Страница 29, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Вычислите корень n-й степени:

4.7. a) $ \sqrt[9]{512} $;

б) $ \sqrt[4]{\frac{16}{625}} $;

в) $ \sqrt[3]{1331} $;

г) $ \sqrt[4]{\frac{81}{256}} $.

а) Чтобы вычислить корень 9-й степени из 512, необходимо найти число, которое при возведении в 9-ю степень даст 512. Запишем это в виде выражения: $\sqrt[9]{512}$.

Мы знаем, что 512 является степенью числа 2. Проверим: $2^9 = 512$.

Следовательно, мы можем переписать исходное выражение, подставив $2^9$ вместо 512:

$\sqrt[9]{512} = \sqrt[9]{2^9}$

Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$), получаем:

$\sqrt[9]{2^9} = 2$

Ответ: 2

б) Чтобы вычислить корень 4-й степени из дроби $\frac{16}{625}$, воспользуемся свойством корня от дроби, которое гласит: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$\sqrt[4]{\frac{16}{625}} = \frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{625}}$

Теперь вычислим корень числителя и корень знаменателя по отдельности.

Для числителя: нужно найти число, которое в 4-й степени равно 16. Это число 2, так как $2^4 = 16$. Значит, $\sqrt[4]{16} = 2$.

Для знаменателя: нужно найти число, которое в 4-й степени равно 625. Это число 5, так как $5^4 = 625$. Значит, $\sqrt[4]{625} = 5$.

Подставим найденные значения обратно в дробь:

$\frac{\sqrt[4]{16}}{\sqrt[4]{625}} = \frac{2}{5}$

Ответ: $\frac{2}{5}$

в) Нам необходимо вычислить кубический корень из 1331, то есть найти такое число $x$, что $x^3 = 1331$. Выражение: $\sqrt[3]{1331}$.

Поскольку число 1331 оканчивается на 1, его кубический корень также должен оканчиваться на 1. Проверим число 11:

$11^3 = 11 \times 11 \times 11 = 121 \times 11 = 1331$.

Таким образом, мы нашли, что $11^3 = 1331$.

Теперь мы можем вычислить корень:

$\sqrt[3]{1331} = \sqrt[3]{11^3} = 11$.

Ответ: 11

г) Для вычисления корня 4-й степени из дроби $\frac{81}{256}$ применим свойство корня от дроби: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

$\sqrt[4]{\frac{81}{256}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{256}}$

Вычислим корни числителя и знаменателя.

Числитель: ищем число, которое в 4-й степени даёт 81. Это число 3, поскольку $3^4 = 81$. Таким образом, $\sqrt[4]{81} = 3$.

Знаменатель: ищем число, которое в 4-й степени даёт 256. Это число 4, поскольку $4^4 = 256$. Таким образом, $\sqrt[4]{256} = 4$.

Теперь объединим результаты:

$\frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{256}} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

4.8. а) $\sqrt[3]{0,125}$;

б) $\sqrt[4]{0,0081}$;

в) $\sqrt[4]{0,0625}$;

г) $\sqrt[3]{0,027}$.

а) Для вычисления корня кубического из $0,125$ представим это число в виде обыкновенной дроби. $0,125 = \frac{125}{1000}$. Теперь извлечем корень: $\sqrt[3]{0,125} = \sqrt[3]{\frac{125}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{1000}}$. Поскольку $5^3 = 125$ и $10^3 = 1000$, мы получаем: $\frac{5}{10} = 0,5$. Можно также проверить, что $0,5^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125$.
Ответ: $0,5$.

б) Чтобы найти корень четвертой степени из $0,0081$, представим его в виде обыкновенной дроби: $0,0081 = \frac{81}{10000}$. Теперь вычислим корень: $\sqrt[4]{0,0081} = \sqrt[4]{\frac{81}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{10000}}$. Так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$ и $10^4 = 10000$, то: $\frac{3}{10} = 0,3$.
Ответ: $0,3$.

в) Для вычисления корня четвертой степени из $0,0625$ представим число в виде дроби: $0,0625 = \frac{625}{10000}$. Извлечем корень: $\sqrt[4]{0,0625} = \sqrt[4]{\frac{625}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{10000}}$. Зная, что $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$ и $10^4 = 10000$, получаем: $\frac{5}{10} = 0,5$.
Ответ: $0,5$.

