Страница 7, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

П.14. а) $3\cos^2 x - 2\sin 2x + \sin^2 x = 0;$

б) $1 + 7\cos^2 x = 3\sin 2x;$

в) $5\sin^2 x + 5\sin x \cos x = 3;$

г) $\frac{1}{\cos x} + \sin x = 7\cos x.$

а) $3\cos^2 x - 2\sin 2x + \sin^2 x = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой двойного угла для синуса: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

Подставим эту формулу в исходное уравнение:

$3\cos^2 x - 2(2\sin x \cos x) + \sin^2 x = 0$

$\sin^2 x - 4\sin x \cos x + 3\cos^2 x = 0$

Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Проверим, является ли $\cos x = 0$ решением. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив эти значения в уравнение, получим:

$1 - 4 \cdot \sin x \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 0 \implies 1 = 0$

Это неверное равенство, следовательно, $\cos x \neq 0$. Мы можем разделить обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{4\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{3\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 4\tan x + 3 = 0$

Сделаем замену переменной $t = \tan x$. Уравнение примет вид:

$t^2 - 4t + 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 3$.

Теперь вернемся к исходной переменной:

1) $\tan x = 1 \implies x = \arctan(1) + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = 3 \implies x = \arctan(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $1 + 7\cos^2 x = 3\sin 2x$

Используем основное тригонометрическое тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ и формулу двойного угла $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + 7\cos^2 x = 3(2\sin x \cos x)$

Упростим выражение:

$\sin^2 x + 8\cos^2 x = 6\sin x \cos x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить однородное уравнение:

$\sin^2 x - 6\sin x \cos x + 8\cos^2 x = 0$

Убедимся, что $\cos x \neq 0$. Если $\cos x = 0$, то $\sin^2 x = 1$. Подставив в уравнение, получим $1=0$, что неверно. Следовательно, можно разделить обе части на $\cos^2 x$:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{6\sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{8\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x - 6\tan x + 8 = 0$

Пусть $t = \tan x$. Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 8 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = 4 \implies x = \arctan(4) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(4) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $5\sin^2 x + 5\sin x \cos x = 3$

Чтобы свести уравнение к однородному, представим число 3 с помощью основного тригонометрического тождества: $3 = 3 \cdot 1 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$.

$5\sin^2 x + 5\sin x \cos x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$(5\sin^2 x - 3\sin^2 x) + 5\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$

$2\sin^2 x + 5\sin x \cos x - 3\cos^2 x = 0$

Проверим случай $\cos x = 0$. Тогда $\sin^2 x = 1$, и уравнение принимает вид $2 \cdot 1 = 0$, что неверно. Значит, делим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$2\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 5\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - 3\frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$2\tan^2 x + 5\tan x - 3 = 0$

Пусть $t = \tan x$:

$2t^2 + 5t - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

Корни: $t_1 = \frac{-5 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-12}{4} = -3$ и $t_2 = \frac{-5 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan x = -3 \implies x = \arctan(-3) + \pi n = -\arctan(3) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = \frac{1}{2} \implies x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\arctan(3) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \arctan(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\frac{1}{\cos x} + \sin x = 7\cos x$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Умножим обе части уравнения на $\cos x$, чтобы избавиться от знаменателя:

$1 + \sin x \cos x = 7\cos^2 x$

Используем тождество $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$:

$(\sin^2 x + \cos^2 x) + \sin x \cos x = 7\cos^2 x$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить однородное уравнение:

$\sin^2 x + \sin x \cos x + \cos^2 x - 7\cos^2 x = 0$

$\sin^2 x + \sin x \cos x - 6\cos^2 x = 0$

Так как из ОДЗ мы знаем, что $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части на $\cos^2 x$:

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{6\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$

$\tan^2 x + \tan x - 6 = 0$

Пусть $t = \tan x$:

$t^2 + t - 6 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.

Возвращаемся к замене:

1) $\tan x = 2 \implies x = \arctan(2) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\tan x = -3 \implies x = \arctan(-3) + \pi k = -\arctan(3) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Оба набора решений удовлетворяют ОДЗ, так как для них $\cos x \neq 0$.

