Страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Сформулируйте определение корня $n$-й степени из неотрицательного числа.

1. Корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число, которое при возведении в $n$-ю степень дает число $a$.
Здесь $n$ — натуральное число, $n \ge 2$. Такой корень также называют арифметическим корнем $n$-й степени и обозначают $\sqrt[n]{a}$.

Формально, равенство $\sqrt[n]{a} = x$ справедливо тогда и только тогда, когда выполняются два условия:
1) $x \ge 0$ (корень — неотрицательное число);
2) $x^n = a$.

Например, $\sqrt{25} = 5$, так как выполнены оба условия: $5 \ge 0$ и $5^2 = 25$.
Несмотря на то, что $(-5)^2$ также равно $25$, число $-5$ не является арифметическим квадратным корнем из $25$, поскольку оно отрицательно.

Ответ: Корнем $n$-й степени из неотрицательного числа $a$ (при $n \in \mathbb{N}, n \ge 2$) называется такое неотрицательное число $x$, что выполняется равенство $x^n = a$.

2. Сформулируйте определение корня нечётной степени из отрицательного числа.

2.

Для формулировки определения корня нечётной степени из отрицательного числа необходимо рассмотреть свойства степенной функции с нечётным показателем.

Вспомним общее определение: корнем n-ой степени из числа a ($\sqrt[n]{a}$) называется такое число b, которое при возведении в степень n даёт число a. Это записывается так: $\sqrt[n]{a} = b \Leftrightarrow b^n = a$.

Теперь рассмотрим конкретный случай, когда показатель степени n — это нечётное натуральное число, большее единицы (т. е. $n = 3, 5, 7, \dots$), а подкоренное выражение a — отрицательное число ($a < 0$).

Степенная функция $y=x^n$ с нечётным натуральным показателем n обладает следующими свойствами:

• Она определена для всех действительных чисел.
• Её область значений — это множество всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$.
• Она является строго возрастающей на всей числовой оси.

Из этих свойств следует, что для любого действительного числа a, будь оно положительным, отрицательным или равным нулю, уравнение $x^n=a$ (при нечётном n) всегда имеет ровно один действительный корень.

Если число a отрицательно, то корень b также должен быть отрицательным, поскольку нечётная степень положительного числа — положительна, а нечётная степень отрицательного числа — отрицательна. Например, $(-2)^3 = -8$, в то время как $2^3 = 8$.

На основании этого формулируется следующее определение:

Определение: Корнем нечётной степени n из отрицательного числа a называется такое отрицательное число b, n-ая степень которого равна a.

Формальная запись:

Пусть $n$ — нечётное натуральное число ($n = 2k + 1$, где $k \in \mathbb{N}$), и $a$ — отрицательное действительное число ($a < 0$). Тогда корень нечётной степени n из a, обозначаемый как $\sqrt[n]{a}$, — это единственное действительное число b, удовлетворяющее равенству $b^n = a$. При этом число b также будет отрицательным ($b < 0$).

Пример:

Найдём корень кубический из -125, то есть $\sqrt[3]{-125}$.

Согласно определению, мы ищем такое число b, что $b^3 = -125$.

Этим числом является -5, поскольку $(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot (-5) = -125$.

Следовательно, $\sqrt[3]{-125} = -5$.

Из определения вытекает важное свойство: для любого положительного числа $a > 0$ и любого нечётного натурального показателя n справедливо равенство: $\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}$.

Ответ: Корнем нечётной степени $n$ из отрицательного числа $a$ называется такое отрицательное число $b$, что его $n$-ая степень равна $a$. Формально: для нечётного натурального $n > 1$ и $a < 0$, выражение $\sqrt[n]{a} = b$ равносильно одновременному выполнению условий $b < 0$ и $b^n = a$.

Приведите радикалы к одинаковому показателю корня:

6.15. а) $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[6]{3}$;

б) $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[3]{9}$;

в) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[12]{8}$;

г) $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[5]{2}$.

Чтобы привести радикалы к одинаковому показателю корня, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) показателей корней. Затем, используя основное свойство корня $\sqrt[n]{a} = \sqrt[nk]{a^k}$, привести каждый радикал к этому общему показателю.

а) $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[6]{3}$

Показатели корней равны 3 и 6. Наименьшее общее кратное чисел 3 и 6 равно 6. Это будет новый общий показатель корня.

Приведем первый радикал $\sqrt[3]{2}$ к показателю 6. Для этого домножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 2 ($6 / 3 = 2$): $\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 2]{2^2} = \sqrt[6]{4}$.

Второй радикал $\sqrt[6]{3}$ уже имеет показатель 6, поэтому он остается без изменений.

Ответ: $\sqrt[6]{4}$ и $\sqrt[6]{3}$.

б) $\sqrt[4]{5}$ и $\sqrt[3]{9}$

Показатели корней равны 4 и 3. Наименьшее общее кратное чисел 4 и 3 равно 12. Это будет новый общий показатель корня.

Приведем первый радикал $\sqrt[4]{5}$ к показателю 12. Для этого домножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 3 ($12 / 4 = 3$): $\sqrt[4]{5} = \sqrt[4 \cdot 3]{5^3} = \sqrt[12]{125}$.

Приведем второй радикал $\sqrt[3]{9}$ к показателю 12. Для этого домножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 4 ($12 / 3 = 4$): $\sqrt[3]{9} = \sqrt[3 \cdot 4]{9^4} = \sqrt[12]{6561}$.

Ответ: $\sqrt[12]{125}$ и $\sqrt[12]{6561}$.

в) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[12]{8}$

Показатели корней равны 4 и 12. Наименьшее общее кратное чисел 4 и 12 равно 12. Это будет новый общий показатель корня.

Приведем первый радикал $\sqrt[4]{7}$ к показателю 12. Для этого домножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 3 ($12 / 4 = 3$): $\sqrt[4]{7} = \sqrt[4 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[12]{343}$.

Второй радикал $\sqrt[12]{8}$ уже имеет показатель 12, поэтому он остается без изменений.

Ответ: $\sqrt[12]{343}$ и $\sqrt[12]{8}$.

г) $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[5]{2}$

Показатели корней равны 3 и 5. Наименьшее общее кратное чисел 3 и 5 равно 15. Это будет новый общий показатель корня.

Приведем первый радикал $\sqrt[3]{3}$ к показателю 15. Для этого домножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 5 ($15 / 3 = 5$): $\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 5]{3^5} = \sqrt[15]{243}$.

Приведем второй радикал $\sqrt[5]{2}$ к показателю 15. Для этого домножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 3 ($15 / 5 = 3$): $\sqrt[5]{2} = \sqrt[5 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[15]{8}$.

Ответ: $\sqrt[15]{243}$ и $\sqrt[15]{8}$.

