Страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Найдите производную заданной функции:

9.25. a) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$;

б) $y = \frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$;

в) $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$;

г) $y = \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}}$.

а) Для нахождения производной функции $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$, сначала представим её в виде степенной функции. Используя свойства, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$ и $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:

$y = \frac{1}{x^{1/2}} = x^{-1/2}$

Теперь применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^{-1/2})' = -\frac{1}{2} \cdot x^{-1/2 - 1} = -\frac{1}{2}x^{-3/2}$

Преобразуем результат обратно в вид с корнем:

$y' = -\frac{1}{2x^{3/2}} = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

б) Для функции $y = \frac{1}{x^{3/5}}$, представим её в виде $y = x^{-3/5}$.

Находим производную по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^{-3/5})' = -\frac{3}{5} \cdot x^{-3/5 - 1} = -\frac{3}{5}x^{-3/5 - 5/5} = -\frac{3}{5}x^{-8/5}$

Преобразуем результат, чтобы избавиться от отрицательной и дробной степени:

$y' = -\frac{3}{5x^{8/5}} = -\frac{3}{5\sqrt[5]{x^8}} = -\frac{3}{5x\sqrt[5]{x^3}}$

Ответ: $y' = -\frac{3}{5x\sqrt[5]{x^3}}$.

в) Для функции $y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$, сначала представим её в виде степенной функции. Используя свойство $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$, получаем:

$y = \frac{1}{x^{1/3}} = x^{-1/3}$

Находим производную по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^{-1/3})' = -\frac{1}{3} \cdot x^{-1/3 - 1} = -\frac{1}{3}x^{-1/3 - 3/3} = -\frac{1}{3}x^{-4/3}$

Преобразуем результат в вид с корнем:

$y' = -\frac{1}{3x^{4/3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}} = -\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}$

Ответ: $y' = -\frac{1}{3x\sqrt[3]{x}}$.

г) Для функции $y = \frac{1}{x^{5/3}}$, представим её в виде $y = x^{-5/3}$.

Находим производную по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^{-5/3})' = -\frac{5}{3} \cdot x^{-5/3 - 1} = -\frac{5}{3}x^{-5/3 - 3/3} = -\frac{5}{3}x^{-8/3}$

Преобразуем результат:

$y' = -\frac{5}{3x^{8/3}} = -\frac{5}{3\sqrt[3]{x^8}} = -\frac{5}{3x^2\sqrt[3]{x^2}}$

Ответ: $y' = -\frac{5}{3x^2\sqrt[3]{x^2}}$.

9.26. a) $y = x\sqrt{x};$

б) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x}};$

В) $y = \frac{\sqrt[3]{x}}{x};$

Г) $y = x^2 \cdot \sqrt[3]{x}.$

а) Чтобы упростить выражение $y = x\sqrt{x}$, необходимо представить его в виде степени с рациональным показателем. Используем свойство корня $ \sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}} $ и свойство степеней $ a^m \cdot a^k = a^{m+k} $.

Представим $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$. Также учтем, что $x$ это $x^1$.

$ y = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} $

Сложим показатели степеней:

$ y = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} $

Ответ: $ y = x^{\frac{3}{2}} $

б) Для упрощения выражения $y = \frac{x^2}{\sqrt{x}}$ воспользуемся теми же свойствами, а также свойством деления степеней $ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $.

Представим $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$:

$ y = \frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}} $

Вычтем показатель степени знаменателя из показателя степени числителя:

$ y = x^{2 - \frac{1}{2}} = x^{\frac{4}{2} - \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}} $

Ответ: $ y = x^{\frac{3}{2}} $

в) Чтобы упростить выражение $y = \frac{\sqrt[3]{x}}{x}$, представим кубический корень в виде степени и применим свойство деления степеней.

Представим $\sqrt[3]{x}$ как $x^{\frac{1}{3}}$ и $x$ как $x^1$:

$ y = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^1} $

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием:

$ y = x^{\frac{1}{3} - 1} = x^{\frac{1}{3} - \frac{3}{3}} = x^{-\frac{2}{3}} $

Ответ: $ y = x^{-\frac{2}{3}} $

г) Для упрощения выражения $y = x^2 \cdot \sqrt[3]{x}$ снова используем свойства степеней.

Представим кубический корень $\sqrt[3]{x}$ как $x^{\frac{1}{3}}$:

$ y = x^2 \cdot x^{\frac{1}{3}} $

Применим правило умножения степеней, сложив их показатели:

$ y = x^{2 + \frac{1}{3}} = x^{\frac{6}{3} + \frac{1}{3}} = x^{\frac{7}{3}} $

Ответ: $ y = x^{\frac{7}{3}} $

9.27. a) $y = 2x^4 + x\sqrt{x}$;

б) $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3x^6 - 1$;

в) $y = x^5 - \frac{1}{\sqrt{x}}$;

г) $y = x^3 - 7x\sqrt[5]{x}$.

