Страница 8, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

П.21. Известно, что значение производной функции $y = f^3(x)$ в точке $x = 2$ равно 27, а значение производной функции $y = \frac{1}{f(x)}$ в точке $x = 2$ равно -1. Найдите $f'(2)$.

Для решения задачи запишем предоставленные условия в виде математических уравнений, используя правила дифференцирования.

1. Дано, что производная функции $y = f^3(x)$ в точке $x = 2$ равна 27.
Найдем производную этой функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$y' = (f^3(x))' = 3 \cdot f^2(x) \cdot f'(x)$.
Подставив $x = 2$, получаем:
$y'(2) = 3 \cdot f^2(2) \cdot f'(2)$.
Поскольку по условию $y'(2) = 27$, мы можем составить первое уравнение:
$3 \cdot f^2(2) \cdot f'(2) = 27$.
Разделив обе части на 3, получим:
$f^2(2) \cdot f'(2) = 9$.

2. Дано, что производная функции $y = \frac{1}{f(x)}$ в точке $x = 2$ равна -1.
Найдем производную этой функции. Ее можно рассматривать как $y = (f(x))^{-1}$ или использовать правило дифференцирования частного:
$y' = \left(\frac{1}{f(x)}\right)' = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}$.
Подставив $x = 2$, получаем:
$y'(2) = -\frac{f'(2)}{f^2(2)}$.
Поскольку по условию $y'(2) = -1$, мы можем составить второе уравнение:
$-\frac{f'(2)}{f^2(2)} = -1$.
Умножив обе части на -1, получим:
$\frac{f'(2)}{f^2(2)} = 1$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, $f'(2)$ и $f^2(2)$:
$\begin{cases} f^2(2) \cdot f'(2) = 9 \\ \frac{f'(2)}{f^2(2)} = 1 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим $f'(2)$:
$f'(2) = f^2(2)$.
Теперь подставим это выражение в первое уравнение:
$f^2(2) \cdot (f^2(2)) = 9$.
$(f^2(2))^2 = 9$.
$f^4(2) = 9$.
Отсюда находим $f^2(2)$. Так как квадрат величины $f(2)$ не может быть отрицательным, то $f^2(2) = \sqrt{9} = 3$.

Зная, что $f^2(2) = 3$, мы можем найти искомое значение $f'(2)$ из соотношения $f'(2) = f^2(2)$.
$f'(2) = 3$.

Ответ: 3.

П.22. Решите уравнение $f'(x) + f(x) = 0$, если $f(x) = 2x^2 + 3x + 2$.

Для решения уравнения $f'(x) + f(x) = 0$ с заданной функцией $f(x) = 2x^2 + 3x + 2$, первым шагом найдем производную функции $f(x)$.

Используя правила дифференцирования, находим $f'(x)$:

$f'(x) = (2x^2 + 3x + 2)' = (2x^2)' + (3x)' + (2)' = 2 \cdot 2x + 3 + 0 = 4x + 3$.

Теперь подставим выражения для $f(x)$ и $f'(x)$ в исходное уравнение:

$(4x + 3) + (2x^2 + 3x + 2) = 0$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 + (4x + 3x) + (3 + 2) = 0$

$2x^2 + 7x + 5 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=2$, $b=7$, $c=5$. Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$.

Поскольку дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 3}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$.

$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

Ответ: $-2.5; -1$.

Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства $f(x) - f'(x) < 0$, если $f(x) = 3x^2 + 18x + 8$.

Для решения задачи требуется найти наибольшее целое число $x$, удовлетворяющее неравенству $f(x) - f'(x) < 0$.

1. Найдём производную функции $f(x)$.

Дана функция $f(x) = 3x^2 + 18x + 8$.

Ее производная $f'(x)$ находится по правилам дифференцирования степенной функции и суммы функций:

$f'(x) = (3x^2 + 18x + 8)' = (3x^2)' + (18x)' + (8)' = 3 \cdot 2x + 18 \cdot 1 + 0 = 6x + 18$.

