Страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2. Как преобразовать уравнение $ax^3 + bx^2 + cx + 1 = 0$, где $a, b, c$ — целые числа, в приведённое уравнение с целыми коэффициентами? В чём смысл этого преобразования?

Как преобразовать уравнение $ax^3 + bx^2 + cx + 1 = 0$, где a, b, c - целые числа, в приведённое уравнение с целыми коэффициентами?

Приведённым называется уравнение, в котором коэффициент при старшей степени переменной равен единице. В нашем случае это означает, что коэффициент при $x^3$ должен стать равным 1. Простое деление всего уравнения на $a$ приведёт к дробным коэффициентам $\frac{b}{a}$, $\frac{c}{a}$ и $\frac{1}{a}$, что не удовлетворяет условию о целых коэффициентах.

Чтобы выполнить преобразование, используется метод замены переменной. Пусть новая переменная $y$ связана со старой переменной $x$ соотношением $y = ax$. Отсюда $x = \frac{y}{a}$. Подставим это выражение в исходное уравнение:

$a\left(\frac{y}{a}\right)^3 + b\left(\frac{y}{a}\right)^2 + c\left(\frac{y}{a}\right) + 1 = 0$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a\frac{y^3}{a^3} + b\frac{y^2}{a^2} + c\frac{y}{a} + 1 = 0$

$\frac{y^3}{a^2} + \frac{by^2}{a^2} + \frac{cy}{a} + 1 = 0$

Теперь, чтобы избавиться от знаменателей и получить уравнение с целыми коэффициентами, умножим обе части уравнения на $a^2$ (мы можем это сделать, так как $a \neq 0$, иначе уравнение не было бы кубическим):

$a^2 \left( \frac{y^3}{a^2} + \frac{by^2}{a^2} + \frac{cy}{a} + 1 \right) = a^2 \cdot 0$

$y^3 + by^2 + acy + a^2 = 0$

Полученное уравнение является приведённым, так как коэффициент при $y^3$ равен 1. Все остальные коэффициенты ($b$, $ac$, $a^2$) также являются целыми, поскольку по условию $a$, $b$ и $c$ — целые числа.

Ответ: Необходимо выполнить замену переменной $y = ax$ (или $x = y/a$). В результате исходное уравнение $ax^3 + bx^2 + cx + 1 = 0$ преобразуется в приведённое уравнение с целыми коэффициентами: $y^3 + by^2 + acy + a^2 = 0$.

В чём смысл этого преобразования?

Основной смысл этого преобразования заключается в упрощении поиска рациональных корней уравнения.

Согласно теореме о рациональных корнях, если уравнение с целыми коэффициентами $a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ имеет рациональный корень $x = \frac{p}{q}$ (где дробь несократима), то числитель $p$ является делителем свободного члена $a_0$, а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента $a_n$.

Для исходного уравнения $ax^3 + bx^2 + cx + 1 = 0$:
Рациональные корни $x = \frac{p}{q}$ могут существовать, где $p$ — делитель 1 (т.е. $p \in \{1, -1\}$), а $q$ — делитель $a$. Это означает, что для поиска корней нужно проверять все дроби вида $\pm\frac{1}{q}$, где $q$ — делители числа $a$.

Для преобразованного уравнения $y^3 + by^2 + acy + a^2 = 0$:
Старший коэффициент равен 1. Это частный случай теоремы (следствие), который гласит, что все рациональные корни такого уравнения являются целыми числами и делителями свободного члена, в данном случае $a^2$.

Таким образом, преобразование сводит задачу поиска рациональных корней к более простой задаче поиска целых корней. Найти целые делители числа $a^2$ и подставить их в уравнение для проверки гораздо легче, чем перебирать все возможные дроби. Если мы находим целый корень $y_0$ для нового уравнения, то соответствующий ему корень исходного уравнения легко вычисляется по формуле $x_0 = \frac{y_0}{a}$.

Ответ: Смысл преобразования состоит в том, чтобы упростить поиск рациональных корней. Вместо того чтобы искать рациональные корни исходного уравнения, можно найти целые корни преобразованного приведённого уравнения, что является значительно более простой задачей.

3. Приведите пример возвратного уравнения и опишите алгоритм его решения.

