Страница 34, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите графически уравнение:

5.27. а) $\sqrt{x} = -x$;

б) $\sqrt[3]{x} = 7 - 6x$;

в) $\sqrt[4]{x} = 2 - x$;

г) $\sqrt[5]{x} = -x^2$.

a) Для графического решения уравнения $\sqrt{x} = -x$ построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -x$.

График функции $y = \sqrt{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. Она проходит через точки (0, 0), (1, 1), (4, 2). Область определения функции: $x \ge 0$.

График функции $y = -x$ — это прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой второй и четвертой координатных четвертей.

Из графика видно, что функции пересекаются в одной точке — начале координат (0, 0). Абсцисса этой точки и является решением уравнения.

Проверка: $\sqrt{0} = -0$, что равносильно $0 = 0$. Равенство верное.

Ответ: $x = 0$.

б) Для решения уравнения $\sqrt[3]{x} = 7 - 6x$ построим графики функций $y = \sqrt[3]{x}$ и $y = 7 - 6x$.

График функции $y = \sqrt[3]{x}$ — это кубический корень, функция возрастает на всей числовой оси и проходит через точки (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).

График функции $y = 7 - 6x$ — это прямая, убывающая на всей числовой оси. Для её построения найдём две точки, например: если $x = 0$, то $y = 7$; если $x = 1$, то $y = 1$.

На графике видно, что прямая и кривая пересекаются в одной точке с координатами (1, 1). Так как одна функция является возрастающей, а другая — убывающей, они могут пересечься только один раз.

Проверка: $\sqrt[3]{1} = 7 - 6 \cdot 1$, что равносильно $1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $x = 1$.

в) Для решения уравнения $\sqrt[4]{x} = 2 - x$ построим графики функций $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = 2 - x$.

График функции $y = \sqrt[4]{x}$ определён при $x \ge 0$ и расположен в первой координатной четверти. Он проходит через точки (0, 0), (1, 1), (16, 2). Функция является возрастающей.

График функции $y = 2 - x$ — это прямая, убывающая на всей числовой оси. Она пересекает оси координат в точках (0, 2) и (2, 0).

Из графика видно, что точка пересечения имеет координаты (1, 1). Поскольку одна функция возрастает на своей области определения, а другая убывает, они могут иметь не более одной точки пересечения.

Проверка: $\sqrt[4]{1} = 2 - 1$, что равносильно $1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $x = 1$.

г) Для решения уравнения $\sqrt[5]{x} = -x^2$ построим графики функций $y = \sqrt[5]{x}$ и $y = -x^2$.

График функции $y = \sqrt[5]{x}$ — корень пятой степени, функция возрастает на всей числовой оси и симметрична относительно начала координат. Она проходит через точки (-1, -1), (0, 0), (1, 1).

График функции $y = -x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 0).

Построив графики, мы видим две точки пересечения.

1. Точка (0, 0). Проверка: $\sqrt[5]{0} = -0^2 \Rightarrow 0 = 0$. Верно.

2. Точка (-1, -1). Проверка: $\sqrt[5]{-1} = -(-1)^2 \Rightarrow -1 = -1$. Верно.

При $x > 0$, значения функции $y = \sqrt[5]{x}$ положительны, а значения функции $y = -x^2$ отрицательны, поэтому других пересечений, кроме $x=0$, нет. При $x < -1$ парабола $y = -x^2$ убывает быстрее, чем кривая $y = \sqrt[5]{x}$, поэтому других пересечений нет.

Ответ: $x = -1; x = 0$.

5.28. a) $\sqrt{2x} = \frac{1}{x - 1} + 1;$

б) $\sqrt[3]{x} + 2x + 3 = 0;$

В) $\sqrt[4]{x} = 3 - 2x^3;$

Г) $\sqrt{3x - 2} = \frac{2}{x - 1}.$

а) $\sqrt{2x} = \frac{1}{x-1} + 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.
Во-вторых, знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $x - 1 \ne 0$, откуда $x \ne 1$.
В-третьих, так как квадратный корень всегда неотрицателен, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $\frac{1}{x-1} + 1 \ge 0$
$\frac{1 + (x-1)}{x-1} \ge 0$
$\frac{x}{x-1} \ge 0$
Решая это неравенство методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, 0] \cup (1, \infty)$.
Объединяя все три условия ($x \ge 0$, $x \ne 1$ и $x \in (-\infty, 0] \cup (1, \infty)$), получаем, что решения могут находиться только в множестве $\{0\} \cup (1, \infty)$.

2. Решим уравнение.
Сначала проверим значение $x=0$.
Левая часть: $\sqrt{2 \cdot 0} = 0$.
Правая часть: $\frac{1}{0-1} + 1 = -1 + 1 = 0$.
Так как $0=0$, $x=0$ является корнем уравнения.

