Страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

6.7. a) $\sqrt[5]{1024x^{10}y^5z^{15}};$

б) $\sqrt[3]{\frac{343m^{12}}{64n^3p^{15}}};$

в) $\sqrt[4]{0,0081a^{12}b^4c^{20}};$

г) $\sqrt[4]{\frac{16r^{16}s^{12}}{81p^{24}q^4}}.$

а) Для того чтобы извлечь корень из произведения, можно извлечь корень из каждого множителя по отдельности, используя свойство $ \sqrt[n]{abc} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\sqrt[n]{c} $.

$ \sqrt[5]{1024x^{10}y^5z^{15}} = \sqrt[5]{1024} \cdot \sqrt[5]{x^{10}} \cdot \sqrt[5]{y^5} \cdot \sqrt[5]{z^{15}} $.
Показатель корня (5) — нечетное число, поэтому при извлечении корня знак модуля не ставится.
Вычислим корень из каждого множителя:
1. $ \sqrt[5]{1024} = 4 $, так как $ 4^5 = 1024 $.
2. Для степенных выражений воспользуемся свойством $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $:
$ \sqrt[5]{x^{10}} = x^{\frac{10}{5}} = x^2 $.
$ \sqrt[5]{y^5} = y^{\frac{5}{5}} = y $.
$ \sqrt[5]{z^{15}} = z^{\frac{15}{5}} = z^3 $.
3. Перемножим полученные результаты: $ 4 \cdot x^2 \cdot y \cdot z^3 = 4x^2yz^3 $.

Ответ: $ 4x^2yz^3 $

б) Для извлечения корня из дроби, можно извлечь корень из числителя и знаменателя по отдельности, используя свойство $ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} $.

$ \sqrt[3]{\frac{343m^{12}}{64n^3p^{15}}} = \frac{\sqrt[3]{343m^{12}}}{\sqrt[3]{64n^3p^{15}}} $.
Показатель корня (3) — нечетное число.
1. Упростим числитель: $ \sqrt[3]{343m^{12}} = \sqrt[3]{343} \cdot \sqrt[3]{m^{12}} $.
$ \sqrt[3]{343} = 7 $, так как $ 7^3 = 343 $.
$ \sqrt[3]{m^{12}} = m^{\frac{12}{3}} = m^4 $.
Числитель равен $ 7m^4 $.
2. Упростим знаменатель: $ \sqrt[3]{64n^3p^{15}} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{n^3} \cdot \sqrt[3]{p^{15}} $.
$ \sqrt[3]{64} = 4 $, так как $ 4^3 = 64 $.
$ \sqrt[3]{n^3} = n^{\frac{3}{3}} = n $.
$ \sqrt[3]{p^{15}} = p^{\frac{15}{3}} = p^5 $.
Знаменатель равен $ 4np^5 $.
3. Объединим числитель и знаменатель: $ \frac{7m^4}{4np^5} $.

Ответ: $ \frac{7m^4}{4np^5} $

в) Разложим подкоренное выражение на множители и извлечем корень из каждого: $ \sqrt[4]{0,0081a^{12}b^4c^{20}} = \sqrt[4]{0,0081} \cdot \sqrt[4]{a^{12}} \cdot \sqrt[4]{b^4} \cdot \sqrt[4]{c^{20}} $.
Показатель корня (4) — четное число. При извлечении корня четной степени необходимо использовать модуль, согласно правилу $ \sqrt[2k]{A^{2k}} = |A| $.
1. Вычислим корень из числового коэффициента: $ \sqrt[4]{0,0081} = \sqrt[4]{(0,3)^4} = 0,3 $.
2. Упростим выражения с переменными:
$ \sqrt[4]{a^{12}} = \sqrt[4]{(a^3)^4} = |a^3| $.
$ \sqrt[4]{b^4} = |b| $.
$ \sqrt[4]{c^{20}} = \sqrt[4]{(c^5)^4} = |c^5| $.
3. Перемножим результаты и, используя свойство $ |a| \cdot |b| = |ab| $, объединим модули: $ 0,3 \cdot |a^3| \cdot |b| \cdot |c^5| = 0,3|a^3bc^5| $.

