Страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

7.48. Упростите выражение:

a) $\left( \frac{\sqrt[4]{ab} - \sqrt{ab}}{1 - \sqrt{ab}} + \frac{1 - \sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{ab}} \right) : \frac{\sqrt[4]{ab}}{1 + \sqrt[4]{a^3b^3}} - \frac{1 - \sqrt[4]{ab} - \sqrt{ab}}{\sqrt{ab}};$

б) $a^3\sqrt{a\sqrt{3ab}} - 2a\sqrt{ab} \cdot \sqrt[6]{a^3b(7 + 4\sqrt{3})}.$

а)$ \left(\frac{\sqrt[4]{ab} - \sqrt{ab}}{1 - \sqrt{ab}} + \frac{1 - \sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{ab}}\right) : \frac{\sqrt[4]{ab}}{1 + \sqrt[4]{a^3b^3}} - \frac{1 - \sqrt[4]{ab} - \sqrt{ab}}{\sqrt{ab}} $

Для упрощения введем замену: пусть $x = \sqrt[4]{ab}$. Тогда $\sqrt{ab} = x^2$ и $\sqrt[4]{a^3b^3} = (\sqrt[4]{ab})^3 = x^3$. Выражение принимает вид:

$ \left(\frac{x - x^2}{1 - x^2} + \frac{1 - x}{x}\right) : \frac{x}{1 + x^3} - \frac{1 - x - x^2}{x^2} $

1. Упростим выражение в скобках:

$ \frac{x - x^2}{1 - x^2} + \frac{1 - x}{x} = \frac{x(1 - x)}{(1 - x)(1 + x)} + \frac{1 - x}{x} $

При $x \neq 1$ (т.е. $ab \neq 1$), сокращаем дробь:

$ \frac{x}{1 + x} + \frac{1 - x}{x} = \frac{x \cdot x + (1 - x)(1 + x)}{x(1 + x)} = \frac{x^2 + 1 - x^2}{x(1 + x)} = \frac{1}{x(1 + x)} $

2. Выполним деление:

$ \frac{1}{x(1 + x)} : \frac{x}{1 + x^3} = \frac{1}{x(1 + x)} \cdot \frac{1 + x^3}{x} $

Используем формулу суммы кубов $1 + x^3 = (1 + x)(1 - x + x^2)$:

$ \frac{1}{x(1 + x)} \cdot \frac{(1 + x)(1 - x + x^2)}{x} = \frac{1 - x + x^2}{x^2} $

3. Выполним вычитание:

$ \frac{1 - x + x^2}{x^2} - \frac{1 - x - x^2}{x^2} = \frac{(1 - x + x^2) - (1 - x - x^2)}{x^2} = \frac{1 - x + x^2 - 1 + x + x^2}{x^2} = \frac{2x^2}{x^2} = 2 $

Ответ: $2$

б)$ (a\sqrt[3]{a\sqrt{3ab}} - 2a\sqrt{ab}) \cdot \sqrt[6]{a^3b(7 + 4\sqrt{3})} $

1. Упростим множители в первых скобках, приведя их к корню шестой степени. ОДЗ: $a \geq 0, b \geq 0$.

$ a\sqrt[3]{a\sqrt{3ab}} = a\sqrt[3]{\sqrt{a^2 \cdot 3ab}} = a\sqrt[6]{3a^3b} $

$ 2a\sqrt{ab} = 2a\sqrt[6]{(ab)^3} = 2a\sqrt[6]{a^3b^3} $

2. Упростим второй множитель. Заметим, что подкоренное выражение $7 + 4\sqrt{3}$ является полным квадратом:

$ 7 + 4\sqrt{3} = 4 + 4\sqrt{3} + 3 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (2 + \sqrt{3})^2 $

Тогда второй множитель равен:

$ \sqrt[6]{a^3b(7 + 4\sqrt{3})} = \sqrt[6]{a^3b(2 + \sqrt{3})^2} $

3. Перемножим выражения. Вынесем $a$ из первых скобок и воспользуемся свойством дистрибутивности, умножив второй множитель на каждый член в скобках:

