Страница 11, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.6. a) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x - 3);$

б) $(x^3 + 2x - 3)(x^3 - 2x + 3);$

в) $(x^3 - 3x - 7)(x^2 + 7x - 1);$

г) $(x^4 - 3x^2 - 3x + 3)(x^3 + x^2 - x).$

а) $(x^2 - 3x + 1)(x^2 - 3x - 3)$

Для решения этого примера удобно использовать метод введения новой переменной. Заметим, что в обеих скобках есть одинаковое выражение $x^2 - 3x$.

Пусть $y = x^2 - 3x$. Тогда исходное выражение примет вид:

$(y + 1)(y - 3)$

Раскроем скобки:

$y \cdot y - 3y + 1 \cdot y - 1 \cdot 3 = y^2 - 2y - 3$

Теперь выполним обратную замену, подставив $x^2 - 3x$ вместо $y$:

$(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 3x + (3x)^2 - 2x^2 + 6x - 3 = x^4 - 6x^3 + 9x^2 - 2x^2 + 6x - 3$

Сгруппируем и сложим подобные члены:

$x^4 - 6x^3 + (9x^2 - 2x^2) + 6x - 3 = x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 3$

Ответ: $x^4 - 6x^3 + 7x^2 + 6x - 3$

б) $(x^3 + 2x - 3)(x^3 - 2x + 3)$

В этом примере можно применить формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Для этого сгруппируем слагаемые в скобках:

$(x^3 + (2x - 3))(x^3 - (2x - 3))$

Это неверная группировка. Правильная группировка будет выглядеть так:

$(x^3 - (3 - 2x))(x^3 + (3 - 2x))$

Здесь $a = x^3$ и $b = 3 - 2x$. Применим формулу разности квадратов:

$(x^3)^2 - (3 - 2x)^2$

Возведем в степень:

$x^6 - (3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2x + (2x)^2) = x^6 - (9 - 12x + 4x^2)$

Раскроем скобки и запишем многочлен в стандартном виде:

$x^6 - 9 + 12x - 4x^2 = x^6 - 4x^2 + 12x - 9$

Ответ: $x^6 - 4x^2 + 12x - 9$

в) $(x^3 - 3x - 7)(x^2 + 7x - 1)$

Здесь нет очевидных упрощений, поэтому выполним умножение многочленов "в лоб", умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$x^3(x^2 + 7x - 1) - 3x(x^2 + 7x - 1) - 7(x^2 + 7x - 1)$

Раскроем скобки:

$(x^5 + 7x^4 - x^3) + (-3x^3 - 21x^2 + 3x) + (-7x^2 - 49x + 7)$

$x^5 + 7x^4 - x^3 - 3x^3 - 21x^2 + 3x - 7x^2 - 49x + 7$

Приведем подобные слагаемые:

$x^5 + 7x^4 + (-x^3 - 3x^3) + (-21x^2 - 7x^2) + (3x - 49x) + 7$

$x^5 + 7x^4 - 4x^3 - 28x^2 - 46x + 7$

Ответ: $x^5 + 7x^4 - 4x^3 - 28x^2 - 46x + 7$

г) $(x^4 - 3x^2 - 3x + 3)(x^3 + x^2 - x)$

Как и в предыдущем примере, выполним прямое умножение многочленов. Для удобства можно вынести общий множитель $x$ из второй скобки:

$(x^4 - 3x^2 - 3x + 3) \cdot x(x^2 + x - 1) = x \cdot [(x^4 - 3x^2 - 3x + 3)(x^2 + x - 1)]$

Сначала перемножим многочлены в скобках:

$x^4(x^2 + x - 1) - 3x^2(x^2 + x - 1) - 3x(x^2 + x - 1) + 3(x^2 + x - 1)$

$(x^6 + x^5 - x^4) + (-3x^4 - 3x^3 + 3x^2) + (-3x^3 - 3x^2 + 3x) + (3x^2 + 3x - 3)$

$x^6 + x^5 - x^4 - 3x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 3x^3 - 3x^2 + 3x + 3x^2 + 3x - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$x^6 + x^5 + (-x^4 - 3x^4) + (-3x^3 - 3x^3) + (3x^2 - 3x^2 + 3x^2) + (3x + 3x) - 3$

$x^6 + x^5 - 4x^4 - 6x^3 + 3x^2 + 6x - 3$

Теперь умножим полученный многочлен на $x$:

$x(x^6 + x^5 - 4x^4 - 6x^3 + 3x^2 + 6x - 3) = x^7 + x^6 - 4x^5 - 6x^4 + 3x^3 + 6x^2 - 3x$

Ответ: $x^7 + x^6 - 4x^5 - 6x^4 + 3x^3 + 6x^2 - 3x$

1.7. a) $(1 + x + x^2 + x^3)^2$;

б) $(1 - x + x^2 - x^3 + x^4)^2$.

