Страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Преобразуйте заданное выражение к виду $ \sqrt[n]{A} $:

7.17. a) $ \sqrt[5]{2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}} $;

б) $ \sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{4}\sqrt{\frac{4}{3}}}} $;

в) $ \sqrt[4]{3\sqrt[3]{3\sqrt{3}}} $;

г) $ \sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}} $.

а) Для преобразования выражения $ \sqrt[5]{2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}} $ к виду $ \sqrt[n]{A} $ воспользуемся свойствами корней и степеней. Удобно представить корни в виде степеней с рациональными показателями, используя формулу $ \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n} $. Мы будем работать с выражением изнутри наружу.
1. Начнем с самой внутренней части: $ \sqrt{2} = 2^{1/2} $.
2. Тогда $ 2\sqrt{2} = 2^1 \cdot 2^{1/2} = 2^{1 + 1/2} = 2^{3/2} $.
3. Теперь рассмотрим корень третьей степени: $ \sqrt[3]{2\sqrt{2}} = \sqrt[3]{2^{3/2}} = (2^{3/2})^{1/3} = 2^{(3/2) \cdot (1/3)} = 2^{1/2} $.
4. Подставим это в исходное выражение: $ \sqrt[5]{2 \cdot \sqrt[3]{2\sqrt{2}}} = \sqrt[5]{2 \cdot 2^{1/2}} $.
5. Упростим выражение под корнем: $ 2 \cdot 2^{1/2} = 2^{1 + 1/2} = 2^{3/2} $.
6. Окончательно получаем: $ \sqrt[5]{2^{3/2}} = (2^{3/2})^{1/5} = 2^{(3/2) \cdot (1/5)} = 2^{3/10} $.
7. Запишем результат в виде корня: $ 2^{3/10} = \sqrt[10]{2^3} = \sqrt[10]{8} $.
Ответ: $ \sqrt[10]{8} $

б) Преобразуем выражение $ \sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{4}\sqrt{\frac{4}{3}}}} $, используя степени с рациональными показателями. Для удобства введем замену $ a = \frac{4}{3} $. Тогда $ \frac{3}{4} = a^{-1} $.
Выражение примет вид: $ \sqrt[4]{a\sqrt[3]{a^{-1}\sqrt{a}}} $.
Теперь запишем его с помощью степеней: $ \left( a \cdot \left( a^{-1} \cdot a^{1/2} \right)^{1/3} \right)^{1/4} $.
1. Упростим выражение в самой внутренней скобке: $ a^{-1} \cdot a^{1/2} = a^{-1 + 1/2} = a^{-1/2} $.
2. Подставим обратно и возведем в степень $ 1/3 $: $ (a^{-1/2})^{1/3} = a^{(-1/2) \cdot (1/3)} = a^{-1/6} $.
3. Теперь выражение выглядит так: $ \left( a \cdot a^{-1/6} \right)^{1/4} $.
4. Упростим выражение в скобке: $ a^1 \cdot a^{-1/6} = a^{1 - 1/6} = a^{5/6} $.
5. Возведем в степень $ 1/4 $: $ (a^{5/6})^{1/4} = a^{(5/6) \cdot (1/4)} = a^{5/24} $.
6. Вернемся к исходной переменной $ a = \frac{4}{3} $: $ \left(\frac{4}{3}\right)^{5/24} = \sqrt[24]{\left(\frac{4}{3}\right)^5} $.
7. Вычислим значение под корнем: $ \left(\frac{4}{3}\right)^5 = \frac{4^5}{3^5} = \frac{1024}{243} $.
Ответ: $ \sqrt[24]{\frac{1024}{243}} $

