Страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите систему уравнений:

2.14. a) $\begin{cases} x^2 - xy - 2y^2 = 0, \\ x^2 + y^2 = 20; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + 3xy + 9y^2 = 12, \\ x^2 + 3xy + 2y^2 = 0. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - xy - 2y^2 = 0, \\ x^2 + y^2 = 20. \end{cases}$

Первое уравнение системы $x^2 - xy - 2y^2 = 0$ является однородным уравнением второй степени. Проверим, является ли пара с $y=0$ решением. Если $y=0$, то из первого уравнения следует $x^2 = 0$, то есть $x=0$. Пара $(0, 0)$ не удовлетворяет второму уравнению, так как $0^2 + 0^2 = 0 \neq 20$. Следовательно, $y \neq 0$.

Поскольку $y \neq 0$, мы можем разделить первое уравнение на $y^2$:

$(\frac{x}{y})^2 - (\frac{x}{y}) - 2 = 0$.

Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Получим квадратное уравнение:

$t^2 - t - 2 = 0$.

Решая это уравнение, например, с помощью разложения на множители $(t-2)(t+1)=0$, находим корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Возвращаемся к исходным переменным и рассматриваем два случая:

1. $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $x^2 + y^2 = 20$:

$(2y)^2 + y^2 = 20$

$4y^2 + y^2 = 20$

$5y^2 = 20$

$y^2 = 4$, откуда $y_1 = 2$ и $y_2 = -2$.

Находим соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 \cdot 2 = 4$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = 2 \cdot (-2) = -4$.

Таким образом, мы получили две пары решений: $(4, 2)$ и $(-4, -2)$.

2. $\frac{x}{y} = -1$, откуда $x = -y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $x^2 + y^2 = 20$:

$(-y)^2 + y^2 = 20$

$y^2 + y^2 = 20$

$2y^2 = 20$

$y^2 = 10$, откуда $y_3 = \sqrt{10}$ и $y_4 = -\sqrt{10}$.

Находим соответствующие значения $x$:

Если $y_3 = \sqrt{10}$, то $x_3 = -\sqrt{10}$.

Если $y_4 = -\sqrt{10}$, то $x_4 = -(-\sqrt{10}) = \sqrt{10}$.

Таким образом, мы получили еще две пары решений: $(-\sqrt{10}, \sqrt{10})$ и $(\sqrt{10}, -\sqrt{10})$.

Ответ: $(4, 2)$, $(-4, -2)$, $(\sqrt{10}, -\sqrt{10})$, $(-\sqrt{10}, \sqrt{10})$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 3xy + 9y^2 = 12, \\ x^2 + 3xy + 2y^2 = 0. \end{cases}$

Заметим, что левые части уравнений содержат одинаковое выражение $x^2 + 3xy$. Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + 3xy + 9y^2) - (x^2 + 3xy + 2y^2) = 12 - 0$

$9y^2 - 2y^2 = 12$

$7y^2 = 12$

$y^2 = \frac{12}{7}$.

Отсюда находим возможные значения для $y$:

$y = \pm\sqrt{\frac{12}{7}} = \pm\frac{\sqrt{4 \cdot 3}}{\sqrt{7}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \pm\frac{2\sqrt{21}}{7}$.

Теперь рассмотрим второе уравнение системы: $x^2 + 3xy + 2y^2 = 0$.

Это однородное уравнение. Разложим его левую часть на множители как квадратный трехчлен относительно $x$ или $y$. Например, как $(x+y)(x+2y)=0$.

Отсюда следует, что либо $x+y=0$, либо $x+2y=0$.

Рассмотрим два случая:

1. $x = -y$.

Используя найденное ранее значение для $y^2$, находим решения:

Если $y = \frac{2\sqrt{21}}{7}$, то $x = -\frac{2\sqrt{21}}{7}$.

Если $y = -\frac{2\sqrt{21}}{7}$, то $x = \frac{2\sqrt{21}}{7}$.

Получили две пары решений: $(-\frac{2\sqrt{21}}{7}, \frac{2\sqrt{21}}{7})$ и $(\frac{2\sqrt{21}}{7}, -\frac{2\sqrt{21}}{7})$.

2. $x = -2y$.

Используя то же значение для $y^2$, находим другие решения:

Если $y = \frac{2\sqrt{21}}{7}$, то $x = -2 \cdot \frac{2\sqrt{21}}{7} = -\frac{4\sqrt{21}}{7}$.

Если $y = -\frac{2\sqrt{21}}{7}$, то $x = -2 \cdot (-\frac{2\sqrt{21}}{7}) = \frac{4\sqrt{21}}{7}$.