г) Для вычисления корня кубического из $0,027$ представим его в виде обыкновенной дроби: $0,027 = \frac{27}{1000}$. Теперь вычислим корень: $\sqrt[3]{0,027} = \sqrt[3]{\frac{27}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}}$. Поскольку $3^3 = 27$ и $10^3 = 1000$, результат равен: $\frac{3}{10} = 0,3$.
Ответ: $0,3$.

4.9. a) $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}$;

б) $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$;

В) $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}$;

Г) $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}$.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{5\frac{1}{16}}$ сначала преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь:$5\frac{1}{16} = \frac{5 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{80 + 1}{16} = \frac{81}{16}$.Теперь исходное выражение можно записать как $\sqrt[4]{\frac{81}{16}}$.Используем свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:$\sqrt[4]{\frac{81}{16}} = \frac{\sqrt[4]{81}}{\sqrt[4]{16}}$.Вычислим корень четвертой степени из числителя и знаменателя:$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.$\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.Таким образом, получаем:$\frac{3}{2} = 1.5$.
Ответ: $1.5$.

б) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:$3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{24 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.Теперь исходное выражение можно записать как $\sqrt[3]{\frac{27}{8}}$.Используем свойство корня из дроби:$\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}$.Вычислим кубический корень из числителя и знаменателя:$\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.$\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.Таким образом, получаем:$\frac{3}{2} = 1.5$.
Ответ: $1.5$.

в) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{7\frac{58}{81}}$ преобразуем смешанное число в неправильную дробь:$7\frac{58}{81} = \frac{7 \cdot 81 + 58}{81} = \frac{567 + 58}{81} = \frac{625}{81}$.Теперь исходное выражение можно записать как $\sqrt[4]{\frac{625}{81}}$.Используем свойство корня из дроби:$\sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{81}}$.Вычислим корень четвертой степени из числителя и знаменателя:$\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.$\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.Таким образом, получаем дробь $\frac{5}{3}$, которую можно представить в виде смешанного числа:$\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$.
Ответ: $1\frac{2}{3}$.

г) Для вычисления значения выражения $\sqrt[5]{7\frac{19}{32}}$ преобразуем смешанное число в неправильную дробь:$7\frac{19}{32} = \frac{7 \cdot 32 + 19}{32} = \frac{224 + 19}{32} = \frac{243}{32}$.Теперь исходное выражение можно записать как $\sqrt[5]{\frac{243}{32}}$.Используем свойство корня из дроби:$\sqrt[5]{\frac{243}{32}} = \frac{\sqrt[5]{243}}{\sqrt[5]{32}}$.Вычислим корень пятой степени из числителя и знаменателя:$\sqrt[5]{243} = 3$, так как $3^5 = 243$.$\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.Таким образом, получаем:$\frac{3}{2} = 1.5$.
Ответ: $1.5$.

4.10. а) $\sqrt[7]{-128}$;

б) $\sqrt[3]{\frac{1}{8}};$

в) $\sqrt[3]{-64};$

г) $\sqrt[5]{-\frac{1}{32}}$.

а) Чтобы найти корень седьмой степени из -128, необходимо найти число, которое при возведении в седьмую степень даст -128. Обозначим это число как $x$, тогда $x^7 = -128$. Поскольку показатель корня (7) является нечетным числом, корень из отрицательного числа существует и является отрицательным. Мы можем представить -128 как степень числа -2: $(-2)^7 = -128$. Следовательно, $ \sqrt[7]{-128} = \sqrt[7]{(-2)^7} = -2 $.

Ответ: -2

б) Для вычисления корня из дроби используем свойство $ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $: $ \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}} $. Вычисляем корни для числителя и знаменателя: $ \sqrt[3]{1} = 1 $, так как $1^3 = 1$. $ \sqrt[3]{8} = 2 $, так как $2^3 = 8$. Подставляем полученные значения: $ \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Требуется найти корень кубический из -64. Так как показатель корня (3) — нечетное число, мы можем вынести знак минус за знак корня: $ \sqrt[3]{-64} = -\sqrt[3]{64} $. Теперь найдем значение $ \sqrt[3]{64} $. Нам нужно найти число, которое при возведении в куб равно 64. Этим числом является 4, потому что $4^3 = 64$. Таким образом, $ \sqrt[3]{-64} = -4 $.

