знаменатель: $(p-q)(p^2+pq+q^2) = p^3-q^3 = (\sqrt[3]{5})^3 - (\sqrt[3]{3})^3 = 5-3=2$.

Итоговая дробь: $$ \frac{2(\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})(\sqrt[6]{5}+\sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9})}{2} $$ Сократив на 2, получаем конечный результат.

Ответ: $ (\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})(\sqrt[6]{5}+\sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}) $

в)

Задача аналогична пункту а). Дана дробь $\frac{1}{\sqrt[3]{5} + \sqrt[4]{2}}$. Let $a = \sqrt[3]{5}$ and $b = \sqrt[4]{2}$. Наименьшее общее кратное показателей корней 3 и 4 равно 12.

Шаг 1: Чтобы избавиться от кубического корня в первом слагаемом, используем формулу суммы кубов $A^3+B^3 = (A+B)(A^2-AB+B^2)$. Умножим числитель и знаменатель на $a^2-ab+b^2$. Знаменатель: $a^3+b^3 = (\sqrt[3]{5})^3 + (\sqrt[4]{2})^3 = 5+\sqrt[4]{8}$. Множитель (новый числитель): $a^2-ab+b^2 = (\sqrt[3]{5})^2 - \sqrt[3]{5}\sqrt[4]{2} + (\sqrt[4]{2})^2 = \sqrt[3]{25} - \sqrt[12]{5^4 \cdot 2^3} + \sqrt{2} = \sqrt[3]{25} + \sqrt{2} - \sqrt[12]{5000}$.

Шаг 2: Теперь знаменатель равен $5+\sqrt[4]{8}$. Чтобы избавиться от корня 4-й степени, дважды применим формулу разности квадратов. Умножим на $5-\sqrt[4]{8}$. Знаменатель станет $5^2 - (\sqrt[4]{8})^2 = 25 - \sqrt{8} = 25-2\sqrt{2}$.

Шаг 3: Знаменатель теперь $25-2\sqrt{2}$. Умножим на сопряженное $25+2\sqrt{2}$. Знаменатель станет $25^2 - (2\sqrt{2})^2 = 625 - 4 \cdot 2 = 625 - 8 = 617$.

Числитель равен произведению всех множителей.

Ответ: $ \frac{(\sqrt[3]{25} + \sqrt{2} - \sqrt[12]{5000})(5-\sqrt[4]{8})(25+2\sqrt{2})}{617} $

г)

Дана дробь $\frac{1}{\sqrt[12]{4} - \sqrt[12]{2}}$. Let $a = \sqrt[12]{4}$ and $b = \sqrt[12]{2}$. Знаменатель равен $a-b$. Мы будем последовательно избавляться от корней, используя формулы сокращенного умножения.

Шаг 1: Умножим на $a+b = \sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2}$. Знаменатель: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2 = \sqrt[6]{4}-\sqrt[6]{2} = \sqrt[3]{2}-\sqrt[6]{2}$.

Шаг 2: Теперь знаменатель $\sqrt[3]{2}-\sqrt[6]{2}$. Заметим, что $\sqrt[3]{2}=(\sqrt[6]{2})^2$. Пусть $x = \sqrt[6]{2}$, тогда знаменатель равен $x^2-x$. Это не стандартная сумма/разность. Вернемся к переменным $a$ и $b$. Мы получили знаменатель $a^2-b^2$. Умножим на $a^2+b^2 = \sqrt[6]{4}+\sqrt[6]{2}$. Знаменатель: $(a^2-b^2)(a^2+b^2) = a^4-b^4 = \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}$.

Шаг 3: Знаменатель теперь $a^4-b^4 = \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}$. Пусть $u=\sqrt[3]{4}, v=\sqrt[3]{2}$. Умножим на неполный квадрат суммы $u^2+uv+v^2$, чтобы получить разность кубов. Множитель: $(\sqrt[3]{4})^2+\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{4} = 2\sqrt[3]{2}+2+\sqrt[3]{4}$. Знаменатель: $u^3-v^3 = (\sqrt[3]{4})^3-(\sqrt[3]{2})^3 = 4-2=2$.

