Страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

3.24. Решите уравнение:

a) $16x^3 - 28x^2 + 4x + 3 = 0;$

б) $6x^3 - 13x^2 + 9x - 2 = 0;$

в) $6x^3 - x^2 + 3x + 2 = 0;$

г) $4x^3 + 2x^2 - 8x + 3 = 0.$

а) $16x^3 - 28x^2 + 4x + 3 = 0$

Для решения данного кубического уравнения воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Возможные рациональные корни имеют вид $p/q$, где $p$ — делитель свободного члена (3), а $q$ — делитель старшего коэффициента (16).

Делители $p$: $\pm1, \pm3$.

Делители $q$: $1, 2, 4, 8, 16$.

Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm3, \pm1/2, \pm3/2, \pm1/4, \pm3/4, \pm1/8, \pm3/8, \pm1/16, \pm3/16$.

Проверим некоторые из них. Пусть $P(x) = 16x^3 - 28x^2 + 4x + 3$.

Подставим $x = 1/2$:

$P(1/2) = 16(1/2)^3 - 28(1/2)^2 + 4(1/2) + 3 = 16(1/8) - 28(1/4) + 2 + 3 = 2 - 7 + 2 + 3 = 0$.

Так как $x = 1/2$ является корнем, многочлен $16x^3 - 28x^2 + 4x + 3$ делится на $(x - 1/2)$ или, что эквивалентно, на $(2x - 1)$ без остатка.

Выполним деление многочлена столбиком:

$(16x^3 - 28x^2 + 4x + 3) : (2x - 1) = 8x^2 - 10x - 3$.

Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(2x - 1)(8x^2 - 10x - 3) = 0$.

Отсюда либо $2x - 1 = 0$, что дает корень $x_1 = 1/2$, либо $8x^2 - 10x - 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение $8x^2 - 10x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.

Корни квадратного уравнения:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 14}{2 \cdot 8} = \frac{10 \pm 14}{16}$.

$x_2 = \frac{10 + 14}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$.

$x_3 = \frac{10 - 14}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $x_1 = -1/4, x_2 = 1/2, x_3 = 3/2$.

б) $6x^3 - 13x^2 + 9x - 2 = 0$

Используем теорему о рациональных корнях. Возможные рациональные корни — это дроби $p/q$, где $p$ — делитель числа -2, а $q$ — делитель числа 6.

Делители $p$: $\pm1, \pm2$.

Делители $q$: $1, 2, 3, 6$.

Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm1/2, \pm1/3, \pm2/3, \pm1/6$.

Проверим $x = 1$. Пусть $P(x) = 6x^3 - 13x^2 + 9x - 2$.

$P(1) = 6(1)^3 - 13(1)^2 + 9(1) - 2 = 6 - 13 + 9 - 2 = 0$.

Корень $x_1 = 1$ найден. Разделим многочлен на $(x-1)$:

$(6x^3 - 13x^2 + 9x - 2) : (x - 1) = 6x^2 - 7x + 2$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 1)(6x^2 - 7x + 2) = 0$.

Остается решить квадратное уравнение $6x^2 - 7x + 2 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 49 - 48 = 1$.

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 1}{2 \cdot 6} = \frac{7 \pm 1}{12}$.

$x_2 = \frac{7 + 1}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.

$x_3 = \frac{7 - 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $x_1 = 1/2, x_2 = 2/3, x_3 = 1$.

в) $6x^3 - x^2 + 3x + 2 = 0$

Проверим наличие рациональных корней. Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm2, \pm1/2, \pm1/3, \pm2/3, \pm1/6$.

Подстановка показывает, что ни один из этих корней не подходит. Например, для $x=-1/2$:

$6(-1/2)^3 - (-1/2)^2 + 3(-1/2) + 2 = 6(-1/8) - 1/4 - 3/2 + 2 = -3/4 - 1/4 - 6/4 + 8/4 = -2/4 = -1/2 \neq 0$.

Это означает, что у уравнения нет рациональных корней. Исследуем функцию $f(x) = 6x^3 - x^2 + 3x + 2$. Ее производная $f'(x) = 18x^2 - 2x + 3$. Дискриминант для $f'(x)$ равен $D = (-2)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 3 = 4 - 216 = -212 < 0$. Так как старший коэффициент у $f'(x)$ положителен ($18>0$), производная всегда положительна. Следовательно, функция $f(x)$ монотонно возрастает и имеет только один действительный корень, который является иррациональным.

Вероятно, в условии задачи имеется опечатка. Распространенным вариантом этого задания является уравнение $6x^3 + x^2 + 3x + 2 = 0$. Решим его.

Проверим корень $x = -1/2$ для измененного уравнения:

$6(-1/2)^3 + (-1/2)^2 + 3(-1/2) + 2 = 6(-1/8) + 1/4 - 3/2 + 2 = -3/4 + 1/4 - 6/4 + 8/4 = 0$.