Ответ: -4

г) Для вычисления корня пятой степени из $ -\frac{1}{32} $, заметим, что показатель корня (5) нечетный. Это позволяет нам работать с отрицательным подкоренным выражением. Представим дробь $ -\frac{1}{32} $ как степень: $ -\frac{1}{32} = -(\frac{1}{2})^5 = (-\frac{1}{2})^5 $. Тогда исходное выражение можно переписать как: $ \sqrt[5]{-\frac{1}{32}} = \sqrt[5]{(-\frac{1}{2})^5} $. По определению корня нечетной степени, $ \sqrt[n]{a^n} = a $, поэтому: $ \sqrt[5]{(-\frac{1}{2})^5} = -\frac{1}{2} $.

Ответ: $ -\frac{1}{2} $

Вычислите:

4.11. а) $-2\sqrt[4]{81}$;

б) $-3\sqrt[3]{-64}$;

в) $-5\sqrt[4]{16}$;

г) $-4\sqrt[5]{-32}$.

а) Чтобы вычислить выражение $-2\sqrt[4]{81}$, найдем значение корня четвертой степени из 81. Числом, которое при возведении в четвертую степень дает 81, является 3, так как $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$. Таким образом, $\sqrt[4]{81} = 3$. Теперь умножим полученный результат на коэффициент -2: $-2 \cdot \sqrt[4]{81} = -2 \cdot 3 = -6$.
Ответ: -6

б) Чтобы вычислить выражение $-3\sqrt[3]{-64}$, найдем значение кубического корня из -64. Так как степень корня нечетная (3), мы можем извлекать корень из отрицательного числа. Числом, которое при возведении в куб дает -64, является -4, так как $(-4)^3 = (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = 16 \cdot (-4) = -64$. Таким образом, $\sqrt[3]{-64} = -4$. Теперь умножим полученный результат на коэффициент -3: $-3 \cdot \sqrt[3]{-64} = -3 \cdot (-4) = 12$.
Ответ: 12

в) Чтобы вычислить выражение $-5\sqrt[4]{16}$, найдем значение корня четвертой степени из 16. Числом, которое при возведении в четвертую степень дает 16, является 2, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$. Таким образом, $\sqrt[4]{16} = 2$. Теперь умножим полученный результат на коэффициент -5: $-5 \cdot \sqrt[4]{16} = -5 \cdot 2 = -10$.
Ответ: -10

г) Чтобы вычислить выражение $-4\sqrt[5]{-32}$, найдем значение корня пятой степени из -32. Степень корня нечетная (5), поэтому можно извлекать корень из отрицательного числа. Числом, которое при возведении в пятую степень дает -32, является -2, так как $(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -32$. Таким образом, $\sqrt[5]{-32} = -2$. Теперь умножим полученный результат на коэффициент -4: $-4 \cdot \sqrt[5]{-32} = -4 \cdot (-2) = 8$.
Ответ: 8

4.12. a) $ \sqrt[5]{32} + \sqrt[3]{-8}; $

б) $ 3\sqrt[4]{16} - 4\sqrt[3]{27}; $

в) $ \sqrt[4]{625} - \sqrt[3]{-125}; $

г) $ 12 - 6\sqrt[3]{0,125}. $

а) $\sqrt[5]{32} + \sqrt[3]{-8}$

Для решения данного выражения необходимо вычислить каждый корень по отдельности, а затем сложить полученные результаты.
Найдем корень пятой степени из 32. Нам нужно найти число, которое при возведении в пятую степень дает 32. Таким числом является 2, так как $2^5 = 32$.
$\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.
Теперь найдем корень третьей степени из -8. Нам нужно найти число, которое при возведении в третью степень дает -8. Таким числом является -2, так как $(-2)^3 = -8$.
$\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^3} = -2$.
Сложим полученные значения:
$2 + (-2) = 0$.
Ответ: 0