Получили еще две пары решений: $(-\frac{4\sqrt{21}}{7}, \frac{2\sqrt{21}}{7})$ и $(\frac{4\sqrt{21}}{7}, -\frac{2\sqrt{21}}{7})$.

Ответ: $(\frac{2\sqrt{21}}{7}, -\frac{2\sqrt{21}}{7})$, $(-\frac{2\sqrt{21}}{7}, \frac{2\sqrt{21}}{7})$, $(\frac{4\sqrt{21}}{7}, -\frac{2\sqrt{21}}{7})$, $(-\frac{4\sqrt{21}}{7}, \frac{2\sqrt{21}}{7})$.

2.15. a) $\begin{cases} x^2 + 3xy + 2y^2 = 0, \\ 2x^2 + xy = 25; \end{cases}$

Б) $\begin{cases} x^2 + xy - 3y^2 = -23, \\ x^2 - y^2 - 2xy = -14; \end{cases}$

В) $\begin{cases} 2x^2 + xy - 3y^2 = 0, \\ x^2 - y^2 + xy = 4; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} x^2 + 3xy = 7, \\ y^2 + xy = 6. \end{cases}$

а) $ \begin{cases} x^2 + 3xy + 2y^2 = 0, \\ 2x^2 + xy = 25; \end{cases} $

Первое уравнение системы является однородным уравнением второй степени. Разложим его на множители. Для этого решим его как квадратное уравнение относительно $x$:
$x = \frac{-3y \pm \sqrt{(3y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2y^2}}{2} = \frac{-3y \pm \sqrt{9y^2 - 8y^2}}{2} = \frac{-3y \pm \sqrt{y^2}}{2} = \frac{-3y \pm y}{2}.$
Отсюда получаем два случая:
1) $x_1 = \frac{-3y + y}{2} = \frac{-2y}{2} = -y.$
2) $x_2 = \frac{-3y - y}{2} = \frac{-4y}{2} = -2y.$
Таким образом, первое уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $x+y=0$ или $x+2y=0$.

Рассмотрим каждый случай отдельно, подставляя полученные выражения во второе уравнение системы $2x^2 + xy = 25$.

Случай 1: $x = -y$.
Подставляем во второе уравнение:
$2(-y)^2 + (-y)y = 25$
$2y^2 - y^2 = 25$
$y^2 = 25$
$y_1 = 5$, $y_2 = -5$.
Если $y_1=5$, то $x_1 = -5$. Получаем решение $(-5, 5)$.
Если $y_2=-5$, то $x_2 = -(-5) = 5$. Получаем решение $(5, -5)$.

Случай 2: $x = -2y$.
Подставляем во второе уравнение:
$2(-2y)^2 + (-2y)y = 25$
$2(4y^2) - 2y^2 = 25$
$8y^2 - 2y^2 = 25$
$6y^2 = 25$
$y^2 = \frac{25}{6}$, откуда $y = \pm \frac{5}{\sqrt{6}} = \pm \frac{5\sqrt{6}}{6}$.
Если $y_3 = \frac{5\sqrt{6}}{6}$, то $x_3 = -2 \cdot \frac{5\sqrt{6}}{6} = -\frac{5\sqrt{6}}{3}$. Получаем решение $(-\frac{5\sqrt{6}}{3}, \frac{5\sqrt{6}}{6})$.
Если $y_4 = -\frac{5\sqrt{6}}{6}$, то $x_4 = -2 \cdot (-\frac{5\sqrt{6}}{6}) = \frac{5\sqrt{6}}{3}$. Получаем решение $(\frac{5\sqrt{6}}{3}, -\frac{5\sqrt{6}}{6})$.

Ответ: $(5, -5), (-5, 5), (\frac{5\sqrt{6}}{3}, -\frac{5\sqrt{6}}{6}), (-\frac{5\sqrt{6}}{3}, \frac{5\sqrt{6}}{6}).$

б) $ \begin{cases} x^2 + xy - 3y^2 = -23, \\ x^2 - y^2 - 2xy = -14; \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 14, а второе на -23, чтобы избавиться от свободных членов и получить однородное уравнение.

