Страница 19, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

2.6. a) Докажите, что многочлен $(y^2 - z^2)x + (z^2 - x^2)y + (x^2 - y^2)z$ не обращается в нуль ни при каких попарно различных значениях переменных $x, y, z$.

б) Многочлен $x^3 + px + q$ обращается в нуль при $x = \alpha$, при $x = \beta$ и при $x = \gamma$. Докажите, что $\alpha + \beta + \gamma = 0$.

а)

Рассмотрим данный многочлен $P(x, y, z) = (y^2 - z^2)x + (z^2 - x^2)y + (x^2 - y^2)z$.

Чтобы доказать, что он не обращается в нуль при попарно различных значениях переменных, преобразуем его, раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые. Раскроем скобки:

$P(x, y, z) = y^2x - z^2x + z^2y - x^2y + x^2z - y^2z$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$P(x, y, z) = (z - y)x^2 + (y^2 - z^2)x + (yz^2 - y^2z)$

Вынесем общие множители из каждой группы слагаемых:

$P(x, y, z) = -(y - z)x^2 + (y - z)(y + z)x - yz(y - z)$

Теперь вынесем общий множитель $(y - z)$ за скобки:

$P(x, y, z) = (y - z)(-x^2 + (y + z)x - yz)$

Вынесем знак минус из второго множителя (из скобки с квадратным трехчленом):

$P(x, y, z) = -(y - z)(x^2 - (y + z)x + yz)$

Выражение в скобках $x^2 - (y + z)x + yz$ является квадратным трехчленом относительно переменной $x$. Его можно разложить на множители. Согласно теореме Виета для квадратного уравнения, его корнями являются $y$ и $z$, поэтому трехчлен раскладывается как $(x - y)(x - z)$.

Таким образом, получаем окончательное разложение исходного многочлена на множители:

$P(x, y, z) = -(y - z)(x - y)(x - z)$

По условию задачи, переменные $x, y, z$ попарно различны. Это означает, что $x \neq y$, $y \neq z$ и $x \neq z$. Следовательно, каждый из множителей в полученном произведении отличен от нуля:

$(y - z) \neq 0$

$(x - y) \neq 0$

$(x - z) \neq 0$

Произведение трех ненулевых чисел также является ненулевым числом. Значит, $P(x, y, z) \neq 0$ при попарно различных $x, y, z$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Пусть дан многочлен $P(x) = x^3 + px + q$.

По условию, многочлен обращается в нуль при $x = \alpha$, $x = \beta$ и при $x = \gamma$. Это означает, что $\alpha, \beta, \gamma$ являются корнями уравнения $x^3 + px + q = 0$.

Согласно основной теореме алгебры, многочлен третьей степени, имеющий корни $\alpha, \beta, \gamma$, может быть представлен в виде произведения линейных множителей. Поскольку старший коэффициент многочлена (при $x^3$) равен 1, мы можем записать тождество:

$x^3 + px + q = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$

Раскроем скобки в правой части равенства, чтобы найти его коэффициенты в развернутом виде:

$(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) = (x^2 - \beta x - \alpha x + \alpha\beta)(x - \gamma)$

$= (x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta)(x - \gamma)$

$= x(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta) - \gamma(x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta)$

$= x^3 - (\alpha + \beta)x^2 + \alpha\beta x - \gamma x^2 + \gamma(\alpha + \beta)x - \alpha\beta\gamma$

Сгруппируем слагаемые при одинаковых степенях $x$:

$= x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma)x - \alpha\beta\gamma$

Теперь мы имеем тождество двух многочленов:

$x^3 + 0 \cdot x^2 + px + q \equiv x^3 - (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \alpha\gamma + \beta\gamma)x - \alpha\beta\gamma$

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Приравняем коэффициенты при $x^2$. В левой части многочлена коэффициент при $x^2$ равен 0 (поскольку этот член отсутствует). В правой части он равен $-(\alpha + \beta + \gamma)$.

