Страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

5.18. Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt[6]{x^3 - 6x^2 + 11x - 6} + \sqrt{6x^3 + 17x^2 + 6x - 8};$

б) $y = \sqrt[4]{\frac{2x^3 - 3x^2 - 3x + 2}{x^3 - 9x^2 + 20x - 12}};$

в) $y = \sqrt[6]{2x^3 - 11x^2 + 18x - 9} - \sqrt[4]{\frac{1}{4x^3 - 11x^2 + 6,5x - 1}};$

г) $y = \sqrt[8]{\frac{6x^3 + 11x^2 - 19x + 6}{x^3 - 8,25x^2 + 14x - 3}};$

а) $y = \sqrt[6]{x^3 - 6x^2 + 11x - 6} + \sqrt{6x^3 + 17x^2 + 6x - 8}$

Область определения функции задается системой неравенств, так как подкоренные выражения корней четной степени должны быть неотрицательны:

$\begin{cases} x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \geq 0 \\ 6x^3 + 17x^2 + 6x - 8 \geq 0 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \geq 0$.

Найдем корни многочлена $P_1(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$. Целочисленные корни ищем среди делителей свободного члена (-6): $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$.

$P_1(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$, следовательно, $x=1$ является корнем.

$P_1(2) = 8 - 6(4) + 11(2) - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0$, следовательно, $x=2$ является корнем.

$P_1(3) = 27 - 6(9) + 11(3) - 6 = 27 - 54 + 33 - 6 = 0$, следовательно, $x=3$ является корнем.

Таким образом, многочлен раскладывается на множители: $(x-1)(x-2)(x-3) \geq 0$.

Решая методом интервалов, получаем: $x \in [1, 2] \cup [3, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $6x^3 + 17x^2 + 6x - 8 \geq 0$.

Найдем корни многочлена $P_2(x) = 6x^3 + 17x^2 + 6x - 8$. Рациональные корни ищем по теореме о рациональных корнях.

$P_2(-2) = 6(-8) + 17(4) + 6(-2) - 8 = -48 + 68 - 12 - 8 = 0$, следовательно, $x=-2$ является корнем.

$P_2(1/2) = 6(1/8) + 17(1/4) + 6(1/2) - 8 = 3/4 + 17/4 + 3 - 8 = 20/4 - 5 = 0$, следовательно, $x=1/2$ является корнем.

$P_2(-4/3) = 6(-64/27) + 17(16/9) + 6(-4/3) - 8 = -128/9 + 272/9 - 8 - 8 = 144/9 - 16 = 16 - 16 = 0$, следовательно, $x=-4/3$ является корнем.

Таким образом, многочлен раскладывается на множители: $6(x+2)(x-1/2)(x+4/3) \geq 0$ или $(x+2)(2x-1)(3x+4) \geq 0$.

Решая методом интервалов (корни: -2, -4/3, 1/2), получаем: $x \in [-2, -4/3] \cup [1/2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение областей решений двух неравенств:

$x \in ([1, 2] \cup [3, +\infty)) \cap ([-2, -4/3] \cup [1/2, +\infty))$.

Пересечение дает: $x \in [1, 2] \cup [3, +\infty)$.

Ответ: $x \in [1, 2] \cup [3, +\infty)$.

б) $y = \sqrt[4]{\frac{2x^3 - 3x^2 - 3x + 2}{x^3 - 9x^2 + 20x - 12}}$

Область определения функции задается неравенством, так как подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательно, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$\frac{2x^3 - 3x^2 - 3x + 2}{x^3 - 9x^2 + 20x - 12} \geq 0$

1. Разложим числитель $N(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 2$ на множители. Корнями являются $x=-1, x=2, x=1/2$.

$N(x) = 2(x+1)(x-2)(x-1/2) = (x+1)(x-2)(2x-1)$.

2. Разложим знаменатель $D(x) = x^3 - 9x^2 + 20x - 12$ на множители. Корнями являются $x=1, x=2, x=6$.

$D(x) = (x-1)(x-2)(x-6)$.