Пример возвратного уравнения

Возвратным (или симметричным) уравнением называется уравнение вида $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0 = 0$, в котором коэффициенты, равноудаленные от концов, равны, то есть $a_k = a_{n-k}$ для всех $k = 0, 1, \dots, n$.

Примером возвратного уравнения четвёртой степени является:

$2x^4 + 3x^3 - 16x^2 + 3x + 2 = 0$

В данном уравнении коэффициенты при старшей и младшей степенях равны ($a_4=a_0=2$), а также равны коэффициенты при $x^3$ и $x^1$ ($a_3=a_1=3$), что полностью соответствует определению возвратного уравнения.

Ответ: Примером возвратного уравнения является $2x^4 + 3x^3 - 16x^2 + 3x + 2 = 0$.

Алгоритм его решения

Алгоритм решения возвратного уравнения четной степени вида $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$ (при $a \neq 0$) состоит из следующих шагов:

1. Поскольку свободный член $a \neq 0$, то $x=0$ не является корнем уравнения. Это позволяет разделить обе части уравнения на $x^2$, не опасаясь потери корней.
2. После деления сгруппировать слагаемые, вынося за скобки общие коэффициенты, чтобы получить выражение вида $a(x^2 + \frac{1}{x^2}) + b(x + \frac{1}{x}) + c = 0$.
3. Ввести новую переменную $y = x + \frac{1}{x}$. Чтобы выразить через $y$ выражение в первых скобках, возведем замену в квадрат: $y^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$. Отсюда следует, что $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.
4. Подставить выражения с новой переменной в сгруппированное уравнение. Это приведет к квадратному уравнению относительно $y$: $a(y^2-2)+by+c=0$, которое можно переписать как $ay^2+by+(c-2a)=0$.
5. Решить полученное квадратное уравнение и найти его корни $y_1$ и $y_2$.
6. Выполнить обратную замену. Для каждого найденного значения $y$ решить соответствующее уравнение: $x + \frac{1}{x} = y_1$ и $x + \frac{1}{x} = y_2$. Эти уравнения легко сводятся к двум квадратным уравнениям: $x^2 - y_1x + 1 = 0$ и $x^2 - y_2x + 1 = 0$.
7. Корни, полученные на предыдущем шаге, и будут являться решениями исходного возвратного уравнения.

Продемонстрируем применение этого алгоритма на примере уравнения $2x^4 + 3x^3 - 16x^2 + 3x + 2 = 0$:

1. Делим уравнение на $x^2$: $2x^2 + 3x - 16 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$.

2. Группируем: $2(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 3(x + \frac{1}{x}) - 16 = 0$.

3. Вводим замену $y = x + \frac{1}{x}$, из которой следует $x^2 + \frac{1}{x^2} = y^2 - 2$.

4. Подставляем в уравнение: $2(y^2 - 2) + 3y - 16 = 0$, что упрощается до $2y^2 + 3y - 20 = 0$.

5. Решаем квадратное уравнение для $y$. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-20) = 169$. Корни: $y_1 = \frac{-3+13}{4} = 2.5$, $y_2 = \frac{-3-13}{4} = -4$.

6. Выполняем обратную замену:

a) Для $y_1=2.5$: $x + \frac{1}{x} = 2.5 \implies 2x^2 - 5x + 2 = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 0.5$.

б) Для $y_2=-4$: $x + \frac{1}{x} = -4 \implies x^2 + 4x + 1 = 0$. Корни этого уравнения: $x_3 = -2 + \sqrt{3}$, $x_4 = -2 - \sqrt{3}$.

Ответ: Алгоритм решения возвратного уравнения четвёртой степени заключается в делении уравнения на $x^2$ (где $x$ - переменная), введении замены $y = x + \frac{1}{x}$, решении полученного квадратного уравнения относительно $y$ и последующем нахождении $x$ через обратную замену. Решением уравнения $2x^4 + 3x^3 - 16x^2 + 3x + 2 = 0$ по данному алгоритму являются корни $x \in \{2; 0.5; -2+\sqrt{3}; -2-\sqrt{3}\}$.

5.3. a) $y = \sqrt[3]{-x}$;

б) $y = -4\sqrt[4]{-x}$;

В) $y = 2\sqrt{-x}$;

Г) $y = -\frac{1}{2}\sqrt[5]{-x}$.

