Страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1.18. Найдите все значения параметров $a$ и $b$, при которых многочлены $p(x)$ и $q(x)$ тождественно равны:

a) $p(x) = 2ax - (a + b)$, $q(x) = 4x + (3a - b - 8)$;

б) $p(x) = 2x^2 + x - (a + b)x + 2b - a$, $q(x) = -ax + 2(x^2 - b) + (1 - b)(x^2 + 2x).$

а)

Два многочлена тождественно равны, если их коэффициенты при одинаковых степенях переменной $x$ равны. Запишем многочлены $p(x)$ и $q(x)$ в стандартном виде и приравняем их коэффициенты.

Исходные многочлены:
$p(x) = 2ax - (a + b)$
$q(x) = 4x + (3a - b - 8)$

Оба многочлена уже представлены в стандартном виде $kx + m$.

Приравняем коэффициенты при $x$:

$2a = 4$

Приравняем свободные члены (коэффициенты при $x^0$):

$-(a + b) = 3a - b - 8$

Получим систему линейных уравнений относительно $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} 2a = 4 \\ -(a + b) = 3a - b - 8 \end{cases} $$

Из первого уравнения находим значение $a$:

$a = \frac{4}{2} = 2$

Подставим найденное значение $a = 2$ во второе уравнение:

$-(2 + b) = 3(2) - b - 8$
$-2 - b = 6 - b - 8$
$-2 - b = -2 - b$

Последнее равенство является тождеством и верно при любом значении $b$. Это означает, что для тождественного равенства многочленов достаточно, чтобы $a=2$, а параметр $b$ может быть любым действительным числом.

Ответ: $a = 2$, $b$ — любое число.

б)

Для нахождения значений $a$ и $b$ сначала приведём оба многочлена к стандартному виду, то есть сгруппируем слагаемые с одинаковыми степенями $x$.

Исходные многочлены:
$p(x) = 2x^2 + x - (a + b)x + 2b - a$
$q(x) = -ax + 2(x^2 - b) + (1 - b)(x^2 + 2x)$

Упростим многочлен $p(x)$:

$p(x) = 2x^2 + (1 - (a + b))x + (2b - a)$
$p(x) = 2x^2 + (1 - a - b)x + (2b - a)$

Упростим многочлен $q(x)$:

$q(x) = -ax + 2x^2 - 2b + x^2 + 2x - bx^2 - 2bx$
$q(x) = (2x^2 + x^2 - bx^2) + (-ax + 2x - 2bx) - 2b$
$q(x) = (3 - b)x^2 + (2 - a - 2b)x - 2b$

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ у многочленов $p(x)$ и $q(x)$.

$$ p(x) = 2x^2 + (1 - a - b)x + (2b - a) $$ $$ q(x) = (3 - b)x^2 + (2 - a - 2b)x - 2b $$

Составим систему уравнений, приравнивая соответствующие коэффициенты:

$$ \begin{cases} 2 = 3 - b & \text{(коэффициенты при } x^2\text{)} \\ 1 - a - b = 2 - a - 2b & \text{(коэффициенты при } x\text{)} \\ 2b - a = -2b & \text{(свободные члены)} \end{cases} $$

Решим эту систему. Из первого уравнения находим $b$:

$2 = 3 - b \implies b = 3 - 2 \implies b = 1$

Подставим $b=1$ во второе уравнение, чтобы проверить его:

$1 - a - 1 = 2 - a - 2(1)$
$-a = 2 - a - 2$
$-a = -a$

Второе уравнение является тождеством, если $b=1$.

Подставим $b=1$ в третье уравнение, чтобы найти $a$:

$2(1) - a = -2(1)$
$2 - a = -2$
$a = 4$

Таким образом, многочлены тождественно равны при $a=4$ и $b=1$.

Ответ: $a = 4, b = 1$.

1.19. Найдите все значения параметра a, при которых многочлен $(a^2 - 1)x^4 - 2x^3 + (2a - 1)x - 7$ будет:

а) тождественно равен многочлену $8x^4 - 2x^3 - (a - 8)x - 4 - a$;

б) тождественно равен многочлену $-2x^3 - (2 - 3a)x - a^2 - 6$.