$0 = -(\alpha + \beta + \gamma)$

Умножив обе части на -1, получаем:

$\alpha + \beta + \gamma = 0$

Это соотношение известно как одна из формул Виета для кубического уравнения. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

○2.7. Докажите, что многочлен:

a) $x^7 - 3x^3y^4 + 6xy^6 - 4y^7$ делится без остатка на многочлен $x - y$;

б) $x^{13} + 7x^{10}y^3 - 11x^3y^{10} - 17y^{13}$ делится без остатка на многочлен $x + y$.

а)

Чтобы доказать, что многочлен $P(x, y) = x^7 - 3x^3y^4 + 6xy^6 - 4y^7$ делится без остатка на многочлен $x - y$, воспользуемся следствием из теоремы Безу. Согласно этому следствию, многочлен делится на двучлен $(x - y)$ тогда и только тогда, когда значение многочлена равно нулю при подстановке $x = y$.

Выполним подстановку $x = y$ в данный многочлен:

$P(y, y) = y^7 - 3(y)^3y^4 + 6(y)y^6 - 4y^7$

Упростим выражение, используя свойство степеней $a^m a^n = a^{m+n}$:

$y^7 - 3y^{3+4} + 6y^{1+6} - 4y^7 = y^7 - 3y^7 + 6y^7 - 4y^7$

Сгруппируем члены и вынесем $y^7$ за скобки:

$(1 - 3 + 6 - 4)y^7 = (7 - 7)y^7 = 0 \cdot y^7 = 0$

Поскольку результат равен нулю, исходный многочлен делится на $(x - y)$ без остатка.

Ответ: что и требовалось доказать.

б)

Чтобы доказать, что многочлен $Q(x, y) = x^{13} + 7x^{10}y^3 - 11x^3y^{10} - 17y^{13}$ делится без остатка на многочлен $x + y$, также воспользуемся следствием из теоремы Безу. Многочлен делится на $(x + y)$, что эквивалентно $(x - (-y))$, если его значение равно нулю при подстановке $x = -y$.

Выполним подстановку $x = -y$ в данный многочлен:

$Q(-y, y) = (-y)^{13} + 7(-y)^{10}y^3 - 11(-y)^3y^{10} - 17y^{13}$

При возведении отрицательного числа в степень, знак зависит от четности показателя: $(-a)^n = -a^n$ для нечетного $n$ и $(-a)^n = a^n$ для четного $n$.

$(-y)^{13} = -y^{13}$ (13 — нечетное)

$(-y)^{10} = y^{10}$ (10 — четное)

$(-y)^{3} = -y^{3}$ (3 — нечетное)

Подставим эти значения обратно в выражение:

$-y^{13} + 7(y^{10})y^3 - 11(-y^3)y^{10} - 17y^{13} = -y^{13} + 7y^{13} + 11y^{13} - 17y^{13}$

Сгруппируем члены и вынесем $y^{13}$ за скобки:

$(-1 + 7 + 11 - 17)y^{13} = (18 - 18)y^{13} = 0 \cdot y^{13} = 0$

Поскольку результат равен нулю, исходный многочлен делится на $(x + y)$ без остатка.

Ответ: что и требовалось доказать.

Запишите многочлен в стандартном виде:

2.8. a) $(2x - y - 3)^2 + (x - 3y - 1)^2$;

б) $(x - y - 2z - 1)^2 + (2x + y + z - 3)^2$;

в) $(5x - y - 2)^2 + 2(3x - y - 1)^2$;

г) $(x - 3y + z - 2)^2 - 3(2x + y - z + 1).$

а) $(2x - y - 3)^2 + (x - 3y - 1)^2$

Для решения необходимо раскрыть скобки, используя формулу квадрата трехчлена $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$, а затем привести подобные слагаемые.

Раскроем первую скобку:

$(2x - y - 3)^2 = (2x)^2 + (-y)^2 + (-3)^2 + 2(2x)(-y) + 2(2x)(-3) + 2(-y)(-3) = 4x^2 + y^2 + 9 - 4xy - 12x + 6y$.