а)

Исходная функция: $y = 2x^4 + x\sqrt{x}$.

Для нахождения производной, представим функцию в виде суммы степенных функций. Слагаемое $x\sqrt{x}$ можно записать как $x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$.

Таким образом, функция примет вид: $y = 2x^4 + x^{3/2}$.

Теперь найдем производную $y'$, используя правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.

$y' = (2x^4 + x^{3/2})' = (2x^4)' + (x^{3/2})'$.

Производная первого слагаемого: $(2x^4)' = 2 \cdot 4x^{4-1} = 8x^3$.

Производная второго слагаемого: $(x^{3/2})' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Складывая производные, получаем:

$y' = 8x^3 + \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

Ответ: $y' = 8x^3 + \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

б)

Исходная функция: $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3x^6 - 1$.

Представим первое слагаемое в виде степени $x$: $\frac{2}{\sqrt[3]{x}} = \frac{2}{x^{1/3}} = 2x^{-1/3}$.

Функция принимает вид: $y = 2x^{-1/3} + 3x^6 - 1$.

Найдем производную, используя правила дифференцирования. Производная константы равна нулю.

$y' = (2x^{-1/3} + 3x^6 - 1)' = (2x^{-1/3})' + (3x^6)' - (1)'$.

Производная первого слагаемого: $(2x^{-1/3})' = 2 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-4/3}$.

Производная второго слагаемого: $(3x^6)' = 3 \cdot 6x^{6-1} = 18x^5$.

Производная третьего слагаемого: $(1)' = 0$.

Собрав все вместе, получаем:

$y' = -\frac{2}{3}x^{-4/3} + 18x^5 = 18x^5 - \frac{2}{3x^{4/3}}$.

Ответ: $y' = 18x^5 - \frac{2}{3}x^{-4/3}$.

в)

Исходная функция: $y = x^5 - \frac{1}{\sqrt{x}}$.

Представим второе слагаемое в виде степени $x$: $\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{1/2}} = x^{-1/2}$.

Функция принимает вид: $y = x^5 - x^{-1/2}$.

Найдем производную, используя правило дифференцирования разности $(u-v)'=u'-v'$ и правило для степенной функции:

$y' = (x^5 - x^{-1/2})' = (x^5)' - (x^{-1/2})'$.

Производная первого слагаемого: $(x^5)' = 5x^{5-1} = 5x^4$.

Производная второго слагаемого: $(x^{-1/2})' = (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-3/2}$.

Тогда производная функции равна:

$y' = 5x^4 - (-\frac{1}{2}x^{-3/2}) = 5x^4 + \frac{1}{2}x^{-3/2} = 5x^4 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

Ответ: $y' = 5x^4 + \frac{1}{2}x^{-3/2}$.

г)

Исходная функция: $y = x^3 - 7x\sqrt[5]{x}$.

Представим второе слагаемое в виде степени $x$: $7x\sqrt[5]{x} = 7x^1 \cdot x^{1/5} = 7x^{1 + 1/5} = 7x^{6/5}$.

Функция принимает вид: $y = x^3 - 7x^{6/5}$.

Найдем производную:

$y' = (x^3 - 7x^{6/5})' = (x^3)' - (7x^{6/5})'$.

Производная первого слагаемого: $(x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$.

Производная второго слагаемого: $(7x^{6/5})' = 7 \cdot \frac{6}{5}x^{\frac{6}{5}-1} = \frac{42}{5}x^{1/5}$.

Собрав все вместе, получаем:

$y' = 3x^2 - \frac{42}{5}x^{1/5} = 3x^2 - \frac{42}{5}\sqrt[5]{x}$.

Ответ: $y' = 3x^2 - \frac{42}{5}x^{1/5}$.

9.28. а) $y = \left(\frac{2}{x} - 1\right)(x - x^{-1});$

б) $y = (3x^3 - 7x + 5)(\sqrt{x} + 3);$

в) $y = (7\sqrt[3]{x} + 5)(x^5 - 7x^3 + 1);$

г) $y = \left(2x^9 + x^{-\frac{1}{3}}\right)(5 - 2x).$

а) $y = (\frac{2}{x} - 1)(x - x^{-1})$

Для нахождения производной функции, представленной в виде произведения двух функций $y = u(x)v(x)$, используется правило произведения: $y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.

В данном случае, пусть $u(x) = \frac{2}{x} - 1 = 2x^{-1} - 1$ и $v(x) = x - x^{-1}$.