а)

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Приравняем коэффициенты многочлена $(a^2 - 1)x^4 - 2x^3 + (2a - 1)x - 7$ и многочлена $8x^4 - 2x^3 - (a - 8)x - 4 - a$.

Для того чтобы многочлены были тождественно равны, необходимо, чтобы коэффициенты при соответствующих степенях $x$ были равны. Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} a^2 - 1 = 8 & \text{(коэффициенты при } x^4 \text{)} \\ -2 = -2 & \text{(коэффициенты при } x^3 \text{)} \\ 0 = 0 & \text{(коэффициенты при } x^2 \text{, в обоих многочленах отсутствуют)} \\ 2a - 1 = -(a - 8) & \text{(коэффициенты при } x \text{)} \\ -7 = -4 - a & \text{(свободные члены)} \end{cases} $

Решим данную систему. Второе и третье уравнения являются тождествами и не дают ограничений на параметр $a$. Рассмотрим остальные уравнения.

Из первого уравнения $a^2 - 1 = 8$ получаем $a^2 = 9$, что дает два возможных значения: $a = 3$ или $a = -3$.

Из четвертого уравнения $2a - 1 = -(a - 8)$ следует $2a - 1 = -a + 8$. Перенося члены, получаем $3a = 9$, откуда $a = 3$.

Из пятого уравнения $-7 = -4 - a$ следует $a = -4 + 7$, что дает $a = 3$.

Чтобы система уравнений имела решение, необходимо найти значение $a$, которое удовлетворяет всем уравнениям одновременно. Единственное значение, которое является решением всех трех уравнений, — это $a = 3$.

Ответ: $a = 3$.

б)

Приравняем коэффициенты многочлена $(a^2 - 1)x^4 - 2x^3 + (2a - 1)x - 7$ и многочлена $-2x^3 - (2 - 3a)x - a^2 - 6$.

Составим систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$:

$ \begin{cases} a^2 - 1 = 0 & \text{(коэффициенты при } x^4 \text{)} \\ -2 = -2 & \text{(коэффициенты при } x^3 \text{)} \\ 0 = 0 & \text{(коэффициенты при } x^2 \text{)} \\ 2a - 1 = -(2 - 3a) & \text{(коэффициенты при } x \text{)} \\ -7 = -a^2 - 6 & \text{(свободные члены)} \end{cases} $

Решим полученную систему. Второе и третье уравнения являются тождествами.

Из первого уравнения $a^2 - 1 = 0$ получаем $a^2 = 1$, откуда $a = 1$ или $a = -1$.

Из четвертого уравнения $2a - 1 = -(2 - 3a)$ следует $2a - 1 = -2 + 3a$. Перенося члены, получаем $-a = -1$, откуда $a = 1$.

Из пятого уравнения $-7 = -a^2 - 6$ следует $a^2 = -6 + 7$, то есть $a^2 = 1$, что дает $a = 1$ или $a = -1$.

Чтобы найти искомое значение параметра, нужно найти общее решение для всех уравнений системы. Сравнивая полученные результаты, видим, что единственным значением, удовлетворяющим всем условиям, является $a = 1$.

Ответ: $a = 1$.

1.20. a) Пусть многочлен $ax^3 + bx^2 + cx + d$ тождественно равен многочлену $a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. Выразите коэффициенты $a, b, c$ и $d$ через числа $x_1, x_2, x_3$.
б) Пусть многочлен $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ тождественно равен многочлену $(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)$. Выразите коэффициенты $a, b, c$ и $d$ через числа $x_1, x_2, x_3, x_4$.

а)

Дано тождество: $ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)$. Для того чтобы выразить коэффициенты $b, c, d$ через $a$ и числа $x_1, x_2, x_3$, необходимо раскрыть скобки в правой части равенства и привести многочлен к стандартному виду.

