Страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.7. Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:

a) $\frac{2}{3a}\sqrt{72a^3b}$;

б) $\frac{x^2}{b}\sqrt[3]{\frac{72a^4b^3}{343x^3}}$;

в) $\frac{3}{x}\sqrt{\frac{a^5x^2}{18}}$;

г) $3mn \cdot \sqrt[4]{\frac{80x^3}{243m^5n^9}}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня, разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полные квадраты.
Исходное выражение: $ \frac{2}{3a} \sqrt{72a^3b} $.
Разложим число $72$ на множители: $72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2$.
Разложим переменную $a^3$: $a^3 = a^2 \cdot a$.
Тогда подкоренное выражение можно записать как $72a^3b = 36 \cdot a^2 \cdot 2ab$.
Теперь вынесем множители из-под знака корня. Так как по условию переменные неотрицательны ($a \ge 0$), то $\sqrt{a^2} = a$.
$ \sqrt{72a^3b} = \sqrt{36 \cdot a^2 \cdot 2ab} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{2ab} = 6a\sqrt{2ab} $.
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{2}{3a} \cdot (6a\sqrt{2ab}) $.
Сократим дробь:
$ \frac{2 \cdot 6a}{3a} \sqrt{2ab} = \frac{12a}{3a} \sqrt{2ab} = 4\sqrt{2ab} $.
Ответ: $4\sqrt{2ab}$.

б) Чтобы вынести множитель из-под знака кубического корня, разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полные кубы.
Исходное выражение: $ \frac{x^2}{b} \sqrt[3]{\frac{72a^4b^3}{343x^3}} $.
Воспользуемся свойством корня от дроби $ \sqrt[n]{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}} $:
$ \frac{x^2}{b} \frac{\sqrt[3]{72a^4b^3}}{\sqrt[3]{343x^3}} $.
Рассмотрим числитель подкоренного выражения: $72a^4b^3$. Разложим его на множители:
$72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 9$.
$a^4 = a^3 \cdot a$.
$b^3$ уже является полным кубом.
$ \sqrt[3]{72a^4b^3} = \sqrt[3]{8 \cdot a^3 \cdot b^3 \cdot 9a} = \sqrt[3]{2^3 \cdot a^3 \cdot b^3} \cdot \sqrt[3]{9a} = 2ab\sqrt[3]{9a} $.
Рассмотрим знаменатель подкоренного выражения: $343x^3$. Разложим его на множители:
$343 = 7^3$.
$x^3$ уже является полным кубом.
$ \sqrt[3]{343x^3} = \sqrt[3]{7^3 \cdot x^3} = 7x $.
Подставим упрощенные части обратно:
$ \frac{x^2}{b} \cdot \frac{2ab\sqrt[3]{9a}}{7x} $.
Выполним умножение и сокращение:
$ \frac{x^2 \cdot 2ab \cdot \sqrt[3]{9a}}{b \cdot 7x} = \frac{2a x^2 b \sqrt[3]{9a}}{7xb} = \frac{2ax}{7}\sqrt[3]{9a} $.
Ответ: $\frac{2ax}{7}\sqrt[3]{9a}$.

в) Чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня, разложим подкоренное выражение на множители, выделяя полные квадраты.
Исходное выражение: $ \frac{3}{x} \sqrt{\frac{a^5x^2}{18}} $.
Упростим выражение под корнем:
$ \sqrt{\frac{a^5x^2}{18}} = \frac{\sqrt{a^5x^2}}{\sqrt{18}} $.
Упростим числитель: $ \sqrt{a^5x^2} = \sqrt{a^4 \cdot a \cdot x^2} = \sqrt{(a^2)^2 \cdot x^2 \cdot a} = a^2x\sqrt{a} $ (так как $a \ge 0, x \ge 0$).
Упростим знаменатель: $ \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} $.
Получаем: $ \frac{a^2x\sqrt{a}}{3\sqrt{2}} $.
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{3}{x} \cdot \frac{a^2x\sqrt{a}}{3\sqrt{2}} = \frac{3a^2x\sqrt{a}}{3x\sqrt{2}} = \frac{a^2\sqrt{a}}{\sqrt{2}} $.
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:
$ \frac{a^2\sqrt{a} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{a^2\sqrt{2a}}{2} $.
Ответ: $\frac{a^2\sqrt{2a}}{2}$.