2. Составим и решим неравенство.

Подставим выражения для $f(x)$ и $f'(x)$ в исходное неравенство $f(x) - f'(x) < 0$:

$(3x^2 + 18x + 8) - (6x + 18) < 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3x^2 + 18x + 8 - 6x - 18 < 0$

$3x^2 + 12x - 10 < 0$

3. Найдем корни квадратного трехчлена.

Чтобы решить квадратичное неравенство, найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 + 12x - 10 = 0$ с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a = 3$, $b = 12$, $c = -10$.

$D = 12^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 144 + 120 = 264$.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{264}}{2 \cdot 3} = \frac{-12 \pm \sqrt{4 \cdot 66}}{6} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{66}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{66}}{3}$.

Таким образом, корни уравнения: $x_1 = \frac{-6 - \sqrt{66}}{3}$ и $x_2 = \frac{-6 + \sqrt{66}}{3}$.

4. Определим интервал, удовлетворяющий неравенству.

Графиком функции $y = 3x^2 + 12x - 10$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=3 > 0$). Следовательно, значения функции отрицательны между ее корнями.

Решением неравенства $3x^2 + 12x - 10 < 0$ является интервал $(x_1, x_2)$, то есть $x \in (\frac{-6 - \sqrt{66}}{3}, \frac{-6 + \sqrt{66}}{3})$.

5. Найдем наибольшее целое решение.

Оценим значения корней, чтобы определить, какие целые числа попадают в интервал. Мы знаем, что $8^2=64$ и $9^2=81$, следовательно, $8 < \sqrt{66} < 9$.

Оценим $x_1 = \frac{-6 - \sqrt{66}}{3}$:

$-6 - 9 < -6 - \sqrt{66} < -6 - 8 \implies -15 < -6 - \sqrt{66} < -14$

$\frac{-15}{3} < \frac{-6 - \sqrt{66}}{3} < \frac{-14}{3} \implies -5 < x_1 < -4.66...$

Оценим $x_2 = \frac{-6 + \sqrt{66}}{3}$:

$-6 + 8 < -6 + \sqrt{66} < -6 + 9 \implies 2 < -6 + \sqrt{66} < 3$

$\frac{2}{3} < \frac{-6 + \sqrt{66}}{3} < \frac{3}{3} \implies 0.66... < x_2 < 1$

Итак, решение неравенства — это интервал, приблизительно равный $(-4.67, 0.67)$.

Целые числа, входящие в этот интервал: -4, -3, -2, -1, 0.

Наибольшее целое число из этого множества равно 0.

Ответ: 0.

П.24. Докажите, что любая касательная к графику функции $y = \frac{3x + 2}{3x - 2} - 12$ образует тупой угол с осью абсцисс.

Угол, который образует касательная к графику функции с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox), определяется тангенсом этого угла. Тангенс угла наклона касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = \tan(\alpha) = y'(x_0)$.

Угол $\alpha$ является тупым, если он находится в пределах $90^\circ < \alpha < 180^\circ$ (или $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$). Для таких углов их тангенс отрицателен: $\tan(\alpha) < 0$.

Следовательно, для доказательства утверждения задачи необходимо показать, что производная данной функции отрицательна для любого значения $x$ из ее области определения.

Рассмотрим функцию: $y = \frac{3x + 2}{3x - 2} - 12$

Найдем ее производную $y'$. Для нахождения производной дроби $\frac{3x + 2}{3x - 2}$ применим правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Производная от константы -12 равна нулю.

Обозначим $u(x) = 3x + 2$ и $v(x) = 3x - 2$. Тогда их производные равны $u'(x) = 3$ и $v'(x) = 3$.

