Страница 4, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

П.1. Определите знак выражения:

а) $sin \frac{\pi}{7} cos \frac{2\pi}{5} cos \frac{7\pi}{4} sin \frac{8\pi}{5};$

б) $cos \frac{27\pi}{5} sin \frac{32\pi}{11} cos \frac{50\pi}{9} sin \frac{22\pi}{7};$

в) $sin \frac{\pi}{6} cos \frac{4\pi}{7} cos \frac{3\pi}{5} sin \frac{9\pi}{5};$

г) $sin \frac{35\pi}{3} cos \frac{21\pi}{8} sin \frac{18\pi}{5} sin \frac{17\pi}{7}.$

Для определения знака выражения необходимо определить знак каждого из множителей и найти знак их произведения. Знак тригонометрической функции зависит от четверти, в которой находится угол.

• I четверть ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$): $sin \alpha > 0, cos \alpha > 0$
• II четверть ($\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$): $sin \alpha > 0, cos \alpha < 0$
• III четверть ($\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$): $sin \alpha < 0, cos \alpha < 0$
• IV четверть ($\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$): $sin \alpha < 0, cos \alpha > 0$

а) $sin \frac{\pi}{7} \cos \frac{2\pi}{5} \cos \frac{7\pi}{4} \sin \frac{8\pi}{5}$

Определим знак каждого множителя:

• $sin \frac{\pi}{7}$: так как $0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, угол находится в I четверти. $sin \frac{\pi}{7} > 0$ (плюс).
• $cos \frac{2\pi}{5}$: так как $0 < \frac{2\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$, угол находится в I четверти. $cos \frac{2\pi}{5} > 0$ (плюс).
• $cos \frac{7\pi}{4}$: представим угол как $2\pi - \frac{\pi}{4}$. Это IV четверть. $cos \frac{7\pi}{4} > 0$ (плюс).
• $sin \frac{8\pi}{5}$: представим угол как $2\pi - \frac{2\pi}{5}$. Это IV четверть. $sin \frac{8\pi}{5} < 0$ (минус).

Произведение знаков: $(+) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: знак минус.

б) $cos \frac{27\pi}{5} \sin \frac{32\pi}{11} \cos \frac{50\pi}{9} \sin \frac{22\pi}{7}$

Определим знак каждого множителя, предварительно упростив углы:

• $cos \frac{27\pi}{5} = cos(5\pi + \frac{2\pi}{5}) = cos(\pi + 2\pi \cdot 2 + \frac{2\pi}{5}) = cos(\pi + \frac{2\pi}{5})$. Угол в III четверти. $cos \frac{27\pi}{5} < 0$ (минус).
• $sin \frac{32\pi}{11} = sin(2\pi + \frac{10\pi}{11}) = sin(\frac{10\pi}{11})$. Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{10\pi}{11} < \pi$, угол во II четверти. $sin \frac{32\pi}{11} > 0$ (плюс).
• $cos \frac{50\pi}{9} = cos(5\pi + \frac{5\pi}{9}) = cos(\pi + \frac{5\pi}{9})$. Так как $\frac{5\pi}{9} > \frac{\pi}{2}$, угол $\pi + \frac{5\pi}{9}$ находится в IV четверти. $cos \frac{50\pi}{9} > 0$ (плюс).
• $sin \frac{22\pi}{7} = sin(3\pi + \frac{\pi}{7}) = sin(\pi + \frac{\pi}{7})$. Угол в III четверти. $sin \frac{22\pi}{7} < 0$ (минус).

Произведение знаков: $(-) \cdot (+) \cdot (+) \cdot (-) = (+)$.

Ответ: знак плюс.

в) $sin \frac{\pi}{6} \cos \frac{4\pi}{7} \cos \frac{3\pi}{5} \sin \frac{9\pi}{5}$

Определим знак каждого множителя:

• $sin \frac{\pi}{6}$: угол в I четверти, $sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} > 0$ (плюс).
• $cos \frac{4\pi}{7}$: так как $\frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{7} < \pi$, угол во II четверти. $cos \frac{4\pi}{7} < 0$ (минус).
• $cos \frac{3\pi}{5}$: так как $\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{5} < \pi$, угол во II четверти. $cos \frac{3\pi}{5} < 0$ (минус).
• $sin \frac{9\pi}{5} = sin(2\pi - \frac{\pi}{5})$. Угол в IV четверти. $sin \frac{9\pi}{5} < 0$ (минус).