$ a(\sqrt[6]{3a^3b} - 2\sqrt[6]{a^3b^3}) \cdot \sqrt[6]{a^3b(2 + \sqrt{3})^2} = a \left( \sqrt[6]{3a^3b \cdot a^3b(2+\sqrt{3})^2} - 2\sqrt[6]{a^3b^3 \cdot a^3b(2+\sqrt{3})^2} \right) $

4. Упростим выражения под корнями:

$ a \left( \sqrt[6]{3a^6b^2(2+\sqrt{3})^2} - 2\sqrt[6]{a^6b^4(2+\sqrt{3})^2} \right) $

5. Извлечем из-под корней множители:

$ a \left( a\sqrt[6]{3b^2(2+\sqrt{3})^2} - 2a\sqrt[6]{b^4(2+\sqrt{3})^2} \right) = a^2 \left( \sqrt[6]{(\sqrt{3}b(2+\sqrt{3}))^2} - 2\sqrt[6]{(b^2(2+\sqrt{3}))^2} \right) $

Сократим степень корня и показателей степени в 2 раза:

$ a^2 \left( \sqrt[3]{\sqrt{3}b(2+\sqrt{3})} - 2\sqrt[3]{b^2(2+\sqrt{3})} \right) $

6. Вынесем общий множитель $\sqrt[3]{b(2+\sqrt{3})}$ за скобки:

$ a^2\sqrt[3]{b(2+\sqrt{3})} \left( \sqrt[3]{\sqrt{3}} - 2\sqrt[3]{b} \right) = a^2\sqrt[3]{b(2+\sqrt{3})} \left( \sqrt[6]{3} - 2\sqrt[3]{b} \right) $

Выражение в данной форме является упрощенным, так как дальнейшие преобразования не приводят к более простому виду. (Примечание: в исходном задачнике, вероятно, допущена опечатка, так как обычно в таких заданиях переменные, от которых не зависит ответ, сокращаются).

Ответ: $a^2\sqrt[3]{b(2+\sqrt{3})} (\sqrt[6]{3} - 2\sqrt[3]{b})$

7.49. Решите уравнение:

а) $ \frac{x\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x^2} - 1} - \frac{\sqrt[3]{x^2} - 1}{\sqrt[3]{x} + 1} = 4; $

б) $ \frac{x + 8}{\sqrt[3]{x} + 2} + \frac{\sqrt[3]{x^2} - 25}{\sqrt[3]{x} + 5} = 5. $

а)

Исходное уравнение:

$$ \frac{x\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt[3]{x^2} - 1} - \frac{\sqrt[3]{x^2} - 1}{\sqrt[3]{x} + 1} = 4 $$

Для упрощения введем замену: пусть $y = \sqrt[3]{x}$. Тогда $y^2 = (\sqrt[3]{x})^2 = \sqrt[3]{x^2}$, $x = y^3$, и $x\sqrt[3]{x} = y^3 \cdot y = y^4$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

1. $\sqrt[3]{x^2} - 1 \neq 0 \implies \sqrt[3]{x^2} \neq 1 \implies x^2 \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$.

2. $\sqrt[3]{x} + 1 \neq 0 \implies \sqrt[3]{x} \neq -1 \implies x \neq -1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 1$. В терминах переменной $y$: $y^2 \neq 1$ и $y \neq -1$, что эквивалентно $y \neq \pm 1$.

Подставим $y$ в уравнение:

$$ \frac{y^4 - 1}{y^2 - 1} - \frac{y^2 - 1}{y + 1} = 4 $$

Упростим дроби, используя формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и $a^4 - b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$:

$$ \frac{(y^2 - 1)(y^2 + 1)}{y^2 - 1} - \frac{(y - 1)(y + 1)}{y + 1} = 4 $$

Сокращаем дроби, так как $y \neq \pm 1$:

$$ (y^2 + 1) - (y - 1) = 4 $$

Раскрываем скобки и решаем полученное уравнение:

$y^2 + 1 - y + 1 = 4$

$y^2 - y + 2 = 4$

$y^2 - y - 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = 1$, $y_1 \cdot y_2 = -2$. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($y \neq \pm 1$). Корень $y_2 = -1$ является посторонним. Единственный подходящий корень - $y_1 = 2$.

