Страница 45, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

8.1. Имеет ли смысл выражение:

а) $5^{-\frac{4}{3}}$;

б) $(-16)^{\frac{2}{3}}$;

в) $23^{-\frac{3}{2}}$;

г) $(-25)^{-\frac{1}{2}}$?

а) Выражение $a^x$, где $a$ - основание, а $x$ - показатель степени, имеет смысл для любого рационального показателя $x$, если основание $a > 0$. В данном случае основание равно $5$, что больше нуля ($5 > 0$), а показатель степени равен $-\frac{4}{3}$. Так как основание положительное, выражение имеет смысл. Его можно записать в виде корня: $5^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{5^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{5^4}}$.
Ответ: да, имеет смысл.

б) Для степенного выражения с отрицательным основанием $a < 0$ и рациональным показателем $x = \frac{m}{n}$ (где дробь несократима) выражение имеет смысл только в том случае, если знаменатель $n$ является нечетным числом. В выражении $(-16)^{\frac{2}{3}}$ основание $a = -16$ отрицательное, а показатель $x = \frac{2}{3}$. Дробь $\frac{2}{3}$ несократима, и ее знаменатель $n = 3$ является нечетным числом. Следовательно, выражение имеет смысл. Оно равно $\sqrt[3]{(-16)^2} = \sqrt[3]{256}$.
Ответ: да, имеет смысл.

в) В выражении $23^{-\frac{3}{2}}$ основание $a = 23$ является положительным числом ($23 > 0$). Для положительного основания степень с любым рациональным показателем определена. Таким образом, данное выражение имеет смысл. Его можно представить как $\frac{1}{23^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{23^3}}$.
Ответ: да, имеет смысл.

г) В выражении $(-25)^{-\frac{1}{2}}$ основание $a = -25$ отрицательное. Согласно правилу для степеней с отрицательным основанием и рациональным показателем, выражение имеет смысл, только если знаменатель показателя (в несократимой дроби) нечетный. Показатель степени здесь $-\frac{1}{2}$. Знаменатель равен $2$, что является четным числом. Это означает, что для вычисления выражения требуется извлечь корень четной степени из отрицательного числа: $(-25)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{(-25)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{-25}}$. В области действительных чисел корень четной степени из отрицательного числа не определен.
Ответ: нет, не имеет смысла.

Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

8.2. a) $5^{\frac{2}{3}};$

б) $3^{3 \frac{1}{2}};$

в) $6^{-\frac{3}{8}};$

г) $4^{3 \frac{1}{4}}.$

а)

Чтобы представить степень с дробным показателем $a^{\frac{m}{n}}$ в виде корня, используется формула $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В этой формуле знаменатель дроби $n$ становится показателем корня, а числитель $m$ — показателем степени подкоренного выражения.

В выражении $5^{\frac{2}{3}}$ основание $a = 5$, числитель показателя $m = 2$, а знаменатель показателя $n = 3$. Подставляя эти значения в формулу, получаем: $5^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{5^2}$

Вычислим степень под корнем: $5^2 = 25$.

Таким образом, окончательный вид выражения: $\sqrt[3]{25}$.

Ответ: $\sqrt[3]{25}$

б)

Сначала необходимо преобразовать смешанное число $3\frac{1}{2}$ в показателе степени в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

Теперь выражение имеет вид $3^{\frac{7}{2}}$. Применим формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$: $3^{\frac{7}{2}} = \sqrt[2]{3^7}$

Корень второй степени (квадратный корень) принято записывать без показателя 2, поэтому получаем $\sqrt{3^7}$.

Это выражение можно упростить, вынеся множитель из-под знака корня. Представим $3^7$ как $3^6 \cdot 3$: $\sqrt{3^7} = \sqrt{3^6 \cdot 3} = \sqrt{(3^3)^2 \cdot 3} = 3^3\sqrt{3}$

Вычислив $3^3 = 27$, получаем окончательный упрощенный вид.

Ответ: $27\sqrt{3}$

в)

Используем ту же формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ для выражения $6^{\frac{3}{8}}$. Здесь основание $a = 6$, числитель $m = 3$, знаменатель $n = 8$.

Подставляем в формулу: $6^{\frac{3}{8}} = \sqrt[8]{6^3}$

Вычислим значение подкоренного выражения: $6^3 = 216$

Таким образом, получаем $\sqrt[8]{216}$.