а)

Дана функция $y = \sqrt[3]{-x}$. Область определения функции, содержащей корень нечетной степени ($y = \sqrt[n]{f(x)}$, где $n$ — нечетное), совпадает с областью определения подкоренного выражения $f(x)$. В данном случае показатель корня $n=3$ — нечетное число. Подкоренное выражение $f(x)=-x$ определено для любых действительных значений $x$. Следовательно, область определения функции — множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б)

Дана функция $y = -4\sqrt[4]{-x}$. Область определения функции, содержащей корень четной степени ($y = \sqrt[n]{f(x)}$, где $n$ — четное), определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $f(x) \ge 0$. В данном случае показатель корня $n=4$ — четное число. Поэтому для нахождения области определения нужно решить неравенство:
$-x \ge 0$
Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le 0$
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, меньшие или равные нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

в)

Дана функция $y = 2\sqrt{-x}$. Квадратный корень является корнем с четным показателем ($n=2$). Следовательно, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$-x \ge 0$
Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства:
$x \le 0$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, не превышающие ноль.

Ответ: $x \in (-\infty; 0]$.

г)

Дана функция $y = -\frac{1}{2}\sqrt[5]{-x}$. Показатель корня $n=5$ — нечетное число. Как и в пункте а), область определения такой функции совпадает с областью определения подкоренного выражения. Выражение $f(x)=-x$ определено при любых действительных значениях $x$. Значит, область определения всей функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

5.4. a) $y = \sqrt[3]{-2x};$

б) $y = \sqrt[6]{-\frac{1}{2}x};$

В) $y = \sqrt[4]{-6x};$

Г) $y = \sqrt[5]{-\frac{1}{4}x}.$

а) $y = \sqrt[3]{-2x}$

Для нахождения области определения функции необходимо проанализировать выражение под знаком корня. Данная функция содержит корень нечетной степени (кубический корень, $n=3$). Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения.

Поскольку выражение $-2x$ определено для любого значения $x$, то и вся функция определена для любого действительного числа $x$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[6]{\frac{1}{2}x}$

Данная функция содержит корень четной степени (корень шестой степени, $n=6$). Корень четной степени определен только в том случае, когда подкоренное выражение неотрицательно (больше или равно нулю).

Следовательно, необходимо решить неравенство:

$\frac{1}{2}x \ge 0$

Умножив обе части неравенства на 2, получим:

$x \ge 0$

Таким образом, область определения функции — это все неотрицательные действительные числа.

Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[4]{-6x}$

Данная функция содержит корень четной степени (корень четвертой степени, $n=4$). Как и в предыдущем случае, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$-6x \ge 0$

Разделим обе части неравенства на -6. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{0}{-6}$

$x \le 0$

Следовательно, область определения функции — это все неположительные действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0]$.

г) $y = \sqrt[5]{\frac{1}{4}x}$

Данная функция содержит корень нечетной степени (корень пятой степени, $n=5$). Корень нечетной степени, как и кубический корень, определен для любого действительного значения подкоренного выражения.

Выражение $\frac{1}{4}x$ определено для всех действительных чисел $x$, поэтому и область определения всей функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

№5.5.

a) $y = \sqrt[4]{x} + 1;$

В) $y = \sqrt[7]{x} - 3;$

б) $y = \sqrt[3]{x} - 4;$

Г) $y = \sqrt[4]{x} + \frac{1}{2}.$

а) $y = \sqrt[4]{x} + 1$

Областью определения функции называется множество всех допустимых значений аргумента $x$. Данная функция содержит корень четной степени (корень 4-й степени). По определению, выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным.

Подкоренное выражение в данном случае равно $x$. Следовательно, необходимо выполнить условие: $x \ge 0$.

Слагаемое $+1$ не влияет на область определения функции. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, большие или равные нулю.

Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[3]{x} - 4$

Данная функция содержит корень нечетной степени (корень 3-й степени). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа под корнем.

Подкоренное выражение равно $x$. Никаких ограничений на значения $x$ не накладывается. Вычитаемое $-4$ также не влияет на область определения.

Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[7]{x - 3}$

Данная функция содержит корень нечетной степени (корень 7-й степени). Корень нечетной степени можно извлекать из любого действительного числа, как положительного, так и отрицательного.