Произведение знаков: $(+) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (-) = (-)$.

Ответ: знак минус.

г) $sin \frac{35\pi}{3} \cos \frac{21\pi}{8} \sin \frac{18\pi}{5} \sin \frac{17\pi}{7}$

Определим знак каждого множителя, предварительно упростив углы:

• $sin \frac{35\pi}{3} = sin(12\pi - \frac{\pi}{3}) = sin(-\frac{\pi}{3})$. Угол в IV четверти. $sin \frac{35\pi}{3} < 0$ (минус).
• $cos \frac{21\pi}{8} = cos(2\pi + \frac{5\pi}{8}) = cos(\frac{5\pi}{8})$. Так как $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{8} < \pi$, угол во II четверти. $cos \frac{21\pi}{8} < 0$ (минус).
• $sin \frac{18\pi}{5} = sin(4\pi - \frac{2\pi}{5}) = sin(-\frac{2\pi}{5})$. Угол в IV четверти. $sin \frac{18\pi}{5} < 0$ (минус).
• $sin \frac{17\pi}{7} = sin(2\pi + \frac{3\pi}{7}) = sin(\frac{3\pi}{7})$. Так как $0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$, угол в I четверти. $sin \frac{17\pi}{7} > 0$ (плюс).

Произведение знаков: $(-) \cdot (-) \cdot (-) \cdot (+) = (-)$.

Ответ: знак минус.

П.2. Запишите числа в порядке возрастания:

a) $\sin \frac{\pi}{3}$; $\sin \frac{7\pi}{5}$; $\sin \frac{2\pi}{5}$; $\sin \frac{6\pi}{7}$;

б) $\cos \frac{\pi}{4}$; $\cos \frac{5\pi}{7}$; $\cos \frac{9\pi}{5}$; $\cos \frac{3\pi}{8}$;

в) $\cos \frac{11\pi}{9}$; $\cos \frac{\pi}{8}$; $\cos \frac{2\pi}{5}$; $\cos \frac{16\pi}{9}$;

г) $\sin \frac{2\pi}{5}$; $\sin \frac{13\pi}{8}$; $\sin \frac{4\pi}{7}$; $\sin \frac{12\pi}{11}$.

а) Для того чтобы расположить числа $ \sin\frac{\pi}{3}, \sin\frac{7\pi}{5}, \sin\frac{2\pi}{5}, \sin\frac{6\pi}{7} $ в порядке возрастания, определим знаки и сравним их значения.
1. Определим, в какой четверти находится каждый угол:
• $ \frac{\pi}{3} $ — I четверть, $ \sin\frac{\pi}{3} > 0 $.
• $ \frac{7\pi}{5} = \pi + \frac{2\pi}{5} $ — III четверть, $ \sin\frac{7\pi}{5} < 0 $.
• $ \frac{2\pi}{5} $ — I четверть, $ \sin\frac{2\pi}{5} > 0 $.
• $ \frac{6\pi}{7} = \pi - \frac{\pi}{7} $ — II четверть, $ \sin\frac{6\pi}{7} > 0 $.
2. Очевидно, что наименьшее число — это отрицательное значение $ \sin\frac{7\pi}{5} $.
3. Сравним остальные (положительные) числа. Используя формулы приведения, получим:
$ \sin\frac{6\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{\pi}{7}) = \sin\frac{\pi}{7} $.
Теперь нужно сравнить $ \sin\frac{\pi}{3}, \sin\frac{2\pi}{5}, \sin\frac{\pi}{7} $.
Все углы $ \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{5}, \frac{\pi}{7} $ находятся в первой четверти, где функция $ y = \sin x $ возрастает. Поэтому большему углу соответствует большее значение синуса.
Сравним углы: $ \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{3} < \frac{2\pi}{5} $ (поскольку $ \frac{1}{7} \approx 0.14 $, $ \frac{1}{3} \approx 0.33 $, $ \frac{2}{5} = 0.4 $).
Следовательно, $ \sin\frac{\pi}{7} < \sin\frac{\pi}{3} < \sin\frac{2\pi}{5} $.
Это означает, что $ \sin\frac{6\pi}{7} < \sin\frac{\pi}{3} < \sin\frac{2\pi}{5} $.
4. Объединяя результаты, получаем итоговый порядок возрастания.