б) $3\sqrt[4]{16} - 4\sqrt[3]{27}$

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности.
Сначала найдем значение выражения $3\sqrt[4]{16}$. Корень четвертой степени из 16 равен 2, так как $2^4 = 16$.
$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.
Тогда $3\sqrt[4]{16} = 3 \times 2 = 6$.
Теперь найдем значение выражения $4\sqrt[3]{27}$. Корень третьей степени из 27 равен 3, так как $3^3 = 27$.
$\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^3} = 3$.
Тогда $4\sqrt[3]{27} = 4 \times 3 = 12$.
Вычтем второе значение из первого:
$6 - 12 = -6$.
Ответ: -6

в) $\sqrt[4]{625} - \sqrt[3]{-125}$

Вычислим каждый корень отдельно.
Корень четвертой степени из 625 равен 5, так как $5^4 = 625$.
$\sqrt[4]{625} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.
Корень третьей степени из -125 равен -5, так как $(-5)^3 = -125$.
$\sqrt[3]{-125} = \sqrt[3]{(-5)^3} = -5$.
Теперь выполним вычитание:
$5 - (-5) = 5 + 5 = 10$.
Ответ: 10

г) $12 - 6\sqrt[3]{0,125}$

Сначала вычислим значение выражения $6\sqrt[3]{0,125}$.
Найдем корень третьей степени из 0,125. Число 0,125 можно представить как $0,5^3$, так как $0,5 \times 0,5 \times 0,5 = 0,125$.
$\sqrt[3]{0,125} = \sqrt[3]{0,5^3} = 0,5$.
Теперь умножим полученное значение на 6:
$6 \times 0,5 = 3$.
И, наконец, выполним вычитание:
$12 - 3 = 9$.
Ответ: 9

4.13. Найдите такое число a, чтобы выполнялось равенство:

а) $\sqrt[3]{a} = -4$;

б) $\sqrt[6]{-a} = \frac{2}{3}$;

в) $\sqrt[4]{-a} = 2$;

г) $\sqrt[5]{a} = 1\frac{1}{2}$.

а) Дано равенство $\sqrt[3]{a} = -4$. Чтобы найти a, необходимо возвести обе части равенства в третью степень. Это действие является обратным к извлечению кубического корня.

$(\sqrt[3]{a})^3 = (-4)^3$

$a = -64$

Ответ: $a = -64$.

б) Дано равенство $\sqrt[6]{-a} = \frac{2}{3}$. Так как показатель корня (6) — четное число, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-a \ge 0$, что эквивалентно условию $a \le 0$. Чтобы найти a, возведем обе части равенства в шестую степень.

$(\sqrt[6]{-a})^6 = (\frac{2}{3})^6$

$-a = \frac{2^6}{3^6} = \frac{64}{729}$

Далее, умножим обе части на -1:

$a = -\frac{64}{729}$

Полученное значение $a = -\frac{64}{729}$ удовлетворяет условию $a \le 0$.

Ответ: $a = -\frac{64}{729}$.

в) Дано равенство $\sqrt[4]{-a} = 2$. Показатель корня (4) — четное число, поэтому подкоренное выражение не может быть отрицательным: $-a \ge 0$, или $a \le 0$. Возведем обе части равенства в четвертую степень.

$(\sqrt[4]{-a})^4 = 2^4$

$-a = 16$

Отсюда, умножая на -1, находим a:

$a = -16$

Данное значение удовлетворяет условию $a \le 0$.

Ответ: $a = -16$.

г) Дано равенство $\sqrt[5]{a} = 1\frac{1}{2}$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь равенство имеет вид: $\sqrt[5]{a} = \frac{3}{2}$. Для нахождения a возведем обе части в пятую степень.

$(\sqrt[5]{a})^5 = (\frac{3}{2})^5$

$a = \frac{3^5}{2^5} = \frac{243}{32}$

Этот результат также можно представить в виде смешанного числа $7\frac{19}{32}$.

Ответ: $a = \frac{243}{32}$.