Подкоренное выражение $x - 3$ определено для любых действительных значений $x$. Следовательно, никаких ограничений на область определения функции нет.

Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) $y = \sqrt[4]{x + \frac{1}{2}}$

Данная функция содержит корень четной степени (корень 4-й степени). Выражение, стоящее под знаком корня четной степени, должно быть неотрицательным.

Подкоренное выражение в данном случае равно $x + \frac{1}{2}$. Следовательно, должно выполняться неравенство: $x + \frac{1}{2} \ge 0$.

Решим это линейное неравенство относительно $x$: $x \ge -\frac{1}{2}$.

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, большие или равные $-\frac{1}{2}$.

Ответ: $D(y) = [-\frac{1}{2}; +\infty)$.

5.6. a) $y = \sqrt{x+2} - 3;$

б) $y = \sqrt[3]{x-1} + 2;$

в) $y = \sqrt[4]{x+1} + 3;$

г) $y = \sqrt[5]{x-4} - 4.$

а) $y = \sqrt{x + 2} - 3$

Для нахождения области определения функции $D(y)$ необходимо учесть, что выражение под знаком корня четной степени (в данном случае, квадратного) должно быть неотрицательным.

$x + 2 \ge 0$

$x \ge -2$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-2; +\infty)$.

Для нахождения области значений функции $E(y)$ проанализируем саму функцию. Выражение $\sqrt{x+2}$ принимает только неотрицательные значения:

$\sqrt{x + 2} \ge 0$

Теперь вычтем 3 из обеих частей неравенства:

$\sqrt{x + 2} - 3 \ge -3$

Следовательно, $y \ge -3$. Область значений функции: $E(y) = [-3; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = [-2; +\infty)$; область значений: $E(y) = [-3; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[3]{x - 1} + 2$

Область определения функции $D(y)$. Корень нечетной степени (кубический) определен для любого действительного числа. Поэтому подкоренное выражение $x-1$ может быть любым.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений функции $E(y)$. Функция $f(t) = \sqrt[3]{t}$ может принимать любые действительные значения. Добавление константы 2 к функции лишь сдвигает ее график вверх на 2 единицы, но не изменяет множество принимаемых значений.

Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[4]{x + 1} + 3$

Для нахождения области определения функции $D(y)$ учтем, что выражение под корнем четной степени (четвертой) должно быть неотрицательным.

$x + 1 \ge 0$

$x \ge -1$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-1; +\infty)$.

Для нахождения области значений функции $E(y)$ заметим, что значение корня четвертой степени всегда неотрицательно:

$\sqrt[4]{x + 1} \ge 0$

Прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$\sqrt[4]{x + 1} + 3 \ge 3$

Следовательно, $y \ge 3$. Область значений функции: $E(y) = [3; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = [-1; +\infty)$; область значений: $E(y) = [3; +\infty)$.

г) $y = \sqrt[5]{x - 4} - 4$

Область определения функции $D(y)$. Корень нечетной степени (пятой) определен для любого действительного числа, поэтому выражение $x-4$ может быть любым.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений функции $E(y)$. Функция $f(t) = \sqrt[5]{t}$ принимает все действительные значения. Вычитание константы 4 из функции сдвигает ее график вниз на 4 единицы, но не изменяет множество значений.

Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$; область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

5.7. a) $y = 2 - 5 \cdot \sqrt[3]{x - 5};$

б) $y = 4 \cdot \sqrt[5]{2x + 4} - 1;$

В) $y = 4 - 2 \cdot \sqrt[4]{9 - x};$

Г) $y = 3 \cdot \sqrt[3]{3x - 6} + 1.$

а) $y = 2 - 5 \cdot \sqrt[3]{x-5}$

Область определения (D(y)):
Данная функция содержит корень нечетной (третьей) степени. Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Выражение $x-5$ определено для всех действительных чисел $x$. Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Рассмотрим множество значений выражения $\sqrt[3]{x-5}$. Поскольку $x$ может принимать любые действительные значения, выражение $x-5$ также принимает любые значения на числовой оси. Это означает, что $\sqrt[3]{x-5}$ может принимать любые значения от $-\infty$ до $+\infty$. Пусть $t = \sqrt[3]{x-5}$, где $t \in (-\infty; +\infty)$. Тогда функция принимает вид $y = 2 - 5t$. Это линейная функция относительно $t$, область значений которой — все действительные числа. Следовательно, область значений исходной функции также является множеством всех действительных чисел.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = 4 \cdot \sqrt[5]{2x+4} - 1$