Корень $x_1 = -1/2$ найден. Разделим многочлен $6x^3 + x^2 + 3x + 2$ на $(2x+1)$:

$(6x^3 + x^2 + 3x + 2) : (2x + 1) = 3x^2 - x + 2$.

Получаем уравнение $(2x + 1)(3x^2 - x + 2) = 0$.

Решим квадратное уравнение $3x^2 - x + 2 = 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 - 24 = -23 < 0$.

Так как дискриминант отрицателен, у квадратного уравнения нет действительных корней.

Таким образом, для уравнения $6x^3 + x^2 + 3x + 2 = 0$ единственным действительным корнем является $x = -1/2$.

Ответ: У исходного уравнения $6x^3 - x^2 + 3x + 2 = 0$ нет рациональных корней, есть один иррациональный корень. Если предположить опечатку в условии и решать уравнение $6x^3 + x^2 + 3x + 2 = 0$, то ответ: $x = -1/2$.

г) $4x^3 + 2x^2 - 8x + 3 = 0$

Используем теорему о рациональных корнях. Возможные рациональные корни: $p/q$, где $p$ — делитель 3, а $q$ — делитель 4.

Возможные корни: $\pm1, \pm3, \pm1/2, \pm3/2, \pm1/4, \pm3/4$.

Проверим $x = 1/2$. Пусть $P(x) = 4x^3 + 2x^2 - 8x + 3$.

$P(1/2) = 4(1/2)^3 + 2(1/2)^2 - 8(1/2) + 3 = 4(1/8) + 2(1/4) - 4 + 3 = 1/2 + 1/2 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Корень $x_1 = 1/2$ найден. Разделим многочлен на $(2x-1)$:

$(4x^3 + 2x^2 - 8x + 3) : (2x - 1) = 2x^2 + 2x - 3$.

Уравнение принимает вид:

$(2x - 1)(2x^2 + 2x - 3) = 0$.

Остается решить квадратное уравнение $2x^2 + 2x - 3 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 4 + 24 = 28$.

Корни иррациональные:

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{2}$.

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{7}}{2}$.

$x_3 = \frac{-1 - \sqrt{7}}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{7}}{2}, x_2 = 1/2, x_3 = \frac{-1 + \sqrt{7}}{2}$.

3.25. a) На основании того, что число $\sqrt{2}$ является корнем уравнения $x^2 - 2 = 0$, докажите, что $\sqrt{2}$ — иррациональное число.

б) Проверив, что $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ является корнем уравнения $x^4 - 10x^2 + 1 = 0$, докажите, что $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ — иррациональное число.

а) Для доказательства используем метод от противного и следствие из теоремы Безу, известное как теорема о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами.

Рассмотрим уравнение $x^2 - 2 = 0$. Коэффициенты этого уравнения ($a_2=1, a_1=0, a_0=-2$) являются целыми числами.

Предположим, что число $\sqrt{2}$ является рациональным. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$), и числа $p$ и $q$ взаимно просты.

Согласно теореме о рациональных корнях, если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень $\frac{p}{q}$, то числитель $p$ должен быть делителем свободного члена ($a_0 = -2$), а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента ($a_2 = 1$).

Возможные значения для $p$ (делители числа -2): $\pm 1, \pm 2$.
Возможные значения для $q$ (натуральные делители числа 1): $1$.

Следовательно, все возможные рациональные корни данного уравнения — это числа $\frac{\pm 1}{1}$ и $\frac{\pm 2}{1}$, то есть $\pm 1$ и $\pm 2$.

Теперь проверим, является ли какое-либо из этих чисел корнем уравнения $x^2 - 2 = 0$:
При $x=1$: $1^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \neq 0$.
При $x=-1$: $(-1)^2 - 2 = 1 - 2 = -1 \neq 0$.
При $x=2$: $2^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \neq 0$.
При $x=-2$: $(-2)^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \neq 0$.

Ни одно из возможных рациональных значений не является корнем. Это означает, что уравнение $x^2 - 2 = 0$ не имеет рациональных корней.

По условию задачи, $\sqrt{2}$ является корнем этого уравнения. Поскольку мы доказали, что у уравнения нет рациональных корней, наше первоначальное предположение о том, что $\sqrt{2}$ — рациональное число, было неверным. Следовательно, $\sqrt{2}$ — иррациональное число, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\sqrt{2}$ — иррациональное число.

б) Сначала выполним проверку: убедимся, что число $x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ действительно является корнем уравнения $x^4 - 10x^2 + 1 = 0$.

Для этого найдем $x^2$ и $x^4$.
$x^2 = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 3 - 2\sqrt{6} + 2 = 5 - 2\sqrt{6}$.

$x^4 = (x^2)^2 = (5 - 2\sqrt{6})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{6} + (2\sqrt{6})^2 = 25 - 20\sqrt{6} + 4 \cdot 6 = 25 - 20\sqrt{6} + 24 = 49 - 20\sqrt{6}$.