3. Неравенство принимает вид:

$\frac{(x+1)(x-2)(2x-1)}{(x-1)(x-2)(x-6)} \geq 0$

При $x \neq 2$ можно сократить множитель $(x-2)$. Получим неравенство:

$\frac{(x+1)(2x-1)}{(x-1)(x-6)} \geq 0$

Решаем методом интервалов. Корни числителя: -1, 1/2. Корни знаменателя: 1, 6. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы.

Проверяя знаки на интервалах $(-\infty, -1], [-1, 1/2], [1/2, 1), (1, 6), (6, +\infty)$, получаем:

$x \in (-\infty, -1] \cup [1/2, 1) \cup (6, +\infty)$.

Точка $x=2$, которую мы исключили, не входит в полученное решение, поэтому дополнительно ничего исключать не нужно.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup [1/2, 1) \cup (6, +\infty)$.

в) $y = \sqrt[6]{2x^3 - 11x^2 + 18x - 9} - \sqrt[4]{\frac{1}{4x^3 - 11x^2 + 6,5x - 1}}$

Область определения функции задается системой неравенств:

$\begin{cases} 2x^3 - 11x^2 + 18x - 9 \geq 0 \\ \frac{1}{4x^3 - 11x^2 + 6,5x - 1} \geq 0 \end{cases}$

Второе неравенство равносильно строгому неравенству $4x^3 - 11x^2 + 6,5x - 1 > 0$, так как числитель дроби (1) положителен.

1. Решим первое неравенство: $2x^3 - 11x^2 + 18x - 9 \geq 0$.

Найдем корни многочлена $P_1(x) = 2x^3 - 11x^2 + 18x - 9$. Корнями являются $x=1, x=3/2, x=3$.

Разложение на множители: $2(x-1)(x-3/2)(x-3) \geq 0$ или $(x-1)(2x-3)(x-3) \geq 0$.

Решая методом интервалов, получаем: $x \in [1, 3/2] \cup [3, +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $4x^3 - 11x^2 + 6,5x - 1 > 0$.

Умножим на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами: $8x^3 - 22x^2 + 13x - 2 > 0$.

Найдем корни многочлена $P_2(x) = 8x^3 - 22x^2 + 13x - 2$. Корнями являются $x=1/4, x=1/2, x=2$.

Разложение на множители: $8(x-1/4)(x-1/2)(x-2) > 0$ или $(4x-1)(2x-1)(x-2) > 0$.

Решая методом интервалов, получаем: $x \in (1/4, 1/2) \cup (2, +\infty)$.

3. Найдем пересечение областей решений:

$x \in ([1, 1.5] \cup [3, +\infty)) \cap ((0.25, 0.5) \cup (2, +\infty))$.

Интервал $[1, 1.5]$ не пересекается со вторым множеством. Интервал $[3, +\infty)$ полностью содержится в интервале $(2, +\infty)$.

Пересечение: $x \in [3, +\infty)$.

Ответ: $x \in [3, +\infty)$.

г) $y = \sqrt[8]{\frac{6x^3 + 11x^2 - 19x + 6}{x^3 - 8,25x^2 + 14x - 3}}$

Область определения функции задается неравенством:

$\frac{6x^3 + 11x^2 - 19x + 6}{x^3 - 8,25x^2 + 14x - 3} \geq 0$

1. Разложим числитель $N(x) = 6x^3 + 11x^2 - 19x + 6$ на множители. Корнями являются $x=-3, x=1/2, x=2/3$.

$N(x) = 6(x+3)(x-1/2)(x-2/3) = (x+3)(2x-1)(3x-2)$.

2. Разложим знаменатель $D(x) = x^3 - 8,25x^2 + 14x - 3$ на множители. Умножим на 4 для удобства: $4x^3 - 33x^2 + 56x - 12$. Корнями являются $x=1/4, x=2, x=6$.

$D(x) = (x-1/4)(x-2)(x-6)$.

3. Неравенство принимает вид:

$\frac{(x+3)(2x-1)(3x-2)}{(x-1/4)(x-2)(x-6)} \geq 0$

Решаем методом интервалов. Корни числителя (включаются): -3, 1/2, 2/3. Корни знаменателя (исключаются): 1/4, 2, 6.

