Страница 5, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

П.4. Найдите значения sin t, cos t, ctg t, если:

a) $ \text{tg } t = -\frac{5}{12}, t \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi\right) $

б) $ \text{tg } t = -\frac{12}{35}, t \in \left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right) $

в) $ \text{tg } t = \frac{9}{40}, t \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right) $

г) $ \text{tg } t = -\frac{24}{7}, t \in (0; \pi) $

а)

Дано: $tg \ t = -\frac{5}{12}$ и $t \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$.
Этот интервал соответствует IV координатной четверти. В этой четверти $sin \ t < 0$, а $cos \ t > 0$.

1. Найдём $ctg \ t$.
$ctg \ t = \frac{1}{tg \ t} = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5}$.

2. Найдём $cos \ t$, используя основное тригонометрическое тождество $1 + tg^2 t = \frac{1}{cos^2 t}$.
$\frac{1}{cos^2 t} = 1 + (-\frac{5}{12})^2 = 1 + \frac{25}{144} = \frac{144}{144} + \frac{25}{144} = \frac{169}{144}$.
$cos^2 t = \frac{144}{169}$.
$cos \ t = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.
Так как $t$ находится в IV четверти, $cos \ t > 0$, следовательно, $cos \ t = \frac{12}{13}$.

3. Найдём $sin \ t$, используя формулу $tg \ t = \frac{sin \ t}{cos \ t}$, откуда $sin \ t = tg \ t \cdot cos \ t$.
$sin \ t = (-\frac{5}{12}) \cdot \frac{12}{13} = -\frac{5}{13}$.
Знак синуса отрицательный, что соответствует IV четверти.

Ответ: $sin \ t = -\frac{5}{13}$, $cos \ t = \frac{12}{13}$, $ctg \ t = -\frac{12}{5}$.

б)

Дано: $tg \ t = -\frac{12}{35}$ и $t \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.
Этот интервал включает II и III координатные четверти. Так как $tg \ t$ отрицателен, угол $t$ находится во II четверти, то есть $t \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$. В этой четверти $sin \ t > 0$, а $cos \ t < 0$.

1. Найдём $ctg \ t$.
$ctg \ t = \frac{1}{tg \ t} = \frac{1}{-12/35} = -\frac{35}{12}$.

2. Найдём $cos \ t$ из тождества $1 + tg^2 t = \frac{1}{cos^2 t}$.
$\frac{1}{cos^2 t} = 1 + (-\frac{12}{35})^2 = 1 + \frac{144}{1225} = \frac{1225}{1225} + \frac{144}{1225} = \frac{1369}{1225}$.
$cos^2 t = \frac{1225}{1369}$.
$cos \ t = \pm\sqrt{\frac{1225}{1369}} = \pm\frac{35}{37}$.
Так как $t$ находится во II четверти, $cos \ t < 0$, следовательно, $cos \ t = -\frac{35}{37}$.

3. Найдём $sin \ t$ по формуле $sin \ t = tg \ t \cdot cos \ t$.
$sin \ t = (-\frac{12}{35}) \cdot (-\frac{35}{37}) = \frac{12}{37}$.
Знак синуса положительный, что соответствует II четверти.

Ответ: $sin \ t = \frac{12}{37}$, $cos \ t = -\frac{35}{37}$, $ctg \ t = -\frac{35}{12}$.

в)

Дано: $tg \ t = \frac{9}{40}$ и $t \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$.
Этот интервал соответствует III координатной четверти. В этой четверти $sin \ t < 0$ и $cos \ t < 0$.

1. Найдём $ctg \ t$.
$ctg \ t = \frac{1}{tg \ t} = \frac{1}{9/40} = \frac{40}{9}$.

2. Найдём $cos \ t$ из тождества $1 + tg^2 t = \frac{1}{cos^2 t}$.
$\frac{1}{cos^2 t} = 1 + (\frac{9}{40})^2 = 1 + \frac{81}{1600} = \frac{1600}{1600} + \frac{81}{1600} = \frac{1681}{1600}$.
$cos^2 t = \frac{1600}{1681}$.
$cos \ t = \pm\sqrt{\frac{1600}{1681}} = \pm\frac{40}{41}$.
Так как $t$ находится в III четверти, $cos \ t < 0$, следовательно, $cos \ t = -\frac{40}{41}$.