Найдем производные этих функций:

$u'(x) = (2x^{-1} - 1)' = 2 \cdot (-1)x^{-1-1} - 0 = -2x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$

$v'(x) = (x - x^{-1})' = 1 - (-1)x^{-1-1} = 1 + x^{-2} = 1 + \frac{1}{x^2}$

Теперь подставим найденные производные в формулу правила произведения:

$y' = u'v + uv' = (-\frac{2}{x^2})(x - x^{-1}) + (2x^{-1} - 1)(1 + x^{-2})$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$y' = (-\frac{2x}{x^2} + \frac{2x^{-1}}{x^2}) + (2x^{-1} \cdot 1 + 2x^{-1} \cdot x^{-2} - 1 \cdot 1 - 1 \cdot x^{-2})$

$y' = (-\frac{2}{x} + \frac{2}{x^3}) + (\frac{2}{x} + \frac{2}{x^3} - 1 - \frac{1}{x^2})$

Приведем подобные слагаемые:

$y' = (-\frac{2}{x} + \frac{2}{x}) + (\frac{2}{x^3} + \frac{2}{x^3}) - 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{4}{x^3} - \frac{1}{x^2} - 1$

Ответ: $y' = \frac{4}{x^3} - \frac{1}{x^2} - 1$

б) $y = (3x^3 - 7x + 5)(\sqrt{x} + 3)$

Используем правило произведения $y' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 3x^3 - 7x + 5$ и $v(x) = \sqrt{x} + 3 = x^{\frac{1}{2}} + 3$.

Найдем производные:

$u'(x) = (3x^3 - 7x + 5)' = 9x^2 - 7$

$v'(x) = (x^{\frac{1}{2}} + 3)' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 0 = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставим в формулу:

$y' = (9x^2 - 7)(\sqrt{x} + 3) + (3x^3 - 7x + 5)(\frac{1}{2\sqrt{x}})$

Раскроем скобки и упростим:

$y' = (9x^2\sqrt{x} + 27x^2 - 7\sqrt{x} - 21) + (\frac{3x^3}{2\sqrt{x}} - \frac{7x}{2\sqrt{x}} + \frac{5}{2\sqrt{x}})$

Перепишем степени x в виде $x^n$ и сгруппируем подобные члены:

$y' = 9x^{2.5} + 27x^2 - 7x^{0.5} - 21 + 1.5x^{2.5} - 3.5x^{0.5} + 2.5x^{-0.5}$

$y' = (9+1.5)x^{2.5} + 27x^2 + (-7-3.5)x^{0.5} - 21 + 2.5x^{-0.5}$

$y' = 10.5x^{2.5} + 27x^2 - 10.5x^{0.5} - 21 + 2.5x^{-0.5}$

Запишем ответ, используя дроби и корни:

$y' = \frac{21}{2}x^2\sqrt{x} + 27x^2 - \frac{21}{2}\sqrt{x} - 21 + \frac{5}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{21}{2}x^2\sqrt{x} + 27x^2 - \frac{21}{2}\sqrt{x} - 21 + \frac{5}{2\sqrt{x}}$

в) $y = (7\sqrt[3]{x} + 5)(x^5 - 7x^3 + 1)$

Применим правило произведения $y' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 7\sqrt[3]{x} + 5 = 7x^{\frac{1}{3}} + 5$ и $v(x) = x^5 - 7x^3 + 1$.

Найдем производные:

$u'(x) = (7x^{\frac{1}{3}} + 5)' = 7 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

$v'(x) = (x^5 - 7x^3 + 1)' = 5x^4 - 21x^2$

Подставим в формулу производной произведения:

$y' = (\frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}})(x^5 - 7x^3 + 1) + (7x^{\frac{1}{3}} + 5)(5x^4 - 21x^2)$

Раскроем скобки:

$y' = (\frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}+5} - \frac{49}{3}x^{-\frac{2}{3}+3} + \frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}}) + (35x^{\frac{1}{3}+4} - 147x^{\frac{1}{3}+2} + 25x^4 - 105x^2)$

$y' = (\frac{7}{3}x^{\frac{13}{3}} - \frac{49}{3}x^{\frac{7}{3}} + \frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}}) + (35x^{\frac{13}{3}} - 147x^{\frac{7}{3}} + 25x^4 - 105x^2)$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$y' = (\frac{7}{3} + 35)x^{\frac{13}{3}} + (-\frac{49}{3} - 147)x^{\frac{7}{3}} + 25x^4 - 105x^2 + \frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

$y' = (\frac{7+105}{3})x^{\frac{13}{3}} + (\frac{-49-441}{3})x^{\frac{7}{3}} + 25x^4 - 105x^2 + \frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

$y' = \frac{112}{3}x^{\frac{13}{3}} - \frac{490}{3}x^{\frac{7}{3}} + 25x^4 - 105x^2 + \frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

Ответ: $y' = \frac{112}{3}x^{\frac{13}{3}} - \frac{490}{3}x^{\frac{7}{3}} + 25x^4 - 105x^2 + \frac{7}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

г) $y = (2x^9 + x^{-\frac{1}{3}})(5 - 2x)$

Снова используем правило произведения $y' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 2x^9 + x^{-\frac{1}{3}}$ и $v(x) = 5 - 2x$.

