Страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

5.33. Постройте и прочитайте график функции:

a) $y = \begin{cases} \sqrt[7]{x}, & \text{если } x \le -1, \\ -x^2, & \text{если } -1 < x \le 1, \\ x - 2, & \text{если } x > 1; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 3(x + 1)^2, & \text{если } -2 \le x \le -1, \\ -2x - 2, & \text{если } -1 < x < 0, \\ \sqrt[6]{x}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

а) Дана кусочно-заданная функция:

$y = \begin{cases} \sqrt[7]{x}, & \text{если } x \le -1 \\ -x^2, & \text{если } -1 < x \le 1 \\ x - 2, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Построение графика:

График функции состоит из трех частей:

1. На промежутке $(-\infty; -1]$ строим график функции $y = \sqrt[7]{x}$. Это ветвь функции нечетного корня. Концевая точка на этом участке: при $x=-1$, $y = \sqrt[7]{-1} = -1$. Точка $(-1, -1)$ принадлежит графику.
2. На промежутке $(-1; 1]$ строим график функции $y = -x^2$. Это часть параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. В граничных точках имеем: при $x \to -1^+$, $y \to -(-1)^2 = -1$ (точка $(-1, -1)$ является "выколотой" для этого куска, но совпадает с конечной точкой предыдущего, поэтому разрыва нет); при $x=1$, $y=-(1)^2 = -1$. Точка $(1, -1)$ принадлежит графику.
3. На промежутке $(1; +\infty)$ строим график функции $y = x - 2$. Это луч прямой линии. В граничной точке при $x \to 1^+$, $y \to 1-2 = -1$ (точка $(1, -1)$ является "выколотой" для этого куска, но совпадает с конечной точкой предыдущего, поэтому разрыва нет). Для построения луча возьмем еще одну точку, например, при $x=2$, $y=2-2=0$.

Функция является непрерывной на всей числовой оси, так как значения на стыках интервалов совпадают.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $y=0$ при $-x^2=0 \Rightarrow x=0$ и при $x-2=0 \Rightarrow x=2$. Нули: $x=0, x=2$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ при $x \in (2; +\infty)$.
  • $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2)$.
• Монотонность:
  • Функция возрастает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; +\infty)$.
  • Функция убывает на промежутке $[0; 1]$.
• Экстремумы:
  • Точка максимума: $x_{max} = 0$, $y_{max} = 0$.
  • Точка минимума: $x_{min} = 1$, $y_{min} = -1$.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

Ответ: График функции построен. Свойства функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Нули: $x=0, x=2$. Функция положительна при $x>2$, отрицательна при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2)$. Возрастает на $(-\infty; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на $[0; 1]$. Точка локального максимума $(0; 0)$, точка локального минимума $(1; -1)$. Функция общего вида.

б) Дана кусочно-заданная функция:

$y = \begin{cases} 3(x+1)^2, & \text{если } -2 \le x \le -1 \\ -2x - 2, & \text{если } -1 < x < 0 \\ \sqrt[6]{x}, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика:

График функции состоит из трех частей:

1. На отрезке $[-2; -1]$ строим график функции $y = 3(x+1)^2$. Это часть параболы с вершиной в точке $(-1, 0)$ и ветвями, направленными вверх. В граничных точках имеем: при $x=-2$, $y=3(-2+1)^2 = 3$; при $x=-1$, $y=3(-1+1)^2=0$. Точки $(-2, 3)$ и $(-1, 0)$ принадлежат графику.
2. На интервале $(-1; 0)$ строим график функции $y = -2x-2$. Это отрезок прямой линии (без концов). В граничных точках имеем: при $x \to -1^+$, $y \to -2(-1)-2=0$; при $x \to 0^-$, $y \to -2(0)-2=-2$. Точки $(-1, 0)$ и $(0, -2)$ не принадлежат этому участку графика. Стык в точке $x=-1$ непрерывный.
3. На промежутке $[0; +\infty)$ строим график функции $y = \sqrt[6]{x}$. Это ветвь функции четного корня. В начальной точке при $x=0$, $y=\sqrt[6]{0}=0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.

В точке $x=0$ функция терпит разрыв первого рода (скачок), так как предел слева $\lim_{x \to 0^-} y(x) = -2$, а значение функции справа $y(0) = 0$.