Финальный знаменатель равен 2. Числитель - произведение всех множителей. $ (\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2})(a^2+b^2)(u^2+uv+v^2) = (\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2})(\sqrt[6]{4}+\sqrt[6]{2})(\sqrt[3]{16}+2+\sqrt[3]{4}) $. Упростим, где возможно: $\sqrt[6]{4}=\sqrt[3]{2}$, $\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $ \frac{1}{2}(\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2})(\sqrt[3]{2}+\sqrt[6]{2})(2+2\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}) $

7.42. Вычислите:

a) $ \left(\frac{4}{\sqrt{7}-\sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{12}+\sqrt{7}}\right)^2; $

б) $ \frac{2}{\sqrt{3}+1} + \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} + \ldots + \frac{2}{\sqrt{23}+\sqrt{21}} + \frac{2}{\sqrt{25}+\sqrt{23}}. $

а) Вычислим значение выражения $ \left( \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} + \frac{5}{\sqrt{12} + \sqrt{7}} \right)^2 $.

Сначала упростим каждое слагаемое в скобках, избавившись от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю.

Упростим первое слагаемое $ \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} $. Сопряженным к знаменателю $ (\sqrt{7} - \sqrt{3}) $ является выражение $ (\sqrt{7} + \sqrt{3}) $.

$ \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7} - \sqrt{3})(\sqrt{7} + \sqrt{3})} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} + \sqrt{3} $.

Упростим второе слагаемое $ \frac{5}{\sqrt{12} + \sqrt{7}} $. Сначала заметим, что $ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $. Сопряженным к знаменателю $ (2\sqrt{3} + \sqrt{7}) $ является выражение $ (2\sqrt{3} - \sqrt{7}) $.

$ \frac{5}{2\sqrt{3} + \sqrt{7}} = \frac{5(2\sqrt{3} - \sqrt{7})}{(2\sqrt{3} + \sqrt{7})(2\sqrt{3} - \sqrt{7})} = \frac{5(2\sqrt{3} - \sqrt{7})}{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{7})^2} = \frac{5(2\sqrt{3} - \sqrt{7})}{12 - 7} = \frac{5(2\sqrt{3} - \sqrt{7})}{5} = 2\sqrt{3} - \sqrt{7} $.

Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в исходное выражение:

$ \left( (\sqrt{7} + \sqrt{3}) + (2\sqrt{3} - \sqrt{7}) \right)^2 $.

Сложим выражения в скобках, сгруппировав подобные члены:

$ (\sqrt{7} - \sqrt{7} + \sqrt{3} + 2\sqrt{3})^2 = (3\sqrt{3})^2 $.

Наконец, возведем результат в квадрат:

$ (3\sqrt{3})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 9 \cdot 3 = 27 $.

Ответ: 27

б) Вычислим сумму $ \frac{2}{\sqrt{3} + 1} + \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dots + \frac{2}{\sqrt{23} + \sqrt{21}} + \frac{2}{\sqrt{25} + \sqrt{23}} $.

Рассмотрим общий вид слагаемого в этой сумме: $ \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} $. Упростим его, избавившись от иррациональности в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение $ (\sqrt{a} - \sqrt{b}) $.

$ \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{2(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{2(\sqrt{a} - \sqrt{b})}{a - b} $.

Во всех слагаемых нашей суммы разность подкоренных выражений в знаменателе равна 2. Например, для первого слагаемого $ 3 - 1 = 2 $, для второго $ 5 - 3 = 2 $, и так далее до последнего, где $ 25 - 23 = 2 $.Следовательно, каждое слагаемое вида $ \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} $ упрощается следующим образом:

$ \frac{2(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})}{(\sqrt{n+2})^2 - (\sqrt{n})^2} = \frac{2(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})}{n+2 - n} = \frac{2(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})}{2} = \sqrt{n+2} - \sqrt{n} $.

Применим это правило к каждому слагаемому исходной суммы:

$ \frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2}{\sqrt{3} + \sqrt{1}} = \sqrt{3} - \sqrt{1} = \sqrt{3} - 1 $

$ \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \sqrt{5} - \sqrt{3} $

$ \frac{2}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \sqrt{7} - \sqrt{5} $

$ \dots $

$ \frac{2}{\sqrt{23} + \sqrt{21}} = \sqrt{23} - \sqrt{21} $

$ \frac{2}{\sqrt{25} + \sqrt{23}} = \sqrt{25} - \sqrt{23} = 5 - \sqrt{23} $

Теперь просуммируем все полученные выражения. Запишем сумму полностью:

$ S = (\sqrt{3} - 1) + (\sqrt{5} - \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{5}) + \dots + (\sqrt{23} - \sqrt{21}) + (5 - \sqrt{23}) $.