6.16. а) $\sqrt{3}$; $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{7}$;

б) $\sqrt{2}$; $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[4]{4}$;

в) $\sqrt{6}$; $\sqrt[4]{17}$ и $\sqrt[8]{40}$;

г) $\sqrt[5]{3}$; $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{100}$.

а) Чтобы сравнить числа $\sqrt{3}$, $\sqrt[3]{4}$ и $\sqrt[6]{7}$, необходимо привести их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 2, 3 и 6 равно 6.

Приведем каждый корень к показателю 6:

$\sqrt{3} = \sqrt[2 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[6]{27}$

$\sqrt[3]{4} = \sqrt[3 \cdot 2]{4^2} = \sqrt[6]{16}$

Число $\sqrt[6]{7}$ уже имеет нужный показатель.

Теперь сравним подкоренные выражения: 7, 16 и 27. Поскольку функция $y=\sqrt[6]{x}$ является возрастающей, чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня.

Так как $7 < 16 < 27$, то $\sqrt[6]{7} < \sqrt[6]{16} < \sqrt[6]{27}$.

Следовательно, $\sqrt[6]{7} < \sqrt[3]{4} < \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt[6]{7} < \sqrt[3]{4} < \sqrt{3}$.

б) Сравним числа $\sqrt{2}$, $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[4]{4}$. Приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 2, 3 и 4 равно 12.

Приведем каждый корень к показателю 12:

$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 6]{2^6} = \sqrt[12]{64}$

$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 4]{3^4} = \sqrt[12]{81}$

$\sqrt[4]{4} = \sqrt[4 \cdot 3]{4^3} = \sqrt[12]{64}$

Сравним подкоренные выражения: 64, 81 и 64.

Так как $64 = 64 < 81$, то $\sqrt[12]{64} = \sqrt[12]{64} < \sqrt[12]{81}$.

Следовательно, $\sqrt{2} = \sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}$.

Ответ: $\sqrt{2} = \sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}$.

в) Сравним числа $\sqrt{6}$, $\sqrt[4]{17}$ и $\sqrt[8]{40}$. Приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 2, 4 и 8 равно 8.

Приведем каждый корень к показателю 8:

$\sqrt{6} = \sqrt[2 \cdot 4]{6^4} = \sqrt[8]{1296}$

$\sqrt[4]{17} = \sqrt[4 \cdot 2]{17^2} = \sqrt[8]{289}$

Число $\sqrt[8]{40}$ уже имеет нужный показатель.

Сравним подкоренные выражения: 1296, 289 и 40.

Так как $40 < 289 < 1296$, то $\sqrt[8]{40} < \sqrt[8]{289} < \sqrt[8]{1296}$.

Следовательно, $\sqrt[8]{40} < \sqrt[4]{17} < \sqrt{6}$.

Ответ: $\sqrt[8]{40} < \sqrt[4]{17} < \sqrt{6}$.

г) Сравним числа $\sqrt[5]{3}$, $\sqrt[3]{2}$ и $\sqrt[15]{100}$. Приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 5, 3 и 15 равно 15.

Приведем каждый корень к показателю 15:

$\sqrt[5]{3} = \sqrt[5 \cdot 3]{3^3} = \sqrt[15]{27}$

$\sqrt[3]{2} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[15]{32}$

Число $\sqrt[15]{100}$ уже имеет нужный показатель.

Сравним подкоренные выражения: 27, 32 и 100.

Так как $27 < 32 < 100$, то $\sqrt[15]{27} < \sqrt[15]{32} < \sqrt[15]{100}$.

Следовательно, $\sqrt[5]{3} < \sqrt[3]{2} < \sqrt[15]{100}$.

Ответ: $\sqrt[5]{3} < \sqrt[3]{2} < \sqrt[15]{100}$.

6.17. Сравните числа:

а) $\sqrt[4]{26}$ и $\sqrt{5}$;

б) $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt{3}$;

в) $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[6]{47}$;

г) $-\sqrt[4]{4}$ и $-\sqrt[3]{3}$.

а) Чтобы сравнить числа $\sqrt[4]{26}$ и $\sqrt{5}$, приведем их к общему показателю корня. Наименьшим общим кратным для показателей 4 и 2 является 4.

Представим $\sqrt{5}$ как корень четвертой степени:
$\sqrt{5} = \sqrt[2]{5} = \sqrt[4]{5^2} = \sqrt[4]{25}$.

Теперь сравним $\sqrt[4]{26}$ и $\sqrt[4]{25}$. Поскольку функция $y = \sqrt[n]{x}$ (при $x \ge 0$) является возрастающей, то большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Так как $26 > 25$, то $\sqrt[4]{26} > \sqrt[4]{25}$.

Следовательно, $\sqrt[4]{26} > \sqrt{5}$.

Ответ: $\sqrt[4]{26} > \sqrt{5}$.

б) Сравним числа $\sqrt[3]{5}$ и $\sqrt{3}$. Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 3 и 2 равно 6.

Приведем оба корня к шестой степени:
$\sqrt[3]{5} = \sqrt[6]{5^2} = \sqrt[6]{25}$
$\sqrt{3} = \sqrt[2]{3} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}$

Сравниваем $\sqrt[6]{25}$ и $\sqrt[6]{27}$. Поскольку $25 < 27$, то $\sqrt[6]{25} < \sqrt[6]{27}$.

Следовательно, $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{5} < \sqrt{3}$.

в) Сравним числа $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[6]{47}$. Общий показатель корня для них 6.

Приведем первый корень к показателю 6:
$\sqrt[3]{7} = \sqrt[6]{7^2} = \sqrt[6]{49}$.

Теперь сравним $\sqrt[6]{49}$ и $\sqrt[6]{47}$. Так как $49 > 47$, то $\sqrt[6]{49} > \sqrt[6]{47}$.

Следовательно, $\sqrt[3]{7} > \sqrt[6]{47}$.

Ответ: $\sqrt[3]{7} > \sqrt[6]{47}$.

г) Чтобы сравнить отрицательные числа $-\sqrt[4]{4}$ и $-\sqrt[3]{3}$, сначала сравним их положительные модули: $\sqrt[4]{4}$ и $\sqrt[3]{3}$.

Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 4 и 3 равно 12.

Преобразуем оба числа:
$\sqrt[4]{4} = \sqrt[12]{4^3} = \sqrt[12]{64}$
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[12]{3^4} = \sqrt[12]{81}$

Сравниваем $\sqrt[12]{64}$ и $\sqrt[12]{81}$. Поскольку $64 < 81$, то $\sqrt[12]{64} < \sqrt[12]{81}$, а значит $\sqrt[4]{4} < \sqrt[3]{3}$.

Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: если $a < b$ (где $a, b > 0$), то $-a > -b$.