Ответ: $\sqrt[8]{216}$

г)

Первым шагом преобразуем смешанное число $3\frac{1}{4}$ в показателе в неправильную дробь: $3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$

Выражение принимает вид $4^{\frac{13}{4}}$. Применяем правило $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$: $4^{\frac{13}{4}} = \sqrt[4]{4^{13}}$

Это выражение можно упростить. Представим основание 4 как степень двойки: $4 = 2^2$. $\sqrt[4]{4^{13}} = \sqrt[4]{(2^2)^{13}} = \sqrt[4]{2^{26}}$

Теперь вынесем множитель из-под знака корня. Для этого разделим показатель степени под корнем (26) на показатель корня (4) с остатком: $26 = 6 \cdot 4 + 2$. Следовательно: $\sqrt[4]{2^{26}} = \sqrt[4]{2^{6 \cdot 4} \cdot 2^2} = \sqrt[4]{(2^6)^4 \cdot 2^2} = 2^6 \sqrt[4]{2^2}$

Упростим оставшиеся части: $2^6 = 64$ и $\sqrt[4]{2^2} = \sqrt{2}$ (показатель корня 4 и показатель степени 2 можно сократить на 2).

Собирая все вместе, получаем: $64\sqrt{2}$.

Ответ: $64\sqrt{2}$

8.3. a) $c^{\frac{3}{4}}$;

Б) $p^{5+\frac{1}{2}}$;

В) $x^{\frac{3}{4}}$;

Г) $y^{2+\frac{2}{3}}$.

а)

Для того чтобы представить степень с рациональным показателем в виде корня, используется следующее свойство: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $n$ — натуральное число ($n \ge 2$), $m$ — целое число, и по определению степени с рациональным показателем $a > 0$.

В выражении $c^{\frac{3}{4}}$ основание степени $a = c$, числитель показателя $m = 3$, а знаменатель показателя $n = 4$.

Применяя формулу, получаем:

$c^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{c^3}$

Ответ: $\sqrt[4]{c^3}$

б)

Сначала необходимо преобразовать смешанное число в показателе степени в неправильную дробь.

$5\frac{1}{2} = 5 + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} + \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$

Таким образом, исходное выражение можно записать как $p^{\frac{11}{2}}$.

Далее используем свойство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае $a = p$, $m = 11$, $n = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$p^{\frac{11}{2}} = \sqrt[2]{p^{11}}$

Корень второй степени принято называть квадратным корнем и записывать без указания показателя корня:

$\sqrt[2]{p^{11}} = \sqrt{p^{11}}$

Ответ: $\sqrt{p^{11}}$

в)

Используем то же свойство, что и в пункте а): $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Для выражения $x^{\frac{3}{4}}$ имеем: основание $a = x$, числитель показателя $m = 3$, знаменатель $n = 4$.

Подставляем эти значения в формулу:

$x^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{x^3}$

Ответ: $\sqrt[4]{x^3}$

г)

Первым шагом преобразуем показатель степени, который является смешанным числом, в неправильную дробь.

$2\frac{2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

Теперь выражение имеет вид $y^{\frac{8}{3}}$.

Применяем свойство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. Здесь $a = y$, $m = 8$, $n = 3$.

В результате получаем:

$y^{\frac{8}{3}} = \sqrt[3]{y^8}$

Ответ: $\sqrt[3]{y^8}$

8.4. а) $0,2^{0,5}$;

б) $t^{0,8}$;

в) $b^{1,5}$;

г) $8,5^{0,6}$.

а) Чтобы представить степень с десятичным показателем $0,2^{0,5}$ в виде корня, необходимо сначала преобразовать показатель степени из десятичной дроби в обыкновенную.
$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
Теперь воспользуемся определением степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где $a > 0$, $m$ — целое число, $n$ — натуральное число.
В нашем случае $a = 0,2$, $m = 1$, $n = 2$.
$0,2^{0,5} = 0,2^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{0,2^1} = \sqrt{0,2}$
Ответ: $\sqrt{0,2}$.

б) Для представления выражения $t^{0,8}$ в виде корня, преобразуем десятичный показатель степени в обыкновенную дробь.
$0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
Применяя свойство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, при условии что основание степени неотрицательно ($t \ge 0$), получаем:
$t^{0,8} = t^{\frac{4}{5}} = \sqrt[5]{t^4}$
Ответ: $\sqrt[5]{t^4}$.

в) Чтобы представить степень $b^{1,5}$ в виде корня, преобразуем десятичный показатель в смешанную, а затем в неправильную дробь.
$1,5 = 1 \frac{5}{10} = 1 \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
Используя свойство $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ (при $b \ge 0$, так как корень четной степени извлекается из неотрицательного числа), получаем:
$b^{1,5} = b^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{b^3} = \sqrt{b^3}$
Это выражение также можно упростить, вынеся множитель из-под знака корня: $\sqrt{b^3} = \sqrt{b^2 \cdot b} = b\sqrt{b}$.
Ответ: $\sqrt{b^3}$.

г) Представим степень с десятичным показателем $8,5^{0,6}$ в виде корня. Сначала преобразуем показатель степени $0,6$ в обыкновенную дробь.
$0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
Применим формулу $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
$8,5^{0,6} = 8,5^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{(8,5)^3}$
Ответ: $\sqrt[5]{(8,5)^3}$.