Эта сумма является телескопической, так как большинство слагаемых взаимно уничтожаются:

$ S = -1 + (\sqrt{3} - \sqrt{3}) + (\sqrt{5} - \sqrt{5}) + (\sqrt{7} - \dots) + (-\sqrt{21} + \sqrt{23}) - \sqrt{23} + 5 $

Все промежуточные члены сокращаются, и остаются только первый член первого слагаемого и второй член последнего слагаемого (в нашей записи, после преобразования):

$ S = -1 + 5 = 4 $.

Ответ: 4

7.43. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби

$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + \sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1}}$, если известно, что $\frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1}$.

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе данной дроби, воспользуемся предоставленным условием.

Обозначим коэффициент пропорциональности через $k^2$:$$ \frac{a}{a_1} = \frac{b}{b_1} = \frac{c}{c_1} = k^2 $$Мы используем $k^2$ для удобства, так как в дальнейшем будем извлекать квадратный корень. Из условия, что $a, b, c, a_1, b_1, c_1$ находятся под знаком корня, следует, что они неотрицательны, а значит $k^2 \ge 0$.Из этого соотношения мы можем выразить $a, b, c$:$$ a = k^2 a_1 \implies \sqrt{a} = k \sqrt{a_1} $$$$ b = k^2 b_1 \implies \sqrt{b} = k \sqrt{b_1} $$$$ c = k^2 c_1 \implies \sqrt{c} = k \sqrt{c_1} $$(Мы считаем $k \ge 0$).

Теперь подставим эти выражения в знаменатель исходной дроби:$$ Z = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + \sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1} $$$$ Z = k\sqrt{a_1} + k\sqrt{b_1} + k\sqrt{c_1} + \sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1} $$Вынесем общие множители:$$ Z = k(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1}) + 1 \cdot (\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1}) $$$$ Z = (k+1)(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1}) $$Таким образом, исходная дробь принимает вид:$$ \frac{1}{(k+1)(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1})} $$Теперь необходимо избавиться от иррациональности в этом выражении. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $k^2 = 1$ (то есть $k=1$)

Если $k=1$, то $a=a_1$, $b=b_1$ и $c=c_1$. Знаменатель становится:$$ Z = (1+1)(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1}) = 2(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1}) $$Чтобы избавиться от иррациональности, домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Это делается в два этапа. Сначала домножим на $(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1}) - \sqrt{c_1}$:$$ 2(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1}) \cdot ((\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1}) - \sqrt{c_1}) = 2((\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1})^2 - (\sqrt{c_1})^2) = 2(a_1 + 2\sqrt{a_1 b_1} + b_1 - c_1) = 2(a_1+b_1-c_1 + 2\sqrt{a_1 b_1}) $$Теперь домножим на сопряженное к полученному выражению, то есть на $(a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1})$:$$ 2(a_1+b_1-c_1 + 2\sqrt{a_1 b_1}) \cdot (a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1}) = 2((a_1+b_1-c_1)^2 - (2\sqrt{a_1 b_1})^2) $$$$ = 2((a_1+b_1-c_1)^2 - 4a_1 b_1) = 2(a_1^2+b_1^2+c_1^2+2a_1b_1-2a_1c_1-2b_1c_1 - 4a_1b_1) $$$$ = 2(a_1^2+b_1^2+c_1^2-2a_1b_1-2a_1c_1-2b_1c_1) $$Соответственно, числитель дроби станет равен произведению $1$ и этих множителей:$$ N_1 = ((\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1}) - \sqrt{c_1})(a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1}) $$Ответ для случая $a=a_1, b=b_1, c=c_1$:

Ответ:$$ \frac{(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} - \sqrt{c_1})(a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1})}{2(a_1^2+b_1^2+c_1^2-2a_1b_1-2a_1c_1-2b_1c_1)} $$

Случай 2: $k^2 \neq 1$ (то есть $k \neq 1$)