3. Найдём $sin \ t$ по формуле $sin \ t = tg \ t \cdot cos \ t$.
$sin \ t = (\frac{9}{40}) \cdot (-\frac{40}{41}) = -\frac{9}{41}$.
Знак синуса отрицательный, что соответствует III четверти.

Ответ: $sin \ t = -\frac{9}{41}$, $cos \ t = -\frac{40}{41}$, $ctg \ t = \frac{40}{9}$.

г)

Дано: $tg \ t = -\frac{24}{7}$ и $t \in (0; \pi)$.
Этот интервал включает I и II координатные четверти. Так как $tg \ t$ отрицателен, угол $t$ находится во II четверти, то есть $t \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$. В этой четверти $sin \ t > 0$, а $cos \ t < 0$.

1. Найдём $ctg \ t$.
$ctg \ t = \frac{1}{tg \ t} = \frac{1}{-24/7} = -\frac{7}{24}$.

2. Найдём $cos \ t$ из тождества $1 + tg^2 t = \frac{1}{cos^2 t}$.
$\frac{1}{cos^2 t} = 1 + (-\frac{24}{7})^2 = 1 + \frac{576}{49} = \frac{49}{49} + \frac{576}{49} = \frac{625}{49}$.
$cos^2 t = \frac{49}{625}$.
$cos \ t = \pm\sqrt{\frac{49}{625}} = \pm\frac{7}{25}$.
Так как $t$ находится во II четверти, $cos \ t < 0$, следовательно, $cos \ t = -\frac{7}{25}$.

3. Найдём $sin \ t$ по формуле $sin \ t = tg \ t \cdot cos \ t$.
$sin \ t = (-\frac{24}{7}) \cdot (-\frac{7}{25}) = \frac{24}{25}$.
Знак синуса положительный, что соответствует II четверти.

Ответ: $sin \ t = \frac{24}{25}$, $cos \ t = -\frac{7}{25}$, $ctg \ t = -\frac{7}{24}$.

П.5. Вычислите:

a) $ \sin t + \cos t $, если $ \sin t \cdot \cos t = 0,22 $;

б) $ \sin t \cdot \cos t $, если $ \sin t + \cos t = 0,4 $.

а) Для нахождения значения выражения $ \sin t + \cos t $ воспользуемся формулой квадрата суммы и основным тригонометрическим тождеством.

Возведем искомое выражение в квадрат:

$ (\sin t + \cos t)^2 = \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t $

Сгруппируем слагаемые и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $:

$ (\sin t + \cos t)^2 = (\sin^2 t + \cos^2 t) + 2\sin t \cos t = 1 + 2\sin t \cos t $

По условию задачи известно, что $ \sin t \cdot \cos t = 0,22 $. Подставим это значение в полученное уравнение:

$ (\sin t + \cos t)^2 = 1 + 2 \cdot 0,22 = 1 + 0,44 = 1,44 $

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $ \sin t + \cos t $:

$ \sin t + \cos t = \pm\sqrt{1,44} = \pm1,2 $

Ответ: $ \pm1,2 $.

б) Для нахождения значения выражения $ \sin t \cdot \cos t $ также воспользуемся формулой квадрата суммы и основным тригонометрическим тождеством.

Возьмем известное из условия равенство $ \sin t + \cos t = 0,4 $ и возведем обе его части в квадрат:

$ (\sin t + \cos t)^2 = (0,4)^2 $

Раскроем скобки в левой части:

$ \sin^2 t + 2\sin t \cos t + \cos^2 t = 0,16 $

Сгруппируем слагаемые и применим тождество $ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 $:

$ (\sin^2 t + \cos^2 t) + 2\sin t \cos t = 0,16 $

$ 1 + 2\sin t \cos t = 0,16 $

Теперь выразим искомое произведение $ \sin t \cos t $:

$ 2\sin t \cos t = 0,16 - 1 $

$ 2\sin t \cos t = -0,84 $

$ \sin t \cos t = \frac{-0,84}{2} = -0,42 $

Ответ: $ -0,42 $.

