Страница 18, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.48. При каких целых значениях $a$, $b$ и $c$ многочлен $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 2$ имеет целый корень кратности 3? Для каждой тройки таких значений $a$, $b$ и $c$ найдите корни многочлена $f(x)$.

Пусть многочлен $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 2$ имеет целый корень $k$ кратности 3. Это означает, что многочлен можно представить в виде $f(x) = (x-k)^3(x-x_4)$, где $x_4$ — четвертый корень. По условию, коэффициенты $a, b, c$ и корень $k$ являются целыми числами.

Воспользуемся формулами Виета. Если корни многочлена равны $k, k, k, x_4$, то:

• Сумма корней: $3k + x_4 = -a$
• Сумма попарных произведений корней: $3k^2 + 3kx_4 = b$
• Сумма произведений корней по три: $k^3 + 3k^2x_4 = -c$
• Произведение корней: $k^3 x_4 = 2$

Из последнего уравнения $k^3 x_4 = 2$, поскольку $k$ — целое число, $k^3$ также является целым числом и должно быть делителем числа 2. Из первого уравнения $x_4 = -a - 3k$. Так как $a$ и $k$ — целые числа по условию, то $x_4$ также должен быть целым числом. Следовательно, $k^3$ должен быть таким целым делителем числа 2, чтобы $k$ оставалось целым. Возможные целые значения для $k^3$:

• $k^3 = 1 \implies k = 1$
• $k^3 = -1 \implies k = -1$

(Значения $k^3 = \pm 2$ не дают целых $k$).

Таким образом, существуют две возможные тройки значений $(a, b, c)$, соответствующие двум возможным значениям $k$. Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $k=1$

Если кратный корень $k=1$, то из уравнения $k^3 x_4 = 2$ находим четвертый корень: $1^3 \cdot x_4 = 2 \implies x_4 = 2$.

Теперь, используя формулы Виета, находим значения коэффициентов $a, b, c$:

• $a = -(3k + x_4) = -(3(1) + 2) = -5$
• $b = 3k^2 + 3kx_4 = 3(1)^2 + 3(1)(2) = 3 + 6 = 9$
• $c = -(k^3 + 3k^2x_4) = -(1^3 + 3(1)^2(2)) = -(1 + 6) = -7$

Первая тройка значений: $(a, b, c) = (-5, 9, -7)$. Корни соответствующего многочлена $f(x) = x^4 - 5x^3 + 9x^2 - 7x + 2$ — это $1$ (кратности 3) и $2$.

Ответ: При $a=-5, b=9, c=-7$ корни многочлена равны $1, 1, 1, 2$.

Случай 2: $k=-1$

Если кратный корень $k=-1$, то из уравнения $k^3 x_4 = 2$ находим четвертый корень: $(-1)^3 \cdot x_4 = 2 \implies -x_4 = 2 \implies x_4 = -2$.

Находим значения коэффициентов $a, b, c$:

• $a = -(3k + x_4) = -(3(-1) + (-2)) = -(-3 - 2) = 5$
• $b = 3k^2 + 3kx_4 = 3(-1)^2 + 3(-1)(-2) = 3(1) + 6 = 9$
• $c = -(k^3 + 3k^2x_4) = -((-1)^3 + 3(-1)^2(-2)) = -(-1 - 6) = 7$

Вторая тройка значений: $(a, b, c) = (5, 9, 7)$. Корни соответствующего многочлена $f(x) = x^4 + 5x^3 + 9x^2 + 7x + 2$ — это $-1$ (кратности 3) и $-2$.

Ответ: При $a=5, b=9, c=7$ корни многочлена равны $-1, -1, -1, -2$.