г) Чтобы вынести множитель из-под знака корня четвертой степени, разложим подкоренное выражение на множители, выделяя множители в четвертой степени.
Исходное выражение: $ 3mn \cdot \sqrt[4]{\frac{80x^3}{243m^5n^9}} $.
Разложим числа и переменные в числителе и знаменателе подкоренного выражения:
$80 = 16 \cdot 5 = 2^4 \cdot 5$.
$243 = 81 \cdot 3 = 3^4 \cdot 3$.
$m^5 = m^4 \cdot m$.
$n^9 = n^8 \cdot n = (n^2)^4 \cdot n$.
Подставим разложения в выражение под корнем:
$ \sqrt[4]{\frac{2^4 \cdot 5x^3}{3^4 \cdot 3 \cdot m^4 \cdot m \cdot (n^2)^4 \cdot n}} $.
Вынесем из-под корня множители в четвертой степени:
$ \frac{\sqrt[4]{2^4}}{\sqrt[4]{3^4 \cdot m^4 \cdot (n^2)^4}} \cdot \sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}} = \frac{2}{3mn^2} \sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}} $.
Подставим это в исходное выражение:
$ 3mn \cdot \frac{2}{3mn^2} \sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}} = \frac{6mn}{3mn^2} \sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}} = \frac{2}{n} \sqrt[4]{\frac{5x^3}{3mn}} $.
Чтобы избавиться от дроби под знаком корня, домножим числитель и знаменатель подкоренной дроби на $ (3mn)^3 = 27m^3n^3 $, чтобы в знаменателе получился полный четвертый степень:
$ \frac{2}{n} \sqrt[4]{\frac{5x^3 \cdot 27m^3n^3}{3mn \cdot 27m^3n^3}} = \frac{2}{n} \sqrt[4]{\frac{135m^3n^3x^3}{81m^4n^4}} $.
Теперь можно вынести знаменатель из-под корня:
$ \frac{2}{n} \frac{\sqrt[4]{135m^3n^3x^3}}{\sqrt[4]{81m^4n^4}} = \frac{2}{n} \frac{\sqrt[4]{135m^3n^3x^3}}{3mn} $.
Упростим полученное выражение:
$ \frac{2\sqrt[4]{135m^3n^3x^3}}{3mn^2} $.
Ответ: $\frac{2\sqrt[4]{135m^3n^3x^3}}{3mn^2}$.

Вынесите множитель из-под знака корня, считая, что переменные могут принимать как положительные, так и отрицательные значения:

7.8. а) $\sqrt{a^2b}$;

б) $\sqrt[3]{a^3b}$;

в) $\sqrt[4]{a^4b}$;

г) $\sqrt{a^5b}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака квадратного корня в выражении $ \sqrt{a^2b} $, воспользуемся свойством корней $ \sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y} $ и основным тождеством $ \sqrt{x^2} = |x| $. Подкоренное выражение $ a^2b $ должно быть неотрицательным. Так как $ a^2 \ge 0 $ для любого значения $ a $, то для существования корня необходимо, чтобы $ b \ge 0 $.
Преобразуем выражение:
$ \sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} $
Так как корень четной степени (квадратный), то $ \sqrt{a^2} = |a| $.
Следовательно, $ \sqrt{a^2b} = |a|\sqrt{b} $.
Ответ: $ |a|\sqrt{b} $

б) Рассмотрим выражение $ \sqrt[3]{a^3b} $. Корень нечетной степени (кубический) определен для любых действительных значений подкоренного выражения. Для вынесения множителя используем свойства $ \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y} $ и $ \sqrt[n]{x^n} = x $ для нечетного $ n $.
Преобразуем выражение:
$ \sqrt[3]{a^3b} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{b} $
Так как степень корня нечетная, $ \sqrt[3]{a^3} = a $.
Следовательно, $ \sqrt[3]{a^3b} = a\sqrt[3]{b} $.
Ответ: $ a\sqrt[3]{b} $

в) В выражении $ \sqrt[4]{a^4b} $ корень четной степени (четвертой). Подкоренное выражение $ a^4b $ должно быть неотрицательным. Так как $ a^4 \ge 0 $ для любого $ a $, то должно выполняться условие $ b \ge 0 $.
Для вынесения множителя используем свойство $ \sqrt[n]{x^n} = |x| $ для четного $ n $.
Преобразуем выражение:
$ \sqrt[4]{a^4b} = \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{b} $
Так как степень корня четная, $ \sqrt[4]{a^4} = |a| $.
Следовательно, $ \sqrt[4]{a^4b} = |a|\sqrt[4]{b} $.
Ответ: $ |a|\sqrt[4]{b} $

г) Рассмотрим выражение $ \sqrt{a^5b} $. Это корень четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ a^5b \ge 0 $. Это означает, что переменные $ a $ и $ b $ должны иметь одинаковые знаки (либо обе неотрицательны, либо обе неположительны), чтобы их произведение $ ab \ge 0 $.
Чтобы вынести множитель, представим $ a^5 $ в виде произведения множителей, один из которых является полным квадратом: $ a^5 = a^4 \cdot a $.
$ \sqrt{a^5b} = \sqrt{a^4 \cdot a \cdot b} = \sqrt{a^4 \cdot (ab)} = \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{ab} $
Теперь упростим $ \sqrt{a^4} $:
$ \sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2| $. Поскольку $ a^2 $ всегда неотрицательно, $ |a^2| = a^2 $.
Следовательно, $ \sqrt{a^5b} = a^2\sqrt{ab} $.
Ответ: $ a^2\sqrt{ab} $