Область определения (D(y)):
Функция содержит корень нечетной (пятой) степени. Выражение под корнем нечетной степени определено для любых действительных чисел. Подкоренное выражение $2x+4$ определено для любых $x \in R$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Так как $x$ пробегает все действительные числа, выражение $2x+4$ также пробегает все действительные числа. Следовательно, $\sqrt[5]{2x+4}$ принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$. Обозначим $t = \sqrt[5]{2x+4}$, где $t \in (-\infty; +\infty)$. Функция примет вид $y = 4t - 1$. Это линейная функция от $t$. Поскольку область значений $t$ — это все действительные числа, область значений $y$ также будет множеством всех действительных чисел.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = 4 - 2 \cdot \sqrt[4]{9-x}$

Область определения (D(y)):
Функция содержит корень четной (четвертой) степени. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным. Таким образом, мы должны решить неравенство:
$9 - x \ge 0$
$9 \ge x$
$x \le 9$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 9]$.

Область значений (E(y)):
Арифметический корень четной степени по определению всегда неотрицателен. То есть, $\sqrt[4]{9-x} \ge 0$.
Умножим это неравенство на $-2$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$-2\sqrt[4]{9-x} \le 0$
Теперь прибавим 4 к обеим частям неравенства:
$4 - 2\sqrt[4]{9-x} \le 4$
Таким образом, $y \le 4$.
Максимальное значение $y=4$ достигается при $\sqrt[4]{9-x} = 0$, то есть при $x=9$. Когда $x \to -\infty$, выражение $9-x \to +\infty$, $\sqrt[4]{9-x} \to +\infty$, и $y = 4 - 2\sqrt[4]{9-x} \to -\infty$.
Следовательно, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 4]$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; 9]$, область значений $E(y) = (-\infty; 4]$.

г) $y = 3 \cdot \sqrt[3]{3x-6} + 1$

Область определения (D(y)):
Функция содержит корень нечетной (третьей) степени, который определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Выражение $3x-6$ определено для всех $x \in R$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{3x-6}$. Поскольку $x$ может принимать любые действительные значения, выражение $3x-6$ также пробегает все действительные числа. Это означает, что $\sqrt[3]{3x-6}$ может принимать любые значения от $-\infty$ до $+\infty$. Обозначим $t = \sqrt[3]{3x-6}$, где $t \in (-\infty; +\infty)$. Тогда функция принимает вид $y = 3t + 1$. Это линейная функция относительно $t$, и так как $t$ может быть любым действительным числом, $y$ также может принимать любое действительное значение.
Следовательно, область значений функции — все действительные числа.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

5.8. a) $y = \sqrt{\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}}$;

б) $y = \sqrt[3]{\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4}}$;

в) $y = \sqrt[4]{\frac{x^2 + 7x + 12}{x + 3}}$;

г) $y = \sqrt[5]{\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}}$.

а) $y = \sqrt{\frac{x^2 - x - 2}{x - 2}}$

Для нахождения области определения данной функции необходимо учесть два условия. Во-первых, знаменатель дроби не может быть равен нулю. Во-вторых, выражение под корнем четной степени (в данном случае, квадратным) должно быть неотрицательным.

1. Условие на знаменатель: $x - 2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$.

2. Условие на подкоренное выражение: $\frac{x^2 - x - 2}{x - 2} \geq 0$.

Для решения неравенства разложим числитель $x^2 - x - 2$ на множители. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -2. Следовательно, корни это $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.

Подставим это в неравенство:

$\frac{(x - 2)(x + 1)}{x - 2} \geq 0$

Поскольку мы уже установили, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$.

В результате получаем более простое неравенство:

$x + 1 \geq 0$

$x \geq -1$

Теперь объединим оба условия: $x \geq -1$ и $x \neq 2$. Это означает, что в область определения входят все числа из промежутка $[-1, \infty)$, за исключением точки $x=2$.

Ответ: $x \in [-1, 2) \cup (2, \infty)$.