Ответ: $ 0,3|a^3bc^5| $

г) Используем свойство корня из дроби: $ \sqrt[4]{\frac{16r^{16}s^{12}}{81p^{24}q^4}} = \frac{\sqrt[4]{16r^{16}s^{12}}}{\sqrt[4]{81p^{24}q^4}} $.
Показатель корня (4) — четное число, поэтому для некоторых переменных нужно будет использовать модуль.
1. Упростим числитель: $ \sqrt[4]{16r^{16}s^{12}} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{r^{16}} \cdot \sqrt[4]{s^{12}} $.
$ \sqrt[4]{16} = 2 $.
$ \sqrt[4]{r^{16}} = \sqrt[4]{(r^4)^4} = |r^4| $. Так как выражение $ r^4 $ всегда неотрицательно, $ |r^4| = r^4 $.
$ \sqrt[4]{s^{12}} = \sqrt[4]{(s^3)^4} = |s^3| $.
Числитель равен $ 2r^4|s^3| $.
2. Упростим знаменатель: $ \sqrt[4]{81p^{24}q^4} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{p^{24}} \cdot \sqrt[4]{q^4} $.
$ \sqrt[4]{81} = 3 $.
$ \sqrt[4]{p^{24}} = \sqrt[4]{(p^6)^4} = |p^6| $. Так как $ p^6 $ всегда неотрицательно, $ |p^6| = p^6 $.
$ \sqrt[4]{q^4} = |q| $.
Знаменатель равен $ 3p^6|q| $.
3. Объединим числитель и знаменатель: $ \frac{2r^4|s^3|}{3p^6|q|} $.

Ответ: $ \frac{2r^4|s^3|}{3p^6|q|} $

Возведите в степень:

6.8. а) $(\sqrt[n]{a})^n$;

б) $(b \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n}$;

в) $(\sqrt[p]{b})^p$;

г) $\left(\frac{1}{b}\sqrt[p]{b}\right)^{2p}$.

а) $(\sqrt[n]{a})^n$

По определению корня n-ой степени, корень n-ой степени из числа $a$ (обозначается как $\sqrt[n]{a}$) — это такое число, которое при возведении в степень $n$ дает в результате подкоренное выражение $a$. Следовательно, по определению:

$(\sqrt[n]{a})^n = a$.

Другой способ решения — представить корень в виде степени с рациональным показателем, используя формулу $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$:

$(\sqrt[n]{a})^n = (a^{\frac{1}{n}})^n$.

Далее, по свойству возведения степени в степень $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$, получаем:

$(a^{\frac{1}{n}})^n = a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a^1 = a$.

Ответ: $a$.

б) $(b \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n}$

Для начала воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(x \cdot y)^k = x^k \cdot y^k$:

$(b \cdot \sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n} = b^{2n} \cdot (\sqrt[n]{\frac{1}{b}})^{2n}$.

Теперь упростим второй множитель. Представим корень в виде степени с рациональным показателем и используем свойство $ \frac{1}{x} = x^{-1} $:

$\sqrt[n]{\frac{1}{b}} = (\frac{1}{b})^{\frac{1}{n}} = (b^{-1})^{\frac{1}{n}} = b^{-\frac{1}{n}}$.

Возведем полученное выражение в степень $2n$, используя свойство $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$:

$(b^{-\frac{1}{n}})^{2n} = b^{-\frac{1}{n} \cdot 2n} = b^{-2}$.

Подставим упрощенное выражение обратно в исходное равенство и перемножим степени с одинаковым основанием по правилу $x^m \cdot x^k = x^{m+k}$:

$b^{2n} \cdot b^{-2} = b^{2n + (-2)} = b^{2n-2}$.

Ответ: $b^{2n-2}$.

в) $(\sqrt[p]{b})^p$

Это выражение полностью аналогично примеру а). По определению корня p-ой степени, результатом возведения корня p-ой степени из числа $b$ в степень $p$ будет само число $b$.

$(\sqrt[p]{b})^p = b$.

Используя степени с рациональным показателем:

$\sqrt[p]{b} = b^{\frac{1}{p}}$.

$(\sqrt[p]{b})^p = (b^{\frac{1}{p}})^p = b^{\frac{1}{p} \cdot p} = b^1 = b$.

Ответ: $b$.

г) $(\frac{1}{b} \sqrt[p]{b})^{2p}$

Сначала преобразуем выражение в скобках, представив все члены в виде степеней с основанием $b$:

$\frac{1}{b} = b^{-1}$

$\sqrt[p]{b} = b^{\frac{1}{p}}$

Тогда выражение в скобках будет: $b^{-1} \cdot b^{\frac{1}{p}}$. По свойству умножения степеней $x^m \cdot x^k = x^{m+k}$ получаем:

$b^{-1} \cdot b^{\frac{1}{p}} = b^{-1 + \frac{1}{p}}$.

Теперь возведем это выражение в степень $2p$, используя свойство $(x^m)^k = x^{m \cdot k}$:

$(b^{-1 + \frac{1}{p}})^{2p} = b^{(-1 + \frac{1}{p}) \cdot 2p} = b^{-1 \cdot 2p + \frac{1}{p} \cdot 2p} = b^{-2p + 2} = b^{2-2p}$.

Ответ: $b^{2-2p}$.

