Страница 23, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Приведите пример однородного многочлена $p(x; y)$ второй степени; третьей степени.

Однородный многочлен от нескольких переменных — это многочлен, у которого все одночлены (члены) имеют одинаковую полную степень. Полная степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

второй степени

Однородный многочлен $p(x; y)$ второй степени — это такой многочлен, у которого сумма степеней переменных $x$ и $y$ в каждом его члене равна 2. Общий вид такого многочлена: $p(x; y) = ax^2 + bxy + cy^2$, где $a$, $b$, $c$ — это числовые коэффициенты, и хотя бы один из них не равен нулю.

Например, рассмотрим многочлен $p(x; y) = 3x^2 - 7xy + 2y^2$. Он состоит из трех членов:

• $3x^2$: степень этого члена равна 2.
• $-7xy$: степени переменных $x$ и $y$ равны 1, их сумма $1+1=2$.
• $2y^2$: степень этого члена равна 2.

Поскольку все члены многочлена имеют степень 2, он является однородным многочленом второй степени.

Ответ: $p(x; y) = 3x^2 - 7xy + 2y^2$

третьей степени

Аналогично, однородный многочлен $p(x; y)$ третьей степени — это многочлен, у которого сумма степеней переменных $x$ и $y$ в каждом его члене равна 3. Общий вид такого многочлена: $p(x; y) = ax^3 + bx^2y + cxy^2 + dy^3$, где $a$, $b$, $c$, $d$ — это числовые коэффициенты, и хотя бы один из них не равен нулю.

Например, рассмотрим многочлен $p(x; y) = x^3 + 5x^2y - y^3$. Он состоит из трех членов:

• $x^3$: степень этого члена равна 3.
• $5x^2y$: степени переменных $x$ и $y$ равны 2 и 1, их сумма $2+1=3$.
• $-y^3$: степень этого члена равна 3.

Поскольку все члены многочлена имеют степень 3, он является однородным многочленом третьей степени.

Ответ: $p(x; y) = x^3 + 5x^2y - y^3$

2. Что такое однородное уравнение третьей степени с двумя переменными? Приведите пример.

Что такое однородное уравнение третьей степени с двумя переменными?

Однородное уравнение третьей степени с двумя переменными — это алгебраическое уравнение, содержащее две переменные (например, $x$ и $y$), у которого все члены имеют одинаковую степень, равную трем. Степенью члена (одночлена) называется сумма показателей степеней входящих в него переменных.

В общем виде такое уравнение записывается как:
$Ax^3 + Bx^2y + Cxy^2 + Dy^3 = 0$
где $x$ и $y$ — переменные, а $A, B, C, D$ — числовые коэффициенты, и хотя бы один из них не равен нулю.

Проверим степени каждого члена в общем виде:

• Степень одночлена $Ax^3$ равна 3.
• Степень одночлена $Bx^2y$ равна $2+1=3$.
• Степень одночлена $Cxy^2$ равна $1+2=3$.
• Степень одночлена $Dy^3$ равна 3.

Так как все члены многочлена в левой части уравнения имеют одну и ту же степень (3), уравнение является однородным третьей степени.

Ответ: Однородным уравнением третьей степени с двумя переменными называется уравнение вида $P(x, y) = 0$, где $P(x, y)$ — многочлен, у которого сумма степеней переменных в каждом члене равна 3. Его общий вид: $Ax^3 + Bx^2y + Cxy^2 + Dy^3 = 0$.

Приведите пример.

Примером однородного уравнения третьей степени с двумя переменными может служить следующее уравнение:
$x^3 + 6x^2y - 11xy^2 - 6y^3 = 0$

В данном уравнении:

• член $x^3$ имеет степень 3;
• член $6x^2y$ имеет степень $2+1=3$;
• член $-11xy^2$ имеет степень $1+2=3$;
• член $-6y^3$ имеет степень 3.

Все члены уравнения имеют степень 3, следовательно, это однородное уравнение третьей степени.

Ответ: $x^3 + 6x^2y - 11xy^2 - 6y^3 = 0$.

3. Решите уравнение $x^2 - 5xy + 6y^2 = 0$.

Данное уравнение $x^2 - 5xy + 6y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Для его решения можно рассмотреть его как квадратное уравнение относительно одной из переменных, например, относительно $x$.

Запишем уравнение в стандартном виде для квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a, b, c$ будут зависеть от переменной $y$:
$a = 1$
$b = -5y$
$c = 6y^2$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6y^2) = 25y^2 - 24y^2 = y^2$

Теперь найдем значения $x$ по формуле корней квадратного уравнения $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x = \frac{-(-5y) \pm \sqrt{y^2}}{2 \cdot 1} = \frac{5y \pm y}{2}$

Это дает два возможных решения для $x$:
1) $x_1 = \frac{5y + y}{2} = \frac{6y}{2} = 3y$
2) $x_2 = \frac{5y - y}{2} = \frac{4y}{2} = 2y$

Таким образом, решениями исходного уравнения являются все пары чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют одному из двух линейных уравнений: $x=2y$ или $x=3y$. Геометрически, множество решений представляет собой две прямые линии на координатной плоскости, проходящие через начало координат.