б) $y = \sqrt[3]{\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4}}$

Корень нечетной степени (кубический) определен для любого действительного числа. Поэтому единственное ограничение для области определения этой функции связано со знаменателем дроби, который не должен равняться нулю.

Условие на знаменатель:

$x - 4 \neq 0$

$x \neq 4$

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме 4.

Для наглядности можно упростить подкоренное выражение. Разложим числитель $x^2 - 5x + 4$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Тогда $\frac{x^2 - 5x + 4}{x - 4} = \frac{(x - 1)(x - 4)}{x - 4}$. При $x \neq 4$ это выражение можно сократить до $x - 1$.

Функция сводится к $y = \sqrt[3]{x-1}$ при условии $x \neq 4$. Так как $\sqrt[3]{x-1}$ определена для всех действительных $x$, единственным ограничением остается $x \neq 4$.

Ответ: $x \in (-\infty, 4) \cup (4, \infty)$.

в) $y = \sqrt[4]{\frac{x^2 + 7x + 12}{x + 3}}$

Как и в пункте а), область определения функции определяется двумя условиями: знаменатель не равен нулю, и подкоренное выражение неотрицательно, так как корень имеет четный показатель (4).

1. Условие на знаменатель: $x + 3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.

2. Условие на подкоренное выражение: $\frac{x^2 + 7x + 12}{x + 3} \geq 0$.

Решим неравенство. Разложим числитель $x^2 + 7x + 12$ на множители. Для уравнения $x^2 + 7x + 12 = 0$ по теореме Виета сумма корней равна -7, а произведение 12. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -4$.

Значит, $x^2 + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)$.

Подставим в неравенство:

$\frac{(x + 3)(x + 4)}{x + 3} \geq 0$

При условии $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на $(x + 3)$.

Получаем:

$x + 4 \geq 0$

$x \geq -4$

Объединяя условия $x \geq -4$ и $x \neq -3$, получаем итоговую область определения.

Ответ: $x \in [-4, -3) \cup (-3, \infty)$.

г) $y = \sqrt[5]{\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}}$

Поскольку корень имеет нечетную степень (5), он определен для любого действительного значения подкоренного выражения. Таким образом, единственное ограничение на область определения функции накладывает знаменатель дроби.

Условие на знаменатель:

$x - 3 \neq 0$

$x \neq 3$

Область определения функции — это все действительные числа, за исключением 3.

Упростим подкоренное выражение для проверки. Разложим на множители числитель $x^2 - x - 6$. Корни уравнения $x^2 - x - 6 = 0$ по теореме Виета: $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Тогда $\frac{x^2 - x - 6}{x - 3} = \frac{(x - 3)(x + 2)}{x - 3}$. При $x \neq 3$ выражение равно $x + 2$.

Функция может быть записана как $y = \sqrt[5]{x+2}$ при условии $x \neq 3$. Выражение $\sqrt[5]{x+2}$ определено для всех $x$, поэтому единственным ограничением является $x \neq 3$.

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (3, \infty)$.

5.9. a) $y = \sqrt{\frac{3x^2 - 8x - 3}{x - 3} - 2x}$;

б) $y = \sqrt[4]{\frac{3x^2 - 2x - 1}{1 - x} - \frac{4x^2 - 6x - 4}{2 - x}}$.

а)

Для нахождения области определения функции $y = \sqrt{\frac{3x^2 - 8x - 3}{x - 3} - 2x}$ необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным, а знаменатель дроби не был равен нулю. Это приводит к системе условий:

$\begin{cases} \frac{3x^2 - 8x - 3}{x - 3} - 2x \ge 0 \\ x - 3 \ne 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{3x^2 - 8x - 3 - 2x(x - 3)}{x - 3} \ge 0$

$\frac{3x^2 - 8x - 3 - 2x^2 + 6x}{x - 3} \ge 0$

$\frac{x^2 - 2x - 3}{x - 3} \ge 0$

Найдем корни числителя, решив квадратное уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -3. Следовательно, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Разложим числитель на множители: $x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)$.