в) Преобразуем выражение $ \sqrt{3\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}} $, используя степени с рациональными показателями.
Запишем все выражение в виде степеней: $ \left( 3 \cdot \left( 3 \cdot 3^{1/3} \right)^{1/4} \right)^{1/2} $.
1. Начнем с самой внутренней скобки: $ 3 \cdot 3^{1/3} = 3^{1 + 1/3} = 3^{4/3} $.
2. Подставим и возведем в степень $ 1/4 $: $ (3^{4/3})^{1/4} = 3^{(4/3) \cdot (1/4)} = 3^{1/3} $.
3. Теперь выражение выглядит так: $ \left( 3 \cdot 3^{1/3} \right)^{1/2} $.
4. Упростим выражение в скобке: $ 3 \cdot 3^{1/3} = 3^{1 + 1/3} = 3^{4/3} $.
5. Возведем в степень $ 1/2 $: $ (3^{4/3})^{1/2} = 3^{(4/3) \cdot (1/2)} = 3^{4/6} = 3^{2/3} $.
6. Запишем результат в виде корня: $ 3^{2/3} = \sqrt[3]{3^2} = \sqrt[3]{9} $.
Ответ: $ \sqrt[3]{9} $

г) Преобразуем выражение $ \sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}} $. Аналогично пункту б), введем замену $ a = \frac{2}{3} $, тогда $ \frac{3}{2} = a^{-1} $.
Выражение примет вид: $ \sqrt[3]{a\sqrt[3]{a^{-1}\sqrt{a}}} $.
Запишем его с помощью степеней: $ \left( a \cdot \left( a^{-1} \cdot a^{1/2} \right)^{1/3} \right)^{1/3} $.
1. Упростим выражение в самой внутренней скобке: $ a^{-1} \cdot a^{1/2} = a^{-1 + 1/2} = a^{-1/2} $.
2. Подставим обратно и возведем в степень $ 1/3 $: $ (a^{-1/2})^{1/3} = a^{(-1/2) \cdot (1/3)} = a^{-1/6} $.
3. Теперь выражение выглядит так: $ \left( a \cdot a^{-1/6} \right)^{1/3} $.
4. Упростим выражение в скобке: $ a^1 \cdot a^{-1/6} = a^{1 - 1/6} = a^{5/6} $.
5. Возведем в степень $ 1/3 $: $ (a^{5/6})^{1/3} = a^{(5/6) \cdot (1/3)} = a^{5/18} $.
6. Вернемся к исходной переменной $ a = \frac{2}{3} $: $ \left(\frac{2}{3}\right)^{5/18} = \sqrt[18]{\left(\frac{2}{3}\right)^5} $.
7. Вычислим значение под корнем: $ \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243} $.
Ответ: $ \sqrt[18]{\frac{32}{243}} $

7.18. a) $\sqrt[9]{-\sqrt[5]{-a^{25}}}$;

б) $\sqrt{\frac{m-n}{m+n}} \sqrt{\frac{m+n}{m-n}}$;

B) $\sqrt[3]{-2a^2b} \cdot \sqrt[4]{5a^3}$;

Г) $\sqrt[5]{(x-y)^3} \sqrt[3]{\frac{1}{y-x}}$.

а) Упростим выражение $\sqrt[9]{-\sqrt[5]{-a^{25}}}$.
Начнем с внутреннего корня $\sqrt[5]{-a^{25}}$. Так как показатель корня (5) нечетный, мы можем вынести знак минус из-под знака корня:
$\sqrt[5]{-a^{25}} = -\sqrt[5]{a^{25}}$
Теперь вычислим корень из $a^{25}$. Используем свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$ и определение корня $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$:
$\sqrt[5]{a^{25}} = (a^{25})^{1/5} = a^{25/5} = a^5$
Таким образом, выражение под внешним корнем равно $-(-a^5) = a^5$.
Подставим это обратно в исходное выражение:
$\sqrt[9]{-(-a^5)} = \sqrt[9]{a^5}$
Ответ: $\sqrt[9]{a^5}$.