Сделаем обратную замену:

$\sqrt[3]{x} = 2$

Возведем обе части в куб:

$x = 2^3 = 8$

Корень $x=8$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq \pm 1$).

Ответ: 8.

б)

Исходное уравнение:

$$ \frac{x + 8}{\sqrt[3]{x} + 2} + \frac{\sqrt[3]{x^2} - 25}{\sqrt[3]{x} + 5} = 5 $$

Введем замену: пусть $y = \sqrt[3]{x}$. Тогда $x = y^3$ и $\sqrt[3]{x^2} = y^2$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:

1. $\sqrt[3]{x} + 2 \neq 0 \implies \sqrt[3]{x} \neq -2 \implies x \neq -8$.

2. $\sqrt[3]{x} + 5 \neq 0 \implies \sqrt[3]{x} \neq -5 \implies x \neq -125$.

Таким образом, ОДЗ: $x \neq -8$ и $x \neq -125$. В терминах $y$: $y \neq -2$ и $y \neq -5$.

Подставим $y$ в уравнение:

$$ \frac{y^3 + 8}{y + 2} + \frac{y^2 - 25}{y + 5} = 5 $$

Упростим дроби, используя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ и разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$$ \frac{(y + 2)(y^2 - 2y + 4)}{y + 2} + \frac{(y - 5)(y + 5)}{y + 5} = 5 $$

Сокращаем дроби, так как $y \neq -2$ и $y \neq -5$:

$$ (y^2 - 2y + 4) + (y - 5) = 5 $$

Раскрываем скобки и решаем полученное уравнение:

$y^2 - y - 1 = 5$

$y^2 - y - 6 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения. По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 1$, $y_1 \cdot y_2 = -6$. Корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($y \neq -2$ и $y \neq -5$). Корень $y_2 = -2$ является посторонним, так как знаменатель первой дроби обращается в ноль. Единственный подходящий корень - $y_1 = 3$.

Сделаем обратную замену:

$\sqrt[3]{x} = 3$

Возведем обе части в куб:

$x = 3^3 = 27$

Корень $x=27$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -8$ и $x \neq -125$).

Ответ: 27.

Проверьте равенство:

7.50. a) $\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})} = 1;$

б) $\frac{2\sqrt[3]{2}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt[3]{20 + 12\sqrt{3}}}{2 + \sqrt{3}}.$

а)

Для проверки равенства $\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}}(2 - \sqrt{3}) = 1$ преобразуем его левую часть.

Сначала упростим выражение $\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}}$. Можно заметить, что подкоренное выражение может быть представлено в виде куба суммы. Проверим, является ли оно кубом выражения $(2 + \sqrt{3})$.

Используя формулу куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, раскроем скобки:

$(2 + \sqrt{3})^3 = 2^3 + 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = 8 + 12\sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 3\sqrt{3} = 8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3} = (8+18) + (12+3)\sqrt{3} = 26 + 15\sqrt{3}$.

Таким образом, мы показали, что $26 + 15\sqrt{3} = (2 + \sqrt{3})^3$.

Отсюда следует, что $\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(2 + \sqrt{3})^3} = 2 + \sqrt{3}$.

Теперь подставим полученный результат в левую часть исходного равенства:

$\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}}(2 - \sqrt{3}) = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})$.

Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$:

$(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.

Левая часть равенства равна 1, что совпадает с правой частью. Следовательно, равенство верно.

Ответ: равенство верно.

б)

Для проверки равенства $\frac{2\sqrt[3]{2}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt[3]{20 + 12\sqrt{3}}}{2 + \sqrt{3}}$ преобразуем правую часть.

Упростим выражение под кубическим корнем в числителе: $20 + 12\sqrt{3}$.

Вынесем общий множитель 2 за скобки: $20 + 12\sqrt{3} = 2(10 + 6\sqrt{3})$.

Теперь попробуем представить выражение $10 + 6\sqrt{3}$ в виде куба. Проверим гипотезу, что это $(1+\sqrt{3})^3$:

$(1+\sqrt{3})^3 = 1^3 + 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = 1 + 3\sqrt{3} + 3 \cdot 3 + 3\sqrt{3} = 1 + 3\sqrt{3} + 9 + 3\sqrt{3} = 10 + 6\sqrt{3}$.