Раскроем вторую скобку:

$(x - 3y - 1)^2 = x^2 + (-3y)^2 + (-1)^2 + 2(x)(-3y) + 2(x)(-1) + 2(-3y)(-1) = x^2 + 9y^2 + 1 - 6xy - 2x + 6y$.

Теперь сложим полученные выражения и приведем подобные члены:

$(4x^2 + y^2 + 9 - 4xy - 12x + 6y) + (x^2 + 9y^2 + 1 - 6xy - 2x + 6y) =$

$= (4x^2 + x^2) + (y^2 + 9y^2) + (-4xy - 6xy) + (-12x - 2x) + (6y + 6y) + (9 + 1) =$

$= 5x^2 + 10y^2 - 10xy - 14x + 12y + 10$.

Ответ: $5x^2 + 10y^2 - 10xy - 14x + 12y + 10$.

б) $(x - y - 2z - 1)^2 + (2x + y + z - 3)^2$

Используем формулу квадрата многочлена $(a+b+c+d)^2 = a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd$.

Раскроем первую скобку:

$(x - y - 2z - 1)^2 = x^2 + (-y)^2 + (-2z)^2 + (-1)^2 + 2(x)(-y) + 2(x)(-2z) + 2(x)(-1) + 2(-y)(-2z) + 2(-y)(-1) + 2(-2z)(-1) = x^2 + y^2 + 4z^2 + 1 - 2xy - 4xz - 2x + 4yz + 2y + 4z$.

Раскроем вторую скобку:

$(2x + y + z - 3)^2 = (2x)^2 + y^2 + z^2 + (-3)^2 + 2(2x)(y) + 2(2x)(z) + 2(2x)(-3) + 2(y)(z) + 2(y)(-3) + 2(z)(-3) = 4x^2 + y^2 + z^2 + 9 + 4xy + 4xz - 12x + 2yz - 6y - 6z$.

Сложим полученные многочлены и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + y^2 + 4z^2 + 1 - 2xy - 4xz - 2x + 4yz + 2y + 4z) + (4x^2 + y^2 + z^2 + 9 + 4xy + 4xz - 12x + 2yz - 6y - 6z) =$

$= (x^2+4x^2) + (y^2+y^2) + (4z^2+z^2) + (-2xy+4xy) + (-4xz+4xz) + (4yz+2yz) + (-2x-12x) + (2y-6y) + (4z-6z) + (1+9) =$

$= 5x^2 + 2y^2 + 5z^2 + 2xy + 6yz - 14x - 4y - 2z + 10$.

Ответ: $5x^2 + 2y^2 + 5z^2 + 2xy + 6yz - 14x - 4y - 2z + 10$.

в) $(5x - y - 2)^2 + 2(3x - y - 1)^2$

Раскроем каждую скобку по формуле квадрата трехчлена, второй многочлен умножим на 2 и приведем подобные слагаемые.

$(5x - y - 2)^2 = 25x^2 + y^2 + 4 - 10xy - 20x + 4y$.

$2(3x - y - 1)^2 = 2( (3x)^2 + (-y)^2 + (-1)^2 + 2(3x)(-y) + 2(3x)(-1) + 2(-y)(-1) ) = 2(9x^2 + y^2 + 1 - 6xy - 6x + 2y) = 18x^2 + 2y^2 + 2 - 12xy - 12x + 4y$.

Сложим полученные выражения:

$(25x^2 + y^2 + 4 - 10xy - 20x + 4y) + (18x^2 + 2y^2 + 2 - 12xy - 12x + 4y) =$

$= (25x^2+18x^2) + (y^2+2y^2) + (-10xy-12xy) + (-20x-12x) + (4y+4y) + (4+2) =$

$= 43x^2 + 3y^2 - 22xy - 32x + 8y + 6$.

Ответ: $43x^2 + 3y^2 - 22xy - 32x + 8y + 6$.

г) $(x - 3y + z - 2)^2 - 3(2x + y - z + 1)$

Возведем в квадрат первый многочлен и раскроем скобки во втором выражении, умножив на -3. Затем приведем подобные слагаемые.