Ответ: $x = \arctan(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -\arctan(3) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

П.15. а) $ \frac{|\sin x|}{\sin x} = 1 - \cos 2x; $

б) $ \frac{\cos x}{|\cos x|} = 1 - \sin 2x. $

а) Решим уравнение $\frac{|\sin x|}{\sin x} = 1 - \cos 2x$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $\sin x \neq 0$, что означает $x \neq \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая, в зависимости от знака $\sin x$.

1. Если $\sin x > 0$, то есть $x \in (2\pi n, \pi + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\sin x| = \sin x$, и левая часть уравнения равна $\frac{\sin x}{\sin x} = 1$.
Уравнение принимает вид:$1 = 1 - \cos 2x$
$\cos 2x = 0$
$2x = \frac{\pi}{2} + \pi m$, $m \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2}$, $m \in \mathbb{Z}$
Теперь необходимо отобрать те корни, которые удовлетворяют условию $\sin x > 0$.
При $m=0, x = \frac{\pi}{4}$. $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Этот корень подходит.
При $m=1, x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$. $\sin(\frac{3\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Этот корень подходит.
При $m=2, x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$. $\sin(\frac{5\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Этот корень не подходит.
При $m=3, x = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} = \frac{7\pi}{4}$. $\sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Этот корень не подходит.
Учитывая периодичность, подходят серии корней $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\sin x < 0$, то есть $x \in (\pi + 2\pi n, 2\pi + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\sin x| = -\sin x$, и левая часть уравнения равна $\frac{-\sin x}{\sin x} = -1$.
Уравнение принимает вид:
$-1 = 1 - \cos 2x$
$\cos 2x = 2$
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции косинус $[-1, 1]$.

Объединяя результаты из первого случая, получаем окончательное решение.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) Решим уравнение $\frac{\cos x}{|\cos x|} = 1 - \sin 2x$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $|\cos x| \neq 0$, что означает $\cos x \neq 0$, или $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим два случая, в зависимости от знака $\cos x$.

1. Если $\cos x > 0$, то есть $x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\cos x| = \cos x$, и левая часть уравнения равна $\frac{\cos x}{\cos x} = 1$.
Уравнение принимает вид:$1 = 1 - \sin 2x$
$\sin 2x = 0$
$2x = \pi m$, $m \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi m}{2}$, $m \in \mathbb{Z}$
Теперь необходимо отобрать те корни, которые удовлетворяют условию $\cos x > 0$.
При $m=0, x=0$. $\cos(0) = 1 > 0$. Этот корень подходит.
При $m=1, x=\frac{\pi}{2}$. $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$. Этот корень не входит в ОДЗ.
При $m=2, x=\pi$. $\cos(\pi) = -1 < 0$. Этот корень не подходит.
При $m=3, x=\frac{3\pi}{2}$. $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$. Этот корень не входит в ОДЗ.
При $m=4, x=2\pi$. $\cos(2\pi) = 1 > 0$. Этот корень подходит (совпадает с $x=0$ с учетом периода).
Учитывая периодичность, подходит серия корней $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Если $\cos x < 0$, то есть $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.
В этом случае $|\cos x| = -\cos x$, и левая часть уравнения равна $\frac{\cos x}{-\cos x} = -1$.
Уравнение принимает вид:
$-1 = 1 - \sin 2x$
$\sin 2x = 2$
Это уравнение не имеет решений, так как область значений функции синус $[-1, 1]$.

Объединяя результаты из первого случая, получаем окончательное решение.
Ответ: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

П.16. a) Найдите корни уравнения

$cos2x + (sinx + cosx)^2 tgx = tgx(tgx + 1),$

принадлежащие отрезку $[-\frac{7\pi}{4}; \frac{\pi}{4}].$

б) Найдите корни уравнения

$sin(\frac{\pi}{4} - 4x) cos(\frac{\pi}{4} - x) + sin^2 \frac{5x}{2} = 0,$

принадлежащие отрезку $[-\pi; \pi].$

а)

Решим уравнение $ \cos(2x) + (\sin x + \cos x)^2 \tg x = \tg x(\tg x + 1) $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса: $ \cos x \neq 0 $, то есть $ x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Упростим левую часть уравнения. Раскроем скобку:
$ (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x $.
Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ и формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $, получаем:
$ (\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin(2x) $.