1.49. Докажите, что все корни многочлена $g(x)$ являются корнями многочлена $f(x):$

a) $g(x) = x^2 - 7x - 1$, $f(x) = x^5 - 7x^4 - 5x^2 - 15x - 2$

б) $g(x) = x^3 - 5x^2 + 2x - 3$, $f(x) = x^5 - 12x^4 + 36x^3 - 12x^2 + 19x + 3$

а)

Чтобы доказать, что все корни многочлена $g(x) = x^2 - 7x - 1$ являются корнями многочлена $f(x) = x^5 - 7x^4 - 5x^2 - 15x - 2$, необходимо показать, что многочлен $f(x)$ делится на многочлен $g(x)$ без остатка. Если это так, то $f(x)$ можно представить в виде произведения $f(x) = g(x) \cdot q(x)$, где $q(x)$ — некоторый многочлен. В этом случае любой корень $x_0$ многочлена $g(x)$ (т.е. $g(x_0)=0$) будет также и корнем многочлена $f(x)$, поскольку $f(x_0) = g(x_0) \cdot q(x_0) = 0 \cdot q(x_0) = 0$.

Выполним деление многочлена $f(x)$ на $g(x)$ столбиком.

$x^5 - 7x^4 - 5x^2 - 15x - 2$ | $x^2 - 7x - 1$
-($x^5 - 7x^4 - x^3$) | $x^3 + x + 2$
-----------------------
$x^3 - 5x^2 - 15x$
-($x^3 - 7x^2 - x$)
-----------------
$2x^2 - 14x - 2$
-($2x^2 - 14x - 2$)
-----------------
$0$

Деление выполняется без остатка, и частное $q(x) = x^3 + x + 2$. Таким образом, $f(x) = (x^2 - 7x - 1)(x^3 + x + 2) = g(x) \cdot (x^3 + x + 2)$. Это доказывает, что все корни $g(x)$ являются корнями $f(x)$.

Ответ: Так как многочлен $f(x)$ делится на многочлен $g(x)$ без остатка, $f(x) = (x^2 - 7x - 1)(x^3 + x + 2)$, то все корни $g(x)$ являются и корнями $f(x)$.

б)

Аналогично пункту а), докажем, что все корни многочлена $g(x) = x^3 - 5x^2 + 2x - 3$ являются корнями многочлена $f(x) = x^5 - 12x^4 + 36x^3 - 12x^2 + 19x + 3$. Для этого покажем, что $f(x)$ делится на $g(x)$ без остатка.

Выполним деление многочлена $f(x)$ на $g(x)$ столбиком.

$x^5 - 12x^4 + 36x^3 - 12x^2 + 19x + 3$ | $x^3 - 5x^2 + 2x - 3$
-($x^5 - 5x^4 + 2x^3 - 3x^2$) | $x^2 - 7x - 1$
-------------------------------------
$-7x^4 + 34x^3 - 9x^2 + 19x$
-($-7x^4 + 35x^3 - 14x^2 + 21x$)
---------------------------------
$-x^3 + 5x^2 - 2x + 3$
-($-x^3 + 5x^2 - 2x + 3$)
---------------------------
$0$

Деление выполняется без остатка, и частное $q(x) = x^2 - 7x - 1$. Таким образом, $f(x) = (x^3 - 5x^2 + 2x - 3)(x^2 - 7x - 1) = g(x) \cdot (x^2 - 7x - 1)$. Это доказывает, что все корни $g(x)$ являются корнями $f(x)$.

Ответ: Так как многочлен $f(x)$ делится на многочлен $g(x)$ без остатка, $f(x) = (x^3 - 5x^2 + 2x - 3)(x^2 - 7x - 1)$, то все корни $g(x)$ являются и корнями $f(x)$.

2.1. a) $x^2 - xy^3 + y^2 - x^3y;$

Б) $x(x - 2y) + y(x - 2y);$

В) $x(x - y) + 3xy - 3y^2;$

Г) $x^2 + 6xy + 5y(6y + x).$

а) В выражении $x^2 - xy^3 + y^2 - x^3y$ для разложения на множители применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$(x^2 + y^2) + (-xy^3 - x^3y)$

Из второй скобки вынесем общий множитель $-xy$:

$(x^2 + y^2) - xy(y^2 + x^2)$

Теперь мы видим общий множитель $(x^2 + y^2)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 + y^2)(1 - xy)$

Ответ: $(x^2 + y^2)(1 - xy)$

б) В выражении $x(x - 2y) + y(x - 2y)$ оба слагаемых имеют общий множитель — выражение в скобках $(x - 2y)$.