Чтение графика (свойства функции):

• Область определения: $D(y) = [-2; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-2; +\infty)$.
• Точки разрыва: $x=0$ – разрыв первого рода (скачок).
• Нули функции: $y=0$ при $3(x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1$ и при $\sqrt[6]{x}=0 \Rightarrow x=0$. Нули: $x=-1, x=0$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • $y > 0$ при $x \in [-2; -1) \cup (0; +\infty)$.
  • $y < 0$ при $x \in (-1; 0)$.
• Монотонность:
  • Функция убывает на промежутке $[-2; 0)$.
  • Функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы:
  • Локальный максимум в точке $x=-2$, $y_{max}=y(-2)=3$.
  • Локальных минимумов нет. Наименьшее значение (инфимум) функции равно -2, но оно не достигается.
• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как область определения несимметрична относительно нуля.

Ответ: График функции построен. Свойства функции: $D(y) = [-2; +\infty)$, $E(y) = (-2; +\infty)$. Нули: $x=-1, x=0$. Функция положительна при $x \in [-2; -1) \cup (0; +\infty)$, отрицательна при $x \in (-1; 0)$. Убывает на $[-2; 0)$, возрастает на $[0; +\infty)$. В точке $x=0$ имеет разрыв первого рода. Локальный максимум в точке $(-2; 3)$. Локальных минимумов нет. Функция общего вида.

5.34. Исследуйте функцию и постройте её график:

а) $y = \sqrt{4x^2 + 4x - 3}$;

б) $y = \sqrt{2 + 3x - 2x^2}$;

в) $y = \sqrt{2x^2 - x - 3}$;

г) $y = \sqrt{4 - 11x - 3x^2}$.

а) $y = \sqrt{4x^2 + 4x - 3}$

1. Область определения функции.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $4x^2 + 4x - 3 \ge 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $4x^2 + 4x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-4 - 8}{8} = -\frac{12}{8} = -1.5$; $x_2 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = 0.5$.

Ветви параболы $z = 4x^2 + 4x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1.5] \cup [0.5, \infty)$.

Область определения: $D(y) = (-\infty, -1.5] \cup [0.5, \infty)$.

2. Область значений функции.

Арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, поэтому $y \ge 0$. Минимальное значение $y=0$ достигается на границах области определения. При $x \to \pm\infty$, $y \to +\infty$.

Область значений: $E(y) = [0, \infty)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Ox$: $y=0 \implies \sqrt{4x^2 + 4x - 3} = 0 \implies x=-1.5$ и $x=0.5$. Точки пересечения: $(-1.5, 0)$ и $(0.5, 0)$.

С осью $Oy$: $x=0$. Точка $x=0$ не входит в область определения, следовательно, пересечения с осью $Oy$ нет.

4. Четность и нечетность.

Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем производную: $y' = (\sqrt{4x^2 + 4x - 3})' = \frac{8x+4}{2\sqrt{4x^2 + 4x - 3}} = \frac{4x+2}{\sqrt{4x^2 + 4x - 3}}$.

Производная равна нулю при $4x+2=0$, то есть $x=-0.5$. Эта точка не входит в область определения.

При $x \in (-\infty, -1.5)$, $y' < 0$, функция убывает.

При $x \in (0.5, \infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Точки минимума: $(-1.5, 0)$ и $(0.5, 0)$.

6. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет. Ищем наклонные асимптоты $y = kx + b$.

При $x \to +\infty$: $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{4x^2+4x-3}}{x} = \sqrt{4} = 2$.

$b = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{4x^2+4x-3} - 2x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x-3}{\sqrt{4x^2+4x-3}+2x} = \frac{4}{2+2} = 1$.

Асимптота $y = 2x+1$ при $x \to +\infty$.

При $x \to -\infty$: $k = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2+4x-3}}{x} = -\sqrt{4} = -2$.

$b = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{4x^2+4x-3} + 2x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{4x-3}{\sqrt{4x^2+4x-3}-2x} = \frac{4}{-2-2} = -1$.

Асимптота $y = -2x-1$ при $x \to -\infty$.

7. Построение графика.

График функции — это верхняя часть гиперболы $y^2 = 4x^2 + 4x - 3$, или $\frac{(x+0.5)^2}{1} - \frac{y^2}{4} = 1$. График состоит из двух ветвей, начинающихся в точках $(-1.5, 0)$ и $(0.5, 0)$ и асимптотически приближающихся к прямым $y=2x+1$ и $y=-2x-1$.