$ \begin{cases} 14(x^2 + xy - 3y^2) = -23 \cdot 14, \\ -23(x^2 - y^2 - 2xy) = -14 \cdot (-23); \end{cases} \implies \begin{cases} 14x^2 + 14xy - 42y^2 = -322, \\ -23x^2 + 23y^2 + 46xy = 322; \end{cases} $

Сложим полученные уравнения:
$(14x^2 + 14xy - 42y^2) + (-23x^2 + 23y^2 + 46xy) = -322 + 322$
$-9x^2 + 60xy - 19y^2 = 0$
Умножим на -1:
$9x^2 - 60xy + 19y^2 = 0$

Решим это однородное уравнение. Разделим на $y^2$ (предполагая, что $y \ne 0$; если $y=0$, то $9x^2=0 \implies x=0$, но пара $(0,0)$ не является решением исходной системы).
$9(\frac{x}{y})^2 - 60(\frac{x}{y}) + 19 = 0$.
Пусть $t = \frac{x}{y}$.
$9t^2 - 60t + 19 = 0$.
$D = (-60)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 19 = 3600 - 684 = 2916 = 54^2$.
$t_{1,2} = \frac{60 \pm 54}{18}$.
$t_1 = \frac{114}{18} = \frac{19}{3}$, значит $\frac{x}{y} = \frac{19}{3} \implies x = \frac{19}{3}y$.
$t_2 = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$, значит $\frac{x}{y} = \frac{1}{3} \implies y = 3x$.

Случай 1: $x = \frac{19}{3}y$.
Подставим во второе уравнение исходной системы $x^2 - y^2 - 2xy = -14$:
$(\frac{19}{3}y)^2 - y^2 - 2(\frac{19}{3}y)y = -14$
$\frac{361}{9}y^2 - y^2 - \frac{38}{3}y^2 = -14$
$361y^2 - 9y^2 - 114y^2 = -126$
$238y^2 = -126 \implies y^2 = -\frac{126}{238} = -\frac{9}{17}$. В этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $y = 3x$.
Подставим во второе уравнение исходной системы:
$x^2 - (3x)^2 - 2x(3x) = -14$
$x^2 - 9x^2 - 6x^2 = -14$
$-14x^2 = -14$
$x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Если $x_1=1$, то $y_1 = 3 \cdot 1 = 3$. Решение $(1, 3)$.
Если $x_2=-1$, то $y_2 = 3 \cdot (-1) = -3$. Решение $(-1, -3)$.

Ответ: $(1, 3), (-1, -3).$

в) $ \begin{cases} 2x^2 + xy - 3y^2 = 0, \\ x^2 - y^2 + xy = 4; \end{cases} $

Первое уравнение является однородным. Разложим его на множители:
$2x^2 + 3xy - 2xy - 3y^2 = 0$
$x(2x+3y) - y(2x+3y) = 0$
$(x-y)(2x+3y) = 0$.
Отсюда $x-y=0$ или $2x+3y=0$.

Случай 1: $x = y$.
Подставим во второе уравнение $x^2 - y^2 + xy = 4$:
$y^2 - y^2 + y \cdot y = 4$
$y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.
Если $y_1 = 2$, то $x_1=2$. Решение $(2, 2)$.
Если $y_2 = -2$, то $x_2=-2$. Решение $(-2, -2)$.

Случай 2: $2x+3y=0 \implies x = -\frac{3}{2}y$.
Подставим во второе уравнение:
$(-\frac{3}{2}y)^2 - y^2 + (-\frac{3}{2}y)y = 4$
$\frac{9}{4}y^2 - y^2 - \frac{3}{2}y^2 = 4$
Умножим на 4:
$9y^2 - 4y^2 - 6y^2 = 16$
$-y^2 = 16 \implies y^2 = -16$. Действительных решений нет.

Ответ: $(2, 2), (-2, -2).$

г) $ \begin{cases} x^2 + 3xy = 7, \\ y^2 + xy = 6; \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 6, а второе на 7 и приравняем их, чтобы получить однородное уравнение.
$6(x^2 + 3xy) = 7(y^2 + xy)$
$6x^2 + 18xy = 7y^2 + 7xy$
$6x^2 + 11xy - 7y^2 = 0$

Разложим на множители (или решим как квадратное относительно $x$):
$6x^2 + 14xy - 3xy - 7y^2 = 0$
$2x(3x+7y) - y(3x+7y) = 0$
$(2x-y)(3x+7y) = 0$.
Отсюда $2x-y=0$ или $3x+7y=0$.

Случай 1: $y=2x$.
Подставим во второе уравнение исходной системы $y^2 + xy = 6$:
$(2x)^2 + x(2x) = 6$
$4x^2 + 2x^2 = 6$
$6x^2 = 6 \implies x^2=1 \implies x = \pm 1$.
Если $x_1=1$, то $y_1=2$. Решение $(1, 2)$.
Если $x_2=-1$, то $y_2=-2$. Решение $(-1, -2)$.

Случай 2: $3x+7y=0 \implies x = -\frac{7}{3}y$.
Подставим во второе уравнение $y^2 + xy = 6$:
$y^2 + (-\frac{7}{3}y)y = 6$
$y^2 - \frac{7}{3}y^2 = 6$
$-\frac{4}{3}y^2 = 6 \implies y^2 = -\frac{18}{4} = -\frac{9}{2}$. Действительных решений нет.

