Страница 10, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.1. По данному стандартному виду многочлена $f(x)$ определите его степень, выпишите набор всех его коэффициентов и найдите значение многочлена в данных точках:

а) $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 10$ в точках $-2; -1; 0;$

б) $f(x) = -x^5 + 3x^4 - x^3 + x$ в точках $-1; 1; 2;$

а) Для многочлена $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 10$ в точках -2; -1; 0;

1. Степень многочлена

Степенью многочлена называется наибольшая степень переменной в его стандартном виде. В многочлене $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + x - 10$ члены имеют степени 4, 2, 1 и 0. Наибольшая из них – 4.

Следовательно, степень многочлена равна 4.

2. Набор всех коэффициентов

Чтобы выписать все коэффициенты, необходимо учесть и те степени переменной, которые отсутствуют в записи (их коэффициенты равны нулю). Запишем многочлен в полном виде:

$f(x) = 3x^4 + 0x^3 - 2x^2 + 1x^1 - 10x^0$

Коэффициенты при степенях от старшей к младшей:

• коэффициент при $x^4$ равен 3;
• коэффициент при $x^3$ равен 0;
• коэффициент при $x^2$ равен -2;
• коэффициент при $x^1$ равен 1;
• свободный член (коэффициент при $x^0$) равен -10.

Набор всех коэффициентов: $\{3, 0, -2, 1, -10\}$.

3. Значение многочлена в данных точках

• При $x = -2$:
  $f(-2) = 3(-2)^4 - 2(-2)^2 + (-2) - 10 = 3 \cdot 16 - 2 \cdot 4 - 2 - 10 = 48 - 8 - 2 - 10 = 28$.
• При $x = -1$:
  $f(-1) = 3(-1)^4 - 2(-1)^2 + (-1) - 10 = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 - 1 - 10 = 3 - 2 - 1 - 10 = -10$.
• При $x = 0$:
  $f(0) = 3(0)^4 - 2(0)^2 + 0 - 10 = 0 - 0 + 0 - 10 = -10$.

Ответ: степень многочлена – 4; набор коэффициентов – $\{3, 0, -2, 1, -10\}$; значения в точках: $f(-2)=28$, $f(-1)=-10$, $f(0)=-10$.

б) Для многочлена $f(x) = -x^5 + 3x^4 - x^3 + x$ в точках -1; 1; 2.

1. Степень многочлена

В многочлене $f(x) = -x^5 + 3x^4 - x^3 + x$ наибольшая степень переменной равна 5.

Следовательно, степень многочлена равна 5.

2. Набор всех коэффициентов

Запишем многочлен в полном виде, добавив члены с нулевыми коэффициентами:

$f(x) = -1x^5 + 3x^4 - 1x^3 + 0x^2 + 1x^1 + 0x^0$

Коэффициенты при степенях от старшей к младшей:

• коэффициент при $x^5$ равен -1;
• коэффициент при $x^4$ равен 3;
• коэффициент при $x^3$ равен -1;
• коэффициент при $x^2$ равен 0;
• коэффициент при $x^1$ равен 1;
• свободный член (коэффициент при $x^0$) равен 0.

Набор всех коэффициентов: $\{-1, 3, -1, 0, 1, 0\}$.

3. Значение многочлена в данных точках

• При $x = -1$:
  $f(-1) = -(-1)^5 + 3(-1)^4 - (-1)^3 + (-1) = -(-1) + 3(1) - (-1) - 1 = 1 + 3 + 1 - 1 = 4$.
• При $x = 1$:
  $f(1) = -(1)^5 + 3(1)^4 - (1)^3 + 1 = -1 + 3 \cdot 1 - 1 + 1 = -1 + 3 - 1 + 1 = 2$.
• При $x = 2$:
  $f(2) = -(2)^5 + 3(2)^4 - (2)^3 + 2 = -32 + 3 \cdot 16 - 8 + 2 = -32 + 48 - 8 + 2 = 10$.

Ответ: степень многочлена – 5; набор коэффициентов – $\{-1, 3, -1, 0, 1, 0\}$; значения в точках: $f(-1)=4$, $f(1)=2$, $f(2)=10$.

