Страница 47, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8.19. Найдите значение выражения:

а) $\frac{2t^{\frac{1}{2}}}{t - 4} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} - 2}$ при $t = 9;$

б) $\frac{2}{y^{\frac{1}{4}} + 3} - \frac{2}{y^{\frac{1}{4}} - 3}$ при $y = 100.$

а) Сначала упростим данное выражение $\frac{2t^{\frac{1}{2}}}{t-4} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} - 2}$. Заметим, что $t^{\frac{1}{2}} = \sqrt{t}$.
Знаменатель первой дроби $t-4$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, так как $t = (\sqrt{t})^2$ и $4 = 2^2$. Получаем: $t-4 = (\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2)$.
Теперь выражение можно переписать в виде: $\frac{2\sqrt{t}}{(\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2)} - \frac{1}{\sqrt{t}-2}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2)$, для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на $(\sqrt{t}+2)$: $\frac{2\sqrt{t}}{(\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2)} - \frac{1 \cdot (\sqrt{t}+2)}{(\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2)} = \frac{2\sqrt{t} - (\sqrt{t}+2)}{(\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2)}$.
Раскроем скобки в числителе и упростим его: $\frac{2\sqrt{t} - \sqrt{t} - 2}{(\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2)} = \frac{\sqrt{t}-2}{(\sqrt{t}-2)(\sqrt{t}+2)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(\sqrt{t}-2)$: $\frac{1}{\sqrt{t}+2}$.
Теперь подставим значение $t = 9$ в упрощенное выражение: $\frac{1}{\sqrt{9}+2} = \frac{1}{3+2} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$

б) Упростим выражение $\frac{2}{y^{\frac{1}{4}} + 3} - \frac{2}{y^{\frac{1}{4}} - 3}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей $(y^{\frac{1}{4}} + 3)(y^{\frac{1}{4}} - 3)$.
По формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, общий знаменатель равен: $(y^{\frac{1}{4}})^2 - 3^2 = y^{\frac{2}{4}} - 9 = y^{\frac{1}{2}} - 9$.
Выполним вычитание дробей: $\frac{2(y^{\frac{1}{4}} - 3) - 2(y^{\frac{1}{4}} + 3)}{(y^{\frac{1}{4}} + 3)(y^{\frac{1}{4}} - 3)}$.
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $2y^{\frac{1}{4}} - 6 - 2y^{\frac{1}{4}} - 6 = -12$.
Таким образом, упрощенное выражение имеет вид: $\frac{-12}{y^{\frac{1}{2}} - 9}$.
Подставим значение $y = 100$ в это выражение: $\frac{-12}{100^{\frac{1}{2}} - 9} = \frac{-12}{\sqrt{100} - 9} = \frac{-12}{10-9} = \frac{-12}{1} = -12$.
Ответ: $-12$

Упростите выражение:

8.20. а) $b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}};$

б) $y^{-\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}};$

в) $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}};$

г) $z^5 : z^{-\frac{1}{2}}.$

а) Чтобы упростить выражение $b^{-\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{2}}$, мы используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием, согласно которому показатели степеней складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Складываем показатели: $-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$.

Для сложения дробей приводим их к общему знаменателю, равному 6:

$-\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = -\frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6}$.

Следовательно, итоговое выражение равно $b^{\frac{1}{6}}$.

Ответ: $b^{\frac{1}{6}}$.

б) Чтобы упростить выражение $y^{-\frac{5}{6}} : y^{\frac{1}{3}}$, мы используем свойство деления степеней с одинаковым основанием, согласно которому из показателя делимого вычитается показатель делителя: $x^m : x^n = x^{m-n}$.

Вычитаем показатели: $-\frac{5}{6} - \frac{1}{3}$.

Приводим дроби к общему знаменателю 6:

$-\frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = -\frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac{-5-2}{6} = -\frac{7}{6}$.

Следовательно, итоговое выражение равно $y^{-\frac{7}{6}}$.

Ответ: $y^{-\frac{7}{6}}$.

в) Чтобы упростить выражение $a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{6}}$, мы, как и в пункте а), складываем показатели степеней.

Складываем показатели: $\frac{2}{3} + (-\frac{1}{6}) = \frac{2}{3} - \frac{1}{6}$.

Приводим дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4-1}{6} = \frac{3}{6}$.

Полученную дробь можно сократить: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, итоговое выражение равно $a^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}}$.