Ответ: $(1, 2), (-1, -2).$

2.16. a) $\begin{cases} x^2 + 4|x|y - 3y^2 = 2, \\ x^2 - |x|y + 5y^2 = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x^2 - y^2 = 11, \\ x^2 + 2|x| \cdot |y| - y^2 = 7. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + 4|x|y - 3y^2 = 2, \\ x^2 - |x|y + 5y^2 = 5; \end{cases} $$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Введем замену переменных: пусть $u = |x|$ и $v = y$. Так как $u$ - это модуль числа, то $u \ge 0$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} u^2 + 4uv - 3v^2 = 2, \\ u^2 - uv + 5v^2 = 5. \end{cases} $$

Это система двух квадратных уравнений относительно $u$ и $v$. Чтобы избавиться от свободных членов, умножим первое уравнение на 5, а второе на 2:

$$ \begin{cases} 5u^2 + 20uv - 15v^2 = 10, \\ 2u^2 - 2uv + 10v^2 = 10. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(5u^2 + 20uv - 15v^2) - (2u^2 - 2uv + 10v^2) = 10 - 10$

$3u^2 + 22uv - 25v^2 = 0$

Мы получили однородное уравнение. Если $v=0$, то $3u^2=0$, откуда $u=0$. Подставив $u=0, v=0$ в исходную систему, получим $0=2$ и $0=5$, что неверно. Значит, $v \ne 0$. Разделим уравнение на $v^2$:

$3\left(\frac{u}{v}\right)^2 + 22\left(\frac{u}{v}\right) - 25 = 0$

Пусть $t = \frac{u}{v}$. Получим квадратное уравнение $3t^2 + 22t - 25 = 0$.

Дискриминант $D = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-25) = 484 + 300 = 784 = 28^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-22 - 28}{6} = -\frac{50}{6} = -\frac{25}{3}$, $t_2 = \frac{-22 + 28}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Рассмотрим два случая:

1. $\frac{u}{v} = 1$, то есть $u = v$. Так как $u \ge 0$, то и $v \ge 0$. Подставим $u=v$ во второе уравнение системы ($u^2 - uv + 5v^2 = 5$):

$v^2 - v \cdot v + 5v^2 = 5$

$5v^2 = 5 \implies v^2 = 1$.

Так как $v \ge 0$, то $v=1$. Тогда $u=1$.

Возвращаемся к исходным переменным: $|x| = 1$ и $y = 1$. Отсюда $x = \pm 1$. Получаем два решения: $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

2. $\frac{u}{v} = -\frac{25}{3}$, то есть $u = -\frac{25}{3}v$. Так как $u \ge 0$, то $v \le 0$. Подставим $u = -\frac{25}{3}v$ во второе уравнение системы:

$\left(-\frac{25}{3}v\right)^2 - \left(-\frac{25}{3}v\right)v + 5v^2 = 5$

$\frac{625}{9}v^2 + \frac{25}{3}v^2 + 5v^2 = 5$

Умножим обе части на 9: $625v^2 + 75v^2 + 45v^2 = 45$.

$745v^2 = 45 \implies v^2 = \frac{45}{745} = \frac{9}{149}$.

Так как $v \le 0$, то $v = -\sqrt{\frac{9}{149}} = -\frac{3}{\sqrt{149}}$.

Тогда $u = -\frac{25}{3}v = -\frac{25}{3} \left(-\frac{3}{\sqrt{149}}\right) = \frac{25}{\sqrt{149}}$.

Возвращаемся к исходным переменным: $|x| = \frac{25}{\sqrt{149}}$ и $y = -\frac{3}{\sqrt{149}}$. Отсюда $x = \pm \frac{25}{\sqrt{149}}$. Получаем еще два решения: $(\frac{25}{\sqrt{149}}, -\frac{3}{\sqrt{149}})$ и $(-\frac{25}{\sqrt{149}}, -\frac{3}{\sqrt{149}})$.

Ответ: $(1, 1), (-1, 1), (\frac{25}{\sqrt{149}}, -\frac{3}{\sqrt{149}}), (-\frac{25}{\sqrt{149}}, -\frac{3}{\sqrt{149}})$.