Гипотеза верна. Значит, $20 + 12\sqrt{3} = 2(1+\sqrt{3})^3$.

Теперь можем упростить кубический корень:

$\sqrt[3]{20 + 12\sqrt{3}} = \sqrt[3]{2(1+\sqrt{3})^3} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{(1+\sqrt{3})^3} = \sqrt[3]{2}(1+\sqrt{3})$.

Подставим это выражение в правую часть исходного равенства:

$\frac{\sqrt[3]{20 + 12\sqrt{3}}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt[3]{2}(1+\sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}}$.

Теперь исходное равенство можно переписать в виде:

$\frac{2\sqrt[3]{2}}{1 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt[3]{2}(1+\sqrt{3})}{2 + \sqrt{3}}$.

Сократим обе части на $\sqrt[3]{2}$ (поскольку $\sqrt[3]{2} \neq 0$):

$\frac{2}{1 + \sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}$.

Для проверки этого равенства воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$2(2 + \sqrt{3}) = (1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})$.

$4 + 2\sqrt{3} = (1+\sqrt{3})^2$.

$4 + 2\sqrt{3} = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2$.

$4 + 2\sqrt{3} = 1 + 2\sqrt{3} + 3$.

$4 + 2\sqrt{3} = 4 + 2\sqrt{3}$.

Мы получили тождество, следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: равенство верно.

7.51. a) $\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7} = 2;$

б) $\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}} = 3.$

a) Докажем данное тождество. Для этого преобразуем выражения, стоящие под знаками кубических корней, представив их в виде полных кубов.

Воспользуемся формулой куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$. Попробуем найти такое выражение $(c+d\sqrt{2})^3$, которое будет равно $7+5\sqrt{2}$.

Раскроем куб: $(c+d\sqrt{2})^3 = c^3 + 3c^2d\sqrt{2} + 3c(d\sqrt{2})^2 + (d\sqrt{2})^3 = c^3 + 3c^2d\sqrt{2} + 6cd^2 + 2d^3\sqrt{2} = (c^3+6cd^2) + (3c^2d+2d^3)\sqrt{2}$.

Приравняем это выражение к $7+5\sqrt{2}$. Получим систему уравнений для целых $c$ и $d$:

$\begin{cases} c^3+6cd^2 = 7 \\ 3c^2d+2d^3 = 5 \end{cases}$

Подбором находим, что $c=1$ и $d=1$ являются решением системы:

$\begin{cases} 1^3+6(1)(1)^2 = 1+6 = 7 \\ 3(1)^2(1)+2(1)^3 = 3+2 = 5 \end{cases}$

Следовательно, $7+5\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^3$. Отсюда $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}$.

Теперь рассмотрим второе подкоренное выражение $5\sqrt{2}-7$. Заметим, что $(\sqrt{2}-1)^3 = (\sqrt{2})^3 - 3(\sqrt{2})^2 \cdot 1 + 3\sqrt{2} \cdot 1^2 - 1^3 = 2\sqrt{2} - 6 + 3\sqrt{2} - 1 = 5\sqrt{2}-7$.

Отсюда $\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} = \sqrt{2}-1$.

Подставим найденные значения в исходное выражение:

$\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2}-7} = (1+\sqrt{2}) - (\sqrt{2}-1) = 1+\sqrt{2}-\sqrt{2}+1 = 2$.

Равенство доказано.

Ответ: Равенство $\sqrt[3]{5\sqrt{2} + 7} - \sqrt[3]{5\sqrt{2} - 7} = 2$ является верным.

б) Докажем данное тождество. Обозначим левую часть равенства через $x$:

$x = \sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}$

Возведем обе части этого выражения в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$:

$x^3 = \left(\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)^3 + \left(\sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)^3 + 3\left(\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)\left(\sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)\left(\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}}\right)$

Упростим правую часть. Сумма первых двух слагаемых:

$\left(6 + \sqrt{\frac{847}{27}}\right) + \left(6 - \sqrt{\frac{847}{27}}\right) = 12$.