6.9. a) $(\sqrt[3]{3a})^9$;

б) $(-5 \cdot \sqrt[3]{a^2})^2$;

В) $(5a \cdot \sqrt[3]{a})^2$;

Г) $(2\sqrt[3]{-3a^2})^5$.

а) $(\sqrt[3]{3a})^9$

Для решения воспользуемся свойством возведения корня в степень $(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$, а также представим корень в виде степени с рациональным показателем $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

$(\sqrt[3]{3a})^9 = (3a)^{\frac{9}{3}} = (3a)^3$

Теперь применим свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.

$(3a)^3 = 3^3 \cdot a^3 = 27a^3$

Ответ: $27a^3$

б) $(-5 \cdot \sqrt[3]{a^2})^2$

Воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.

$(-5 \cdot \sqrt[3]{a^2})^2 = (-5)^2 \cdot (\sqrt[3]{a^2})^2$

Вычисляем квадрат первого множителя: $(-5)^2 = 25$.

Упрощаем второй множитель, используя свойство $(\sqrt[n]{x^m})^k = \sqrt[n]{x^{m \cdot k}}$:

$(\sqrt[3]{a^2})^2 = \sqrt[3]{(a^2)^2} = \sqrt[3]{a^4}$

Вынесем множитель из-под знака корня, представив $a^4$ как $a^3 \cdot a$:

$\sqrt[3]{a^4} = \sqrt[3]{a^3 \cdot a} = \sqrt[3]{a^3} \cdot \sqrt[3]{a} = a\sqrt[3]{a}$

Объединяем полученные результаты:

$25 \cdot a\sqrt[3]{a} = 25a\sqrt[3]{a}$

Ответ: $25a\sqrt[3]{a}$

в) $(5a \cdot \sqrt[3]{a})^2$

Применим свойство возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$.

$(5a \cdot \sqrt[3]{a})^2 = 5^2 \cdot a^2 \cdot (\sqrt[3]{a})^2$

Вычисляем $5^2 = 25$.

Упрощаем выражение с корнем: $(\sqrt[3]{a})^2 = \sqrt[3]{a^2}$.

Собираем все части вместе:

$25 \cdot a^2 \cdot \sqrt[3]{a^2} = 25a^2\sqrt[3]{a^2}$

Ответ: $25a^2\sqrt[3]{a^2}$

г) $(2\sqrt[3]{-3a^2})^5$

Воспользуемся свойством возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$.

$(2\sqrt[3]{-3a^2})^5 = 2^5 \cdot (\sqrt[3]{-3a^2})^5$

Вычисляем $2^5 = 32$.

Теперь упростим второй множитель. Используем свойство $(\sqrt[n]{x})^m = \sqrt[n]{x^m}$.

$(\sqrt[3]{-3a^2})^5 = \sqrt[3]{(-3a^2)^5} = \sqrt[3]{(-3)^5 \cdot (a^2)^5} = \sqrt[3]{-243 \cdot a^{10}}$

Вынесем множители из-под знака корня. Для этого представим подкоренное выражение в виде произведения множителей, являющихся кубами чисел или переменных.

$\sqrt[3]{-243 \cdot a^{10}} = \sqrt[3]{(-27 \cdot 9) \cdot (a^9 \cdot a)} = \sqrt[3]{-27} \cdot \sqrt[3]{a^9} \cdot \sqrt[3]{9a}$

Вычисляем корни:

$\sqrt[3]{-27} = -3$

$\sqrt[3]{a^9} = a^{\frac{9}{3}} = a^3$

Таким образом, $\sqrt[3]{-243 a^{10}} = -3a^3\sqrt[3]{9a}$.

Перемножим полученные результаты:

$32 \cdot (-3a^3\sqrt[3]{9a}) = -96a^3\sqrt[3]{9a}$

Ответ: $-96a^3\sqrt[3]{9a}$

Вычислите:

6.10. а) $\sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 - 2\sqrt{5}}$

б) $\sqrt[5]{6 - 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{6 + 2\sqrt{17}}$

в) $\sqrt[3]{8 - \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 + \sqrt{37}}$

г) $\sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3}$

а)

Для вычисления произведения корней одной и той же степени воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[4]{6 + 2\sqrt{5}} \cdot \sqrt[4]{6 - 2\sqrt{5}} = \sqrt[4]{(6 + 2\sqrt{5})(6 - 2\sqrt{5})}$

Выражение под корнем представляет собой произведение суммы и разности двух выражений, которое равно разности их квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. В данном случае $x=6$ и $y=2\sqrt{5}$.

$(6 + 2\sqrt{5})(6 - 2\sqrt{5}) = 6^2 - (2\sqrt{5})^2 = 36 - (4 \cdot (\sqrt{5})^2) = 36 - (4 \cdot 5) = 36 - 20 = 16$.

Таким образом, исходное выражение равно $\sqrt[4]{16}$.