7.9. a) $ \sqrt{50a^3} $;

б) $ \sqrt[6]{256c^8} $;

в) $ \sqrt{25x^2} $;

г) $ \sqrt[4]{162a^8} $.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt{50a^3}$, нужно вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы выделить полные квадраты.
Подкоренное выражение определено при $50a^3 \ge 0$, что означает $a^3 \ge 0$, следовательно, $a \ge 0$.
Разложим число 50 и переменную $a^3$ на множители: $50 = 25 \cdot 2 = 5^2 \cdot 2$
$a^3 = a^2 \cdot a$
Теперь перепишем исходное выражение: $\sqrt{50a^3} = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot a^2 \cdot a} = \sqrt{(25a^2) \cdot 2a}$
Используя свойство корня $\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$, получаем: $\sqrt{25a^2} \cdot \sqrt{2a} = \sqrt{(5a)^2} \cdot \sqrt{2a}$
Так как мы установили, что $a \ge 0$, то $5a \ge 0$, и поэтому $\sqrt{(5a)^2} = 5a$.
Таким образом, упрощенное выражение равно $5a\sqrt{2a}$.
Ответ: $5a\sqrt{2a}$

б) Упростим выражение $\sqrt[6]{256c^8}$.
Подкоренное выражение $256c^8$ всегда неотрицательно, так как $c^8 = (c^4)^2 \ge 0$ для любого действительного числа $c$. Следовательно, выражение определено для всех $c \in \mathbb{R}$.
Разложим подкоренное выражение на множители, выделяя степени с показателем 6: $256 = 2^8 = 2^6 \cdot 2^2$
$c^8 = c^6 \cdot c^2$
Подставим это в корень: $\sqrt[6]{256c^8} = \sqrt[6]{(2^6 \cdot c^6) \cdot (2^2 \cdot c^2)} = \sqrt[6]{2^6} \cdot \sqrt[6]{c^6} \cdot \sqrt[6]{4c^2}$
Упростим множители: $\sqrt[6]{2^6} = 2$
$\sqrt[6]{c^6} = |c|$, так как показатель корня (6) — четное число.
Оставшийся радикал $\sqrt[6]{4c^2}$ также можно упростить, заметив, что $4c^2 = (2c)^2$. Используя свойство $\sqrt[nk]{a^k} = \sqrt[n]{|a|}$, получим: $\sqrt[6]{(2c)^2} = \sqrt[3 \cdot 2]{(2c)^2} = \sqrt[3]{|2c|} = \sqrt[3]{2|c|}$
Собираем все вместе: $2 \cdot |c| \cdot \sqrt[3]{2|c|} = 2|c|\sqrt[3]{2|c|}$
Ответ: $2|c|\sqrt[3]{2|c|}$

в) Упростим выражение $\sqrt{25x^2}$.
Подкоренное выражение $25x^2$ всегда неотрицательно, так как $x^2 \ge 0$. Значит, выражение определено для любого действительного $x$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $25x^2 = 5^2 \cdot x^2 = (5x)^2$
Теперь применим основное свойство квадратного корня $\sqrt{A^2} = |A|$: $\sqrt{(5x)^2} = |5x|$
Используя свойство модуля $|ab| = |a| \cdot |b|$, получаем: $|5x| = |5| \cdot |x| = 5|x|$
Ответ: $5|x|$

г) Упростим выражение $\sqrt[4]{162a^8}$.
Подкоренное выражение $162a^8$ всегда неотрицательно, поскольку $a^8 \ge 0$. Выражение определено для всех действительных $a$.
Разложим подкоренное выражение на множители, выделяя четвертые степени: $162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2$
$a^8 = (a^2)^4$
Перепишем исходное выражение: $\sqrt[4]{162a^8} = \sqrt[4]{(3^4 \cdot (a^2)^4) \cdot 2}$
Используя свойство корня $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}$, получаем: $\sqrt[4]{3^4} \cdot \sqrt[4]{(a^2)^4} \cdot \sqrt[4]{2}$
Упростим множители: $\sqrt[4]{3^4} = 3$
$\sqrt[4]{(a^2)^4} = |a^2|$. Так как $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \ge 0$), то $|a^2| = a^2$.
Собираем все части вместе: $3 \cdot a^2 \cdot \sqrt[4]{2} = 3a^2\sqrt[4]{2}$
Ответ: $3a^2\sqrt[4]{2}$