Ответ: График функции представляет собой верхнюю часть гиперболы. Область определения: $(-\infty, -1.5] \cup [0.5, \infty)$. Область значений: $[0, \infty)$. Точки пересечения с осью Ox: $(-1.5, 0)$ и $(0.5, 0)$. Пересечения с осью Oy нет. Функция убывает на $(-\infty, -1.5]$ и возрастает на $[0.5, \infty)$. Точки минимума: $(-1.5, 0)$ и $(0.5, 0)$. Наклонные асимптоты: $y=2x+1$ при $x \to +\infty$ и $y=-2x-1$ при $x \to -\infty$.

б) $y = \sqrt{2 + 3x - 2x^2}$

1. Область определения функции.

$-2x^2 + 3x + 2 \ge 0 \implies 2x^2 - 3x - 2 \le 0$.

Корни уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 25$. $x_1 = \frac{3-5}{4} = -0.5$, $x_2 = \frac{3+5}{4} = 2$.

Ветви параболы $z = 2x^2 - 3x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.

Область определения: $D(y) = [-0.5, 2]$.

2. Область значений функции.

$y \ge 0$. Подкоренное выражение — парабола с ветвями вниз, ее максимум достигается в вершине $x_v = -\frac{3}{2(-2)} = \frac{3}{4} = 0.75$.

Максимальное значение подкоренного выражения: $2 + 3(0.75) - 2(0.75)^2 = 2 + 2.25 - 1.125 = 3.125 = \frac{25}{8}$.

Максимальное значение функции: $y_{max} = \sqrt{\frac{25}{8}} = \frac{5}{2\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{4}$.

Область значений: $E(y) = [0, \frac{5\sqrt{2}}{4}]$.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Ox$: $y=0 \implies x=-0.5$ и $x=2$. Точки: $(-0.5, 0)$ и $(2, 0)$.

С осью $Oy$: $x=0 \implies y = \sqrt{2}$. Точка: $(0, \sqrt{2})$.

4. Четность и нечетность.

Область определения $[-0.5, 2]$ несимметрична, функция общего вида.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Производная: $y' = \frac{3-4x}{2\sqrt{2+3x-2x^2}}$.

$y' = 0$ при $3-4x=0 \implies x=0.75$.

При $x \in [-0.5, 0.75)$, $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (0.75, 2]$, $y' < 0$, функция убывает.

Точка максимума: $(0.75, \frac{5\sqrt{2}}{4})$. Точки минимума: $(-0.5, 0)$ и $(2, 0)$.

6. Асимптоты.

Область определения — конечный отрезок, асимптот нет.

7. Построение графика.

График функции — это верхняя половина эллипса $\frac{(x-0.75)^2}{(1.25)^2} + \frac{y^2}{(5\sqrt{2}/4)^2} = 1$, с центром в $(0.75, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой верхнюю половину эллипса. Область определения: $[-0.5, 2]$. Область значений: $[0, \frac{5\sqrt{2}}{4}]$. Точки пересечения с осями: $(-0.5, 0)$, $(2, 0)$, $(0, \sqrt{2})$. Функция возрастает на $[-0.5, 0.75]$ и убывает на $[0.75, 2]$. Точка максимума: $(0.75, \frac{5\sqrt{2}}{4})$. Асимптот нет.

в) $y = \sqrt{2x^2 - x - 3}$

1. Область определения функции.

$2x^2 - x - 3 \ge 0$.

Корни уравнения $2x^2 - x - 3 = 0$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25$. $x_1 = \frac{1-5}{4} = -1$, $x_2 = \frac{1+5}{4} = 1.5$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому $D(y) = (-\infty, -1] \cup [1.5, \infty)$.

2. Область значений функции.

$E(y) = [0, \infty)$.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Ox$: $y=0 \implies x=-1$ и $x=1.5$. Точки: $(-1, 0)$ и $(1.5, 0)$.

С осью $Oy$: $x=0$ не входит в область определения, пересечения нет.

4. Четность и нечетность.

Область определения несимметрична, функция общего вида.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Производная: $y' = \frac{4x-1}{2\sqrt{2x^2 - x - 3}}$.

$y'=0$ при $x=0.25$, но эта точка не входит в область определения.