Теперь решим уравнение для $x > 1$.
Преобразуем правую часть: $\sqrt{2x} = \frac{x}{x-1}$.
Возведем обе части уравнения в квадрат: $2x = \left(\frac{x}{x-1}\right)^2$
$2x = \frac{x^2}{(x-1)^2}$
Так как мы рассматриваем случай $x > 1$, то $x \ne 0$, и мы можем разделить обе части на $x$: $2 = \frac{x}{(x-1)^2}$
$2(x-1)^2 = x$
$2(x^2 - 2x + 1) = x$
$2x^2 - 4x + 2 = x$
$2x^2 - 5x + 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
$x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

3. Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x=0$ или $x>1$).
Корень $x_1 = 1/2$ не удовлетворяет условию $x > 1$, следовательно, это посторонний корень.
Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет условию $x > 1$.
Таким образом, уравнение имеет два корня: $x=0$ и $x=2$.

Ответ: $0; 2$.

б) $\sqrt[3]{x} + 2x + 3 = 0$

1. Рассмотрим функцию $f(x) = \sqrt[3]{x} + 2x + 3$. Область определения этой функции — все действительные числа ($D(f) = \mathbb{R}$).
2. Исследуем функцию на монотонность. Найдем ее производную: $f'(x) = (\sqrt[3]{x} + 2x + 3)' = (x^{1/3} + 2x + 3)' = \frac{1}{3}x^{-2/3} + 2 = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} + 2$.
Для любого $x \ne 0$, выражение $\sqrt[3]{x^2}$ положительно, значит $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} > 0$.
Следовательно, $f'(x) > 2$ для всех $x$ из области определения производной. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.
3. Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (т.е. иметь корень) не более одного раза. Попробуем найти корень подбором.
Проверим $x = -1$:
$f(-1) = \sqrt[3]{-1} + 2(-1) + 3 = -1 - 2 + 3 = 0$.
Таким образом, $x=-1$ является корнем уравнения.
4. Так как функция строго монотонна, других корней у уравнения нет.

Ответ: $-1$.

в) $\sqrt[4]{x} = 3 - 2x^3$

1. Найдем ОДЗ. Выражение под корнем четвертой степени должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Также правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $3 - 2x^3 \ge 0$, что означает $2x^3 \le 3$, или $x \le \sqrt[3]{3/2}$.
Итак, ОДЗ: $0 \le x \le \sqrt[3]{1.5}$.

2. Рассмотрим две функции: $f(x) = \sqrt[4]{x}$ и $g(x) = 3 - 2x^3$.
Функция $f(x) = x^{1/4}$ является строго возрастающей на своей области определения $[0, \infty)$.
Найдем производную функции $g(x)$: $g'(x) = -6x^2$. На интервале $(0, \sqrt[3]{1.5}]$ производная $g'(x) < 0$, значит функция $g(x)$ является строго убывающей.
3. Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Следовательно, уравнение имеет не более одного решения. Попробуем найти его подбором.
Проверим $x = 1$:
Левая часть: $\sqrt[4]{1} = 1$.
Правая часть: $3 - 2(1)^3 = 3 - 2 = 1$.
Так как $1=1$, $x=1$ является решением. Это значение удовлетворяет ОДЗ ($0 \le 1 \le \sqrt[3]{1.5}$).
4. Поскольку мы доказали, что решение может быть только одно, то $x=1$ является единственным корнем уравнения.

Ответ: $1$.

г) $\sqrt{3x-2} = \frac{2}{x-1}$

1. Найдем ОДЗ.
Выражение под корнем: $3x - 2 \ge 0 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3}$.
Знаменатель: $x - 1 \ne 0 \implies x \ne 1$.
Правая часть должна быть неотрицательной: $\frac{2}{x-1} \ge 0$. Так как числитель $2 > 0$, то и знаменатель должен быть строго положительным: $x-1 > 0 \implies x > 1$.
Объединяя условия $x \ge 2/3$ и $x > 1$, получаем ОДЗ: $x \in (1, \infty)$.

2. Решим уравнение на интервале $(1, \infty)$. Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{3x-2})^2 = \left(\frac{2}{x-1}\right)^2$
$3x-2 = \frac{4}{(x-1)^2}$
$(3x-2)(x-1)^2 = 4$
$(3x-2)(x^2 - 2x + 1) = 4$
$3x^3 - 6x^2 + 3x - 2x^2 + 4x - 2 = 4$
$3x^3 - 8x^2 + 7x - 6 = 0$
3. Это кубическое уравнение. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-6): $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Учитывая ОДЗ ($x > 1$), проверим $x=2$.
Подставим $x=2$ в уравнение: $3(2)^3 - 8(2)^2 + 7(2) - 6 = 3 \cdot 8 - 8 \cdot 4 + 14 - 6 = 24 - 32 + 14 - 6 = 38 - 38 = 0$.
Значит, $x=2$ является корнем.