г) Чтобы упростить выражение $z^{\frac{1}{5}} : z^{-\frac{1}{2}}$, мы, как и в пункте б), вычитаем показатели степеней.

Вычитаем показатели: $\frac{1}{5} - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{5} + \frac{1}{2}$.

Приводим дроби к общему знаменателю 10:

$\frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} + \frac{5}{10} = \frac{2+5}{10} = \frac{7}{10}$.

Следовательно, итоговое выражение равно $z^{\frac{7}{10}}$.

Ответ: $z^{\frac{7}{10}}$.

8.21. a) $(b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$;

б) $(8x^{-\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}$;

в) $(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}}$;

г) $(81x^{-4})^{-\frac{3}{4}}$.

а)

Для упрощения выражения $(b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}}$ используется свойство степеней: при возведении степени в степень их показатели перемножаются, то есть $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применим это правило:

$(b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}} = b^{\frac{1}{6}}$

Ответ: $b^{\frac{1}{6}}$

б)

Для упрощения выражения $(8x^{-1\frac{1}{2}})^{\frac{2}{3}}$ сначала преобразуем смешанную дробь в показателе степени в неправильную: $-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.

Выражение принимает вид: $(8x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}}$.

Теперь воспользуемся свойством степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(8x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} \cdot (x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}}$

Вычислим каждый множитель отдельно. Для первого множителя $8^{\frac{2}{3}}$ представим 8 как $2^3$:

$8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$

Для второго множителя применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^{-\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = x^{-\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = x^{-1} = \frac{1}{x}$

Перемножим полученные результаты:

$4 \cdot \frac{1}{x} = \frac{4}{x}$

Ответ: $\frac{4}{x}$

в)

Для упрощения выражения $(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}}$ снова используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Перемножим показатели степеней:

$(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{4}{3}} = a^{\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}} = a^{\frac{12}{6}} = a^2$

Ответ: $a^2$

г)

Для упрощения выражения $(81x^{-4})^{-\frac{3}{4}}$ применим свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:

$(81x^{-4})^{-\frac{3}{4}} = 81^{-\frac{3}{4}} \cdot (x^{-4})^{-\frac{3}{4}}$

Упростим каждый множитель. Для $81^{-\frac{3}{4}}$ используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и представим 81 как $3^4$:

$81^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{81^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{(3^4)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{3^{4 \cdot \frac{3}{4}}} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$

Для второго множителя $(x^{-4})^{-\frac{3}{4}}$ применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(x^{-4})^{-\frac{3}{4}} = x^{-4 \cdot (-\frac{3}{4})} = x^3$

Объединим результаты:

$\frac{1}{27} \cdot x^3 = \frac{x^3}{27}$

Ответ: $\frac{x^3}{27}$

8.22. a) $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x}$;

б) $y^{\frac{7}{3}} : \sqrt[3]{y^2}$;

В) $z^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{z}$;

Г) $\sqrt[4]{c^3} : c^{\frac{1}{4}}$.

а) $x^{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{x}$
Для решения этого примера представим корень в виде степени с рациональным показателем. По определению, $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.
Теперь выражение выглядит так:
$x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
$x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^1 = x$
Ответ: $x$

б) $y^{\frac{7}{3}} : \sqrt[3]{y^2}$
Сначала представим корень в виде степени с рациональным показателем. По определению, $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, следовательно, $\sqrt[3]{y^2} = y^{\frac{2}{3}}$.
Теперь выполним деление:
$y^{\frac{7}{3}} : y^{\frac{2}{3}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$).
$y^{\frac{7}{3} - \frac{2}{3}} = y^{\frac{7-2}{3}} = y^{\frac{5}{3}}$
Ответ: $y^{\frac{5}{3}}$

в) $z^{\frac{3}{4}} \cdot \sqrt[4]{z}$
Представим корень $\sqrt[4]{z}$ в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[4]{z} = z^{\frac{1}{4}}$.
Теперь умножим степени:
$z^{\frac{3}{4}} \cdot z^{\frac{1}{4}}$
Складываем показатели степеней с одинаковым основанием:
$z^{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = z^{\frac{3+1}{4}} = z^{\frac{4}{4}} = z^1 = z$
Ответ: $z$