Альтернативно, можно было разложить левую часть на множители: $x^2 - 5xy + 6y^2 = (x - 2y)(x - 3y)$. Приравняв это выражение к нулю, $(x - 2y)(x - 3y) = 0$, получим те же самые два случая: $x-2y=0$ или $x-3y=0$.

Ответ: $x=2y$; $x=3y$.

4. В каком случае систему $ \begin{cases} p(x; y) = a, \\ q(x; y) = b \end{cases} $ называют однородной?

Опишите алгоритм её решения.

В каком случае систему $\begin{cases} p(x; y) = a, \\ q(x; y) = b \end{cases}$ называют однородной?

Систему уравнений называют однородной, если функции $p(x, y)$ и $q(x, y)$, стоящие в левых частях уравнений, являются однородными многочленами одной и той же степени $n$.

Напомним, что многочлен $P(x, y)$ называется однородным многочленом степени $n$, если для любого числа $t \ne 0$ выполняется тождество $P(tx, ty) = t^n P(x, y)$. Проще говоря, это многочлен, у которого все его члены (одночлены) имеют одинаковую суммарную степень. Например, многочлен $p(x, y) = 2x^3 - 5x^2y + 7y^3$ является однородным многочленом третьей степени, так как степени всех его одночленов ($2x^3$, $-5x^2y$, $7y^3$) равны 3.

Пример однородной системы уравнений:

Здесь $p(x, y) = x^2 + 3xy$ и $q(x, y) = y^2 - 2xy$ — это однородные многочлены второй степени.

Ответ: Систему называют однородной, если левые части уравнений, $p(x, y)$ и $q(x, y)$, являются однородными многочленами одной и той же степени.

Опишите алгоритм её решения.

Алгоритм решения такой системы основан на сведении её к одному однородному уравнению, которое затем решается с помощью подстановки $y = kx$ (или $x = ky$). Это позволяет найти отношение между переменными, а затем и сами переменные.

Алгоритм решения для случая, когда $a$ и $b$ не равны нулю одновременно:

1. Получение однородного уравнения. Если $a=0$ или $b=0$, то одно из уравнений системы уже является однородным. Если же $a \neq 0$ и $b \neq 0$, то для получения однородного уравнения нужно избавиться от свободных членов. Для этого умножим первое уравнение системы на $b$, а второе на $a$: $$ \begin{cases} b \cdot p(x, y) = ab \\ a \cdot q(x, y) = ab \end{cases} $$ Приравнивая левые части, получаем однородное уравнение: $$ b \cdot p(x, y) = a \cdot q(x, y) \quad \Rightarrow \quad b \cdot p(x, y) - a \cdot q(x, y) = 0 $$
2. Проверка случая $x=0$. Подставляем $x=0$ в исходную систему и решаем её относительно $y$. Если решения существуют, то полученные пары $(0, y)$ являются решениями исходной системы.
3. Введение подстановки $y = kx$. Для поиска решений, где $x \ne 0$, вводим новую переменную $k$ через подстановку $y = kx$. Подставляем это выражение в однородное уравнение, полученное на шаге 1 (или в одно из исходных, если оно было однородным). Пусть степень однородности многочленов $p$ и $q$ равна $n$. Тогда: $$ b \cdot p(x, kx) - a \cdot q(x, kx) = 0 $$ Используя свойство однородности $p(x, kx) = x^n p(1, k)$ и $q(x, kx) = x^n q(1, k)$, получаем: $$ b \cdot x^n p(1, k) - a \cdot x^n q(1, k) = 0 $$ Выносим $x^n$ за скобки: $$ x^n (b \cdot p(1, k) - a \cdot q(1, k)) = 0 $$
4. Нахождение отношения $k$. Так как мы рассматриваем случай $x \ne 0$, то можем разделить уравнение на $x^n$. Получаем уравнение относительно одной переменной $k$: $$ b \cdot p(1, k) - a \cdot q(1, k) = 0 $$ Решаем это уравнение и находим все его действительные корни $k_1, k_2, \ldots$.
5. Нахождение переменных $x$ и $y$. Для каждого найденного значения $k_i$ выполняем обратную подстановку $y = k_i x$ в одно из исходных уравнений (например, в $p(x, y) = a$): $$ p(x, k_i x) = a \quad \Rightarrow \quad x^n p(1, k_i) = a $$ Решаем это уравнение относительно $x$. Для каждого найденного значения $x$ вычисляем соответствующее значение $y$ по формуле $y = k_i x$. Полученные пары $(x, y)$ являются решениями системы.
6. Формирование итогового ответа. Объединяем все решения, найденные на шаге 2 (для $x=0$) и на шаге 5, чтобы получить полный набор решений системы.