б) Упростим выражение $\sqrt{\frac{m-n}{m+n}\sqrt{\frac{m+n}{m-n}}}$.
Для существования выражения необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны. В частности, $\frac{m+n}{m-n} \ge 0$, что также означает, что и обратная дробь $\frac{m-n}{m+n}$ неотрицательна. Кроме того, знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому $\frac{m+n}{m-n} > 0$.
Внесем множитель $\frac{m-n}{m+n}$ под знак внутреннего корня. Так как мы установили, что этот множитель положителен, мы можем внести его, возведя в квадрат:
$\sqrt{\sqrt{\left(\frac{m-n}{m+n}\right)^2 \cdot \frac{m+n}{m-n}}}$
Упростим выражение под внутренним корнем:
$\left(\frac{m-n}{m+n}\right)^2 \cdot \frac{m+n}{m-n} = \frac{(m-n)^2}{(m+n)^2} \cdot \frac{m+n}{m-n} = \frac{m-n}{m+n}$
Теперь исходное выражение имеет вид:
$\sqrt{\sqrt{\frac{m-n}{m+n}}}$
Используя свойство корней $\sqrt[k]{\sqrt[l]{x}} = \sqrt[kl]{x}$, получаем:
$\sqrt[2 \cdot 2]{\frac{m-n}{m+n}} = \sqrt[4]{\frac{m-n}{m+n}}$
Ответ: $\sqrt[4]{\frac{m-n}{m+n}}$.

в) Упростим произведение корней $\sqrt[3]{-2a^2b} \cdot \sqrt[4]{5a^3}$.
Для того чтобы перемножить корни с разными показателями (3 и 4), приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 3 и 4 это 12.
1. Преобразуем первый корень:
$\sqrt[3]{-2a^2b} = \sqrt[3 \cdot 4]{(-2a^2b)^4} = \sqrt[12]{(-2)^4 (a^2)^4 b^4} = \sqrt[12]{16a^8b^4}$
2. Преобразуем второй корень. Заметим, что для существования корня четной степени $\sqrt[4]{5a^3}$, необходимо, чтобы $5a^3 \ge 0$, откуда следует, что $a \ge 0$.
$\sqrt[4]{5a^3} = \sqrt[4 \cdot 3]{(5a^3)^3} = \sqrt[12]{5^3 (a^3)^3} = \sqrt[12]{125a^9}$
3. Теперь перемножим полученные корни:
$\sqrt[12]{16a^8b^4} \cdot \sqrt[12]{125a^9} = \sqrt[12]{(16a^8b^4) \cdot (125a^9)} = \sqrt[12]{16 \cdot 125 \cdot a^{8+9} \cdot b^4} = \sqrt[12]{2000a^{17}b^4}$
4. Упростим, вынеся множитель из-под знака корня:
$\sqrt[12]{2000a^{17}b^4} = \sqrt[12]{2000 \cdot a^{12} \cdot a^5 \cdot b^4} = \sqrt[12]{a^{12}} \cdot \sqrt[12]{2000a^5b^4}$
Так как $a \ge 0$, то $\sqrt[12]{a^{12}} = a$.
$a\sqrt[12]{2000a^5b^4}$
Ответ: $a\sqrt[12]{2000a^5b^4}$.

г) Упростим выражение $\sqrt[5]{(x-y)^3 \sqrt[3]{\frac{1}{y-x}}}$.
Выражение определено при $y-x \ne 0$, т.е. $y \ne x$.
Внесем множитель $(x-y)^3$ под знак внутреннего кубического корня. Для этого нужно возвести множитель в куб:
$\sqrt[5]{\sqrt[3]{((x-y)^3)^3 \cdot \frac{1}{y-x}}}$
Упростим выражение под внутренним корнем. Заметим, что $y-x = -(x-y)$:
$((x-y)^3)^3 \cdot \frac{1}{y-x} = (x-y)^9 \cdot \frac{1}{-(x-y)} = -\frac{(x-y)^9}{x-y} = -(x-y)^8$
Исходное выражение принимает вид:
$\sqrt[5]{\sqrt[3]{-(x-y)^8}}$
Используя свойство $\sqrt[k]{\sqrt[l]{A}} = \sqrt[kl]{A}$, объединим корни:
$\sqrt[5 \cdot 3]{-(x-y)^8} = \sqrt[15]{-(x-y)^8}$
Поскольку показатель корня (15) нечетный, знак минус можно вынести за знак корня:
$\sqrt[15]{-1 \cdot (x-y)^8} = \sqrt[15]{-1} \cdot \sqrt[15]{(x-y)^8} = -\sqrt[15]{(x-y)^8}$
Ответ: $-\sqrt[15]{(x-y)^8}$.