Найдем производные:

$u'(x) = (2x^9 + x^{-\frac{1}{3}})' = 18x^8 - \frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = 18x^8 - \frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$

$v'(x) = (5 - 2x)' = -2$

Подставим в формулу:

$y' = (18x^8 - \frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}})(5 - 2x) + (2x^9 + x^{-\frac{1}{3}})(-2)$

Раскроем скобки:

$y' = (90x^8 - 36x^9 - \frac{5}{3}x^{-\frac{4}{3}} + \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}) + (-4x^9 - 2x^{-\frac{1}{3}})$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$y' = (-36 - 4)x^9 + 90x^8 + (\frac{2}{3} - 2)x^{-\frac{1}{3}} - \frac{5}{3}x^{-\frac{4}{3}}$

$y' = -40x^9 + 90x^8 + (\frac{2-6}{3})x^{-\frac{1}{3}} - \frac{5}{3}x^{-\frac{4}{3}}$

$y' = -40x^9 + 90x^8 - \frac{4}{3}x^{-\frac{1}{3}} - \frac{5}{3}x^{-\frac{4}{3}}$

Ответ: $y' = -40x^9 + 90x^8 - \frac{4}{3}x^{-\frac{1}{3}} - \frac{5}{3}x^{-\frac{4}{3}}$

9.29. a) $y = \frac{x^3 - 5}{\sqrt[3]{x} + 1}$;

б) $y = \frac{3\sqrt{x} - 7}{x^4 + 1}$.

а)

Для того чтобы найти производную функции $y = \frac{x^3 - 5}{\sqrt[3]{x} + 1}$, мы воспользуемся правилом дифференцирования частного (формулой для производной дроби): $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае, числитель $u(x) = x^3 - 5$, а знаменатель $v(x) = \sqrt[3]{x} + 1 = x^{1/3} + 1$.

Сначала найдем производные числителя и знаменателя:
$u'(x) = (x^3 - 5)' = 3x^2$
$v'(x) = (x^{1/3} + 1)' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} + 0 = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Теперь подставим найденные производные в формулу:
$y' = \frac{(3x^2)(\sqrt[3]{x} + 1) - (x^3 - 5) \cdot \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}}{(\sqrt[3]{x} + 1)^2}$

Упростим выражение в числителе. Для удобства запишем корни в виде степеней:
$u'v - uv' = 3x^2(x^{1/3} + 1) - (x^3 - 5) \frac{1}{3}x^{-2/3}$
$= (3x^{2} \cdot x^{1/3} + 3x^2) - (\frac{1}{3}x^3 \cdot x^{-2/3} - \frac{5}{3}x^{-2/3})$
$= 3x^{7/3} + 3x^2 - \frac{1}{3}x^{7/3} + \frac{5}{3}x^{-2/3}$
$= (3 - \frac{1}{3})x^{7/3} + 3x^2 + \frac{5}{3}x^{-2/3}$
$= \frac{8}{3}x^{7/3} + 3x^2 + \frac{5}{3}x^{-2/3}$

Приведем числитель к общему знаменателю $3x^{2/3}$, чтобы избавиться от дробей и отрицательных степеней:
$= \frac{8x^{7/3} \cdot x^{2/3} + 3x^2 \cdot 3x^{2/3} + 5}{3x^{2/3}}$
$= \frac{8x^{9/3} + 9x^{2+2/3} + 5}{3x^{2/3}} = \frac{8x^3 + 9x^{8/3} + 5}{3x^{2/3}}$

Теперь подставим это выражение обратно в формулу для производной:
$y' = \frac{\frac{8x^3 + 9x^{8/3} + 5}{3x^{2/3}}}{(\sqrt[3]{x} + 1)^2} = \frac{8x^3 + 9x^{8/3} + 5}{3x^{2/3}(\sqrt[3]{x} + 1)^2}$

Запишем ответ, используя знаки радикала: $x^{8/3} = x^{2+2/3} = x^2\sqrt[3]{x^2}$ и $x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$.
Ответ: $y' = \frac{8x^3 + 9x^2\sqrt[3]{x^2} + 5}{3\sqrt[3]{x^2}(\sqrt[3]{x} + 1)^2}$.