Ответ: Алгоритм заключается в сведении системы к одному однородному уравнению, решении его с помощью подстановки $y=kx$ для нахождения отношения $k$ между переменными, и последующей подстановке этого отношения в одно из исходных уравнений для нахождения значений самих переменных $x$ и $y$. Также необходимо отдельно проверить случай $x=0$.

5. Что такое симметрический многочлен $p(x; y)$? Приведите два примера симметрических многочленов.

Что такое симметрический многочлен p(x; y)?

Симметрический многочлен от двух переменных $p(x; y)$ — это такой многочлен, который не изменяет своего вида и значения при любой перестановке (замене местами) его переменных. Для многочлена от двух переменных $x$ и $y$ это означает, что должно выполняться тождество: $p(x, y) = p(y, x)$. Это свойство выполняется, если для каждого члена многочлена вида $a \cdot x^k y^m$ (где $k \neq m$) в нем также обязательно присутствует член $a \cdot x^m y^k$ с точно таким же коэффициентом $a$. Если $k=m$, то член $a \cdot x^k y^k$ уже симметричен сам по себе.

Ответ: Симметрический многочлен $p(x; y)$ — это многочлен, который не изменяется при перестановке переменных $x$ и $y$, то есть для него выполняется тождество $p(x, y) = p(y, x)$.

Приведите два примера симметрических многочленов.

1. Пример 1: $p(x, y) = x^2 + y^2$.
Этот многочлен является симметрическим. Чтобы это проверить, поменяем переменные $x$ и $y$ местами: $p(y, x) = y^2 + x^2$. В силу коммутативного закона сложения ($a+b=b+a$), мы знаем, что $y^2 + x^2 = x^2 + y^2$. Следовательно, $p(x, y) = p(y, x)$, что и доказывает симметричность многочлена.

2. Пример 2: $p(x, y) = x^3 + y^3 - 7xy$.
Проверим симметричность этого многочлена, поменяв переменные местами: $p(y, x) = y^3 + x^3 - 7yx$. Используя коммутативность сложения ($y^3 + x^3 = x^3 + y^3$) и умножения ($yx = xy$), мы можем переписать выражение: $p(y, x) = x^3 + y^3 - 7xy$. Таким образом, мы снова получили, что $p(x, y) = p(y, x)$, значит, этот многочлен также является симметрическим.

Ответ: $p_1(x, y) = x^2 + y^2$; $p_2(x, y) = x^3 + y^3 - 7xy$.

6. В каком случае систему $\begin{cases} p(x; y) = a, \\ q(x; y) = b \end{cases}$ называют симметрической? В чём состоит идея решения симметрической системы?

В каком случае систему $\begin{cases} p(x, y) = a \\ q(x, y) = b \end{cases}$ называют симметрической?

Система уравнений с двумя переменными $x$ и $y$ называется симметрической, если она не изменяется при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ одновременно в каждом уравнении системы. Это означает, что для функций $p(x, y)$ и $q(x, y)$, являющихся левыми частями уравнений, должны выполняться тождества:

$p(x, y) = p(y, x)$

$q(x, y) = q(y, x)$

Например, система $\begin{cases} x + y = 7 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$ является симметрической. Если поменять в ней $x$ и $y$ местами, получим систему $\begin{cases} y + x = 7 \\ y^2 + x^2 = 25 \end{cases}$, которая, очевидно, не отличается от исходной.

Важным свойством таких систем является то, что если пара чисел $(x_0, y_0)$ является решением системы, то и пара $(y_0, x_0)$ также является её решением.

Ответ: Систему называют симметрической, если при замене переменных $x$ и $y$ местами уравнения системы не изменяются, то есть $p(x, y) = p(y, x)$ и $q(x, y) = q(y, x)$.

В чём состоит идея решения симметрической системы?

Основная идея решения симметрических систем заключается во введении новых переменных, которые являются простейшими (элементарными) симметрическими многочленами от $x$ и $y$. Этими переменными являются сумма и произведение исходных переменных:

$u = x + y$

$v = xy$

Согласно основной теореме о симметрических многочленах, любой симметрический многочлен от $x$ и $y$ можно выразить через $u$ и $v$. Таким образом, исходную систему можно преобразовать в новую систему относительно переменных $u$ и $v$, которая часто оказывается проще.