4.14. Подберите показатель корня $n$ так, чтобы выполнялось равенство:

а) $\sqrt[n]{117\,649} = 7;$

б) $\sqrt[n]{-12\frac{209}{243}} = -1\frac{2}{3};$

в) $\sqrt[n]{46\,656} = 6;$

г) $\sqrt[n]{3\frac{13}{81}} = 1\frac{1}{3}.$

а) Дано равенство $\sqrt[n]{117649} = 7$.
По определению корня n-й степени, это равенство эквивалентно следующему: $7^n = 117649$.
Чтобы найти $n$, будем последовательно возводить число 7 в натуральную степень:
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 343$
$7^4 = 2401$
$7^5 = 16807$
$7^6 = 117649$
Таким образом, мы видим, что искомый показатель корня $n=6$.
Ответ: 6

б) Дано равенство $\sqrt[n]{-12\frac{209}{243}} = -1\frac{2}{3}$.
Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$-12\frac{209}{243} = -\frac{12 \cdot 243 + 209}{243} = -\frac{2916 + 209}{243} = -\frac{3125}{243}$
$-1\frac{2}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{5}{3}$
Теперь равенство выглядит так: $\sqrt[n]{-\frac{3125}{243}} = -\frac{5}{3}$.
По определению корня, это эквивалентно $(-\frac{5}{3})^n = -\frac{3125}{243}$.
Так как результат возведения в степень отрицательный, показатель степени $n$ должен быть нечетным числом. Проверим нечетные степени числа $-\frac{5}{3}$:
$(-\frac{5}{3})^1 = -\frac{5}{3}$
$(-\frac{5}{3})^3 = -\frac{5^3}{3^3} = -\frac{125}{27}$
$(-\frac{5}{3})^5 = -\frac{5^5}{3^5} = -\frac{3125}{243}$
Следовательно, показатель корня $n=5$.
Ответ: 5

в) Дано равенство $\sqrt[n]{46656} = 6$.
Это равенство можно переписать в виде $6^n = 46656$.
Найдем $n$ путем последовательного возведения числа 6 в натуральную степень:
$6^1 = 6$
$6^2 = 36$
$6^3 = 216$
$6^4 = 1296$
$6^5 = 7776$
$6^6 = 46656$
Отсюда следует, что показатель корня $n=6$.
Ответ: 6

г) Дано равенство $\sqrt[n]{3\frac{13}{81}} = 1\frac{1}{3}$.
Преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$3\frac{13}{81} = \frac{3 \cdot 81 + 13}{81} = \frac{243 + 13}{81} = \frac{256}{81}$
$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
Подставим полученные дроби в исходное равенство: $\sqrt[n]{\frac{256}{81}} = \frac{4}{3}$.
Это равенство эквивалентно $(\frac{4}{3})^n = \frac{256}{81}$.
Найдем $n$, возводя дробь $\frac{4}{3}$ в натуральную степень:
$(\frac{4}{3})^1 = \frac{4}{3}$
$(\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}$
$(\frac{4}{3})^3 = \frac{64}{27}$
$(\frac{4}{3})^4 = \frac{4^4}{3^4} = \frac{256}{81}$
Таким образом, показатель корня $n=4$.
Ответ: 4

4.15. Определите знак разности:

а) $\sqrt[3]{15} - \sqrt[4]{90};$

б) $3 - \sqrt[7]{150};$

в) $\sqrt[5]{40} - \sqrt[3]{50};$

г) $\sqrt[4]{300} - 5.$

а) Чтобы определить знак разности, необходимо сравнить числа $ \sqrt[3]{15} $ и $ \sqrt[4]{90} $. Для этого приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 3 и 4 равно 12. Возведем оба числа в 12-ю степень, так как для положительных чисел $a$ и $b$ неравенство $a < b$ равносильно неравенству $a^{12} < b^{12}$.
$ (\sqrt[3]{15})^{12} = 15^{\frac{12}{3}} = 15^4 $
$ (\sqrt[4]{90})^{12} = 90^{\frac{12}{4}} = 90^3 $
Теперь сравним полученные результаты:
$ 15^4 = (3 \cdot 5)^4 = 3^4 \cdot 5^4 = 81 \cdot 625 = 50625 $
$ 90^3 = (9 \cdot 10)^3 = 9^3 \cdot 10^3 = 729 \cdot 1000 = 729000 $
Так как $ 50625 < 729000 $, то $ 15^4 < 90^3 $, и, следовательно, $ \sqrt[3]{15} < \sqrt[4]{90} $.
Таким образом, разность $ \sqrt[3]{15} - \sqrt[4]{90} $ отрицательна.
Ответ: знак минус (–).