1.2. Запишите в стандартном виде произвольный многочлен степени n, если:

а) $n = 0$;

б) $n = 3$;

в) $n = 1$;

г) $n = 4$.

а) Стандартный вид многочлена степени $n$ от одной переменной (например, $x$) — это выражение вида $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, в котором коэффициенты $a_i$ являются числами, а старший коэффициент $a_n$ не равен нулю. Для случая $n=0$ многочлен имеет вид $a_0 x^0$. Так как $x^0 = 1$, выражение упрощается до $a_0$. Условие $a_n \neq 0$ здесь означает $a_0 \neq 0$. Таким образом, произвольный многочлен нулевой степени — это любое число, не равное нулю.
Ответ: $a_0$, где $a_0$ — произвольное число и $a_0 \neq 0$.

б) Для $n=3$ произвольный многочлен третьей степени в стандартном виде записывается как сумма членов с убывающими степенями переменной от 3 до 0. Общий вид такого многочлена: $a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$. Чтобы степень многочлена была равна именно 3, необходимо, чтобы коэффициент при старшей степени ($x^3$) не был равен нулю, то есть $a_3 \neq 0$. Остальные коэффициенты ($a_2, a_1, a_0$) могут быть любыми числами.
Ответ: $a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, где $a_3 \neq 0$, а $a_2, a_1, a_0$ — произвольные числа.

в) Для $n=1$ произвольный многочлен первой степени (или линейный многочлен) в стандартном виде имеет вид $a_1 x^1 + a_0 x^0$, что записывается как $a_1 x + a_0$. Чтобы степень многочлена была равна 1, коэффициент при $x$ (старший коэффициент) должен быть отличен от нуля ($a_1 \neq 0$). Коэффициент $a_0$ (свободный член) может быть любым числом.
Ответ: $a_1 x + a_0$, где $a_1 \neq 0$, а $a_0$ — произвольное число.

г) Для $n=4$ произвольный многочлен четвертой степени в стандартном виде представляет собой сумму одночленов от четвертой степени до нулевой: $a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$. Условие того, что степень многочлена равна именно 4, заключается в том, что коэффициент при старшей степени $x^4$ не равен нулю ($a_4 \neq 0$). Остальные коэффициенты ($a_3, a_2, a_1, a_0$) могут быть любыми числами.
Ответ: $a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, где $a_4 \neq 0$, а $a_3, a_2, a_1, a_0$ — произвольные числа.

1.3. Запишите в стандартном виде произвольный приведённый многочлен степени $n$, если:

а) $n = 0$;

б) $n = 2$;

в) $n = 1$;

г) $n = 3$.

а) n = 0; Приведённый многочлен — это многочлен, у которого коэффициент при старшей степени равен 1. Общий вид многочлена степени $n=0$ — это ненулевая константа $P(x) = a_0$. Старшим членом здесь является $a_0x^0$, а его коэффициент — это $a_0$. По определению приведённого многочлена, $a_0$ должен быть равен 1. Таким образом, искомый многочлен — это 1. Ответ: $1$

б) n = 2; Общий вид многочлена второй степени в стандартной форме: $a_2x^2 + a_1x + a_0$. Для того чтобы многочлен был приведённым, коэффициент при старшей степени $x^2$ должен быть равен 1, то есть $a_2=1$. Коэффициенты $a_1$ и $a_0$ являются произвольными числами. Обозначим их как $p$ и $q$. Тогда произвольный приведённый многочлен второй степени имеет вид $x^2 + px + q$. Ответ: $x^2 + px + q$

в) n = 1; Общий вид многочлена первой степени в стандартной форме: $a_1x + a_0$. У приведённого многочлена коэффициент при старшей степени $x^1$ должен быть равен 1, то есть $a_1=1$. Коэффициент $a_0$ (свободный член) — произвольное число, обозначим его как $p$. Таким образом, произвольный приведённый многочлен первой степени имеет вид $x + p$. Ответ: $x + p$

г) n = 3; Общий вид многочлена третьей степени в стандартной форме: $a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$. У приведённого многочлена коэффициент при старшей степени $x^3$ равен 1, то есть $a_3=1$. Остальные коэффициенты $a_2, a_1, a_0$ — произвольные числа. Обозначим их как $p, q$ и $r$ соответственно. В результате получаем многочлен вида $x^3 + px^2 + qx + r$. Ответ: $x^3 + px^2 + qx + r$