б)

Для нахождения производной функции $y = \frac{3\sqrt{x} - 7}{x^4 + 1}$ снова используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь числитель $u(x) = 3\sqrt{x} - 7 = 3x^{1/2} - 7$, а знаменатель $v(x) = x^4 + 1$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:
$u'(x) = (3x^{1/2} - 7)' = 3 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 0 = \frac{3}{2}x^{-1/2} = \frac{3}{2\sqrt{x}}$
$v'(x) = (x^4 + 1)' = 4x^3$

Подставляем в формулу производной частного:
$y' = \frac{(\frac{3}{2\sqrt{x}})(x^4 + 1) - (3\sqrt{x} - 7)(4x^3)}{(x^4 + 1)^2}$

Упростим числитель. Приведем все слагаемые в числителе к общему знаменателю $2\sqrt{x}$:
$u'v - uv' = \frac{3(x^4 + 1)}{2\sqrt{x}} - 4x^3(3\sqrt{x} - 7)$
$= \frac{3(x^4 + 1) - 4x^3(3\sqrt{x} - 7) \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$
$= \frac{3x^4 + 3 - 8x^3\sqrt{x}(3\sqrt{x} - 7)}{2\sqrt{x}}$
$= \frac{3x^4 + 3 - (8x^3\sqrt{x} \cdot 3\sqrt{x} - 8x^3\sqrt{x} \cdot 7)}{2\sqrt{x}}$
$= \frac{3x^4 + 3 - (24x^3 \cdot x - 56x^3\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}$
$= \frac{3x^4 + 3 - 24x^4 + 56x^3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$
$= \frac{-21x^4 + 56x^3\sqrt{x} + 3}{2\sqrt{x}}$

Теперь подставим упрощенный числитель в выражение для производной:
$y' = \frac{\frac{-21x^4 + 56x^3\sqrt{x} + 3}{2\sqrt{x}}}{(x^4 + 1)^2} = \frac{-21x^4 + 56x^3\sqrt{x} + 3}{2\sqrt{x}(x^4 + 1)^2}$

Ответ: $y' = \frac{-21x^4 + 56x^3\sqrt{x} + 3}{2\sqrt{x}(x^4 + 1)^2}$.

9.30. a) $y = \frac{5x^3 - 3x^2 + 15x - 7}{x\sqrt{x}};$

б) $y = (\sqrt[3]{x^{-1}} - 2x)(2 \sin 2x + \cos x);$

в) $y = \frac{7x^8 - 5x^4 + 12x - \sqrt{x} - 2}{\sqrt[3]{x}};$

г) $y = \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \cdot \operatorname{tg}(3x - 5).$

а) $y = \frac{5x^3 - 3x^2 + 15x - 7}{x\sqrt{x}}$

Для нахождения производной данной функции, сначала упростим выражение. Представим знаменатель в виде степени: $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$.

Теперь разделим каждый член числителя на знаменатель:
$y = \frac{5x^3}{x^{3/2}} - \frac{3x^2}{x^{3/2}} + \frac{15x}{x^{3/2}} - \frac{7}{x^{3/2}}$
Используя правило деления степеней $a^m / a^n = a^{m-n}$, получаем:
$y = 5x^{3 - 3/2} - 3x^{2 - 3/2} + 15x^{1 - 3/2} - 7x^{-3/2}$
$y = 5x^{3/2} - 3x^{1/2} + 15x^{-1/2} - 7x^{-3/2}$

Теперь находим производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n x^{n-1}$ для каждого слагаемого:
$y' = (5x^{3/2})' - (3x^{1/2})' + (15x^{-1/2})' - (7x^{-3/2})'$
$y' = 5 \cdot \frac{3}{2} x^{3/2 - 1} - 3 \cdot \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} + 15 \cdot (-\frac{1}{2}) x^{-1/2 - 1} - 7 \cdot (-\frac{3}{2}) x^{-3/2 - 1}$
$y' = \frac{15}{2} x^{1/2} - \frac{3}{2} x^{-1/2} - \frac{15}{2} x^{-3/2} + \frac{21}{2} x^{-5/2}$

Можно оставить ответ в таком виде или привести к общему знаменателю $2x^{5/2} = 2x^2\sqrt{x}$:
$y' = \frac{15x^{1/2} \cdot x^{5/2} - 3x^{-1/2} \cdot x^{5/2} - 15x^{-3/2} \cdot x^{5/2} + 21}{2x^{5/2}}$
$y' = \frac{15x^3 - 3x^2 - 15x + 21}{2x^2\sqrt{x}} = \frac{3(5x^3 - x^2 - 5x + 7)}{2x^2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{15}{2} x^{1/2} - \frac{3}{2} x^{-1/2} - \frac{15}{2} x^{-3/2} + \frac{21}{2} x^{-5/2}$ или в более компактном виде $y' = \frac{3(5x^3 - x^2 - 5x + 7)}{2x^2\sqrt{x}}$.

б) $y = (\sqrt[3]{x^{-1}} - 2x)(2 \sin 2x + \cos x)$

Эта функция является произведением двух функций: $u(x) = \sqrt[3]{x^{-1}} - 2x$ и $v(x) = 2 \sin 2x + \cos x$.
Применим правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Сначала найдем производные для $u(x)$ и $v(x)$.
Упростим $u(x)$: $\sqrt[3]{x^{-1}} = (x^{-1})^{1/3} = x^{-1/3}$.
$u(x) = x^{-1/3} - 2x$.
Производная $u'(x) = (x^{-1/3})' - (2x)' = -\frac{1}{3}x^{-1/3 - 1} - 2 = -\frac{1}{3}x^{-4/3} - 2$.