П.6. Упростите выражение:

а) $ \frac{\cos\left(\frac{3\pi}{2} - t\right)}{\cos(\pi + t)} \cdot \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2} - t\right); $

б) $ \frac{\cos(90^\circ + \alpha) \operatorname{tg}(270^\circ + \alpha)}{\cos(180^\circ - \alpha) \sin(90^\circ - \alpha)}; $

в) $ \frac{\sin(180^\circ + \alpha) \sin(270^\circ - \alpha)}{\cos(90^\circ + \alpha)} \cdot \operatorname{ctg}(270^\circ + \alpha); $

г) $ \frac{\sin(\pi + t) \cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) \operatorname{tg}(\pi - t)}. $

а) Упростим выражение $\frac{\cos(\frac{3\pi}{2} - t)}{\cos(\pi + t)} \cdot \text{tg}(\frac{\pi}{2} - t)$, используя формулы приведения. Последовательно преобразуем каждый множитель:

• $\cos(\frac{3\pi}{2} - t) = -\sin(t)$ (угол в III четверти, косинус отрицательный, функция меняется на синус).
• $\cos(\pi + t) = -\cos(t)$ (угол в III четверти, косинус отрицательный, функция не меняется).
• $\text{tg}(\frac{\pi}{2} - t) = \text{ctg}(t)$ (угол в I четверти, тангенс положительный, функция меняется на котангенс).

Подставим полученные значения в исходное выражение: $\frac{-\sin(t)}{-\cos(t)} \cdot \text{ctg}(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \cdot \text{ctg}(t) = \text{tg}(t) \cdot \text{ctg}(t) = 1$. Ответ: $1$.

б) Упростим выражение $\frac{\cos(90^\circ + \alpha) \text{tg}(270^\circ + \alpha)}{\cos(180^\circ - \alpha) \sin(90^\circ - \alpha)}$, используя формулы приведения. Преобразуем тригонометрические функции:

• $\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$ (II четверть, cos < 0, функция меняется).
• $\text{tg}(270^\circ + \alpha) = -\text{ctg}(\alpha)$ (IV четверть, tg < 0, функция меняется).
• $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$ (II четверть, cos < 0, функция не меняется).
• $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos(\alpha)$ (I четверть, sin > 0, функция меняется).

Подставим в исходное выражение: $\frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\text{ctg}(\alpha))}{(-\cos(\alpha)) \cdot \cos(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha)}{-\cos^2(\alpha)}$. Так как $\text{ctg}(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$, получаем: $\frac{\sin(\alpha) \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}}{-\cos^2(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{-\cos^2(\alpha)} = -\frac{1}{\cos(\alpha)}$. Ответ: $-\frac{1}{\cos(\alpha)}$.

в) Упростим выражение $\frac{\sin(180^\circ + \alpha) \sin(270^\circ - \alpha)}{\cos(90^\circ + \alpha)} \cdot \text{ctg}(270^\circ + \alpha)$, используя формулы приведения. Преобразуем функции:

• $\sin(180^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$ (III четверть, sin < 0, функция не меняется).
• $\sin(270^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$ (III четверть, sin < 0, функция меняется).
• $\cos(90^\circ + \alpha) = -\sin(\alpha)$ (II четверть, cos < 0, функция меняется).
• $\text{ctg}(270^\circ + \alpha) = -\text{tg}(\alpha)$ (IV четверть, ctg < 0, функция меняется).

Подставим в исходное выражение: $\frac{(-\sin(\alpha)) \cdot (-\cos(\alpha))}{-\sin(\alpha)} \cdot (-\text{tg}(\alpha)) = \frac{\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{-\sin(\alpha)} \cdot (-\text{tg}(\alpha))$. После сокращения дроби имеем: $(-\cos(\alpha)) \cdot (-\text{tg}(\alpha)) = \cos(\alpha) \cdot \text{tg}(\alpha)$. Так как $\text{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, получаем: $\cos(\alpha) \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \sin(\alpha)$. Ответ: $\sin(\alpha)$.