При $x \in (-\infty, -1)$, $y' < 0$, функция убывает.

При $x \in (1.5, \infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Точки минимума: $(-1, 0)$ и $(1.5, 0)$.

6. Асимптоты.

Наклонные асимптоты $y = kx + b$.

При $x \to +\infty$: $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{2x^2-x-3}}{x} = \sqrt{2}$.

$b = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{2x^2-x-3} - \sqrt{2}x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x-3}{\sqrt{2x^2-x-3}+\sqrt{2}x} = \frac{-1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$.

Асимптота $y = \sqrt{2}x - \frac{\sqrt{2}}{4}$ при $x \to +\infty$.

При $x \to -\infty$: $k = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{2x^2-x-3}}{x} = -\sqrt{2}$.

$b = \lim_{x \to -\infty} (\sqrt{2x^2-x-3} + \sqrt{2}x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x-3}{\sqrt{2x^2-x-3}-\sqrt{2}x} = \frac{-1}{-2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Асимптота $y = -\sqrt{2}x + \frac{\sqrt{2}}{4}$ при $x \to -\infty$.

7. Построение графика.

График — верхняя часть гиперболы $y^2 = 2x^2 - x - 3$. Состоит из двух ветвей, начинающихся в точках $(-1, 0)$ и $(1.5, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой верхнюю часть гиперболы. Область определения: $(-\infty, -1] \cup [1.5, \infty)$. Область значений: $[0, \infty)$. Точки пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$ и $(1.5, 0)$. Пересечения с осью Oy нет. Функция убывает на $(-\infty, -1]$ и возрастает на $[1.5, \infty)$. Точки минимума: $(-1, 0)$ и $(1.5, 0)$. Наклонные асимптоты: $y=\sqrt{2}x - \frac{\sqrt{2}}{4}$ при $x \to +\infty$ и $y=-\sqrt{2}x + \frac{\sqrt{2}}{4}$ при $x \to -\infty$.

г) $y = \sqrt{4 - 11x - 3x^2}$

1. Область определения функции.

$-3x^2 - 11x + 4 \ge 0 \implies 3x^2 + 11x - 4 \le 0$.

Корни уравнения $3x^2 + 11x - 4 = 0$: $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 169$. $x_1 = \frac{-11-13}{6} = -4$, $x_2 = \frac{-11+13}{6} = \frac{1}{3}$.

Область определения: $D(y) = [-4, \frac{1}{3}]$.

2. Область значений функции.

$y \ge 0$. Максимум подкоренного выражения достигается в вершине параболы $x_v = -\frac{-11}{2(-3)} = -\frac{11}{6}$.

Максимальное значение функции: $y_{max} = \sqrt{4 - 11(-\frac{11}{6}) - 3(-\frac{11}{6})^2} = \sqrt{\frac{169}{12}} = \frac{13}{2\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{3}}{6}$.

Область значений: $E(y) = [0, \frac{13\sqrt{3}}{6}]$.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью $Ox$: $y=0 \implies x=-4$ и $x=\frac{1}{3}$. Точки: $(-4, 0)$ и $(\frac{1}{3}, 0)$.

С осью $Oy$: $x=0 \implies y = \sqrt{4} = 2$. Точка: $(0, 2)$.

4. Четность и нечетность.

Область определения $[-4, 1/3]$ несимметрична, функция общего вида.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Производная: $y' = \frac{-11-6x}{2\sqrt{4-11x-3x^2}}$.

$y' = 0$ при $-11-6x=0 \implies x = -\frac{11}{6}$.

При $x \in [-4, -\frac{11}{6})$, $y' > 0$, функция возрастает.

При $x \in (-\frac{11}{6}, \frac{1}{3}]$, $y' < 0$, функция убывает.

Точка максимума: $(-\frac{11}{6}, \frac{13\sqrt{3}}{6})$.

6. Асимптоты.

Область определения — конечный отрезок, асимптот нет.

7. Построение графика.

График функции — это верхняя половина эллипса с центром в $(-\frac{11}{6}, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой верхнюю половину эллипса. Область определения: $[-4, \frac{1}{3}]$. Область значений: $[0, \frac{13\sqrt{3}}{6}]$. Точки пересечения с осями: $(-4, 0)$, $(\frac{1}{3}, 0)$, $(0, 2)$. Функция возрастает на $[-4, -\frac{11}{6}]$ и убывает на $[-\frac{11}{6}, \frac{1}{3}]$. Точка максимума: $(-\frac{11}{6}, \frac{13\sqrt{3}}{6})$. Асимптот нет.