7.10. a) $ \sqrt[4]{-162t^4r^5} $

б) $ \sqrt[3]{625x^5y^6} $

B) $ \sqrt{128a^6b^9} $

Г) $ \sqrt[5]{-64m^6n^{16}} $

а) Исходное выражение: $\sqrt[4]{-162t^4r^5}$.Показатель корня $n=4$ является четным числом. Корень четной степени в поле действительных чисел определен только для неотрицательных подкоренных выражений.Следовательно, должно выполняться условие: $-162t^4r^5 \ge 0$.Поскольку $t^4 \ge 0$ для любого действительного $t$, а $-162 < 0$, неравенство сводится к $r^5 \le 0$, что означает $r \le 0$.При этом условии ($r \le 0$) преобразуем подкоренное выражение.Разложим число 162 и переменные на множители так, чтобы выделить степени, кратные 4:$162 = 81 \cdot 2 = 3^4 \cdot 2$.$t^4$ уже является четвертой степенью.$r^5 = r^4 \cdot r$.Подставим это в выражение:$\sqrt[4]{-162t^4r^5} = \sqrt[4]{- (3^4 \cdot 2) \cdot t^4 \cdot (r^4 \cdot r)} = \sqrt[4]{3^4 \cdot t^4 \cdot r^4 \cdot (-2r)}$.Поскольку $r \le 0$, выражение $-2r \ge 0$, и корень определен.Теперь вынесем множители из-под знака корня, используя свойство $\sqrt[n]{a^n} = |a|$ для четного $n$:$\sqrt[4]{3^4 t^4 r^4 (-2r)} = |3| \cdot |t| \cdot |r| \cdot \sqrt[4]{-2r} = 3|t||r|\sqrt[4]{-2r}$.Так как по условию $r \le 0$, то $|r| = -r$.Подставляем это в полученное выражение:$3|t|(-r)\sqrt[4]{-2r} = -3|t|r\sqrt[4]{-2r}$.
Ответ: $-3|t|r\sqrt[4]{-2r}$ (выражение определено при $r \le 0$).

б) Для упрощения выражения $\sqrt[3]{625x^5y^6}$ вынесем множители из-под знака корня. Показатель корня $n=3$ — нечетное число, поэтому выражение определено для любых действительных $x$ и $y$.Представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, степени которых кратны 3:$625 = 125 \cdot 5 = 5^3 \cdot 5$.$x^5 = x^3 \cdot x^2$.$y^6 = (y^2)^3$.Подставим это в исходное выражение:$\sqrt[3]{625x^5y^6} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 5 \cdot x^3 \cdot x^2 \cdot (y^2)^3}$.Сгруппируем множители с показателем степени 3:$\sqrt[3]{(5^3 x^3 (y^2)^3) \cdot (5x^2)} = \sqrt[3]{(5xy^2)^3 \cdot 5x^2}$.Выносим множитель $(5xy^2)^3$ из-под знака корня. Так как корень нечетной степени, знак модуля не ставится:$5xy^2\sqrt[3]{5x^2}$.
Ответ: $5xy^2\sqrt[3]{5x^2}$.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt{128a^6b^9}$. Так как это квадратный корень (корень 2-й степени), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $128a^6b^9 \ge 0$.Поскольку $128 > 0$ и $a^6 = (a^3)^2 \ge 0$, для выполнения этого условия необходимо, чтобы $b^9 \ge 0$, что эквивалентно $b \ge 0$.Теперь упростим выражение, вынося множители из-под знака корня. Представим множители в виде степеней с показателем 2:$128 = 64 \cdot 2 = 8^2 \cdot 2$.$a^6 = (a^3)^2$.$b^9 = b^8 \cdot b = (b^4)^2 \cdot b$.Подставляем в корень:$\sqrt{128a^6b^9} = \sqrt{8^2 \cdot 2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^4)^2 \cdot b}$.Группируем полные квадраты:$\sqrt{(8^2 (a^3)^2 (b^4)^2) \cdot 2b} = \sqrt{(8a^3b^4)^2 \cdot 2b}$.Выносим множитель из-под корня, используя правило $\sqrt{X^2} = |X|$:$|8a^3b^4|\sqrt{2b}$.Раскроем модуль: $|8a^3b^4| = |8| \cdot |a^3| \cdot |b^4| = 8|a^3|b^4$, так как $b \ge 0$ и, следовательно, $b^4 \ge 0$.Окончательное выражение: $8|a^3|b^4\sqrt{2b}$.
Ответ: $8|a^3|b^4\sqrt{2b}$ (выражение определено при $b \ge 0$).

г) Упростим выражение $\sqrt[5]{-64m^6n^{16}}$. Показатель корня $n=5$ — нечетное число, поэтому подкоренное выражение может быть любого знака, и выражение определено для любых действительных $m$ и $n$.Вынесем множители из-под знака корня, представив их в виде степеней с показателем 5:$-64 = -32 \cdot 2 = (-2)^5 \cdot 2$.$m^6 = m^5 \cdot m$.$n^{16} = n^{15} \cdot n = (n^3)^5 \cdot n$.Подставим разложенные множители в исходное выражение:$\sqrt[5]{-64m^6n^{16}} = \sqrt[5]{(-2)^5 \cdot 2 \cdot m^5 \cdot m \cdot (n^3)^5 \cdot n}$.Сгруппируем множители со степенью 5:$\sqrt[5]{((-2)^5 m^5 (n^3)^5) \cdot (2mn)} = \sqrt[5]{(-2mn^3)^5 \cdot 2mn}$.Выносим множитель $(-2mn^3)^5$ из-под знака корня. Так как корень нечетной степени, знак модуля не ставится:$-2mn^3\sqrt[5]{2mn}$.
Ответ: $-2mn^3\sqrt[5]{2mn}$.