Поскольку $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$.

Ответ: 2

б)

Используем то же свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[5]{6 - 2\sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{6 + 2\sqrt{17}} = \sqrt[5]{(6 - 2\sqrt{17})(6 + 2\sqrt{17})}$

Применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=6$ и $y=2\sqrt{17}$.

$(6 - 2\sqrt{17})(6 + 2\sqrt{17}) = 6^2 - (2\sqrt{17})^2 = 36 - (4 \cdot 17) = 36 - 68 = -32$.

Получаем выражение $\sqrt[5]{-32}$.

Так как корень нечетной степени из отрицательного числа существует и $(-2)^5 = -32$, то $\sqrt[5]{-32} = -2$.

Ответ: -2

в)

Снова используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[3]{8 - \sqrt{37}} \cdot \sqrt[3]{8 + \sqrt{37}} = \sqrt[3]{(8 - \sqrt{37})(8 + \sqrt{37})}$

Воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$, где $x=8$ и $y=\sqrt{37}$.

$(8 - \sqrt{37})(8 + \sqrt{37}) = 8^2 - (\sqrt{37})^2 = 64 - 37 = 27$.

Имеем выражение $\sqrt[3]{27}$.

Поскольку $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: 3

г)

Применим свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.

$\sqrt[3]{\sqrt{17} + 3} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{17} - 3} = \sqrt[3]{(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} - 3)}$

Используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x=\sqrt{17}$ и $y=3$.

$(\sqrt{17} + 3)(\sqrt{17} - 3) = (\sqrt{17})^2 - 3^2 = 17 - 9 = 8$.

В результате получаем $\sqrt[3]{8}$.

Поскольку $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.

Ответ: 2

6.11. a) $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{-3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{9} - \frac{\sqrt[5]{-64}}{\sqrt[5]{2}};$

б) $\sqrt[3]{-5} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt{32} + \frac{\sqrt[5]{-729}}{\sqrt[5]{3}}.$

а)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{-3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{9} - \frac{\sqrt[5]{-64}}{\sqrt[5]{2}}$ выполним следующие действия:

1. Сгруппируем множители с одинаковыми показателями корня. Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

Вычислим произведение квадратных корней:

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{3 \cdot 27} = \sqrt{81} = 9$.

Вычислим произведение кубических корней:

$\sqrt[3]{-3} \cdot \sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{-3 \cdot 9} = \sqrt[3]{-27} = -3$.

2. Упростим дробь, используя свойство частного корней $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[5]{-64}}{\sqrt[5]{2}} = \sqrt[5]{\frac{-64}{2}} = \sqrt[5]{-32}$.

Поскольку $(-2)^5 = -32$, то $\sqrt[5]{-32} = -2$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним оставшиеся действия:

$(\sqrt{3} \cdot \sqrt{27}) \cdot (\sqrt[3]{-3} \cdot \sqrt[3]{9}) - \frac{\sqrt[5]{-64}}{\sqrt[5]{2}} = 9 \cdot (-3) - (-2) = -27 + 2 = -25$.

Ответ: $-25$

б)

Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{-5} \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt{32} + \frac{\sqrt[5]{-729}}{\sqrt[5]{3}}$ выполним следующие действия:

1. Сгруппируем множители с одинаковыми показателями корня и используем свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

Вычислим произведение кубических корней:

$\sqrt[3]{-5} \cdot \sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{-5 \cdot 25} = \sqrt[3]{-125} = -5$.

Вычислим произведение квадратных корней:

$\sqrt{8} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{8 \cdot 32} = \sqrt{256} = 16$.

2. Упростим дробь, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt[5]{-729}}{\sqrt[5]{3}} = \sqrt[5]{\frac{-729}{3}} = \sqrt[5]{-243}$.

Поскольку $(-3)^5 = -243$, то $\sqrt[5]{-243} = -3$.

3. Подставим полученные значения в исходное выражение и выполним оставшиеся действия:

$(\sqrt[3]{-5} \cdot \sqrt[3]{25}) \cdot (\sqrt{8} \cdot \sqrt{32}) + \frac{\sqrt[5]{-729}}{\sqrt[5]{3}} = (-5) \cdot 16 + (-3) = -80 - 3 = -83$.