Следовательно, $-\sqrt[4]{4} > -\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $-\sqrt[4]{4} > -\sqrt[3]{3}$.

Преобразуйте заданное выражение к виду $\sqrt[n]{A}$:

6.18. а) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2}$;

б) $\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{3}$;

в) $\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[6]{3}$;

г) $\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[6]{3}$.

а) Чтобы умножить корни с разными показателями, необходимо привести их к общему показателю. Для корней $\sqrt{2}$ (корень 2-й степени) и $\sqrt[4]{2}$ (корень 4-й степени) наименьший общий показатель равен 4.
Приведем первый множитель к знаменателю 4:
$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 2]{2^2} = \sqrt[4]{4}$.
Теперь выполним умножение корней с одинаковым показателем:
$\sqrt{4} \cdot \sqrt[4]{2} = \sqrt[4]{4 \cdot 2} = \sqrt[4]{8}$.
Альтернативный способ заключается в использовании степеней с рациональным показателем:
$\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = 2^{\frac{2}{4} + \frac{1}{4}} = 2^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{2^3} = \sqrt[4]{8}$.
Ответ: $\sqrt[4]{8}$

б) Для умножения $\sqrt{2}$ и $\sqrt[3]{3}$ приведем их к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 2 и 3 равно 6.
Приведем каждый корень к показателю 6:
$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8}$.
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9}$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$\sqrt[6]{8} \cdot \sqrt[6]{9} = \sqrt[6]{8 \cdot 9} = \sqrt[6]{72}$.
Ответ: $\sqrt[6]{72}$

в) Приведем множители $\sqrt[3]{3}$ и $\sqrt[6]{3}$ к общему показателю. Наименьший общий показатель для 3 и 6 — это 6.
Приведем первый корень к показателю 6:
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9}$.
Выполним умножение:
$\sqrt[6]{9} \cdot \sqrt[6]{3} = \sqrt[6]{9 \cdot 3} = \sqrt[6]{27}$.
Полученное выражение можно упростить:
$\sqrt[6]{27} = \sqrt[6]{3^3} = 3^{\frac{3}{6}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$

г) Для умножения $\sqrt[4]{2}$ и $\sqrt[6]{3}$ найдем их общий показатель. Наименьшее общее кратное для 4 и 6 равно 12.
Приведем каждый корень к показателю 12:
$\sqrt[4]{2} = \sqrt[4 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[12]{8}$.
$\sqrt[6]{3} = \sqrt[6 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[12]{9}$.
Теперь перемножим их:
$\sqrt[12]{8} \cdot \sqrt[12]{9} = \sqrt[12]{8 \cdot 9} = \sqrt[12]{72}$.
Ответ: $\sqrt[12]{72}$

6.19. a) $\sqrt[4]{3b^3} \cdot \sqrt{3b}$

б) $\sqrt{2a} \cdot \sqrt[6]{4a^5}$

В) $\sqrt{a} \cdot \sqrt[6]{a^5}$

Г) $\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[6]{3y^3}$

а) Чтобы умножить корни с разными показателями, необходимо привести их к общему показателю. Общий показатель для корня 4-й степени ($\sqrt[4]{3b^3}$) и квадратного корня ($\sqrt{3b}$, корень 2-й степени) — это наименьшее общее кратное их показателей, то есть НОК(4, 2) = 4.
Первый множитель уже имеет показатель 4.
Приведем второй множитель $\sqrt{3b}$ к показателю 4. Для этого нужно показатель корня (2) и степень подкоренного выражения (1) умножить на 2:
$\sqrt{3b} = \sqrt[2]{(3b)^1} = \sqrt[2 \cdot 2]{(3b)^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{(3b)^2} = \sqrt[4]{9b^2}$.
Теперь можно перемножить корни с одинаковым показателем:
$\sqrt[4]{3b^3} \cdot \sqrt[4]{9b^2} = \sqrt[4]{(3b^3) \cdot (9b^2)} = \sqrt[4]{27b^{3+2}} = \sqrt[4]{27b^5}$.
Упростим полученное выражение, вынеся множитель из-под знака корня. Представим $b^5$ как $b^4 \cdot b$:
$\sqrt[4]{27b^5} = \sqrt[4]{27 \cdot b^4 \cdot b} = \sqrt[4]{b^4} \cdot \sqrt[4]{27b} = b\sqrt[4]{27b}$.
(Данное преобразование справедливо при $b \ge 0$).
Ответ: $b\sqrt[4]{27b}$.

б) Требуется умножить $\sqrt{2a}$ (корень 2-й степени) и $\sqrt[6]{4a^5}$ (корень 6-й степени). Приведем их к общему показателю, равному НОК(2, 6) = 6.
Приведем первый множитель $\sqrt{2a}$ к показателю 6. Для этого показатель корня (2) и степень подкоренного выражения (1) умножим на 3:
$\sqrt{2a} = \sqrt[2]{(2a)^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{(2a)^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{(2a)^3} = \sqrt[6]{8a^3}$.
Второй множитель уже имеет показатель 6.
Выполним умножение:
$\sqrt[6]{8a^3} \cdot \sqrt[6]{4a^5} = \sqrt[6]{(8a^3) \cdot (4a^5)} = \sqrt[6]{32a^{3+5}} = \sqrt[6]{32a^8}$.
Упростим, вынеся множитель из-под знака корня. Представим $a^8$ как $a^6 \cdot a^2$:
$\sqrt[6]{32a^8} = \sqrt[6]{32 \cdot a^6 \cdot a^2} = \sqrt[6]{a^6} \cdot \sqrt[6]{32a^2} = a\sqrt[6]{32a^2}$.
(Данное преобразование справедливо при $a \ge 0$).
Ответ: $a\sqrt[6]{32a^2}$.

в) Умножим $\sqrt{a}$ и $\sqrt[6]{a^5}$. Общий показатель корней — НОК(2, 6) = 6.
Приведем $\sqrt{a}$ к показателю 6:
$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{a^3}$.
Теперь выполним умножение:
$\sqrt[6]{a^3} \cdot \sqrt[6]{a^5} = \sqrt[6]{a^3 \cdot a^5} = \sqrt[6]{a^{3+5}} = \sqrt[6]{a^8}$.
Вынесем множитель из-под знака корня:
$\sqrt[6]{a^8} = \sqrt[6]{a^6 \cdot a^2} = \sqrt[6]{a^6} \cdot \sqrt[6]{a^2} = a\sqrt[6]{a^2}$.
Полученное выражение можно упростить, сократив показатель корня (6) и степень подкоренного выражения (2) на их общий делитель 2:
$a\sqrt[6]{a^2} = a\sqrt[6/2]{a^{2/2}} = a\sqrt[3]{a^1} = a\sqrt[3]{a}$.
(Данное преобразование справедливо при $a \ge 0$).
Ответ: $a\sqrt[3]{a}$.