4. Разделим многочлен $3x^3 - 8x^2 + 7x - 6$ на $(x-2)$, чтобы найти остальные корни.
$(3x^3 - 8x^2 + 7x - 6) \div (x-2) = 3x^2 - 2x + 3$.
Уравнение принимает вид: $(x-2)(3x^2 - 2x + 3) = 0$.
Теперь рассмотрим квадратное уравнение $3x^2 - 2x + 3 = 0$.
Найдем его дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4 - 36 = -32$.
Так как $D < 0$, у этого квадратного уравнения нет действительных корней.

5. Единственным действительным решением является $x=2$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($2 > 1$).

Ответ: $2$.

5.29. Решите неравенство:

а) $\sqrt[4]{x+9} > x - 5;$

б) $2\sqrt[5]{x} \ge 5 - 3x;$

В) $\sqrt{-x} \le x + 6;$

Г) $\sqrt[3]{x-7} < 3x + 1.$

а) $\sqrt[4]{x+9} > x-5$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:
$x+9 \ge 0 \implies x \ge -9$.

2. Решим неравенство методом замены переменной. Пусть $y = \sqrt[4]{x+9}$. По определению корня, $y \ge 0$. Из замены выразим $x$:
$y^4 = x+9 \implies x = y^4 - 9$.

3. Подставим замену в исходное неравенство:
$y > (y^4-9) - 5$
$y > y^4 - 14$
$y^4 - y - 14 < 0$.

4. Найдем корни многочлена $f(y) = y^4 - y - 14$. Проверим целые делители числа 14: $\pm 1, \pm 2, \pm 7, \pm 14$.
$f(2) = 2^4 - 2 - 14 = 16 - 2 - 14 = 0$.
Значит, $y=2$ является корнем. Исследуем производную $f'(y) = 4y^3 - 1$. При $y > \sqrt[3]{1/4}$ функция возрастает. Так как мы ищем решения при $y \ge 0$, и мы нашли один положительный корень $y=2$, то других положительных корней нет.

5. Неравенство $y^4 - y - 14 < 0$ с учетом условия $y \ge 0$ выполняется на интервале $0 \le y < 2$.

6. Вернемся к переменной $x$:
$0 \le \sqrt[4]{x+9} < 2$.
Левая часть неравенства $\sqrt[4]{x+9} \ge 0$ выполняется для всех $x$ из ОДЗ.
Решим правую часть:
$\sqrt[4]{x+9} < 2$
Возведем обе части в 4-ю степень:
$x+9 < 2^4$
$x+9 < 16$
$x < 7$.

7. Найдем пересечение полученного решения $x < 7$ с ОДЗ $x \ge -9$.
Решением является интервал $[-9, 7)$.

Ответ: $x \in [-9, 7)$.

б) $2\sqrt[5]{x} \ge 5 - 3x$

1. ОДЗ: так как корень нечетной степени, $x$ может быть любым действительным числом, $x \in \mathbb{R}$.

2. Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства:
$f(x) = 2\sqrt[5]{x}$ - является монотонно возрастающей функцией на всей числовой оси.
$g(x) = 5 - 3x$ - является монотонно убывающей функцией на всей числовой оси.

3. Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(x)=g(x)$:
$2\sqrt[5]{x} = 5 - 3x$.
Методом подбора находим корень $x=1$:
Левая часть: $2\sqrt[5]{1} = 2$.
Правая часть: $5 - 3(1) = 2$.
Равенство выполняется, значит $x=1$ - единственный корень уравнения.

4. Поскольку $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, при $x > 1$ будет выполняться $f(x) > g(x)$, а при $x < 1$ будет $f(x) < g(x)$. Нам нужно найти, где $f(x) \ge g(x)$. Это выполняется при $x \ge 1$.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

в) $\sqrt{-x} \le x+6$

1. ОДЗ: $-x \ge 0 \implies x \le 0$.

2. Данное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} -x \ge 0 \\ x+6 \ge 0 \\ (\sqrt{-x})^2 \le (x+6)^2 \end{cases}$
Первое неравенство - это ОДЗ: $x \le 0$.
Второе неравенство требует, чтобы правая часть была неотрицательной (т.к. левая часть неотрицательна): $x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$.
Объединяя эти два условия, получаем, что решение нужно искать на отрезке $x \in [-6, 0]$.