б) Чтобы определить знак разности, сравним числа 3 и $ \sqrt[7]{150} $. Представим число 3 в виде корня 7-й степени: $ 3 = \sqrt[7]{3^7} $.
Вычислим $ 3^7 $:
$ 3^7 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2187 $
Теперь сравним $ \sqrt[7]{2187} $ и $ \sqrt[7]{150} $.
Так как $ 2187 > 150 $, то $ \sqrt[7]{2187} > \sqrt[7]{150} $, а значит $ 3 > \sqrt[7]{150} $.
Следовательно, разность $ 3 - \sqrt[7]{150} $ положительна.
Ответ: знак плюс (+).

в) Чтобы определить знак разности, сравним числа $ \sqrt[5]{40} $ и $ \sqrt[3]{50} $. Приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей 5 и 3 равно 15. Возведем оба числа в 15-ю степень.
$ (\sqrt[5]{40})^{15} = 40^{\frac{15}{5}} = 40^3 $
$ (\sqrt[3]{50})^{15} = 50^{\frac{15}{3}} = 50^5 $
Теперь сравним полученные результаты:
$ 40^3 = 4^3 \cdot 10^3 = 64 \cdot 1000 = 64000 $
$ 50^5 = 5^5 \cdot 10^5 = 3125 \cdot 100000 = 312500000 $
Так как $ 64000 < 312500000 $, то $ 40^3 < 50^5 $, и, следовательно, $ \sqrt[5]{40} < \sqrt[3]{50} $.
Таким образом, разность $ \sqrt[5]{40} - \sqrt[3]{50} $ отрицательна.
Ответ: знак минус (–).

г) Чтобы определить знак разности, сравним числа $ \sqrt[4]{300} $ и 5. Представим число 5 в виде корня 4-й степени: $ 5 = \sqrt[4]{5^4} $.
Вычислим $ 5^4 $:
$ 5^4 = 625 $
Теперь сравним $ \sqrt[4]{300} $ и $ \sqrt[4]{625} $.
Так как $ 300 < 625 $, то $ \sqrt[4]{300} < \sqrt[4]{625} $, а значит $ \sqrt[4]{300} < 5 $.
Следовательно, разность $ \sqrt[4]{300} - 5 $ отрицательна.
Ответ: знак минус (–).

4.16. Между какими соседними целыми числами расположено число:

а) $\sqrt{5}$;

б) $\sqrt[3]{-19}$;

в) $\sqrt[4]{52}$;

г) $\sqrt[5]{-670}$?

а) Чтобы найти, между какими соседними целыми числами расположено число $\sqrt{5}$, нужно найти два последовательных целых числа, квадраты которых "ограничивают" число 5. Рассмотрим квадраты целых чисел: $1^2 = 1$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9$. Мы видим, что $4 < 5 < 9$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $2^2 < 5 < 3^2$. Так как функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей для $x > 0$, мы можем извлечь квадратный корень из всех частей неравенства, сохранив его знак: $\sqrt{2^2} < \sqrt{5} < \sqrt{3^2}$. Отсюда получаем $2 < \sqrt{5} < 3$. Таким образом, число $\sqrt{5}$ расположено между целыми числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

б) Чтобы найти, между какими соседними целыми числами расположено число $\sqrt[3]{-19}$, нужно найти два последовательных целых числа, кубы которых "ограничивают" число -19. Так как подкоренное выражение отрицательное, результат будет отрицательным. Рассмотрим кубы отрицательных целых чисел: $(-1)^3 = -1$, $(-2)^3 = -8$, $(-3)^3 = -27$. Мы видим, что $-27 < -19 < -8$. Запишем это в виде двойного неравенства: $(-3)^3 < -19 < (-2)^3$. Функция $y = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей на всей числовой оси, поэтому извлечение кубического корня из всех частей неравенства сохранит его знаки: $\sqrt[3]{(-3)^3} < \sqrt[3]{-19} < \sqrt[3]{(-2)^3}$. Отсюда получаем $-3 < \sqrt[3]{-19} < -2$. Таким образом, число $\sqrt[3]{-19}$ расположено между целыми числами -3 и -2.
Ответ: -3 и -2.