Ответ: $-83$

6.12. а) $ \sqrt[4]{3^3} \cdot 4^2 \cdot \sqrt[4]{4^6} \cdot 3^5 $

Б) $ \sqrt[3]{7^2} \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{7^4} \cdot 2^2 $

В) $ \sqrt[6]{5^{10}} \cdot \sqrt[6]{2^{12}} \cdot 5^2 $

Г) $ \sqrt[5]{6^2} \cdot 3^7 \cdot \sqrt[5]{6^3} \cdot 3^3 $

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt[4]{3^3 \cdot 4^2} \cdot \sqrt[4]{4^6 \cdot 3^5}$, воспользуемся свойством произведения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.
Объединим оба выражения под один корень четвертой степени:
$\sqrt[4]{(3^3 \cdot 4^2) \cdot (4^6 \cdot 3^5)}$
Теперь сгруппируем множители с одинаковыми основаниями внутри корня, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$\sqrt[4]{(3^3 \cdot 3^5) \cdot (4^2 \cdot 4^6)} = \sqrt[4]{3^{3+5} \cdot 4^{2+6}} = \sqrt[4]{3^8 \cdot 4^8}$
Используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$, перепишем выражение:
$\sqrt[4]{(3 \cdot 4)^8} = \sqrt[4]{12^8}$
Применим свойство корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:
$12^{8/4} = 12^2 = 144$
Ответ: 144

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{7^2 \cdot 2} \cdot \sqrt[3]{7^4 \cdot 2^2}$. Так как показатели корней одинаковы (кубический корень), мы можем их перемножить:
$\sqrt[3]{(7^2 \cdot 2) \cdot (7^4 \cdot 2^2)}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\sqrt[3]{(7^2 \cdot 7^4) \cdot (2^1 \cdot 2^2)} = \sqrt[3]{7^{2+4} \cdot 2^{1+2}} = \sqrt[3]{7^6 \cdot 2^3}$
Теперь воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:
$\sqrt[3]{7^6} \cdot \sqrt[3]{2^3}$
Упростим каждый множитель, используя $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:
$7^{6/3} \cdot 2^{3/3} = 7^2 \cdot 2^1 = 49 \cdot 2 = 98$
Ответ: 98

в) Выражение для упрощения: $\sqrt[6]{5^{10}} \cdot \sqrt[6]{2^{12} \cdot 5^2}$. Показатели корней равны 6, поэтому объединяем подкоренные выражения:
$\sqrt[6]{5^{10} \cdot (2^{12} \cdot 5^2)}$
Группируем степени с основанием 5:
$\sqrt[6]{(5^{10} \cdot 5^2) \cdot 2^{12}} = \sqrt[6]{5^{10+2} \cdot 2^{12}} = \sqrt[6]{5^{12} \cdot 2^{12}}$
Применяем свойство $(ab)^n = a^n b^n$ в обратном порядке:
$\sqrt[6]{(5 \cdot 2)^{12}} = \sqrt[6]{10^{12}}$
Упрощаем, используя $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:
$10^{12/6} = 10^2 = 100$
Ответ: 100

г) Упростим выражение $\sqrt[5]{6^2 \cdot 3^7} \cdot \sqrt[5]{6^3 \cdot 3^3}$. Показатели корней одинаковы, поэтому перемножим подкоренные выражения:
$\sqrt[5]{(6^2 \cdot 3^7) \cdot (6^3 \cdot 3^3)}$
Сгруппируем множители по основаниям:
$\sqrt[5]{(6^2 \cdot 6^3) \cdot (3^7 \cdot 3^3)} = \sqrt[5]{6^{2+3} \cdot 3^{7+3}} = \sqrt[5]{6^5 \cdot 3^{10}}$
Разобьем на произведение корней:
$\sqrt[5]{6^5} \cdot \sqrt[5]{3^{10}}$
Упростим каждый из них:
$6^{5/5} \cdot 3^{10/5} = 6^1 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54$
Ответ: 54

6.13. a) $\sqrt[3]{100 + 51\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}};$
б) $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt[3]{16 + 8\sqrt{5}};$
в) $\sqrt[3]{37 + 30\sqrt{3}} + \sqrt{61 - 28\sqrt{3}};$
г) $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} + \sqrt[3]{99 + 70\sqrt{2}}.$

а) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{100 + 51\sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$. Упростим каждый член по отдельности.
Для первого члена $\sqrt[3]{100 + 51\sqrt{3}}$ будем искать его значение в виде $a + b\sqrt{3}$. Воспользуемся формулой куба суммы: $(a + b\sqrt{3})^3 = a^3 + 3a^2(b\sqrt{3}) + 3a(b\sqrt{3})^2 + (b\sqrt{3})^3 = (a^3 + 9ab^2) + (3a^2b + 3b^3)\sqrt{3}$.
Приравняв соответствующие части к $100 + 51\sqrt{3}$, получаем систему уравнений:
$\begin{cases} a^3 + 9ab^2 = 100 \\ 3a^2b + 3b^3 = 51 \end{cases}$
Из второго уравнения $3b(a^2 + b^2) = 51$, или $b(a^2 + b^2) = 17$. Предполагая, что $a$ и $b$ — целые числа, и зная, что 17 — простое число, получаем $b=1$ и $a^2+b^2=17$. Отсюда $a^2+1^2=17 \implies a^2=16 \implies a=4$.
Проверим найденные значения в первом уравнении: $4^3 + 9 \cdot 4 \cdot 1^2 = 64 + 36 = 100$. Равенство выполняется.
Таким образом, $100 + 51\sqrt{3} = (4 + \sqrt{3})^3$, и $\sqrt[3]{100 + 51\sqrt{3}} = 4 + \sqrt{3}$.
Для второго члена $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}}$ представим подкоренное выражение как квадрат разности:
$4 - 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3} \cdot 1 + 1 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{3}-1)^2$.
Следовательно, $\sqrt{4 - 2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = |\sqrt{3}-1| = \sqrt{3}-1$, так как $\sqrt{3} > 1$.
Теперь найдем разность: $(4 + \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - 1) = 4 + \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 = 5$.
Ответ: 5.