Найдите значение числового выражения:

6.1. а) $\sqrt[4]{16 \cdot 0,0001}$; в) $\sqrt[5]{0,00032 \cdot 243}$;

б) $\sqrt[5]{243 \cdot \frac{1}{32}}$; г) $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}$.

а) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[4]{16 \cdot 0,0001}$, воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$. Таким образом, выражение можно переписать как $\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{0,0001}$. Найдём значение каждого корня по отдельности. Корень четвертой степени из 16 равен 2, так как $2^4 = 16$. Корень четвертой степени из 0,0001 равен 0,1, так как $(0,1)^4 = 0,0001$. Теперь перемножим полученные результаты: $2 \cdot 0,1 = 0,2$.
Ответ: 0,2.

б) Для выражения $\sqrt[5]{243 \cdot \frac{1}{32}}$ применим свойство корня из произведения: $\sqrt[5]{243} \cdot \sqrt[5]{\frac{1}{32}}$. Найдём значение каждого множителя. Корень пятой степени из 243 равен 3, поскольку $3^5 = 243$. Корень пятой степени из дроби $\frac{1}{32}$ равен $\frac{1}{2}$, поскольку $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1^5}{2^5} = \frac{1}{32}$. Перемножив полученные значения, получаем: $3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: 1,5.

в) Вычислим значение выражения $\sqrt[5]{0,00032 \cdot 243}$, используя свойство корня из произведения: $\sqrt[5]{0,00032} \cdot \sqrt[5]{243}$. Корень пятой степени из 0,00032 равен 0,2, так как $(0,2)^5 = 0,00032$. Корень пятой степени из 243 равен 3, так как $3^5 = 243$. Умножим полученные результаты: $0,2 \cdot 3 = 0,6$.
Ответ: 0,6.

г) Чтобы найти значение выражения $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $7\frac{19}{32} = \frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = \frac{224 + 19}{32} = \frac{243}{32}$. Теперь необходимо извлечь корень пятой степени из дроби $\frac{243}{32}$. Используем свойство корня из частного $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$: $\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}}$. Так как $3^5 = 243$ и $2^5 = 32$, получаем $\frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: 1,5.

6.2. a) $\sqrt[5]{48 \cdot 162}$;

б) $\sqrt[4]{\frac{16}{0.0625}}$;

в) $\sqrt[4]{54 \cdot 24}$;

г) $\sqrt[6]{\frac{16}{0.25}}$.

а) $\sqrt[5]{48 \cdot 162}$

Для решения данного примера удобно разложить числа под корнем на простые множители, чтобы найти пятые степени чисел.

Разложим числа 48 и 162 на множители:

$48 = 16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$

$162 = 2 \cdot 81 = 2 \cdot 3^4$

Теперь подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt[5]{48 \cdot 162} = \sqrt[5]{(2^4 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 3^4)}$

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$\sqrt[5]{(2^4 \cdot 2^1) \cdot (3^1 \cdot 3^4)} = \sqrt[5]{2^{4+1} \cdot 3^{1+4}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 3^5}$

Далее воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ и свойством $\sqrt[n]{a^n} = a$:

$\sqrt[5]{2^5 \cdot 3^5} = \sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{3^5} = 2 \cdot 3 = 6$

Ответ: 6

б) $\sqrt[4]{\frac{16}{0,0625}}$

Для решения воспользуемся свойством корня из частного $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[4]{\frac{16}{0,0625}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{0,0625}}$

Вычислим корень в числителе: $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.

Для вычисления корня в знаменателе представим десятичную дробь 0,0625 в виде обыкновенной дроби или степени. Заметим, что $0,5^4 = (0,5^2)^2 = 0,25^2 = 0,0625$.

Следовательно, $\sqrt[4]{0,0625} = \sqrt[4]{(0,5)^4} = 0,5$.

Теперь найдем частное полученных результатов:

$\frac{2}{0,5} = \frac{2}{1/2} = 2 \cdot 2 = 4$

Альтернативный способ — сначала выполнить деление под корнем:

$\frac{16}{0,0625} = \frac{16}{625/10000} = \frac{16 \cdot 10000}{625} = \frac{16 \cdot 16 \cdot 625}{625} = 16 \cdot 16 = 256$

Тогда $\sqrt[4]{256} = \sqrt[4]{4^4} = 4$.