7.19. a) $\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}} \cdot \sqrt[27]{a^{14}}$;

В) $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}} : \sqrt[16]{x^{11}}$;

б) $\sqrt{\frac{x}{y}\sqrt{\frac{y}{x}\sqrt[3]{\frac{x}{y}}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{y}{x}}$;

Г) $\sqrt{2m^3\sqrt{\frac{1}{4m^2}\sqrt{\frac{n}{m}}}} : \sqrt[12]{nm}.$

а)

Сначала упростим выражение с вложенными корнями. Для этого можно последовательно вносить множители под внутренние знаки корня, либо использовать степени с дробными показателями. Воспользуемся вторым способом, так как он более универсален.

$\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}} = (a \cdot (a \cdot a^{1/3})^{1/3})^{1/3}$

Сначала упростим внутренние скобки:

$a \cdot a^{1/3} = a^{1+\frac{1}{3}} = a^{4/3}$

Подставим обратно в выражение:

$(a \cdot (a^{4/3})^{1/3})^{1/3} = (a \cdot a^{4/9})^{1/3}$

Снова выполним умножение в скобках:

$a \cdot a^{4/9} = a^{1+\frac{4}{9}} = a^{13/9}$

И, наконец, возведем в степень:

$(a^{13/9})^{1/3} = a^{\frac{13}{9} \cdot \frac{1}{3}} = a^{13/27} = \sqrt[27]{a^{13}}$

Теперь умножим полученный результат на второй множитель из условия:

$\sqrt[27]{a^{13}} \cdot \sqrt[27]{a^{14}} = \sqrt[27]{a^{13} \cdot a^{14}} = \sqrt[27]{a^{13+14}} = \sqrt[27]{a^{27}} = a$

Ответ: $a$

б)

Как и в предыдущем примере, начнем с упрощения сложного выражения с вложенными корнями, используя степени с дробными показателями.

$\sqrt{\frac{x}{y}\sqrt{\frac{y}{x}\sqrt[3]{\frac{x}{y}}}} = \left( \frac{x}{y} \cdot \left( \frac{y}{x} \cdot \left( \frac{x}{y} \right)^{1/3} \right)^{1/2} \right)^{1/2}$

Упростим внутренние скобки, учитывая, что $\frac{y}{x} = (\frac{x}{y})^{-1}$:

$\frac{y}{x} \cdot \left( \frac{x}{y} \right)^{1/3} = \left( \frac{x}{y} \right)^{-1} \cdot \left( \frac{x}{y} \right)^{1/3} = \left( \frac{x}{y} \right)^{-1+\frac{1}{3}} = \left( \frac{x}{y} \right)^{-2/3}$

Подставим результат в основное выражение:

$\left( \frac{x}{y} \cdot \left( \left( \frac{x}{y} \right)^{-2/3} \right)^{1/2} \right)^{1/2} = \left( \frac{x}{y} \cdot \left( \frac{x}{y} \right)^{-1/3} \right)^{1/2}$

Снова выполним умножение в скобках:

$\frac{x}{y} \cdot \left( \frac{x}{y} \right)^{-1/3} = \left( \frac{x}{y} \right)^{1-\frac{1}{3}} = \left( \frac{x}{y} \right)^{2/3}$

Завершим упрощение:

$\left( \left( \frac{x}{y} \right)^{2/3} \right)^{1/2} = \left( \frac{x}{y} \right)^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}} = \left( \frac{x}{y} \right)^{1/3} = \sqrt[3]{\frac{x}{y}}$

Теперь умножим полученный результат на второй множитель из условия:

$\sqrt[3]{\frac{x}{y}} \cdot \sqrt[3]{\frac{y}{x}} = \sqrt[3]{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = \sqrt[3]{1} = 1$

Ответ: $1$

в)

Упростим делимое, которое представляет собой вложенные квадратные корни. Будем последовательно вносить множители под знаки внутренних корней.