Выполним раскрытие скобок последовательно:
1. Сначала перемножим два двучлена:
$(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - x_2x - x_1x + x_1x_2 = x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2$.
2. Теперь умножим полученный результат на $(x - x_3)$:
$(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)(x - x_3) = x^3 - x_3x^2 - (x_1 + x_2)x^2 + (x_1 + x_2)x_3x + x_1x_2x - x_1x_2x_3$.
После группировки слагаемых при одинаковых степенях $x$ получим:
$x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3$.
3. Наконец, умножим весь многочлен на старший коэффициент $a$:
$a(x^3 - (x_1 + x_2 + x_3)x^2 + (x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - x_1x_2x_3) = ax^3 - a(x_1 + x_2 + x_3)x^2 + a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)x - ax_1x_2x_3$.

Теперь мы можем приравнять коэффициенты полученного многочлена к коэффициентам исходного многочлена $ax^3 + bx^2 + cx + d$, так как многочлены тождественно равны.
- Коэффициент при $x^3$: $a = a$. Этот коэффициент является общим для обеих записей многочлена.
- Коэффициент при $x^2$: $b = -a(x_1 + x_2 + x_3)$.
- Коэффициент при $x$: $c = a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)$.
- Свободный член (коэффициент при $x^0$): $d = -ax_1x_2x_3$.
Полученные формулы являются обобщением теоремы Виета.

Ответ: Коэффициент $a$ является старшим коэффициентом; $b = -a(x_1 + x_2 + x_3)$; $c = a(x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3)$; $d = -ax_1x_2x_3$.

б)

Дано тождество: $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = (x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)$. В этом случае старший коэффициент многочлена равен 1. Задача состоит в том, чтобы выразить коэффициенты $a, b, c, d$ через числа $x_1, x_2, x_3, x_4$. Для этого, как и в предыдущем пункте, раскроем скобки в правой части и приравняем коэффициенты. Эти соотношения известны как формулы Виета для многочлена четвёртой степени.

Развернутая форма правой части имеет вид:
$(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4) = x^4 - (x_1+x_2+x_3+x_4)x^3 + (x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4)x^2 - (x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4)x + x_1x_2x_3x_4$.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ с многочленом $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$, получаем:
- Коэффициент при $x^3$: $a = -(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)$.
- Коэффициент при $x^2$: $b = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4$.
- Коэффициент при $x$: $c = -(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4)$.
- Свободный член: $d = x_1x_2x_3x_4$.

Ответ: $a = -(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)$; $b = x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4$; $c = -(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4)$; $d = x_1x_2x_3x_4$.

1.21. Пусть $p(x)$ — многочлен степени $k$ и при всех значениях $x$ справедливо равенство $p(-x) = p(x)$. Докажите, что:

а) $k$ — чётное натуральное число или нуль;

б) коэффициенты многочлена $p(x)$ при нечётных степенях $x$ равны нулю.

Пусть многочлен $p(x)$ степени $k$ имеет общий вид: $p(x) = a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_1 x + a_0 = \sum_{i=0}^{k} a_i x^i$, где $a_i$ — коэффициенты многочлена, и по определению степени $a_k \neq 0$.

Запишем выражение для $p(-x)$, подставив $-x$ вместо $x$: $p(-x) = a_k (-x)^k + a_{k-1} (-x)^{k-1} + \dots + a_1 (-x) + a_0 = \sum_{i=0}^{k} a_i (-x)^i$.

Используя свойство $(-x)^i = (-1)^i x^i$, получим: $p(-x) = \sum_{i=0}^{k} a_i (-1)^i x^i$.

По условию задачи, для всех значений $x$ справедливо равенство $p(x) = p(-x)$. Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Следовательно, для любого $i$ от $0$ до $k$ должно выполняться равенство: $a_i = a_i (-1)^i$.

Перенесем все члены в одну сторону: $a_i - a_i (-1)^i = 0$ $a_i (1 - (-1)^i) = 0$.

Проанализируем это уравнение для двух случаев: когда $i$ нечётное и когда $i$ чётное.

б) коэффициенты многочлена p(x) при нечётных степенях x равны нулю.