Ответ: 4

в) $\sqrt[4]{54 \cdot 24}$

Как и в пункте а), разложим подкоренные числа на множители для нахождения четвертых степеней.

Разложим числа 54 и 24 на множители:

$54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^3$

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

Подставим разложения в исходное выражение:

$\sqrt[4]{54 \cdot 24} = \sqrt[4]{(2 \cdot 3^3) \cdot (2^3 \cdot 3)}$

Сгруппируем множители с одинаковыми основаниями:

$\sqrt[4]{(2 \cdot 2^3) \cdot (3^3 \cdot 3)} = \sqrt[4]{2^{1+3} \cdot 3^{3+1}} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4}$

Используя свойства корня, получаем:

$\sqrt[4]{2^4 \cdot 3^4} = \sqrt[4]{(2 \cdot 3)^4} = \sqrt[4]{6^4} = 6$

Ответ: 6

г) $\sqrt[6]{\frac{16}{0,25}}$

Сначала упростим выражение под корнем, выполнив деление.

Знаменатель $0,25$ равен обыкновенной дроби $\frac{1}{4}$.

$\frac{16}{0,25} = \frac{16}{1/4} = 16 \cdot 4 = 64$

Теперь исходное выражение можно переписать как:

$\sqrt[6]{64}$

Нужно найти число, которое при возведении в шестую степень дает 64. Таким числом является 2, так как $2^6 = 64$.

Следовательно, $\sqrt[6]{64} = 2$.

Ответ: 2

6.3. а) $\sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{4}$;

б) $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{96}};$

в) $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}$;

г) $\frac{\sqrt[4]{1024}}{\sqrt[4]{4}}$.

а) Для вычисления произведения корней с одинаковыми показателями используется свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$. В данном случае показатель корня $n=4$.
Применяем это свойство к выражению $\sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{4}$:
$\sqrt[4]{4} \cdot \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{4 \cdot 4} = \sqrt[4]{16}$.
Далее, необходимо извлечь корень четвертой степени из 16. Искомое число — это число, которое при возведении в четвертую степень дает 16. Таким числом является 2, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Следовательно, $\sqrt[4]{16} = 2$.
Ответ: 2

б) Для вычисления частного корней с одинаковыми показателями используется свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. В данном случае показатель корня $n=5$.
Применим это свойство к выражению $\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{96}}$:
$\frac{\sqrt[5]{3}}{\sqrt[5]{96}} = \sqrt[5]{\frac{3}{96}}$.
Сократим дробь под знаком корня: $\frac{3}{96} = \frac{1}{32}$.
Получаем выражение: $\sqrt[5]{\frac{1}{32}}$.
Используя свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, получаем:
$\sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{32}}$.
Поскольку $\sqrt[5]{1} = 1$ и $\sqrt[5]{32} = 2$ (так как $2^5 = 32$), то результат равен $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Для вычисления произведения квадратных корней (корней с показателем 2) используется свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
Применим это свойство к выражению $\sqrt{20} \cdot \sqrt{5}$:
$\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{20 \cdot 5} = \sqrt{100}$.
Квадратный корень из 100 равен 10, так как $10^2 = 100$.
Ответ: 10

г) Для вычисления частного корней с одинаковыми показателями используется свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. В данном случае показатель корня $n=4$.
Применим это свойство к выражению $\frac{\sqrt[4]{1024}}{\sqrt[4]{4}}$:
$\frac{\sqrt[4]{1024}}{\sqrt[4]{4}} = \sqrt[4]{\frac{1024}{4}}$.
Выполним деление под знаком корня: $1024 \div 4 = 256$.
Получаем выражение $\sqrt[4]{256}$.
Теперь необходимо найти число, которое при возведении в четвертую степень дает 256. Таким числом является 4, так как $4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 = 256$.
Следовательно, $\sqrt[4]{256} = 4$.
Ответ: 4

6.4. a) $\sqrt[4]{32 \cdot 3} \cdot \sqrt[4]{8 \cdot 27}$;

б) $\sqrt[5]{2^5 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[5]{7^3}$.