3. Решаем третье неравенство системы (на отрезке $[-6, 0]$ можно возводить в квадрат):
$-x \le x^2 + 12x + 36$
$x^2 + 13x + 36 \ge 0$.

4. Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 13x + 36=0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -9$ и $x_2 = -4$.

5. Парабола $y = x^2 + 13x + 36$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 + 13x + 36 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty, -9] \cup [-4, +\infty)$.

6. Найдем пересечение этого решения с отрезком $x \in [-6, 0]$:
$((-\infty, -9] \cup [-4, +\infty)) \cap [-6, 0] = [-4, 0]$.

Ответ: $x \in [-4, 0]$.

г) $\sqrt[3]{x-7} < 3x+1$

1. ОДЗ: так как корень нечетной степени, $x \in \mathbb{R}$.

2. Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[3]{x-7}$. Тогда $y^3 = x-7 \implies x = y^3+7$.

3. Подставим в неравенство:
$y < 3(y^3+7)+1$
$y < 3y^3 + 21 + 1$
$3y^3 - y + 22 > 0$.

4. Найдем корни многочлена $f(y) = 3y^3 - y + 22$. Проверим целые делители свободного члена.
$f(-2) = 3(-2)^3 - (-2) + 22 = 3(-8) + 2 + 22 = -24 + 24 = 0$.
Значит, $y=-2$ - корень. Разделим многочлен на $(y+2)$:
$(3y^3 - y + 22) : (y+2) = 3y^2 - 6y + 11$.

5. Неравенство принимает вид:
$(y+2)(3y^2 - 6y + 11) > 0$.

6. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $3y^2 - 6y + 11$:
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 11 = 36 - 132 = -96$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $3>0$, то выражение $3y^2 - 6y + 11$ всегда положительно.

7. Следовательно, знак всего произведения зависит только от знака множителя $(y+2)$. Неравенство равносильно:
$y+2 > 0 \implies y > -2$.

8. Возвращаемся к переменной $x$:
$\sqrt[3]{x-7} > -2$.
Возведем обе части в куб:
$x-7 > (-2)^3$
$x-7 > -8$
$x > -1$.

Ответ: $x \in (-1, +\infty)$.

Определите число решений системы уравнений:

5.30. a) $\begin{cases} y = \sqrt[4]{x}, \\ 2x - 3y = 6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \sqrt[3]{x}, \\ 3y - 4x = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = \sqrt[5]{x}, \\ 6 - 2x - 3y = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = \sqrt[6]{x}, \\ 5 + x - 2y = 0. \end{cases}$

а)Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}y = \sqrt[4]{x} \\2x - 3y = 6\end{cases}$
Из первого уравнения следует, что область определения $x \ge 0$, а также $y \ge 0$, так как корень четной степени арифметический.
Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе: $2x - 3\sqrt[4]{x} = 6$.
Для решения этого уравнения введем замену $t = \sqrt[4]{x}$. Учитывая, что $y \ge 0$, получаем $t \ge 0$. Так как $x = t^4$, уравнение принимает вид:$2t^4 - 3t - 6 = 0$.
Чтобы определить количество решений, проанализируем функцию $f(t) = 2t^4 - 3t - 6$ на промежутке $t \ge 0$.Найдем ее производную: $f'(t) = 8t^3 - 3$.Производная обращается в ноль в точке $t = \sqrt[3]{3/8}$. Это точка минимума.Функция $f(t)$ убывает на промежутке $[0, \sqrt[3]{3/8}]$ и возрастает на $[\sqrt[3]{3/8}, +\infty)$.
Так как $f(0) = -6$, а $\lim_{t \to \infty} f(t) = +\infty$, и функция непрерывна, она пересечет ось абсцисс ровно один раз при некотором положительном значении $t_0$.
Каждому положительному корню $t_0$ соответствует единственное решение исходной системы $(x_0, y_0) = (t_0^4, t_0)$.
Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: 1 решение.