Теперь подставим найденные значения $x^2$ и $x^4$ в левую часть уравнения:
$x^4 - 10x^2 + 1 = (49 - 20\sqrt{6}) - 10(5 - 2\sqrt{6}) + 1 = 49 - 20\sqrt{6} - 50 + 20\sqrt{6} + 1 = (49 - 50 + 1) + (-20\sqrt{6} + 20\sqrt{6}) = 0 + 0 = 0$.

Равенство $0=0$ верно, значит, $x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ является корнем уравнения.

Теперь докажем иррациональность числа $\sqrt{3} - \sqrt{2}$, используя тот же подход, что и в пункте а).

Уравнение $x^4 - 10x^2 + 1 = 0$ имеет целые коэффициенты ($a_4=1, a_3=0, a_2=-10, a_1=0, a_0=1$).

Предположим, что число $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ рационально и может быть представлено в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$.

По теореме о рациональных корнях, числитель $p$ должен быть делителем свободного члена ($a_0 = 1$), а знаменатель $q$ — делителем старшего коэффициента ($a_4 = 1$).

Возможные значения для $p$ (делители числа 1): $\pm 1$.
Возможные значения для $q$ (натуральные делители числа 1): $1$.

Следовательно, единственными возможными рациональными корнями уравнения являются числа $\pm 1$.

Проверим эти значения:
При $x=1$: $1^4 - 10(1^2) + 1 = 1 - 10 + 1 = -8 \neq 0$.
При $x=-1$: $(-1)^4 - 10(-1)^2 + 1 = 1 - 10 + 1 = -8 \neq 0$.

Ни одно из возможных рациональных значений не является корнем. Значит, уравнение $x^4 - 10x^2 + 1 = 0$ не имеет рациональных корней.

Так как мы подтвердили, что $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ является корнем этого уравнения, а рациональных корней у уравнения нет, то число $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ не может быть рациональным. Следовательно, оно иррационально.

Ответ: Доказано, что $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ — иррациональное число.

3.26. Найдите все целые значения параметра $a$, при каждом из которых многочлен $p(x)$ имеет хотя бы один целый корень; для каждого найденного значения $a$ определите число различных целых корней многочлена $p(x)$:

a) $p(x) = x^3 - 3x^2 + ax - 1$;

б) $p(x) = x^4 + ax^2 - (2a + 3)x - 7$.

a) p(x) = x³ - 3x² + ax - 1

По условию, параметр $a$ — целое число. Следовательно, многочлен $p(x) = x³ - 3x² + ax - 1$ имеет целые коэффициенты. Согласно теореме о рациональных корнях, если у многочлена с целыми коэффициентами есть целый корень $x_0$, то этот корень должен быть делителем свободного члена. Свободный член многочлена $p(x)$ равен -1. Целыми делителями числа -1 являются $1$ и $-1$. Следовательно, если у многочлена есть целые корни, то они могут быть только $x = 1$ или $x = -1$. Рассмотрим каждый из этих случаев.

Случай 1: $x = 1$ является корнем многочлена.
Подставим $x = 1$ в уравнение $p(x) = 0$:
$p(1) = 1³ - 3 \cdot 1² + a \cdot 1 - 1 = 0$
$1 - 3 + a - 1 = 0$
$a - 3 = 0$
$a = 3$
Мы нашли целое значение параметра $a = 3$. Теперь определим число различных целых корней для этого значения $a$.
При $a = 3$ многочлен принимает вид:
$p(x) = x³ - 3x² + 3x - 1$
Это выражение является формулой куба разности: $p(x) = (x - 1)³$.
Уравнение $p(x) = 0$ превращается в $(x - 1)³ = 0$, которое имеет единственный корень $x = 1$ кратности 3. Таким образом, при $a = 3$ многочлен имеет один различный целый корень.

Случай 2: $x = -1$ является корнем многочлена.
Подставим $x = -1$ в уравнение $p(x) = 0$:
$p(-1) = (-1)³ - 3 \cdot (-1)² + a \cdot (-1) - 1 = 0$
$-1 - 3(1) - a - 1 = 0$
$-1 - 3 - a - 1 = 0$
$-a - 5 = 0$
$a = -5$
Мы нашли еще одно целое значение параметра $a = -5$. Определим число различных целых корней.
При $a = -5$ многочлен принимает вид:
$p(x) = x³ - 3x² - 5x - 1$
Поскольку $x = -1$ является корнем, мы можем разделить $p(x)$ на $(x + 1)$ без остатка. В результате деления (например, по схеме Горнера) получаем:
$p(x) = (x + 1)(x² - 4x - 1)$
Другие корни многочлена $p(x)$ являются корнями квадратного уравнения $x² - 4x - 1 = 0$.
Найдем их по формуле для корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)² - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$
Корни $2 + \sqrt{5}$ и $2 - \sqrt{5}$ не являются целыми числами.
Следовательно, при $a = -5$ многочлен имеет только один целый корень $x = -1$.