$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}} = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{\sqrt{x^2 \cdot x}}}} = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt[4]{x^3}}}$

Продолжаем вносить множители:

$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt[4]{x^3}}} = \sqrt{x\sqrt{\sqrt[4]{x^4 \cdot x^3}}} = \sqrt{x\sqrt[8]{x^7}}$

И последний шаг:

$\sqrt{x\sqrt[8]{x^7}} = \sqrt{\sqrt[8]{x^8 \cdot x^7}} = \sqrt[16]{x^{15}}$

Теперь выполним деление:

$\sqrt[16]{x^{15}} : \sqrt[16]{x^{11}} = \frac{\sqrt[16]{x^{15}}}{\sqrt[16]{x^{11}}} = \sqrt[16]{\frac{x^{15}}{x^{11}}} = \sqrt[16]{x^{15-11}} = \sqrt[16]{x^4}$

Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на 4:

$\sqrt[16]{x^4} = x^{4/16} = x^{1/4} = \sqrt[4]{x}$

Ответ: $\sqrt[4]{x}$

г)

Упростим делимое, последовательно внося множители под знаки внутренних корней.

$\sqrt{2m\sqrt[3]{\frac{1}{4m^2}\sqrt{\frac{n}{m}}}} = \sqrt{\sqrt[3]{(2m)^3 \cdot \frac{1}{4m^2}\sqrt{\frac{n}{m}}}} = \sqrt{\sqrt[3]{8m^3 \cdot \frac{1}{4m^2}\sqrt{\frac{n}{m}}}}$

Упростим выражение под кубическим корнем:

$\sqrt{\sqrt[3]{2m\sqrt{\frac{n}{m}}}}$

Перемножим показатели корней и внесем множитель $2m$ под внутренний корень:

$\sqrt[6]{2m\sqrt{\frac{n}{m}}} = \sqrt[6]{\sqrt{(2m)^2 \cdot \frac{n}{m}}} = \sqrt[12]{4m^2 \cdot \frac{n}{m}} = \sqrt[12]{4mn}$

Теперь выполним деление, указанное в условии:

$\sqrt[12]{4mn} : \sqrt[12]{nm} = \frac{\sqrt[12]{4mn}}{\sqrt[12]{nm}} = \sqrt[12]{\frac{4mn}{nm}} = \sqrt[12]{4}$

Упростим полученный результат:

$\sqrt[12]{4} = \sqrt[12]{2^2} = 2^{2/12} = 2^{1/6} = \sqrt[6]{2}$

Ответ: $\sqrt[6]{2}$

Упростите выражение:

7.20. а) $\sqrt[3]{24} - \sqrt[3]{3}$;

б) $2\sqrt[7]{3} + \sqrt[7]{384}$;

в) $2\sqrt[5]{64} + \sqrt[5]{486}$;

г) $\sqrt[4]{512} - \sqrt[4]{2}$.

а) $\sqrt[3]{24} - \sqrt[3]{3}$
Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо вынести множитель из-под знака корня в первом члене. Разложим число 24 на множители таким образом, чтобы один из них был кубом целого числа:
$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
Теперь можно вынести множитель из-под знака кубического корня:
$\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$.
Подставим полученное выражение в исходное:
$2\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{3} = (2-1)\sqrt[3]{3} = 1 \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3}$.
Ответ: $\sqrt[3]{3}$

б) $2\sqrt[7]{3} + \sqrt[7]{384}$
Упростим второй член, вынеся множитель из-под знака корня. Для этого разложим число 384 на множители. Попытаемся выделить множитель, являющийся седьмой степенью целого числа. Заметим, что $2^7 = 128$. Проверим, делится ли 384 на 128:
$384 \div 128 = 3$.
Следовательно, $384 = 128 \cdot 3 = 2^7 \cdot 3$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[7]{384} = \sqrt[7]{2^7 \cdot 3} = \sqrt[7]{2^7} \cdot \sqrt[7]{3} = 2\sqrt[7]{3}$.
Теперь подставим это в исходное выражение и сложим подобные члены:
$2\sqrt[7]{3} + 2\sqrt[7]{3} = (2+2)\sqrt[7]{3} = 4\sqrt[7]{3}$.
Ответ: $4\sqrt[7]{3}$