Вынесем этот общий множитель за скобки. От первого слагаемого останется множитель $x$, а от второго — множитель $y$.

$(x + y)(x - 2y)$

Ответ: $(x + y)(x - 2y)$

в) В выражении $x(x - y) + 3xy - 3y^2$ сначала преобразуем последние два слагаемых.

Вынесем у слагаемых $3xy - 3y^2$ общий множитель $3y$ за скобки:

$3y(x - y)$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$x(x - y) + 3y(x - y)$

В получившемся выражении есть общий множитель $(x - y)$, который мы выносим за скобки:

$(x + 3y)(x - y)$

Ответ: $(x + 3y)(x - y)$

г) В выражении $x^2 + 6xy + 5y(6y + x)$ сгруппируем первые два слагаемых.

В $x^2 + 6xy$ вынесем за скобки общий множитель $x$:

$x(x + 6y)$

Также заметим, что в последнем слагаемом $5y(6y+x)$ выражение в скобках равно $(x+6y)$.

Теперь исходное выражение можно записать так:

$x(x + 6y) + 5y(x + 6y)$

Вынесем общий множитель $(x + 6y)$ за скобки:

$(x + 5y)(x + 6y)$

Ответ: $(x + 5y)(x + 6y)$

2.2. a) $x^2 - 3xy + 2y^2$;

б) $7x^2 + 5xy - 12y^2$;

в) $5x^2 - 8xy + 3y^2$;

г) $7x^2 + 18xy + 8y^2$.

а) Для разложения на множители многочлена $x^2 - 3xy + 2y^2$ представим средний член $-3xy$ в виде суммы двух слагаемых $-xy$ и $-2xy$.

$x^2 - 3xy + 2y^2 = x^2 - xy - 2xy + 2y^2$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(x^2 - xy) - (2xy - 2y^2) = x(x - y) - 2y(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$:

$(x - y)(x - 2y)$

Ответ: $(x - y)(x - 2y)$

б) Чтобы разложить на множители выражение $7x^2 + 5xy - 12y^2$, рассмотрим его как квадратный трехчлен относительно переменной $x$. Для этого решим соответствующее квадратное уравнение $7x^2 + (5y)x - 12y^2 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = (5y)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-12y^2) = 25y^2 + 336y^2 = 361y^2 = (19y)^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5y - 19y}{2 \cdot 7} = \frac{-24y}{14} = -\frac{12}{7}y$

$x_2 = \frac{-5y + 19y}{2 \cdot 7} = \frac{14y}{14} = y$

Теперь воспользуемся формулой разложения квадратного трехчлена $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$7(x - (-\frac{12}{7}y))(x - y) = 7(x + \frac{12}{7}y)(x - y)$

Внесем множитель 7 в первую скобку:

$(7x + 12y)(x - y)$

Ответ: $(7x + 12y)(x - y)$

в) Для разложения на множители многочлена $5x^2 - 8xy + 3y^2$ представим средний член $-8xy$ в виде суммы слагаемых $-5xy$ и $-3xy$.

$5x^2 - 8xy + 3y^2 = 5x^2 - 5xy - 3xy + 3y^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:

$(5x^2 - 5xy) - (3xy - 3y^2) = 5x(x - y) - 3y(x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$:

$(5x - 3y)(x - y)$

Ответ: $(5x - 3y)(x - y)$

г) Чтобы разложить на множители выражение $7x^2 + 18xy + 8y^2$, представим средний член $18xy$ в виде суммы $14xy + 4xy$.