Алгоритм решения выглядит следующим образом:

1. Выразить левые части уравнений системы $p(x, y)$ и $q(x, y)$ через новые переменные $u = x+y$ и $v = xy$. Для этого могут понадобиться следующие тождества:
   • $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$
   • $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = u(u^2 - 3v)$
   • $x^4 + y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2 = (u^2-2v)^2 - 2v^2$
2. Решить полученную систему уравнений относительно $u$ и $v$. Пусть найдено одно или несколько решений вида $(u_0, v_0)$.
3. Для каждой найденной пары $(u_0, v_0)$ вернуться к исходным переменным, решив систему:

   $\begin{cases} x + y = u_0 \\ xy = v_0 \end{cases}$

4. Согласно обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - u_0 t + v_0 = 0$.
5. Найти корни этого квадратного уравнения: $t_{1,2} = \frac{u_0 \pm \sqrt{u_0^2 - 4v_0}}{2}$.
6. Решениями исходной системы будут пары $(x, y)$, составленные из найденных корней: $(t_1, t_2)$ и $(t_2, t_1)$.

Ответ: Идея решения состоит в замене переменных $x$ и $y$ на новые переменные $u = x+y$ и $v = xy$. Исходная система преобразуется в систему относительно $u$ и $v$, которая, как правило, решается проще. После нахождения значений $u$ и $v$, исходные переменные $x$ и $y$ находятся как корни квадратного уравнения $t^2 - ut + v = 0$.

3.4. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых данное число $p$ является корнем данного уравнения; для каждого найденного значения $a$ решите данное уравнение:

a) $x^3 + 3x^2 - 7x + a = 0, p = 2;$

б) $x^3 - ax^2 - 5x + 4 = 0, p = 1;$

в) $2x^3 - 5x^2 + ax - 4 = 0, p = -1;$

г) $ax^3 - 3x^2 - 5x - a^2 = 0, p = -1.$

а) $x^3 + 3x^2 - 7x + a = 0$, $p = 2$

Чтобы число $p=2$ было корнем уравнения, оно должно обращать уравнение в верное равенство. Подставим $x=2$ в уравнение, чтобы найти соответствующее значение параметра $a$:
$2^3 + 3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + a = 0$
$8 + 3 \cdot 4 - 14 + a = 0$
$8 + 12 - 14 + a = 0$
$6 + a = 0$
$a = -6$

Теперь, при $a=-6$, решим уравнение:
$x^3 + 3x^2 - 7x - 6 = 0$
Поскольку мы знаем, что $x=2$ является корнем, то многочлен в левой части уравнения делится на $(x-2)$ без остатка. Выполним деление многочлена на двучлен, например, по схеме Горнера или делением в столбик. В результате деления получаем:
$(x-2)(x^2 + 5x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
1) $x - 2 = 0 \implies x_1 = 2$
2) $x^2 + 5x + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 25 - 12 = 13$
$x_{2,3} = \frac{-5 \pm \sqrt{13}}{2}$

Ответ: при $a = -6$ уравнение имеет корни $x_1 = 2$, $x_2 = \frac{-5 + \sqrt{13}}{2}$, $x_3 = \frac{-5 - \sqrt{13}}{2}$.

б) $x^3 - ax^2 - 5x + 4 = 0$, $p = 1$

Подставим корень $x=1$ в уравнение для нахождения $a$:
$1^3 - a \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 4 = 0$
$1 - a - 5 + 4 = 0$
$0 - a = 0$
$a = 0$

При $a=0$ уравнение принимает вид:
$x^3 - 5x + 4 = 0$
Так как $x=1$ — корень, разделим многочлен $x^3 - 5x + 4$ на $(x-1)$. Получим:
$(x-1)(x^2 + x - 4) = 0$
1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
2) $x^2 + x - 4 = 0$
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$
$x_{2,3} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$

Ответ: при $a = 0$ уравнение имеет корни $x_1 = 1$, $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$, $x_3 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$.

в) $2x^3 - 5x^2 + ax - 4 = 0$, $p = -1$

Подставим $x=-1$ в уравнение:
$2(-1)^3 - 5(-1)^2 + a(-1) - 4 = 0$
$2(-1) - 5(1) - a - 4 = 0$
$-2 - 5 - a - 4 = 0$
$-11 - a = 0$
$a = -11$

При $a=-11$ решаем уравнение:
$2x^3 - 5x^2 - 11x - 4 = 0$
Так как $x=-1$ — корень, разделим многочлен на $(x+1)$:
$(x+1)(2x^2 - 7x - 4) = 0$
1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$
2) $2x^2 - 7x - 4 = 0$
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$
$x_{2,3} = \frac{-(-7) \pm 9}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 9}{4}$
$x_2 = \frac{7+9}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$x_3 = \frac{7-9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: при $a = -11$ уравнение имеет корни $x_1 = -1$, $x_2 = 4$, $x_3 = -0.5$.