в) $2\sqrt[5]{64} + \sqrt[5]{486}$
Упростим оба слагаемых, вынося множители из-под знаков корней.
Для первого слагаемого: разложим 64 на множители. $64 = 32 \cdot 2 = 2^5 \cdot 2$.
$2\sqrt[5]{64} = 2\sqrt[5]{2^5 \cdot 2} = 2 \cdot (\sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{2}) = 2 \cdot (2\sqrt[5]{2}) = 4\sqrt[5]{2}$.
Для второго слагаемого: разложим 486 на множители. $486 = 243 \cdot 2 = 3^5 \cdot 2$.
$\sqrt[5]{486} = \sqrt[5]{3^5 \cdot 2} = \sqrt[5]{3^5} \cdot \sqrt[5]{2} = 3\sqrt[5]{2}$.
Теперь сложим полученные выражения:
$4\sqrt[5]{2} + 3\sqrt[5]{2} = (4+3)\sqrt[5]{2} = 7\sqrt[5]{2}$.
Ответ: $7\sqrt[5]{2}$

г) $\sqrt[4]{512} - \sqrt[4]{2}$
Упростим первый член, вынеся множитель из-под знака корня. Разложим 512 на множители так, чтобы выделить множитель, являющийся четвертой степенью целого числа. Заметим, что $4^4 = 256$. Проверим, делится ли 512 на 256:
$512 \div 256 = 2$.
Следовательно, $512 = 256 \cdot 2 = 4^4 \cdot 2$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[4]{512} = \sqrt[4]{4^4 \cdot 2} = \sqrt[4]{4^4} \cdot \sqrt[4]{2} = 4\sqrt[4]{2}$.
Подставим полученное значение в исходное выражение и выполним вычитание:
$4\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} = (4-1)\sqrt[4]{2} = 3\sqrt[4]{2}$.
Ответ: $3\sqrt[4]{2}$

7.21. a) $\sqrt{50} - \sqrt[3]{3} - 6\sqrt{2} + \sqrt[3]{24} + \sqrt{8};$

б) $6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} - \sqrt{9xy} - \sqrt[8]{x^2} + \frac{7}{x}\sqrt[3]{x^3y}.$

а) Для упрощения данного выражения необходимо сначала упростить каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня, а затем привести подобные слагаемые.

Исходное выражение: $\sqrt{50} - \sqrt[3]{3} - 6\sqrt{2} + \sqrt[3]{24} + \sqrt{8}$

1. Упростим каждый корень по отдельности:

• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
• $\sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$
• $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

2. Подставим упрощенные значения обратно в выражение:

$5\sqrt{2} - \sqrt[3]{3} - 6\sqrt{2} + 2\sqrt[3]{3} + 2\sqrt{2}$

3. Сгруппируем подобные слагаемые (те, которые имеют одинаковую подкоренную часть и одинаковый показатель корня):

$(5\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) + (-\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{3})$

4. Выполним арифметические действия с коэффициентами в каждой группе:

$(5 - 6 + 2)\sqrt{2} + (-1 + 2)\sqrt[3]{3} = 1 \cdot \sqrt{2} + 1 \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$

Ответ: $\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$.

б) Для упрощения данного выражения необходимо упростить каждый член, используя свойства корней, а затем привести подобные слагаемые. Предполагаем, что переменные $x$ и $y$ таковы, что все выражения имеют смысл ($x > 0, y \ge 0$).