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} 3x^2 - y^2 = 11, \\ x^2 + 2|x| \cdot |y| - y^2 = 7. \end{cases} $$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$ и $y^2 = |y|^2$. Введем замену переменных: пусть $u = |x|$ и $v = |y|$. По определению модуля, $u \ge 0$ и $v \ge 0$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} 3u^2 - v^2 = 11, \\ u^2 + 2uv - v^2 = 7. \end{cases} $$

Для решения этой системы исключим свободные члены. Умножим первое уравнение на 7, а второе на 11:

$$ \begin{cases} 21u^2 - 7v^2 = 77, \\ 11u^2 + 22uv - 11v^2 = 77. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$(21u^2 - 7v^2) - (11u^2 + 22uv - 11v^2) = 77 - 77$

$10u^2 - 22uv + 4v^2 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$5u^2 - 11uv + 2v^2 = 0$

Это однородное уравнение. Если $v=0$, то $5u^2=0$, откуда $u=0$. Подстановка $u=0, v=0$ в исходную систему дает $0=11$, что неверно. Следовательно, $v \ne 0$. Разделим уравнение на $v^2$:

$5\left(\frac{u}{v}\right)^2 - 11\left(\frac{u}{v}\right) + 2 = 0$

Пусть $t = \frac{u}{v}$. Получим квадратное уравнение $5t^2 - 11t + 2 = 0$.

Дискриминант $D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{11 - 9}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$, $t_2 = \frac{11 + 9}{10} = \frac{20}{10} = 2$.

Рассмотрим два случая:

1. $\frac{u}{v} = \frac{1}{5}$, то есть $v = 5u$. Подставим это соотношение в первое уравнение системы ($3u^2 - v^2 = 11$):

$3u^2 - (5u)^2 = 11$

$3u^2 - 25u^2 = 11 \implies -22u^2 = 11 \implies u^2 = -\frac{1}{2}$.

Так как $u = |x|$, $u$ должно быть действительным числом, а $u^2$ - неотрицательным. Уравнение $u^2 = -1/2$ не имеет действительных решений. В этом случае решений нет.

2. $\frac{u}{v} = 2$, то есть $u = 2v$. Подставим это соотношение в первое уравнение системы ($3u^2 - v^2 = 11$):

$3(2v)^2 - v^2 = 11$

$3(4v^2) - v^2 = 11 \implies 12v^2 - v^2 = 11 \implies 11v^2 = 11 \implies v^2 = 1$.

Так как $v \ge 0$, то $v = 1$.

Тогда $u = 2v = 2 \cdot 1 = 2$.

Мы нашли пару значений $(u, v) = (2, 1)$.

Возвращаемся к исходным переменным: $|x| = u = 2$ и $|y| = v = 1$.

Из $|x| = 2$ следует, что $x = 2$ или $x = -2$.

Из $|y| = 1$ следует, что $y = 1$ или $y = -1$.

Комбинируя эти значения, получаем четыре пары решений: $(2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1)$.

Ответ: $(2, 1), (2, -1), (-2, 1), (-2, -1)$.

2.17. a) $\begin{cases} x^2 + x(y - 1) - 2(y - 1)^2 = 0, \\ x^2 + xy + y = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + x(y - 1) + (y - 1)^2 = 3, \\ x^2 + y^2 = 2y + 1. \end{cases}$

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + x(y - 1) - 2(y - 1)^2 = 0, \\ x^2 + xy + y = 1; \end{cases} $

Первое уравнение является однородным квадратным уравнением относительно переменных $x$ и $(y-1)$. Сделаем замену $z = y - 1$. Уравнение примет вид:

$x^2 + xz - 2z^2 = 0$

Разложим левую часть на множители. Найдем корни квадратного уравнения относительно $x$:

$D = z^2 - 4(1)(-2z^2) = z^2 + 8z^2 = 9z^2$.

$x = \frac{-z \pm \sqrt{9z^2}}{2} = \frac{-z \pm 3z}{2}$.

Получаем два случая:

1) $x_1 = \frac{-z + 3z}{2} = \frac{2z}{2} = z$.

2) $x_2 = \frac{-z - 3z}{2} = \frac{-4z}{2} = -2z$.

Теперь вернемся к исходным переменным, подставив $z = y - 1$:

1) $x = y - 1$.

2) $x = -2(y - 1) = -2y + 2$.

Подставим каждое из этих выражений во второе уравнение системы $x^2 + xy + y = 1$.

Случай 1: $x = y - 1$

$(y - 1)^2 + (y - 1)y + y = 1$

$y^2 - 2y + 1 + y^2 - y + y = 1$

$2y^2 - 2y + 1 = 1$

$2y^2 - 2y = 0$

$2y(y - 1) = 0$

Отсюда $y_1 = 0$ или $y_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 0$, то $x_1 = 0 - 1 = -1$. Получаем решение $(-1, 0)$.

Если $y_2 = 1$, то $x_2 = 1 - 1 = 0$. Получаем решение $(0, 1)$.

Случай 2: $x = -2y + 2$

$(-2y + 2)^2 + (-2y + 2)y + y = 1$

$4y^2 - 8y + 4 - 2y^2 + 2y + y = 1$

$2y^2 - 5y + 4 = 1$

$2y^2 - 5y + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4(2)(3) = 25 - 24 = 1$.

