Страница 15, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.29. Найдите остаток от деления многочлена $f(x)$ на двучлен

$(x - a)$ и значение $f(x)$ в точке $x = a$:

а) $f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 11, a = -3;$

б) $f(x) = x^7 + 3x^6 - x^3 - 12x^2 + 1, a = -2;$

в) $f(x) = 3x^4 - x^2 + x - 31, a = 2;$

г) $f(x) = 2x^6 - 3x^5 + 2x^3 - 4x^2 - 2x + 100, a = -1.$

Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен значению этого многочлена в точке $x = a$, то есть $f(a)$. Таким образом, для решения задачи в каждом пункте достаточно найти значение функции $f(x)$ в точке $x = a$.

а) $f(x) = x^3 - 4x^2 + 3x + 11$, $a = -3$.

Найдём значение многочлена $f(x)$ в точке $x = -3$:

$f(-3) = (-3)^3 - 4(-3)^2 + 3(-3) + 11 = -27 - 4 \cdot 9 - 9 + 11 = -27 - 36 - 9 + 11 = -72 + 11 = -61$.

Следовательно, остаток от деления $f(x)$ на $(x - (-3)) = (x+3)$ равен -61, и значение $f(x)$ в точке $x=-3$ также равно -61.

Ответ: Остаток равен -61, значение $f(-3) = -61$.

б) $f(x) = x^7 + 3x^6 - x^3 - 12x^2 + 1$, $a = -2$.

Найдём значение многочлена $f(x)$ в точке $x = -2$:

$f(-2) = (-2)^7 + 3(-2)^6 - (-2)^3 - 12(-2)^2 + 1 = -128 + 3 \cdot 64 - (-8) - 12 \cdot 4 + 1 = -128 + 192 + 8 - 48 + 1 = 25$.

Следовательно, остаток от деления $f(x)$ на $(x - (-2)) = (x+2)$ равен 25, и значение $f(x)$ в точке $x=-2$ также равно 25.

Ответ: Остаток равен 25, значение $f(-2) = 25$.

в) $f(x) = 3x^4 - x^2 + x - 31$, $a = 2$.

Найдём значение многочлена $f(x)$ в точке $x = 2$:

$f(2) = 3 \cdot 2^4 - 2^2 + 2 - 31 = 3 \cdot 16 - 4 + 2 - 31 = 48 - 4 + 2 - 31 = 15$.

Следовательно, остаток от деления $f(x)$ на $(x - 2)$ равен 15, и значение $f(x)$ в точке $x=2$ также равно 15.

Ответ: Остаток равен 15, значение $f(2) = 15$.

г) $f(x) = 2x^6 - 3x^5 + 2x^3 - 4x^2 - 2x + 100$, $a = -1$.

Найдём значение многочлена $f(x)$ в точке $x = -1$:

$f(-1) = 2(-1)^6 - 3(-1)^5 + 2(-1)^3 - 4(-1)^2 - 2(-1) + 100 = 2 \cdot 1 - 3(-1) + 2(-1) - 4 \cdot 1 + 2 + 100 = 2 + 3 - 2 - 4 + 2 + 100 = 101$.

Следовательно, остаток от деления $f(x)$ на $(x - (-1)) = (x+1)$ равен 101, и значение $f(x)$ в точке $x=-1$ также равно 101.

Ответ: Остаток равен 101, значение $f(-1) = 101$.

1.30. Докажите, что остаток от деления многочлена $f(x)$ на дву-член $(kx - p)$, $k \neq 0$, равен значению этого многочлена в точке $x = \frac{p}{k}$.

Для доказательства воспользуемся теоремой о делении многочленов с остатком. Согласно этой теореме, для любого многочлена $f(x)$ и делителя $(kx - p)$, где $k \neq 0$, существуют единственные многочлены $q(x)$ (частное) и $r(x)$ (остаток), такие, что выполняется следующее тождество:

$f(x) = (kx - p) \cdot q(x) + r(x)$

Степень многочлена-остатка $r(x)$ должна быть строго меньше степени многочлена-делителя $(kx - p)$.

Поскольку делитель $(kx - p)$ является многочленом первой степени (так как по условию $k \neq 0$), степень остатка $r(x)$ должна быть меньше 1. Это означает, что степень остатка равна 0, то есть $r(x)$ является константой (числом). Обозначим эту константу как $R$.