Точки на числовой прямой в порядке возрастания: -3, 1/4, 1/2, 2/3, 2, 6.

Проверяя знаки на интервалах, получаем решение:

$x \in (-\infty, -3] \cup (1/4, 1/2] \cup [2/3, 2) \cup (6, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -3] \cup (1/4, 1/2] \cup [2/3, 2) \cup (6, +\infty)$.

5.19. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = \sqrt[4]{x}$:

а) на отрезке $[0; 1]$;

б) на полуинтервале $[1; 3)$;

в) на отрезке $[5; 16]$;

г) на луче $[16; +\infty)$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \sqrt[4]{x}$ проанализируем её поведение.

Область определения функции — $x \ge 0$.

Найдем производную функции: $y' = (x^{1/4})' = \frac{1}{4}x^{1/4 - 1} = \frac{1}{4}x^{-3/4} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Для всех $x$ из области определения, где производная существует ($x > 0$), значение производной $y'$ положительно ($y' > 0$). Это означает, что функция $y = \sqrt[4]{x}$ является строго возрастающей на всей своей области определения $[0; +\infty)$.

Для возрастающей функции её наименьшее значение на некотором промежутке достигается в его левой конечной точке (если она включена в промежуток), а наибольшее — в правой конечной точке (если она включена).

а) на отрезке [0; 1]

Так как функция возрастает на отрезке $[0; 1]$, наименьшее значение она принимает в начале отрезка, а наибольшее — в конце.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = \sqrt[4]{0} = 0$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = \sqrt[4]{1} = 1$.

Ответ: наименьшее значение $0$, наибольшее значение $1$.

б) на полуинтервале [1; 3)

Функция возрастает на полуинтервале $[1; 3)$. Левая граница $x=1$ принадлежит промежутку, поэтому наименьшее значение достигается в этой точке.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = \sqrt[4]{1} = 1$.

Правая граница $x=3$ не принадлежит промежутку. При приближении $x$ к $3$ слева, значения функции $y(x)$ стремятся к $\sqrt[4]{3}$, но никогда не достигают этого значения. Таким образом, наибольшего значения на данном полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшего значения не существует.

в) на отрезке [5; 16]

Функция возрастает на отрезке $[5; 16]$. Наименьшее значение достигается при $x=5$, а наибольшее — при $x=16$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(5) = \sqrt[4]{5}$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(16) = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.

Ответ: наименьшее значение $\sqrt[4]{5}$, наибольшее значение $2$.

г) на луче [16; +∞)

Функция возрастает на луче $[16; +\infty)$. Левая граница $x=16$ принадлежит промежутку, поэтому в этой точке достигается наименьшее значение.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(16) = \sqrt[4]{16} = 2$.

Так как промежуток неограничен справа, и функция постоянно возрастает, её значения неограниченно растут при $x \to +\infty$. Следовательно, наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение $2$, наибольшего значения не существует.

5.20. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = \sqrt[5]{x}$:

а) на отрезке $[-1; 1];$

б) на луче $(-\infty; 1];$

в) на отрезке $[-32; 32];$

г) на луче $[2; +\infty).$

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = \sqrt[5]{x}$ на указанных промежутках, сначала исследуем её свойства.

Функция $y = \sqrt[5]{x}$ определена для всех действительных чисел $x \in (-\infty; +\infty)$. Это функция корня нечетной степени, которая является строго возрастающей на всей своей области определения.

Докажем это с помощью производной. Представим функцию в виде $y = x^{1/5}$. Её производная: $y' = (x^{1/5})' = \frac{1}{5}x^{1/5-1} = \frac{1}{5}x^{-4/5} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

Выражение $x^4$ всегда неотрицательно ($x^4 \ge 0$), поэтому и корень $\sqrt[5]{x^4}$ также неотрицателен. Производная $y'$ положительна для всех $x \neq 0$. В точке $x=0$ производная не определена (касательная к графику в этой точке вертикальна), но сама функция непрерывна. Поскольку производная положительна на $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, функция $y=\sqrt[5]{x}$ строго возрастает на всей числовой оси.