Ответ: при $a=3$ один различный целый корень ($x=1$); при $a=-5$ один различный целый корень ($x=-1$).

б) p(x) = x⁴ + ax² - (2a + 3)x - 7

Параметр $a$ — целое число, поэтому многочлен $p(x) = x⁴ + ax² - (2a + 3)x - 7$ имеет целые коэффициенты. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные целые корни $x_0$ являются делителями свободного члена, который равен -7. Целые делители числа -7: $\pm1, \pm7$. Подставим каждое из этих значений в уравнение $p(x_0)=0$ и найдем соответствующие значения $a$.

Случай 1: $x = 1$ является корнем.
$p(1) = 1⁴ + a \cdot 1² - (2a + 3) \cdot 1 - 7 = 0$
$1 + a - 2a - 3 - 7 = 0$
$-a - 9 = 0$
$a = -9$
При $a = -9$ (целое число) многочлен имеет корень $x = 1$. Найдем остальные корни. $p(x) = x⁴ - 9x² - (2(-9) + 3)x - 7 = x⁴ - 9x² + 15x - 7$
Разделим $p(x)$ на $(x - 1)$: $p(x) = (x - 1)(x³ + x² - 8x + 7)$.
Проверим, есть ли у частного $q(x) = x³ + x² - 8x + 7$ целые корни. Они также должны быть делителями 7 (т.е. $\pm1, \pm7$).
$q(1) = 1 + 1 - 8 + 7 = 1 \ne 0$
$q(-1) = -1 + 1 + 8 + 7 = 15 \ne 0$
$q(7) = 7³ + 7² - 8(7) + 7 \ne 0$
$q(-7) = (-7)³ + (-7)² - 8(-7) + 7 \ne 0$
Других целых корней нет. При $a = -9$ есть один различный целый корень $x=1$.

Случай 2: $x = -1$ является корнем.
$p(-1) = (-1)⁴ + a(-1)² - (2a + 3)(-1) - 7 = 0$
$1 + a + 2a + 3 - 7 = 0$
$3a - 3 = 0$
$a = 1$
При $a = 1$ (целое число) многочлен имеет корень $x = -1$. Найдем остальные корни.
$p(x) = x⁴ + 1 \cdot x² - (2(1) + 3)x - 7 = x⁴ + x² - 5x - 7$
Разделим $p(x)$ на $(x + 1)$: $p(x) = (x + 1)(x³ - x² + 2x - 7)$.
Проверим, есть ли у частного $q(x) = x³ - x² + 2x - 7$ целые корни (возможные корни $\pm1, \pm7$).
$q(1) = 1 - 1 + 2 - 7 = -5 \ne 0$
$q(-1) = -1 - 1 - 2 - 7 = -11 \ne 0$
$q(7) = 7³ - 7² + 2(7) - 7 \ne 0$
$q(-7) = (-7)³ - (-7)² + 2(-7) - 7 \ne 0$
Других целых корней нет. При $a = 1$ есть один различный целый корень $x=-1$.

Случай 3: $x = 7$ является корнем.
$p(7) = 7⁴ + a \cdot 7² - (2a + 3) \cdot 7 - 7 = 0$
$2401 + 49a - 14a - 21 - 7 = 0$
$35a + 2373 = 0$
$a = -2373/35$. Это не целое число.

Случай 4: $x = -7$ является корнем.
$p(-7) = (-7)⁴ + a(-7)² - (2a + 3)(-7) - 7 = 0$
$2401 + 49a + 14a + 21 - 7 = 0$
$63a + 2415 = 0$
$a = -2415/63 = -115/3$. Это не целое число.

Таким образом, только два целых значения параметра $a$ (это $a=-9$ и $a=1$) удовлетворяют условию задачи.
Ответ: при $a=-9$ один различный целый корень ($x=1$); при $a=1$ один различный целый корень ($x=-1$).

3.27. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых многочлен $p(x)$ имеет два целых корня:

a) $p(x) = ax^2 + 3x + 2a^2 - 3;$

б) $p(x) = ax^2 - 5x + 4a^2 - 10.$

а) $p(x) = ax^2 + 3x + 2a^2 - 3$

Для того чтобы многочлен $p(x)$ имел два корня, он должен быть квадратным, следовательно, коэффициент при $x^2$ не должен быть равен нулю, то есть $a \ne 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два целых корня уравнения $ax^2 + 3x + 2a^2 - 3 = 0$.

Согласно теореме Виета, для корней выполняются соотношения:

$x_1 + x_2 = -\frac{3}{a}$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{2a^2 - 3}{a} = 2a - \frac{3}{a}$

Так как $x_1$ и $x_2$ — целые числа, их сумма $S = x_1 + x_2$ и произведение $P = x_1 \cdot x_2$ также являются целыми числами.