Таким образом, наше тождество принимает вид:

$f(x) = (kx - p) \cdot q(x) + R$

Это равенство является тождеством, то есть оно справедливо для любого значения переменной $x$. Чтобы найти значение $R$, подставим в это тождество корень двучлена $(kx - p)$. Найдем этот корень из уравнения:

$kx - p = 0 \implies kx = p \implies x = \frac{p}{k}$

Подставим значение $x = \frac{p}{k}$ в тождество:

$f\left(\frac{p}{k}\right) = \left(k \cdot \frac{p}{k} - p\right) \cdot q\left(\frac{p}{k}\right) + R$

$f\left(\frac{p}{k}\right) = (p - p) \cdot q\left(\frac{p}{k}\right) + R$

$f\left(\frac{p}{k}\right) = 0 \cdot q\left(\frac{p}{k}\right) + R$

$f\left(\frac{p}{k}\right) = R$

Таким образом, мы показали, что остаток $R$ от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $(kx - p)$ равен значению этого многочлена в точке $x = \frac{p}{k}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Остаток от деления многочлена $f(x)$ на двучлен $(kx-p)$ равен $f\left(\frac{p}{k}\right)$.

1.31. Используя схему Горнера, найдите все такие значения параметра $a$, при которых для многочлена $p(x) = x^7 - 2x^6 + 3x^5 - x^3 + x^2 - 5x + a$ выполняется условие:

а) $p(1) = 0$;

б) $p(-1) = 0$;

в) $p(2) = 0$;

г) $p(-3) = 5$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Безу, согласно которой остаток от деления многочлена $p(x)$ на двучлен $(x-c)$ равен значению многочлена в точке $c$, то есть $p(c)$. Для нахождения этого остатка применим схему Горнера.

Многочлен имеет вид: $p(x) = x^7 - 2x^6 + 3x^5 + 0x^4 - x^3 + x^2 - 5x + a$.

Его коэффициенты при степенях от $x^7$ до $x^0$: $1, -2, 3, 0, -1, 1, -5, a$.

а) p(1) = 0

Применим схему Горнера для $c=1$.

Выполним вычисления:
$b_6 = 1$
$b_5 = 1 \cdot 1 + (-2) = -1$
$b_4 = 1 \cdot (-1) + 3 = 2$
$b_3 = 1 \cdot 2 + 0 = 2$
$b_2 = 1 \cdot 2 + (-1) = 1$
$b_1 = 1 \cdot 1 + 1 = 2$
$b_0 = 1 \cdot 2 + (-5) = -3$
Остаток $R = p(1) = 1 \cdot (-3) + a = a - 3$.

По условию $p(1) = 0$, следовательно, $a - 3 = 0$.

Отсюда находим $a = 3$.

Ответ: $a = 3$.

б) p(-1) = 0

Применим схему Горнера для $c=-1$.

Выполним вычисления:
$b_6 = 1$
$b_5 = (-1) \cdot 1 + (-2) = -3$
$b_4 = (-1) \cdot (-3) + 3 = 6$
$b_3 = (-1) \cdot 6 + 0 = -6$
$b_2 = (-1) \cdot (-6) + (-1) = 5$
$b_1 = (-1) \cdot 5 + 1 = -4$
$b_0 = (-1) \cdot (-4) + (-5) = -1$
Остаток $R = p(-1) = (-1) \cdot (-1) + a = a + 1$.

По условию $p(-1) = 0$, следовательно, $a + 1 = 0$.

Отсюда находим $a = -1$.

Ответ: $a = -1$.

в) p(2) = 0

Применим схему Горнера для $c=2$.

Выполним вычисления:
$b_6 = 1$
$b_5 = 2 \cdot 1 + (-2) = 0$
$b_4 = 2 \cdot 0 + 3 = 3$
$b_3 = 2 \cdot 3 + 0 = 6$
$b_2 = 2 \cdot 6 + (-1) = 11$
$b_1 = 2 \cdot 11 + 1 = 23$
$b_0 = 2 \cdot 23 + (-5) = 41$
Остаток $R = p(2) = 2 \cdot 41 + a = a + 82$.

По условию $p(2) = 0$, следовательно, $a + 82 = 0$.

Отсюда находим $a = -82$.

Ответ: $a = -82$.

г) p(-3) = 5

Применим схему Горнера для $c=-3$.

Выполним вычисления:
$b_6 = 1$
$b_5 = (-3) \cdot 1 + (-2) = -5$
$b_4 = (-3) \cdot (-5) + 3 = 18$
$b_3 = (-3) \cdot 18 + 0 = -54$
$b_2 = (-3) \cdot (-54) + (-1) = 161$
$b_1 = (-3) \cdot 161 + 1 = -482$
$b_0 = (-3) \cdot (-482) + (-5) = 1446 - 5 = 1441$
Остаток $R = p(-3) = (-3) \cdot 1441 + a = a - 4323$.