Для строго возрастающей функции на отрезке $[a; b]$ наименьшее значение достигается на левом конце ($x=a$), а наибольшее — на правом ($x=b$).

а) на отрезке [-1; 1]

Так как функция строго возрастает, наименьшее значение она принимает в точке $x = -1$, а наибольшее — в точке $x = 1$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = \sqrt[5]{-1} = -1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = \sqrt[5]{1} = 1$.

Ответ: наименьшее значение равно -1, наибольшее значение равно 1.

б) на луче (-∞; 1]

На данном луче функция строго возрастает. Наибольшее значение достигается на правом конце промежутка, в точке $x = 1$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = \sqrt[5]{1} = 1$.

При $x \to -\infty$, значения функции $y = \sqrt[5]{x}$ также стремятся к $-\infty$. Следовательно, наименьшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наибольшее значение равно 1, наименьшего значения не существует.

в) на отрезке [-32; 32]

На отрезке $[-32; 32]$ функция строго возрастает. Наименьшее значение достигается в точке $x = -32$, а наибольшее — в точке $x = 32$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-32) = \sqrt[5]{-32} = \sqrt[5]{(-2)^5} = -2$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(32) = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.

Ответ: наименьшее значение равно -2, наибольшее значение равно 2.

г) на луче [2; +∞)

На луче $[2; +\infty)$ функция строго возрастает. Наименьшее значение достигается на левом конце промежутка, в точке $x = 2$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(2) = \sqrt[5]{2}$.

При $x \to +\infty$, значения функции $y = \sqrt[5]{x}$ также стремятся к $+\infty$. Следовательно, наибольшего значения на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение равно $\sqrt[5]{2}$, наибольшего значения не существует.

5.21. Найдите наименьшее значение функции:

а) $y = \sqrt[4]{x^2 - 6x + 8};$

б) $y = \sqrt[6]{x^2 + 6x + 13}.$

а) Дана функция $y = \sqrt[4]{x^2 - 6x + 8}$.
Функция корня четной степени $g(u) = \sqrt[4]{u}$ является монотонно возрастающей на своей области определения ($u \ge 0$). Это означает, что наименьшее значение функции $y$ будет достигаться тогда, когда подкоренное выражение $f(x) = x^2 - 6x + 8$ принимает свое наименьшее возможное неотрицательное значение.
Сначала найдем область определения функции $y$. Для этого подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^2 - 6x + 8 \ge 0$.
Решим уравнение $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.
Поскольку графиком функции $f(x)$ является парабола с ветвями, направленными вверх, неравенство $f(x) \ge 0$ выполняется для $x \in (-\infty, 2] \cup [4, \infty)$. Это и есть область определения исходной функции $y$.
Теперь нам нужно найти наименьшее значение выражения $f(x) = x^2 - 6x + 8$ на этой области определения. Вершина параболы $f(x)$ находится в точке с абсциссой $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$. Точка $x=3$ не входит в область определения функции $y$.
На промежутке $(-\infty, 2]$ функция $f(x)$ убывает, а на промежутке $[4, \infty)$ — возрастает. Следовательно, наименьшее значение подкоренного выражения на области определения функции $y$ достигается в точках $x=2$ и $x=4$.
Вычислим значение $f(x)$ в этих точках: $f(2) = 2^2 - 6(2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0$.
$f(4) = 4^2 - 6(4) + 8 = 16 - 24 + 8 = 0$.
Итак, наименьшее значение подкоренного выражения на области определения функции $y$ равно 0.
Следовательно, наименьшее значение функции $y$ равно: $y_{min} = \sqrt[4]{0} = 0$.
Ответ: 0.