$7x^2 + 18xy + 8y^2 = 7x^2 + 14xy + 4xy + 8y^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(7x^2 + 14xy) + (4xy + 8y^2) = 7x(x + 2y) + 4y(x + 2y)$

Вынесем общий множитель $(x + 2y)$:

$(7x + 4y)(x + 2y)$

Ответ: $(7x + 4y)(x + 2y)$

2.3. a) $x^2 + (1 + y)x + y;$

б) $2x^2 - 7xy + 5y^2 - 3x + 3y;$

в) $4x^2 - y^2 - 8x + 4y;$

г) $3x^2 - xy - 24y^2 + 5x - 15y.$

а) $x^2 + (1 + y)x + y$

Для разложения на множители данного выражения сначала раскроем скобки:

$x^2 + 1 \cdot x + y \cdot x + y = x^2 + x + xy + y$

Теперь сгруппируем слагаемые. Сгруппируем первое со вторым и третье с четвертым:

$(x^2 + x) + (xy + y)$

В каждой группе вынесем за скобки общий множитель:

$x(x + 1) + y(x + 1)$

Мы получили два слагаемых, у которых есть общий множитель $(x + 1)$. Вынесем его за скобки:

$(x + 1)(x + y)$

Ответ: $(x + 1)(x + y)$

б) $2x^2 - 7xy + 5y^2 - 3x + 3y$

Сгруппируем слагаемые. Сначала разложим на множители квадратичную часть $2x^2 - 7xy + 5y^2$. Для этого представим средний член $-7xy$ в виде суммы $-2xy - 5xy$:

$2x^2 - 2xy - 5xy + 5y^2 = (2x^2 - 2xy) - (5xy - 5y^2)$

Вынесем общие множители в каждой группе:

$2x(x - y) - 5y(x - y) = (x - y)(2x - 5y)$

Теперь сгруппируем оставшиеся слагаемые $-3x + 3y$ и вынесем общий множитель $-3$:

$-3x + 3y = -3(x - y)$

Подставим полученные выражения в исходное:

$(x - y)(2x - 5y) - 3(x - y)$

Теперь мы видим общий множитель $(x - y)$, который можно вынести за скобки:

$(x - y)((2x - 5y) - 3) = (x - y)(2x - 5y - 3)$

Ответ: $(x - y)(2x - 5y - 3)$

в) $4x^2 - y^2 - 8x + 4y$

Сгруппируем слагаемые. Объединим слагаемые, содержащие квадраты, и слагаемые с переменными в первой степени:

$(4x^2 - y^2) + (-8x + 4y)$

Первая группа $4x^2 - y^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$4x^2 - y^2 = (2x)^2 - y^2 = (2x - y)(2x + y)$

Во второй группе $-8x + 4y$ вынесем за скобки общий множитель $-4$:

$-8x + 4y = -4(2x - y)$

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$(2x - y)(2x + y) - 4(2x - y)$

Вынесем за скобки общий множитель $(2x - y)$:

$(2x - y)((2x + y) - 4) = (2x - y)(2x + y - 4)$

Ответ: $(2x - y)(2x + y - 4)$

г) $3x^2 - xy - 24y^2 + 5x - 15y$

Разложим на множители квадратичную часть $3x^2 - xy - 24y^2$. Для этого найдем два числа, произведение которых равно $3 \cdot (-24) = -72$, а сумма равна коэффициенту при $xy$, то есть $-1$. Эти числа $8$ и $-9$. Представим $-xy$ как $8xy - 9xy$:

$3x^2 + 8xy - 9xy - 24y^2 = (3x^2 - 9xy) + (8xy - 24y^2)$

Вынесем общие множители в каждой группе:

$3x(x - 3y) + 8y(x - 3y) = (x - 3y)(3x + 8y)$

Теперь рассмотрим оставшиеся слагаемые $5x - 15y$ и вынесем общий множитель $5$:

$5x - 15y = 5(x - 3y)$

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$(x - 3y)(3x + 8y) + 5(x - 3y)$

Вынесем за скобки общий множитель $(x - 3y)$:

$(x - 3y)((3x + 8y) + 5) = (x - 3y)(3x + 8y + 5)$

Ответ: $(x - 3y)(3x + 8y + 5)$

2.4. a) $(x^7 + x) - (y^7 + y)$;

Б) $x^4 + 4y^4$;

В) $(x^5 - x) - (y^5 - y)$;

Г) $16x^4 + y^4$.