Для решения задачи $(1 + x + x^2 + x^3)^2$ необходимо возвести многочлен в квадрат. Это можно сделать, умножив многочлен на себя, но в данном случае удобнее применить метод группировки.

Сгруппируем слагаемые внутри скобок:

$(1 + x + x^2 + x^3)^2 = ((1 + x) + (x^2 + x^3))^2$

Вынесем общий множитель $x^2$ из второй группы:

$((1 + x) + x^2(1 + x))^2$

Теперь вынесем общий множитель $(1+x)$ за скобки:

$((1 + x)(1 + x^2))^2$

По свойству степени произведения, $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$(1 + x)^2 (1 + x^2)^2$

Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ для каждого множителя:

$(1 + 2x + x^2)(1 + 2x^2 + x^4)$

Осталось перемножить два полученных многочлена:

$1 \cdot (1 + 2x^2 + x^4) + 2x \cdot (1 + 2x^2 + x^4) + x^2 \cdot (1 + 2x^2 + x^4)$

Раскрываем скобки:

$(1 + 2x^2 + x^4) + (2x + 4x^3 + 2x^5) + (x^2 + 2x^4 + x^6)$

Приводим подобные слагаемые, группируя их по степеням $x$:

$1 + 2x + (2x^2 + x^2) + 4x^3 + (x^4 + 2x^4) + 2x^5 + x^6$

В результате получаем:

$1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 3x^4 + 2x^5 + x^6$

Ответ: $1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + 3x^4 + 2x^5 + x^6$.

Для решения задачи $(1 - x + x^2 - x^3 + x^4)^2$ необходимо раскрыть скобки. Самый прямой способ — это умножить многочлен сам на себя.

$(1 - x + x^2 - x^3 + x^4) \cdot (1 - x + x^2 - x^3 + x^4)$

Выполним умножение, последовательно умножая каждый член первого многочлена на второй многочлен:

$1 \cdot (1 - x + x^2 - x^3 + x^4) = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4$

$-x \cdot (1 - x + x^2 - x^3 + x^4) = -x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5$

$x^2 \cdot (1 - x + x^2 - x^3 + x^4) = x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6$

$-x^3 \cdot (1 - x + x^2 - x^3 + x^4) = -x^3 + x^4 - x^5 + x^6 - x^7$

$x^4 \cdot (1 - x + x^2 - x^3 + x^4) = x^4 - x^5 + x^6 - x^7 + x^8$

Теперь сложим все полученные выражения и приведем подобные слагаемые:

$(1 - x + x^2 - x^3 + x^4) + (-x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5) + (x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + x^6) + (-x^3 + x^4 - x^5 + x^6 - x^7) + (x^4 - x^5 + x^6 - x^7 + x^8)$

Сгруппируем члены по степеням $x$ и сложим их коэффициенты:

$1 + (-1 - 1)x + (1 + 1 + 1)x^2 + (-1 - 1 - 1 - 1)x^3 + (1 + 1 + 1 + 1 + 1)x^4 + (-1 - 1 - 1 - 1)x^5 + (1 + 1 + 1)x^6 + (-1 - 1)x^7 + x^8$

Собрав все вместе, получаем итоговый многочлен:

$1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 4x^5 + 3x^6 - 2x^7 + x^8$

Ответ: $1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 4x^5 + 3x^6 - 2x^7 + x^8$.

1.8. Какие из следующих утверждений верны:

а) сумма многочленов степени $n$ есть многочлен степени не выше $n$;

б) разность многочленов степени $n$ есть многочлен степени $n$;

в) произведение многочленов степени $n$ есть многочлен степени не выше $n$;

г) произведение двух многочленов степени $n$ есть многочлен степени $2n$?