В этом случае знаменатель $Z = (k+1)(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1})$. Чтобы сделать его рациональным, нужно избавиться от иррациональности в обоих множителях.Домножим числитель и знаменатель на $(k-1)$ и на множители для рационализации суммы трех корней, как в случае 1.Общий множитель для числителя и знаменателя будет:$$ M = (k-1) \cdot ((\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1}) - \sqrt{c_1}) \cdot (a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1}) $$Новый знаменатель будет:$$ Z' = Z \cdot M = (k+1)(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} + \sqrt{c_1}) \cdot (k-1)((\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1}) - \sqrt{c_1})(a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1}) $$$$ Z' = (k^2-1) \cdot (a_1^2+b_1^2+c_1^2-2a_1b_1-2a_1c_1-2b_1c_1) $$Новый числитель будет равен $M$.Теперь вернемся к исходным переменным. Вспомним, что $k^2 = a/a_1$, значит $k=\sqrt{a/a_1}$.$$ k-1 = \sqrt{\frac{a}{a_1}} - 1 = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{a_1}}{\sqrt{a_1}} $$$$ k^2-1 = \frac{a}{a_1} - 1 = \frac{a-a_1}{a_1} $$Подставим это в выражения для числителя и знаменателя.Знаменатель:$$ Z' = \frac{a-a_1}{a_1} (a_1^2+b_1^2+c_1^2-2a_1b_1-2a_1c_1-2b_1c_1) $$Числитель:$$ N = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{a_1}}{\sqrt{a_1}} (\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} - \sqrt{c_1})(a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1}) $$Итоговая дробь $\frac{N}{Z'}$:$$ \frac{\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a_1}}{\sqrt{a_1}} (\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} - \sqrt{c_1})(a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1})}{\frac{a-a_1}{a_1} (a_1^2+b_1^2+c_1^2-2a_1b_1-2a_1c_1-2b_1c_1)} $$Умножим числитель и знаменатель на $a_1$, чтобы упростить дробь:$$ \frac{\sqrt{a_1}(\sqrt{a}-\sqrt{a_1})(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} - \sqrt{c_1})(a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1})}{(a-a_1)(a_1^2+b_1^2+c_1^2-2a_1b_1-2a_1c_1-2b_1c_1)} $$Это выражение является решением, так как его знаменатель рационален. Заметим, что $a-a_1 \neq 0$, поскольку мы рассматриваем случай $k \neq 1$.Это общее решение, которое охватывает все случаи, кроме $a/a_1=1$.

Ответ:$$ \frac{\sqrt{a_1}(\sqrt{a}-\sqrt{a_1})(\sqrt{a_1} + \sqrt{b_1} - \sqrt{c_1})(a_1+b_1-c_1 - 2\sqrt{a_1 b_1})}{(a-a_1)(a_1^2+b_1^2+c_1^2-2a_1b_1-2a_1c_1-2b_1c_1)} $$

Найдите значение выражения:

7.44. a) $ \frac{4 - 3\sqrt{2}}{(\sqrt{2} - \sqrt[4]{8})^2} $;

б) $ \frac{(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1} $;

в) $ \frac{(\sqrt[4]{24} + \sqrt[4]{6})^2}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}} $;

г) $ \frac{1 - 2\sqrt[4]{5} + \sqrt{5}}{(\sqrt{3} - \sqrt[4]{45})^2} $.

а) $ \frac{4 - 3\sqrt{2}}{(\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{8})^2} $

Сначала упростим знаменатель. Заметим, что $ \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 4} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt{2} $.

Тогда знаменатель принимает вид:

$ (\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt{2})^2 = (\sqrt[4]{2}(1 - \sqrt{2}))^2 = (\sqrt[4]{2})^2 (1 - \sqrt{2})^2 $

Вычисляем каждый множитель:

$ (\sqrt[4]{2})^2 = \sqrt{2} $

$ (1 - \sqrt{2})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 1 - 2\sqrt{2} + 2 = 3 - 2\sqrt{2} $

Перемножаем результаты, чтобы получить значение знаменателя:

$ \sqrt{2}(3 - 2\sqrt{2}) = 3\sqrt{2} - 2(\sqrt{2})^2 = 3\sqrt{2} - 2 \cdot 2 = 3\sqrt{2} - 4 $

Теперь подставим упрощенный знаменатель обратно в исходное выражение:

$ \frac{4 - 3\sqrt{2}}{3\sqrt{2} - 4} $

Вынесем $-1$ из числителя:

$ \frac{-( -4 + 3\sqrt{2})}{3\sqrt{2} - 4} = \frac{-(3\sqrt{2} - 4)}{3\sqrt{2} - 4} = -1 $

Ответ: $-1$

б) $ \frac{(\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2}{\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1} $

Для упрощения выражения введем замену $ x = \sqrt[6]{3} $. Тогда:

$ \sqrt[3]{3} = 3^{1/3} = (3^{1/6})^2 = x^2 $

$ \sqrt{3} = 3^{1/2} = (3^{1/6})^3 = x^3 $

$ \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{2/3} = (3^{1/6})^4 = x^4 $

Подставим эти значения в исходное выражение. Сначала преобразуем знаменатель:

$ \sqrt[3]{3} + 2\sqrt[6]{3} + 1 = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 $

Теперь преобразуем числитель:

$ (\sqrt[3]{9} + \sqrt{3})^2 = (x^4 + x^3)^2 = (x^3(x+1))^2 = (x^3)^2 (x+1)^2 = x^6 (x+1)^2 $

Теперь все выражение выглядит так:

$ \frac{x^6 (x+1)^2}{(x+1)^2} $

Сокращаем дробь на $ (x+1)^2 $ (так как $ x = \sqrt[6]{3} > 0 $, то $ x+1 \neq 0 $):

$ x^6 $

Вернемся к исходной переменной:

$ x^6 = (\sqrt[6]{3})^6 = 3 $

Ответ: $3$

в) $ \frac{(\sqrt[4]{24} + \sqrt[4]{6})^2}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}} $

Упростим числитель. Вынесем общий множитель из-под корней в скобках:

$ \sqrt[4]{24} = \sqrt[4]{4 \cdot 6} = \sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{6} = \sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{6} $

Теперь числитель равен:

$ (\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{6} + \sqrt[4]{6})^2 = (\sqrt[4]{6}(\sqrt{2} + 1))^2 = (\sqrt[4]{6})^2 (\sqrt{2} + 1)^2 $

Вычислим каждый множитель:

$ (\sqrt[4]{6})^2 = \sqrt{6} $

$ (\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2} \cdot 1 + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2} $

Перемножим результаты, чтобы получить значение числителя:

$ \sqrt{6}(3 + 2\sqrt{2}) = 3\sqrt{6} + 2\sqrt{6}\sqrt{2} = 3\sqrt{6} + 2\sqrt{12} $

Упростим $ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3} $:

$ 3\sqrt{6} + 2(2\sqrt{3}) = 3\sqrt{6} + 4\sqrt{3} $

Теперь подставим полученный числитель в исходное выражение:

$ \frac{3\sqrt{6} + 4\sqrt{3}}{4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}} $

Поскольку числитель и знаменатель равны ($3\sqrt{6} + 4\sqrt{3} = 4\sqrt{3} + 3\sqrt{6}$), их отношение равно 1.

Ответ: $1$

г) $ \frac{1 - 2\sqrt[4]{5} + \sqrt{5}}{(\sqrt{3} - \sqrt[4]{45})^2} $

Рассмотрим числитель. Заметим, что $ \sqrt{5} = (\sqrt[4]{5})^2 $. Тогда числитель представляет собой формулу квадрата разности:

$ 1 - 2\sqrt[4]{5} + (\sqrt[4]{5})^2 = (1 - \sqrt[4]{5})^2 $

Теперь рассмотрим знаменатель. Упростим $ \sqrt[4]{45} $:

$ \sqrt[4]{45} = \sqrt[4]{9 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^2 \cdot 5} = \sqrt[4]{3^2} \cdot \sqrt[4]{5} = \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{5} $

Подставим это в выражение для знаменателя:

$ (\sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{5})^2 $

Вынесем общий множитель $ \sqrt{3} $ за скобки:

$ (\sqrt{3}(1 - \sqrt[4]{5}))^2 = (\sqrt{3})^2 (1 - \sqrt[4]{5})^2 = 3(1 - \sqrt[4]{5})^2 $

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$ \frac{(1 - \sqrt[4]{5})^2}{3(1 - \sqrt[4]{5})^2} $

Сокращаем дробь на общий множитель $ (1 - \sqrt[4]{5})^2 $ (он не равен нулю):

$ \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{3} $

7.45. а) $\sqrt[4]{17 + \sqrt{288}}$;
б) $\sqrt[4]{28 - 16\sqrt{3}}$.

a) Упростим выражение $\sqrt[4]{17 + \sqrt{288}}$.