Теперь найдем производную $v'(x)$:
$v'(x) = (2 \sin 2x)' + (\cos x)'$.
Используя цепное правило для первого слагаемого, получаем: $(2 \sin 2x)' = 2 \cos(2x) \cdot (2x)' = 4 \cos 2x$.
Производная второго слагаемого: $(\cos x)' = -\sin x$.
Таким образом, $v'(x) = 4 \cos 2x - \sin x$.

Подставляем найденные производные в формулу для производной произведения:
$y' = (-\frac{1}{3}x^{-4/3} - 2)(2 \sin 2x + \cos x) + (x^{-1/3} - 2x)(4 \cos 2x - \sin x)$.

Ответ: $y' = \left(-\frac{1}{3}x^{-4/3} - 2\right)(2 \sin 2x + \cos x) + \left(x^{-1/3} - 2x\right)(4 \cos 2x - \sin x)$.

в) $y = \frac{7x^8 - 5x^4 + 12x - \sqrt{x} - 2}{\sqrt[3]{x}}$

Как и в пункте а), сначала упростим функцию. Представим знаменатель и члены с корнями в числителе в виде степеней: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ и $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
$y = \frac{7x^8 - 5x^4 + 12x - x^{1/2} - 2}{x^{1/3}}$

Разделим каждый член числителя на знаменатель:
$y = 7x^{8 - 1/3} - 5x^{4 - 1/3} + 12x^{1 - 1/3} - x^{1/2 - 1/3} - 2x^{-1/3}$
$y = 7x^{23/3} - 5x^{11/3} + 12x^{2/3} - x^{1/6} - 2x^{-1/3}$

Теперь находим производную, дифференцируя каждое слагаемое по правилу $(x^n)' = n x^{n-1}$:
$y' = 7 \cdot \frac{23}{3} x^{23/3 - 1} - 5 \cdot \frac{11}{3} x^{11/3 - 1} + 12 \cdot \frac{2}{3} x^{2/3 - 1} - \frac{1}{6} x^{1/6 - 1} - 2 \cdot (-\frac{1}{3}) x^{-1/3 - 1}$
$y' = \frac{161}{3} x^{20/3} - \frac{55}{3} x^{8/3} + 8 x^{-1/3} - \frac{1}{6} x^{-5/6} + \frac{2}{3} x^{-4/3}$

Ответ: $y' = \frac{161}{3} x^{20/3} - \frac{55}{3} x^{8/3} + 8x^{-1/3} - \frac{1}{6}x^{-5/6} + \frac{2}{3}x^{-4/3}$.

г) $y = \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \cdot \tg(3x - 5)$

Данная функция является произведением двух функций: $u(x) = \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}$ и $v(x) = \tg(3x - 5)$.
Используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производную $u'(x)$. Сначала представим $u(x)$ в виде степеней:
$u(x) = x^{1/2} - x^{-1/2}$.
$u'(x) = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - (-\frac{1}{2})x^{-1/2 - 1} = \frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}x^{-3/2}$.
Это можно записать как $u'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}} = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}$.

Найдем производную $v'(x) = (\tg(3x - 5))'$. Используем цепное правило и производную тангенса $(\tg u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$:
$v'(x) = \frac{1}{\cos^2(3x - 5)} \cdot (3x-5)' = \frac{1}{\cos^2(3x - 5)} \cdot 3 = \frac{3}{\cos^2(3x-5)}$.

Теперь подставим все в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv'$
$y' = \left(\frac{1}{2}x^{-1/2} + \frac{1}{2}x^{-3/2}\right)\tg(3x - 5) + \left(x^{1/2} - x^{-1/2}\right) \frac{3}{\cos^2(3x - 5)}$.
Используя упрощенные выражения для $u(x)$ и $u'(x)$:
$y' = \frac{x+1}{2x\sqrt{x}}\tg(3x-5) + \frac{x-1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{3}{\cos^2(3x-5)}$.

Ответ: $y' = \left(\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}}\right)\tg(3x - 5) + \left(\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \frac{3}{\cos^2(3x - 5)}$.

9.31. a) $y = \frac{x^2 - 1}{\sqrt{x + 1}}$;

б) $y = \frac{x + 1}{\sqrt[3]{x + 1}}$;

В) $y = \frac{x^3 - 1}{\sqrt{x - 1}}$;

Г) $y = \frac{x + 1}{x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}} + 1}$.