Подставим это выражение в исходное уравнение:
$ \cos(2x) + (1 + \sin(2x)) \tg x = \tg x(\tg x + 1) $
$ \cos(2x) + \tg x + \sin(2x) \tg x = \tg^2 x + \tg x $

Сократим $ \tg x $ в обеих частях уравнения:
$ \cos(2x) + \sin(2x) \tg x = \tg^2 x $

Заменим $ \tg x = \frac{\sin x}{\cos x} $ и $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $:
$ \cos(2x) + (2\sin x \cos x) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \tg^2 x $
$ \cos(2x) + 2\sin^2 x = \tg^2 x $

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x $:
$ (\cos^2 x - \sin^2 x) + 2\sin^2 x = \tg^2 x $
$ \cos^2 x + \sin^2 x = \tg^2 x $
$ 1 = \tg^2 x $

Отсюда получаем два случая:
1) $ \tg x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $
2) $ \tg x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $ [-\frac{7\pi}{4}; \frac{\pi}{4}] $.

Для серии корней $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n $:
$ -\frac{7\pi}{4} \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le \frac{\pi}{4} $
$ -\frac{7}{4} \le \frac{1}{4} + n \le \frac{1}{4} $
$ -2 \le n \le 0 $.
Целые значения $ n $: $ -2, -1, 0 $.
При $ n = -2: x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} $
При $ n = -1: x = \frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4} $
При $ n = 0: x = \frac{\pi}{4} $

Для серии корней $ x = -\frac{\pi}{4} + \pi k $:
$ -\frac{7\pi}{4} \le -\frac{\pi}{4} + \pi k \le \frac{\pi}{4} $
$ -\frac{7}{4} \le -\frac{1}{4} + k \le \frac{1}{4} $
$ -\frac{6}{4} \le k \le \frac{2}{4} \implies -1.5 \le k \le 0.5 $.
Целые значения $ k $: $ -1, 0 $.
При $ k = -1: x = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4} $
При $ k = 0: x = -\frac{\pi}{4} $

Выписываем все найденные корни в порядке возрастания: $ -\frac{7\pi}{4}, -\frac{5\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} $.

Ответ: $ -\frac{7\pi}{4}, -\frac{5\pi}{4}, -\frac{3\pi}{4}, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} $.

б)

Решим уравнение $ \sin(\frac{\pi}{4} - 4x) \cos(\frac{\pi}{4} - x) + \sin^2(\frac{5x}{2}) = 0 $.

Используем формулу приведения $ \cos \alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $ для второго множителя:
$ \cos(\frac{\pi}{4} - x) = \sin(\frac{\pi}{2} - (\frac{\pi}{4} - x)) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} + x) = \sin(\frac{\pi}{4} + x) $.

Уравнение принимает вид:
$ \sin(\frac{\pi}{4} - 4x) \sin(\frac{\pi}{4} + x) + \sin^2(\frac{5x}{2}) = 0 $.

Применим формулу преобразования произведения синусов в сумму $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}(\cos(A-B) - \cos(A+B)) $.
Пусть $ A = \frac{\pi}{4} + x $ и $ B = \frac{\pi}{4} - 4x $.
$ A - B = (\frac{\pi}{4} + x) - (\frac{\pi}{4} - 4x) = 5x $
$ A + B = (\frac{\pi}{4} + x) + (\frac{\pi}{4} - 4x) = \frac{\pi}{2} - 3x $
Тогда $ \sin(\frac{\pi}{4} - 4x) \sin(\frac{\pi}{4} + x) = \frac{1}{2}(\cos(5x) - \cos(\frac{\pi}{2} - 3x)) = \frac{1}{2}(\cos(5x) - \sin(3x)) $.

Используем формулу понижения степени $ \sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} $:
$ \sin^2(\frac{5x}{2}) = \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{5x}{2})}{2} = \frac{1 - \cos(5x)}{2} $.