Воспользуемся свойством корня $\sqrt[4]{x} = \sqrt{\sqrt{x}}$. Таким образом, наше выражение можно переписать как $\sqrt{\sqrt{17 + \sqrt{288}}}$.

Сначала упростим внутренний радикал $\sqrt{17 + \sqrt{288}}$. Для этого преобразуем число под корнем.

Упростим $\sqrt{288}$: $\sqrt{288} = \sqrt{144 \cdot 2} = 12\sqrt{2}$.

Тогда выражение под внутренним корнем становится $17 + 12\sqrt{2}$.

Теперь попытаемся представить $17 + 12\sqrt{2}$ в виде полного квадрата суммы $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$. Для этого приведем наше выражение к виду $X + 2\sqrt{Y}$:

$17 + 12\sqrt{2} = 17 + 2 \cdot 6\sqrt{2} = 17 + 2\sqrt{36 \cdot 2} = 17 + 2\sqrt{72}$.

Сравнивая с формулой $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$, получаем систему уравнений:

$a + b = 17$

$ab = 72$

Подбором или решая квадратное уравнение $t^2 - 17t + 72 = 0$, находим числа $a=9$ и $b=8$.

Таким образом, $17 + 12\sqrt{2} = 9 + 8 + 2\sqrt{9 \cdot 8} = (\sqrt{9} + \sqrt{8})^2 = (3 + 2\sqrt{2})^2$.

Теперь можем упростить внутренний корень:

$\sqrt{17 + 12\sqrt{2}} = \sqrt{(3 + 2\sqrt{2})^2} = 3 + 2\sqrt{2}$.

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\sqrt[4]{17 + \sqrt{288}} = \sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$.

Снова применяем тот же метод для упрощения $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}$. Ищем $a$ и $b$ такие, что $a+b=3$ и $ab=2$. Очевидно, что $a=2$ и $b=1$.

Следовательно, $3 + 2\sqrt{2} = 2 + 1 + 2\sqrt{2 \cdot 1} = (\sqrt{2} + \sqrt{1})^2 = (\sqrt{2} + 1)^2$.

Окончательно получаем:

$\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} + 1$.

Ответ: $\sqrt{2} + 1$.

б) Упростим выражение $\sqrt[4]{28 - 16\sqrt{3}}$.

Представим выражение в виде $\sqrt{\sqrt{28 - 16\sqrt{3}}}$.

Упростим внутренний радикал $\sqrt{28 - 16\sqrt{3}}$. Для этого представим подкоренное выражение $28 - 16\sqrt{3}$ в виде полного квадрата разности $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$.

Приведем наше выражение к виду $X - 2\sqrt{Y}$:

$28 - 16\sqrt{3} = 28 - 2 \cdot 8\sqrt{3} = 28 - 2\sqrt{64 \cdot 3} = 28 - 2\sqrt{192}$.

Сравнивая с формулой $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$, получаем систему уравнений:

$a + b = 28$

$ab = 192$

Решим квадратное уравнение $t^2 - 28t + 192 = 0$. Дискриминант $D = (-28)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 192 = 784 - 768 = 16$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{28 + \sqrt{16}}{2} = \frac{28 + 4}{2} = 16$ и $t_2 = \frac{28 - 4}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

Пусть $a=16$ и $b=12$. Тогда:

$28 - 16\sqrt{3} = 16 + 12 - 2\sqrt{16 \cdot 12} = (\sqrt{16} - \sqrt{12})^2 = (4 - 2\sqrt{3})^2$.

Теперь можем упростить внутренний корень:

$\sqrt{28 - 16\sqrt{3}} = \sqrt{(4 - 2\sqrt{3})^2} = 4 - 2\sqrt{3}$ (так как $4 = \sqrt{16} > \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, то $4 - 2\sqrt{3} > 0$).

Подставим это обратно в исходное выражение:

$\sqrt[4]{28 - 16\sqrt{3}} = \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$.

Снова применяем метод выделения полного квадрата. Для $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$ ищем $a$ и $b$ такие, что $a+b=4$ и $ab=3$. Очевидно, что $a=3$ и $b=1$.

Следовательно, $4 - 2\sqrt{3} = 3 + 1 - 2\sqrt{3 \cdot 1} = (\sqrt{3} - \sqrt{1})^2 = (\sqrt{3} - 1)^2$.