Пусть $i$ — нечётное натуральное число. Тогда $(-1)^i = -1$. Подставим это значение в наше уравнение $a_i (1 - (-1)^i) = 0$: $a_i (1 - (-1)) = 0$ $a_i (1 + 1) = 0$ $2a_i = 0$ Из этого следует, что $a_i = 0$.

Таким образом, мы доказали, что все коэффициенты при нечётных степенях $x$ (т.е. $a_1, a_3, a_5, \dots$) равны нулю, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

а) k — чётное натуральное число или нуль;

Степень многочлена $p(x)$ по условию равна $k$. Это означает, что коэффициент при старшей степени $x^k$, то есть $a_k$, не равен нулю ($a_k \neq 0$).

Из доказательства в пункте б) мы знаем, что если степень $i$ нечётна, то соответствующий коэффициент $a_i$ равен нулю.

Предположим, что $k$ — нечётное число. В этом случае, согласно нашему выводу, коэффициент $a_k$ должен быть равен нулю. Однако это противоречит тому, что степень многочлена равна $k$ ($a_k \neq 0$).

Следовательно, наше предположение о нечётности $k$ неверно. Так как степень многочлена $k$ является неотрицательным целым числом, и она не может быть нечётной, то $k$ должно быть чётным числом. Это означает, что $k$ — чётное натуральное число ($2, 4, 6, \dots$) или нуль.

Ответ: Утверждение доказано.

•1.22. Пусть $p(x)$ — многочлен степени $k$ и при всех значениях $x$ справедливо равенство $p(-x) = -p(x)$. Докажите, что:

а) $k$ — нечётное натуральное число;

б) коэффициенты многочлена $p(x)$ при чётных степенях $x$ равны нулю.

Пусть многочлен $p(x)$ степени $k$ имеет общий вид:

$p(x) = a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_1 x + a_0 = \sum_{i=0}^{k} a_i x^i$

По определению степени многочлена, старший коэффициент $a_k \neq 0$.

По условию задачи, для всех значений $x$ справедливо равенство $p(-x) = -p(x)$. Это свойство нечётной функции.

Выразим левую и правую части этого равенства через коэффициенты многочлена.

Левая часть:

$p(-x) = a_k (-x)^k + a_{k-1} (-x)^{k-1} + \dots + a_1 (-x) + a_0 = \sum_{i=0}^{k} a_i (-1)^i x^i$

Правая часть:

$-p(x) = -(a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + \dots + a_1 x + a_0) = \sum_{i=0}^{k} (-a_i) x^i$

Приравнивая эти два выражения, получаем тождество:

$\sum_{i=0}^{k} a_i (-1)^i x^i = \sum_{i=0}^{k} (-a_i) x^i$

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях $x$. Следовательно, для каждого индекса $i$ от $0$ до $k$ должно выполняться равенство:

$a_i (-1)^i = -a_i$

Перенеся все члены в одну сторону, получим: $a_i (-1)^i + a_i = 0$, что эквивалентно $a_i ((-1)^i + 1) = 0$.

Это ключевое соотношение, которое мы используем для доказательства обоих пунктов.

а) k — нечётное натуральное число;

Рассмотрим полученное соотношение $a_i ((-1)^i + 1) = 0$ для старшего члена многочлена, то есть при $i=k$.

$a_k ((-1)^k + 1) = 0$

Поскольку $k$ — это степень многочлена, мы знаем, что старший коэффициент $a_k$ не равен нулю ($a_k \neq 0$).

Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю:

$(-1)^k + 1 = 0$

Отсюда следует, что $(-1)^k = -1$.

Это равенство истинно только в том случае, если показатель степени $k$ является нечётным числом.

Поскольку степень многочлена $k$ по определению является целым неотрицательным числом, а для ненулевого многочлена (что следует из $p(-x) = -p(x)$, так как для $x\neq0$ и $p(x)\neq0$ имеем $p(-x)\neq p(x)$) степень является натуральным числом или нулем, и мы доказали, что она нечетна, то $k$ — нечётное натуральное число (1, 3, 5, ...).