Теперь вычислим производную функции $y$: $y' = \left(\frac{3x + 2}{3x - 2}\right)' - (12)' = \frac{(3x+2)'(3x-2) - (3x+2)(3x-2)'}{(3x-2)^2} - 0$

Подставим найденные производные $u'$ и $v'$: $y' = \frac{3(3x-2) - (3x+2) \cdot 3}{(3x-2)^2} = \frac{9x - 6 - (9x + 6)}{(3x-2)^2} = \frac{9x - 6 - 9x - 6}{(3x-2)^2} = \frac{-12}{(3x-2)^2}$

Проанализируем знак полученного выражения для производной $y' = \frac{-12}{(3x-2)^2}$.

1. Числитель дроби равен -12, что является отрицательным числом.

2. Знаменатель дроби, $(3x-2)^2$, представляет собой квадрат действительного числа. Он равен нулю при $x = \frac{2}{3}$, но эта точка не входит в область определения исходной функции. Для всех остальных значений $x$ (то есть для всех $x$ из области определения) знаменатель $(3x-2)^2$ строго положителен.

Таким образом, производная $y'$ является результатом деления отрицательного числа на положительное, а значит, она всегда отрицательна для любого $x$ из области определения функции. $y' = \frac{-12}{(3x-2)^2} < 0$

Поскольку производная $y' = \tan(\alpha)$ всегда отрицательна, тангенс угла наклона любой касательной к графику данной функции также всегда отрицателен. Это означает, что угол наклона $\alpha$ является тупым. Утверждение доказано.

Ответ: Производная функции $y' = \frac{-12}{(3x-2)^2}$ отрицательна для всех $x$ из области определения. Так как тангенс угла наклона касательной равен производной, он всегда отрицателен, что соответствует тупому углу наклона касательной к оси абсцисс.

П.25. Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции $y = x^3 + 4x^2 - 3x - 1$ образует тупой угол с положительным направлением оси x.

Условие, что касательная к графику функции образует тупой угол с положительным направлением оси $x$, означает, что угловой коэффициент $k$ этой касательной отрицателен. Тупой угол $\alpha$ находится в диапазоне $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, а тангенс такого угла всегда отрицателен.

Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x$ равен значению производной функции в этой точке: $k = y'(x)$. Таким образом, задача сводится к нахождению всех значений $x$, для которых выполняется неравенство $y'(x) < 0$.

Сначала найдем производную данной функции $y = x^3 + 4x^2 - 3x - 1$.
$y' = (x^3 + 4x^2 - 3x - 1)' = 3x^2 + 8x - 3$.

Теперь необходимо решить неравенство $y'(x) < 0$:
$3x^2 + 8x - 3 < 0$.

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $3x^2 + 8x - 3 = 0$.
Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.
Корни уравнения:$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3$.$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Графиком квадратичной функции $f(x) = 3x^2 + 8x - 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$). Следовательно, эта функция принимает отрицательные значения на интервале между ее корнями.

Таким образом, решением неравенства $3x^2 + 8x - 3 < 0$ является интервал $x \in (-3; \frac{1}{3})$. Это и есть искомые абсциссы точек.

Ответ: $x \in (-3; \frac{1}{3})$.

П.26. В какой точке графика функции $y = x^3 + 5x^2 + 6x + 8$ касательная образует с осью $x$ угол, равный $135^\circ$?

Геометрический смысл производной функции в точке $x_0$ заключается в том, что ее значение равно угловому коэффициенту $k$ касательной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент касательной, в свою очередь, равен тангенсу угла $\alpha$, который касательная образует с положительным направлением оси Ox.

Таким образом, мы можем записать соотношение: $k = y'(x_0) = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, угол наклона касательной $\alpha = 135^\circ$. Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.

Теперь найдем производную данной функции $y = x^3 + 5x^2 + 6x + 8$:

$y' = (x^3 + 5x^2 + 6x + 8)' = 3x^2 + 10x + 6$.

Чтобы найти абсциссы $x$ искомых точек, приравняем производную к найденному значению углового коэффициента $k = -1$:

$y'(x) = k$

$3x^2 + 10x + 6 = -1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 + 10x + 7 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 100 - 84 = 16$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm 4}{6}$.