г) $ax^3 - 3x^2 - 5x - a^2 = 0$, $p = -1$

Подставим $x=-1$ в уравнение:
$a(-1)^3 - 3(-1)^2 - 5(-1) - a^2 = 0$
$-a - 3 + 5 - a^2 = 0$
$-a^2 - a + 2 = 0$
$a^2 + a - 2 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $a$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим его корни: $a_1 = 1$, $a_2 = -2$. Необходимо рассмотреть оба случая.

Случай 1: $a=1$
Уравнение принимает вид: $x^3 - 3x^2 - 5x - 1 = 0$.
Разделим многочлен на $(x+1)$, так как $x=-1$ является корнем:
$(x+1)(x^2 - 4x - 1) = 0$
1) $x+1=0 \implies x_1 = -1$
2) $x^2 - 4x - 1 = 0$
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20$
$x_{2,3} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

Случай 2: $a=-2$
Уравнение принимает вид: $-2x^3 - 3x^2 - 5x - (-2)^2 = 0$, то есть $-2x^3 - 3x^2 - 5x - 4 = 0$.
Умножим обе части на -1: $2x^3 + 3x^2 + 5x + 4 = 0$.
Разделим многочлен на $(x+1)$:
$(x+1)(2x^2 + x + 4) = 0$
1) $x+1=0 \implies x_1 = -1$
2) $2x^2 + x + 4 = 0$
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 1 - 32 = -31$
Так как $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.

Ответ: задача имеет два решения:
1) при $a = 1$ корни уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = 2 + \sqrt{5}$, $x_3 = 2 - \sqrt{5}$;
2) при $a = -2$ уравнение имеет один действительный корень: $x = -1$.

3.5. Найдите целые корни уравнения:

a) $x^3 + 3x^2 - 5x - 4 = 0;$

б) $x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 9x + 3 = 0;$

в) $x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 4x + 6 = 0;$

г) $x^5 - x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 4x - 4 = 0.$

а) $x^3 + 3x^2 - 5x - 4 = 0$

Согласно теореме о рациональных корнях, целые корни уравнения с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена. Свободный член равен -4. Возможные целые корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Проверим эти значения подстановкой в уравнение. Пусть $P(x) = x^3 + 3x^2 - 5x - 4$.
При $x = 1$: $P(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 5(1) - 4 = 1 + 3 - 5 - 4 = -5 \neq 0$.
При $x = -1$: $P(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 5(-1) - 4 = -1 + 3 + 5 - 4 = 3 \neq 0$.
При $x = 2$: $P(2) = 2^3 + 3(2)^2 - 5(2) - 4 = 8 + 12 - 10 - 4 = 6 \neq 0$.
При $x = -2$: $P(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 5(-2) - 4 = -8 + 12 + 10 - 4 = 10 \neq 0$.
При $x = 4$: $P(4) = 4^3 + 3(4)^2 - 5(4) - 4 = 64 + 48 - 20 - 4 = 88 \neq 0$.
При $x = -4$: $P(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 5(-4) - 4 = -64 + 48 + 20 - 4 = 0$.
Таким образом, $x = -4$ — корень уравнения. Это означает, что многочлен делится на $(x+4)$.

Разделив многочлен $x^3 + 3x^2 - 5x - 4$ на $(x+4)$, получим в частном $x^2 - x - 1$. Таким образом, уравнение можно записать в виде $(x+4)(x^2 - x - 1) = 0$.

Теперь решим квадратное уравнение $x^2 - x - 1 = 0$. Его дискриминант $D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 5$. Корни $x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ не являются целыми числами.

Следовательно, единственным целым корнем уравнения является -4.

Ответ: -4.

б) $x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 9x + 3 = 0$

Возможные целые корни являются делителями свободного члена, равного 3. Это числа $\pm 1, \pm 3$. Проверка подстановкой показывает, что ни одно из этих чисел не является корнем уравнения.

Попробуем разложить многочлен на множители методом группировки:

$x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 9x + 3 = (x^4 + x^2) + (3x^2 + 3) - 3x^3 - 9x = x^2(x^2+1) + 3(x^2+1) - 3x(x^2+3)$

Такая группировка не приводит к успеху. Попробуем иначе:

$(x^4 - 3x^3 + x^2) + (3x^2 - 9x + 3) = x^2(x^2 - 3x + 1) + 3(x^2 - 3x + 1) = 0$

$(x^2 + 3)(x^2 - 3x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = -3$. Это уравнение не имеет действительных корней, а значит, и целых.

2) $x^2 - 3x + 1 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5$. Корни $x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$ не являются целыми.

Таким образом, у исходного уравнения нет целых корней.

Ответ: целых корней нет.