а) Чтобы разложить на множители выражение $(x^7 + x) - (y^7 + y)$, сначала раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями.

$(x^7 + x) - (y^7 + y) = x^7 + x - y^7 - y = (x^7 - y^7) + (x - y)$

Далее используем формулу разности степеней $a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$. Для $n=7$ получаем:

$x^7 - y^7 = (x - y)(x^6 + x^5y + x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4 + xy^5 + y^6)$

Подставим это разложение в наше выражение:

$(x - y)(x^6 + x^5y + x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4 + xy^5 + y^6) + (x - y)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(x^6 + x^5y + x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4 + xy^5 + y^6 + 1)$

Ответ: $(x - y)(x^6 + x^5y + x^4y^2 + x^3y^3 + x^2y^4 + xy^5 + y^6 + 1)$

б) Для разложения на множители выражения $x^4 + 4y^4$ применим метод выделения полного квадрата (используя тождество Софи Жермен). Для этого добавим и вычтем слагаемое, которое дополнит выражение до полного квадрата суммы.

Полный квадрат из слагаемых $(x^2)^2$ и $(2y^2)^2$ должен содержать удвоенное произведение $2 \cdot x^2 \cdot 2y^2 = 4x^2y^2$.

$x^4 + 4y^4 = (x^4 + 4x^2y^2 + 4y^4) - 4x^2y^2$

Теперь первые три слагаемых образуют квадрат суммы $(x^2 + 2y^2)^2$, а $4x^2y^2$ можно представить как $(2xy)^2$.

$(x^2 + 2y^2)^2 - (2xy)^2$

Получилось выражение вида "разность квадратов" $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = x^2+2y^2$ и $b = 2xy$.

$((x^2 + 2y^2) - 2xy)((x^2 + 2y^2) + 2xy)$

Упорядочим слагаемые внутри скобок для стандартного вида:

$(x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2)$

Ответ: $(x^2 - 2xy + 2y^2)(x^2 + 2xy + 2y^2)$

в) Решаем аналогично пункту а). Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые.

$(x^5 - x) - (y^5 - y) = x^5 - x - y^5 + y = (x^5 - y^5) - (x - y)$

Применим формулу разности пятых степеней:

$x^5 - y^5 = (x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4)$

Подставим разложение в исходное выражение:

$(x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4) - (x - y)$

Вынесем общий множитель $(x - y)$ за скобки:

$(x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4 - 1)$

Ответ: $(x - y)(x^4 + x^3y + x^2y^2 + xy^3 + y^4 - 1)$

г) Для разложения выражения $16x^4 + y^4$ используем метод выделения полного квадрата, как в пункте б).

Представим слагаемые в виде квадратов: $16x^4 = (4x^2)^2$ и $y^4 = (y^2)^2$.

Чтобы получить полный квадрат, добавим и вычтем удвоенное произведение оснований: $2 \cdot 4x^2 \cdot y^2 = 8x^2y^2$.

$16x^4 + y^4 = (16x^4 + 8x^2y^2 + y^4) - 8x^2y^2$

Первые три слагаемых образуют квадрат суммы $(4x^2 + y^2)^2$. Слагаемое $8x^2y^2$ представим как квадрат: $( \sqrt{8}xy )^2 = (2\sqrt{2}xy)^2$.

$(4x^2 + y^2)^2 - (2\sqrt{2}xy)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 4x^2+y^2$ и $b = 2\sqrt{2}xy$.