Раскроем первую скобку:

$(x - 3y + z - 2)^2 = x^2 + (-3y)^2 + z^2 + (-2)^2 + 2(x)(-3y) + 2(x)(z) + 2(x)(-2) + 2(-3y)(z) + 2(-3y)(-2) + 2(z)(-2) = x^2 + 9y^2 + z^2 + 4 - 6xy + 2xz - 4x - 6yz + 12y - 4z$.

Раскроем вторую скобку:

$-3(2x + y - z + 1) = -6x - 3y + 3z - 3$.

Скомбинируем результаты:

$(x^2 + 9y^2 + z^2 + 4 - 6xy + 2xz - 4x - 6yz + 12y - 4z) - 6x - 3y + 3z - 3 =$

$= x^2 + 9y^2 + z^2 - 6xy + 2xz - 6yz + (-4x-6x) + (12y-3y) + (-4z+3z) + (4-3) =$

$= x^2 + 9y^2 + z^2 - 6xy + 2xz - 6yz - 10x + 9y - z + 1$.

Ответ: $x^2 + 9y^2 + z^2 - 6xy + 2xz - 6yz - 10x + 9y - z + 1$.

2.9. a) $ (x + y + 2)^3 + x(2x + y - 1)^2 $;

б) $ (2x - y - z)^3 - 3xy(2x + 3y - z) $.

а) Чтобы решить данное выражение, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Выражение состоит из двух частей: $(x + y + 2)^3$ и $x(2x + y - 1)^2$.

1. Раскроем куб суммы трех слагаемых $(x + y + 2)^3$. Воспользуемся формулой куба суммы, сгруппировав слагаемые: $((x + y) + 2)^3$.
Формула куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Пусть $a = x+y$ и $b = 2$.
$((x+y) + 2)^3 = (x+y)^3 + 3(x+y)^2 \cdot 2 + 3(x+y) \cdot 2^2 + 2^3$
$= (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) + 6(x^2 + 2xy + y^2) + 12(x+y) + 8$
$= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + 6x^2 + 12xy + 6y^2 + 12x + 12y + 8$.

2. Раскроем вторую часть выражения $x(2x + y - 1)^2$. Сначала возведем в квадрат трехчлен $(2x + y - 1)$ по формуле $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$.
$(2x + y - 1)^2 = (2x)^2 + y^2 + (-1)^2 + 2(2x)(y) + 2(2x)(-1) + 2(y)(-1)$
$= 4x^2 + y^2 + 1 + 4xy - 4x - 2y$.
Теперь умножим результат на $x$:
$x(4x^2 + y^2 + 1 + 4xy - 4x - 2y) = 4x^3 + xy^2 + x + 4x^2y - 4x^2 - 2xy$.

3. Сложим результаты из пунктов 1 и 2 и приведем подобные слагаемые.
$(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + 6x^2 + 12xy + 6y^2 + 12x + 12y + 8) + (4x^3 + 4x^2y + xy^2 - 4x^2 - 2xy + x)$
Группируем по степеням:
- Слагаемые с $x^3$: $x^3 + 4x^3 = 5x^3$
- Слагаемые с $x^2y$: $3x^2y + 4x^2y = 7x^2y$
- Слагаемые с $xy^2$: $3xy^2 + xy^2 = 4xy^2$
- Слагаемые с $y^3$: $y^3$
- Слагаемые с $x^2$: $6x^2 - 4x^2 = 2x^2$
- Слагаемые с $xy$: $12xy - 2xy = 10xy$
- Слагаемые с $y^2$: $6y^2$
- Слагаемые с $x$: $12x + x = 13x$
- Слагаемые с $y$: $12y$
- Константа: $8$
Складывая все вместе, получаем:
$5x^3 + 7x^2y + 4xy^2 + y^3 + 2x^2 + 10xy + 6y^2 + 13x + 12y + 8$.