Из первого уравнения выразим параметр $a$ через сумму корней $S$: $a = -\frac{3}{S}$.

Подставим это выражение для $a$ во второе уравнение:

$P = 2\left(-\frac{3}{S}\right) - \frac{3}{-3/S} = -\frac{6}{S} + S$

Поскольку $P$ и $S$ — целые числа, из выражения $P = S - \frac{6}{S}$ следует, что $\frac{6}{S}$ должно быть целым числом. Это означает, что $S$ является делителем числа 6. Возможные целые значения для $S$:

$S \in \{-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6\}$

Корни $x_1$ и $x_2$ являются решениями квадратного уравнения $x^2 - Sx + P = 0$. Чтобы это уравнение имело действительные корни, его дискриминант $D_x = S^2 - 4P$ должен быть неотрицательным. Чтобы корни были целыми, $D_x$ должен быть полным квадратом неотрицательного целого числа.

Подставим выражение для $P$: $D_x = S^2 - 4\left(S - \frac{6}{S}\right) = S^2 - 4S + \frac{24}{S}$.

Так как $S$ — делитель 6, то $S$ также является делителем 24, поэтому $D_x$ будет целым. Проверим все возможные значения $S$:

• При $S = 1$: $D_x = 1^2 - 4(1) + \frac{24}{1} = 1 - 4 + 24 = 21$ (не является полным квадратом).
• При $S = -1$: $D_x = (-1)^2 - 4(-1) + \frac{24}{-1} = 1 + 4 - 24 = -19 < 0$ (нет действительных корней).
• При $S = 2$: $D_x = 2^2 - 4(2) + \frac{24}{2} = 4 - 8 + 12 = 8$ (не является полным квадратом).
• При $S = -2$: $D_x = (-2)^2 - 4(-2) + \frac{24}{-2} = 4 + 8 - 12 = 0 = 0^2$. Это полный квадрат. В этом случае $a = -\frac{3}{S} = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2}$. При этом значении $a$ многочлен имеет два совпадающих целых корня $x_1 = x_2 = -1$. Следовательно, $a = \frac{3}{2}$ является решением.
• При $S = 3$: $D_x = 3^2 - 4(3) + \frac{24}{3} = 9 - 12 + 8 = 5$ (не является полным квадратом).
• При $S = -3$: $D_x = (-3)^2 - 4(-3) + \frac{24}{-3} = 9 + 12 - 8 = 13$ (не является полным квадратом).
• При $S = 6$: $D_x = 6^2 - 4(6) + \frac{24}{6} = 36 - 24 + 4 = 16 = 4^2$. Это полный квадрат. В этом случае $a = -\frac{3}{S} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$. При этом значении $a$ многочлен имеет два различных целых корня $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Следовательно, $a = -\frac{1}{2}$ является решением.
• При $S = -6$: $D_x = (-6)^2 - 4(-6) + \frac{24}{-6} = 36 + 24 - 4 = 56$ (не является полным квадратом).

Таким образом, мы нашли два значения параметра $a$, при которых многочлен имеет два целых корня.

Ответ: $a \in \{-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\}$.

б) $p(x) = ax^2 - 5x + 4a^2 - 10$

Аналогично пункту а), $a \ne 0$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два целых корня уравнения $ax^2 - 5x + 4a^2 - 10 = 0$.

По теореме Виета:

$S = x_1 + x_2 = \frac{5}{a}$

$P = x_1 \cdot x_2 = \frac{4a^2 - 10}{a} = 4a - \frac{10}{a}$

$S$ и $P$ — целые числа.

Из первого уравнения: $a = \frac{5}{S}$.

Подставляем во второе уравнение:

$P = 4\left(\frac{5}{S}\right) - \frac{10}{5/S} = \frac{20}{S} - \frac{10S}{5} = \frac{20}{S} - 2S$

Из $P = \frac{20}{S} - 2S$ следует, что $\frac{20}{S}$ должно быть целым числом, так как $P$ и $2S$ целые. Значит, $S$ — делитель числа 20. Возможные целые значения для $S$:

$S \in \{\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20\}$

Дискриминант $D_x$ уравнения $x^2 - Sx + P = 0$ должен быть полным квадратом.

$D_x = S^2 - 4P = S^2 - 4\left(\frac{20}{S} - 2S\right) = S^2 - \frac{80}{S} + 8S$.