б) Рассмотрим выражение $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} - \sqrt[3]{16 + 8\sqrt{5}}$. Упростим каждый член по отдельности.
Для первого члена $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$, преобразуем его к виду $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$: $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{9 - 2\sqrt{4 \cdot 5}} = \sqrt{9 - 2\sqrt{20}}$.
Нам нужны два числа, сумма которых равна 9, а произведение 20. Это числа 5 и 4. Тогда:
$9 - 2\sqrt{20} = 5 - 2\sqrt{5 \cdot 4} + 4 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{4} + (\sqrt{4})^2 = (\sqrt{5}-2)^2$.
Значит, $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}} = \sqrt{(\sqrt{5}-2)^2} = |\sqrt{5}-2| = \sqrt{5}-2$, так как $\sqrt{5} \approx 2.23 > 2$.
Для второго члена $\sqrt[3]{16 + 8\sqrt{5}}$, представим $16 + 8\sqrt{5}$ в виде $(a+b\sqrt{5})^3$.
$(a+b\sqrt{5})^3 = (a^3+15ab^2) + (3a^2b+5b^3)\sqrt{5}$.
Получаем систему: $\begin{cases} a^3 + 15ab^2 = 16 \\ 3a^2b + 5b^3 = 8 \end{cases}$.
Из второго уравнения: $b(3a^2+5b^2)=8$. Пробуем целое значение $b=1$: $3a^2+5=8 \implies 3a^2=3 \implies a=1$.
Проверяем первое уравнение: $1^3+15 \cdot 1 \cdot 1^2 = 1+15=16$. Верно.
Следовательно, $16 + 8\sqrt{5} = (1 + \sqrt{5})^3$, и $\sqrt[3]{16 + 8\sqrt{5}} = 1 + \sqrt{5}$.
Вычислим исходное выражение: $(\sqrt{5} - 2) - (1 + \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2 - 1 - \sqrt{5} = -3$.
Ответ: -3.

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{37 + 30\sqrt{3}} + \sqrt{61 - 28\sqrt{3}}$. Упростим каждый член по отдельности.
Для первого члена $\sqrt[3]{37 + 30\sqrt{3}}$, представим $37 + 30\sqrt{3}$ в виде $(a+b\sqrt{3})^3$.
$(a+b\sqrt{3})^3 = (a^3+9ab^2) + (3a^2b+3b^3)\sqrt{3}$.
Получаем систему: $\begin{cases} a^3 + 9ab^2 = 37 \\ 3a^2b + 3b^3 = 30 \end{cases}$.
Из второго уравнения: $3b(a^2+b^2)=30 \implies b(a^2+b^2)=10$. Пробуем целое $b=2$: $2(a^2+4)=10 \implies a^2+4=5 \implies a^2=1 \implies a=1$.
Проверяем первое уравнение: $1^3+9 \cdot 1 \cdot 2^2 = 1+36=37$. Верно.
Следовательно, $37 + 30\sqrt{3} = (1 + 2\sqrt{3})^3$, и $\sqrt[3]{37 + 30\sqrt{3}} = 1 + 2\sqrt{3}$.
Для второго члена $\sqrt{61 - 28\sqrt{3}}$, преобразуем его к виду $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$: $\sqrt{61 - 2 \cdot 14\sqrt{3}} = \sqrt{61 - 2\sqrt{14^2 \cdot 3}} = \sqrt{61 - 2\sqrt{588}}$.
Нам нужны два числа, сумма которых равна 61, а произведение 588. Это числа 49 и 12 ($49 \cdot 12 = 588$, $49+12=61$). Тогда:
$61 - 2\sqrt{588} = 49 - 2\sqrt{49 \cdot 12} + 12 = (\sqrt{49}-\sqrt{12})^2 = (7-2\sqrt{3})^2$.
Значит, $\sqrt{61 - 28\sqrt{3}} = \sqrt{(7 - 2\sqrt{3})^2} = |7 - 2\sqrt{3}| = 7 - 2\sqrt{3}$, так как $7 > 2\sqrt{3}$ ($49 > 12$).
Вычислим сумму: $(1 + 2\sqrt{3}) + (7 - 2\sqrt{3}) = 1 + 2\sqrt{3} + 7 - 2\sqrt{3} = 8$.
Ответ: 8.