б)Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}y = \sqrt[3]{x} \\3y - 4x = 0\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$: $3y = 4x \implies y = \frac{4}{3}x$.
Подставим это выражение в первое уравнение: $\frac{4}{3}x = \sqrt[3]{x}$.
Очевидно, что $x_1 = 0$ является корнем. В этом случае $y_1 = 0$, так что точка $(0, 0)$ — это одно из решений.
Для поиска других решений предположим, что $x \ne 0$. Разделим обе части уравнения на $\sqrt[3]{x}$:$\frac{4}{3}\frac{x}{\sqrt[3]{x}} = 1 \implies \frac{4}{3}x^{1 - 1/3} = 1 \implies \frac{4}{3}x^{2/3} = 1$.
Отсюда $x^{2/3} = \frac{3}{4}$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части в степень 3/2: $(x^{2/3})^{3/2} = (\frac{3}{4})^{3/2} \implies |x| = \frac{3^{3/2}}{4^{3/2}} = \frac{3\sqrt{3}}{8}$.
Это дает нам еще два корня для $x$: $x_2 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$ и $x_3 = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$.
Для каждого из этих значений $x$ находим соответствующий $y$:
Если $x_2 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$, то $y_2 = \sqrt[3]{x_2} = \sqrt[3]{\frac{3\sqrt{3}}{8}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Если $x_3 = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$, то $y_3 = \sqrt[3]{x_3} = \sqrt[3]{-\frac{3\sqrt{3}}{8}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, система имеет три различных решения.
Ответ: 3 решения.

в)Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}y = \sqrt[5]{x} \\6 - 2x - 3y = 0\end{cases}$
Подставим $y$ из первого уравнения во второе: $6 - 2x - 3\sqrt[5]{x} = 0$.
Перепишем уравнение: $2x + 3\sqrt[5]{x} - 6 = 0$.
Введем замену $t = \sqrt[5]{x}$. Тогда $x = t^5$, и уравнение принимает вид:$2t^5 + 3t - 6 = 0$.
Рассмотрим функцию $g(t) = 2t^5 + 3t - 6$.Ее производная $g'(t) = 10t^4 + 3$. Поскольку $t^4 \ge 0$ для любого действительного $t$, производная $g'(t) \ge 3 > 0$.
Это означает, что функция $g(t)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.
Строго монотонная непрерывная функция может пересечь ось абсцисс не более одного раза.Проверим значения функции в некоторых точках: $g(1) = 2+3-6 = -1$ и $g(2) = 2 \cdot 32 + 3 \cdot 2 - 6 = 64$.Так как на отрезке $[1, 2]$ функция меняет знак с минуса на плюс, она имеет ровно один действительный корень $t_0$.
Каждому корню $t_0$ соответствует единственное решение системы $(x_0, y_0) = (t_0^5, t_0)$.
Следовательно, система имеет одно решение.
Ответ: 1 решение.

г)Рассмотрим систему уравнений:$\begin{cases}y = \sqrt[6]{x} \\5 + x - 2y = 0\end{cases}$
Из первого уравнения следует, что $x \ge 0$ и $y \ge 0$.
Подставим $y$ из первого уравнения во второе: $5 + x - 2\sqrt[6]{x} = 0$.
Введем замену $t = \sqrt[6]{x}$, где $t \ge 0$. Тогда $x = t^6$, и уравнение принимает вид:$t^6 - 2t + 5 = 0$.
Проанализируем функцию $h(t) = t^6 - 2t + 5$ на наличие неотрицательных корней. Найдем ее наименьшее значение при $t \ge 0$.Производная $h'(t) = 6t^5 - 2$.$h'(t) = 0$ при $6t^5 = 2 \implies t^5 = 1/3 \implies t_m = \sqrt[5]{1/3}$.В этой точке функция достигает своего минимума для $t \ge 0$.
Вычислим значение функции в этой точке. Так как $t_m^5 = 1/3$, то $t_m^6 = t_m \cdot t_m^5 = \frac{1}{3}t_m$.$h(t_m) = t_m^6 - 2t_m + 5 = \frac{1}{3}t_m - 2t_m + 5 = 5 - \frac{5}{3}t_m$.
Поскольку $0 < 1/3 < 1$, то и $0 < t_m = \sqrt[5]{1/3} < 1$.Значит, $0 < \frac{5}{3}t_m < \frac{5}{3}$.Тогда минимальное значение $h(t_m) = 5 - \frac{5}{3}t_m > 5 - \frac{5}{3} = \frac{10}{3} > 0$.
Так как наименьшее значение функции $h(t)$ на промежутке $t \ge 0$ строго положительно, уравнение $h(t)=0$ не имеет корней на этом промежутке.
Следовательно, исходная система не имеет решений.
Ответ: 0 решений.

5.31. a) $\begin{cases} y = \sqrt[4]{x} - 1, \\ y = x^2 - 2x - 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = \sqrt[5]{x}, \\ y = 2x^4 - 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 2\sqrt[3]{x}, \\ y = 10x - 16 - x^2; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = \sqrt[4]{x}, \\ y = (x + 3)^6 - 1. \end{cases}$

а)

Для нахождения точек пересечения графиков функций, приравняем их правые части:

$\sqrt[4]{x} - 1 = x^2 - 2x - 8$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется наличием корня четвертой степени, поэтому $x \ge 0$.