Подставляем полученные выражения в уравнение:
$ \frac{1}{2}(\cos(5x) - \sin(3x)) + \frac{1 - \cos(5x)}{2} = 0 $
Умножим обе части на 2:
$ \cos(5x) - \sin(3x) + 1 - \cos(5x) = 0 $
$ 1 - \sin(3x) = 0 $
$ \sin(3x) = 1 $

Решение этого уравнения:
$ 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z} $

Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $ [-\pi; \pi] $.
$ -\pi \le \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} \le \pi $
$ -1 \le \frac{1}{6} + \frac{2k}{3} \le 1 $
$ -1 - \frac{1}{6} \le \frac{2k}{3} \le 1 - \frac{1}{6} $
$ -\frac{7}{6} \le \frac{2k}{3} \le \frac{5}{6} $
$ -\frac{7}{6} \cdot \frac{3}{2} \le k \le \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{2} $
$ -\frac{7}{4} \le k \le \frac{5}{4} \implies -1.75 \le k \le 1.25 $.

Целые значения $ k $: $ -1, 0, 1 $.
При $ k = -1: x = \frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi - 4\pi}{6} = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} $
При $ k = 0: x = \frac{\pi}{6} $
При $ k = 1: x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi + 4\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $

Ответ: $ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} $.

П.17. Найдите наименьший положительный корень уравнения

$\cos x \cos 2x = \cos 3x.$

Для решения уравнения $\cos x \cos 2x = \cos 3x$ преобразуем его левую часть, используя тригонометрическую формулу произведения косинусов: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

Применим эту формулу, положив $\alpha = 2x$ и $\beta = x$:

$\cos 2x \cos x = \frac{1}{2}(\cos(2x - x) + \cos(2x + x)) = \frac{1}{2}(\cos x + \cos 3x)$

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$\frac{1}{2}(\cos x + \cos 3x) = \cos 3x$

Умножим обе части уравнения на 2:

$\cos x + \cos 3x = 2\cos 3x$

Перенесем $\cos 3x$ из левой части в правую:

$\cos x = 2\cos 3x - \cos 3x$

$\cos x = \cos 3x$

Уравнение вида $\cos f(x) = \cos g(x)$ равносильно совокупности $f(x) = \pm g(x) + 2\pi k$, где $k$ - любое целое число. В нашем случае это означает:

$3x = x + 2\pi k$ или $3x = -x + 2\pi k$.

Рассмотрим оба случая:

1. $3x = x + 2\pi k$

$2x = 2\pi k$

$x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $3x = -x + 2\pi n$ (используем другую букву для целого числа, чтобы не путать серии решений)

$4x = 2\pi n$

$x = \frac{2\pi n}{4} = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что первая серия корней ($x = \pi k$) является подмножеством второй серии ($x = \frac{\pi n}{2}$), поскольку при $n=2k$ мы получаем $x = \frac{\pi (2k)}{2} = \pi k$. Таким образом, все решения уравнения можно описать одной формулой: $x = \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Нам необходимо найти наименьший положительный корень, то есть $x > 0$.

$\frac{\pi n}{2} > 0$

Это неравенство выполняется для всех целых $n > 0$. Наименьшим таким целым числом является $n=1$.

Подставляя $n=1$ в формулу для корней, находим наименьший положительный корень:

$x = \frac{\pi \cdot 1}{2} = \frac{\pi}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

П.18. Постройте график функции и перечислите её свойства:

a) $y = 2\sin^2 x;$

б) $y = \frac{2\sin|x|}{\sin x} + x;$

в) $y = \frac{\cos x}{|\cos x|} \cdot x^2, x \in \left(-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right);$

г) $y = -\frac{1}{2}\cos^2 2x.$

а) $y = 2\sin^2 x$

Построение графика:
Для упрощения и построения графика используем формулу понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$. Функция принимает вид: $y = 2 \cdot \frac{1 - \cos(2x)}{2} = 1 - \cos(2x)$.
График этой функции можно получить из графика $y = \cos x$ с помощью следующих преобразований:

1. Сжатие графика вдоль оси ОХ в 2 раза, что приводит к уменьшению периода до $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$. Получаем $y = \cos(2x)$.
2. Симметричное отражение относительно оси ОХ. Получаем $y = -\cos(2x)$.
3. Сдвиг всего графика вверх на 1 единицу. Получаем итоговый график $y = 1 - \cos(2x)$.