$((4x^2 + y^2) - 2\sqrt{2}xy)((4x^2 + y^2) + 2\sqrt{2}xy)$

Упорядочим слагаемые:

$(4x^2 - 2\sqrt{2}xy + y^2)(4x^2 + 2\sqrt{2}xy + y^2)$

Ответ: $(4x^2 - 2\sqrt{2}xy + y^2)(4x^2 + 2\sqrt{2}xy + y^2)$

2.5. a) $(x + y + z)^3 - x^3 - y^3 - z^3;$

б) $(x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz;$

в) $x(y + z)^2 + y(z + x)^2 + z(x + y)^2 - 4xyz;$

г) $(x + y + z)^4 - (y + z)^4 - (z + x)^4 - (x + y)^4 + x^4 + y^4 + z^4.$

а)

Раскроем скобки в выражении $(x + y + z)^3 - x^3 - y^3 - z^3$. Воспользуемся формулой куба суммы, представив $x+y+z$ как $((x+y)+z)$:

$( (x+y)+z )^3 = (x+y)^3 + 3(x+y)^2z + 3(x+y)z^2 + z^3$

$= (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) + 3(x^2 + 2xy + y^2)z + 3(x+y)z^2 + z^3$

$= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 + 3x^2z + 6xyz + 3y^2z + 3xz^2 + 3yz^2 + z^3$.

Теперь вычтем из этого выражения $x^3, y^3$ и $z^3$:

$(x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2y + 3xy^2 + 3x^2z + 3xz^2 + 3y^2z + 3yz^2 + 6xyz) - x^3 - y^3 - z^3$

$= 3x^2y + 3xy^2 + 3x^2z + 3xz^2 + 3y^2z + 3yz^2 + 6xyz$.

Вынесем общий множитель $3$ за скобки:

$= 3(x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2 + 2xyz)$.

Сгруппируем слагаемые в скобках по степеням переменной $x$:

$= 3(x^2(y+z) + x(y^2 + 2yz + z^2) + (y^2z + yz^2))$.

Заметим, что $y^2 + 2yz + z^2 = (y+z)^2$ и из последней скобки можно вынести $yz$:

$= 3(x^2(y+z) + x(y+z)^2 + yz(y+z))$.

Теперь вынесем общий множитель $(y+z)$ за скобки:

$= 3(y+z)(x^2 + x(y+z) + yz)$.

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

$= 3(y+z)(x^2 + xy + xz + yz)$.

Сгруппируем слагаемые в последней скобке и вынесем общие множители:

$= 3(y+z)(x(x+y) + z(x+y))$.

Вынесем общий множитель $(x+y)$:

$= 3(x+y)(y+z)(x+z)$.

Ответ: $3(x+y)(y+z)(x+z)$

б)

Раскроем скобки в выражении $(x + y + z)(xy + yz + zx) - xyz$:

$x(xy + yz + zx) + y(xy + yz + zx) + z(xy + yz + zx) - xyz$

$= (x^2y + xyz + x^2z) + (xy^2 + y^2z + xyz) + (xyz + yz^2 + z^2x) - xyz$

$= x^2y + x^2z + xy^2 + y^2z + z^2x + yz^2 + 3xyz - xyz$

$= x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + x^2z + 2xyz$.

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$ (аналогично пункту а):

$= x^2(y+z) + x(y^2+z^2+2yz) + (y^2z+yz^2)$

$= x^2(y+z) + x(y+z)^2 + yz(y+z)$.

Вынесем общий множитель $(y+z)$:

$= (y+z)(x^2 + x(y+z) + yz)$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые во второй скобке:

$= (y+z)(x^2 + xy + xz + yz)$

$= (y+z)(x(x+y) + z(x+y))$.

Вынесем общий множитель $(x+y)$:

$= (x+y)(y+z)(z+x)$.