Так как $S$ — делитель 20, то $S$ также является делителем 80, поэтому $D_x$ будет целым. Проверим все возможные значения $S$:

• При $S = 1$: $D_x = 1 + 8 - 80 = -71 < 0$.
• При $S = -1$: $D_x = 1 - 8 + 80 = 73$ (не квадрат).
• При $S = 2$: $D_x = 4 + 16 - 40 = -20 < 0$.
• При $S = -2$: $D_x = 4 - 16 + 40 = 28$ (не квадрат).
• При $S = 4$: $D_x = 16 + 32 - 20 = 28$ (не квадрат).
• При $S = -4$: $D_x = 16 - 32 + 20 = 4 = 2^2$. Это полный квадрат. При этом $a = \frac{5}{S} = \frac{5}{-4} = -\frac{5}{4}$. Это значение является решением.
• При $S = 5$: $D_x = 25 + 40 - 16 = 49 = 7^2$. Это полный квадрат. При этом $a = \frac{5}{S} = \frac{5}{5} = 1$. Это значение является решением.
• При $S = -5$: $D_x = 25 - 40 + 16 = 1 = 1^2$. Это полный квадрат. При этом $a = \frac{5}{S} = \frac{5}{-5} = -1$. Это значение является решением.
• При $S = 10$: $D_x = 100 + 80 - 8 = 172$ (не квадрат).
• При $S = -10$: $D_x = 100 - 80 + 8 = 28$ (не квадрат).
• При $S = 20$: $D_x = 400 + 160 - 4 = 556$ (не квадрат).
• При $S = -20$: $D_x = 400 - 160 + 4 = 244$ (не квадрат).

Таким образом, мы нашли три значения параметра $a$, при которых многочлен имеет два целых корня.

Ответ: $a \in \{-\frac{5}{4}, -1, 1\}$.

3.28. Найдите все значения параметров $a$ и $b$, при каждом из которых многочлен $p(x)$ имеет три различных целых корня:

a) $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2$;

б) $p(x) = bx^3 + ax^2 + x + 2$.

а) Пусть $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2$. По условию, многочлен имеет три различных целых корня. Обозначим их $x_1, x_2, x_3$.

Если многочлен имеет корни $x_1, x_2, x_3$, его можно представить в виде $p(x) = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. Раскроем скобки:
$(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3$.

Приравнивая коэффициенты этого многочлена и исходного многочлена $p(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2$, получаем систему уравнений (формулы Виета):
$a = -(x_1 + x_2 + x_3)$
$b = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$
$2 = -x_1x_2x_3$ или $x_1x_2x_3 = -2$.

Так как корни $x_1, x_2, x_3$ — различные целые числа, из третьего уравнения следует, что они являются делителями числа -2. Целые делители числа -2 это $\{-2, -1, 1, 2\}$. Нам нужно выбрать три различных числа из этого множества, произведение которых равно -2.

Единственный способ получить произведение -2 из трех различных целых чисел — это перемножить $1, -1$ и $2$. Действительно, $|x_1x_2x_3| = 2$. Чтобы произведение модулей трех различных целых чисел было равно 2, их модули должны быть $1, 1, 2$. Но так как числа различны, это возможно, только если два из них — это $1$ и $-1$. Тогда третий корень $x_3$ находится из уравнения $(1)(-1)x_3 = -2$, откуда $x_3 = 2$.

Итак, множество корней однозначно определено: $\{1, -1, 2\}$. Теперь найдем соответствующие значения параметров $a$ и $b$:
$a = -(1 + (-1) + 2) = -2$
$b = (1)(-1) + (1)(2) + (-1)(2) = -1 + 2 - 2 = -1$

Ответ: $a = -2, b = -1$.

б) Пусть $p(x) = bx^3 + ax^2 + x + 2$. По условию, многочлен имеет три различных целых корня $x_1, x_2, x_3$.

Так как у многочлена третьей степени три корня, старший коэффициент $b$ не может быть равен нулю. Многочлен можно представить в виде $p(x) = b(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. Раскроем скобки и приравняем коэффициенты к исходному многочлену:
$b(x^3 - (x_1+x_2+x_3)x^2 + (x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x - x_1x_2x_3) = bx^3 + ax^2 + x + 2$.

Получаем систему уравнений:
$a = -b(x_1 + x_2 + x_3)$
$1 = b(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)$
$2 = -b(x_1x_2x_3)$

Обозначим элементарные симметрические многочлены от корней: $S_1 = x_1+x_2+x_3$, $S_2 = x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3$, $S_3 = x_1x_2x_3$. Так как корни — целые числа, $S_1, S_2, S_3$ также являются целыми числами.
Система принимает вид:
$a = -bS_1$
$1 = bS_2$
$2 = -bS_3$

Из второго уравнения выразим $b = 1/S_2$ (поскольку $b \ne 0$, то $S_2 \ne 0$). Подставим это в третье уравнение:
$2 = -(1/S_2)S_3 \implies 2S_2 = -S_3 \implies S_3 = -2S_2$.

Подставим выражения для $S_2$ и $S_3$:
$x_1x_2x_3 = -2(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)$.
Корни не могут быть равны нулю, так как свободный член многочлена равен 2. Разделим обе части на $x_1x_2x_3$:
$1 = -2(\frac{1}{x_3} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_1})$
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -\frac{1}{2}$.