Подставим разложение в неравенство:

$\frac{(x - 3)(x + 1)}{x - 3} \ge 0$

Из второго условия системы мы знаем, что $x \ne 3$. Поэтому мы можем сократить дробь на $(x - 3)$:

$x + 1 \ge 0$

$x \ge -1$

Теперь объединим полученное решение с условием $x \ne 3$. Область определения функции — это все числа $x$, такие что $x \ge -1$ и $x \ne 3$.

Ответ: $D(y) = [-1, 3) \cup (3, +\infty)$.

б)

Для нахождения области определения функции $y = \sqrt[4]{\frac{3x^2 - 2x - 1}{1 - x} - \frac{4x^2 - 6x - 4}{2 - x}}$ необходимо, чтобы выражение под корнем четвертой степени было неотрицательным, а знаменатели дробей не были равны нулю.

Запишем систему условий:

$\begin{cases} \frac{3x^2 - 2x - 1}{1 - x} - \frac{4x^2 - 6x - 4}{2 - x} \ge 0 \\ 1 - x \ne 0 \\ 2 - x \ne 0 \end{cases}$

Из второго и третьего условий получаем $x \ne 1$ и $x \ne 2$.

Решим первое неравенство. Приведем дроби к общему знаменателю $(1 - x)(2 - x)$:

$\frac{(3x^2 - 2x - 1)(2 - x) - (4x^2 - 6x - 4)(1 - x)}{(1 - x)(2 - x)} \ge 0$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$(3x^2 - 2x - 1)(2 - x) = 6x^2 - 3x^3 - 4x + 2x^2 - 2 + x = -3x^3 + 8x^2 - 3x - 2$

$(4x^2 - 6x - 4)(1 - x) = 4x^2 - 4x^3 - 6x + 6x^2 - 4 + 4x = -4x^3 + 10x^2 - 2x - 4$

Вычтем второе выражение из первого:

$(-3x^3 + 8x^2 - 3x - 2) - (-4x^3 + 10x^2 - 2x - 4) = -3x^3 + 8x^2 - 3x - 2 + 4x^3 - 10x^2 + 2x + 4 = x^3 - 2x^2 - x + 2$

Неравенство принимает вид:

$\frac{x^3 - 2x^2 - x + 2}{(1 - x)(2 - x)} \ge 0$

Разложим числитель на множители методом группировки:

$x^2(x - 2) - 1(x - 2) = (x^2 - 1)(x - 2) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)$

Подставим полученное выражение в неравенство:

$\frac{(x - 1)(x + 1)(x - 2)}{(1 - x)(2 - x)} \ge 0$

Преобразуем знаменатель: $(1 - x)(2 - x) = (-(x-1))(-(x-2)) = (x-1)(x-2)$.

$\frac{(x - 1)(x + 1)(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} \ge 0$

Учитывая, что $x \ne 1$ и $x \ne 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 1)$ и $(x - 2)$:

$x + 1 \ge 0$

$x \ge -1$

Объединяя полученное решение с условиями $x \ne 1$ и $x \ne 2$, получаем область определения функции.

Ответ: $D(y) = [-1, 1) \cup (1, 2) \cup (2, +\infty)$.

Найдите область определения функции:

5.10. а) $y = \sqrt[4]{2x - 4};$

б) $y = \sqrt[8]{2 - 3x};$

в) $y = \sqrt[6]{3x - 9};$

г) $y = \sqrt[12]{1 - 5x}.$

а) Область определения функции $y = \sqrt[4]{2x - 4}$ находится из условия, что подкоренное выражение корня четной степени (в данном случае степень корня равна 4) должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$2x - 4 \ge 0$

$2x \ge 4$

$x \ge 2$

Следовательно, область определения функции — это промежуток $[2; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = [2; +\infty)$.

б) Область определения функции $y = \sqrt[8]{2 - 3x}$ находится из условия, что подкоренное выражение корня четной степени (в данном случае степень корня равна 8) должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$2 - 3x \ge 0$

$-3x \ge -2$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{2}{3}$

Следовательно, область определения функции — это промежуток $(-\infty; \frac{2}{3}]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; \frac{2}{3}]$.

в) Область определения функции $y = \sqrt[6]{3x - 9}$ находится из условия, что подкоренное выражение корня четной степени (в данном случае степень корня равна 6) должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$3x - 9 \ge 0$

$3x \ge 9$

$x \ge 3$

Следовательно, область определения функции — это промежуток $[3; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = [3; +\infty)$.