а) сумма многочленов степени n есть многочлен степени не выше n;

Пусть даны два многочлена $P(x)$ и $Q(x)$ степени $n$. Это означает, что их можно записать в виде:
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0$, где старший коэффициент $a_n \neq 0$.
$Q(x) = b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \dots + b_0$, где старший коэффициент $b_n \neq 0$.

Их сумма $S(x) = P(x) + Q(x)$ будет равна:
$S(x) = (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + \dots + (a_0 + b_0)$.

Степень многочлена-суммы $S(x)$ определяется коэффициентом при старшей степени $x^n$, то есть выражением $(a_n + b_n)$.

Возможны два случая:
1. Если $a_n + b_n \neq 0$, то степень суммы $S(x)$ будет равна $n$.
2. Если $a_n + b_n = 0$ (это происходит, когда $a_n = -b_n$), то коэффициент при $x^n$ становится равным нулю, и этот член исчезает. В таком случае степень многочлена $S(x)$ будет меньше $n$ (или многочлен станет нулевым, степень которого не определена или считается равной $-\infty$).

Например, пусть $P(x) = x^2 + 3x$ и $Q(x) = -x^2 + 5$. Оба многочлена имеют степень 2. Их сумма $S(x) = (x^2 + 3x) + (-x^2 + 5) = 3x + 5$ имеет степень 1, что меньше 2.

Таким образом, степень суммы никогда не превысит $n$. Утверждение верно.
Ответ: утверждение верное.

б) разность многочленов степени n есть многочлен степени n;

Рассмотрим те же многочлены $P(x)$ и $Q(x)$ степени $n$. Их разность $D(x) = P(x) - Q(x)$ равна:
$D(x) = (a_n - b_n)x^n + (a_{n-1} - b_{n-1})x^{n-1} + \dots + (a_0 - b_0)$.

Коэффициент при старшей степени $x^n$ равен $(a_n - b_n)$.

Если $a_n \neq b_n$, то степень разности $D(x)$ будет равна $n$.
Однако, если $a_n = b_n$, то коэффициент при $x^n$ обращается в ноль, и степень разности становится меньше $n$.

Например, пусть $P(x) = 2x^3 + 4x$ и $Q(x) = 2x^3 - x^2$. Оба многочлена имеют степень 3. Их разность $D(x) = (2x^3 + 4x) - (2x^3 - x^2) = x^2 + 4x$ имеет степень 2.

Поскольку существуют случаи, когда степень разности меньше $n$, утверждение о том, что она всегда равна $n$, является ложным.
Ответ: утверждение неверное.

в) произведение многочленов степени n есть многочлен степени не выше n;

Рассмотрим произведение двух многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ степени $n$ (с $n \ge 1$).
$P(x) = a_n x^n + \dots$ ($a_n \neq 0$)
$Q(x) = b_n x^n + \dots$ ($b_n \neq 0$)

При перемножении многочленов их степени складываются. Старший член произведения $M(x) = P(x) \cdot Q(x)$ получается путем перемножения старших членов исходных многочленов:
$(a_n x^n) \cdot (b_n x^n) = a_n b_n x^{n+n} = a_n b_n x^{2n}$.

Поскольку $a_n \neq 0$ и $b_n \neq 0$, их произведение $a_n b_n$ также не равно нулю (если коэффициенты принадлежат полю или области целостности). Таким образом, степень произведения равна $2n$.

Утверждение гласит, что степень произведения "не выше n", то есть $2n \le n$. Это неравенство верно только при $n \le 0$. Для любого натурального $n \ge 1$, имеем $2n > n$. Например, произведение двух многочленов первой степени ($n=1$), $(x+1)$ и $(x-1)$, дает многочлен $x^2-1$ второй степени ($2n=2$), что больше, чем 1.

Следовательно, утверждение неверно.
Ответ: утверждение неверное.

г) произведение двух многочленов степени n есть многочлен степени 2n?

Как было показано в разборе предыдущего пункта, при умножении двух многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ степени $n$, их старшие члены перемножаются:
$P(x) = a_n x^n + \dots$ ($a_n \neq 0$)
$Q(x) = b_n x^n + \dots$ ($b_n \neq 0$)

Старший член произведения $P(x) \cdot Q(x)$ равен $(a_n x^n) \cdot (b_n x^n) = (a_n b_n) x^{2n}$.

Поскольку по определению многочлена степени $n$ коэффициенты $a_n$ и $b_n$ не равны нулю, их произведение $a_n b_n$ также не равно нулю. Это означает, что степень результирующего многочлена в точности равна $2n$.