График представляет собой косинусоиду, колеблющуюся в диапазоне от 0 до 2 с периодом $\pi$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$ (все действительные числа).
• Область значений: $E(y) = [0; 2]$.
• Четность: функция четная, так как $y(-x) = 2\sin^2(-x) = 2(-\sin x)^2 = 2\sin^2 x = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• Периодичность: функция периодическая с наименьшим положительным периодом $T = \pi$.
• Нули функции: $y=0$ при $1-\cos(2x)=0$, что эквивалентно $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства: $y \ge 0$ на всей области определения.
• Промежутки монотонности на периоде $[0, \pi]$: функция возрастает на отрезке $[0; \frac{\pi}{2}]$ и убывает на отрезке $[\frac{\pi}{2}; \pi]$.
• Точки экстремума: точки минимума при $x = \pi n$ ($y_{min} = 0$), точки максимума при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ ($y_{max} = 2$), где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции — это косинусоида $y = 1 - \cos(2x)$. Функция четная, периодическая с периодом $\pi$, область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = [0; 2]$.

б) $y = \frac{2\sin|x|}{\sin x} + x$

Построение графика:
Область определения функции задается условием $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi n$ для $n \in \mathbb{Z}$. Раскроем модуль в зависимости от знака $x$:

• Если $x > 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{2\sin x}{\sin x} + x = 2 + x$.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \frac{2\sin(-x)}{\sin x} + x = \frac{-2\sin x}{\sin x} + x = -2 + x$.

Таким образом, функция является кусочно-линейной: $y = \begin{cases} x + 2, & \text{если } x > 0, x \neq \pi n \\ x - 2, & \text{если } x < 0, x \neq \pi n \end{cases}$, $n \in \mathbb{N}$.
График состоит из двух лучей: $y=x+2$ для $x>0$ и $y=x-2$ для $x<0$. На этих лучах в точках $x = \pi n$ ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$) будут выколотые точки.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = \mathbb{R} \setminus \{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.
• Нечетность: функция нечетная. Для $x>0$, $y(-x) = -2-x = -(2+x) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Периодичность: функция не является периодической.
• Нули функции: отсутствуют (уравнения $x+2=0$ и $x-2=0$ дают корни $x=-2$ и $x=2$, которые не принадлежат соответствующим интервалам $(0, \infty)$ и $(-\infty, 0)$).
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > 0$; $y < 0$ при $x < 0$.
• Промежутки монотонности: функция строго возрастает на каждом интервале своей области определения (например, на $(0, \pi)$, $(\pi, 2\pi)$ и т.д.).
• Экстремумы: отсутствуют.

Ответ: График функции состоит из двух параллельных лучей $y=x+2$ (при $x>0$) и $y=x-2$ (при $x<0$) с выколотыми точками $x=\pi n, n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$. Функция нечетная, непериодическая, область значений $(-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.

в) $y = \frac{\cos x}{|\cos x|} \cdot x^2, x \in (-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$

Построение графика:
Область определения функции задается условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. С учетом заданного интервала, $x \in (-\frac{3\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}) \setminus \{-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\}$. Выражение $\frac{\cos x}{|\cos x|}$ равно 1, если $\cos x > 0$, и -1, если $\cos x < 0$.

• $\cos x > 0$ на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Здесь $y = 1 \cdot x^2 = x^2$.
• $\cos x < 0$ на интервалах $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$. Здесь $y = -1 \cdot x^2 = -x^2$.