По условию $p(-3) = 5$, следовательно, $a - 4323 = 5$.

Отсюда находим $a = 4323 + 5 = 4328$.

Ответ: $a = 4328$.

1.32. Используя схему Горнера, докажите, что число a является корнем многочлена p(x):

a) $p(x) = 2x^4 - 3x^3 + x - 10, a = 2;$

б) $p(x) = 2x^3 + x^2 - 7x - 6, a = -1.5.$

a) p(x) = 2x⁴ - 3x³ + x - 10, a = 2;

Чтобы доказать, что число $a$ является корнем многочлена $p(x)$, необходимо показать, что значение многочлена в этой точке равно нулю, то есть $p(a) = 0$. Согласно теореме Безу, остаток от деления многочлена $p(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен $p(a)$. Схема Горнера является удобным способом для нахождения этого остатка. Если остаток равен нулю, то $a$ — корень многочлена.

Запишем коэффициенты многочлена $p(x) = 2x^4 - 3x^3 + 0x^2 + 1x - 10$ в верхнюю строку таблицы. Важно не пропустить член с $x^2$, его коэффициент равен 0. Слева от таблицы запишем значение $a = 2$.

Последнее число в нижней строке таблицы (в закрашенной ячейке) является остатком от деления $p(x)$ на $(x - 2)$. Остаток равен 0. Это означает, что $p(2) = 0$, и, следовательно, число $a=2$ является корнем многочлена $p(x)$. Остальные числа в нижней строке (2, 1, 2, 5) являются коэффициентами частного: $2x^3+x^2+2x+5$.

Ответ: Так как остаток от деления многочлена $p(x)$ на $(x - 2)$ по схеме Горнера равен 0, то число 2 является корнем многочлена, что и требовалось доказать.

б) p(x) = 2x³ + x² - 7x - 6, a = -1,5.

Аналогично предыдущему пункту применим схему Горнера для многочлена $p(x) = 2x^3 + 1x^2 - 7x - 6$ и числа $a = -1,5$.

Запишем коэффициенты многочлена в таблицу.

Остаток от деления $p(x)$ на $(x - (-1,5)) = (x+1,5)$ равен 0. Это означает, что $p(-1,5) = 0$, и, следовательно, число $a=-1,5$ является корнем многочлена $p(x)$. Частное от деления равно $2x^2-2x-4$.

Ответ: Так как остаток от деления многочлена $p(x)$ на $(x + 1,5)$ по схеме Горнера равен 0, то число -1,5 является корнем многочлена, что и требовалось доказать.

1.33. Используя схему Горнера, найдите все такие значения параметра $a$, при которых число $x_0$ является корнем многочлена $p(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + ax - 1$:

а) $x_0 = 1$;

б) $x_0 = -3$;

в) $x_0 = 2$;

г) $x_0 = 0,5$.

Для того чтобы число $x_0$ было корнем многочлена $p(x) = x^4 - 3x^3 + x^2 + ax - 1$, необходимо, чтобы значение многочлена в этой точке было равно нулю, то есть $p(x_0) = 0$. Согласно следствию из теоремы Безу, это равносильно тому, что остаток от деления многочлена $p(x)$ на двучлен $(x - x_0)$ равен нулю. Мы найдем этот остаток для каждого значения $x_0$ с помощью схемы Горнера и приравняем его к нулю, чтобы найти параметр $a$.

Коэффициенты многочлена $p(x)$ следующие: $1$ (при $x^4$), $-3$ (при $x^3$), $1$ (при $x^2$), $a$ (при $x$), $-1$ (свободный член).

а) $x_0 = 1$

Применим схему Горнера для деления $p(x)$ на $(x - 1)$:

Остаток от деления равен $a-2$. Приравниваем его к нулю:

$a - 2 = 0$

$a = 2$

Ответ: $a = 2$.

б) $x_0 = -3$

Применим схему Горнера для деления $p(x)$ на $(x - (-3)) = (x+3)$:

Остаток от деления равен $170 - 3a$. Приравниваем его к нулю:

$170 - 3a = 0$

$3a = 170$

$a = \frac{170}{3}$

Ответ: $a = \frac{170}{3}$.

в) $x_0 = 2$

Применим схему Горнера для деления $p(x)$ на $(x - 2)$:

Остаток от деления равен $2a - 5$. Приравниваем его к нулю:

$2a - 5 = 0$

$2a = 5$

$a = \frac{5}{2} = 2.5$

Ответ: $a = 2.5$.