Ответ: $5x^3 + 7x^2y + 4xy^2 + y^3 + 2x^2 + 10xy + 6y^2 + 13x + 12y + 8$.

б) Для решения этого выражения также раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Выражение состоит из двух частей: $(2x - y - z)^3$ и $-3xy(2x + 3y - z)$.

1. Раскроем куб $(2x - y - z)^3$. Сгруппируем слагаемые: $((2x - y) - z)^3$.
Воспользуемся формулой куба разности: $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.
Пусть $a = 2x-y$ и $b = z$.
$((2x-y) - z)^3 = (2x-y)^3 - 3(2x-y)^2z + 3(2x-y)z^2 - z^3$
Теперь раскроем степени двучлена $(2x-y)$:
$= ((2x)^3 - 3(2x)^2y + 3(2x)y^2 - y^3) - 3(4x^2 - 4xy + y^2)z + (6x - 3y)z^2 - z^3$
$= (8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3) - (12x^2z - 12xyz + 3y^2z) + (6xz^2 - 3yz^2) - z^3$
$= 8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3 - 12x^2z + 12xyz - 3y^2z + 6xz^2 - 3yz^2 - z^3$.

2. Раскроем вторую часть выражения $-3xy(2x + 3y - z)$, умножив $-3xy$ на каждый член в скобках:
$-3xy(2x + 3y - z) = (-3xy)(2x) + (-3xy)(3y) + (-3xy)(-z)$
$= -6x^2y - 9xy^2 + 3xyz$.

3. Сложим результаты из пунктов 1 и 2 и приведем подобные слагаемые.
$(8x^3 - 12x^2y + 6xy^2 - y^3 - 12x^2z + 12xyz - 3y^2z + 6xz^2 - 3yz^2 - z^3) + (-6x^2y - 9xy^2 + 3xyz)$
Группируем подобные слагаемые:
- $x^3$: $8x^3$
- $x^2y$: $-12x^2y - 6x^2y = -18x^2y$
- $xy^2$: $6xy^2 - 9xy^2 = -3xy^2$
- $y^3$: $-y^3$
- $x^2z$: $-12x^2z$
- $xyz$: $12xyz + 3xyz = 15xyz$
- $y^2z$: $-3y^2z$
- $xz^2$: $6xz^2$
- $yz^2$: $-3yz^2$
- $z^3$: $-z^3$
Объединив все слагаемые, получаем итоговый многочлен:
$8x^3 - 18x^2y - 3xy^2 - y^3 - 12x^2z + 15xyz - 3y^2z + 6xz^2 - 3yz^2 - z^3$.

Ответ: $8x^3 - 18x^2y - 3xy^2 - y^3 - 12x^2z + 15xyz - 3y^2z + 6xz^2 - 3yz^2 - z^3$.

2.10. a) Докажите, что сумма $17^{11} + 5^{11}$ делится без остатка на 22.

б) Докажите, что разность $13^9 - 7^9$ делится без остатка на 6.

a)

Для доказательства того, что сумма $17^{11} + 5^{11}$ делится на 22, воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы степеней с нечетным показателем: $a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + b^{n-1})$, которая верна для любого нечетного натурального числа $n$.

В нашем случае $a = 17$, $b = 5$, а показатель степени $n = 11$ является нечетным числом, поэтому формула применима.

Подставим наши значения в формулу:
$17^{11} + 5^{11} = (17+5)(17^{10} - 17^9 \cdot 5 + 17^8 \cdot 5^2 - \dots + 5^{10})$

Вычислим сумму в первой скобке:
$17 + 5 = 22$

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде произведения:
$17^{11} + 5^{11} = 22 \cdot (17^{10} - 17^9 \cdot 5 + \dots + 5^{10})$

Поскольку выражение является произведением числа 22 и некоторого целого числа (выражение во второй скобке является целым числом, так как все его слагаемые — целые числа), то оно делится на 22 без остатка.

Ответ: Сумма $17^{11} + 5^{11}$ делится на 22 без остатка.