Ответ: Утверждение доказано.

б) коэффициенты многочлена p(x) при чётных степенях x равны нулю.

Вновь воспользуемся соотношением $a_i ((-1)^i + 1) = 0$ для произвольного коэффициента $a_i$.

Рассмотрим случай, когда индекс $i$ является чётным числом. Пусть $i = 2m$, где $m$ — целое неотрицательное число ($m=0, 1, 2, \dots$).

В этом случае $(-1)^i = (-1)^{2m} = 1$.

Подставим это значение в наше соотношение:

$a_i (1 + 1) = 0$

$2a_i = 0$

Из этого уравнения однозначно следует, что $a_i = 0$.

Таким образом, для всех чётных значений индекса $i$ (включая $i=0$, что соответствует свободному члену $a_0$) соответствующий коэффициент $a_i$ должен быть равен нулю.

Ответ: Утверждение доказано.

1.23. Выполните деление уголком:

а) $x^3 - 2x^2 + 3x - 5$ на $x^2 - 3x - 1$;

б) $2x^5 - 3x^3 - x + 2$ на $x - 2$;

в) $x^3 + 2x^2 + x + 3$ на $2x^2 - 3x - 4$;

г) $6x^4 - 2x + 3$ на $2x + 3$.

а)

Выполним деление многочлена $x^3 - 2x^2 + 3x - 5$ на многочлен $x^2 - 3x - 1$ столбиком.

1. Делим старший член делимого ($x^3$) на старший член делителя ($x^2$), получаем $x$. Это первый член частного. Умножаем $x$ на делитель $x^2 - 3x - 1$ и вычитаем результат из делимого:
   $(x^3 - 2x^2 + 3x - 5) - x(x^2 - 3x - 1) = (x^3 - 2x^2 + 3x - 5) - (x^3 - 3x^2 - x) = x^2 + 4x - 5$.
2. Делим старший член нового многочлена ($x^2$) на старший член делителя ($x^2$), получаем $1$. Это второй член частного. Умножаем $1$ на делитель и вычитаем результат из $x^2 + 4x - 5$:
   $(x^2 + 4x - 5) - 1(x^2 - 3x - 1) = (x^2 + 4x - 5) - (x^2 - 3x - 1) = 7x - 4$.

Степень остатка $7x - 4$ (равна 1) меньше степени делителя $x^2 - 3x - 1$ (равна 2), поэтому деление окончено.

Таким образом, частное (неполное частное) равно $x + 1$, а остаток от деления равен $7x - 4$.

Ответ: Частное $x + 1$, остаток $7x - 4$.

б)

Выполним деление многочлена $2x^5 - 3x^3 - x + 2$ на $x - 2$. Для удобства записи в делимом представим пропущенные степени с нулевыми коэффициентами: $2x^5 + 0x^4 - 3x^3 + 0x^2 - x + 2$.

1. Делим $2x^5$ на $x$, получаем $2x^4$. Остаток: $(2x^5 + 0x^4 - 3x^3 + ...) - 2x^4(x - 2) = 4x^4 - 3x^3 + ...$.
2. Делим $4x^4$ на $x$, получаем $4x^3$. Остаток: $(4x^4 - 3x^3 + ...) - 4x^3(x - 2) = 5x^3 + 0x^2 + ...$.
3. Делим $5x^3$ на $x$, получаем $5x^2$. Остаток: $(5x^3 + 0x^2 + ...) - 5x^2(x - 2) = 10x^2 - x + ...$.
4. Делим $10x^2$ на $x$, получаем $10x$. Остаток: $(10x^2 - x + ...) - 10x(x - 2) = 19x + 2$.
5. Делим $19x$ на $x$, получаем $19$. Остаток: $(19x + 2) - 19(x - 2) = 40$.

Степень остатка $40$ (равна 0) меньше степени делителя $x - 2$ (равна 1), поэтому деление окончено.

Частное равно $2x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 10x + 19$, а остаток равен $40$.

Ответ: Частное $2x^4 + 4x^3 + 5x^2 + 10x + 19$, остаток $40$.