в) $x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 4x + 6 = 0$

Целые корни уравнения могут быть только среди делителей свободного члена, равного 6. Делители: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Проверим их подстановкой. Пусть $P(x) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 4x + 6$.
При $x = 1$: $P(1) = 1 + 2 - 5 - 4 + 6 = 0$. Значит, $x = 1$ — корень.

Разделим многочлен $x^4 + 2x^3 - 5x^2 - 4x + 6$ на $(x-1)$ и получим $x^3 + 3x^2 - 2x - 6$.
Уравнение принимает вид: $(x-1)(x^3 + 3x^2 - 2x - 6) = 0$.

Теперь ищем корни уравнения $x^3 + 3x^2 - 2x - 6 = 0$. Разложим его левую часть на множители группировкой:
$x^2(x+3) - 2(x+3) = (x^2 - 2)(x+3) = 0$.

Отсюда получаем еще два уравнения: $x+3=0$ и $x^2-2=0$.
Из $x+3=0$ находим корень $x=-3$. Это целое число.
Из $x^2-2=0$ находим $x^2=2$, откуда $x = \pm \sqrt{2}$. Эти корни не являются целыми.

Таким образом, целыми корнями исходного уравнения являются 1 и -3.

Ответ: 1, -3.

г) $x^5 - x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 4x - 4 = 0$

Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки:

$x^4(x - 1) - 5x^3 + 5x^2 + 4x - 4 = x^4(x - 1) - 5x^2(x - 1) + 4(x - 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x - 1)(x^4 - 5x^2 + 4) = 0$

Отсюда следует, что либо $x-1=0$, либо $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Из первого уравнения получаем корень $x_1 = 1$.

Второе уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ является биквадратным. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \geq 0$:
$y^2 - 5y + 4 = 0$.

По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения $y_1=1$ и $y_2=4$. Оба корня положительны.

Сделаем обратную замену:
1) $x^2 = y_1 = 1 \implies x = \pm 1$.
2) $x^2 = y_2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Объединяя все найденные целые значения, получаем множество корней.

Ответ: -2, -1, 1, 2.

Решите уравнение:

3.6. a) $x^4 - 3x^2 + 2 = 0;$

б) $x^4 - 9x^2 - 10 = 0;$

В) $x^4 - 7x^2 + 3 = 0;$

Г) $x^4 - 12,3x^2 + 45 = 0.$

а) $x^4 - 3x^2 + 2 = 0$

Данное уравнение является биквадратным. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.

Подставим $y$ в исходное уравнение:

$y^2 - 3y + 2 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $y$. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Легко подобрать корни:

$y_1 = 1$

$y_2 = 2$

Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Для этого решим два уравнения:

1) $x^2 = y_1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x_{1,2} = \pm 1$

2) $x^2 = y_2 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x_{3,4} = \pm \sqrt{2}$

Таким образом, уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $x = \pm 1; x = \pm \sqrt{2}$.

б) $x^4 - 9x^2 - 10 = 0$

Это биквадратное уравнение. Введем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$y^2 - 9y - 10 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта. Здесь $a=1, b=-9, c=-10$.

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 81 + 40 = 121 = 11^2$

Найдем корни для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 11}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие условию $y \ge 0$.

$y_1 = 10$ - подходит, так как $10 > 0$.

$y_2 = -1$ - не подходит, так как $-1 < 0$. Этот корень является посторонним.

Возвращаемся к замене, используя только подходящий корень $y=10$:

$x^2 = 10 \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{10}$

Ответ: $x = \pm \sqrt{10}$.

в) $x^4 - 7x^2 + 3 = 0$

Сделаем замену $y = x^2$, при условии $y \ge 0$.

Уравнение примет вид:

$y^2 - 7y + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 49 - 12 = 37$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

$y_1 = \frac{7 + \sqrt{37}}{2}$

$y_2 = \frac{7 - \sqrt{37}}{2}$

Проверим оба корня на условие $y \ge 0$.

$y_1 = \frac{7 + \sqrt{37}}{2}$ - очевидно, что этот корень положительный.

Для $y_2 = \frac{7 - \sqrt{37}}{2}$, сравним 7 и $\sqrt{37}$. Так как $7^2 = 49$, а $(\sqrt{37})^2 = 37$, то $49 > 37$, следовательно $7 > \sqrt{37}$. Значит, $7 - \sqrt{37} > 0$, и корень $y_2$ также является положительным. Оба корня подходят.

Выполним обратную замену:

1) $x^2 = y_1 = \frac{7 + \sqrt{37}}{2} \Rightarrow x_{1,2} = \pm \sqrt{\frac{7 + \sqrt{37}}{2}}$

2) $x^2 = y_2 = \frac{7 - \sqrt{37}}{2} \Rightarrow x_{3,4} = \pm \sqrt{\frac{7 - \sqrt{37}}{2}}$

Ответ: $x = \pm \sqrt{\frac{7 + \sqrt{37}}{2}}; x = \pm \sqrt{\frac{7 - \sqrt{37}}{2}}$.