а) Для решения данного примера воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Объединим выражения под один корень четвертой степени:

$\sqrt[4]{32 \cdot 3} \cdot \sqrt[4]{8 \cdot 27} = \sqrt[4]{(32 \cdot 3) \cdot (8 \cdot 27)} = \sqrt[4]{32 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 27}$

Чтобы упростить извлечение корня, разложим числа под корнем на множители в виде степеней. Удобно представить их как степени простых чисел:

$32 = 2^5$

$8 = 2^3$

$27 = 3^3$

Подставим эти значения в наше выражение:

$\sqrt[4]{2^5 \cdot 3^1 \cdot 2^3 \cdot 3^3}$

Теперь сгруппируем множители с одинаковыми основаниями, используя правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[4]{(2^5 \cdot 2^3) \cdot (3^1 \cdot 3^3)} = \sqrt[4]{2^{5+3} \cdot 3^{1+3}} = \sqrt[4]{2^8 \cdot 3^4}$

Далее применим свойство корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$ и свойство извлечения корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[4]{2^8} \cdot \sqrt[4]{3^4} = 2^{\frac{8}{4}} \cdot 3^{\frac{4}{4}} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: 12

б) Аналогично предыдущему примеру, используем свойство произведения корней с одинаковым показателем: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

Так как оба корня имеют показатель 5, объединим подкоренные выражения:

$\sqrt[5]{2^5 \cdot 7^2} \cdot \sqrt[5]{7^3} = \sqrt[5]{(2^5 \cdot 7^2) \cdot 7^3}$

Сгруппируем степени с одинаковым основанием 7, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[5]{2^5 \cdot 7^{2+3}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 7^5}$

Используем свойство корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{7^5}$

Так как показатель корня равен показателю степени подкоренного выражения ($\sqrt[n]{a^n} = a$), получаем:

$2 \cdot 7 = 14$.

Ответ: 14

Упростите выражение, считая, что все переменные принимают только положительные значения:

6.5. a) $\sqrt{a^2b^4}$;

б) $\sqrt[3]{a^3b^6}$;

в) $\sqrt[4]{a^4b^8}$;

г) $\sqrt[5]{a^5b^{15}}$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{a^2b^4}$ воспользуемся свойством корня из произведения и свойством корня из степени: $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$ и $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$.
По условию, все переменные принимают только положительные значения ($a > 0$, $b > 0$), поэтому при извлечении корня четной степени из переменной в четной степени модуль не требуется.
$\sqrt{a^2b^4} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b^4} = a^{2/2} \cdot b^{4/2} = a^1 \cdot b^2 = ab^2$.
Другой способ — представить подкоренное выражение в виде полного квадрата:
$\sqrt{a^2b^4} = \sqrt{a^2(b^2)^2} = \sqrt{(ab^2)^2} = ab^2$.
Ответ: $ab^2$.

б)

Упростим выражение $\sqrt[3]{a^3b^6}$. Индекс корня равен 3.
Используем те же свойства, что и в предыдущем пункте.
$\sqrt[3]{a^3b^6} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b^6} = a^{3/3} \cdot b^{6/3} = a^1 \cdot b^2 = ab^2$.
Также можно представить подкоренное выражение в виде полного куба:
$\sqrt[3]{a^3b^6} = \sqrt[3]{a^3(b^2)^3} = \sqrt[3]{(ab^2)^3} = ab^2$.
Ответ: $ab^2$.

в)

Упростим выражение $\sqrt[4]{a^4b^8}$. Индекс корня равен 4.
Поскольку $a > 0$ и $b > 0$, мы можем упростить выражение следующим образом:
$\sqrt[4]{a^4b^8} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b^8} = a^{4/4} \cdot b^{8/4} = a^1 \cdot b^2 = ab^2$.
Представим подкоренное выражение в виде четвертой степени:
$\sqrt[4]{a^4b^8} = \sqrt[4]{a^4(b^2)^4} = \sqrt[4]{(ab^2)^4} = ab^2$.
Ответ: $ab^2$.

г)

Упростим выражение $\sqrt[5]{a^5b^{15}}$. Индекс корня равен 5.
Применяем свойство корня из степени:
$\sqrt[5]{a^5b^{15}} = \sqrt[5]{a^5} \cdot \sqrt[5]{b^{15}} = a^{5/5} \cdot b^{15/5} = a^1 \cdot b^3 = ab^3$.
Представим подкоренное выражение в виде пятой степени:
$\sqrt[5]{a^5b^{15}} = \sqrt[5]{a^5(b^3)^5} = \sqrt[5]{(ab^3)^5} = ab^3$.
Ответ: $ab^3$.