г) $\sqrt[4]{c^3} : c^{\frac{1}{4}}$
Представим корень $\sqrt[4]{c^3}$ в виде степени с рациональным показателем: $\sqrt[4]{c^3} = c^{\frac{3}{4}}$.
Теперь выполним деление степеней:
$c^{\frac{3}{4}} : c^{\frac{1}{4}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$c^{\frac{3}{4} - \frac{1}{4}} = c^{\frac{3-1}{4}} = c^{\frac{2}{4}} = c^{\frac{1}{2}}$
Ответ: $c^{\frac{1}{2}}$

8.23. a) $(a^{0,4})^{\frac{1}{2}} \cdot a^{0,8}$

B) $(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{5}} \cdot x^{1,4}$

б) $(c^{10})^{-1} : (c^{-1,2})^{\frac{3}{4}}$

Г) $(b^{0,8})^{-\frac{3}{4}} : (b^{-\frac{2}{5}})^{-1,5}$

а) Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней:
1. Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
2. Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Исходное выражение: $(a^{0,4})^{\frac{1}{2}} \cdot a^{0,8}$.
Сначала применим первое свойство к множителю $(a^{0,4})^{\frac{1}{2}}$:
$(a^{0,4})^{\frac{1}{2}} = a^{0,4 \cdot \frac{1}{2}} = a^{0,2}$.
Теперь выражение имеет вид $a^{0,2} \cdot a^{0,8}$.
Далее применим второе свойство:
$a^{0,2} \cdot a^{0,8} = a^{0,2 + 0,8} = a^1 = a$.
Ответ: $a$.

б) Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней:
1. Возведение степени в степень: $(c^m)^n = c^{m \cdot n}$.
2. Деление степеней с одинаковым основанием: $c^m : c^n = c^{m-n}$.

Исходное выражение: $(c^{10})^{-1} : (c^{-1,2})^{\frac{3}{4}}$.
Преобразуем делимое и делитель по отдельности, используя первое свойство:
$(c^{10})^{-1} = c^{10 \cdot (-1)} = c^{-10}$.
$(c^{-1,2})^{\frac{3}{4}} = c^{-1,2 \cdot \frac{3}{4}} = c^{-\frac{12}{10} \cdot \frac{3}{4}} = c^{-\frac{36}{40}} = c^{-\frac{9}{10}} = c^{-0,9}$.
Теперь выполним деление, используя второе свойство:
$c^{-10} : c^{-0,9} = c^{-10 - (-0,9)} = c^{-10 + 0,9} = c^{-9,1}$.
Ответ: $c^{-9,1}$.

в) Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней:
1. Возведение степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
2. Умножение степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

Исходное выражение: $(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{5}} \cdot x^{1,4}$.
Сначала применим первое свойство:
$(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{5}} = x^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5}} = x^{\frac{3}{5}}$.
Чтобы сложить показатели, представим дробь $\frac{3}{5}$ в виде десятичной: $\frac{3}{5} = 0,6$.
Теперь выражение имеет вид $x^{0,6} \cdot x^{1,4}$.
Применим второе свойство:
$x^{0,6} \cdot x^{1,4} = x^{0,6 + 1,4} = x^2$.
Ответ: $x^2$.

г) Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней:
1. Возведение степени в степень: $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$.
2. Деление степеней с одинаковым основанием: $b^m : b^n = b^{m-n}$.

Исходное выражение: $(b^{0,8})^{-\frac{3}{4}} : (b^{-\frac{2}{5}})^{-1,5}$.
Преобразуем делимое и делитель по отдельности, используя первое свойство. Для удобства будем переводить десятичные дроби в обыкновенные и наоборот.
$(b^{0,8})^{-\frac{3}{4}} = b^{0,8 \cdot (-\frac{3}{4})} = b^{\frac{4}{5} \cdot (-\frac{3}{4})} = b^{-\frac{3}{5}} = b^{-0,6}$.
$(b^{-\frac{2}{5}})^{-1,5} = b^{-\frac{2}{5} \cdot (-1,5)} = b^{-0,4 \cdot (-1,5)} = b^{0,6}$.
Теперь выполним деление, используя второе свойство:
$b^{-0,6} : b^{0,6} = b^{-0,6 - 0,6} = b^{-1,2}$.
Ответ: $b^{-1,2}$.