г) Умножим $\sqrt[3]{y}$ и $\sqrt[6]{3y^3}$. Общий показатель корней — НОК(3, 6) = 6.
Приведем первый множитель $\sqrt[3]{y}$ к показателю 6:
$\sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{y^1} = \sqrt[3 \cdot 2]{y^{1 \cdot 2}} = \sqrt[6]{y^2}$.
Второй множитель уже имеет показатель 6.
Выполним умножение:
$\sqrt[6]{y^2} \cdot \sqrt[6]{3y^3} = \sqrt[6]{y^2 \cdot 3y^3} = \sqrt[6]{3y^{2+3}} = \sqrt[6]{3y^5}$.
Степень подкоренного выражения (5) меньше показателя корня (6), поэтому вынести множитель или упростить корень дальше нельзя.
(Выражение определено при $y \ge 0$).
Ответ: $\sqrt[6]{3y^5}$.

6.20. a) $\sqrt[3]{ab} \cdot \sqrt[6]{4ab}$;

б) $\sqrt[5]{a^4b^3} \cdot \sqrt[10]{a^5b^2}$;

В) $\sqrt[6]{5ab^2} \cdot \sqrt[3]{5a^3b^4}$;

Г) $\sqrt[8]{6xz} \cdot \sqrt[6]{xz^5}$.

а) Чтобы умножить корни с разными показателями, необходимо привести их к общему показателю. Наименьший общий показатель для корней 3-й и 6-й степени — это 6.
Приведем первый множитель $\sqrt[3]{ab}$ к показателю 6. Для этого и показатель корня, и показатель подкоренного выражения умножим на 2:
$\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3 \cdot 2]{(ab)^2} = \sqrt[6]{a^2b^2}$.
Теперь выполним умножение корней с одинаковым показателем 6:
$\sqrt[6]{a^2b^2} \cdot \sqrt[6]{4ab} = \sqrt[6]{(a^2b^2) \cdot (4ab)}$.
Упростим выражение под корнем, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$\sqrt[6]{4 \cdot a^2 \cdot a \cdot b^2 \cdot b} = \sqrt[6]{4a^{2+1}b^{2+1}} = \sqrt[6]{4a^3b^3}$.
Ответ: $\sqrt[6]{4a^3b^3}$.

б) Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное для показателей 5 и 10 равно 10.
Преобразуем первый множитель $\sqrt[5]{a^4b^3}$, приведя его к показателю 10:
$\sqrt[5]{a^4b^3} = \sqrt[5 \cdot 2]{(a^4b^3)^2} = \sqrt[10]{a^{4 \cdot 2}b^{3 \cdot 2}} = \sqrt[10]{a^8b^6}$.
Теперь умножим корни с одинаковым показателем:
$\sqrt[10]{a^8b^6} \cdot \sqrt[10]{a^5b^2} = \sqrt[10]{(a^8b^6) \cdot (a^5b^2)}$.
Упростим подкоренное выражение:
$\sqrt[10]{a^{8+5}b^{6+2}} = \sqrt[10]{a^{13}b^8}$.
Вынесем множитель из-под знака корня, представив $a^{13}$ как $a^{10} \cdot a^3$. При условии, что $a \ge 0$:
$\sqrt[10]{a^{10} \cdot a^3 \cdot b^8} = \sqrt[10]{a^{10}} \cdot \sqrt[10]{a^3b^8} = a\sqrt[10]{a^3b^8}$.
Ответ: $a\sqrt[10]{a^3b^8}$.

в) Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное для 6 и 3 равно 6.
Преобразуем второй множитель $\sqrt[3]{5a^3b^4}$, приведя его к показателю 6:
$\sqrt[3]{5a^3b^4} = \sqrt[3 \cdot 2]{(5a^3b^4)^2} = \sqrt[6]{5^2 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{4 \cdot 2}} = \sqrt[6]{25a^6b^8}$.
Выполним умножение:
$\sqrt[6]{5ab^2} \cdot \sqrt[6]{25a^6b^8} = \sqrt[6]{(5ab^2) \cdot (25a^6b^8)}$.
Упростим выражение под корнем:
$\sqrt[6]{(5 \cdot 25) \cdot a^{1+6} \cdot b^{2+8}} = \sqrt[6]{125a^7b^{10}}$.
Вынесем множители из-под знака корня. Представим $a^7 = a^6 \cdot a$ и $b^{10} = b^6 \cdot b^4$. При условии, что $a \ge 0, b \ge 0$:
$\sqrt[6]{125 \cdot a^6 \cdot a \cdot b^6 \cdot b^4} = \sqrt[6]{a^6b^6} \cdot \sqrt[6]{125ab^4} = ab\sqrt[6]{125ab^4}$.
Ответ: $ab\sqrt[6]{125ab^4}$.

г) Найдем наименьший общий показатель для 8 и 6. Наименьшее общее кратное чисел 8 и 6 равно 24.
Приведем оба множителя к корню с показателем 24.
Для первого множителя: $\sqrt[8]{6xz} = \sqrt[8 \cdot 3]{(6xz)^3} = \sqrt[24]{6^3x^3z^3} = \sqrt[24]{216x^3z^3}$.
Для второго множителя: $\sqrt[6]{xz^5} = \sqrt[6 \cdot 4]{(xz^5)^4} = \sqrt[24]{x^4(z^5)^4} = \sqrt[24]{x^4z^{20}}$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$\sqrt[24]{216x^3z^3} \cdot \sqrt[24]{x^4z^{20}} = \sqrt[24]{(216x^3z^3) \cdot (x^4z^{20})}$.
Упростим подкоренное выражение:
$\sqrt[24]{216 \cdot x^{3+4} \cdot z^{3+20}} = \sqrt[24]{216x^7z^{23}}$.
Поскольку степени всех множителей под корнем (у 216 степень 1, если рассматривать как $216^1$, или степень 3, если как $6^3$) меньше показателя корня 24, дальнейшее упрощение (вынесение множителей) невозможно.
Ответ: $\sqrt[24]{216x^7z^{23}}$.

6.21. a) $\sqrt[4]{a^3} : \sqrt{a}$;

Б) $\sqrt[12]{a^2b^3} : \sqrt[6]{ab^4}$;

В) $\sqrt[6]{a^5} : \sqrt[4]{a}$;

Г) $\sqrt[4]{a^3b^5} : \sqrt[5]{ab}$.

а) $\sqrt[4]{a^3} : \sqrt{a}$

Чтобы выполнить деление корней с разными показателями, необходимо привести их к общему показателю. Наименьший общий показатель для корней 4-й и 2-й степени равен их наименьшему общему кратному (НОК).

НОК(4, 2) = 4.