Таким образом, задача сводится к нахождению всех троек различных ненулевых целых чисел $\{x_1, x_2, x_3\}$, удовлетворяющих этому уравнению. Каждая такая тройка определяет единственную пару параметров $(a, b)$ по формулам:
$b = \frac{1}{S_2} = \frac{1}{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}$
$a = -bS_1 = \frac{-(x_1+x_2+x_3)}{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}$

Данное диофантово уравнение имеет бесконечно много решений. Приведем некоторые из них.

• Рассмотрим тройку $\{1, -1, -2\}$. Проверим: $\frac{1}{1} + \frac{1}{-1} + \frac{1}{-2} = 1 - 1 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$. Это решение. Для этих корней: $S_1 = 1-1-2=-2$, $S_2 = (1)(-1)+(1)(-2)+(-1)(-2) = -1-2+2 = -1$. Тогда $b = 1/(-1) = -1$ и $a = -(-2)/(-1) = -2$. Параметры $(a,b)$ в этом случае целые.
• Рассмотрим семейство решений вида $\{k, -k, -2\}$ для любого целого $k$, такого что корни различны, то есть $k \notin \{0, 2, -2\}$. Проверка: $\frac{1}{k} + \frac{1}{-k} + \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$. Для этих корней: $S_1 = k-k-2 = -2$, $S_2 = k(-k)+k(-2)+(-k)(-2) = -k^2-2k+2k = -k^2$. Параметры: $b = -1/k^2$, $a = -(-2)/(-k^2) = -2/k^2$. Например, при $k=3$ корни $\{3, -3, -2\}$, а параметры $a=-2/9, b=-1/9$.
• Рассмотрим тройку $\{3, 6, -1\}$. Проверим: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} - \frac{1}{1} = \frac{2+1}{6} - 1 = \frac{1}{2}-1 = -\frac{1}{2}$. Это решение. Для этих корней: $S_1 = 3+6-1=8$, $S_2 = 18-3-6=9$. Параметры: $b=1/9$, $a=-8/9$.

Таким образом, существует бесконечное множество значений параметров $a$ и $b$.

Ответ: все пары $(a,b)$ вида $a = \frac{-(x_1+x_2+x_3)}{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}$ и $b = \frac{1}{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3}$, где $\{x_1, x_2, x_3\}$ — любое множество трех различных ненулевых целых чисел, удовлетворяющих уравнению $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = -\frac{1}{2}$. В частности, если $a$ и $b$ — целые, то решение единственно: $a=-2, b=-1$.

3.29. Докажите, что уравнение не имеет действительных корней:

a) $x^6 - x^5 + 2 = 0;$

б) $x^{14} - x + 3 = 0.$

а) Чтобы доказать, что уравнение $x^6 - x^5 + 2 = 0$ не имеет действительных корней, рассмотрим функцию $f(x) = x^6 - x^5 + 2$ и покажем, что её значение всегда положительно для любого действительного $x$.
Разобьем область определения на два интервала.
1. При $x \le 0$. В этом случае $x^6$ является неотрицательным числом ($x^6 \ge 0$), а $-x^5$ также является неотрицательным ($-x^5 \ge 0$). Следовательно, $f(x) = x^6 - x^5 + 2 \ge 0 + 0 + 2 = 2$. Таким образом, при $x \le 0$ значение функции строго положительно.
2. При $x > 0$. Для нахождения наименьшего значения функции на этом интервале воспользуемся производной. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^6 - x^5 + 2)' = 6x^5 - 5x^4 = x^4(6x - 5)$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: $x^4(6x - 5) = 0$. Учитывая, что $x>0$, получаем единственную критическую точку $x = 5/6$.
При переходе через точку $x = 5/6$ производная $f'(x)$ меняет знак с отрицательного на положительный, что указывает на то, что в этой точке функция достигает своего локального минимума. Поскольку это единственная критическая точка для $x>0$, это и есть точка глобального минимума на этом интервале.
Вычислим значение функции в этой точке:
$f(5/6) = (5/6)^6 - (5/6)^5 + 2 = (5/6)^5(5/6 - 1) + 2 = (5/6)^5(-1/6) + 2 = 2 - \frac{5^5}{6^6} = 2 - \frac{3125}{46656}$.
Так как $3125 < 46656$, то $0 < \frac{3125}{46656} < 1$. Отсюда следует, что $f(5/6) > 2 - 1 = 1$.
Итак, мы показали, что при $x \le 0$ значение $f(x) \ge 2$, а при $x > 0$ минимальное значение $f(x)$ больше 1. Следовательно, функция $f(x)$ всегда принимает строго положительные значения.
Ответ: Уравнение не имеет действительных корней.