7.11. a) $\frac{3}{4a^2}\sqrt[4]{256a^7b^3}$;

б) $-\frac{5}{c}\sqrt[3]{\frac{c^5d^8}{15625}}.$

а)

Рассмотрим выражение $ \frac{3}{4a^2}\sqrt[4]{256a^7b^3} $.

Цель — вынести множители из-под знака корня и упростить выражение. Будем считать, что переменные принимают неотрицательные значения, при которых выражение имеет смысл.

1. Упростим подкоренное выражение $ \sqrt[4]{256a^7b^3} $. Для этого представим каждый множитель в виде степени с показателем, кратным 4, если это возможно.

Число 256 можно представить как $ 4^4 $ ($4 \cdot 4 = 16$, $16 \cdot 16 = 256$).
$ a^7 $ можно представить как $ a^4 \cdot a^3 $.
$ b^3 $ остается без изменений, так как его степень 3 меньше показателя корня 4.

Таким образом, корень принимает вид: $ \sqrt[4]{256a^7b^3} = \sqrt[4]{4^4 \cdot a^4 \cdot a^3 \cdot b^3} $.

2. Вынесем множители из-под знака корня, используя свойство $ \sqrt[n]{x^n \cdot y} = x \sqrt[n]{y} $ (при $ x \ge 0 $). $ \sqrt[4]{4^4 \cdot a^4 \cdot a^3 b^3} = \sqrt[4]{4^4} \cdot \sqrt[4]{a^4} \cdot \sqrt[4]{a^3b^3} = 4a\sqrt[4]{a^3b^3} $.

3. Подставим упрощенное выражение обратно в исходное: $ \frac{3}{4a^2} \cdot 4a\sqrt[4]{a^3b^3} $.

4. Сократим полученную дробь: $ \frac{3 \cdot 4a \cdot \sqrt[4]{a^3b^3}}{4a^2} $.

Сокращаем $ 4 $ в числителе и знаменателе.
Сокращаем $ a $ в числителе и $ a^2 $ в знаменателе ($ \frac{a}{a^2} = \frac{1}{a} $).

В результате получаем: $ \frac{3\sqrt[4]{a^3b^3}}{a} $.

Ответ: $ \frac{3\sqrt[4]{a^3b^3}}{a} $.

б)

Рассмотрим выражение $ \frac{5}{c}\sqrt[3]{-\frac{c^5d^8}{15625}} $.

1. Упростим выражение под знаком кубического корня. Во-первых, вынесем знак минус из-под корня нечетной степени, используя свойство $ \sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x} $: $ \frac{5}{c}\left(-\sqrt[3]{\frac{c^5d^8}{15625}}\right) = -\frac{5}{c}\sqrt[3]{\frac{c^5d^8}{15625}} $.

2. Теперь вынесем множители из-под знака корня $ \sqrt[3]{\frac{c^5d^8}{15625}} $. Представим числитель и знаменатель в виде степеней с показателями, кратными 3.

В числителе: $ c^5 = c^3 \cdot c^2 $.
$ d^8 = d^6 \cdot d^2 = (d^2)^3 \cdot d^2 $.

В знаменателе: $ 15625 = 25^3 $ ($25 \cdot 25 = 625$, $625 \cdot 25 = 15625$).

Подставляем эти представления в корень: $ \sqrt[3]{\frac{c^3 \cdot c^2 \cdot d^6 \cdot d^2}{25^3}} $.

3. Выносим множители из-под знака корня: $ \frac{\sqrt[3]{c^3} \cdot \sqrt[3]{d^6} \cdot \sqrt[3]{c^2d^2}}{\sqrt[3]{25^3}} = \frac{c \cdot d^2 \cdot \sqrt[3]{c^2d^2}}{25} $.

4. Подставляем упрощенный корень в исходное выражение (с учетом знака минус): $ -\frac{5}{c} \cdot \frac{cd^2\sqrt[3]{c^2d^2}}{25} $.

5. Сокращаем полученное выражение: $ -\frac{5 \cdot c \cdot d^2\sqrt[3]{c^2d^2}}{c \cdot 25} $.

Сокращаем $ c $ в числителе и знаменателе (при $c \ne 0$).
Сокращаем $ 5 $ и $ 25 $ ($ \frac{5}{25} = \frac{1}{5} $).

В результате получаем: $ -\frac{d^2\sqrt[3]{c^2d^2}}{5} $.

Ответ: $ -\frac{d^2\sqrt[3]{c^2d^2}}{5} $.