$x_1 = \frac{-10 + 4}{6} = \frac{-6}{6} = -1$.

$x_2 = \frac{-10 - 4}{6} = \frac{-14}{6} = -\frac{7}{3}$.

Мы нашли абсциссы двух точек, в которых касательная к графику функции имеет требуемый наклон. Теперь найдем соответствующие ординаты (значения $y$), подставив эти значения $x$ в исходное уравнение функции $y = x^3 + 5x^2 + 6x + 8$.

Для $x_1 = -1$:

$y_1 = (-1)^3 + 5(-1)^2 + 6(-1) + 8 = -1 + 5(1) - 6 + 8 = -1 + 5 - 6 + 8 = 6$.

Первая точка имеет координаты $(-1, 6)$.

Для $x_2 = -\frac{7}{3}$:

$y_2 = (-\frac{7}{3})^3 + 5(-\frac{7}{3})^2 + 6(-\frac{7}{3}) + 8 = -\frac{343}{27} + 5 \cdot \frac{49}{9} - \frac{42}{3} + 8 = -\frac{343}{27} + \frac{245}{9} - 14 + 8$.

$y_2 = -\frac{343}{27} + \frac{245}{9} - 6$.

Приведем дроби к общему знаменателю 27:

$y_2 = -\frac{343}{27} + \frac{245 \cdot 3}{27} - \frac{6 \cdot 27}{27} = \frac{-343 + 735 - 162}{27} = \frac{392 - 162}{27} = \frac{230}{27}$.

Вторая точка имеет координаты $(-\frac{7}{3}, \frac{230}{27})$.

Ответ: Касательная образует угол $135^\circ$ с осью x в точках с координатами $(-1, 6)$ и $(-\frac{7}{3}, \frac{230}{27})$.

сательная образует с осью x угол, равный 135°.

П.27. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x_0$, если:

a) $f(x) = 3x^2 - 5x + 12$, $x_0 = 1$;

б) $f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 - 1}$, $x_0 = 2$;

в) $f(x) = \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{x^3}$, $x_0 = -2$;

г) $f(x) = 3 - \frac{2}{\pi}\sin \pi x - \sqrt{x}$, $x_0 = 1.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ находится по формуле: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

а) Дано: $f(x) = 3x^2 - 5x + 12$, $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0$:
$f(1) = 3 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 12 = 3 - 5 + 12 = 10$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (3x^2 - 5x + 12)' = 6x - 5$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$, которое равно угловому коэффициенту касательной:
$f'(1) = 6 \cdot 1 - 5 = 1$.

4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=10$ и $f'(x_0)=1$ в уравнение касательной:
$y = 10 + 1 \cdot (x - 1)$
$y = 10 + x - 1$
$y = x + 9$.

Ответ: $y = x + 9$.

б) Дано: $f(x) = \frac{x^3 + x}{x^2 - 1}$, $x_0 = 2$.

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0$:
$f(2) = \frac{2^3 + 2}{2^2 - 1} = \frac{8 + 2}{4 - 1} = \frac{10}{3}$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(x^3 + x)'(x^2 - 1) - (x^3 + x)(x^2 - 1)'}{(x^2 - 1)^2} = \frac{(3x^2 + 1)(x^2 - 1) - (x^3 + x)(2x)}{(x^2 - 1)^2}$
$f'(x) = \frac{3x^4 - 3x^2 + x^2 - 1 - 2x^4 - 2x^2}{(x^2 - 1)^2} = \frac{x^4 - 4x^2 - 1}{(x^2 - 1)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(2) = \frac{2^4 - 4 \cdot 2^2 - 1}{(2^2 - 1)^2} = \frac{16 - 16 - 1}{(4 - 1)^2} = -\frac{1}{9}$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = \frac{10}{3} + (-\frac{1}{9})(x - 2)$
$y = \frac{10}{3} - \frac{1}{9}x + \frac{2}{9}$
$y = \frac{30}{9} + \frac{2}{9} - \frac{1}{9}x$
$y = -\frac{1}{9}x + \frac{32}{9}$.