г) Упростим выражение $\frac{\sin(\pi + t) \cos(\frac{\pi}{2} - t)}{\cos(\frac{3\pi}{2} + t) \text{tg}(\pi - t)}$, используя формулы приведения. Преобразуем функции:

• $\sin(\pi + t) = -\sin(t)$ (III четверть, sin < 0, функция не меняется).
• $\cos(\frac{\pi}{2} - t) = \sin(t)$ (I четверть, cos > 0, функция меняется).
• $\cos(\frac{3\pi}{2} + t) = \sin(t)$ (IV четверть, cos > 0, функция меняется).
• $\text{tg}(\pi - t) = -\text{tg}(t)$ (II четверть, tg < 0, функция не меняется).

Подставим в исходное выражение: $\frac{(-\sin(t)) \cdot \sin(t)}{\sin(t) \cdot (-\text{tg}(t))} = \frac{-\sin^2(t)}{-\sin(t)\text{tg}(t)}$. После сокращения дроби имеем: $\frac{\sin(t)}{\text{tg}(t)}$. Так как $\text{tg}(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}$, получаем: $\frac{\sin(t)}{\frac{\sin(t)}{\cos(t)}} = \sin(t) \cdot \frac{\cos(t)}{\sin(t)} = \cos(t)$. Ответ: $\cos(t)$.

П.7. Найдите значение выражения:

a) $(\cos 35^\circ + \cos 85^\circ)(\cos 275^\circ + \cos 325^\circ) + (\cos 5^\circ + \cos 125^\circ)(\cos 355^\circ - \cos 415^\circ);$

б) $\sin 6^\circ + \cos 6^\circ \cdot \mathrm{tg} 42^\circ;$

в) $\mathrm{tg} 23^\circ \cdot \mathrm{tg} 293^\circ + \sin 52^\circ \cdot \sin 128^\circ - \sin 322^\circ \cdot \sin 142^\circ;$

г) $\frac{(1 - 2 \sin^2 13^\circ) \cdot \cos 64^\circ}{2 \cos^2 19^\circ - 1}.$

а) Для решения этого выражения используем формулы преобразования суммы косинусов в произведение и формулы приведения.
Выражение: $(\cos35° + \cos85°)(\cos275° + \cos325°) + (\cos5° + \cos125°)(\cos355° - \cos415°)$.
1. Преобразуем первую скобку, используя формулу суммы косинусов $\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\cos35° + \cos85° = 2\cos\frac{35°+85°}{2}\cos\frac{85°-35°}{2} = 2\cos60°\cos25° = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos25° = \cos25°$.
2. Преобразуем вторую скобку:
$\cos275° + \cos325° = 2\cos\frac{275°+325°}{2}\cos\frac{325°-275°}{2} = 2\cos300°\cos25°$.
Используя формулу приведения, $\cos300° = \cos(360°-60°) = \cos60° = \frac{1}{2}$.
Тогда $2\cos300°\cos25° = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos25° = \cos25°$.
Произведение первых двух скобок: $\cos25° \cdot \cos25° = \cos^225°$.
3. Преобразуем третью скобку:
$\cos5° + \cos125° = 2\cos\frac{5°+125°}{2}\cos\frac{125°-5°}{2} = 2\cos65°\cos60° = 2 \cdot \cos65° \cdot \frac{1}{2} = \cos65°$.
По формуле приведения, $\cos65° = \cos(90°-25°) = \sin25°$.
4. Преобразуем четвертую скобку, используя формулу разности косинусов $\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$:
$\cos355° = \cos(360°-5°) = \cos5°$.
$\cos415° = \cos(360°+55°) = \cos55°$.
$\cos355° - \cos415° = \cos5° - \cos55° = -2\sin\frac{5°+55°}{2}\sin\frac{5°-55°}{2} = -2\sin30°\sin(-25°) = -2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\sin25°) = \sin25°$.
Произведение третьей и четвертой скобок: $\sin25° \cdot \sin25° = \sin^225°$.
5. Сложим полученные результаты:
$\cos^225° + \sin^225° = 1$ (основное тригонометрическое тождество).
Ответ: 1.