б)

Для доказательства того, что разность $13^9 - 7^9$ делится на 6, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности степеней: $a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + b^{n-1})$, которая верна для любого натурального числа $n$.

В данном случае $a = 13$, $b = 7$, а показатель степени $n = 9$.

Применим формулу к нашему выражению:
$13^9 - 7^9 = (13-7)(13^8 + 13^7 \cdot 7 + 13^6 \cdot 7^2 + \dots + 7^8)$

Вычислим разность в первой скобке:
$13 - 7 = 6$

Следовательно, исходное выражение можно переписать как:
$13^9 - 7^9 = 6 \cdot (13^8 + 13^7 \cdot 7 + \dots + 7^8)$

Так как выражение представляет собой произведение числа 6 и некоторого целого числа (выражение во второй скобке является целым числом), оно делится на 6 без остатка.

Ответ: Разность $13^9 - 7^9$ делится на 6 без остатка.

2.11. Найдите отношение $\frac{f(kx; ky)}{f(x; y)}$, если:

a) $f(x; y) = 2x^2 + 5xy - 7y^2$;

б) $f(x; y) = x^4 + 12x^3y - 7x^2y^2 + 2xy^3 - 2y^4$;

в) $f(x; y) = (3x - 5y)^3 + 2x(x + y)^2 - 7y^2(2x - y)$;

г) $f(x; y) = (x + y)^6 + (5x^2 - 4y^2)^3 - 7(x^3 - y^3)^2 + x^3y^3$.

а) Дана функция $f(x; y) = 2x^2 + 5xy - 7y^2$.
Найдем значение функции в точке $(kx, ky)$. Для этого подставим $kx$ вместо $x$ и $ky$ вместо $y$:
$f(kx; ky) = 2(kx)^2 + 5(kx)(ky) - 7(ky)^2 = 2k^2x^2 + 5k^2xy - 7k^2y^2$.
Вынесем общий множитель $k^2$ за скобки:
$f(kx; ky) = k^2(2x^2 + 5xy - 7y^2)$.
В скобках мы получили исходную функцию $f(x; y)$. Таким образом, $f(kx; ky) = k^2 f(x; y)$.
Теперь найдем искомое отношение:
$\frac{f(kx; ky)}{f(x; y)} = \frac{k^2 f(x; y)}{f(x; y)} = k^2$.
Ответ: $k^2$

б) Дана функция $f(x; y) = x^4 + 12x^3y - 7x^2y^2 + 2xy^3 - 2y^4$.
Данная функция является однородной функцией степени 4, так как степень каждого ее одночлена равна 4 (например, для $12x^3y$ степень равна $3+1=4$).
Для однородной функции степени $n$ выполняется свойство $f(kx; ky) = k^n f(x; y)$. В данном случае степень $n=4$.
Проверим это, подставив $kx$ и $ky$:
$f(kx; ky) = (kx)^4 + 12(kx)^3(ky) - 7(kx)^2(ky)^2 + 2(kx)(ky)^3 - 2(ky)^4$
$= k^4x^4 + 12(k^3x^3)(ky) - 7(k^2x^2)(k^2y^2) + 2(kx)(k^3y^3) - 2k^4y^4$
$= k^4x^4 + 12k^4x^3y - 7k^4x^2y^2 + 2k^4xy^3 - 2k^4y^4$
$= k^4(x^4 + 12x^3y - 7x^2y^2 + 2xy^3 - 2y^4) = k^4 f(x; y)$.
Тогда искомое отношение равно:
$\frac{f(kx; ky)}{f(x; y)} = \frac{k^4 f(x; y)}{f(x; y)} = k^4$.
Ответ: $k^4$