а) Для упрощения выражения разложим числитель $x^2 - 1$ на множители. Используем формулу разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Заметим, что множитель $x-1$ также можно представить как разность квадратов, если считать $x = (\sqrt{x})^2$. Таким образом, $x - 1 = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$.
Подставим это в исходную функцию:
$y = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)(x + 1)}{\sqrt{x} + 1}$
Область определения функции задается условием $x \ge 0$, при котором знаменатель $\sqrt{x} + 1$ всегда положителен. Сокращаем дробь на общий множитель $(\sqrt{x} + 1)$ и получаем:
$y = (\sqrt{x} - 1)(x + 1)$
Ответ: $y = (\sqrt{x} - 1)(x + 1)$ при $x \ge 0$.

б) Для упрощения преобразуем числитель, рассматривая его как сумму кубов. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$, тогда $x = a^3$. Выражение $x + 1$ можно записать как $a^3 + 1^3$. Применяя формулу суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, получаем:
$x + 1 = (\sqrt[3]{x})^3 + 1^3 = (\sqrt[3]{x} + 1)((\sqrt[3]{x})^2 - \sqrt[3]{x} \cdot 1 + 1^2) = (\sqrt[3]{x} + 1)(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1)$
Функция принимает вид:
$y = \frac{(\sqrt[3]{x} + 1)(\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1)}{\sqrt[3]{x} + 1}$
Область определения функции исключает значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $\sqrt[3]{x} + 1 \ne 0$, что означает $x \ne -1$. Сокращаем дробь на $(\sqrt[3]{x} + 1)$:
$y = \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1$
Ответ: $y = \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{x} + 1$ при $x \ne -1$.

в) Разложим числитель $x^3 - 1$ на множители по формуле разности кубов: $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$. Далее, как и в пункте а), разложим множитель $(x - 1)$ как разность квадратов: $x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$.
Подставим в исходное выражение:
$y = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)(x^2 + x + 1)}{\sqrt{x} - 1}$
Область определения функции задается двумя условиями: подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$), и знаменатель не должен быть равен нулю ($\sqrt{x} - 1 \ne 0$, то есть $x \ne 1$). При этих условиях можно сократить дробь на $(\sqrt{x} - 1)$:
$y = (\sqrt{x} + 1)(x^2 + x + 1)$
Ответ: $y = (\sqrt{x} + 1)(x^2 + x + 1)$ при $x \ge 0, x \ne 1$.

г) Для упрощения данного выражения введем замену $a = x^{1/3}$, что равносильно $a = \sqrt[3]{x}$. Тогда $x = a^3$, и исходная функция примет вид:
$y = \frac{a^3 + 1}{a^2 - a + 1}$
Используем формулу суммы кубов для числителя: $a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1)$. Получаем:
$y = \frac{(a + 1)(a^2 - a + 1)}{a^2 - a + 1}$
Знаменатель $a^2 - a + 1$ не обращается в ноль ни при каких действительных значениях $a$ (и, соответственно, $x$), так как дискриминант квадратного трехчлена $a^2 - a + 1$ отрицателен: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Поэтому мы можем сократить дробь. В результате получаем $y = a + 1$. Выполнив обратную замену $a = \sqrt[3]{x}$, находим окончательный вид функции:
$y = \sqrt[3]{x} + 1$
Ответ: $y = \sqrt[3]{x} + 1$.

9.32. a) $y = \sqrt[3]{\operatorname{tg} 2x};$

Б) $y = (\sqrt{3x-1} + \operatorname{ctg} 2x)^{0.4};$

В) $y = \frac{1}{(2 \sin x + 3 \cos x)^{-\frac{3}{4}}};$

Г) $y = \sin (x^5 + 2\sqrt[3]{x} - 5).$

а)

Для нахождения производной функции $y = \sqrt[3]{\operatorname{tg} 2x}$ представим ее в виде степенной функции: $y = (\operatorname{tg} 2x)^{1/3}$.
Это сложная функция, для дифференцирования которой применим цепное правило $(f(g(h(x))))' = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$. В данном случае у нас тройная вложенность: внешняя функция — возведение в степень $1/3$, средняя — тангенс, внутренняя — $2x$.
Производная находится как произведение производных этих функций:
$y' = ((\operatorname{tg} 2x)^{1/3})' = \frac{1}{3}(\operatorname{tg} 2x)^{1/3-1} \cdot (\operatorname{tg} 2x)' = \frac{1}{3}(\operatorname{tg} 2x)^{-2/3} \cdot (\operatorname{tg} 2x)'$.
Теперь найдем производную от $\operatorname{tg} 2x$, также по цепному правилу:
$(\operatorname{tg} 2x)' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$.
Подставим результат в общее выражение:
$y' = \frac{1}{3}(\operatorname{tg} 2x)^{-2/3} \cdot \frac{2}{\cos^2(2x)} = \frac{2}{3(\operatorname{tg} 2x)^{2/3} \cos^2(2x)}$.
Запишем ответ, используя корень:
$y' = \frac{2}{3\cos^2(2x)\sqrt[3]{\operatorname{tg}^2 2x}}$.
Ответ: $y' = \frac{2}{3\cos^2(2x)\sqrt[3]{\operatorname{tg}^2 2x}}$.