Ответ: $ \sin\frac{7\pi}{5}, \sin\frac{6\pi}{7}, \sin\frac{\pi}{3}, \sin\frac{2\pi}{5} $.

б) Для того чтобы расположить числа $ \cos\frac{\pi}{4}, \cos\frac{5\pi}{7}, \cos\frac{9\pi}{5}, \cos\frac{3\pi}{8} $ в порядке возрастания, определим знаки и сравним их значения.
1. Определим, в какой четверти находится каждый угол:
• $ \frac{\pi}{4} $ — I четверть, $ \cos\frac{\pi}{4} > 0 $.
• $ \frac{5\pi}{7} = \pi - \frac{2\pi}{7} $ — II четверть, $ \cos\frac{5\pi}{7} < 0 $.
• $ \frac{9\pi}{5} = 2\pi - \frac{\pi}{5} $ — IV четверть, $ \cos\frac{9\pi}{5} > 0 $.
• $ \frac{3\pi}{8} $ — I четверть, $ \cos\frac{3\pi}{8} > 0 $.
2. Наименьшее число — это отрицательное значение $ \cos\frac{5\pi}{7} $.
3. Сравним остальные (положительные) числа. Используя формулы приведения, получим:
$ \cos\frac{9\pi}{5} = \cos(2\pi - \frac{\pi}{5}) = \cos\frac{\pi}{5} $.
Теперь нужно сравнить $ \cos\frac{\pi}{4}, \cos\frac{\pi}{5}, \cos\frac{3\pi}{8} $.
Все углы $ \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{5}, \frac{3\pi}{8} $ находятся в первой четверти, где функция $ y = \cos x $ убывает. Поэтому большему углу соответствует меньшее значение косинуса.
Сравним углы: $ \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{8} $ (поскольку $ \frac{1}{5} = 0.2 $, $ \frac{1}{4} = 0.25 $, $ \frac{3}{8} = 0.375 $).
Следовательно, $ \cos\frac{\pi}{5} > \cos\frac{\pi}{4} > \cos\frac{3\pi}{8} $.
Это означает, что $ \cos\frac{9\pi}{5} > \cos\frac{\pi}{4} > \cos\frac{3\pi}{8} $.
4. В порядке возрастания положительные числа располагаются так: $ \cos\frac{3\pi}{8}, \cos\frac{\pi}{4}, \cos\frac{9\pi}{5} $. Объединяя результаты, получаем итоговый порядок.

Ответ: $ \cos\frac{5\pi}{7}, \cos\frac{3\pi}{8}, \cos\frac{\pi}{4}, \cos\frac{9\pi}{5} $.