$y = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 1}{4}$.

Отсюда $y_3 = \frac{5+1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ или $y_4 = \frac{5-1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_3 = \frac{3}{2}$, то $x_3 = -2(\frac{3}{2}) + 2 = -3 + 2 = -1$. Получаем решение $(-1, \frac{3}{2})$.

Если $y_4 = 1$, то $x_4 = -2(1) + 2 = 0$. Это дает решение $(0, 1)$, которое мы уже нашли.

Объединяя все найденные решения, получаем три пары чисел.

Ответ: $(-1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, \frac{3}{2})$.

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + x(y - 1) + (y - 1)^2 = 3, \\ x^2 + y^2 = 2y + 1. \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение:

$x^2 + y^2 - 2y - 1 = 0$

$x^2 + (y^2 - 2y + 1) - 2 = 0$

$x^2 + (y - 1)^2 = 2$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} x^2 + x(y - 1) + (y - 1)^2 = 3, \\ x^2 + (y - 1)^2 = 2. \end{cases} $

Сделаем замену переменных: пусть $u = x$ и $v = y - 1$. Система примет вид:

$ \begin{cases} u^2 + uv + v^2 = 3, \\ u^2 + v^2 = 2. \end{cases} $

Подставим второе уравнение в первое:

$(u^2 + v^2) + uv = 3$

$2 + uv = 3$

$uv = 1$

Теперь у нас есть более простая система для $u$ и $v$:

$ \begin{cases} u^2 + v^2 = 2, \\ uv = 1. \end{cases} $

Выразим $v$ из второго уравнения: $v = 1/u$ (при $u \neq 0$) и подставим в первое:

$u^2 + (1/u)^2 = 2$

$u^2 + 1/u^2 = 2$

Домножим на $u^2$:

$u^4 + 1 = 2u^2$

$u^4 - 2u^2 + 1 = 0$

Это полный квадрат: $(u^2 - 1)^2 = 0$.

Отсюда $u^2 - 1 = 0$, то есть $u^2 = 1$.

Следовательно, $u_1 = 1$ и $u_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $v$ из соотношения $v = 1/u$:

Если $u_1 = 1$, то $v_1 = 1/1 = 1$.

Если $u_2 = -1$, то $v_2 = 1/(-1) = -1$.

Мы получили две пары решений для $(u, v)$: $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$ ($x=u$, $y=v+1$):

1) Для $(u, v) = (1, 1)$:

$x = 1$

$y = 1 + 1 = 2$

Получаем решение $(1, 2)$.

2) Для $(u, v) = (-1, -1)$:

$x = -1$

$y = -1 + 1 = 0$

Получаем решение $(-1, 0)$.

Ответ: $(1, 2)$, $(-1, 0)$.

2.18. a) $\begin{cases} x^3 + xy^2 = 5, \\ y^3 + x^2y = 10; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^3 - y^3 = 7, \\ x^3 - y^3 = 9 - x^2y + xy^2. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^3 + xy^2 = 5 \\ y^3 + x^2y = 10 \end{cases}$

Для решения вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} x(x^2 + y^2) = 5 \\ y(x^2 + y^2) = 10 \end{cases}$

Поскольку правые части уравнений не равны нулю ($5 \neq 0$ и $10 \neq 0$), то и левые части не равны нулю. Это означает, что $x \neq 0$, $y \neq 0$ и выражение $(x^2 + y^2)$ также не равно нулю. Поэтому мы можем разделить второе уравнение на первое:

$\frac{y(x^2 + y^2)}{x(x^2 + y^2)} = \frac{10}{5}$

Сократив общий множитель $(x^2+y^2)$, получим:

$\frac{y}{x} = 2$

Отсюда выразим $y$ через $x$:

$y = 2x$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:

$x^3 + x(2x)^2 = 5$

Раскроем скобки и упростим:

$x^3 + x(4x^2) = 5$

$x^3 + 4x^3 = 5$

$5x^3 = 5$

$x^3 = 1$

Единственным действительным решением данного уравнения является $x = 1$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = 2x = 2 \cdot 1 = 2$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(1; 2)$.

Для проверки подставим найденные значения во второе уравнение системы:

$y^3 + x^2y = 2^3 + 1^2 \cdot 2 = 8 + 2 = 10$.

Равенство $10 = 10$ верно, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(1; 2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^3 - y^3 = 7 \\ x^3 - y^3 = 9 - x^2y + xy^2 \end{cases}$

Поскольку левые части обоих уравнений одинаковы ($x^3 - y^3$), мы можем приравнять их правые части:

$7 = 9 - x^2y + xy^2$

Перенесем слагаемые с переменными в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$x^2y - xy^2 = 9 - 7$

$xy(x - y) = 2$

Теперь мы можем заменить исходную систему на эквивалентную, более простую систему:

$\begin{cases} x^3 - y^3 = 7 \\ xy(x - y) = 2 \end{cases}$

Применим формулу разности кубов к первому уравнению: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.