г) $x_0 = 0.5$

Применим схему Горнера для деления $p(x)$ на $(x - 0.5)$. Для удобства вычислений используем $x_0 = \frac{1}{2}$:

Остаток от деления равен $\frac{a}{2} - \frac{17}{16}$. Приравниваем его к нулю:

$\frac{a}{2} - \frac{17}{16} = 0$

$\frac{a}{2} = \frac{17}{16}$

$a = 2 \cdot \frac{17}{16} = \frac{17}{8} = 2.125$

Ответ: $a = \frac{17}{8}$.

1.34. Докажите утверждение: при любом натуральном значении n многочлен $p(x) = 2x^n + 4x^{n-1} - 2^{n+2}$ делится на $(x - 2)$ без остатка. Используя это утверждение, докажите, что:

a) $(2 \cdot 5^n + 4 \cdot 5^{n-1} - 2^{n+2}) : 3;$

б) $(2 \cdot 9^n + 4 \cdot 9^{n-1} - 2^{n+2}) : 7;$

в) $(2 \cdot 7^{100} + 28 \cdot 7^{98} - 2^{102}) : 5;$

г) $(2(n + 3)^n + 4(n + 3)^{n-1} - 2^{n+2}) : (n + 1).$

Сначала докажем основное утверждение: многочлен $p(x) = 2x^n + 4x^{n-1} - 2^{n+2}$ делится на $(x-2)$ без остатка при любом натуральном значении $n$.

Для этого воспользуемся следствием из теоремы Безу: многочлен $p(x)$ делится на двучлен $(x-a)$ без остатка тогда и только тогда, когда число $a$ является корнем многочлена, то есть $p(a)=0$.

В нашем случае $a=2$. Проверим, является ли $x=2$ корнем многочлена $p(x)$:

$p(2) = 2 \cdot 2^n + 4 \cdot 2^{n-1} - 2^{n+2}$

Преобразуем слагаемые, используя свойства степеней:

$2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$

$4 \cdot 2^{n-1} = 2^2 \cdot 2^{n-1} = 2^{2+(n-1)} = 2^{n+1}$

Подставим полученные выражения обратно в $p(2)$:

$p(2) = 2^{n+1} + 2^{n+1} - 2^{n+2} = 2 \cdot 2^{n+1} - 2^{n+2} = 2^{n+2} - 2^{n+2} = 0$

Поскольку $p(2)=0$, основное утверждение доказано. Теперь используем его для решения следующих задач.

a) Доказать, что $(2 \cdot 5^n + 4 \cdot 5^{n-1} - 2^{n+2})$ делится на 3.

Данное выражение соответствует многочлену $p(x)$ при $x=5$. То есть, это $p(5)$.

Согласно доказанному утверждению, $p(x)$ делится на $(x-2)$. Следовательно, $p(5)$ должно делиться на $(5-2)$.

$5 - 2 = 3$.

Значит, выражение делится на 3, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Доказать, что $(2 \cdot 9^n + 4 \cdot 9^{n-1} - 2^{n+2})$ делится на 7.

Это выражение является значением многочлена $p(x)$ при $x=9$, то есть $p(9)$.

Так как $p(x)$ делится на $(x-2)$, то $p(9)$ делится на $(9-2)$.

$9 - 2 = 7$.

Значит, выражение делится на 7, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

в) Доказать, что $(2 \cdot 7^{100} + 28 \cdot 7^{98} - 2^{102})$ делится на 5.

Преобразуем данное выражение, чтобы оно соответствовало виду $p(x)$.

Второе слагаемое: $28 \cdot 7^{98} = (4 \cdot 7) \cdot 7^{98} = 4 \cdot 7^1 \cdot 7^{98} = 4 \cdot 7^{99}$.

Третье слагаемое: $2^{102} = 2^{100+2}$.

Тогда выражение принимает вид: $2 \cdot 7^{100} + 4 \cdot 7^{99} - 2^{100+2}$.

Это в точности совпадает с многочленом $p(x)$ при $x=7$ и $n=100$. То есть, это $p(7)$ для $n=100$.

Так как $p(x)$ делится на $(x-2)$, то $p(7)$ делится на $(7-2)$.

$7 - 2 = 5$.

Значит, выражение делится на 5, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

г) Доказать, что $(2(n+3)^n + 4(n+3)^{n-1} - 2^{n+2})$ делится на $(n+1)$.

Это выражение является значением многочлена $p(x)$ при $x = n+3$. То есть, это $p(n+3)$.

Так как $p(x)$ делится на $(x-2)$, то $p(n+3)$ делится на $((n+3)-2)$.

$(n+3) - 2 = n+1$.

Значит, выражение делится на $(n+1)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.