в) Для того чтобы расположить числа $ \cos\frac{11\pi}{9}, \cos\frac{\pi}{8}, \cos\frac{2\pi}{5}, \cos\frac{16\pi}{9} $ в порядке возрастания, определим знаки и сравним их значения.
1. Определим, в какой четверти находится каждый угол:
• $ \frac{11\pi}{9} = \pi + \frac{2\pi}{9} $ — III четверть, $ \cos\frac{11\pi}{9} < 0 $.
• $ \frac{\pi}{8} $ — I четверть, $ \cos\frac{\pi}{8} > 0 $.
• $ \frac{2\pi}{5} $ — I четверть, $ \cos\frac{2\pi}{5} > 0 $.
• $ \frac{16\pi}{9} = 2\pi - \frac{2\pi}{9} $ — IV четверть, $ \cos\frac{16\pi}{9} > 0 $.
2. Наименьшее число — это отрицательное значение $ \cos\frac{11\pi}{9} $.
3. Сравним остальные (положительные) числа. Используя формулы приведения, получим:
$ \cos\frac{16\pi}{9} = \cos(2\pi - \frac{2\pi}{9}) = \cos\frac{2\pi}{9} $.
Теперь нужно сравнить $ \cos\frac{\pi}{8}, \cos\frac{2\pi}{5}, \cos\frac{2\pi}{9} $.
Все углы $ \frac{\pi}{8}, \frac{2\pi}{5}, \frac{2\pi}{9} $ находятся в первой четверти, где функция $ y = \cos x $ убывает.
Сравним углы: $ \frac{\pi}{8} < \frac{2\pi}{9} < \frac{2\pi}{5} $ (поскольку $ \frac{1}{8}=0.125 $, $ \frac{2}{9} \approx 0.222 $, $ \frac{2}{5}=0.4 $).
Следовательно, $ \cos\frac{\pi}{8} > \cos\frac{2\pi}{9} > \cos\frac{2\pi}{5} $.
Это означает, что $ \cos\frac{\pi}{8} > \cos\frac{16\pi}{9} > \cos\frac{2\pi}{5} $.
4. В порядке возрастания положительные числа располагаются так: $ \cos\frac{2\pi}{5}, \cos\frac{16\pi}{9}, \cos\frac{\pi}{8} $. Объединяя результаты, получаем итоговый порядок.

Ответ: $ \cos\frac{11\pi}{9}, \cos\frac{2\pi}{5}, \cos\frac{16\pi}{9}, \cos\frac{\pi}{8} $.

г) Для того чтобы расположить числа $ \sin\frac{2\pi}{5}, \sin\frac{13\pi}{8}, \sin\frac{4\pi}{7}, \sin\frac{12\pi}{11} $ в порядке возрастания, определим знаки и сравним их значения.
1. Определим, в какой четверти находится каждый угол:
• $ \frac{2\pi}{5} $ — I четверть, $ \sin\frac{2\pi}{5} > 0 $.
• $ \frac{13\pi}{8} = 2\pi - \frac{3\pi}{8} $ — IV четверть, $ \sin\frac{13\pi}{8} < 0 $.
• $ \frac{4\pi}{7} = \pi - \frac{3\pi}{7} $ — II четверть, $ \sin\frac{4\pi}{7} > 0 $.
• $ \frac{12\pi}{11} = \pi + \frac{\pi}{11} $ — III четверть, $ \sin\frac{12\pi}{11} < 0 $.
2. Сравним отрицательные значения. Используя формулы приведения:
$ \sin\frac{13\pi}{8} = \sin(2\pi - \frac{3\pi}{8}) = -\sin\frac{3\pi}{8} $.
$ \sin\frac{12\pi}{11} = \sin(\pi + \frac{\pi}{11}) = -\sin\frac{\pi}{11} $.
В первой четверти $ \frac{\pi}{11} < \frac{3\pi}{8} $, поэтому $ \sin\frac{\pi}{11} < \sin\frac{3\pi}{8} $.
Умножив на -1, получим $ -\sin\frac{\pi}{11} > -\sin\frac{3\pi}{8} $, то есть $ \sin\frac{12\pi}{11} > \sin\frac{13\pi}{8} $.
3. Сравним положительные значения. Используя формулы приведения:
$ \sin\frac{4\pi}{7} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{7}) = \sin\frac{3\pi}{7} $.
Нужно сравнить $ \sin\frac{2\pi}{5} $ и $ \sin\frac{3\pi}{7} $.
В первой четверти $ \frac{2\pi}{5} < \frac{3\pi}{7} $ (поскольку $ \frac{2}{5} = \frac{14}{35} $, а $ \frac{3}{7} = \frac{15}{35} $).
Так как $ \sin x $ возрастает в I четверти, $ \sin\frac{2\pi}{5} < \sin\frac{3\pi}{7} $, то есть $ \sin\frac{2\pi}{5} < \sin\frac{4\pi}{7} $.
4. Объединяя все сравнения, получаем итоговый порядок.