График состоит из трех частей: параболы $y=x^2$ на $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ и двух ветвей параболы $y=-x^2$ на $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2})$ и $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$. В точках $x=\pm\frac{\pi}{2}$ будут разрывы.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}) \cup (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.
• Область значений: $E(y) = (-\frac{9\pi^2}{4}; -\frac{\pi^2}{4}) \cup [0; \frac{\pi^2}{4})$.
• Четность: функция четная, так как $y(-x) = \frac{\cos(-x)}{|\cos(-x)|} \cdot (-x)^2 = \frac{\cos x}{|\cos x|} \cdot x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.
• Периодичность: функция не является периодической.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y>0$ на $(-\frac{\pi}{2}; 0) \cup (0; \frac{\pi}{2})$; $y<0$ на $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.
• Промежутки монотонности: возрастает на $(-\frac{3\pi}{2}; -\frac{\pi}{2})$ и на $[0; \frac{\pi}{2})$; убывает на $(-\frac{\pi}{2}; 0]$ и на $(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.
• Экстремумы: точка локального минимума $x=0$, $y_{min}=0$.

Ответ: График состоит из фрагментов парабол $y=x^2$ и $y=-x^2$. Функция четная, непериодическая, имеет локальный минимум в точке $(0;0)$, область значений $E(y) = (-9\pi^2/4; -\pi^2/4) \cup [0; \pi^2/4)$.

г) $y = \frac{1}{2}\cos^2(2x)$

Построение графика:
Используем формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$: $y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + \cos(2 \cdot 2x)}{2} = \frac{1}{4}(1 + \cos(4x)) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$.
График этой функции можно получить из графика $y = \cos x$ преобразованиями:

1. Сжатие вдоль оси ОХ в 4 раза. Период становится $T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$. Получаем $y = \cos(4x)$.
2. Сжатие вдоль оси OY в 4 раза. Амплитуда становится $1/4$. Получаем $y = \frac{1}{4}\cos(4x)$.
3. Сдвиг вверх на $1/4$. Получаем $y = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$.

График — косинусоида, колеблющаяся в диапазоне от 0 до $1/2$ с периодом $\pi/2$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = \mathbb{R}$.
• Область значений: $E(y) = [0; \frac{1}{2}]$.
• Четность: функция четная, т.к. $y(-x) = \frac{1}{2}\cos^2(2(-x)) = \frac{1}{2}\cos^2(2x) = y(x)$.
• Периодичность: функция периодическая, наименьший положительный период $T = \frac{\pi}{2}$.
• Нули функции: $y=0$ при $\cos(2x)=0$, т.е. $2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, $n \in \mathbb{Z}$.
• Промежутки знакопостоянства: $y \ge 0$ на всей области определения.
• Промежутки монотонности на периоде $[0, \pi/2]$: убывает на $[0; \frac{\pi}{4}]$, возрастает на $[\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}]$.
• Точки экстремума: точки минимума при $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ ($y_{min} = 0$), точки максимума при $x = \frac{\pi n}{2}$ ($y_{max} = \frac{1}{2}$), $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: График функции — это косинусоида $y = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)$. Функция четная, периодическая с периодом $\pi/2$, область определения $D(y) = \mathbb{R}$, область значений $E(y) = [0; 1/2]$.

П.19. Найдите производную функции:

а) $y = 2x^3 - 3\sqrt{x} + 2x;$

б) $y = 2\sin^3 x - 3\operatorname{tg}4x - 4;$

в) $y = 3\cos^2 x - \operatorname{ctg}\frac{x}{2} + 5;$

г) $y = \frac{1}{4}x^4 - 5x^2 + 2\sqrt{2x} + 5.$

а) Для нахождения производной функции $y = 2x^3 - 3\sqrt{x} + 2x$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы и основными формулами для производных. Производная суммы функций равна сумме производных этих функций.