г) Область определения функции $y = \sqrt[12]{1 - 5x}$ находится из условия, что подкоренное выражение корня четной степени (в данном случае степень корня равна 12) должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$1 - 5x \ge 0$

$-5x \ge -1$

При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{1}{5}$

Следовательно, область определения функции — это промежуток $(-\infty; \frac{1}{5}]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; \frac{1}{5}]$.

5.11. а) $y = \sqrt[3]{x^2 + 5};$

б) $y = \sqrt[7]{x^3 - 1};$

В) $y = \sqrt[9]{6x - 7};$

Г) $y = \sqrt[5]{2x + 1}.$

а) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[3]{x^2 + 5}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Сначала представим корень в виде степени:

$y = (x^2 + 5)^{1/3}$

Производная сложной функции $f(g(x))$ находится по формуле $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $u^{1/3}$, а внутренняя — $g(x) = x^2 + 5$.

Найдем их производные:

Производная внешней функции: $(u^{1/3})' = \frac{1}{3}u^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}u^{-2/3}$.

Производная внутренней функции: $(x^2 + 5)' = 2x$.

Теперь применим формулу для производной сложной функции:

$y' = \frac{1}{3}(x^2 + 5)^{-2/3} \cdot (2x) = \frac{2x}{3(x^2 + 5)^{2/3}}$

Вернемся к записи с корнем:

$y' = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 5)^2}}$

Ответ: $y' = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2+5)^2}}$

б) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[7]{x^3 - 1}$ представим ее в виде степенной функции и применим правило дифференцирования сложной функции.

$y = (x^3 - 1)^{1/7}$

Внешняя функция: $u^{1/7}$. Внутренняя функция: $g(x) = x^3 - 1$.

Производная внешней функции: $(u^{1/7})' = \frac{1}{7}u^{1/7 - 1} = \frac{1}{7}u^{-6/7}$.

Производная внутренней функции: $(x^3 - 1)' = 3x^2$.

Применяем цепное правило:

$y' = \frac{1}{7}(x^3 - 1)^{-6/7} \cdot (3x^2) = \frac{3x^2}{7(x^3 - 1)^{6/7}}$

Запишем ответ в виде корня:

$y' = \frac{3x^2}{7\sqrt[7]{(x^3 - 1)^6}}$

Ответ: $y' = \frac{3x^2}{7\sqrt[7]{(x^3-1)^6}}$

в) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[9]{6x - 7}$ представим ее в виде степенной функции и применим правило дифференцирования сложной функции.

$y = (6x - 7)^{1/9}$

Внешняя функция: $u^{1/9}$. Внутренняя функция: $g(x) = 6x - 7$.

Производная внешней функции: $(u^{1/9})' = \frac{1}{9}u^{1/9 - 1} = \frac{1}{9}u^{-8/9}$.

Производная внутренней функции: $(6x - 7)' = 6$.

Применяем цепное правило:

$y' = \frac{1}{9}(6x - 7)^{-8/9} \cdot 6 = \frac{6}{9}(6x - 7)^{-8/9} = \frac{2}{3(6x - 7)^{8/9}}$

Запишем ответ в виде корня:

$y' = \frac{2}{3\sqrt[9]{(6x - 7)^8}}$

Ответ: $y' = \frac{2}{3\sqrt[9]{(6x-7)^8}}$

г) Для нахождения производной функции $y = \sqrt[5]{2x + 1}$ представим ее в виде степенной функции и применим правило дифференцирования сложной функции.

$y = (2x + 1)^{1/5}$

Внешняя функция: $u^{1/5}$. Внутренняя функция: $g(x) = 2x + 1$.

Производная внешней функции: $(u^{1/5})' = \frac{1}{5}u^{1/5 - 1} = \frac{1}{5}u^{-4/5}$.

Производная внутренней функции: $(2x + 1)' = 2$.

Применяем цепное правило:

$y' = \frac{1}{5}(2x + 1)^{-4/5} \cdot 2 = \frac{2}{5(2x + 1)^{4/5}}$

Запишем ответ в виде корня:

$y' = \frac{2}{5\sqrt[5]{(2x + 1)^4}}$

Ответ: $y' = \frac{2}{5\sqrt[5]{(2x+1)^4}}$