Ответ: $ \sin\frac{13\pi}{8}, \sin\frac{12\pi}{11}, \sin\frac{2\pi}{5}, \sin\frac{4\pi}{7} $.

П.3. Найдите значения $ \cos t, \operatorname{tg} t, \operatorname{ctg} t $, если:

a) $ \sin t = \frac{8}{17}, t \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right); $

б) $ \sin t = -\frac{7}{25}, t \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right); $

в) $ \sin t = \frac{9}{41}, t \in \left(\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right); $

г) $ \sin t = -\frac{35}{37}, t \in \left(\pi; \frac{3\pi}{2}\right). $

а)

Дано: $\sin t = \frac{8}{17}$ и $t \in (\frac{\pi}{2}; \pi)$.

Сначала найдем $\cos t$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (\frac{8}{17})^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289 - 64}{289} = \frac{225}{289}$.

Поскольку $t$ принадлежит второй четверти (интервал $(\frac{\pi}{2}; \pi)$), косинус угла $t$ отрицателен ($\cos t < 0$).

Следовательно, $\cos t = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс:

$\tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{8/17}{-15/17} = -\frac{8}{15}$.

$\cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{-15/17}{8/17} = -\frac{15}{8}$.

Ответ: $\cos t = -\frac{15}{17}$, $\tan t = -\frac{8}{15}$, $\cot t = -\frac{15}{8}$.

б)

Дано: $\sin t = -\frac{7}{25}$ и $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.

Найдем $\cos t$ из тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (-\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{625 - 49}{625} = \frac{576}{625}$.

Интервал $t \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ включает первую и четвертую четверти. Так как $\sin t < 0$, угол $t$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен ($\cos t > 0$).

Следовательно, $\cos t = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс:

$\tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-7/25}{24/25} = -\frac{7}{24}$.

$\cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{24/25}{-7/25} = -\frac{24}{7}$.

Ответ: $\cos t = \frac{24}{25}$, $\tan t = -\frac{7}{24}$, $\cot t = -\frac{24}{7}$.

в)

Дано: $\sin t = \frac{9}{41}$ и $t \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$.

Найдем $\cos t$ из тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (\frac{9}{41})^2 = 1 - \frac{81}{1681} = \frac{1681 - 81}{1681} = \frac{1600}{1681}$.

Интервал $t \in (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2})$ включает вторую и третью четверти. Так как $\sin t > 0$, угол $t$ находится во второй четверти, где косинус отрицателен ($\cos t < 0$).

Следовательно, $\cos t = -\sqrt{\frac{1600}{1681}} = -\frac{40}{41}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс:

$\tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{9/41}{-40/41} = -\frac{9}{40}$.

$\cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{-40/41}{9/41} = -\frac{40}{9}$.

Ответ: $\cos t = -\frac{40}{41}$, $\tan t = -\frac{9}{40}$, $\cot t = -\frac{40}{9}$.

г)

Дано: $\sin t = -\frac{35}{37}$ и $t \in (\pi; \frac{3\pi}{2})$.

Найдем $\cos t$ из тождества $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$.

$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t = 1 - (-\frac{35}{37})^2 = 1 - \frac{1225}{1369} = \frac{1369 - 1225}{1369} = \frac{144}{1369}$.

Угол $t$ принадлежит третьей четверти (интервал $(\pi; \frac{3\pi}{2})$), где косинус отрицателен ($\cos t < 0$).

Следовательно, $\cos t = -\sqrt{\frac{144}{1369}} = -\frac{12}{37}$.

Теперь найдем тангенс и котангенс:

$\tan t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-35/37}{-12/37} = \frac{35}{12}$.

$\cot t = \frac{\cos t}{\sin t} = \frac{-12/37}{-35/37} = \frac{12}{35}$.

Ответ: $\cos t = -\frac{12}{37}$, $\tan t = \frac{35}{12}$, $\cot t = \frac{12}{35}$.