Первый корень $\sqrt[4]{a^3}$ уже имеет показатель 4. Приведем второй корень $\sqrt{a}$ к показателю 4. Для этого умножим показатель корня (2) и показатель степени подкоренного выражения (1) на 2:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{a^2}$.

Теперь можно выполнить деление корней с одинаковыми показателями, разделив их подкоренные выражения:

$\sqrt[4]{a^3} : \sqrt[4]{a^2} = \sqrt[4]{\frac{a^3}{a^2}} = \sqrt[4]{a^{3-2}} = \sqrt[4]{a}$.

Ответ: $\sqrt[4]{a}$.

б) $\sqrt[12]{a^2b^3} : \sqrt[6]{ab^4}$

Приведем корни к общему показателю. НОК для показателей 12 и 6 равно 12.

Первый корень $\sqrt[12]{a^2b^3}$ уже имеет нужный показатель.

Приведем второй корень $\sqrt[6]{ab^4}$ к показателю 12. Для этого умножим показатель корня (6) и степень подкоренного выражения (1) на 2:

$\sqrt[6]{ab^4} = \sqrt[6 \cdot 2]{(ab^4)^2} = \sqrt[12]{a^2(b^4)^2} = \sqrt[12]{a^2b^8}$.

Выполним деление:

$\sqrt[12]{a^2b^3} : \sqrt[12]{a^2b^8} = \sqrt[12]{\frac{a^2b^3}{a^2b^8}} = \sqrt[12]{a^{2-2}b^{3-8}} = \sqrt[12]{a^0b^{-5}} = \sqrt[12]{\frac{1}{b^5}}$.

Ответ: $\sqrt[12]{\frac{1}{b^5}}$.

в) $\sqrt[6]{a^5} : \sqrt[4]{a}$

Приведем корни к общему показателю. НОК для показателей 6 и 4 равно 12.

Приведем первый корень $\sqrt[6]{a^5}$ к показателю 12, умножив показатель корня и степень подкоренного выражения на 2:

$\sqrt[6]{a^5} = \sqrt[6 \cdot 2]{a^{5 \cdot 2}} = \sqrt[12]{a^{10}}$.

Приведем второй корень $\sqrt[4]{a}$ к показателю 12, умножив показатель корня и степень подкоренного выражения на 3:

$\sqrt[4]{a} = \sqrt[4 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[12]{a^3}$.

Выполним деление:

$\sqrt[12]{a^{10}} : \sqrt[12]{a^3} = \sqrt[12]{\frac{a^{10}}{a^3}} = \sqrt[12]{a^{10-3}} = \sqrt[12]{a^7}$.

Ответ: $\sqrt[12]{a^7}$.

г) $\sqrt[4]{a^3b^5} : \sqrt[5]{ab}$

Приведем корни к общему показателю. НОК для показателей 4 и 5 равно 20.

Приведем первый корень к показателю 20, умножив показатель корня и степень подкоренного выражения на 5:

$\sqrt[4]{a^3b^5} = \sqrt[4 \cdot 5]{(a^3b^5)^5} = \sqrt[20]{(a^3)^5(b^5)^5} = \sqrt[20]{a^{15}b^{25}}$.

Приведем второй корень к показателю 20, умножив показатель корня и степень подкоренного выражения на 4:

$\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5 \cdot 4]{(ab)^4} = \sqrt[20]{a^4b^4}$.

Выполним деление:

$\sqrt[20]{a^{15}b^{25}} : \sqrt[20]{a^4b^4} = \sqrt[20]{\frac{a^{15}b^{25}}{a^4b^4}} = \sqrt[20]{a^{15-4}b^{25-4}} = \sqrt[20]{a^{11}b^{21}}$.

Можно упростить выражение, вынеся множитель из-под знака корня:

$\sqrt[20]{a^{11}b^{21}} = \sqrt[20]{a^{11} \cdot b^{20} \cdot b^1} = \sqrt[20]{b^{20}} \cdot \sqrt[20]{a^{11}b} = b\sqrt[20]{a^{11}b}$.

Ответ: $b\sqrt[20]{a^{11}b}$.

6.22. a) $ \sqrt[6]{xy^2z^3} \cdot \sqrt[12]{x^3y^2z}; $

Б) $ \sqrt[3]{s^4p^3t^5} : \sqrt[15]{st^2}; $

В) $ \sqrt[4]{a^2bc^5} \cdot \sqrt[5]{a^3b^5c^2}; $

Г) $ \sqrt[9]{k^4l^3m^6} : \sqrt[3]{l^6m}. $

а) $\sqrt[6]{xy^2z^3} \cdot \sqrt[12]{x^3y^2z}$

Для умножения корней с разными показателями (6 и 12) необходимо привести их к общему наименьшему показателю. Наименьшее общее кратное для 6 и 12 равно 12.
Приведем первый корень к показателю 12, для этого показатель корня и показатель подкоренного выражения умножим на 2:
$\sqrt[6]{xy^2z^3} = \sqrt[6 \cdot 2]{(xy^2z^3)^2} = \sqrt[12]{x^2y^{2 \cdot 2}z^{3 \cdot 2}} = \sqrt[12]{x^2y^4z^6}$.
Теперь выполним умножение корней с одинаковым показателем 12. Для этого перемножим подкоренные выражения:
$\sqrt[12]{x^2y^4z^6} \cdot \sqrt[12]{x^3y^2z} = \sqrt[12]{(x^2y^4z^6) \cdot (x^3y^2z)}$.
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим выражение под корнем:
$\sqrt[12]{x^{2+3}y^{4+2}z^{6+1}} = \sqrt[12]{x^5y^6z^7}$.
Дальнейшее упрощение невозможно, так как нет общего делителя у показателя корня (12) и показателей степеней переменных (5, 6, 7), который был бы больше 1.

Ответ: $\sqrt[12]{x^5y^6z^7}$

б) $\sqrt[3]{s^4p^3t^5} : \sqrt[15]{st^2}$

Для выполнения деления приведем корни к общему показателю. НОК(3, 15) = 15.
Приведем первый корень к показателю 15, умножив показатель корня и степень подкоренного выражения на 5:
$\sqrt[3]{s^4p^3t^5} = \sqrt[3 \cdot 5]{(s^4p^3t^5)^5} = \sqrt[15]{s^{4 \cdot 5}p^{3 \cdot 5}t^{5 \cdot 5}} = \sqrt[15]{s^{20}p^{15}t^{25}}$.
Теперь выполним деление корней с одинаковым показателем 15. Для этого разделим подкоренные выражения:
$\sqrt[15]{s^{20}p^{15}t^{25}} : \sqrt[15]{st^2} = \sqrt[15]{\frac{s^{20}p^{15}t^{25}}{st^2}}$.
Используя свойство степеней $a^m / a^n = a^{m-n}$, упростим выражение под корнем:
$\sqrt[15]{s^{20-1}p^{15}t^{25-2}} = \sqrt[15]{s^{19}p^{15}t^{23}}$.
Упростим результат, вынеся множители из-под знака корня. Для этого представим степени в виде произведения:
$\sqrt[15]{s^{15}s^4 \cdot p^{15} \cdot t^{15}t^8} = s \cdot p \cdot t \cdot \sqrt[15]{s^4t^8} = pst\sqrt[15]{s^4t^8}$.