б) Преобразуем выражение $\sin6° + \cos6° \cdot \tg42°$.
1. Заменим тангенс отношением синуса к косинусу: $\tg42° = \frac{\sin42°}{\cos42°}$.
Выражение принимает вид: $\sin6° + \cos6° \cdot \frac{\sin42°}{\cos42°}$.
2. Приведем к общему знаменателю:
$\frac{\sin6°\cos42° + \cos6°\sin42°}{\cos42°}$.
3. В числителе узнаем формулу синуса суммы: $\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta = \sin(\alpha+\beta)$.
$\frac{\sin(6°+42°)}{\cos42°} = \frac{\sin48°}{\cos42°}$.
4. Используем формулу приведения $\sin\alpha = \cos(90°-\alpha)$:
$\sin48° = \cos(90°-48°) = \cos42°$.
5. Подставим в выражение:
$\frac{\cos42°}{\cos42°} = 1$.
Ответ: 1.

в) Найдем значение выражения $\tg23° \cdot \tg293° + \sin52° \cdot \sin128° - \sin322° \cdot \sin142°$.
1. Рассмотрим первое слагаемое: $\tg23° \cdot \tg293°$.
Используем формулу приведения $\tg(270°+\alpha) = -\cot\alpha$.
$\tg293° = \tg(270°+23°) = -\cot23°$.
Тогда $\tg23° \cdot \tg293° = \tg23° \cdot (-\cot23°) = -\tg23° \cdot \frac{1}{\tg23°} = -1$.
2. Рассмотрим оставшуюся часть выражения: $\sin52° \cdot \sin128° - \sin322° \cdot \sin142°$.
Упростим каждый синус с помощью формул приведения:
$\sin128° = \sin(180°-52°) = \sin52°$.
$\sin322° = \sin(360°-38°) = -\sin38°$.
$\sin142° = \sin(180°-38°) = \sin38°$.
Подставим упрощенные значения в выражение:
$\sin52° \cdot \sin52° - (-\sin38°) \cdot \sin38° = \sin^252° + \sin^238°$.
Используем формулу приведения $\sin\alpha = \cos(90°-\alpha)$:
$\sin52° = \cos(90°-52°) = \cos38°$.
Выражение принимает вид: $\cos^238° + \sin^238° = 1$ (основное тригонометрическое тождество).
3. Сложим результаты из пунктов 1 и 2:
$-1 + 1 = 0$.
Ответ: 0.

г) Упростим выражение $\frac{(1 - 2\sin^2{13°}) \cdot \cos64°}{2\cos^2{19°} - 1}$.
1. Применим формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$.
2. Преобразуем числитель:
$1 - 2\sin^2{13°} = \cos(2 \cdot 13°) = \cos26°$.
Весь числитель: $\cos26° \cdot \cos64°$.
3. Преобразуем знаменатель:
$2\cos^2{19°} - 1 = \cos(2 \cdot 19°) = \cos38°$.
4. Выражение принимает вид: $\frac{\cos26° \cdot \cos64°}{\cos38°}$.
5. Используем формулу приведения $\cos\alpha = \sin(90°-\alpha)$:
$\cos64° = \sin(90°-64°) = \sin26°$.
Подставим в числитель: $\frac{\cos26° \cdot \sin26°}{\cos38°}$.
6. Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, из которой следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.
$\cos26° \cdot \sin26° = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 26°) = \frac{1}{2}\sin52°$.
7. Выражение принимает вид: $\frac{\frac{1}{2}\sin52°}{\cos38°}$.
8. Снова используем формулу приведения $\sin\alpha = \cos(90°-\alpha)$:
$\sin52° = \cos(90°-52°) = \cos38°$.
9. Подставим и получим окончательный результат:
$\frac{\frac{1}{2}\cos38°}{\cos38°} = \frac{1}{2}$.
Ответ: 0,5.