б) Чтобы доказать, что уравнение $x^{14} - x + 3 = 0$ не имеет действительных корней, рассмотрим функцию $g(x) = x^{14} - x + 3$. Мы докажем, что $g(x) > 0$ для всех действительных $x$, найдя её наименьшее значение.
Для этого найдем производную функции $g(x)$:
$g'(x) = (x^{14} - x + 3)' = 14x^{13} - 1$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$14x^{13} - 1 = 0 \implies x^{13} = \frac{1}{14} \implies x_0 = \sqrt[13]{\frac{1}{14}}$.
Это единственная критическая точка. Чтобы проверить, является ли она точкой минимума, найдем вторую производную:
$g''(x) = (14x^{13} - 1)' = 14 \cdot 13x^{12} = 182x^{12}$.
Поскольку $x_0 = \sqrt[13]{\frac{1}{14}} > 0$, значение второй производной в этой точке $g''(x_0) = 182x_0^{12} > 0$. Следовательно, в точке $x_0$ функция имеет минимум. Так как это единственная критическая точка, это глобальный минимум.
Теперь вычислим значение функции в точке минимума $x_0$. Используем тот факт, что $x_0^{13} = \frac{1}{14}$, откуда $x_0^{14} = x_0^{13} \cdot x_0 = \frac{1}{14}x_0$.
$g(x_0) = x_0^{14} - x_0 + 3 = \frac{1}{14}x_0 - x_0 + 3 = 3 - \frac{13}{14}x_0$.
Оценим значение $x_0$. Так как $0 < \frac{1}{14} < 1$, то и корень из этого числа также находится в этом интервале: $0 < x_0 < 1$.
Тогда для значения функции в точке минимума получаем оценку:
$g(x_0) = 3 - \frac{13}{14}x_0 > 3 - \frac{13}{14} \cdot 1 = 3 - \frac{13}{14} = \frac{21-13}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.
Наименьшее значение функции $g(x)$ строго положительно ($g(x_{min}) > 4/7 > 0$). Это означает, что $g(x) > 0$ для любого действительного $x$.
Ответ: Уравнение не имеет действительных корней.

3.30. Используя свойство монотонности функции, докажите, что уравнение имеет единственный корень, и найдите этот корень:

a) $x^3 = 10 - x$;

б) $x^5 + 3x^3 = 11\sqrt{2 - x}$.

a) $x^3 = 10 - x$

Перепишем уравнение в виде $x^3 + x = 10$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + x$, которая представляет собой левую часть уравнения. Областью определения функции является множество всех действительных чисел.

Исследуем эту функцию на монотонность. Она является суммой двух функций: $y_1(x) = x^3$ и $y_2(x) = x$. Обе эти функции являются строго возрастающими на всей числовой оси. Сумма двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией. Следовательно, $f(x) = x^3 + x$ — строго возрастающая функция.

Альтернативно, можно использовать производную: $f'(x) = (x^3 + x)' = 3x^2 + 1$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$ для всех $x$. Поскольку производная функции строго положительна на всей области определения, функция $f(x)$ строго возрастает.

Строго монотонная функция каждое своё значение принимает не более одного раза. Поэтому уравнение $f(x) = 10$ может иметь не более одного корня. Чтобы доказать существование и найти этот корень, воспользуемся методом подбора.

Проверим значение функции при $x=2$:
$f(2) = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10$.

Так как $f(2) = 10$, то $x=2$ является корнем уравнения. В силу доказанной единственности, это единственный корень.

Ответ: $x=2$.

б) $x^5 + 3x^3 = 11\sqrt{2} - x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, чтобы получить уравнение вида $f(x) = C$:
$x^5 + 3x^3 + x = 11\sqrt{2}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 3x^3 + x$. Ее область определения — все действительные числа.

Функция $f(x)$ является суммой трех строго возрастающих функций: $y_1(x) = x^5$, $y_2(x) = 3x^3$ и $y_3(x) = x$. Следовательно, $f(x)$ также является строго возрастающей функцией на всей числовой оси.

Исследование с помощью производной также подтверждает это: $f'(x) = (x^5 + 3x^3 + x)' = 5x^4 + 9x^2 + 1$. Для любого действительного $x$ выполняются неравенства $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$, поэтому $f'(x) \ge 1 > 0$. Так как производная всегда положительна, функция $f(x)$ строго возрастает.

Поскольку функция $f(x)$ строго монотонна, уравнение $f(x) = 11\sqrt{2}$ может иметь не более одного решения.

Найдем это решение подбором. Присутствие $\sqrt{2}$ в правой части уравнения подсказывает, что корень может быть связан с этим числом. Проверим $x = \sqrt{2}$:

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^5 + 3(\sqrt{2})^3 + \sqrt{2} = 4\sqrt{2} + 3(2\sqrt{2}) + \sqrt{2} = 4\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + \sqrt{2} = 11\sqrt{2}$.

Значение функции при $x = \sqrt{2}$ совпало с правой частью уравнения. Таким образом, $x = \sqrt{2}$ является корнем. Так как корень единственный, это и есть искомое решение.

Ответ: $x=\sqrt{2}$.