Внесите множитель под знак корня:

7.12. а) $2\sqrt{5}$;

б) $5\sqrt{2}$;

в) $5\sqrt{3}$;

г) $7 \cdot \sqrt{\frac{2}{7}}$.

а) Чтобы внести положительный множитель под знак квадратного корня, его необходимо возвести в квадрат и результат умножить на подкоренное выражение. Это следует из свойства корней $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}$ при $a \ge 0$.
В данном случае множитель равен 2. Возводим его в квадрат: $2^2 = 4$.
Умножаем результат на подкоренное выражение 5:
$2\sqrt{5} = \sqrt{2^2 \cdot 5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$.
Ответ: $\sqrt{20}$.

б) Аналогично, вносим множитель 5 под знак корня. Для этого возводим 5 в квадрат и умножаем на подкоренное выражение 2.
$5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$.
Ответ: $\sqrt{50}$.

в) Вносим множитель 5 под знак корня. Возводим 5 в квадрат ($5^2 = 25$) и умножаем на подкоренное выражение 3.
$5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$.
Ответ: $\sqrt{75}$.

г) Вносим множитель 7 под знак корня. Возводим 7 в квадрат ($7^2 = 49$) и умножаем на подкоренное выражение, которое является дробью $\frac{2}{7}$.
$7\sqrt{\frac{2}{7}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{2}{7}} = \sqrt{49 \cdot \frac{2}{7}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 2}{7}}$.
Сокращаем дробь под корнем: $\sqrt{7 \cdot 2} = \sqrt{14}$.
Ответ: $\sqrt{14}$.

7.13. a) $2 \cdot \sqrt[3]{3}$;

б) $6 \cdot \sqrt[3]{1 \frac{1}{9}}$;

в) $3 \cdot \sqrt[3]{2}$;

г) $3 \cdot \sqrt[4]{2 \frac{5}{27}}$.

а) Чтобы внести множитель 2 под знак кубического корня, необходимо возвести этот множитель в степень, равную показателю корня, то есть в третью степень, и записать результат под знаком корня:
$2 \cdot \sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = \sqrt[3]{24}$
Ответ: $\sqrt[3]{24}$

б) Сначала преобразуем смешанную дробь под корнем в неправильную. Затем внесем множитель 6 под знак кубического корня, возведя его в третью степень, и выполним умножение подкоренных выражений:
$6 \cdot \sqrt[3]{1\frac{1}{9}} = 6 \cdot \sqrt[3]{\frac{1 \cdot 9 + 1}{9}} = 6 \cdot \sqrt[3]{\frac{10}{9}} = \sqrt[3]{6^3 \cdot \frac{10}{9}} = \sqrt[3]{216 \cdot \frac{10}{9}} = \sqrt[3]{\frac{216 \cdot 10}{9}} = \sqrt[3]{24 \cdot 10} = \sqrt[3]{240}$
Ответ: $\sqrt[3]{240}$

в) Чтобы внести множитель 3 под знак кубического корня, необходимо возвести его в третью степень и записать под знаком корня:
$3 \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{54}$
Ответ: $\sqrt[3]{54}$

г) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь. Затем, чтобы внести множитель 3 под знак корня четвертой степени, возведем его в четвертую степень и умножим на подкоренное выражение:
$3 \cdot \sqrt[4]{2\frac{5}{27}} = 3 \cdot \sqrt[4]{\frac{2 \cdot 27 + 5}{27}} = 3 \cdot \sqrt[4]{\frac{59}{27}} = \sqrt[4]{3^4 \cdot \frac{59}{27}} = \sqrt[4]{81 \cdot \frac{59}{27}} = \sqrt[4]{\frac{81 \cdot 59}{27}} = \sqrt[4]{3 \cdot 59} = \sqrt[4]{177}$
Ответ: $\sqrt[4]{177}$

7.14. а) $\frac{2}{3} \cdot \sqrt{3}$;

б) $\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{12}$;

В) $1\frac{2}{5} \cdot \sqrt{3\frac{4}{7}}$;В

Г) $0,2 \cdot \sqrt[3]{25}$.

а) Чтобы внести множитель под знак корня, необходимо возвести этот множитель в степень, равную показателю корня (в данном случае 2, так как корень квадратный), и умножить на подкоренное выражение.
$\frac{2}{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 3} = \sqrt{\frac{4}{9} \cdot 3} = \sqrt{\frac{12}{9}}$
Сократим дробь под корнем:
$\sqrt{\frac{12}{9}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{4}{3}}$
Ответ: $\sqrt{\frac{4}{3}}$.

б) Чтобы внести множитель под знак кубического корня, необходимо возвести множитель в третью степень и умножить на подкоренное выражение.
$\frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{12} = \sqrt[3]{(\frac{1}{2})^3 \cdot 12} = \sqrt[3]{\frac{1}{8} \cdot 12} = \sqrt[3]{\frac{12}{8}}$
Сократим дробь под корнем:
$\sqrt[3]{\frac{12}{8}} = \sqrt[3]{\frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}} = \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$
Ответ: $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$.

в) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.
$1\frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$
$3\frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{25}{7}$
Теперь выражение имеет вид: $\frac{7}{5} \cdot \sqrt{\frac{25}{7}}$.
Внесем множитель $\frac{7}{5}$ под знак квадратного корня, возведя его в квадрат.
$\sqrt{(\frac{7}{5})^2 \cdot \frac{25}{7}} = \sqrt{\frac{49}{25} \cdot \frac{25}{7}}$
Выполним умножение и сокращение под корнем:
$\sqrt{\frac{49 \cdot 25}{25 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{49}{7}} = \sqrt{7}$
Ответ: $\sqrt{7}$.

г) Сначала представим десятичную дробь $0,2$ в виде обыкновенной дроби.
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Теперь выражение имеет вид: $\frac{1}{5} \cdot \sqrt[3]{25}$.
Внесем множитель $\frac{1}{5}$ под знак кубического корня, возведя его в куб.
$\sqrt[3]{(\frac{1}{5})^3 \cdot 25} = \sqrt[3]{\frac{1}{125} \cdot 25} = \sqrt[3]{\frac{25}{125}}$
Сократим дробь под корнем:
$\sqrt[3]{\frac{25}{125}} = \sqrt[3]{\frac{1}{5}}$
Ответ: $\sqrt[3]{\frac{1}{5}}$.

7.15. Внесите множитель под знак корня, считая, что переменные принимают только неотрицательные значения:

а) $7a^2 \cdot \sqrt{ab}$;

б) $5ab^2 \cdot \sqrt[3]{a^2b}$;

в) $5x \cdot \sqrt{2x}$;

г) $2m \cdot \sqrt[3]{3m^2}$.

а) Чтобы внести множитель $7a^2$ под знак квадратного корня, необходимо возвести этот множитель во вторую степень (в квадрат), поскольку степень корня равна 2. По условию задачи переменные принимают только неотрицательные значения, поэтому множитель $7a^2$ также неотрицателен.
$7a^2 \cdot \sqrt{ab} = \sqrt{(7a^2)^2 \cdot ab}$
Возводим множитель в квадрат: $(7a^2)^2 = 7^2 \cdot (a^2)^2 = 49a^4$.
Теперь умножаем полученное выражение на исходное подкоренное выражение $ab$:
$\sqrt{49a^4 \cdot ab} = \sqrt{49a^{4+1}b} = \sqrt{49a^5b}$.
Ответ: $\sqrt{49a^5b}$.

б) Чтобы внести множитель $5ab^2$ под знак кубического корня, необходимо возвести этот множитель в третью степень (в куб), так как показатель корня равен 3.
$5ab^2 \cdot \sqrt[3]{a^2b} = \sqrt[3]{(5ab^2)^3 \cdot a^2b}$
Возводим множитель в куб: $(5ab^2)^3 = 5^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 = 125a^3b^6$.
Умножаем результат на подкоренное выражение $a^2b$:
$\sqrt[3]{125a^3b^6 \cdot a^2b} = \sqrt[3]{125a^{3+2}b^{6+1}} = \sqrt[3]{125a^5b^7}$.
Ответ: $\sqrt[3]{125a^5b^7}$.

в) Вносим множитель $5x$ под знак квадратного корня. Для этого возводим $5x$ в квадрат. Так как по условию $x \ge 0$, множитель $5x$ также неотрицателен.
$5x \cdot \sqrt{2x} = \sqrt{(5x)^2 \cdot 2x}$
Возводим множитель в квадрат: $(5x)^2 = 5^2 \cdot x^2 = 25x^2$.
Умножаем результат на подкоренное выражение $2x$:
$\sqrt{25x^2 \cdot 2x} = \sqrt{50x^{2+1}} = \sqrt{50x^3}$.
Ответ: $\sqrt{50x^3}$.

г) Вносим множитель $2m$ под знак кубического корня. Для этого возводим $2m$ в третью степень.
$2m \cdot \sqrt[3]{3m^2} = \sqrt[3]{(2m)^3 \cdot 3m^2}$
Возводим множитель в куб: $(2m)^3 = 2^3 \cdot m^3 = 8m^3$.
Умножаем результат на подкоренное выражение $3m^2$:
$\sqrt[3]{8m^3 \cdot 3m^2} = \sqrt[3]{24m^{3+2}} = \sqrt[3]{24m^5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{24m^5}$.

7.16. Преобразуйте заданное выражение к виду $ \sqrt[n]{A} $:

а) $ \sqrt[4]{2^3\sqrt{2m^4n^8}} $;

б) $ \sqrt{y^5\sqrt[5]{9x^4y^2}} $;

в) $ \sqrt[5]{4^3\sqrt{k^2l^5}} $;

г) $ \sqrt[7]{q^5\sqrt[5]{2p^3q}} $.