Утверждение полностью соответствует этому выводу.
Ответ: утверждение верное.

1.9. Пусть $f(x) = x^2 - x + 1$ и $\varphi(x) = 2x + 1$; найдите:

а) $f^2(x)$;

б) $f^3(x)$;

в) $f(x) - \varphi^3(x)$;

г) $(2f(x) - x\varphi(x))^2$.

Даны функции $f(x) = x^2 - x + 1$ и $\phi(x) = 2x + 1$.

а) $f^2(x)$

Выражение $f^2(x)$ означает $[f(x)]^2$. Необходимо возвести в квадрат многочлен $f(x)$.
$f^2(x) = (x^2 - x + 1)^2$
Используем формулу квадрата суммы трех слагаемых $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$, где $a = x^2$, $b = -x$, $c = 1$.
$f^2(x) = (x^2)^2 + (-x)^2 + 1^2 + 2(x^2)(-x) + 2(x^2)(1) + 2(-x)(1)$
$f^2(x) = x^4 + x^2 + 1 - 2x^3 + 2x^2 - 2x$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$f^2(x) = x^4 - 2x^3 + (x^2 + 2x^2) - 2x + 1$
$f^2(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$
Ответ: $x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$

б) $f^3(x)$

Выражение $f^3(x)$ означает $[f(x)]^3$. Мы можем вычислить его, умножив результат из пункта а), то есть $f^2(x)$, на $f(x)$.
$f^3(x) = f^2(x) \cdot f(x) = (x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1)(x^2 - x + 1)$
Выполним умножение многочленов:
$x^2(x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1) = x^6 - 2x^5 + 3x^4 - 2x^3 + x^2$
$-x(x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1) = -x^5 + 2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x$
$1(x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 - 2x + 1$
Сложим полученные выражения:
$f^3(x) = x^6 + (-2-1)x^5 + (3+2+1)x^4 + (-2-3-2)x^3 + (1+2+3)x^2 + (-1-2)x + 1$
$f^3(x) = x^6 - 3x^5 + 6x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 3x + 1$
Ответ: $x^6 - 3x^5 + 6x^4 - 7x^3 + 6x^2 - 3x + 1$

в) $f(x) - \phi^3(x)$

Сначала найдем $\phi^3(x) = [\phi(x)]^3$.
$\phi^3(x) = (2x + 1)^3$
Используем формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, где $a = 2x$, $b = 1$.
$\phi^3(x) = (2x)^3 + 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 + 1^3$
$\phi^3(x) = 8x^3 + 3(4x^2) + 6x + 1$
$\phi^3(x) = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$
Теперь вычтем полученное выражение из $f(x)$:
$f(x) - \phi^3(x) = (x^2 - x + 1) - (8x^3 + 12x^2 + 6x + 1)$
$f(x) - \phi^3(x) = x^2 - x + 1 - 8x^3 - 12x^2 - 6x - 1$
Приведем подобные слагаемые:
$f(x) - \phi^3(x) = -8x^3 + (1-12)x^2 + (-1-6)x + (1-1)$
$f(x) - \phi^3(x) = -8x^3 - 11x^2 - 7x$
Ответ: $-8x^3 - 11x^2 - 7x$

г) $(2f(x) - x\phi(x))^2$

Сначала найдем выражение в скобках $2f(x) - x\phi(x)$.
$2f(x) = 2(x^2 - x + 1) = 2x^2 - 2x + 2$
$x\phi(x) = x(2x + 1) = 2x^2 + x$
Теперь вычтем второе из первого:
$2f(x) - x\phi(x) = (2x^2 - 2x + 2) - (2x^2 + x)$
$2f(x) - x\phi(x) = 2x^2 - 2x + 2 - 2x^2 - x$
$2f(x) - x\phi(x) = -3x + 2$
Теперь возведем полученное выражение в квадрат:
$(2f(x) - x\phi(x))^2 = (-3x + 2)^2$
Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 2$ и $b = 3x$.
$(-3x + 2)^2 = (2 - 3x)^2 = 2^2 - 2(2)(3x) + (3x)^2$
$(-3x + 2)^2 = 4 - 12x + 9x^2$
Ответ: $9x^2 - 12x + 4$

1.10. При каких значениях параметра $a$:

a) коэффициент при $x^2$ в стандартном виде многочлена $(x^2 - 3x + a)(x^2 - ax + 2)$ равен 0;

б) коэффициент при $x^3$ в стандартном виде многочлена $(x^2 - (a - 1)x + a)(x^2 + a^2x + 2a)$ равен 7?