Перенесем все члены в одну сторону:

$\sqrt[4]{x} - x^2 + 2x + 7 = 0$

Данное уравнение является трансцендентным и не имеет простого аналитического решения. Проанализируем поведение функций $f(x) = \sqrt[4]{x} - 1$ и $g(x) = x^2 - 2x - 8$ на ОДЗ.

Функция $f(x) = \sqrt[4]{x} - 1$ является возрастающей для всех $x \ge 0$.

Функция $g(x) = x^2 - 2x - 8$ — это парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в точке $x = -\frac{-2}{2\cdot1} = 1$.

Сравним значения функций в некоторых точках:

• При $x=4$: $f(4) = \sqrt[4]{4} - 1 = \sqrt{2} - 1 \approx 0.414$, а $g(4) = 4^2 - 2(4) - 8 = 0$. Здесь $f(4) > g(4)$.
• При $x=5$: $f(5) = \sqrt[4]{5} - 1 \approx 1.495 - 1 = 0.495$, а $g(5) = 5^2 - 2(5) - 8 = 7$. Здесь $f(5) < g(5)$.

Поскольку функции непрерывны, а на концах отрезка $[4, 5]$ разность $f(x) - g(x)$ меняет знак, то на интервале $(4, 5)$ существует как минимум один корень. Более подробный анализ показывает, что корень единственный. Найти его точное значение стандартными алгебраическими методами невозможно, так как это требует решения уравнения высокой степени.

Ответ: система имеет одно решение, абсцисса которого лежит в интервале $(4, 5)$. Найти точное аналитическое решение стандартными методами невозможно.

б)

Приравняем правые части уравнений системы:

$\sqrt[5]{x} = 2x^4 - 5$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$ (корень нечетной степени определен для всех действительных чисел).

Это уравнение также не имеет простого аналитического решения. Проанализируем функции $f(x) = \sqrt[5]{x}$ и $g(x) = 2x^4 - 5$.

$f(x) = \sqrt[5]{x}$ — возрастающая функция на всей числовой оси.

$g(x) = 2x^4 - 5$ — четная функция, убывает при $x < 0$ и возрастает при $x > 0$.

Рассмотрим пересечение для $x > 0$. Обе функции возрастают.

• При $x=1$: $f(1) = 1$, $g(1) = 2(1)^4 - 5 = -3$. Здесь $f(1) > g(1)$.
• При $x=2$: $f(2) = \sqrt[5]{2} \approx 1.15$, $g(2) = 2(2)^4 - 5 = 27$. Здесь $f(2) < g(2)$.

Так как функции непрерывны, на интервале $(1, 2)$ есть корень.

Рассмотрим пересечение для $x < 0$. Функция $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, значит, они могут пересечься не более одного раза.

• При $x=-1$: $f(-1) = -1$, $g(-1) = 2(-1)^4 - 5 = -3$. Здесь $f(-1) > g(-1)$.
• При $x=-2$: $f(-2) = -\sqrt[5]{2} \approx -1.15$, $g(-2) = 2(-2)^4 - 5 = 27$. Здесь $f(-2) < g(-2)$.

Следовательно, на интервале $(-2, -1)$ также есть корень. Всего система имеет два решения.

Ответ: система имеет два решения. Абсцисса одного решения лежит в интервале $(-2, -1)$, другого — в интервале $(1, 2)$. Найти точные аналитические решения стандартными методами невозможно.

в)

Приравняем правые части уравнений:

$2^{\sqrt[3]{x}} = 10x - 16 - x^2$

ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Проанализируем функции. $f(x) = 2^{\sqrt[3]{x}}$ — монотонно возрастающая и всегда положительная функция.

$g(x) = -x^2 + 10x - 16$ — парабола с ветвями вниз. Ее вершина находится в точке $x=5$, $y_{max} = g(5) = 9$. Корни параболы $x_1=2$ и $x_2=8$. Функция $g(x)$ положительна только на интервале $(2, 8)$. Таким образом, решения могут существовать только в этом интервале.

Сравним значения функций на границах и в других точках интервала:

• При $x=2$: $f(2) = 2^{\sqrt[3]{2}} \approx 2.4$, $g(2) = 0$. Здесь $f(2) > g(2)$.
• При $x=5$: $f(5) = 2^{\sqrt[3]{5}} \approx 3.27$, $g(5) = 9$. Здесь $f(5) < g(5)$.
• При $x=8$: $f(8) = 2^{\sqrt[3]{8}} = 2^2 = 4$, $g(8) = 0$. Здесь $f(8) > g(8)$.

Из смены знака разности $f(x)-g(x)$ следует, что один корень находится на интервале $(2, 5)$, а второй — на интервале $(5, 8)$. Найти их точные значения стандартными методами невозможно.