Ответ: $y = -\frac{1}{9}x + \frac{32}{9}$.

в) Дано: $f(x) = \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{x^3}$, $x_0 = -2$.

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0$:
$f(-2) = \frac{\sqrt{2(-2)^2 + 1}}{(-2)^3} = \frac{\sqrt{8 + 1}}{-8} = \frac{3}{-8} = -\frac{3}{8}$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = \frac{(\sqrt{2x^2 + 1})' \cdot x^3 - \sqrt{2x^2 + 1} \cdot (x^3)'}{(x^3)^2} = \frac{\frac{4x}{2\sqrt{2x^2 + 1}} \cdot x^3 - \sqrt{2x^2 + 1} \cdot 3x^2}{x^6}$
$f'(x) = \frac{\frac{2x^4}{\sqrt{2x^2 + 1}} - 3x^2\sqrt{2x^2 + 1}}{x^6} = \frac{2x^4 - 3x^2(2x^2 + 1)}{x^6\sqrt{2x^2 + 1}} = \frac{2x^4 - 6x^4 - 3x^2}{x^6\sqrt{2x^2 + 1}}$
$f'(x) = \frac{-4x^4 - 3x^2}{x^6\sqrt{2x^2 + 1}} = \frac{x^2(-4x^2 - 3)}{x^6\sqrt{2x^2 + 1}} = \frac{-4x^2 - 3}{x^4\sqrt{2x^2 + 1}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(-2) = \frac{-4(-2)^2 - 3}{(-2)^4\sqrt{2(-2)^2 + 1}} = \frac{-4(4) - 3}{16\sqrt{9}} = \frac{-16 - 3}{16 \cdot 3} = -\frac{19}{48}$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = -\frac{3}{8} - \frac{19}{48}(x - (-2))$
$y = -\frac{3}{8} - \frac{19}{48}(x + 2)$
$y = -\frac{3}{8} - \frac{19}{48}x - \frac{38}{48}$
$y = -\frac{19}{48}x - \frac{18}{48} - \frac{38}{48}$
$y = -\frac{19}{48}x - \frac{56}{48}$
$y = -\frac{19}{48}x - \frac{7}{6}$.

Ответ: $y = -\frac{19}{48}x - \frac{7}{6}$.

г) Дано: $f(x) = 3 - \frac{2}{\pi}\sin(\pi x) - \sqrt{x}$, $x_0 = 1$.

1. Найдем значение функции в точке касания $x_0$:
$f(1) = 3 - \frac{2}{\pi}\sin(\pi \cdot 1) - \sqrt{1} = 3 - \frac{2}{\pi} \cdot 0 - 1 = 2$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (3 - \frac{2}{\pi}\sin(\pi x) - \sqrt{x})' = 0 - \frac{2}{\pi}\cos(\pi x) \cdot \pi - \frac{1}{2\sqrt{x}} = -2\cos(\pi x) - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0$:
$f'(1) = -2\cos(\pi) - \frac{1}{2\sqrt{1}} = -2(-1) - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 2 + \frac{3}{2}(x - 1)$
$y = 2 + \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}$
$y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$.

Ответ: $y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}$.

П.28. На графике функции $y = \frac{2x - 1}{2x + 1}$ найдите точки, касательные в которых параллельны прямой $y = 4x + 5$.

Для того чтобы найти на графике функции $y = \frac{2x - 1}{2x + 1}$ точки, в которых касательные параллельны прямой $y = 4x + 5$, необходимо приравнять производную данной функции к угловому коэффициенту указанной прямой.

Геометрический смысл производной заключается в том, что ее значение в точке касания $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Угловой коэффициент прямой $y = 4x + 5$ равен $4$. Условие параллельности двух прямых — равенство их угловых коэффициентов. Следовательно, нам нужно найти такие точки $x$, в которых производная функции $y'$ равна $4$.