$(x - y)(x^2 + xy + y^2) = 7$

Для удобства введем замену переменных. Пусть $a = x - y$ и $b = xy$.

Выразим сумму квадратов $x^2 + y^2$ через новые переменные $a$ и $b$. Известно, что $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В наших переменных это $a^2 = x^2 + y^2 - 2b$. Отсюда $x^2 + y^2 = a^2 + 2b$.

Подставим это выражение в преобразованное первое уравнение:

$a((a^2 + 2b) + b) = 7$

$a(a^2 + 3b) = 7$

Второе уравнение системы $xy(x - y) = 2$ в новых переменных запишется как $b \cdot a = 2$.

Таким образом, мы получили систему уравнений относительно $a$ и $b$:

$\begin{cases} a(a^2 + 3b) = 7 \\ ab = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $b = \frac{2}{a}$ (это возможно, так как $ab=2 \neq 0$, следовательно $a \neq 0$) и подставим в первое уравнение:

$a(a^2 + 3 \cdot \frac{2}{a}) = 7$

$a(a^2 + \frac{6}{a}) = 7$

$a^3 + 6 = 7$

$a^3 = 1$

Отсюда находим $a = 1$.

Теперь найдем $b$:

$b = \frac{2}{a} = \frac{2}{1} = 2$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$. Мы получили систему:

$\begin{cases} x - y = a \\ xy = b \end{cases} \implies \begin{cases} x - y = 1 \\ xy = 2 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x = y + 1$ и подставим во второе:

$(y + 1)y = 2$

$y^2 + y - 2 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$. Его корни можно найти по теореме Виета: $y_1 + y_2 = -1$ и $y_1 y_2 = -2$. Корнями являются $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого корня:

1. При $y_1 = 1$, $x_1 = y_1 + 1 = 1 + 1 = 2$. Первое решение: $(2; 1)$.

2. При $y_2 = -2$, $x_2 = y_2 + 1 = -2 + 1 = -1$. Второе решение: $(-1; -2)$.

Ответ: $(-1; -2)$, $(2; 1)$.

2.19. Пусть $x + y = -3$, а $xy = -5$. Найдите значение выражения:

а) $x^2 + y^2$;

б) $x^3 + y^3$;

в) $x^4 + y^4$;

г) $x^2y^7 + x^7y^2$.

Дано: $x + y = -3$ и $xy = -5$.

Чтобы найти значение выражения $x^2 + y^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Выразим из этой формулы $x^2 + y^2$:
$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.
Подставим известные значения $x+y = -3$ и $xy = -5$:
$x^2 + y^2 = (-3)^2 - 2(-5) = 9 + 10 = 19$.
Ответ: 19

Для нахождения $x^3 + y^3$ воспользуемся формулой куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
Перегруппируем слагаемые: $(x+y)^3 = (x^3 + y^3) + 3xy(x+y)$.
Выразим отсюда $x^3 + y^3$:
$x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$.
Подставим известные значения:
$x^3 + y^3 = (-3)^3 - 3(-5)(-3) = -27 - 45 = -72$.
Ответ: -72

Рассмотрим выражение $x^4 + y^4$ как сумму квадратов: $x^4 + y^4 = (x^2)^2 + (y^2)^2$.
Воспользуемся формулой для квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$, где $a=x^2$ и $b=y^2$:
$(x^2 + y^2)^2 = (x^2)^2 + 2x^2y^2 + (y^2)^2 = x^4 + y^4 + 2(xy)^2$.
Выразим отсюда $x^4 + y^4$:
$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2$.
Из пункта а) мы знаем, что $x^2 + y^2 = 19$. Подставим это и известное значение $xy = -5$:
$x^4 + y^4 = (19)^2 - 2(-5)^2 = 361 - 2(25) = 361 - 50 = 311$.
Ответ: 311