б) Дана функция $y = \sqrt[6]{x^2 + 6x + 13}$.
Аналогично предыдущему пункту, функция $g(u) = \sqrt[6]{u}$ является возрастающей, поэтому наименьшее значение $y$ достигается при наименьшем значении подкоренного выражения $f(x) = x^2 + 6x + 13$.
Найдем наименьшее значение квадратичной функции $f(x) = x^2 + 6x + 13$. Ее график — парабола с ветвями вверх, значит, наименьшее значение достигается в вершине.
Абсцисса вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$.
Найдем наименьшее значение, подставив $x_v$ в функцию $f(x)$: $f_{min} = f(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 13 = 9 - 18 + 13 = 4$.
Поскольку наименьшее значение подкоренного выражения $f(x)$ равно 4, оно всегда положительно ($4 > 0$). Это означает, что область определения функции $y$ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
Теперь найдем наименьшее значение функции $y$: $y_{min} = \sqrt[6]{f_{min}} = \sqrt[6]{4}$.
Упростим полученное значение: $\sqrt[6]{4} = \sqrt[6]{2^2} = 2^{\frac{2}{6}} = 2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$.
Ответ: $\sqrt[3]{2}$.

Найдите область значений функции:

5.22. a) $y = \sqrt[4]{x+1}$;

б) $y = \sqrt[5]{x-2}$;

в) $y = \sqrt[7]{x+3}$;

г) $y = \sqrt[6]{x-4}$.

а) $y = \sqrt[4]{x} + 1$

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать переменная $y$.

Функция содержит корень четной степени (корень 4-й степени). По определению арифметического корня, значение выражения $\sqrt[4]{x}$ всегда неотрицательно, то есть $\sqrt[4]{x} \ge 0$. Это верно для всех $x$ из области определения функции ($x \ge 0$).

Чтобы найти область значений для всей функции $y$, мы прибавляем 1 к обеим частям неравенства:

$\sqrt[4]{x} + 1 \ge 0 + 1$

Отсюда следует, что $y \ge 1$.

Таким образом, область значений функции — это промежуток от 1, включая 1, до плюс бесконечности.

Ответ: $E(y) = [1; +\infty)$.

б) $y = \sqrt[5]{x} - 2$

Функция содержит корень нечетной степени (корень 5-й степени). Корень нечетной степени из любого действительного числа является действительным числом. Это означает, что выражение $\sqrt[5]{x}$ может принимать любые значения от $-\infty$ до $+\infty$.

Функция $y = \sqrt[5]{x} - 2$ получается из функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$ сдвигом ее графика на 2 единицы вниз по оси ординат. Поскольку исходная область значений — это все действительные числа, сдвиг на константу не меняет этого множества.

Следовательно, область значений функции $y$ также является множеством всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[7]{x} + 3$

Эта функция содержит корень нечетной степени (корень 7-й степени). Как и в предыдущем случае, выражение $\sqrt[7]{x}$ может принимать любое действительное значение, так как область его значений — $(-\infty; +\infty)$.

Прибавление константы 3 к $\sqrt[7]{x}$ означает сдвиг графика функции $f(x) = \sqrt[7]{x}$ на 3 единицы вверх. Этот сдвиг не влияет на то, что функция может принимать любое значение на числовой прямой.

Таким образом, область значений функции $y$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) $y = \sqrt[6]{x} - 4$

Функция содержит корень четной степени (корень 6-й степени). Значение выражения $\sqrt[6]{x}$ всегда неотрицательно, то есть $\sqrt[6]{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$).

Чтобы найти область значений функции $y$, мы вычитаем 4 из обеих частей неравенства:

$\sqrt[6]{x} - 4 \ge 0 - 4$

Отсюда следует, что $y \ge -4$.

Значит, область значений функции — это промежуток от -4, включая -4, до плюс бесконечности.

Ответ: $E(y) = [-4; +\infty)$.

5.23. a) $y = 2 + \sqrt[4]{x};$

б) $y = \sqrt[5]{x} - 3;$

В) $y = \sqrt[6]{x} - 3;$

Г) $y = 2 + \sqrt[3]{x}.$

а) Дана функция $y = 2 + \sqrt[4]{x}$.

Область определения функции находится из условия, что выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным. В данном случае у нас корень четвертой степени (четная степень).

Следовательно, необходимо выполнить условие:

$x \ge 0$

Таким образом, область определения функции — это множество всех неотрицательных действительных чисел.

Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$.

б) Дана функция $y = \sqrt[5]{x - 3}$.