в) Чтобы найти, между какими соседними целыми числами расположено число $\sqrt[4]{52}$, нужно найти два последовательных целых числа, четвертые степени которых "ограничивают" число 52. Рассмотрим четвертые степени целых чисел: $1^4 = 1$, $2^4 = 16$, $3^4 = 81$. Мы видим, что $16 < 52 < 81$. Запишем это в виде двойного неравенства: $2^4 < 52 < 3^4$. Функция $y = \sqrt[4]{x}$ является возрастающей для $x > 0$, поэтому извлечение корня четвертой степени из всех частей неравенства сохранит его знак: $\sqrt[4]{2^4} < \sqrt[4]{52} < \sqrt[4]{3^4}$. Отсюда получаем $2 < \sqrt[4]{52} < 3$. Таким образом, число $\sqrt[4]{52}$ расположено между целыми числами 2 и 3.
Ответ: 2 и 3.

г) Чтобы найти, между какими соседними целыми числами расположено число $\sqrt[5]{-670}$, нужно найти два последовательных целых числа, пятые степени которых "ограничивают" число -670. Так как подкоренное выражение отрицательное, результат будет отрицательным. Рассмотрим пятые степени отрицательных целых чисел: $(-1)^5 = -1$, $(-2)^5 = -32$, $(-3)^5 = -243$, $(-4)^5 = -1024$. Мы видим, что $-1024 < -670 < -243$. Запишем это в виде двойного неравенства: $(-4)^5 < -670 < (-3)^5$. Функция $y = \sqrt[5]{x}$ является возрастающей на всей числовой оси, поэтому извлечение корня пятой степени из всех частей неравенства сохранит его знаки: $\sqrt[5]{(-4)^5} < \sqrt[5]{-670} < \sqrt[5]{(-3)^5}$. Отсюда получаем $-4 < \sqrt[5]{-670} < -3$. Таким образом, число $\sqrt[5]{-670}$ расположено между целыми числами -4 и -3.
Ответ: -4 и -3.

4.17. Решите уравнение:

a) $x^3 = 125$;

б) $x^7 = \frac{1}{128}$;

В) $x^5 = 32$;

Г) $x^9 = 1$.

а) $x^3 = 125$

Чтобы решить это уравнение, необходимо найти число, которое при возведении в третью степень даст 125. Это эквивалентно извлечению кубического корня из обеих частей уравнения.

$x = \sqrt[3]{125}$

Мы знаем, что $5 \times 5 \times 5 = 125$, то есть $5^3 = 125$.

Уравнение можно переписать в виде: $x^3 = 5^3$.

Поскольку показатели степени нечетные и равны, то и основания должны быть равны.

Следовательно, $x = 5$.

Ответ: $5$

б) $x^7 = \frac{1}{128}$

Чтобы решить это уравнение, нужно найти число, которое при возведении в седьмую степень даст $\frac{1}{128}$. Для этого извлечем корень седьмой степени из обеих частей уравнения.

$x = \sqrt[7]{\frac{1}{128}}$

Представим число 128 как степень двойки: $2^7 = 128$.

Тогда правую часть уравнения можно записать так: $\frac{1}{128} = \frac{1}{2^7} = (\frac{1}{2})^7$.

Уравнение принимает вид: $x^7 = (\frac{1}{2})^7$.

Поскольку показатели степени нечетные и равны, то и основания должны быть равны.

$x = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $x^5 = 32$

Для решения этого уравнения найдем число, которое в пятой степени равно 32. Это означает, что нужно извлечь корень пятой степени из обеих частей уравнения.

$x = \sqrt[5]{32}$

Мы знаем, что $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде $x^5 = 2^5$.

Отсюда следует, что $x = 2$.

Ответ: $2$

г) $x^9 = 1$

Чтобы решить уравнение, нужно найти число, которое при возведении в девятую степень дает 1. Извлечем корень девятой степени из обеих частей.

$x = \sqrt[9]{1}$

Единственное действительное число, которое при возведении в любую положительную степень равно 1, это само число 1, так как $1^9 = 1$.

Уравнение можно записать как $x^9 = 1^9$.

Следовательно, $x = 1$.

Ответ: $1$