Сначала упростим выражение, вынеся общий множитель за скобки:
$x^2y^7 + x^7y^2 = x^2y^2(y^5 + x^5) = (xy)^2(x^5 + y^5)$.
Теперь нам нужно найти значение $x^5 + y^5$. Для этого воспользуемся результатами предыдущих пунктов. Рассмотрим произведение $(x^2 + y^2)(x^3 + y^3)$:
$(x^2 + y^2)(x^3 + y^3) = x^5 + x^2y^3 + y^2x^3 + y^5 = (x^5 + y^5) + x^2y^2(x+y)$.
Выразим отсюда $x^5 + y^5$:
$x^5 + y^5 = (x^2 + y^2)(x^3 + y^3) - (xy)^2(x+y)$.
Из предыдущих пунктов мы знаем, что $x^2 + y^2 = 19$ и $x^3 + y^3 = -72$. Подставим эти и исходные значения:
$x^5 + y^5 = (19)(-72) - (-5)^2(-3) = -1368 - (25)(-3) = -1368 - (-75) = -1368 + 75 = -1293$.
Теперь вернемся к исходному выражению и подставим найденное значение $x^5 + y^5 = -1293$ и $xy = -5$:
$x^2y^7 + x^7y^2 = (xy)^2(x^5 + y^5) = (-5)^2(-1293) = 25(-1293) = -32325$.
Ответ: -32325

2.20. Пусть $x + y = -7$, а $xy = -1$. Найдите значение выражения:

a) $\frac{|x - y|}{xy^2 + x^2y} + 2 \cdot \left|\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right|;$

б) $\frac{|x^4 - y^4|}{xy^3 + x^3y} + \left|\frac{x^2}{y^2} - \frac{y^2}{x^2}\right|.$

а) Для нахождения значения выражения $\frac{|x-y|}{xy^2 + x^2y} + 2 \cdot |\frac{x}{y} - \frac{y}{x}|$ выполним следующие шаги.
Сначала найдем вспомогательные значения. Используя тождество $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$, подставим данные значения $x+y=-7$ и $xy=-1$:
$(x-y)^2 = (-7)^2 - 4(-1) = 49 + 4 = 53$.
Отсюда, $|x-y| = \sqrt{53}$.
Теперь преобразуем каждое слагаемое в выражении.
Первое слагаемое: $\frac{|x-y|}{xy^2 + x^2y} = \frac{|x-y|}{xy(y+x)}$.
Подставляем известные значения: $\frac{\sqrt{53}}{(-1)(-7)} = \frac{\sqrt{53}}{7}$.
Второе слагаемое: $2 \cdot |\frac{x}{y} - \frac{y}{x}| = 2 \cdot |\frac{x^2 - y^2}{xy}| = 2 \cdot \frac{|(x-y)(x+y)|}{|xy|} = 2 \cdot \frac{|x-y||x+y|}{|xy|}$.
Подставляем известные значения: $2 \cdot \frac{\sqrt{53} \cdot |-7|}{|-1|} = 2 \cdot \frac{7\sqrt{53}}{1} = 14\sqrt{53}$.
Теперь сложим полученные значения:
$\frac{\sqrt{53}}{7} + 14\sqrt{53} = \frac{\sqrt{53}}{7} + \frac{98\sqrt{53}}{7} = \frac{(1+98)\sqrt{53}}{7} = \frac{99\sqrt{53}}{7}$.

Ответ: $\frac{99\sqrt{53}}{7}$.

б) Для нахождения значения выражения $\frac{|x^4 - y^4|}{xy^3 + x^3y} + |\frac{x^2}{y^2} - \frac{y^2}{x^2}|$ выполним следующие шаги.
Сначала найдем необходимые вспомогательные значения. Из пункта а) мы знаем, что $|x-y|=\sqrt{53}$. Вычислим $x^2+y^2$:
$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = (-7)^2 - 2(-1) = 49 + 2 = 51$.
Преобразуем первое слагаемое. Заметим, что $x^2+y^2 = 51 > 0$.
$\frac{|x^4 - y^4|}{xy^3 + x^3y} = \frac{|(x^2-y^2)(x^2+y^2)|}{xy(x^2+y^2)} = \frac{|x^2-y^2| \cdot (x^2+y^2)}{xy(x^2+y^2)} = \frac{|x^2-y^2|}{xy}$.
Далее, $|x^2-y^2| = |(x-y)(x+y)| = |x-y||x+y| = \sqrt{53} \cdot |-7| = 7\sqrt{53}$.
Тогда первое слагаемое равно $\frac{7\sqrt{53}}{-1} = -7\sqrt{53}$.
Теперь преобразуем второе слагаемое:
$|\frac{x^2}{y^2} - \frac{y^2}{x^2}| = |\frac{x^4 - y^4}{x^2y^2}| = \frac{|x^4 - y^4|}{(xy)^2}$.
Вычислим числитель: $|x^4-y^4| = |x^2-y^2| \cdot (x^2+y^2) = 7\sqrt{53} \cdot 51 = 357\sqrt{53}$.
Тогда второе слагаемое равно $\frac{357\sqrt{53}}{(-1)^2} = 357\sqrt{53}$.
Теперь сложим полученные значения:
$-7\sqrt{53} + 357\sqrt{53} = 350\sqrt{53}$.

Ответ: $350\sqrt{53}$.