Ответ: система имеет два решения. Абсцисса одного решения лежит в интервале $(2, 5)$, другого — в интервале $(5, 8)$. Найти точные аналитические решения стандартными методами невозможно.

г)

Приравняем правые части уравнений:

$\sqrt[4]{x} = (x+3)^6 - 1$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Проанализируем функции $f(x) = \sqrt[4]{x}$ и $g(x) = (x+3)^6 - 1$ на области определения. Обе функции являются монотонно возрастающими при $x \ge 0$.

Сравним значения функций в точке $x=0$:

$f(0) = \sqrt[4]{0} = 0$.

$g(0) = (0+3)^6 - 1 = 729 - 1 = 728$.

В начальной точке ОДЗ значение $g(x)$ намного больше значения $f(x)$.

Рассмотрим разность функций $h(x) = g(x) - f(x) = (x+3)^6 - 1 - \sqrt[4]{x}$ и найдем ее наименьшее значение при $x \ge 0$.

Производная $h'(x) = 6(x+3)^5 - \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$. При $x \to 0^+$, $h'(x) \to -\infty$. При больших $x$, $h'(x) > 0$. Это значит, что функция $h(x)$ сначала убывает, достигает точки минимума, а затем возрастает.

Найдем точку минимума $x_{min}$ из условия $h'(x)=0$, то есть $6(x+3)^5 = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$. Левая часть возрастает, а правая убывает, значит решение единственно. Это $x_{min}$ — очень малое положительное число. Можно показать, что $x_{min} < 1/100000$.

Найдем значение функции в точке минимума: $h(x_{min}) = (x_{min}+3)^6 - 1 - \sqrt[4]{x_{min}}$.

Так как $x_{min}$ очень мало, $x_{min}+3 \approx 3$, а $\sqrt[4]{x_{min}}$ - малое положительное число (меньше 1). Тогда $h(x_{min}) \approx 3^6 - 1 - \sqrt[4]{x_{min}} = 728 - \sqrt[4]{x_{min}} > 0$.

Поскольку наименьшее значение функции $h(x)$ на области $x \ge 0$ строго положительно, уравнение $h(x)=0$ не имеет решений. Следовательно, графики функций не пересекаются.

Ответ: нет решений.

5.32. Постройте и прочитайте график функции:

а) $y = \begin{cases} 2x^2, \text{ если } x < 1 \\ \sqrt[4]{x+1}, \text{ если } x \ge 1 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} \sqrt[5]{x+1}, \text{ если } x < 0 \\ 2x^2 + 1, \text{ если } x \ge 0 \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} \frac{3}{x}, \text{ если } x < 0 \\ 2\sqrt[3]{x}, \text{ если } x \ge 0 \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} 2\cos x, \text{ если } x < 0 \\ 2 - \sqrt[3]{x}, \text{ если } x \ge 0 \end{cases}$

Построение графика:
1. На промежутке $(-\infty, 1)$ строим график функции $y = 2x^2$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Она растянута в 2 раза вдоль оси OY по сравнению с параболой $y=x^2$. Концевая точка этого участка при $x \to 1^-$ имеет координаты $(1, 2)$. Так как $x<1$, эта точка на графике будет выколотой (пустой кружок).
2. На промежутке $[1, +\infty)$ строим график функции $y = \sqrt[4]{x} + 1$. Это график функции $y = \sqrt[4]{x}$, смещенный на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Начальная точка этого участка имеет координаты $(1, \sqrt[4]{1}+1)$, то есть $(1, 2)$. Эта точка на графике будет закрашенной.
Поскольку выколотая точка первого графика совпадает с начальной точкой второго, функция является непрерывной.

Чтение графика (свойства функции):

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.

3. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

4. Четность/нечетность: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

5. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

6. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

7. Монотонность: Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

8. Экстремумы: $x=0$ — точка минимума, $y_{min} = y(0) = 0$.

Ответ: График функции состоит из ветви параболы $y=2x^2$ для $x<1$ и смещенного графика корня $y=\sqrt[4]{x}+1$ для $x \ge 1$. Функция непрерывна, определена для всех $x$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$. Убывает на $(-\infty, 0]$, возрастает на $[0, +\infty)$. Имеет точку минимума $(0, 0)$.

Построение графика:
1. На промежутке $(-\infty, 0)$ строим график функции $y = \sqrt[5]{x} + 1$. Это график функции $y = \sqrt[5]{x}$ (кубическая парабола, "лежащая на боку"), смещенный на 1 единицу вверх. Он проходит через точку $(-1, 0)$. В точке $x \to 0^-$ значение функции стремится к $1$. Точка $(0, 1)$ будет выколотой.
2. На промежутке $[0, +\infty)$ строим график функции $y = 2x^2 + 1$. Это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вверх и растянуты в 2 раза вдоль оси OY. Начальная точка этого участка — $(0, 1)$ — закрашенная.
Графики "склеиваются" в точке $(0, 1)$, поэтому функция непрерывна.