а)

Для того чтобы найти коэффициент при $x^2$ в стандартном виде многочлена, который является произведением $(x^2 - 3x + a)(x^2 - ax + 2)$, необходимо определить, какие произведения одночленов из первой и второй скобок дадут в результате слагаемое с $x^2$.

Слагаемые с $x^2$ получаются при перемножении следующих членов:

• Члена $x^2$ из первого многочлена и свободного члена из второго: $x^2 \cdot 2 = 2x^2$.
• Члена с $x$ из первого многочлена и члена с $x$ из второго: $(-3x) \cdot (-ax) = 3ax^2$.
• Свободного члена из первого многочлена и члена $x^2$ из второго: $a \cdot x^2 = ax^2$.

Теперь сложим полученные слагаемые, чтобы найти общий член с $x^2$:

$2x^2 + 3ax^2 + ax^2 = (2 + 3a + a)x^2 = (2 + 4a)x^2$.

Таким образом, коэффициент при $x^2$ равен $(2 + 4a)$.

По условию задачи, этот коэффициент должен быть равен 0. Составим и решим уравнение:

$2 + 4a = 0$

$4a = -2$

$a = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $a = -0,5$.

б)

Рассмотрим произведение многочленов $(x^2 - (a - 1)x + a)(x^2 + a^2x + 2a)$. Нам нужно найти коэффициент при $x^3$.

Слагаемые с $x^3$ получаются при перемножении следующих членов:

• Члена $x^2$ из первого многочлена и члена с $x$ из второго: $x^2 \cdot (a^2x) = a^2x^3$.
• Члена с $x$ из первого многочлена и члена $x^2$ из второго: $(-(a - 1)x) \cdot x^2 = -(a - 1)x^3 = (1 - a)x^3$.

Сложим полученные слагаемые, чтобы найти общий член с $x^3$:

$a^2x^3 + (1 - a)x^3 = (a^2 - a + 1)x^3$.

Коэффициент при $x^3$ равен $(a^2 - a + 1)$.

По условию задачи, этот коэффициент равен 7. Составим уравнение:

$a^2 - a + 1 = 7$

$a^2 - a - 6 = 0$

Это квадратное уравнение относительно параметра $a$. Решим его, найдя корни. Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=-1$, $C=-6$.

Вычислим дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$a_1 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 5}{2} = 3$

$a_2 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5}{2} = -2$

Следовательно, искомые значения параметра $a$ равны -2 и 3.

Ответ: $a = -2$; $a = 3$.

1.11. В многочлене $p(x)$ выполнили замену переменной $x = y + a$ и получили многочлен $p_1(y) = p(y + a)$. При каких значениях параметра $a$ многочлен $p_1(y)$ не содержит члена степени $n$, если:

a) $p(x) = 2x^2 + 3x - 6$, $n = 1$;

б) $p(x) = 2x^3 + 3x^2 - x + 1$, $n = 2$;

в) $p(x) = (7 - 4x)(3x - 5)$, $n = 1$;

г) $p(x) = (2x^2 + 3x)(x - 1)$, $n = 2?

Чтобы многочлен $p_1(y) = p(y+a)$ не содержал члена степени $n$, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент при $y^n$ в разложении этого многочлена по степеням $y$ был равен нулю. Коэффициент при $y^n$ в разложении функции $p(y+a)$ по степеням $y$ (разложение Тейлора в точке $a$) определяется формулой $\frac{p^{(n)}(a)}{n!}$, где $p^{(n)}(a)$ — это $n$-я производная многочлена $p(x)$, вычисленная в точке $x=a$.

Следовательно, для того чтобы член степени $n$ отсутствовал, должно выполняться условие $\frac{p^{(n)}(a)}{n!} = 0$, что эквивалентно $p^{(n)}(a) = 0$.

а) Дан многочлен $p(x) = 2x^2 + 3x - 6$ и $n = 1$.
Нам нужно, чтобы в многочлене $p_1(y)$ отсутствовал член первой степени. Для этого необходимо решить уравнение $p'(a) = 0$.
Найдем первую производную многочлена $p(x)$:
$p'(x) = (2x^2 + 3x - 6)' = 4x + 3$.
Теперь подставим $a$ и приравняем к нулю:
$p'(a) = 4a + 3 = 0$
$4a = -3$
$a = -\frac{3}{4}$
Ответ: $a = -\frac{3}{4}$.