$y' = (2x^3 - 3\sqrt{x} + 2x)' = (2x^3)' - (3\sqrt{x})' + (2x)'$

Найдем производную каждого слагаемого по отдельности, используя формулы $(x^n)' = nx^{n-1}$ и $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$:

1. $(2x^3)' = 2 \cdot (x^3)' = 2 \cdot 3x^{3-1} = 6x^2$

2. Представим $\sqrt{x}$ в виде $x^{1/2}$. Тогда $(3\sqrt{x})' = (3x^{1/2})' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}}$

3. $(2x)' = 2$

Теперь сложим полученные производные:

$y' = 6x^2 - \frac{3}{2\sqrt{x}} + 2$

Ответ: $y' = 6x^2 - \frac{3}{2\sqrt{x}} + 2$

б) Для нахождения производной функции $y = 2\sin^3 x - 3\tg(4x) - 4$ применим правило дифференцирования суммы/разности и правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

$y' = (2\sin^3 x)' - (3\tg(4x))' - (4)'$

1. Для $2\sin^3 x$, внешняя функция — степенная $u^3$, внутренняя — $u = \sin x$.
$(2\sin^3 x)' = 2 \cdot 3\sin^{3-1}x \cdot (\sin x)' = 6\sin^2 x \cdot \cos x$

2. Для $3\tg(4x)$, внешняя функция — $ \tg u $, внутренняя — $ u=4x $. Используем формулу $(\tg u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$.
$(3\tg(4x))' = 3 \cdot (\tg(4x))' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot (4x)' = 3 \cdot \frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot 4 = \frac{12}{\cos^2(4x)}$

3. Производная константы равна нулю: $(4)'=0$.

Объединяем результаты:

$y' = 6\sin^2 x \cos x - \frac{12}{\cos^2(4x)}$

Ответ: $y' = 6\sin^2 x \cos x - \frac{12}{\cos^2(4x)}$

в) Для нахождения производной функции $y = 3\cos^2 x - \ctg\frac{x}{2} + 5$ также используем правило дифференцирования сложной функции.

$y' = (3\cos^2 x)' - (\ctg\frac{x}{2})' + (5)'$

1. Для $3\cos^2 x$, внешняя функция — $u^2$, внутренняя — $u=\cos x$.
$(3\cos^2 x)' = 3 \cdot 2\cos^{2-1}x \cdot (\cos x)' = 6\cos x \cdot (-\sin x) = -6\sin x \cos x$. Этот результат можно также записать как $-3\sin(2x)$.

2. Для $\ctg\frac{x}{2}$, внешняя функция — $\ctg u$, внутренняя — $u=\frac{x}{2}$. Используем формулу $(\ctg u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$.
$(\ctg\frac{x}{2})' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{2})} \cdot (\frac{x}{2})' = -\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})}$

3. Производная константы равна нулю: $(5)'=0$.

Собираем все вместе:

$y' = -6\sin x \cos x - (-\frac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})}) = -6\sin x \cos x + \frac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})}$

Ответ: $y' = -6\sin x \cos x + \frac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})}$

г) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{4}x^4 - 5x^2 + 2\sqrt{2x} + 5$ применяем те же правила.

$y' = (\frac{1}{4}x^4)' - (5x^2)' + (2\sqrt{2x})' + (5)'$

1. $(\frac{1}{4}x^4)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} = x^3$

2. $(5x^2)' = 5 \cdot 2x^{2-1} = 10x$

3. Для $2\sqrt{2x}$ используем правило производной сложной функции. Внешняя функция — $\sqrt{u}$, внутренняя — $u=2x$. Используем формулу $(\sqrt{u})'=\frac{1}{2\sqrt{u}}$.
$(2\sqrt{2x})' = 2 \cdot (\sqrt{2x})' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot (2x)' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{2x}}$

4. Производная константы равна нулю: $(5)'=0$.

Объединяем результаты:

$y' = x^3 - 10x + \frac{2}{\sqrt{2x}}$

Ответ: $y' = x^3 - 10x + \frac{2}{\sqrt{2x}}$

П.20. Найдите значение производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0$, если:

а) $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2} - \frac{1}{3}x^3, x_0 = -1;$