1. Найдем производную функции $y(x) = \frac{2x - 1}{2x + 1}$.

Воспользуемся формулой производной частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = 2x - 1$ и $v(x) = 2x + 1$. Тогда их производные равны $u'(x) = 2$ и $v'(x) = 2$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{(2x - 1)'(2x + 1) - (2x - 1)(2x + 1)'}{(2x + 1)^2} = \frac{2(2x + 1) - (2x - 1) \cdot 2}{(2x + 1)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$y' = \frac{4x + 2 - 4x + 2}{(2x + 1)^2} = \frac{4}{(2x + 1)^2}$

2. Приравняем производную к угловому коэффициенту прямой, равному 4, и решим полученное уравнение:

$\frac{4}{(2x + 1)^2} = 4$

Поделим обе части уравнения на 4 (при условии, что $(2x + 1)^2 \neq 0$):

$\frac{1}{(2x + 1)^2} = 1$

Это равносильно уравнению:

$(2x + 1)^2 = 1$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два варианта:

а) $2x + 1 = 1$

$2x = 0$

$x_1 = 0$

б) $2x + 1 = -1$

$2x = -2$

$x_2 = -1$

3. Найдем ординаты (координаты $y$) найденных точек, подставив значения $x_1$ и $x_2$ в исходное уравнение функции $y = \frac{2x - 1}{2x + 1}$.

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = \frac{2(0) - 1}{2(0) + 1} = \frac{-1}{1} = -1$

Таким образом, первая искомая точка имеет координаты $(0; -1)$.

Для $x_2 = -1$:

$y_2 = \frac{2(-1) - 1}{2(-1) + 1} = \frac{-2 - 1}{-2 + 1} = \frac{-3}{-1} = 3$

Таким образом, вторая искомая точка имеет координаты $(-1; 3)$.

Ответ: $(0; -1)$ и $(-1; 3)$.

П.29. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = 2x^2$, которая параллельна секущей, проходящей через точки графика с абсциссами $x = -1$ и $x = 2$.

Для того чтобы написать уравнение касательной, нам необходимо найти ее угловой коэффициент и координаты точки касания.

1. Нахождение углового коэффициента секущей

По условию, касательная параллельна секущей, проходящей через точки графика функции $y = 2x^2$ с абсциссами $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Сначала найдем угловой коэффициент секущей.
Найдем координаты точек на графике:
Если $x_1 = -1$, то $y_1 = 2(-1)^2 = 2$. Первая точка $A(-1, 2)$.
Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 2(2)^2 = 8$. Вторая точка $B(2, 8)$.
Угловой коэффициент $k_{сек}$ прямой, проходящей через две точки, вычисляется по формуле:
$k_{сек} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 2}{2 - (-1)} = \frac{6}{3} = 2$.

2. Нахождение точки касания

Угловой коэффициент касательной $k_{кас}$ в точке $x_0$ равен значению производной функции $y'(x_0)$.
Поскольку касательная параллельна секущей, $k_{кас} = k_{сек} = 2$.
Найдем производную функции $y = 2x^2$:
$y' = (2x^2)' = 4x$.
Теперь найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв значение производной к угловому коэффициенту:
$y'(x_0) = 4x_0 = 2$
$x_0 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0$ в исходную функцию:
$y_0 = 2(x_0)^2 = 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$.

3. Составление уравнения касательной

Уравнение касательной к графику функции в точке $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k_{кас}$ имеет вид: $y - y_0 = k_{кас}(x - x_0)$.
Подставим найденные значения: точку касания $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ и угловой коэффициент $k_{кас} = 2$.
$y - \frac{1}{2} = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)$
$y - \frac{1}{2} = 2x - 1$
$y = 2x - 1 + \frac{1}{2}$
$y = 2x - \frac{1}{2}$

Ответ: $y = 2x - \frac{1}{2}$.