Ответ: $pst\sqrt[15]{s^4t^8}$

в) $\sqrt[4]{a^2bc^5} \cdot \sqrt[5]{a^3b^5c^2}$

Приведем корни к общему показателю. НОК(4, 5) = 20.
Приведем первый корень к показателю 20 (умножаем на 5):
$\sqrt[4]{a^2bc^5} = \sqrt[4 \cdot 5]{(a^2bc^5)^5} = \sqrt[20]{a^{10}b^5c^{25}}$.
Приведем второй корень к показателю 20 (умножаем на 4):
$\sqrt[5]{a^3b^5c^2} = \sqrt[5 \cdot 4]{(a^3b^5c^2)^4} = \sqrt[20]{a^{12}b^{20}c^8}$.
Перемножим полученные корни:
$\sqrt[20]{a^{10}b^5c^{25}} \cdot \sqrt[20]{a^{12}b^{20}c^8} = \sqrt[20]{a^{10+12}b^{5+20}c^{25+8}} = \sqrt[20]{a^{22}b^{25}c^{33}}$.
Упростим выражение, вынеся множители из-под знака корня:
$\sqrt[20]{a^{22}b^{25}c^{33}} = \sqrt[20]{(a^{20}a^2) \cdot (b^{20}b^5) \cdot (c^{20}c^{13})} = a \cdot b \cdot c \cdot \sqrt[20]{a^2b^5c^{13}} = abc\sqrt[20]{a^2b^5c^{13}}$.

Ответ: $abc\sqrt[20]{a^2b^5c^{13}}$

г) $\sqrt[9]{k^4l^3m^6} : \sqrt[3]{l^6m}$

Приведем корни к общему показателю. НОК(9, 3) = 9.
Приведем второй корень к показателю 9, умножив показатель корня и степень подкоренного выражения на 3:
$\sqrt[3]{l^6m} = \sqrt[3 \cdot 3]{(l^6m)^3} = \sqrt[9]{l^{18}m^3}$.
Выполним деление корней:
$\sqrt[9]{k^4l^3m^6} : \sqrt[9]{l^{18}m^3} = \sqrt[9]{\frac{k^4l^3m^6}{l^{18}m^3}}$.
Упростим подкоренное выражение:
$\sqrt[9]{\frac{k^4m^{6-3}}{l^{18-3}}} = \sqrt[9]{\frac{k^4m^3}{l^{15}}}$.
Упростим полученное выражение. Можно вынести $l$ из-под корня в знаменателе:
$\sqrt[9]{\frac{k^4m^3}{l^{15}}} = \frac{\sqrt[9]{k^4m^3}}{\sqrt[9]{l^{15}}} = \frac{\sqrt[9]{k^4m^3}}{\sqrt[9]{l^9 \cdot l^6}} = \frac{\sqrt[9]{k^4m^3}}{l\sqrt[9]{l^6}}$.
Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt[9]{l^3}$ (так как $l^6 \cdot l^3 = l^9$, и корень 9-й степени из $l^9$ извлекается):
$\frac{\sqrt[9]{k^4m^3}}{l\sqrt[9]{l^6}} \cdot \frac{\sqrt[9]{l^3}}{\sqrt[9]{l^3}} = \frac{\sqrt[9]{k^4m^3l^3}}{l\sqrt[9]{l^9}} = \frac{\sqrt[9]{k^4l^3m^3}}{l \cdot l} = \frac{\sqrt[9]{k^4l^3m^3}}{l^2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt[9]{k^4l^3m^3}}{l^2}$

6.23. a) $\sqrt{5};$

б) $\sqrt[3]{\sqrt[5]{4}};$

в) $\sqrt[3]{\sqrt{2}};$

г) $\sqrt[3]{\sqrt{4}}.$

а) Для того чтобы упростить выражение $\sqrt{\sqrt{5}}$, используется свойство вложенных корней: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. В данном выражении оба корня являются квадратными, то есть их показатели равны 2.
Применим это свойство: показатель внешнего корня $m=2$, показатель внутреннего корня $n=2$.
$\sqrt{\sqrt{5}} = \sqrt[2]{\sqrt[2]{5}} = \sqrt[2 \cdot 2]{5} = \sqrt[4]{5}$.
Ответ: $\sqrt[4]{5}$

б) Упростим выражение $\sqrt[3]{\sqrt[5]{4}}$, используя то же свойство корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$.
Здесь показатель внешнего корня (кубического) $m=3$, а показатель внутреннего корня (пятой степени) $n=5$.
Перемножаем показатели корней и получаем:
$\sqrt[3]{\sqrt[5]{4}} = \sqrt[3 \cdot 5]{4} = \sqrt[15]{4}$.
Ответ: $\sqrt[15]{4}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{\sqrt{2}}$. Снова применим свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$.
Показатель внешнего корня $m=3$, показатель внутреннего корня (квадратного) $n=2$.
Выполняем умножение показателей:
$\sqrt[3]{\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt[2]{2}} = \sqrt[3 \cdot 2]{2} = \sqrt[6]{2}$.
Ответ: $\sqrt[6]{2}$

г) Упростим выражение $\sqrt{\sqrt[3]{4}}$. Показатель внешнего корня (квадратного) $m=2$, показатель внутреннего корня (кубического) $n=3$.
Используя свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$, получаем:
$\sqrt{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[2]{\sqrt[3]{4}} = \sqrt[2 \cdot 3]{4} = \sqrt[6]{4}$.
Заметим, что подкоренное выражение $4$ можно представить как $2^2$.
$\sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{2^2}$.
Теперь воспользуемся свойством $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, которое позволяет сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель (в данном случае на 2).
$\sqrt[6]{2^2} = \sqrt[3 \cdot 2]{2^{1 \cdot 2}} = \sqrt[3]{2^1} = \sqrt[3]{2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2}$

6.24. а) $\sqrt[3]{\sqrt{x}}$;

б) $\sqrt[3]{\sqrt{a^3}}$;

В) $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^{10}}}$;

Г) $\sqrt[3]{\sqrt{ab}}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{\sqrt[3]{x}}$, воспользуемся свойством корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. В данном случае, показатель внешнего корня (квадратного) по умолчанию равен $2$, а показатель внутреннего (кубического) равен $3$.
Перемножим показатели корней: $2 \cdot 3 = 6$.
Таким образом, выражение преобразуется в корень 6-й степени из $x$.
$\sqrt{\sqrt[3]{x}} = \sqrt[2 \cdot 3]{x} = \sqrt[6]{x}$.
Ответ: $\sqrt[6]{x}$.