Преобразуем выражение $\sqrt[4]{2\sqrt[3]{2m^4n^8}}$ к виду $\sqrt[n]{A}$.

Сначала внесем множитель 2, стоящий перед внутренним корнем, под знак этого корня. Для этого возведем 2 в степень показателя внутреннего корня, то есть в куб:

$2\sqrt[3]{2m^4n^8} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 2m^4n^8} = \sqrt[3]{8 \cdot 2m^4n^8} = \sqrt[3]{16m^4n^8}$.

Теперь исходное выражение принимает вид вложенных корней:

$\sqrt[4]{\sqrt[3]{16m^4n^8}}$

Далее воспользуемся свойством корня из корня: $\sqrt[k]{\sqrt[l]{B}} = \sqrt[k \cdot l]{B}$. Перемножим показатели корней 4 и 3:

$\sqrt[4 \cdot 3]{16m^4n^8} = \sqrt[12]{16m^4n^8}$.

Полученное выражение можно упростить. Представим $16$ как $2^4$. Показатель корня (12) и показатели степеней подкоренного выражения (4, 4, 8) имеют общий делитель 4. Разделим показатель корня и показатели степеней подкоренного выражения на 4:

$\sqrt[12]{16m^4n^8} = \sqrt[12]{2^4m^4n^8} = \sqrt[12/4]{2^{4/4}m^{4/4}n^{8/4}} = \sqrt[3]{2^1m^1n^2} = \sqrt[3]{2mn^2}$.

Ответ: $\sqrt[3]{2mn^2}$

Преобразуем выражение $\sqrt{y\sqrt[5]{9x^4y^2}}$ к виду $\sqrt[n]{A}$.

Внешний корень — квадратный, его показатель равен 2. Внесем множитель $y$ под знак внутреннего корня пятой степени, возведя $y$ в степень 5:

$y\sqrt[5]{9x^4y^2} = \sqrt[5]{y^5 \cdot 9x^4y^2} = \sqrt[5]{9x^4y^{5+2}} = \sqrt[5]{9x^4y^7}$.

Теперь исходное выражение принимает вид:

$\sqrt[2]{\sqrt[5]{9x^4y^7}}$

По свойству $\sqrt[k]{\sqrt[l]{B}} = \sqrt[k \cdot l]{B}$ перемножим показатели корней 2 и 5:

$\sqrt[2 \cdot 5]{9x^4y^7} = \sqrt[10]{9x^4y^7}$.

Представим $9$ как $3^2$: $\sqrt[10]{3^2x^4y^7}$. Наибольший общий делитель для показателя корня 10 и показателей степеней 2, 4, 7 равен 1. Следовательно, выражение дальше не упрощается.

Ответ: $\sqrt[10]{9x^4y^7}$

Преобразуем выражение $\sqrt[5]{4\sqrt[3]{k^2l^5}}$ к виду $\sqrt[n]{A}$.

Внесем множитель 4 под знак внутреннего кубического корня, возведя 4 в степень 3:

$4\sqrt[3]{k^2l^5} = \sqrt[3]{4^3 \cdot k^2l^5} = \sqrt[3]{64k^2l^5}$.

Исходное выражение теперь выглядит так:

$\sqrt[5]{\sqrt[3]{64k^2l^5}}$

Используя свойство $\sqrt[k]{\sqrt[l]{B}} = \sqrt[k \cdot l]{B}$, перемножим показатели корней 5 и 3:

$\sqrt[5 \cdot 3]{64k^2l^5} = \sqrt[15]{64k^2l^5}$.

Представим $64$ как $2^6$: $\sqrt[15]{2^6k^2l^5}$. Наибольший общий делитель для показателя корня 15 и показателей степеней 6, 2, 5 равен 1. Таким образом, выражение не упрощается.

Ответ: $\sqrt[15]{64k^2l^5}$

Преобразуем выражение $\sqrt[7]{q\sqrt[5]{2p^3q}}$ к виду $\sqrt[n]{A}$.

Внесем множитель $q$ под знак внутреннего корня пятой степени, возведя $q$ в степень 5:

$q\sqrt[5]{2p^3q} = \sqrt[5]{q^5 \cdot 2p^3q} = \sqrt[5]{2p^3q^{5+1}} = \sqrt[5]{2p^3q^6}$.

Теперь исходное выражение выглядит следующим образом:

$\sqrt[7]{\sqrt[5]{2p^3q^6}}$

Применим свойство $\sqrt[k]{\sqrt[l]{B}} = \sqrt[k \cdot l]{B}$ и перемножим показатели корней 7 и 5:

$\sqrt[7 \cdot 5]{2p^3q^6} = \sqrt[35]{2p^3q^6}$.

Наибольший общий делитель для показателя корня 35 и показателей степеней подкоренного выражения (1 у множителя 2, 3 у $p$, 6 у $q$) равен 1. Следовательно, выражение дальше не упрощается.

Ответ: $\sqrt[35]{2p^3q^6}$