Произведение под знаками корней в третьем слагаемом равно:

$\sqrt[3]{\left(6 + \sqrt{\frac{847}{27}}\right)\left(6 - \sqrt{\frac{847}{27}}\right)} = \sqrt[3]{6^2 - \left(\sqrt{\frac{847}{27}}\right)^2} = \sqrt[3]{36 - \frac{847}{27}}$.

Вычислим значение выражения под корнем:

$36 - \frac{847}{27} = \frac{36 \cdot 27 - 847}{27} = \frac{972 - 847}{27} = \frac{125}{27}$.

Тогда произведение корней равно $\sqrt[3]{\frac{125}{27}} = \frac{5}{3}$.

Последний множитель в третьем слагаемом — это исходное выражение $x$.

Собираем все вместе:

$x^3 = 12 + 3 \cdot \frac{5}{3} \cdot x$

$x^3 = 12 + 5x$

Мы получили кубическое уравнение: $x^3 - 5x - 12 = 0$.

В условии задачи утверждается, что исходное выражение равно 3. Проверим, является ли $x=3$ корнем нашего уравнения:

$3^3 - 5(3) - 12 = 27 - 15 - 12 = 12 - 12 = 0$.

Да, $x=3$ является корнем уравнения. Чтобы доказать, что это единственный действительный корень, рассмотрим функцию $f(x) = x^3 - 5x - 12$. Ее производная $f'(x) = 3x^2 - 5$. Производная равна нулю при $x = \pm\sqrt{5/3}$. Это точки экстремумов. Значения функции в этих точках отрицательны, а при $x \to \infty$ функция $f(x) \to \infty$. Это означает, что график функции пересекает ось Ox только один раз. Следовательно, $x=3$ — единственный действительный корень уравнения.

Таким образом, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство $\sqrt[3]{6 + \sqrt{\frac{847}{27}}} + \sqrt[3]{6 - \sqrt{\frac{847}{27}}} = 3$ является верным.

7.52. Вычислите:

а) $\frac{x^2 - 2x\sqrt{3} + 3 - \sqrt[4]{4}}{x - \sqrt{3}}$ при $x = \sqrt{3} - \sqrt[3]{2}$;

б) $\frac{1 + 2x}{1 + \sqrt{1 + 2x}} + \frac{1 - 2x}{1 - \sqrt{1 - 2x}}$ при $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

a)

Сначала упростим данное выражение. Числитель $x^2 - 2x\sqrt{3} + 3$ является полным квадратом разности: $x^2 - 2x\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = (x - \sqrt{3})^2$.

Также упростим член $\sqrt[4]{4}$: $\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

Теперь выражение можно переписать в виде:

$\frac{(x - \sqrt{3})^2 - \sqrt{2}}{x - \sqrt{3}}$

Разделим числитель на знаменатель почленно:

$\frac{(x - \sqrt{3})^2}{x - \sqrt{3}} - \frac{\sqrt{2}}{x - \sqrt{3}} = (x - \sqrt{3}) - \frac{\sqrt{2}}{x - \sqrt{3}}$

Теперь найдем значение выражения $x - \sqrt{3}$, подставив данное значение $x = \sqrt{3} - \sqrt[3]{2}$:

$x - \sqrt{3} = (\sqrt{3} - \sqrt[3]{2}) - \sqrt{3} = -\sqrt[3]{2}$

Подставим это значение обратно в упрощенное выражение:

$(-\sqrt[3]{2}) - \frac{\sqrt{2}}{-\sqrt[3]{2}} = -\sqrt[3]{2} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{2}}$

Упростим второе слагаемое:

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt[3]{2}} = \frac{2^{1/2}}{2^{1/3}} = 2^{1/2 - 1/3} = 2^{3/6 - 2/6} = 2^{1/6} = \sqrt[6]{2}$

Таким образом, окончательное значение выражения равно:

$-\sqrt[3]{2} + \sqrt[6]{2}$

Ответ: $\sqrt[6]{2} - \sqrt[3]{2}$.

б)

Обозначим данное выражение как $E$. Сначала упростим каждую дробь в выражении, умножив числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение.