6.6. a) $\sqrt{\frac{49a^4}{169b^2}}$

б) $\sqrt[4]{\frac{16a^4b^8}{c^{12}}}$

в) $\sqrt[3]{\frac{27a^6}{64b^3}}$

г) $\sqrt[5]{\frac{32a^5b^{10}}{243c^{15}}}$

а)

Чтобы упростить выражение $\sqrt{\frac{49a^4}{169b^2}}$, воспользуемся свойством корня из дроби $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$ (при $x \ge 0, y > 0$).

$\sqrt{\frac{49a^4}{169b^2}} = \frac{\sqrt{49a^4}}{\sqrt{169b^2}}$

Теперь упростим числитель и знаменатель по отдельности, используя свойство корня из произведения $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$ и правило извлечения корня из степени $\sqrt[n]{k^m} = k^{m/n}$.

Числитель: $\sqrt{49a^4} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{a^4} = 7 \cdot a^{4/2} = 7a^2$.

Знаменатель: $\sqrt{169b^2} = \sqrt{169} \cdot \sqrt{b^2} = 13 \cdot |b|$. Мы используем модуль $|b|$, так как $b$ может быть отрицательным числом, но результат извлечения квадратного корня должен быть неотрицательным.

Собираем все вместе:

$\frac{7a^2}{13|b|}$

Ответ: $\frac{7a^2}{13|b|}$

б)

Упростим выражение $\sqrt[4]{\frac{16a^4b^8}{c^{12}}}$. Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$.

$\sqrt[4]{\frac{16a^4b^8}{c^{12}}} = \frac{\sqrt[4]{16a^4b^8}}{\sqrt[4]{c^{12}}}$

Упростим числитель и знаменатель.

Числитель: $\sqrt[4]{16a^4b^8} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b^8} = 2 \cdot |a| \cdot b^{8/4} = 2|a|b^2$. Так как корень четной степени (4), для переменной $a$ в нечетной степени после извлечения корня ($\sqrt[4]{a^4} = a^1$) требуется модуль. Для $b^2$ модуль не нужен, так как $b^2$ всегда неотрицательно.

Знаменатель: $\sqrt[4]{c^{12}} = \sqrt[4]{(c^3)^4} = |c^3|$. Модуль необходим, так как корень четной степени, а $c^3$ может быть отрицательным.

Собираем все вместе:

$\frac{2|a|b^2}{|c^3|}$

Ответ: $\frac{2|a|b^2}{|c^3|}$

в)

Упростим выражение $\sqrt[3]{\frac{27a^6}{64b^3}}$. Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$.

$\sqrt[3]{\frac{27a^6}{64b^3}} = \frac{\sqrt[3]{27a^6}}{\sqrt[3]{64b^3}}$

Так как корень нечетной степени (кубический), знак выражения сохраняется, и модуль не используется.

Числитель: $\sqrt[3]{27a^6} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{a^6} = 3 \cdot a^{6/3} = 3a^2$.

Знаменатель: $\sqrt[3]{64b^3} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{b^3} = 4 \cdot b^{3/3} = 4b$.

Собираем все вместе:

$\frac{3a^2}{4b}$

Ответ: $\frac{3a^2}{4b}$

г)

Упростим выражение $\sqrt[5]{\frac{32a^5b^{10}}{243c^{15}}}$. Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$.

$\sqrt[5]{\frac{32a^5b^{10}}{243c^{15}}} = \frac{\sqrt[5]{32a^5b^{10}}}{\sqrt[5]{243c^{15}}}$

Корень нечетной степени (5), поэтому модуль не требуется.

Числитель: $\sqrt[5]{32a^5b^{10}} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{a^5} \cdot \sqrt[5]{b^{10}} = 2 \cdot a^{5/5} \cdot b^{10/5} = 2ab^2$.

Знаменатель: $\sqrt[5]{243c^{15}} = \sqrt[5]{243} \cdot \sqrt[5]{c^{15}} = 3 \cdot c^{15/5} = 3c^3$.

Собираем все вместе:

$\frac{2ab^2}{3c^3}$

Ответ: $\frac{2ab^2}{3c^3}$