г) $x^4 - 12.3x^2 + 45 = 0$

Применим замену переменной $y = x^2$, где $y \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$y^2 - 12.3y + 45 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-12.3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 45 = 151.29 - 180 = -28.71$

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $y^2 - 12.3y + 45 = 0$ не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное биквадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.

3.7. a) $x^6 - 4x^3 + 3 = 0;$

б) $(2 - x)^6 + 9(2 - x)^3 + 8 = 0;$

В) $x^6 - 7x^3 - 8 = 0;$

Г) $(2 - x - x^2)^6 - 14.7(2 - x - x^2)^3 + 57 = 0.$

а) $x^6 - 4x^3 + 3 = 0$

Данное уравнение является бикубическим. Его можно привести к квадратному уравнению с помощью замены переменной.

Пусть $y = x^3$. Тогда $x^6 = (x^3)^2 = y^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 - 4y + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Следовательно, корни:

$y_1 = 1$, $y_2 = 3$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$.

1. Если $y = 1$, то $x^3 = 1$. Отсюда $x = \sqrt[3]{1} = 1$.

2. Если $y = 3$, то $x^3 = 3$. Отсюда $x = \sqrt[3]{3}$.

Таким образом, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $1; \sqrt[3]{3}$.

б) $(2 - x)^6 + 9(2 - x)^3 + 8 = 0$

Это уравнение также можно свести к квадратному. Сделаем замену.

Пусть $y = (2 - x)^3$. Тогда $(2 - x)^6 = ((2 - x)^3)^2 = y^2$. Подставим в уравнение:

$y^2 + 9y + 8 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -9, а произведение равно 8. Корни:

$y_1 = -1$, $y_2 = -8$

Выполним обратную замену.

1. Если $y = -1$, то $(2 - x)^3 = -1$. Извлекая кубический корень, получаем $2 - x = -1$. Отсюда $x = 2 + 1 = 3$.

2. Если $y = -8$, то $(2 - x)^3 = -8$. Извлекая кубический корень, получаем $2 - x = -2$. Отсюда $x = 2 + 2 = 4$.

Уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $3; 4$.

в) $x^6 - 7x^3 - 8 = 0$

Это еще одно бикубическое уравнение. Применим метод замены переменной.

Пусть $y = x^3$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 7y - 8 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно -8. Корни:

$y_1 = 8$, $y_2 = -1$

Теперь вернемся к переменной $x$.

1. Если $y = 8$, то $x^3 = 8$. Отсюда $x = \sqrt[3]{8} = 2$.

2. Если $y = -1$, то $x^3 = -1$. Отсюда $x = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: $-1; 2$.

г) $(2 - x - x^2)^6 - 14,7(2 - x - x^2)^3 + 57 = 0$

Данное уравнение решается аналогично предыдущим, с помощью замены.

Пусть $y = (2 - x - x^2)^3$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$y^2 - 14,7y + 57 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант $D$ этого уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14,7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 57 = 216,09 - 228 = -11,91$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $y^2 - 14,7y + 57 = 0$ не имеет действительных корней для $y$.

Так как переменная $x$ предполагается действительным числом, то выражение $2 - x - x^2$ также является действительным числом, и его куб $y = (2 - x - x^2)^3$ тоже должен быть действительным числом. Поскольку для $y$ нет действительных решений, то и исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

3.8. Найдите значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, если:

а) $x + \frac{1}{x} = 3;$

б) $x - \frac{1}{x} = 5;$

в) $x + \frac{1}{x} = t;$

г) $x - \frac{1}{x} = t.$

Для решения всех пунктов задачи будем использовать формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Мы ищем значение выражения $x^2 + \frac{1}{x^2}$, которое является частью этих формул, если принять $a=x$ и $b=\frac{1}{x}$.

а)

Дано, что $x + \frac{1}{x} = 3$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат, используя формулу квадрата суммы:

$(x + \frac{1}{x})^2 = 3^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 9$

Упростим левую часть. Произведение $x \cdot \frac{1}{x}$ равно 1, поэтому получаем:

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$

Теперь выразим искомое выражение $x^2 + \frac{1}{x^2}$, перенеся 2 в правую часть уравнения:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 7$

Ответ: 7

б)

Дано, что $x - \frac{1}{x} = 5$.

Возведем обе части этого равенства в квадрат, на этот раз используя формулу квадрата разности:

$(x - \frac{1}{x})^2 = 5^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = 25$

Упростим левую часть:

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = 25$

Выразим искомое выражение $x^2 + \frac{1}{x^2}$, перенеся -2 в правую часть уравнения:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 25 + 2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 27$

Ответ: 27

в)

Дано, что $x + \frac{1}{x} = t$.