8.24. a) $\frac{x^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{3}{5}}}$;

б) $\frac{y^{\frac{6}{7}} \cdot (y^{-\frac{1}{2}})^2}{(y^{\frac{4}{7}})^{-2}}$;

В) $\frac{(c^{-\frac{2}{3}})^{-4}}{c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}}}$;

Г) $\left(\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{2}{5}}}\right)^{20}$.

а) Чтобы упростить выражение $ \frac{x^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{3}{5}}} $, воспользуемся свойствами степеней.
1. Упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $:
$ x^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{5}{3}} = x^{-\frac{2}{3} + \frac{5}{3}} = x^{\frac{3}{3}} = x^1 = x $.
2. Теперь разделим результат на знаменатель, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:
$ \frac{x}{x^{\frac{3}{5}}} = x^{1 - \frac{3}{5}} = x^{\frac{5}{5} - \frac{3}{5}} = x^{\frac{2}{5}} $.
Ответ: $ x^{\frac{2}{5}} $.

б) Упростим выражение $ \frac{y^{\frac{6}{7}} \cdot (y^{-\frac{1}{2}})^2}{(y^{\frac{4}{7}})^{-2}} $.
1. Сначала преобразуем выражения в скобках, используя правило возведения степени в степень $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $:
В числителе: $ (y^{-\frac{1}{2}})^2 = y^{-\frac{1}{2} \cdot 2} = y^{-1} $.
В знаменателе: $ (y^{\frac{4}{7}})^{-2} = y^{\frac{4}{7} \cdot (-2)} = y^{-\frac{8}{7}} $.
2. Подставим полученные значения обратно в дробь:
$ \frac{y^{\frac{6}{7}} \cdot y^{-1}}{y^{-\frac{8}{7}}} $.
3. Упростим числитель:
$ y^{\frac{6}{7}} \cdot y^{-1} = y^{\frac{6}{7} - 1} = y^{\frac{6}{7} - \frac{7}{7}} = y^{-\frac{1}{7}} $.
4. Выполним деление:
$ \frac{y^{-\frac{1}{7}}}{y^{-\frac{8}{7}}} = y^{-\frac{1}{7} - (-\frac{8}{7})} = y^{-\frac{1}{7} + \frac{8}{7}} = y^{\frac{7}{7}} = y^1 = y $.
Ответ: $ y $.

в) Упростим выражение $ \frac{(c^{-\frac{2}{3}})^{-4}}{c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}}} $.
1. Упростим числитель по правилу $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $:
$ (c^{-\frac{2}{3}})^{-4} = c^{-\frac{2}{3} \cdot (-4)} = c^{\frac{8}{3}} $.
2. Упростим знаменатель по правилу $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $. Приведем дроби к общему знаменателю: $ \frac{1}{2} = \frac{3}{6} $.
$ c^{\frac{1}{6}} \cdot c^{\frac{1}{2}} = c^{\frac{1}{6} + \frac{3}{6}} = c^{\frac{4}{6}} = c^{\frac{2}{3}} $.
3. Выполним деление:
$ \frac{c^{\frac{8}{3}}}{c^{\frac{2}{3}}} = c^{\frac{8}{3} - \frac{2}{3}} = c^{\frac{6}{3}} = c^2 $.
Ответ: $ c^2 $.

г) Упростим выражение $ (\frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{3}{5}}}{a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{2}{5}}})^{20} $.
1. Сначала упростим выражение внутри скобок, разделив степени с одинаковыми основаниями:
Для $ a $: $ \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{4}}} = a^{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{2}{4} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{1}{4}} $.
Для $ b $: $ \frac{b^{\frac{3}{5}}}{b^{\frac{2}{5}}} = b^{\frac{3}{5} - \frac{2}{5}} = b^{\frac{1}{5}} $.
Выражение в скобках становится $ a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{1}{5}} $.
2. Теперь возведем результат в 20-ю степень, используя правило $ (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n $ и $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:
$ (a^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{1}{5}})^{20} = (a^{\frac{1}{4}})^{20} \cdot (b^{\frac{1}{5}})^{20} = a^{\frac{1}{4} \cdot 20} \cdot b^{\frac{1}{5} \cdot 20} = a^5 \cdot b^4 $.
Ответ: $ a^5 b^4 $.

8.25. a) $((c^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0.4})^3 \cdot c^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0.2})^{-1}$;

б) $(p^{-1}q^{\frac{5}{4}}(p^{-\frac{2}{7}} \cdot q^{\frac{1}{14}})^{3.5})^{-1}$.