Для первой дроби:

$\frac{1 + 2x}{1 + \sqrt{1 + 2x}} = \frac{(1 + 2x)(1 - \sqrt{1 + 2x})}{(1 + \sqrt{1 + 2x})(1 - \sqrt{1 + 2x})} = \frac{(1 + 2x)(1 - \sqrt{1 + 2x})}{1 - (1 + 2x)} = \frac{(1 + 2x)(1 - \sqrt{1 + 2x})}{-2x}$

Для второй дроби:

$\frac{1 - 2x}{1 - \sqrt{1 - 2x}} = \frac{(1 - 2x)(1 + \sqrt{1 - 2x})}{(1 - \sqrt{1 - 2x})(1 + \sqrt{1 - 2x})} = \frac{(1 - 2x)(1 + \sqrt{1 - 2x})}{1 - (1 - 2x)} = \frac{(1 - 2x)(1 + \sqrt{1 - 2x})}{2x}$

Теперь сложим полученные дроби:

$E = \frac{-(1 + 2x)(1 - \sqrt{1 + 2x}) + (1 - 2x)(1 + \sqrt{1 - 2x})}{2x}$

Раскроем скобки в числителе:

Числитель = $(-1 - 2x + (1+2x)\sqrt{1+2x}) + (1 - 2x + (1-2x)\sqrt{1-2x})$

Числитель = $-4x + (1+2x)\sqrt{1+2x} + (1-2x)\sqrt{1-2x}$

Подставим числитель обратно в выражение для $E$:

$E = \frac{-4x + (1+2x)\sqrt{1+2x} + (1-2x)\sqrt{1-2x}}{2x} = -2 + \frac{(1+2x)\sqrt{1+2x} + (1-2x)\sqrt{1-2x}}{2x}$

Теперь подставим значение $x = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Найдем значения выражений под корнем:

$2x = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$1 + 2x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$

$1 - 2x = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}$

Теперь найдем значения квадратных корней из этих выражений. Заметим, что $(\sqrt{3} \pm 1)^2 = 3 \pm 2\sqrt{3} + 1 = 4 \pm 2\sqrt{3} = 2(2 \pm \sqrt{3})$.

Отсюда $\frac{(\sqrt{3} \pm 1)^2}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$. Значит, $\sqrt{2 \pm \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} \pm 1}{\sqrt{2}}$.

$\sqrt{1 + 2x} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+1)/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

$\sqrt{1 - 2x} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Подставим все найденные значения в упрощенное выражение для $E$:

$E = -2 + \frac{(\frac{2 + \sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}+1}{2}) + (\frac{2 - \sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}-1}{2})}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

Вычислим числитель дроби:

$\left(\frac{2 + \sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right) = \frac{2\sqrt{3}+2+3+\sqrt{3}}{4} = \frac{5+3\sqrt{3}}{4}$

$\left(\frac{2 - \sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\right) = \frac{2\sqrt{3}-2-3+\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}-5}{4}$

Сумма этих двух выражений:

$\frac{5+3\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}-5}{4} = \frac{5+3\sqrt{3}+3\sqrt{3}-5}{4} = \frac{6\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим это значение в дробь из выражения для $E$:

$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 3$

Окончательно находим значение $E$:

$E = -2 + 3 = 1$

Ответ: 1.

• 7.53. Докажите тождество:

a) $\sqrt[4]{6a(5 + 2\sqrt{6})} \cdot \sqrt{3\sqrt{2a} - 2\sqrt{3a}} = \sqrt{6a};$

б) $\frac{\sqrt[3]{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \sqrt[6]{8 + 2\sqrt{15}} - \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{\sqrt{20} + \sqrt{12}} \cdot \sqrt[6]{8 - 2\sqrt{15}} - 2\sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{a^2}} = \frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{4}}{2 - a}.$

a)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Обозначим левую часть как $L$.