Область определения функции, содержащей корень нечетной степени (в данном случае — пятой), не имеет ограничений для подкоренного выражения. Выражение под корнем нечетной степени может быть любым действительным числом.

Следовательно, выражение $x - 3$ определено для любого значения $x$.

Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

в) Дана функция $y = \sqrt[6]{x} - 3$.

Область определения этой функции зависит от выражения под корнем. Так как корень шестой степени (четная степень), подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Получаем неравенство:

$x \ge 0$

Вычитание константы 3 не влияет на область определения.

Таким образом, область определения функции — это множество всех неотрицательных действительных чисел.

Ответ: $D(y) = [0; +\infty)$.

г) Дана функция $y = 2 + \sqrt[3]{x}$.

В этой функции присутствует корень третьей степени (нечетная степень). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа под ним.

Следовательно, переменная $x$ может принимать любые действительные значения.

Таким образом, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

5.24. a) $y = \sqrt[3]{x^2 - 8};$

б) $y = \sqrt[5]{32 - 2x^2}.$

а) $y = \sqrt[3]{x^2 - 8}$

Для нахождения производной данной функции необходимо воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Для этого представим функцию в виде степени:

$y = (x^2 - 8)^{1/3}$

Производная сложной функции вида $y = f(g(x))$ находится по формуле $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В данном случае, внешняя функция $f(u) = u^{1/3}$, а внутренняя функция $g(x) = x^2 - 8$.

Находим производные этих функций:

$f'(u) = (u^{1/3})' = \frac{1}{3}u^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}u^{-2/3}$

$g'(x) = (x^2 - 8)' = 2x$

Теперь, согласно цепному правилу, перемножаем производные:

$y' = \frac{1}{3}(x^2 - 8)^{-2/3} \cdot (2x)$

Упростим полученное выражение:

$y' = \frac{2x}{3(x^2 - 8)^{2/3}}$

Или, возвращаясь к записи с корнем:

$y' = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 - 8)^2}}$

Ответ: $y' = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 - 8)^2}}$

б) $y = \sqrt[5]{32 - 2x^2}$

Решение аналогично предыдущему пункту. Применяем цепное правило. Сначала представим функцию в виде степени:

$y = (32 - 2x^2)^{1/5}$

Здесь внешняя функция $f(u) = u^{1/5}$, а внутренняя функция $g(x) = 32 - 2x^2$.

Находим производные внешней и внутренней функций:

$f'(u) = (u^{1/5})' = \frac{1}{5}u^{1/5 - 1} = \frac{1}{5}u^{-4/5}$

$g'(x) = (32 - 2x^2)' = -4x$

Применяем цепное правило, перемножая производные:

$y' = \frac{1}{5}(32 - 2x^2)^{-4/5} \cdot (-4x)$

Упрощаем выражение:

$y' = -\frac{4x}{5(32 - 2x^2)^{4/5}}$

Запишем ответ с использованием знака корня:

$y' = -\frac{4x}{5\sqrt[5]{(32 - 2x^2)^4}}$

Ответ: $y' = -\frac{4x}{5\sqrt[5]{(32 - 2x^2)^4}}$

5.25. a) $y = \sqrt{35 + 2x - x^2}$;

б) $y = \sqrt[6]{2x^2 - 4x - 1}$;

В) $y = \sqrt[4]{12 - 4x - x^2}$;

Г) $y = \sqrt[8]{x^2 + 2x + 3}$.

Для нахождения области определения каждой из предложенных функций необходимо учесть, что выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным.

а) $y = \sqrt{35 + 2x - x^2}$

Область определения функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень квадратный (четной степени).

Решим неравенство:

$35 + 2x - x^2 \geq 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x - 35 \leq 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 35 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-35) = 4 + 140 = 144$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 12}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 12}{2} = 7$

Графиком функции $f(x) = x^2 - 2x - 35$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение $x^2 - 2x - 35$ принимает неположительные значения на отрезке между корнями.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-5; 7]$.

Ответ: $x \in [-5; 7]$.