г) Рассмотрим выражение $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} + \sqrt[3]{99 + 70\sqrt{2}}$. Упростим каждый член по отдельности.
Для первого члена $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}}$, преобразуем его к виду $\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$: $\sqrt{17 - 2 \cdot 6\sqrt{2}} = \sqrt{17 - 2\sqrt{36 \cdot 2}} = \sqrt{17 - 2\sqrt{72}}$.
Нам нужны два числа, сумма которых равна 17, а произведение 72. Это числа 9 и 8. Тогда:
$17 - 2\sqrt{72} = 9 - 2\sqrt{9 \cdot 8} + 8 = (\sqrt{9} - \sqrt{8})^2 = (3-2\sqrt{2})^2$.
Значит, $\sqrt{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{(3-2\sqrt{2})^2} = |3-2\sqrt{2}| = 3-2\sqrt{2}$, так как $3 > 2\sqrt{2}$ ($9>8$).
Для второго члена $\sqrt[3]{99 + 70\sqrt{2}}$, представим $99 + 70\sqrt{2}$ в виде $(a+b\sqrt{2})^3$.
$(a+b\sqrt{2})^3 = (a^3+6ab^2) + (3a^2b+2b^3)\sqrt{2}$.
Получаем систему: $\begin{cases} a^3 + 6ab^2 = 99 \\ 3a^2b + 2b^3 = 70 \end{cases}$.
Из второго уравнения: $b(3a^2+2b^2)=70$. Пробуем целое $b=2$: $2(3a^2+2 \cdot 2^2)=70 \implies 3a^2+8=35 \implies 3a^2=27 \implies a=3$.
Проверяем первое уравнение: $3^3+6 \cdot 3 \cdot 2^2 = 27+72=99$. Верно.
Следовательно, $99 + 70\sqrt{2} = (3 + 2\sqrt{2})^3$, и $\sqrt[3]{99 + 70\sqrt{2}} = 3 + 2\sqrt{2}$.
Вычислим сумму: $(3 - 2\sqrt{2}) + (3 + 2\sqrt{2}) = 3 - 2\sqrt{2} + 3 + 2\sqrt{2} = 6$.
Ответ: 6.

6.14. a) $\sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}};$

б) $\sqrt[3]{29\sqrt{2} - 45} - \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}};$

в) $\sqrt[3]{38 - 17\sqrt{5}} + \sqrt[3]{17\sqrt{5} + 38};$

г) $\sqrt[3]{170 + 78\sqrt{3}} - \sqrt[3]{78\sqrt{3} - 170}.$

а) $\sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}}$

Обозначим данное выражение через $x$:

$x = \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}}$

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$:

$x^3 = (\sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}})^3 + (\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}})^3 + 3\sqrt[3]{(26 - 15\sqrt{3})(26 + 15\sqrt{3})}(\sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}})$

Заметим, что выражение в скобках в правой части равно $x$. Упростим уравнение:

$x^3 = (26 - 15\sqrt{3}) + (26 + 15\sqrt{3}) + 3\sqrt[3]{26^2 - (15\sqrt{3})^2} \cdot x$

$x^3 = 52 + 3\sqrt[3]{676 - 225 \cdot 3} \cdot x$

$x^3 = 52 + 3\sqrt[3]{676 - 675} \cdot x$

$x^3 = 52 + 3\sqrt[3]{1} \cdot x$

Получаем кубическое уравнение:

$x^3 - 3x - 52 = 0$

Будем искать целые корни среди делителей свободного члена (-52): $\pm1, \pm2, \pm4, \pm13, \pm26, \pm52$.

Проверим $x=4$:

$4^3 - 3 \cdot 4 - 52 = 64 - 12 - 52 = 52 - 52 = 0$

Поскольку $x=4$ является корнем уравнения, а два других корня являются комплексными (что можно проверить, разделив многочлен на $(x-4)$), это единственное действительное решение. Исходное выражение является действительным числом, следовательно, оно равно 4.