$L = \sqrt[4]{6a(5 + 2\sqrt{6})} \cdot \sqrt{3\sqrt{2a} - 2\sqrt{3a}}$

Чтобы перемножить корни, необходимо привести их к одному показателю. Приведем оба множителя к корню 4-й степени. Для этого возведем подкоренное выражение второго множителя в квадрат:

$\sqrt{3\sqrt{2a} - 2\sqrt{3a}} = \sqrt[4]{(3\sqrt{2a} - 2\sqrt{3a})^2}$

Раскроем квадрат под корнем, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(3\sqrt{2a} - 2\sqrt{3a})^2 = (3\sqrt{2a})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{2a} \cdot 2\sqrt{3a} + (2\sqrt{3a})^2$

$= 9 \cdot 2a - 12\sqrt{6a^2} + 4 \cdot 3a = 18a - 12a\sqrt{6} + 12a = 30a - 12a\sqrt{6}$

Вынесем общий множитель $6a$ за скобки:

$30a - 12a\sqrt{6} = 6a(5 - 2\sqrt{6})$

Теперь левая часть тождества имеет вид:

$L = \sqrt[4]{6a(5 + 2\sqrt{6})} \cdot \sqrt[4]{6a(5 - 2\sqrt{6})}$

Объединим выражения под одним знаком корня:

$L = \sqrt[4]{6a(5 + 2\sqrt{6}) \cdot 6a(5 - 2\sqrt{6})} = \sqrt[4]{(6a)^2 (5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6})}$

Применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$ для выражения в скобках:

$(5 + 2\sqrt{6})(5 - 2\sqrt{6}) = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Подставим полученный результат обратно в выражение для $L$:

$L = \sqrt[4]{(6a)^2 \cdot 1} = \sqrt[4]{36a^2} = \sqrt[4]{(6a)^2} = (6a)^{2/4} = (6a)^{1/2} = \sqrt{6a}$

Мы получили, что левая часть тождества равна правой. Тождество доказано. Отметим, что все преобразования корректны при $a \ge 0$.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности.

Преобразование левой части: $\frac{\sqrt[3]{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \cdot \sqrt[6]{8+2\sqrt{15}} - \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{\sqrt{20}+\sqrt{12}} \cdot \sqrt[6]{8-2\sqrt{15}} - 2\sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{a^2}}$

Сначала упростим числитель. Воспользуемся формулой сложного радикала или выделим полный квадрат: $8+2\sqrt{15} = 5 + 3 + 2\sqrt{5 \cdot 3} = (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2$. Тогда:

$\sqrt[6]{8+2\sqrt{15}} = \sqrt[6]{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2} = (\sqrt{5}+\sqrt{3})^{2/6} = (\sqrt{5}+\sqrt{3})^{1/3} = \sqrt[3]{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

Произведение в числителе: $\sqrt[3]{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \sqrt[3]{5-3} = \sqrt[3]{2}$.

Таким образом, числитель равен: $\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a}$.

Теперь упростим знаменатель. Преобразуем подкоренные выражения в первом множителе:

$\sqrt{20}+\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 5}+\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{5}+2\sqrt{3} = 2(\sqrt{5}+\sqrt{3})$

Аналогично числителю, $8-2\sqrt{15} = (\sqrt{5}-\sqrt{3})^2$, поэтому $\sqrt[6]{8-2\sqrt{15}} = \sqrt[3]{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$.

Произведение в знаменателе: $\sqrt[3]{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}+\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{5-3} = \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{4}$.

Таким образом, знаменатель равен: $\sqrt[3]{4} - 2\sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{a^2}$. Это выражение является полным квадратом разности: $(\sqrt[3]{2})^2 - 2\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{a} + (\sqrt[3]{a})^2 = (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a})^2$.

Вся левая часть равна: $\frac{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a}}{(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a})^2} = \frac{1}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a}}$ (при условии, что $a \neq 2$).

Преобразование правой части: $\frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{4}}{2-a}$

Разложим знаменатель $2-a$ по формуле разности кубов $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x = \sqrt[3]{2}$ и $y = \sqrt[3]{a}$:

$2-a = (\sqrt[3]{2})^3 - (\sqrt[3]{a})^3 = (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a})((\sqrt[3]{2})^2 + \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{a} + (\sqrt[3]{a})^2) = (\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{a^2})$.

Подставим разложение в правую часть: $\frac{\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{4}}{(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{a^2})}$.

Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{2a} + \sqrt[3]{4})$, который не равен нулю:

$\frac{1}{\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{a}}$.

Левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.