Исходное выражение: $6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} - \sqrt{9xy} - \sqrt[8]{x^2} + \frac{7}{x}\sqrt{x^3y}$

1. Упростим каждый член выражения по отдельности:

• $\sqrt{9xy} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{xy} = 3\sqrt{xy}$
• $\sqrt[8]{x^2} = x^{\frac{2}{8}} = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$
• $\frac{7}{x}\sqrt{x^3y} = \frac{7}{x}\sqrt{x^2 \cdot x \cdot y} = \frac{7}{x} \cdot |x|\sqrt{xy}$. Так как по области определения $x > 0$, то $|x|=x$. Следовательно, $\frac{7}{x} \cdot x\sqrt{xy} = 7\sqrt{xy}$

2. Подставим упрощенные члены обратно в выражение:

$6\sqrt[4]{x} + \sqrt{xy} - 3\sqrt{xy} - \sqrt[4]{x} + 7\sqrt{xy}$

3. Сгруппируем подобные слагаемые (слагаемые с $\sqrt[4]{x}$ и слагаемые с $\sqrt{xy}$):

$(6\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{x}) + (\sqrt{xy} - 3\sqrt{xy} + 7\sqrt{xy})$

4. Выполним арифметические действия с коэффициентами в каждой группе:

$(6 - 1)\sqrt[4]{x} + (1 - 3 + 7)\sqrt{xy} = 5\sqrt[4]{x} + 5\sqrt{xy}$

Ответ: $5\sqrt[4]{x} + 5\sqrt{xy}$.

Выполните действия:

7.22. a) $ (\sqrt[3]{m} - 2\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}) $

б) $ (\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt[3]{5}) $

в) $ (a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b}) $

г) $ (\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{2} - \sqrt[3]{4}) $

а) Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух членов. Для его упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
В нашем случае $x = \sqrt[3]{m}$ и $y = 2\sqrt[3]{n}$.
Применяем формулу:
$(\sqrt[3]{m} - 2\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{m} + 2\sqrt[3]{n}) = (\sqrt[3]{m})^2 - (2\sqrt[3]{n})^2 = \sqrt[3]{m^2} - 2^2(\sqrt[3]{n})^2 = \sqrt[3]{m^2} - 4\sqrt[3]{n^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{m^2} - 4\sqrt[3]{n^2}$.

б) Чтобы увидеть знакомую формулу, поменяем слагаемые во второй скобке местами: $(\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt[3]{5}) = (\sqrt[3]{5} - \sqrt{3})(\sqrt[3]{5} + \sqrt{3})$.
Теперь мы можем применить формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$, где $x = \sqrt[3]{5}$ и $y = \sqrt{3}$.
Выполним вычисления:
$(\sqrt[3]{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = \sqrt[3]{5^2} - 3 = \sqrt[3]{25} - 3$.
Ответ: $\sqrt[3]{25} - 3$.

в) Данное выражение является классическим примером применения формулы разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Здесь $x = a$ и $y = \sqrt{b}$.
Применяем формулу:
$(a - \sqrt{b})(a + \sqrt{b}) = a^2 - (\sqrt{b})^2 = a^2 - b$.
Ответ: $a^2 - b$.

г) Переставим слагаемые в скобках, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы разности квадратов: $(\sqrt[3]{4} + 2\sqrt{2})(2\sqrt{2} - \sqrt[3]{4}) = (2\sqrt{2} + \sqrt[3]{4})(2\sqrt{2} - \sqrt[3]{4})$.
Используем формулу $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$, где $x = 2\sqrt{2}$ и $y = \sqrt[3]{4}$.
Вычислим квадраты каждого члена:
$x^2 = (2\sqrt{2})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8$.
$y^2 = (\sqrt[3]{4})^2 = \sqrt[3]{4^2} = \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2\sqrt[3]{2}$.
Теперь найдем разность: $x^2 - y^2 = 8 - 2\sqrt[3]{2}$.
Ответ: $8 - 2\sqrt[3]{2}$.

7.23. a) $(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y);$

б) $(3 + \sqrt[4]{a})(9 - 3\sqrt[4]{a} + \sqrt{a});$

в) $(2\sqrt{p} + \sqrt{q})(4p - 2\sqrt{pq} + q);$

г) $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b}).$

а) $(\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$.

Тогда $a^2 = (\sqrt{x})^2 = x$, $b^2 = (\sqrt{y})^2 = y$, и $ab = \sqrt{x}\sqrt{y} = \sqrt{xy}$.