Окончательно получаем:

$\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = \sqrt{3} - 1$ (так как $\sqrt{3} > 1$, то $\sqrt{3} - 1 > 0$).

Ответ: $\sqrt{3} - 1$.

7.46. Выполните действия:

a) $(1 + \sqrt{a})(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a});$

б) $(\sqrt[3]{9a^2x} - 2\sqrt[3]{3abx} + \sqrt[3]{b^2x}) : (\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b});$

в) $(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n});$

г) $(\sqrt[3]{16x^2} - \sqrt[3]{25y^2}) : (\sqrt[3]{4x} - \sqrt[3]{5y}).$

а) $(1 + \sqrt{a})(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a})$

Сначала перемножим последние две скобки, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$. В нашем случае $x=1$ и $y=\sqrt[4]{a}$.

$(1 + \sqrt[4]{a})(1 - \sqrt[4]{a}) = 1^2 - (\sqrt[4]{a})^2 = 1 - a^{\frac{2}{4}} = 1 - a^{\frac{1}{2}} = 1 - \sqrt{a}$.

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a})$

Снова применяем формулу разности квадратов, где $x=1$ и $y=\sqrt{a}$:

$(1 + \sqrt{a})(1 - \sqrt{a}) = 1^2 - (\sqrt{a})^2 = 1 - a$.

Ответ: $1 - a$.

б) $(\sqrt[3]{9a^2x} - 2\sqrt[3]{3abx} + \sqrt[3]{b^2x}) : (\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})$

Рассмотрим делимое: $\sqrt[3]{9a^2x} - 2\sqrt[3]{3abx} + \sqrt[3]{b^2x}$. Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{x}$ за скобки:

$\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{9a^2} - 2\sqrt[3]{3ab} + \sqrt[3]{b^2})$

Выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности. Заметим, что $\sqrt[3]{9a^2} = (\sqrt[3]{3a})^2$, $\sqrt[3]{b^2} = (\sqrt[3]{b})^2$, а $2\sqrt[3]{3ab} = 2 \cdot \sqrt[3]{3a} \cdot \sqrt[3]{b}$. Таким образом, выражение в скобках равно $(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})^2$.

Делимое можно записать как $\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})^2$.

Теперь выполним деление:

$\frac{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})^2}{\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b}}$

Сократив дробь на $(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})$, получим:

$\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})$

Ответ: $\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{3a} - \sqrt[3]{b})$.

в) $(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})$

Начнем с умножения последних двух сомножителей, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$, где $x=\sqrt[4]{m}$ и $y=\sqrt[4]{n}$:

$(\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n}) = (\sqrt[4]{m})^2 - (\sqrt[4]{n})^2 = \sqrt{m} - \sqrt{n}$.

Подставим результат в исходное выражение:

$(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} - \sqrt{n})$

Еще раз применим формулу разности квадратов, теперь для $x=\sqrt{m}$ и $y=\sqrt{n}$:

$(\sqrt{m})^2 - (\sqrt{n})^2 = m - n$.

Ответ: $m - n$.

г) $(\sqrt[3]{16x^2} - \sqrt[3]{25y^2}) : (\sqrt[3]{4x} - \sqrt[3]{5y})$

Преобразуем делимое. Заметим, что $\sqrt[3]{16x^2} = \sqrt[3]{(4x)^2} = (\sqrt[3]{4x})^2$ и $\sqrt[3]{25y^2} = \sqrt[3]{(5y)^2} = (\sqrt[3]{5y})^2$.

Таким образом, делимое можно записать в виде разности квадратов: $(\sqrt[3]{4x})^2 - (\sqrt[3]{5y})^2$.

Пусть $A = \sqrt[3]{4x}$ и $B = \sqrt[3]{5y}$. Тогда выражение принимает вид:

$(A^2 - B^2) : (A - B)$

Используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, получаем:

$\frac{(A-B)(A+B)}{A-B} = A+B$

Подставим обратно значения $A$ и $B$:

$\sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y}$

Ответ: $\sqrt[3]{4x} + \sqrt[3]{5y}$.