Запишите многочлен в стандартном виде:

1.4. a) $(x + 1)(x - 1)(x - 2);$

б) $(x + 1)^2 (x - 2) - (x + 1)(x - 2)^2;$

в) $(2x + 1)(2x - 1)^2;$

г) $(2x + 1)(2x - 1)^2 + (1 - 2x)^3.$

а) $(x + 1)(x - 1)(x - 2)$

Для решения сначала перемножим первые две скобки, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

Теперь выражение принимает вид:

$(x^2 - 1)(x - 2)$

Далее раскроем скобки, умножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$x^2 \cdot x + x^2 \cdot (-2) - 1 \cdot x - 1 \cdot (-2) = x^3 - 2x^2 - x + 2$.

Многочлен записан в стандартном виде, так как все его члены являются одночленами стандартного вида и расположены в порядке убывания степеней переменной.

Ответ: $x^3 - 2x^2 - x + 2$.

б) $(x + 1)^2(x - 2) - (x + 1)(x - 2)^2$

Для упрощения вынесем за скобки общий множитель $(x+1)(x-2)$:

$(x + 1)(x - 2) \cdot [(x + 1) - (x - 2)]$

Упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние скобки:

$x + 1 - x + 2 = 3$.

Теперь исходное выражение равно:

$3(x + 1)(x - 2)$

Раскроем скобки $(x+1)(x-2)$:

$x^2 - 2x + x - 2 = x^2 - x - 2$.

Наконец, умножим полученный многочлен на 3:

$3(x^2 - x - 2) = 3x^2 - 3x - 6$.

Ответ: $3x^2 - 3x - 6$.

в) $(2x + 1)(2x - 1)^2$

Перепишем выражение, чтобы было удобнее применить формулы сокращенного умножения:

$(2x + 1)(2x - 1)(2x - 1)$

Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ к первым двум множителям:

$(2x + 1)(2x - 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$.

Теперь выражение имеет вид:

$(4x^2 - 1)(2x - 1)$

Раскроем скобки:

$4x^2(2x - 1) - 1(2x - 1) = 8x^3 - 4x^2 - 2x + 1$.

Ответ: $8x^3 - 4x^2 - 2x + 1$.

г) $(2x + 1)(2x - 1)^2 + (1 - 2x)^3$

Заметим, что $(1 - 2x) = -(2x - 1)$. Используем это свойство для второго слагаемого:

$(1 - 2x)^3 = (-(2x - 1))^3 = (-1)^3(2x - 1)^3 = -(2x - 1)^3$.

Подставим это в исходное выражение:

$(2x + 1)(2x - 1)^2 - (2x - 1)^3$

Вынесем за скобки общий множитель $(2x - 1)^2$:

$(2x - 1)^2 \cdot [(2x + 1) - (2x - 1)]$

Упростим выражение в квадратных скобках:

$2x + 1 - 2x + 1 = 2$.

В результате получаем:

$2(2x - 1)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$2((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2) = 2(4x^2 - 4x + 1)$.

Окончательно умножаем на 2:

$8x^2 - 8x + 2$.

Ответ: $8x^2 - 8x + 2$.

1.5. a) $(x^2 - 3x + 2)^2 - (x^2 - x)^2;$

б) $(x+1)(x^7 - x^6 + ... - x^2 + x - 1);$

в) $(2 - x)^3 + (x - 1)^3;$

г) $(x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1).$

а)

Данное выражение представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2$, которую можно разложить по формуле $(a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = x^2 - 3x + 2$ и $b = x^2 - x$.

Найдем разность $(a - b)$:

$(x^2 - 3x + 2) - (x^2 - x) = x^2 - 3x + 2 - x^2 + x = -2x + 2$.

Найдем сумму $(a + b)$:

$(x^2 - 3x + 2) + (x^2 - x) = x^2 - 3x + 2 + x^2 - x = 2x^2 - 4x + 2$.