б) $y = \sqrt[6]{2x^2 - 4x - 1}$

Область определения функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень 6-й степени (четной).

Решим неравенство:

$2x^2 - 4x - 1 \geq 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 4x - 1 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 16 + 8 = 24$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{4 - 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{24}}{2 \cdot 2} = \frac{4 + 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$

Графиком функции $f(x) = 2x^2 - 4x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, выражение $2x^2 - 4x - 1$ принимает неотрицательные значения на промежутках вне отрезка между корнями.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty; \frac{2 - \sqrt{6}}{2}] \cup [\frac{2 + \sqrt{6}}{2}; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2 - \sqrt{6}}{2}] \cup [\frac{2 + \sqrt{6}}{2}; +\infty)$.

в) $y = \sqrt[4]{12 - 4x - x^2}$

Область определения функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень 4-й степени (четной).

Решим неравенство:

$12 - 4x - x^2 \geq 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x^2 + 4x - 12 \leq 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 4x - 12 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 8}{2} = -6$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 8}{2} = 2$

Графиком функции $f(x) = x^2 + 4x - 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, выражение $x^2 + 4x - 12$ принимает неположительные значения на отрезке между корнями.

Таким образом, решением неравенства является промежуток $[-6; 2]$.

Ответ: $x \in [-6; 2]$.

г) $y = \sqrt[8]{x^2 + 2x + 3}$

Область определения функции задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень 8-й степени (четной).

Решим неравенство:

$x^2 + 2x + 3 \geq 0$

Рассмотрим квадратный трехчлен $x^2 + 2x + 3$. Найдем дискриминант соответствующего уравнения $x^2 + 2x + 3 = 0$.

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), а старший коэффициент (при $x^2$) положителен ($a = 1 > 0$), то парабола $y = x^2 + 2x + 3$ полностью лежит выше оси абсцисс и не имеет точек пересечения с ней. Это означает, что выражение $x^2 + 2x + 3$ положительно при любых действительных значениях $x$.

Следовательно, неравенство $x^2 + 2x + 3 \geq 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

5.26. Найдите, если это возможно, наименьшее и (или) наибольшее целое число, принадлежащее области значений функции:

а) $y = \sqrt[4]{16 + 4x - 4x^2}$;

б) $y = \sqrt[5]{x^2 - 4x + 35}$;

в) $y = \sqrt[6]{3x^2 - 6x - 4}$;

г) $y = \sqrt[3]{1 - x^2 + 6x}$.

а) $y = \sqrt[4]{16 + 4x - 4x^2}$

Для нахождения области значений функции необходимо сначала найти область значений подкоренного выражения $f(x) = 16 + 4x - 4x^2$. Так как корень четной степени (4-й), подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $16 + 4x - 4x^2 \ge 0$.

Подкоренное выражение $f(x) = -4x^2 + 4x + 16$ является квадратичной функцией. График этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-4 < 0$). Следовательно, функция $f(x)$ имеет наибольшее значение в своей вершине.

Координата $x_v$ вершины параболы находится по формуле $x_v = -b / (2a)$:
$x_v = -4 / (2 \cdot (-4)) = -4 / (-8) = 1/2$.

Наибольшее значение подкоренного выражения равно значению функции $f(x)$ в точке $x_v = 1/2$:
$f_{max} = f(1/2) = -4(1/2)^2 + 4(1/2) + 16 = -4(1/4) + 2 + 16 = -1 + 2 + 16 = 17$.

Таким образом, с учетом условия $f(x) \ge 0$, область значений подкоренного выражения — это отрезок $[0, 17]$.

Функция $y = \sqrt[4]{z}$ является возрастающей на своей области определения. Следовательно, область значений исходной функции $y$ — это отрезок $[\sqrt[4]{0}, \sqrt[4]{17}]$, то есть $[0, \sqrt[4]{17}]$.

Теперь найдем целые числа, принадлежащие этому отрезку. Наименьшее значение функции равно 0, что является целым числом. Для нахождения наибольшего целого числа оценим $\sqrt[4]{17}$. Поскольку $2^4 = 16$ и $3^4 = 81$, то $2 < \sqrt[4]{17} < 3$. Значит, наибольшее целое число в отрезке $[0, \sqrt[4]{17}]$ равно 2.