в) Дана функция $f(x; y) = (3x - 5y)^3 + 2x(x + y)^2 - 7y^2(2x - y)$.
Проверим, является ли функция однородной. Для этого определим степень однородности каждого слагаемого.
1. Первое слагаемое: $(3(kx) - 5(ky))^3 = (k(3x-5y))^3 = k^3(3x-5y)^3$. Степень однородности равна 3.
2. Второе слагаемое: $2(kx)((kx) + (ky))^2 = 2kx(k(x+y))^2 = 2kx \cdot k^2(x+y)^2 = k^3 \cdot 2x(x+y)^2$. Степень однородности равна 3.
3. Третье слагаемое: $-7(ky)^2(2(kx) - (ky)) = -7k^2y^2 \cdot k(2x-y) = -k^3 \cdot 7y^2(2x-y)$. Степень однородности равна 3.
Так как все слагаемые являются однородными функциями одной и той же степени 3, их сумма также является однородной функцией степени 3. Таким образом, $f(kx; ky) = k^3 f(x; y)$.
Следовательно, отношение:
$\frac{f(kx; ky)}{f(x; y)} = \frac{k^3 f(x; y)}{f(x; y)} = k^3$.
Ответ: $k^3$

г) Дана функция $f(x; y) = (x + y)^6 + (5x^2 - 4y^2)^3 - 7(x^3 - y^3)^2 + x^3y^3$.
Проверим однородность каждого слагаемого:
1. Для $(x + y)^6$: $((kx) + (ky))^6 = (k(x+y))^6 = k^6(x+y)^6$. Степень 6.
2. Для $(5x^2 - 4y^2)^3$: $(5(kx)^2 - 4(ky)^2)^3 = (k^2(5x^2 - 4y^2))^3 = (k^2)^3(5x^2 - 4y^2)^3 = k^6(5x^2 - 4y^2)^3$. Степень 6.
3. Для $-7(x^3 - y^3)^2$: $-7((kx)^3 - (ky)^3)^2 = -7(k^3(x^3 - y^3))^2 = -7(k^3)^2(x^3 - y^3)^2 = -7k^6(x^3 - y^3)^2$. Степень 6.
4. Для $x^3y^3$: $(kx)^3(ky)^3 = k^3x^3 \cdot k^3y^3 = k^6x^3y^3$. Степень 6.
Все слагаемые являются однородными функциями степени 6, значит, вся функция $f(x;y)$ однородна и имеет степень 6.
Следовательно, $f(kx; ky) = k^6 f(x; y)$.
Найдем отношение:
$\frac{f(kx; ky)}{f(x; y)} = \frac{k^6 f(x; y)}{f(x; y)} = k^6$.
Ответ: $k^6$

Решите уравнение относительно x:

2.12. a) $x^2 - 5xy + 4y^2 = 0;$

б) $5x^2 + 27xy + 10y^2 = 0.$

а) $x^2 - 5xy + 4y^2 = 0$

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени. Решим его как квадратное уравнение относительно переменной $x$. В этом случае коэффициенты уравнения будут зависеть от $y$:

• $a = 1$
• $b = -5y$
• $c = 4y^2$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4y^2) = 25y^2 - 16y^2 = 9y^2$

Теперь найдем корни уравнения для $x$ по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x = \frac{-(-5y) \pm \sqrt{9y^2}}{2 \cdot 1} = \frac{5y \pm 3y}{2}$

Отсюда получаем два решения для $x$:

$x_1 = \frac{5y + 3y}{2} = \frac{8y}{2} = 4y$

$x_2 = \frac{5y - 3y}{2} = \frac{2y}{2} = y$

Ответ: $x_1 = y, x_2 = 4y$.

б) $5x^2 + 27xy + 10y^2 = 0$

Это также однородное уравнение второй степени. Решим его как квадратное уравнение относительно $x$. Коэффициенты:

• $a = 5$
• $b = 27y$
• $c = 10y^2$

Найдем дискриминант $D$:

$D = (27y)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (10y^2) = 729y^2 - 200y^2 = 529y^2$

Найдем корни уравнения для $x$:

$x = \frac{-27y \pm \sqrt{529y^2}}{2 \cdot 5} = \frac{-27y \pm 23y}{10}$

Получаем два решения для $x$:

$x_1 = \frac{-27y + 23y}{10} = \frac{-4y}{10} = -\frac{2}{5}y$

$x_2 = \frac{-27y - 23y}{10} = \frac{-50y}{10} = -5y$

Ответ: $x_1 = -5y, x_2 = -\frac{2}{5}y$.