б)

Дана функция $y = (\sqrt{3x-1} + \operatorname{ctg} 2x)^{0,4}$.
Это сложная функция вида $y = u^{0.4}$, где $u = \sqrt{3x-1} + \operatorname{ctg} 2x$. Применяем цепное правило: $y' = 0,4 u^{0,4-1} \cdot u' = 0,4 u^{-0,6} \cdot u'$.
$y' = 0,4(\sqrt{3x-1} + \operatorname{ctg} 2x)^{-0,6} \cdot (\sqrt{3x-1} + \operatorname{ctg} 2x)'$.
Найдем производную внутренней функции $u'$, которая является суммой двух функций:
$u' = (\sqrt{3x-1})' + (\operatorname{ctg} 2x)'$.
Производная первого слагаемого (тоже сложная функция):
$(\sqrt{3x-1})' = ((3x-1)^{1/2})' = \frac{1}{2}(3x-1)^{-1/2} \cdot (3x-1)' = \frac{1}{2\sqrt{3x-1}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x-1}}$.
Производная второго слагаемого (тоже сложная функция):
$(\operatorname{ctg} 2x)' = -\frac{1}{\sin^2(2x)} \cdot (2x)' = -\frac{2}{\sin^2(2x)}$.
Таким образом, $u' = \frac{3}{2\sqrt{3x-1}} - \frac{2}{\sin^2(2x)}$.
Подставляем $u'$ в выражение для $y'$:
$y' = 0,4(\sqrt{3x-1} + \operatorname{ctg} 2x)^{-0,6} \left(\frac{3}{2\sqrt{3x-1}} - \frac{2}{\sin^2(2x)}\right)$.
Ответ: $y' = 0,4(\sqrt{3x-1} + \operatorname{ctg} 2x)^{-0,6} \left(\frac{3}{2\sqrt{3x-1}} - \frac{2}{\sin^2(2x)}\right)$.

в)

Исходная функция $y = \frac{1}{(2 \sin x + 3 \cos x)^{-3/4}}$.
Упростим выражение, используя свойство степени $1/a^{-n} = a^n$:
$y = (2 \sin x + 3 \cos x)^{3/4}$.
Это сложная функция вида $y = u^{3/4}$, где $u = 2 \sin x + 3 \cos x$. Применяем цепное правило:
$y' = \frac{3}{4} u^{3/4-1} \cdot u' = \frac{3}{4} u^{-1/4} \cdot u'$.
$y' = \frac{3}{4}(2 \sin x + 3 \cos x)^{-1/4} \cdot (2 \sin x + 3 \cos x)'$.
Найдем производную внутренней функции $u'$:
$u' = (2 \sin x)' + (3 \cos x)' = 2 \cos x - 3 \sin x$.
Подставляем $u'$ в выражение для $y'$:
$y' = \frac{3}{4}(2 \sin x + 3 \cos x)^{-1/4} (2 \cos x - 3 \sin x)$.
Запишем ответ в виде дроби с корнем в знаменателе:
$y' = \frac{3(2 \cos x - 3 \sin x)}{4(2 \sin x + 3 \cos x)^{1/4}} = \frac{3(2 \cos x - 3 \sin x)}{4\sqrt[4]{2 \sin x + 3 \cos x}}$.
Ответ: $y' = \frac{3(2 \cos x - 3 \sin x)}{4\sqrt[4]{2 \sin x + 3 \cos x}}$.

г)

Дана функция $y = \sin(x^5 + 2\sqrt[3]{x} - 5)$.
Это сложная функция вида $y = \sin(u)$, где $u = x^5 + 2\sqrt[3]{x} - 5$. Применим цепное правило: $y' = (\sin u)' \cdot u' = \cos u \cdot u'$.
$y' = \cos(x^5 + 2\sqrt[3]{x} - 5) \cdot (x^5 + 2\sqrt[3]{x} - 5)'$.
Найдем производную внутренней функции $u'$. Для этого представим корень в виде степени: $u = x^5 + 2x^{1/3} - 5$.
$u' = (x^5)' + (2x^{1/3})' - (5)' = 5x^{5-1} + 2 \cdot \frac{1}{3}x^{1/3-1} - 0 = 5x^4 + \frac{2}{3}x^{-2/3}$.
Запишем производную $u'$ с использованием корня: $u' = 5x^4 + \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$.
Подставляем $u'$ в выражение для $y'$:
$y' = \left(5x^4 + \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}\right) \cos(x^5 + 2\sqrt[3]{x} - 5)$.
Ответ: $y' = \left(5x^4 + \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}\right) \cos(x^5 + 2\sqrt[3]{x} - 5)$.