Чтение графика (свойства функции):

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

4. Четность/нечетность: Функция общего вида.

5. Нули функции: $y=0$ при $\sqrt[5]{x}+1=0 \implies x = -1$.

6. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-1, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -1)$.

7. Монотонность: Функция возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

8. Экстремумы: Экстремумов нет.

Ответ: График состоит из смещенного графика корня пятой степени для $x<0$ и части параболы для $x \ge 0$. Функция непрерывна и строго возрастает на всей числовой прямой. Область определения и область значений - все действительные числа. Нуль функции в точке $x=-1$.

Построение графика:
1. На промежутке $(-\infty, 0)$ строим график функции $y = \frac{3}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. График имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ при $x \to -\infty$ и вертикальную асимптоту $x=0$ (слева), при этом $y \to -\infty$.
2. На промежутке $[0, +\infty)$ строим график функции $y = 2\sqrt[3]{x}$. Это график функции $y = \sqrt[3]{x}$, растянутый в 2 раза вдоль оси OY. Он начинается в точке $(0, 0)$ и возрастает.
В точке $x=0$ функция терпит разрыв второго рода (бесконечный разрыв), так как предел слева равен $-\infty$, а значение в точке равно $0$.

Чтение графика (свойства функции):

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Непрерывность: Функция непрерывна на промежутках $(-\infty, 0)$ и $[0, +\infty)$. В точке $x=0$ имеет разрыв второго рода.

4. Четность/нечетность: Функция общего вида.

5. Нули функции: $y=0$ при $x=0$.

6. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, 0)$.

7. Монотонность: Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0)$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

8. Экстремумы: $x=0$ — точка локального минимума, $y_{min} = y(0) = 0$.

9. Асимптоты: Вертикальная асимптота $x=0$ (слева), горизонтальная асимптота $y=0$ (при $x \to -\infty$).

Ответ: График состоит из ветви гиперболы в третьей четверти для $x<0$ и растянутого графика кубического корня для $x \ge 0$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв. Область определения и значений - все действительные числа. Функция убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $[0, +\infty)$. Точка локального минимума $(0, 0)$.

Построение графика:
1. На промежутке $(-\infty, 0)$ строим график функции $y = 2\cos x$. Это косинусоида с амплитудой 2. Она колеблется между -2 и 2. В точке $x \to 0^-$ значение функции стремится к $2\cos(0)=2$. Точка $(0, 2)$ — выколотая.
2. На промежутке $[0, +\infty)$ строим график функции $y = 2 - \sqrt[3]{x}$. Это график функции $y=-\sqrt[3]{x}$, смещенный на 2 единицы вверх. Он начинается в точке $(0, 2 - \sqrt[3]{0})=(0, 2)$, которая является закрашенной, и монотонно убывает.
Графики "склеиваются" в точке $(0, 2)$, функция непрерывна.

Чтение графика (свойства функции):

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: $E(y) = (-\infty; 2]$.

3. Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

4. Четность/нечетность: Функция общего вида.

5. Нули функции: При $x < 0$ нули находятся в точках $x = -\frac{\pi}{2} - k\pi$, где $k \in \{0, 1, 2, ...\}$. При $x \ge 0$ нуль находится в точке $x=8$ (решение уравнения $2-\sqrt[3]{x}=0$).

6. Промежутки знакопостоянства: Для $x \ge 0$, $y > 0$ на $[0, 8)$ и $y < 0$ на $(8, +\infty)$. Для $x < 0$ знаки чередуются в соответствии со знаком $\cos x$.

7. Монотонность: Функция немонотонна. На промежутке $[0, +\infty)$ функция убывает. На промежутке $(-\infty, 0)$ функция периодически возрастает и убывает.

8. Экстремумы: $x=0$ — точка максимума, $y_{max} = 2$. Это глобальный максимум. При $x < 0$ имеются локальные максимумы $y=2$ в точках $x=-2k\pi$ и локальные минимумы $y=-2$ в точках $x=-(2k-1)\pi$ для $k \in \mathbb{N}$. Глобального минимума нет.

Ответ: График состоит из косинусоиды с амплитудой 2 для $x<0$ и убывающего графика $y=2-\sqrt[3]{x}$ для $x \ge 0$. Функция непрерывна, определена для всех $x$, область значений $E(y)=(-\infty, 2]$. Функция имеет глобальный максимум в точке $(0, 2)$.