Это обобщенный случай пункта а). Действуем аналогично, возводя обе части в квадрат:

$(x + \frac{1}{x})^2 = t^2$

Раскрываем скобки:

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = t^2$

Упрощаем:

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = t^2$

Выражаем $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$

Ответ: $t^2 - 2$

г)

Дано, что $x - \frac{1}{x} = t$.

Это обобщенный случай пункта б). Возводим обе части в квадрат:

$(x - \frac{1}{x})^2 = t^2$

Раскрываем скобки:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = t^2$

Упрощаем:

$x^2 - 2 + \frac{1}{x^2} = t^2$

Выражаем $x^2 + \frac{1}{x^2}$:

$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 + 2$

Ответ: $t^2 + 2$

3.9. Найдите значение выражения $9x^2 + \frac{4}{x^2}$, если:

а) $3x + \frac{2}{x} = -5$;

б) $3x - \frac{2}{x} = -5$;

в) $3x + \frac{2}{x} = t$;

г) $3x - \frac{2}{x} = t$.

а)

Чтобы найти значение выражения $9x^2 + \frac{4}{x^2}$, возведем в квадрат обе части данного равенства $3x + \frac{2}{x} = -5$.
Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(3x + \frac{2}{x})^2 = (-5)^2$
$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = 25$
$9x^2 + 12 + \frac{4}{x^2} = 25$
Теперь выразим искомое выражение $9x^2 + \frac{4}{x^2}$:
$9x^2 + \frac{4}{x^2} = 25 - 12$
$9x^2 + \frac{4}{x^2} = 13$
Ответ: 13

б)

Возведем в квадрат обе части равенства $3x - \frac{2}{x} = -5$.
Воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(3x - \frac{2}{x})^2 = (-5)^2$
$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = 25$
$9x^2 - 12 + \frac{4}{x^2} = 25$
Выразим искомое выражение $9x^2 + \frac{4}{x^2}$:
$9x^2 + \frac{4}{x^2} = 25 + 12$
$9x^2 + \frac{4}{x^2} = 37$
Ответ: 37

в)

Возведем в квадрат обе части равенства $3x + \frac{2}{x} = t$, используя формулу квадрата суммы:
$(3x + \frac{2}{x})^2 = t^2$
$(3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = t^2$
$9x^2 + 12 + \frac{4}{x^2} = t^2$
Выразим $9x^2 + \frac{4}{x^2}$:
$9x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 - 12$
Ответ: $t^2 - 12$

г)

Возведем в квадрат обе части равенства $3x - \frac{2}{x} = t$, используя формулу квадрата разности:
$(3x - \frac{2}{x})^2 = t^2$
$(3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot \frac{2}{x} + (\frac{2}{x})^2 = t^2$
$9x^2 - 12 + \frac{4}{x^2} = t^2$
Выразим $9x^2 + \frac{4}{x^2}$:
$9x^2 + \frac{4}{x^2} = t^2 + 12$
Ответ: $t^2 + 12$

3.10. Найдите значение выражения $x^3 + \frac{1}{x^3}$, если:

а) $x + \frac{1}{x} = -3;$

б) $x + \frac{1}{x} = t.$

Для решения данной задачи воспользуемся формулой суммы кубов, которая выглядит так: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. Однако, удобнее будет использовать формулу куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Применим формулу куба суммы к выражению $x + \frac{1}{x}$. Пусть $a = x$ и $b = \frac{1}{x}$. Тогда:

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot (\frac{1}{x})^2 + (\frac{1}{x})^3$

Упростим правую часть равенства:

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3}$

Сгруппируем слагаемые:

$(x + \frac{1}{x})^3 = (x^3 + \frac{1}{x^3}) + (3x + \frac{3}{x})$

Вынесем общий множитель 3 за скобки во второй группе:

$(x + \frac{1}{x})^3 = (x^3 + \frac{1}{x^3}) + 3(x + \frac{1}{x})$

Из этого равенства выразим искомое выражение $x^3 + \frac{1}{x^3}$:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

Теперь мы можем использовать эту формулу для решения обоих подпунктов.

а)

По условию нам дано, что $x + \frac{1}{x} = -3$.

Подставим это значение в выведенную нами формулу:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (-3)^3 - 3(-3)$

Выполним вычисления:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = -27 - (-9) = -27 + 9 = -18$

Ответ: -18

б)

По условию нам дано, что $x + \frac{1}{x} = t$.

Подставим это значение в выведенную нами формулу:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (t)^3 - 3(t)$

Упростим выражение:

$x^3 + \frac{1}{x^3} = t^3 - 3t$

Ответ: $t^3 - 3t$