в)

Выполним деление многочлена $x^3 + 2x^2 + x + 3$ на $2x^2 - 3x - 4$.

1. Делим $x^3$ на $2x^2$, получаем $\frac{1}{2}x$. Остаток: $(x^3 + 2x^2 + x + 3) - \frac{1}{2}x(2x^2 - 3x - 4) = (x^3 + 2x^2 + x + 3) - (x^3 - \frac{3}{2}x^2 - 2x) = \frac{7}{2}x^2 + 3x + 3$.
2. Делим $\frac{7}{2}x^2$ на $2x^2$, получаем $\frac{7}{4}$. Остаток: $(\frac{7}{2}x^2 + 3x + 3) - \frac{7}{4}(2x^2 - 3x - 4) = (\frac{7}{2}x^2 + 3x + 3) - (\frac{7}{2}x^2 - \frac{21}{4}x - 7) = (3 + \frac{21}{4})x + (3 + 7) = \frac{33}{4}x + 10$.

Степень остатка $\frac{33}{4}x + 10$ (равна 1) меньше степени делителя $2x^2 - 3x - 4$ (равна 2), поэтому деление окончено.

Частное равно $\frac{1}{2}x + \frac{7}{4}$, а остаток равен $\frac{33}{4}x + 10$.

Ответ: Частное $\frac{1}{2}x + \frac{7}{4}$, остаток $\frac{33}{4}x + 10$.

г)

Выполним деление многочлена $6x^4 - 2x + 3$ на $2x + 3$. Представим делимое в виде $6x^4 + 0x^3 + 0x^2 - 2x + 3$.

1. Делим $6x^4$ на $2x$, получаем $3x^3$. Остаток: $(6x^4 + 0x^3 + ...) - 3x^3(2x + 3) = -9x^3 + 0x^2 + ...$.
2. Делим $-9x^3$ на $2x$, получаем $-\frac{9}{2}x^2$. Остаток: $(-9x^3 + 0x^2 + ...) - (-\frac{9}{2}x^2)(2x + 3) = \frac{27}{2}x^2 - 2x + ...$.
3. Делим $\frac{27}{2}x^2$ на $2x$, получаем $\frac{27}{4}x$. Остаток: $(\frac{27}{2}x^2 - 2x + ...) - \frac{27}{4}x(2x + 3) = (-2 - \frac{81}{4})x + 3 = -\frac{89}{4}x + 3$.
4. Делим $-\frac{89}{4}x$ на $2x$, получаем $-\frac{89}{8}$. Остаток: $(-\frac{89}{4}x + 3) - (-\frac{89}{8})(2x + 3) = 3 + \frac{267}{8} = \frac{24+267}{8} = \frac{291}{8}$.

Степень остатка $\frac{291}{8}$ (равна 0) меньше степени делителя $2x + 3$ (равна 1), поэтому деление окончено.

Частное равно $3x^3 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{4}x - \frac{89}{8}$, а остаток равен $\frac{291}{8}$.

Ответ: Частное $3x^3 - \frac{9}{2}x^2 + \frac{27}{4}x - \frac{89}{8}$, остаток $\frac{291}{8}$.

1.24. a) Выпишите все приведённые многочлены, являющиеся делителями многочлена $3(x - 1)^2(x + 5)$.

б) Выпишите все приведённые многочлены третьей степени, являющиеся делителями многочлена $x^2(2x + 3)(x + 5)^3$.

а) Выпишите все приведённые многочлены, являющиеся делителями многочлена $3(x-1)^2(x+5)$.

Исходный многочлен: $P(x) = 3(x-1)^2(x+5)$. Приведённый многочлен — это многочлен, старший коэффициент которого равен 1. Делителями многочлена $P(x)$ являются многочлены вида $D(x) = c \cdot (x-1)^i \cdot (x+5)^j$, где $c$ — делитель числа 3, $i$ — целое число в пределах $0 \le i \le 2$, а $j$ — целое число в пределах $0 \le j \le 1$.