Теперь перемножим полученные выражения:

$(-2x + 2)(2x^2 - 4x + 2)$

Вынесем общие множители из каждой скобки для упрощения:

$-2(x - 1) \cdot 2(x^2 - 2x + 1) = -4(x - 1)(x - 1)^2 = -4(x - 1)^3$.

Раскроем скобки, чтобы получить многочлен в стандартном виде:

$-4(x^3 - 3x^2 + 3x - 1) = -4x^3 + 12x^2 - 12x + 4$.

Ответ: $-4x^3 + 12x^2 - 12x + 4$.

б)

Воспользуемся формулой сокращённого умножения для разности степеней $a^n - b^n$ при четном $n$:

$a^n - b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots - b^{n-1})$

Рассмотрим случай, когда $a = x$, $b = 1$ и $n=8$. Правая часть формулы примет вид:

$(x+1)(x^{8-1} - x^{8-2}\cdot1 + x^{8-3}\cdot1^2 - \dots - 1^{8-1}) = (x+1)(x^7 - x^6 + x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x - 1)$.

Это выражение в точности совпадает с выражением из условия задачи.

Следовательно, исходное выражение равно левой части формулы, то есть $a^n - b^n$:

$x^8 - 1^8 = x^8 - 1$.

Ответ: $x^8 - 1$.

в)

Это выражение является суммой кубов вида $a^3 + b^3$, которая раскладывается по формуле $(a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Здесь $a = 2 - x$ и $b = x - 1$.

Найдем первый множитель $(a + b)$:

$(2 - x) + (x - 1) = 2 - x + x - 1 = 1$.

Теперь найдем второй множитель $(a^2 - ab + b^2)$:

$a^2 = (2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2$.

$b^2 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$.

$ab = (2 - x)(x - 1) = 2x - 2 - x^2 + x = -x^2 + 3x - 2$.

Подставим эти части в выражение $a^2 - ab + b^2$:

$(4 - 4x + x^2) - (-x^2 + 3x - 2) + (x^2 - 2x + 1) = 4 - 4x + x^2 + x^2 - 3x + 2 + x^2 - 2x + 1 = 3x^2 - 9x + 7$.

Результатом является произведение двух множителей:

$1 \cdot (3x^2 - 9x + 7) = 3x^2 - 9x + 7$.

Ответ: $3x^2 - 9x + 7$.

г)

Данное произведение можно упростить, используя формулу разности квадратов $(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

Сгруппируем слагаемые в каждом множителе. Пусть $A = x^5 + x^3 + x$ и $B = x^4 + x^2 + 1$.

Тогда первый множитель: $(x^5 + x^3 + x) - (x^4 + x^2 + 1) = A - B$.

Второй множитель: $(x^5 + x^3 + x) + (x^4 + x^2 + 1) = A + B$.

Таким образом, произведение равно $A^2 - B^2$.

Найдем $A^2$:

$A^2 = (x^5 + x^3 + x)^2 = (x^5)^2 + (x^3)^2 + x^2 + 2(x^5)(x^3) + 2(x^5)(x) + 2(x^3)(x) = x^{10} + x^6 + x^2 + 2x^8 + 2x^6 + 2x^4 = x^{10} + 2x^8 + 3x^6 + 2x^4 + x^2$.

Найдем $B^2$:

$B^2 = (x^4 + x^2 + 1)^2 = (x^4)^2 + (x^2)^2 + 1^2 + 2(x^4)(x^2) + 2(x^4)(1) + 2(x^2)(1) = x^8 + x^4 + 1 + 2x^6 + 2x^4 + 2x^2 = x^8 + 2x^6 + 3x^4 + 2x^2 + 1$.

Теперь вычтем $B^2$ из $A^2$:

$A^2 - B^2 = (x^{10} + 2x^8 + 3x^6 + 2x^4 + x^2) - (x^8 + 2x^6 + 3x^4 + 2x^2 + 1) = x^{10} + (2-1)x^8 + (3-2)x^6 + (2-3)x^4 + (1-2)x^2 - 1 = x^{10} + x^8 + x^6 - x^4 - x^2 - 1$.

Ответ: $x^{10} + x^8 + x^6 - x^4 - x^2 - 1$.