2.13. a) $4x^3 + 5x^2y + xy^2 = 0;$

б) $x^3 + 6x^2y + 11xy^2 + 6y^3 = 0.$

а) $4x^3 + 5x^2y + xy^2 = 0$

Данное уравнение является однородным уравнением третьей степени. Для его решения вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(4x^2 + 5xy + y^2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два случая:

1. $x = 0$. Это одно из решений уравнения.

2. $4x^2 + 5xy + y^2 = 0$. Это однородное уравнение второй степени. Так как случай $x = 0$ мы уже рассмотрели, для поиска других решений можем считать, что $x \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $x^2$:

$4 + 5\frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^2 = 0$

Произведем замену переменной: пусть $t = \frac{y}{x}$. Уравнение преобразуется в квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + 5t + 4 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а их произведение равно $4$. Следовательно, корни уравнения:

$t_1 = -1$ и $t_2 = -4$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти соотношения между $x$ и $y$.

При $t_1 = -1$:

$\frac{y}{x} = -1 \implies y = -x$

При $t_2 = -4$:

$\frac{y}{x} = -4 \implies y = -4x$

Таким образом, решениями исходного уравнения являются три зависимости, которые на координатной плоскости представляют собой три прямые.

Ответ: $x=0$; $y=-x$; $y=-4x$.

б) $x^3 + 6x^2y + 11xy^2 + 6y^3 = 0$

Это также однородное уравнение третьей степени. Заметим, что если $x = 0$, то уравнение принимает вид $6y^3 = 0$, что означает $y=0$. Таким образом, пара $(0,0)$ является тривиальным решением. Для поиска нетривиальных решений будем считать, что $x \ne 0$, и разделим все члены уравнения на $x^3$:

$1 + 6\frac{y}{x} + 11(\frac{y}{x})^2 + 6(\frac{y}{x})^3 = 0$

Сделаем замену $t = \frac{y}{x}$. В результате получим кубическое уравнение относительно $t$:

$6t^3 + 11t^2 + 6t + 1 = 0$

Для решения этого уравнения найдем его рациональные корни с помощью теоремы о рациональных корнях. Возможные корни имеют вид $\frac{p}{q}$, где $p$ — делитель свободного члена ($1$), а $q$ — делитель старшего коэффициента ($6$). Возможные рациональные корни: $\pm1, \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{6}$.

Проверим $t = -1$:

$6(-1)^3 + 11(-1)^2 + 6(-1) + 1 = -6 + 11 - 6 + 1 = 0$.

Следовательно, $t_1 = -1$ является корнем. Это означает, что многочлен $6t^3 + 11t^2 + 6t + 1$ делится на $(t+1)$ без остатка. Выполнив деление в столбик или используя схему Горнера, получим:

$(6t^3 + 11t^2 + 6t + 1) : (t+1) = 6t^2 + 5t + 1$.

Теперь уравнение можно записать в виде:

$(t+1)(6t^2 + 5t + 1) = 0$

Осталось найти корни квадратного уравнения $6t^2 + 5t + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

Корни уравнения:

$t_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 1}{12}$

$t_2 = \frac{-5 - 1}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

$t_3 = \frac{-5 + 1}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$

Мы нашли три корня для $t$: $t_1 = -1$, $t_2 = -\frac{1}{2}$ и $t_3 = -\frac{1}{3}$.

Вернемся к замене $t = \frac{y}{x}$ и найдем соответствующие соотношения для $x$ и $y$:

1. $\frac{y}{x} = -1 \implies y = -x$ (или $x+y=0$)

2. $\frac{y}{x} = -\frac{1}{2} \implies 2y = -x \implies x + 2y = 0$

3. $\frac{y}{x} = -\frac{1}{3} \implies 3y = -x \implies x + 3y = 0$

Ответ: $y=-x$; $x+2y=0$; $x+3y=0$.