7.47. Упростите выражение:

а) $\frac{\sqrt{ab} \cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b) \cdot \sqrt[4]{\frac{b^2}{a}}} - \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}$;

б) $\frac{(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})^2 + (\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})^2}{2(m - n)} : \frac{1}{\sqrt{m^3} - \sqrt{n^3}} - 3\sqrt{mn}.$

а) Упростим данное выражение по действиям.
Исходное выражение: $ \frac{\sqrt{ab} \cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b) \cdot \sqrt[4]{\frac{b^2}{a}}} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} $.
1. Сначала упростим первую дробь. Для этого представим все корни в виде степеней с рациональными показателями, предполагая, что $a > 0$ и $b > 0$.
Числитель: $ \sqrt{ab} \cdot \sqrt[4]{a} = (ab)^{1/2} \cdot a^{1/4} = a^{1/2}b^{1/2}a^{1/4} = a^{1/2+1/4}b^{1/2} = a^{3/4}b^{1/2} $.
Знаменатель: $ (a+b) \cdot \sqrt[4]{\frac{b^2}{a}} = (a+b) \cdot \frac{(b^2)^{1/4}}{a^{1/4}} = (a+b) \cdot \frac{b^{1/2}}{a^{1/4}} $.
Разделим числитель на знаменатель:$$ \frac{a^{3/4}b^{1/2}}{(a+b) \cdot \frac{b^{1/2}}{a^{1/4}}} = \frac{a^{3/4}b^{1/2} \cdot a^{1/4}}{(a+b)b^{1/2}} = \frac{a^{3/4+1/4}b^{1/2}}{(a+b)b^{1/2}} = \frac{a^1 b^{1/2}}{(a+b)b^{1/2}} = \frac{a}{a+b} $$
2. Теперь выполним вычитание, подставив упрощенную дробь в исходное выражение:$$ \frac{a}{a+b} - \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} $$
Приведем дроби к общему знаменателю $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $:$$ \frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)} - \frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a(a-b) - (a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)} $$
3. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:$$ \frac{a^2 - ab - a^2 - b^2}{a^2-b^2} = \frac{-ab - b^2}{a^2-b^2} $$
4. Вынесем общий множитель в числителе и сократим дробь:$$ \frac{-b(a+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{-b}{a-b} = \frac{b}{b-a} $$Ответ: $ \frac{b}{b-a} $.

б) Упростим выражение $ \frac{(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})^2 + (\sqrt[4]{m} - \sqrt[4]{n})^2}{2(m-n)} : \frac{1}{\sqrt{m^3} - \sqrt{n^3}} - 3\sqrt{mn} $ по действиям.
1. Упростим числитель первой дроби, используя тождество $ (x+y)^2 + (x-y)^2 = 2(x^2+y^2) $.
Пусть $ x = \sqrt[4]{m} $ и $ y = \sqrt[4]{n} $. Тогда $ x^2 = \sqrt{m} $ и $ y^2 = \sqrt{n} $.
Числитель равен: $ 2((\sqrt[4]{m})^2 + (\sqrt[4]{n})^2) = 2(\sqrt{m} + \sqrt{n}) $.
2. Подставим упрощенный числитель обратно в первую дробь и упростим ее, разложив знаменатель по формуле разности квадратов:$$ \frac{2(\sqrt{m} + \sqrt{n})}{2(m-n)} = \frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{m-n} = \frac{\sqrt{m} + \sqrt{n}}{(\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})} = \frac{1}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} $$
3. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей:$$ \frac{1}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} : \frac{1}{\sqrt{m^3} - \sqrt{n^3}} = \frac{1}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} \cdot (\sqrt{m^3} - \sqrt{n^3}) = \frac{(\sqrt{m})^3 - (\sqrt{n})^3}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} $$
Применим формулу разности кубов $ a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) $, где $ a=\sqrt{m} $ и $ b=\sqrt{n} $. Результат деления:$$ \frac{(\sqrt{m}-\sqrt{n})(m + \sqrt{mn} + n)}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} = m + \sqrt{mn} + n $$
4. Последнее действие — вычитание:$$ (m + \sqrt{mn} + n) - 3\sqrt{mn} = m - 2\sqrt{mn} + n $$
5. Свернем полученное выражение по формуле квадрата разности $ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $:$$ m - 2\sqrt{mn} + n = (\sqrt{m})^2 - 2\sqrt{m}\sqrt{n} + (\sqrt{n})^2 = (\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 $$Ответ: $ (\sqrt{m} - \sqrt{n})^2 $.