Ответ: 4

б) $\sqrt[3]{29\sqrt{2} - 45} - \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}}$

Перепишем выражение, вынеся знак минус из-под первого корня:

$\sqrt[3]{-(45 - 29\sqrt{2})} - \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}} = -\sqrt[3]{45 - 29\sqrt{2}} - \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}} = -(\sqrt[3]{45 - 29\sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}})$

Обозначим выражение в скобках через $x$:

$x = \sqrt[3]{45 - 29\sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}}$

Возведем обе части в куб:

$x^3 = (45 - 29\sqrt{2}) + (45 + 29\sqrt{2}) + 3\sqrt[3]{(45 - 29\sqrt{2})(45 + 29\sqrt{2})} \cdot x$

$x^3 = 90 + 3\sqrt[3]{45^2 - (29\sqrt{2})^2} \cdot x$

$x^3 = 90 + 3\sqrt[3]{2025 - 841 \cdot 2} \cdot x$

$x^3 = 90 + 3\sqrt[3]{2025 - 1682} \cdot x$

$x^3 = 90 + 3\sqrt[3]{343} \cdot x$

Так как $343 = 7^3$, то $\sqrt[3]{343}=7$.

$x^3 = 90 + 3 \cdot 7 \cdot x$

Получаем кубическое уравнение:

$x^3 - 21x - 90 = 0$

Будем искать целые корни среди делителей свободного члена (-90). Проверим $x=6$:

$6^3 - 21 \cdot 6 - 90 = 216 - 126 - 90 = 90 - 90 = 0$

Таким образом, $x=6$. Исходное выражение равно $-x$.

Ответ: -6

в) $\sqrt[3]{38 - 17\sqrt{5}} + \sqrt[3]{17\sqrt{5} + 38}$

Перепишем выражение в более удобном виде:

$\sqrt[3]{38 - 17\sqrt{5}} + \sqrt[3]{38 + 17\sqrt{5}}$

Обозначим данное выражение через $x$:

$x = \sqrt[3]{38 - 17\sqrt{5}} + \sqrt[3]{38 + 17\sqrt{5}}$

Возведем обе части уравнения в куб:

$x^3 = (38 - 17\sqrt{5}) + (38 + 17\sqrt{5}) + 3\sqrt[3]{(38 - 17\sqrt{5})(38 + 17\sqrt{5})} \cdot x$

$x^3 = 76 + 3\sqrt[3]{38^2 - (17\sqrt{5})^2} \cdot x$

$x^3 = 76 + 3\sqrt[3]{1444 - 289 \cdot 5} \cdot x$

$x^3 = 76 + 3\sqrt[3]{1444 - 1445} \cdot x$

$x^3 = 76 + 3\sqrt[3]{-1} \cdot x$

$x^3 = 76 - 3x$

Получаем кубическое уравнение:

$x^3 + 3x - 76 = 0$

Будем искать целые корни среди делителей свободного члена (-76). Проверим $x=4$:

$4^3 + 3 \cdot 4 - 76 = 64 + 12 - 76 = 76 - 76 = 0$

Таким образом, $x=4$ является решением.

Ответ: 4

г) $\sqrt[3]{170 + 78\sqrt{3}} - \sqrt[3]{78\sqrt{3} - 170}$

Преобразуем второй член выражения:

$\sqrt[3]{78\sqrt{3} - 170} = \sqrt[3]{-(170 - 78\sqrt{3})} = -\sqrt[3]{170 - 78\sqrt{3}}$

Тогда исходное выражение примет вид:

$\sqrt[3]{170 + 78\sqrt{3}} - (-\sqrt[3]{170 - 78\sqrt{3}}) = \sqrt[3]{170 + 78\sqrt{3}} + \sqrt[3]{170 - 78\sqrt{3}}$

Обозначим полученное выражение через $x$:

$x = \sqrt[3]{170 + 78\sqrt{3}} + \sqrt[3]{170 - 78\sqrt{3}}$

Возведем обе части в куб:

$x^3 = (170 + 78\sqrt{3}) + (170 - 78\sqrt{3}) + 3\sqrt[3]{(170 + 78\sqrt{3})(170 - 78\sqrt{3})} \cdot x$

$x^3 = 340 + 3\sqrt[3]{170^2 - (78\sqrt{3})^2} \cdot x$

$x^3 = 340 + 3\sqrt[3]{28900 - 6084 \cdot 3} \cdot x$

$x^3 = 340 + 3\sqrt[3]{28900 - 18252} \cdot x$

$x^3 = 340 + 3\sqrt[3]{10648} \cdot x$

Найдем кубический корень из 10648. Так как $20^3=8000$ и $30^3=27000$, корень находится между 20 и 30. Поскольку число оканчивается на 8, его кубический корень должен оканчиваться на 2. Проверим 22: $22^3 = 10648$.

$x^3 = 340 + 3 \cdot 22 \cdot x$

$x^3 = 340 + 66x$

Получаем кубическое уравнение:

$x^3 - 66x - 340 = 0$

Будем искать целые корни среди делителей свободного члена (-340). Проверим $x=10$:

$10^3 - 66 \cdot 10 - 340 = 1000 - 660 - 340 = 1000 - 1000 = 0$

Таким образом, $x=10$ является решением.

Ответ: 10