б) Упростим выражение $\sqrt[3]{\sqrt{a^3}}$. Применим свойство корня из корня: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$. Показатели корней равны $3$ и $2$ (для квадратного корня).
$\sqrt[3]{\sqrt{a^3}} = \sqrt[3 \cdot 2]{a^3} = \sqrt[6]{a^3}$.
Теперь можно сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель, равный 3. Это можно сделать, представив корень в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[n]{a^k} = a^{k/n}$.
$\sqrt[6]{a^3} = a^{3/6} = a^{1/2} = \sqrt{a}$.
Данное преобразование справедливо при $a \ge 0$, так как исходное выражение содержит $\sqrt{a^3}$.
Ответ: $\sqrt{a}$.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^{10}}}$. Используем то же свойство вложенных корней: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$.
Перемножим показатели корней $5$ и $3$:
$\sqrt[5]{\sqrt[3]{a^{10}}} = \sqrt[5 \cdot 3]{a^{10}} = \sqrt[15]{a^{10}}$.
Сократим показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель, равный 5.
$\sqrt[15]{a^{10}} = \sqrt[3 \cdot 5]{a^{2 \cdot 5}} = \sqrt[3]{a^2}$.
Альтернативно, через степени с рациональным показателем: $a^{10/15} = a^{2/3} = \sqrt[3]{a^2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{a^2}$.

г) Для упрощения выражения $\sqrt{\sqrt[3]{ab}}$ снова применим свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$.
Показатель внешнего квадратного корня равен $2$, а внутреннего кубического — $3$.
Перемножаем показатели: $2 \cdot 3 = 6$.
$\sqrt{\sqrt[3]{ab}} = \sqrt[2 \cdot 3]{ab} = \sqrt[6]{ab}$.
Выражение определено при условии $ab \ge 0$, так как $\sqrt[3]{ab}$ находится под знаком квадратного корня.
Ответ: $\sqrt[6]{ab}$.

6.25. Внесите переменные под знак корня:

a) $ad^2 \sqrt[4]{-ad^2}$;

б) $-p^3 q^8 \sqrt[8]{p^2 q}$;

в) $-mn^3 \sqrt[6]{-mn}$;

г) $xy \sqrt[4]{x^2 y^3}$.

а) Чтобы внести множитель под знак корня, необходимо возвести этот множитель в степень, равную показателю корня, и умножить на подкоренное выражение. Для корней четной степени нужно учитывать знак множителя. В выражении $ad^2 \sqrt[4]{-ad^2}$ корень 4-й степени (четной). Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $-ad^2 \ge 0$. Поскольку $d^2$ всегда неотрицательно, это неравенство выполняется при $a \le 0$.
Множитель, который вносится под корень, это $ad^2$. Определим его знак: так как $a \le 0$ и $d^2 \ge 0$, то их произведение $ad^2 \le 0$.
При внесении отрицательного или равного нулю множителя $A$ под знак корня четной степени $n$, перед корнем ставится знак минус: $A\sqrt[n]{B} = -\sqrt[n]{(-A)^n B}$.Применим это правило:$ad^2 \sqrt[4]{-ad^2} = -\sqrt[4]{(-ad^2)^4 \cdot (-ad^2)} = -\sqrt[4]{(a^4d^8) \cdot (-ad^2)} = -\sqrt[4]{-a^{4+1}d^{8+2}} = -\sqrt[4]{-a^5d^{10}}$.
Ответ: $-\sqrt[4]{-a^5d^{10}}$

б) В выражении $-p^3q \sqrt[8]{p^2q}$ корень 8-й степени (четной). ОДЗ: $p^2q \ge 0$. Так как $p^2 \ge 0$, отсюда следует, что $q \ge 0$.
Множитель, который нужно внести под корень, — это $p^3q$. Знак этого множителя зависит от знака $p$. Чтобы получить однозначный ответ, обычно предполагают, что полный множитель перед корнем неотрицателен. В данном случае это $-p^3q \ge 0$. Учитывая, что $q \ge 0$, это условие выполняется, если $-p^3 \ge 0 \implies p^3 \le 0 \implies p \le 0$.
При этом условии ($p \le 0, q \ge 0$) множитель $-p^3q$ неотрицателен, и мы можем внести его под корень, возведя в 8-ю степень:$-p^3q \sqrt[8]{p^2q} = \sqrt[8]{(-p^3q)^8 \cdot (p^2q)} = \sqrt[8]{p^{24}q^8 \cdot p^2q} = \sqrt[8]{p^{24+2}q^{8+1}} = \sqrt[8]{p^{26}q^9}$.
Ответ: $\sqrt[8]{p^{26}q^9}$

в) В выражении $-mn^3 \sqrt[6]{-mn}$ корень 6-й степени (четной). ОДЗ: $-mn \ge 0 \implies mn \le 0$. Это значит, что переменные $m$ и $n$ имеют противоположные знаки или одна из них равна нулю.
Множитель перед корнем — $-mn^3$. Определим его знак. Выражение $-mn^3$ можно представить как $(-mn)n^2$. Из ОДЗ мы знаем, что $-mn \ge 0$, а $n^2$ всегда неотрицательно. Произведение двух неотрицательных сомножителей также неотрицательно, поэтому $-mn^3 \ge 0$.
Так как множитель $-mn^3$ неотрицателен, вносим его под знак корня, возведя в 6-ю степень:$-mn^3 \sqrt[6]{-mn} = \sqrt[6]{(-mn^3)^6 \cdot (-mn)} = \sqrt[6]{(m^6n^{18}) \cdot (-mn)} = \sqrt[6]{-m^{6+1}n^{18+1}} = \sqrt[6]{-m^7n^{19}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{-m^7n^{19}}$

г) В выражении $xy\sqrt[4]{x^2y^3}$ корень 4-й степени (четной). ОДЗ: $x^2y^3 \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$, то должно выполняться $y^3 \ge 0$, что означает $y \ge 0$.
Множитель, который вносится под корень, — $xy$. Его знак зависит от знака $x$, так как $y \ge 0$. Чтобы получить однозначный ответ, предположим, что множитель $xy$ неотрицателен: $xy \ge 0$. Учитывая, что $y \ge 0$, это условие выполняется, если $x \ge 0$.
При условии $x \ge 0$ и $y \ge 0$ множитель $xy$ неотрицателен, и мы можем внести его под знак корня:$xy\sqrt[4]{x^2y^3} = \sqrt[4]{(xy)^4 \cdot (x^2y^3)} = \sqrt[4]{(x^4y^4) \cdot (x^2y^3)} = \sqrt[4]{x^{4+2}y^{4+3}} = \sqrt[4]{x^6y^7}$.
Ответ: $\sqrt[4]{x^6y^7}$

6.26. Вынесите переменные из-под знака корня:

а) $\sqrt[4]{a^6b^9} - \sqrt[4]{-a^7b^5};$

б) $\sqrt[6]{-l^7m^{12}} + \sqrt[4]{-l^4m^{15}}.$

а) $ \sqrt[4]{a^6b^9} - \sqrt[4]{-a^7b^5} $

Для решения задачи сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменных. Так как корень четной степени (в данном случае 4-й), подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

1. Для первого члена $ \sqrt[4]{a^6b^9} $ должно выполняться условие $ a^6b^9 \ge 0 $. Поскольку $ a^6 = (a^3)^2 \ge 0 $ для любого действительного $ a $, знак выражения определяется множителем $ b^9 $. Следовательно, $ b^9 \ge 0 $, что означает $ b \ge 0 $.