б) $f(x) = 4\cos2x - \operatorname{ctg}\frac{x}{2}, x_0 = \frac{\pi}{3};$

в) $f(x) = 2\sin\frac{x}{2} + \cos3x, x_0 = \frac{\pi}{2};$

г) $f(x) = \frac{3x^3 - 1}{x + 1} + \frac{1}{4}x^4, x_0 = -2.$

а) Чтобы найти значение производной функции $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2} - \frac{1}{3}x^3$ в точке $x_0 = -1$, сначала найдем ее производную $f'(x)$.
Применим правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ и правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$.
$f'(x) = \left(\frac{x^2 - 1}{x - 2}\right)' - \left(\frac{1}{3}x^3\right)' = \frac{(x^2 - 1)'(x - 2) - (x^2 - 1)(x - 2)'}{(x - 2)^2} - \frac{1}{3} \cdot 3x^2$
$f'(x) = \frac{2x(x - 2) - (x^2 - 1) \cdot 1}{(x - 2)^2} - x^2 = \frac{2x^2 - 4x - x^2 + 1}{(x - 2)^2} - x^2 = \frac{x^2 - 4x + 1}{(x - 2)^2} - x^2$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$:
$f'(-1) = \frac{(-1)^2 - 4(-1) + 1}{(-1 - 2)^2} - (-1)^2 = \frac{1 + 4 + 1}{(-3)^2} - 1 = \frac{6}{9} - 1 = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

б) Для функции $f(x) = 4\cos(2x) - \operatorname{ctg}(\frac{x}{2})$ найдем производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции и производные тригонометрических функций: $(\cos u)' = -u'\sin u$ и $(\operatorname{ctg} u)' = -\frac{u'}{\sin^2 u}$.
$f'(x) = (4\cos(2x))' - (\operatorname{ctg}(\frac{x}{2}))' = 4(-\sin(2x)) \cdot (2x)' - \left(-\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{2})}\right) \cdot (\frac{x}{2})'$
$f'(x) = -4\sin(2x) \cdot 2 + \frac{1}{\sin^2(\frac{x}{2})} \cdot \frac{1}{2} = -8\sin(2x) + \frac{1}{2\sin^2(\frac{x}{2})}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:
$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -8\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + \frac{1}{2\sin^2\left(\frac{\pi/3}{2}\right)} = -8\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) + \frac{1}{2\sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right)}$.
Зная, что $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2 \cdot (\frac{1}{2})^2} = -4\sqrt{3} + \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{4}} = -4\sqrt{3} + \frac{1}{1/2} = 2 - 4\sqrt{3}$.
Ответ: $2 - 4\sqrt{3}$.

в) Для функции $f(x) = 2\sin(\frac{x}{2}) + \cos(3x)$ найдем производную $f'(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции: $(\sin u)' = u'\cos u$ и $(\cos u)' = -u'\sin u$.
$f'(x) = \left(2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)' + (\cos(3x))' = 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' + (-\sin(3x)) \cdot (3x)'$
$f'(x) = 2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} - \sin(3x) \cdot 3 = \cos\left(\frac{x}{2}\right) - 3\sin(3x)$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:
$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi/2}{2}\right) - 3\sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - 3\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)$.
Зная, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, получаем:
$f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - 3(-1) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 3$.
Ответ: $3 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.

г) Чтобы найти значение производной функции $f(x) = \frac{3x^3 - 1}{x + 1} + \frac{1}{4}x^4$ в точке $x_0 = -2$, сначала найдем ее производную $f'(x)$.
Применим правило дифференцирования частного и правило дифференцирования степенной функции.
$f'(x) = \left(\frac{3x^3 - 1}{x + 1}\right)' + \left(\frac{1}{4}x^4\right)' = \frac{(3x^3 - 1)'(x + 1) - (3x^3 - 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} + \frac{1}{4} \cdot 4x^3$
$f'(x) = \frac{9x^2(x + 1) - (3x^3 - 1) \cdot 1}{(x + 1)^2} + x^3 = \frac{9x^3 + 9x^2 - 3x^3 + 1}{(x + 1)^2} + x^3 = \frac{6x^3 + 9x^2 + 1}{(x + 1)^2} + x^3$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$:
$f'(-2) = \frac{6(-2)^3 + 9(-2)^2 + 1}{(-2 + 1)^2} + (-2)^3 = \frac{6(-8) + 9(4) + 1}{(-1)^2} - 8$
$f'(-2) = \frac{-48 + 36 + 1}{1} - 8 = -11 - 8 = -19$.
Ответ: $-19$.