Многочлены $(x-1)$ и $(x+5)$ являются приведёнными, поэтому их произведение $(x-1)^i (x+5)^j$ также является приведённым многочленом (его старший коэффициент равен 1). Чтобы делитель $D(x) = c \cdot (x-1)^i \cdot (x+5)^j$ был приведённым, его старший коэффициент $c$ должен быть равен 1.

Следовательно, все приведённые многочлены-делители имеют вид $(x-1)^i(x+5)^j$. Перечислим все возможные комбинации, изменяя $i$ от 0 до 2 и $j$ от 0 до 1:
1. При $i=0, j=0 \implies (x-1)^0(x+5)^0 = 1$
2. При $i=1, j=0 \implies (x-1)^1(x+5)^0 = x-1$
3. При $i=2, j=0 \implies (x-1)^2(x+5)^0 = (x-1)^2$
4. При $i=0, j=1 \implies (x-1)^0(x+5)^1 = x+5$
5. При $i=1, j=1 \implies (x-1)^1(x+5)^1 = (x-1)(x+5)$
6. При $i=2, j=1 \implies (x-1)^2(x+5)^1 = (x-1)^2(x+5)$

Ответ: $1$, $x-1$, $x+5$, $(x-1)^2$, $(x-1)(x+5)$, $(x-1)^2(x+5)$.

б) Выпишите все приведённые многочлены третьей степени, являющиеся делителями многочлена $x^2(2x+3)(x+5)^3$.

Исходный многочлен: $P(x) = x^2(2x+3)(x+5)^3$. Мы ищем все приведённые многочлены третьей степени, которые являются его делителями. Для удобства представим многочлен $P(x)$ в виде произведения константы и приведённых сомножителей. Для этого вынесем коэффициент 2 из скобки $(2x+3)$: $P(x) = x^2 \cdot 2(x + \frac{3}{2}) \cdot (x+5)^3 = 2 \cdot x^2 \cdot (x + \frac{3}{2})^1 \cdot (x+5)^3$.

Любой приведённый делитель $D(x)$ должен иметь вид $D(x) = x^i(x+\frac{3}{2})^j(x+5)^k$. Степени $i, j, k$ ограничены кратностями соответствующих множителей в $P(x)$: $0 \le i \le 2$, $0 \le j \le 1$, $0 \le k \le 3$. Степень многочлена $D(x)$ равна $i+j+k$, и по условию она должна быть равна 3.

Рассмотрим все целочисленные решения уравнения $i+j+k=3$ с учётом указанных ограничений:
Случай 1: $j=0$. Уравнение принимает вид $i+k=3$. Возможные пары $(i, k)$ в рамках ограничений $0 \le i \le 2$ и $0 \le k \le 3$:
• $i=0, k=3 \implies D(x) = x^0(x+\frac{3}{2})^0(x+5)^3 = (x+5)^3$.
• $i=1, k=2 \implies D(x) = x^1(x+\frac{3}{2})^0(x+5)^2 = x(x+5)^2$.
• $i=2, k=1 \implies D(x) = x^2(x+\frac{3}{2})^0(x+5)^1 = x^2(x+5)$.

Случай 2: $j=1$. Уравнение принимает вид $i+k=2$. Возможные пары $(i, k)$ в рамках ограничений $0 \le i \le 2$ и $0 \le k \le 3$:
• $i=0, k=2 \implies D(x) = x^0(x+\frac{3}{2})^1(x+5)^2 = (x+\frac{3}{2})(x+5)^2$.
• $i=1, k=1 \implies D(x) = x^1(x+\frac{3}{2})^1(x+5)^1 = x(x+\frac{3}{2})(x+5)$.
• $i=2, k=0 \implies D(x) = x^2(x+\frac{3}{2})^1(x+5)^0 = x^2(x+\frac{3}{2})$.

Ответ: $(x+5)^3$, $x(x+5)^2$, $x^2(x+5)$, $(x+\frac{3}{2})(x+5)^2$, $x(x+\frac{3}{2})(x+5)$, $x^2(x+\frac{3}{2})$.