Ответ: $(x+y)(y+z)(z+x)$

в)

Раскроем скобки в выражении $x(y+z)^2 + y(z+x)^2 + z(x+y)^2 - 4xyz$:

$x(y^2 + 2yz + z^2) + y(z^2 + 2zx + x^2) + z(x^2 + 2xy + y^2) - 4xyz$

$= (xy^2 + 2xyz + xz^2) + (yz^2 + 2xyz + yx^2) + (zx^2 + 2xyz + zy^2) - 4xyz$.

Соберем все слагаемые и приведем подобные:

$xy^2 + xz^2 + yz^2 + x^2y + x^2z + y^2z + 6xyz - 4xyz$

$= x^2y + xy^2 + y^2z + yz^2 + z^2x + x^2z + 2xyz$.

Мы получили то же самое выражение, что и в пункте б). Следовательно, результат разложения на множители будет таким же. Повторим шаги факторизации:

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $x$:

$= x^2(y+z) + x(y^2+2yz+z^2) + (y^2z+yz^2)$

$= x^2(y+z) + x(y+z)^2 + yz(y+z)$.

Вынесем общий множитель $(y+z)$:

$= (y+z)(x^2 + x(y+z) + yz)$.

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые во второй скобке:

$= (y+z)(x^2 + xy + xz + yz)$

$= (y+z)(x(x+y) + z(x+y))$.

Вынесем общий множитель $(x+y)$:

$= (x+y)(y+z)(z+x)$.

Ответ: $(x+y)(y+z)(z+x)$

г)

Обозначим данное выражение как $P(x, y, z)$:

$P(x, y, z) = (x+y+z)^4 - (y+z)^4 - (z+x)^4 - (x+y)^4 + x^4 + y^4 + z^4$.

Это однородный симметрический многочлен четвертой степени. Проверим, обращается ли он в ноль при некоторых значениях переменных.

1. Пусть $x=0$.

$P(0, y, z) = (y+z)^4 - (y+z)^4 - z^4 - y^4 + 0^4 + y^4 + z^4 = 0$.

Так как многочлен обращается в ноль при $x=0$, он делится на $x$. В силу симметрии, он также делится на $y$ и на $z$. Следовательно, $P(x, y, z)$ делится на $xyz$.

2. Пусть $x+y+z=0$. Тогда $y+z = -x$, $z+x = -y$, $x+y = -z$. Подставим эти значения в выражение:

$P(x, y, z) = 0^4 - (-x)^4 - (-y)^4 - (-z)^4 + x^4 + y^4 + z^4$

$= -x^4 - y^4 - z^4 + x^4 + y^4 + z^4 = 0$.

Следовательно, многочлен $P(x, y, z)$ делится на $(x+y+z)$.

Поскольку $x, y, z$ и $(x+y+z)$ являются взаимно простыми многочленами, $P(x, y, z)$ должен делиться на их произведение $xyz(x+y+z)$. Степень многочлена $P(x, y, z)$ равна 4. Степень многочлена $xyz(x+y+z)$ также равна 4. Это означает, что $P(x, y, z)$ пропорционален $xyz(x+y+z)$:

$P(x, y, z) = k \cdot xyz(x+y+z)$, где $k$ - некоторая константа.

Чтобы найти $k$, подставим в равенство какие-нибудь ненулевые значения, например, $x=1, y=1, z=1$.

$P(1, 1, 1) = (1+1+1)^4 - (1+1)^4 - (1+1)^4 - (1+1)^4 + 1^4 + 1^4 + 1^4$

$= 3^4 - 2^4 - 2^4 - 2^4 + 1 + 1 + 1$

$= 81 - 16 - 16 - 16 + 3 = 81 - 48 + 3 = 36$.

С другой стороны, для этих же значений:

$k \cdot (1)(1)(1)(1+1+1) = k \cdot 1 \cdot 3 = 3k$.

Приравниваем полученные результаты:

$3k = 36$, откуда $k=12$.

Таким образом, искомое выражение равно $12xyz(x+y+z)$.

Ответ: $12xyz(x+y+z)$