а) Для упрощения выражения $\left(\left(c^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0,4}\right)^3 \cdot c^{\frac{3}{7}} \cdot y^{0,2}\right)^{-1}$ выполним следующие действия.Сначала раскроем внутренние скобки, используя свойство возведения произведения в степень $(ab)^n = a^n b^n$ и возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$.$\left(c^{-\frac{3}{7}} \cdot y^{-0,4}\right)^3 = (c^{-\frac{3}{7}})^3 \cdot (y^{-0,4})^3 = c^{-\frac{3}{7} \cdot 3} \cdot y^{-0,4 \cdot 3} = c^{-\frac{9}{7}} y^{-1,2}$.Теперь подставим это в исходное выражение:$\left(c^{-\frac{9}{7}} y^{-1,2} \cdot c^{\frac{3}{7}} y^{0,2}\right)^{-1}$.Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:$c^{-\frac{9}{7}} \cdot c^{\frac{3}{7}} = c^{-\frac{9}{7} + \frac{3}{7}} = c^{-\frac{6}{7}}$.$y^{-1,2} \cdot y^{0,2} = y^{-1,2 + 0,2} = y^{-1}$.Получаем выражение в скобках: $c^{-\frac{6}{7}} y^{-1}$.В последнюю очередь возведем результат в степень -1:$\left(c^{-\frac{6}{7}} y^{-1}\right)^{-1} = (c^{-\frac{6}{7}})^{-1} \cdot (y^{-1})^{-1} = c^{-\frac{6}{7} \cdot (-1)} \cdot y^{-1 \cdot (-1)} = c^{\frac{6}{7}} y$.
Ответ: $c^{\frac{6}{7}}y$.

б) Упростим выражение $\left(p^{-1} q^{\frac{5}{4}}\left(p^{-\frac{2}{7}} \cdot q^{\frac{1}{14}}\right)^{3,5}\right)^{-1}$.Сначала преобразуем выражение во внутренних скобках, возведя его в степень $3,5$. Для удобства представим $3,5$ в виде обыкновенной дроби: $3,5 = \frac{7}{2}$.$\left(p^{-\frac{2}{7}} q^{\frac{1}{14}}\right)^{3,5} = \left(p^{-\frac{2}{7}} q^{\frac{1}{14}}\right)^{\frac{7}{2}} = \left(p^{-\frac{2}{7}}\right)^{\frac{7}{2}} \cdot \left(q^{\frac{1}{14}}\right)^{\frac{7}{2}} = p^{-\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2}} \cdot q^{\frac{1}{14} \cdot \frac{7}{2}} = p^{-1} q^{\frac{7}{28}} = p^{-1} q^{\frac{1}{4}}$.Подставим результат в исходное выражение:$\left(p^{-1} q^{\frac{5}{4}} \cdot p^{-1} q^{\frac{1}{4}}\right)^{-1}$.Перемножим степени с одинаковыми основаниями:$p^{-1} \cdot p^{-1} = p^{-1 + (-1)} = p^{-2}$.$q^{\frac{5}{4}} \cdot q^{\frac{1}{4}} = q^{\frac{5}{4} + \frac{1}{4}} = q^{\frac{6}{4}} = q^{\frac{3}{2}}$.Выражение в скобках упрощается до $p^{-2} q^{\frac{3}{2}}$.Теперь возведем это выражение в степень -1:$\left(p^{-2} q^{\frac{3}{2}}\right)^{-1} = (p^{-2})^{-1} \cdot (q^{\frac{3}{2}})^{-1} = p^{-2 \cdot (-1)} \cdot q^{\frac{3}{2} \cdot (-1)} = p^2 q^{-\frac{3}{2}}$.
Ответ: $p^2 q^{-\frac{3}{2}}$.

Представьте выражение в виде суммы:

8.26. a) $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}};$

б) $a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}});$

в) $b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}}(b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{4}});$

г) $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{3}{2}}).$

а) Чтобы представить выражение $(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$ в виде суммы, используем распределительный закон умножения $a(b-c) = ab - ac$. Умножим каждый член в скобках на $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$:

$(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}) \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}$

Применяя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и сложим их показатели:

$(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}})y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}) = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = x^1y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^1 = xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y$.

Ответ: $xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y$.