б) Дан многочлен $p(x) = 2x^3 + 3x^2 - x + 1$ и $n = 2$.
Нам нужно, чтобы в многочлене $p_1(y)$ отсутствовал член второй степени. Для этого необходимо решить уравнение $p''(a) = 0$.
Найдем первую производную:
$p'(x) = (2x^3 + 3x^2 - x + 1)' = 6x^2 + 6x - 1$.
Найдем вторую производную:
$p''(x) = (6x^2 + 6x - 1)' = 12x + 6$.
Подставим $a$ и приравняем к нулю:
$p''(a) = 12a + 6 = 0$
$12a = -6$
$a = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $a = -\frac{1}{2}$.

в) Дан многочлен $p(x) = (7 - 4x)(3x - 5)$ и $n = 1$.
Условие отсутствия члена первой степени — $p'(a) = 0$.
Сначала представим многочлен в стандартном виде, раскрыв скобки:
$p(x) = 7 \cdot 3x - 7 \cdot 5 - 4x \cdot 3x + 4x \cdot 5 = 21x - 35 - 12x^2 + 20x = -12x^2 + 41x - 35$.
Найдем первую производную:
$p'(x) = (-12x^2 + 41x - 35)' = -24x + 41$.
Подставим $a$ и приравняем к нулю:
$p'(a) = -24a + 41 = 0$
$24a = 41$
$a = \frac{41}{24}$
Ответ: $a = \frac{41}{24}$.

г) Дан многочлен $p(x) = (2x^2 + 3x)(x - 1)$ и $n = 2$.
Условие отсутствия члена второй степени — $p''(a) = 0$.
Сначала представим многочлен в стандартном виде:
$p(x) = 2x^2 \cdot x - 2x^2 \cdot 1 + 3x \cdot x - 3x \cdot 1 = 2x^3 - 2x^2 + 3x^2 - 3x = 2x^3 + x^2 - 3x$.
Найдем первую производную:
$p'(x) = (2x^3 + x^2 - 3x)' = 6x^2 + 2x - 3$.
Найдем вторую производную:
$p''(x) = (6x^2 + 2x - 3)' = 12x + 2$.
Подставим $a$ и приравняем к нулю:
$p''(a) = 12a + 2 = 0$
$12a = -2$
$a = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$
Ответ: $a = -\frac{1}{6}$.

1.12. а) Докажите, что свободный член многочлена $p(x)$ равен значению этого многочлена в точке $x = 0$.

б) Докажите, что сумма всех коэффициентов стандартного вида многочлена $p(x)$ равна $p(1)$.

а) Пусть дан многочлен $p(x)$ стандартного вида степени $n$: $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где $a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0$ — его коэффициенты. Свободным членом по определению является коэффициент $a_0$ (коэффициент при $x^0$).
Найдем значение данного многочлена в точке $x = 0$, подставив это значение в его выражение: $p(0) = a_n \cdot (0)^n + a_{n-1} \cdot (0)^{n-1} + \dots + a_1 \cdot (0) + a_0$.
Для любого натурального числа $k$ ($k \ge 1$) имеем $0^k = 0$. Следовательно, все слагаемые, содержащие $x$ в положительной степени, обращаются в ноль: $p(0) = 0 + 0 + \dots + 0 + a_0 = a_0$.
Таким образом, мы показали, что значение многочлена в точке $x=0$ равно его свободному члену $a_0$.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Рассмотрим тот же многочлен $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$.
Сумма всех его коэффициентов равна $S = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0$.
Найдем значение многочлена в точке $x = 1$, подставив это значение в его выражение: $p(1) = a_n \cdot (1)^n + a_{n-1} \cdot (1)^{n-1} + \dots + a_1 \cdot (1) + a_0$.
Поскольку $1$ в любой степени равно $1$ (то есть $1^k=1$ для любого $k$), то выражение упрощается: $p(1) = a_n \cdot 1 + a_{n-1} \cdot 1 + \dots + a_1 \cdot 1 + a_0 = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1 + a_0$.
Полученное выражение для $p(1)$ в точности совпадает с суммой всех коэффициентов многочлена.
Ответ: Утверждение доказано.