2. Для второго члена $ \sqrt[4]{-a^7b^5} $ должно выполняться условие $ -a^7b^5 \ge 0 $, что равносильно $ a^7b^5 \le 0 $. Учитывая, что из первого условия $ b \ge 0 $ (и, соответственно, $ b^5 \ge 0 $), для выполнения неравенства $ a^7b^5 \le 0 $ необходимо, чтобы $ a^7 \le 0 $. Это означает, что $ a \le 0 $.

Таким образом, ОДЗ для всего выражения: $ a \le 0 $ и $ b \ge 0 $.

Теперь упростим каждое слагаемое, вынося переменные из-под знака корня с учетом ОДЗ.

Первое слагаемое: $ \sqrt[4]{a^6b^9} $
Представим подкоренное выражение в виде произведения степеней, кратных 4:
$ \sqrt[4]{a^6b^9} = \sqrt[4]{a^4 \cdot a^2 \cdot b^8 \cdot b} = \sqrt[4]{(a \cdot b^2)^4 \cdot a^2b} $
Выносим множитель $ (ab^2)^4 $ из-под корня. Для корня четной степени $ \sqrt[n]{x^n} = |x| $.
$ |ab^2|\sqrt[4]{a^2b} $
Раскроем модуль, учитывая ОДЗ ($ a \le 0 $, $ b \ge 0 $). Так как $ b^2 \ge 0 $, то произведение $ ab^2 \le 0 $. Следовательно, $ |ab^2| = -ab^2 $.
Первый член равен $ -ab^2\sqrt[4]{a^2b} $.

Второе слагаемое: $ \sqrt[4]{-a^7b^5} $
Представим подкоренное выражение аналогичным образом:
$ \sqrt[4]{-a^7b^5} = \sqrt[4]{a^4 \cdot b^4 \cdot (-a^3b)} = |ab|\sqrt[4]{-a^3b} $
Раскроем модуль $ |ab| $. Так как $ a \le 0 $ и $ b \ge 0 $, их произведение $ ab \le 0 $. Следовательно, $ |ab| = -ab $.
Второй член равен $ -ab\sqrt[4]{-a^3b} $. (Проверим знак оставшегося подкоренного выражения $ -a^3b $: так как $ a \le 0 $, то $ a^3 \le 0 $ и $ -a^3 \ge 0 $. Учитывая $ b \ge 0 $, получаем $ -a^3b \ge 0 $, так что выражение корректно).

Результат:
Подставляем упрощенные выражения обратно в исходное:
$ \sqrt[4]{a^6b^9} - \sqrt[4]{-a^7b^5} = (-ab^2\sqrt[4]{a^2b}) - (-ab\sqrt[4]{-a^3b}) = -ab^2\sqrt[4]{a^2b} + ab\sqrt[4]{-a^3b} $.

Ответ: $ -ab^2\sqrt[4]{a^2b} + ab\sqrt[4]{-a^3b} $.

б) $ \sqrt[6]{-l^7m^{12}} + \sqrt[4]{-l^4m^{15}} $

Определим ОДЗ. Оба корня имеют четную степень, поэтому подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

1. Для $ \sqrt[6]{-l^7m^{12}} $: $ -l^7m^{12} \ge 0 $. Поскольку $ m^{12} = (m^6)^2 \ge 0 $, то при $ m \ne 0 $ должно выполняться $ -l^7 \ge 0 $, или $ l^7 \le 0 $, что означает $ l \le 0 $.

2. Для $ \sqrt[4]{-l^4m^{15}} $: $ -l^4m^{15} \ge 0 $. Поскольку $ l^4 = (l^2)^2 \ge 0 $, то при $ l \ne 0 $ должно выполняться $ -m^{15} \ge 0 $, или $ m^{15} \le 0 $, что означает $ m \le 0 $.

Объединяя условия, получаем ОДЗ для всего выражения: $ l \le 0 $ и $ m \le 0 $.

Теперь упростим каждое слагаемое с учетом ОДЗ.

Первое слагаемое: $ \sqrt[6]{-l^7m^{12}} $
$ \sqrt[6]{-l^7m^{12}} = \sqrt[6]{l^6 \cdot m^{12} \cdot (-l)} = \sqrt[6]{(l \cdot m^2)^6 \cdot (-l)} = |lm^2|\sqrt[6]{-l} $
Раскроем модуль $ |lm^2| $. Так как $ l \le 0 $ и $ m^2 \ge 0 $, то $ lm^2 \le 0 $. Следовательно, $ |lm^2| = -lm^2 $.
Первый член равен $ -lm^2\sqrt[6]{-l} $.

Второе слагаемое: $ \sqrt[4]{-l^4m^{15}} $
$ \sqrt[4]{-l^4m^{15}} = \sqrt[4]{l^4 \cdot m^{12} \cdot (-m^3)} = \sqrt[4]{(l \cdot m^3)^4 \cdot (-m^3)} = |lm^3|\sqrt[4]{-m^3} $
Раскроем модуль $ |lm^3| $. Так как $ l \le 0 $ и $ m \le 0 $ ($ \implies m^3 \le 0 $), то их произведение $ lm^3 \ge 0 $. Следовательно, $ |lm^3| = lm^3 $.
Второй член равен $ lm^3\sqrt[4]{-m^3} $. (Проверим знак $ -m^3 $: так как $ m \le 0 \implies m^3 \le 0 \implies -m^3 \ge 0 $, выражение корректно).

Результат:
Складываем упрощенные выражения:
$ \sqrt[6]{-l^7m^{12}} + \sqrt[4]{-l^4m^{15}} = -lm^2\sqrt[6]{-l} + lm^3\sqrt[4]{-m^3} $.

Ответ: $ -lm^2\sqrt[6]{-l} + lm^3\sqrt[4]{-m^3} $.