б) Раскроем скобки в выражении $a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})$, используя распределительный закон умножения $a(b+c) = ab + ac$:

$a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и сложим их показатели, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(a^{\frac{2}{3}} \cdot a^{\frac{1}{3}})b^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}(b^{\frac{2}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}}) = a^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}b^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}} = a^{\frac{3}{3}}b^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b^{\frac{3}{3}} = a^1b^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b^1 = ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b$.

Ответ: $ab^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{2}{3}}b$.

в) Чтобы представить выражение $b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}}(b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{4}})$ в виде суммы, раскроем скобки, умножив $b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}}$ на каждый член в скобках:

$b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}}(b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{4}}) = b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}} \cdot b^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{3}{4}}$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели у степеней с одинаковыми основаниями:

$(b^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{2}{3}})c^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{3}}(c^{\frac{1}{4}} \cdot c^{\frac{3}{4}}) = b^{\frac{1}{3}+\frac{2}{3}}c^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{4}+\frac{3}{4}} = b^{\frac{3}{3}}c^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{4}{4}} = b^1c^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{3}}c^1 = bc^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{3}}c$.

Ответ: $bc^{\frac{1}{4}} + b^{\frac{1}{3}}c$.

г) Раскроем скобки в выражении $x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{3}{2}})$, применив распределительный закон умножения:

$x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{3}{2}}) = x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{3}{2}}$.

Далее, сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и сложим их показатели, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}})y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{3}{2}}) = x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}} = x^{1}y^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{4}{2}} = xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^2$.

Ответ: $xy^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}y^2$.

8.27. а) $(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})^2$;

б) $(1 + c^{\frac{1}{3}})^2$;

в) $(1 - b^{\frac{1}{2}})^2$;

г) $(a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}})^2$.

а) Для раскрытия скобок в выражении $(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})^2$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. В нашем случае $x = m^{\frac{1}{2}}$ и $y = n^{\frac{1}{2}}$.
Подставляем наши значения в формулу:
$(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})^2 = (m^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot m^{\frac{1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2$
Применим свойство степени $(a^p)^q = a^{pq}$:
$(m^{\frac{1}{2}})^2 = m^{\frac{1}{2} \cdot 2} = m^1 = m$
$(n^{\frac{1}{2}})^2 = n^{\frac{1}{2} \cdot 2} = n^1 = n$
Таким образом, выражение упрощается до:
$m + 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n$
Ответ: $m + 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n$

б) Используем ту же формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ для выражения $(1 + c^{\frac{1}{3}})^2$. Здесь $x = 1$ и $y = c^{\frac{1}{3}}$.
Подставим значения в формулу:
$(1 + c^{\frac{1}{3}})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot c^{\frac{1}{3}} + (c^{\frac{1}{3}})^2$
Упростим каждый член:
$1^2 = 1$
$(c^{\frac{1}{3}})^2 = c^{\frac{1}{3} \cdot 2} = c^{\frac{2}{3}}$
Получаем итоговое выражение:
$1 + 2c^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{2}{3}}$
Ответ: $1 + 2c^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{2}{3}}$

в) Для выражения $(1 - b^{\frac{1}{2}})^2$ применим формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. В данном случае $x = 1$ и $y = b^{\frac{1}{2}}$.
Подставляем наши значения:
$(1 - b^{\frac{1}{2}})^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot b^{\frac{1}{2}} + (b^{\frac{1}{2}})^2$
Упрощаем:
$1^2 = 1$
$(b^{\frac{1}{2}})^2 = b^{\frac{1}{2} \cdot 2} = b^1 = b$
В результате получаем:
$1 - 2b^{\frac{1}{2}} + b$
Ответ: $1 - 2b^{\frac{1}{2}} + b$

г) Для раскрытия скобок в выражении $(a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}})^2$ снова используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Здесь $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = 2b^{\frac{1}{2}}$.
Подставим значения в формулу:
$(a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot (2b^{\frac{1}{2}}) + (2b^{\frac{1}{2}})^2$
Упростим каждый член по отдельности:
$(a^{\frac{1}{2}})^2 = a^{\frac{1}{2} \cdot 2} = a^1 = a$
$2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot (2b^{\frac{1}{2}}) = 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}$
$(2b^{\frac{1}{2}})^2 = 2^2 \cdot (b^{\frac{1}{2}})^2 = 4 \cdot b^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 4b$
Соберем все члены вместе:
$a + 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 4b$
Ответ: $a + 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + 4b$