Подставив эти значения в исходное выражение, мы видим, что оно в точности соответствует левой части формулы:

$(\sqrt{x} + \sqrt{y})((\sqrt{x})^2 - \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2) = (\sqrt{x} + \sqrt{y})(x - \sqrt{xy} + y)$

Следовательно, результат равен $a^3 + b^3$.

Вычислим $a^3$ и $b^3$:

$a^3 = (\sqrt{x})^3 = \sqrt{x^3} = x\sqrt{x}$

$b^3 = (\sqrt{y})^3 = \sqrt{y^3} = y\sqrt{y}$

Таким образом, итоговое выражение равно $x\sqrt{x} + y\sqrt{y}$.

Ответ: $x\sqrt{x} + y\sqrt{y}$

б) $(3 + \sqrt[4]{a})(9 - 3\sqrt[4]{a} + \sqrt{a})$

Этот пример также можно решить с помощью формулы суммы кубов: $(A+B)(A^2 - AB + B^2) = A^3 + B^3$.

Пусть $A = 3$ и $B = \sqrt[4]{a}$.

Проверим соответствие членов во второй скобке:

$A^2 = 3^2 = 9$

$B^2 = (\sqrt[4]{a})^2 = \sqrt[4]{a^2} = \sqrt{a}$

$AB = 3 \cdot \sqrt[4]{a}$

Выражение полностью соответствует формуле суммы кубов.

Результат равен $A^3 + B^3$.

Вычислим $A^3$ и $B^3$:

$A^3 = 3^3 = 27$

$B^3 = (\sqrt[4]{a})^3 = \sqrt[4]{a^3}$

Итак, исходное выражение равно $27 + \sqrt[4]{a^3}$.

Ответ: $27 + \sqrt[4]{a^3}$

в) $(2\sqrt{p} + \sqrt{q})(4p - 2\sqrt{pq} + q)$

И в этом случае применима формула суммы кубов: $(A+B)(A^2 - AB + B^2) = A^3 + B^3$.

Обозначим $A = 2\sqrt{p}$ и $B = \sqrt{q}$.

Проверим члены во второй скобке:

$A^2 = (2\sqrt{p})^2 = 4p$

$B^2 = (\sqrt{q})^2 = q$

$AB = 2\sqrt{p} \cdot \sqrt{q} = 2\sqrt{pq}$

Выражение является суммой кубов.

Результат равен $A^3 + B^3$.

Вычислим $A^3$ и $B^3$:

$A^3 = (2\sqrt{p})^3 = 2^3 \cdot (\sqrt{p})^3 = 8p\sqrt{p}$

$B^3 = (\sqrt{q})^3 = q\sqrt{q}$

Таким образом, результат умножения равен $8p\sqrt{p} + q\sqrt{q}$.

Ответ: $8p\sqrt{p} + q\sqrt{q}$

г) $(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})$

Для решения этого примера воспользуемся формулой разности кубов: $(x-y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 - y^3$.

Сделаем замену переменных. Пусть $x = \sqrt[6]{a}$ и $y = \sqrt[6]{b}$.

Тогда:

$x^2 = (\sqrt[6]{a})^2 = \sqrt[6]{a^2} = \sqrt[3]{a}$

$y^2 = (\sqrt[6]{b})^2 = \sqrt[6]{b^2} = \sqrt[3]{b}$

$xy = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{ab}$

Подставим эти значения в исходное выражение, поменяв множители местами для наглядности:

$(\sqrt[6]{a} - \sqrt[6]{b})(\sqrt[3]{a} + \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b}) = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$

Это соответствует формуле разности кубов, и результат равен $x^3 - y^3$.

Вычислим $x^3$ и $y^3$:

$x^3 = (\sqrt[6]{a})^3 = \sqrt[6]{a^3} = \sqrt{a}$

$y^3 = (\sqrt[6]{b})^3 = \sqrt[6]{b^3} = \sqrt{b}$

Следовательно, результат выражения равен $\sqrt{a} - \sqrt{b}$.

Ответ: $\sqrt{a} - \sqrt{b}$