Ответ: наименьшее целое число 0, наибольшее целое число 2.

б) $y = \sqrt[5]{x^2 - 4x + 35}$

Поскольку корень нечетной степени (5-й), подкоренное выражение $g(x) = x^2 - 4x + 35$ может принимать любые действительные значения. Область значений функции $y$ определяется областью значений функции $g(x)$.

Функция $g(x) = x^2 - 4x + 35$ — квадратичная, её график — парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен: $1 > 0$). Следовательно, функция $g(x)$ имеет наименьшее значение.

Найдем вершину параболы: $x_v = -(-4) / (2 \cdot 1) = 2$.

Наименьшее значение подкоренного выражения равно:
$g_{min} = g(2) = 2^2 - 4(2) + 35 = 4 - 8 + 35 = 31$.

Область значений подкоренного выражения — $[31, +\infty)$.

Функция $y = \sqrt[5]{z}$ является возрастающей. Таким образом, область значений исходной функции $y$ — это промежуток $[\sqrt[5]{31}, +\infty)$.

Найдем наименьшее целое число в этом промежутке. Оценим $\sqrt[5]{31}$. Так как $1^5 = 1$ и $2^5 = 32$, то $1 < \sqrt[5]{31} < 2$. Следовательно, наименьшее целое число, входящее в область значений функции, — это 2. Наибольшего целого числа не существует, так как область значений не ограничена сверху.

Ответ: наименьшее целое число 2, наибольшего не существует.

в) $y = \sqrt[6]{3x^2 - 6x - 4}$

Так как корень четной степени (6-й), подкоренное выражение $h(x) = 3x^2 - 6x - 4$ должно быть неотрицательным: $h(x) \ge 0$.

Рассмотрим функцию $h(x) = 3x^2 - 6x - 4$. Это парабола с ветвями вверх ($a=3>0$), которая имеет наименьшее значение в своей вершине.
$x_v = -(-6) / (2 \cdot 3) = 1$.
$h_{min} = h(1) = 3(1)^2 - 6(1) - 4 = -7$.

Минимальное значение $h(x)$ равно -7, но для существования функции $y$ требуется $h(x) \ge 0$. Это означает, что не все значения, принимаемые параболой, допустимы. Область значений подкоренного выражения, с учетом ОДЗ, будет $[0, +\infty)$.

Следовательно, область значений функции $y = \sqrt[6]{h(x)}$ будет $[\sqrt[6]{0}, +\infty)$, то есть $[0, +\infty)$.

Наименьшее целое число в этой области значений — 0. Наибольшего целого числа не существует.

Ответ: наименьшее целое число 0, наибольшего не существует.

г) $y = \sqrt[3]{1 - x^2 + 6x}$

Так как корень нечетной степени (3-й), подкоренное выражение $k(x) = 1 - x^2 + 6x$ может принимать любые действительные значения. Область значений $y$ определяется областью значений $k(x)$.

Подкоренное выражение $k(x) = -x^2 + 6x + 1$ — это парабола с ветвями вниз ($a=-1<0$), которая имеет наибольшее значение в своей вершине.

Найдем вершину параболы: $x_v = -6 / (2 \cdot (-1)) = 3$.

Наибольшее значение подкоренного выражения:
$k_{max} = k(3) = -(3)^2 + 6(3) + 1 = -9 + 18 + 1 = 10$.

Область значений подкоренного выражения — $(-\infty, 10]$.

Функция $y = \sqrt[3]{z}$ является возрастающей, поэтому область значений исходной функции $y$ — это промежуток $(-\infty, \sqrt[3]{10}]$.

Найдем наибольшее целое число в этом промежутке. Оценим $\sqrt[3]{10}$. Так как $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$, то $2 < \sqrt[3]{10} < 3$. Следовательно, наибольшее целое число, входящее в область значений, — это 2. Наименьшего целого числа не существует, так как область значений не ограничена снизу.

Ответ: наибольшее целое число 2, наименьшего не существует.