8.5. a) $(2a)^{\frac{1}{3}};$

б) $3(x - y)^{\frac{2}{3}};$

в) $(2b)^{\frac{1}{4}};$

г) $3(a + b)^{\frac{3}{4}}.$

а) Чтобы представить выражение $(2a)^{\frac{1}{3}}$ в виде корня, используется общее правило преобразования степени с рациональным показателем: $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$. В данном случае основанием является выражение $2a$, числитель показателя степени $m=1$, а знаменатель (показатель корня) $n=3$.

Применяя правило, получаем:

$(2a)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{(2a)^1} = \sqrt[3]{2a}$

Ответ: $\sqrt[3]{2a}$.

б) В выражении $3(x - y)^{\frac{2}{3}}$ числовой коэффициент 3 остается без изменений, а степень $(x - y)^{\frac{2}{3}}$ преобразуется в корень. Основанием является выражение $(x - y)$, числитель показателя степени $m=2$, а знаменатель (показатель корня) $n=3$.

Преобразование выглядит следующим образом:

$(x - y)^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{(x - y)^2}$

Таким образом, всё выражение равно:

$3(x - y)^{\frac{2}{3}} = 3\sqrt[3]{(x - y)^2}$

Ответ: $3\sqrt[3]{(x - y)^2}$.

в) Для выражения $(2b)^{\frac{1}{4}}$ снова применяем правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m}$. Здесь основание равно $2b$, числитель показателя степени $m=1$, а знаменатель (показатель корня) $n=4$.

Выполняем преобразование:

$(2b)^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{(2b)^1} = \sqrt[4]{2b}$

Ответ: $\sqrt[4]{2b}$.

г) В выражении $3(a + b)^{\frac{3}{4}}$ коэффициент 3 сохраняется, а степень $(a + b)^{\frac{3}{4}}$ преобразуется в корень. Основанием является $(a + b)$, числитель показателя степени $m=3$, а знаменатель (показатель корня) $n=4$.

Сначала преобразуем степень:

$(a + b)^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{(a + b)^3}$

Затем дописываем коэффициент 3:

$3(a + b)^{\frac{3}{4}} = 3\sqrt[4]{(a + b)^3}$

Ответ: $3\sqrt[4]{(a + b)^3}$.

Представьте заданное выражение в виде степени с рациональным показателем:

8.6. a) $\sqrt[5]{b^4}$;

б) $\sqrt[3]{a^2}$;

в) $\sqrt[11]{c^2}$;

г) $\sqrt[5]{a}$.

Для того чтобы представить выражение с корнем в виде степени с рациональным показателем, используется общая формула: $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $

В этой формуле $n$ является показателем корня (число, стоящее над знаком корня), а $m$ — показателем степени выражения, находящегося под корнем.

а)

Рассмотрим выражение $ \sqrt[5]{b^4} $. Здесь показатель корня $n = 5$, а показатель степени подкоренного выражения $m = 4$. Подставляем эти значения в формулу: $ \sqrt[5]{b^4} = b^{\frac{4}{5}} $
Ответ: $ b^{\frac{4}{5}} $

б)

Рассмотрим выражение $ \sqrt[3]{a^2} $. Здесь показатель корня $n = 3$, а показатель степени подкоренного выражения $m = 2$. Подставляем эти значения в формулу: $ \sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}} $
Ответ: $ a^{\frac{2}{3}} $

в)

Рассмотрим выражение $ \sqrt[11]{c^2} $. Здесь показатель корня $n = 11$, а показатель степени подкоренного выражения $m = 2$. Подставляем эти значения в формулу: $ \sqrt[11]{c^2} = c^{\frac{2}{11}} $
Ответ: $ c^{\frac{2}{11}} $

г)

Рассмотрим выражение $ \sqrt[5]{a} $. Здесь показатель корня $n = 5$. Так как у переменной $a$ не указана степень, она по умолчанию равна 1, то есть $a = a^1$. Следовательно, показатель степени подкоренного выражения $m = 1$. Подставляем эти значения в формулу: $ \sqrt[5]{a} = \sqrt[5]{a^1} = a^{\frac{1}{5}} $
Ответ: $ a^{\frac{1}{5}} $

8.7. а) $\sqrt{b^{-1}}$;

б) $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{-3}}}$;

в) $\sqrt[12]{b^{-5}}$;

г) $\frac{1}{\sqrt[3]{a^{-2}}}$.

а) Чтобы представить выражение в виде степени, воспользуемся определением степени с рациональным показателем: $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $.
Квадратный корень является корнем второй степени, поэтому $ \sqrt{b^{-1}} = \sqrt[2]{b^{-1}} $.
Применяя формулу, где $ n=2 $, $ a=b $ и $ m=-1 $, получаем:
$ \sqrt{b^{-1}} = b^{\frac{-1}{2}} = b^{-\frac{1}{2}} $.
Ответ: $ b^{-\frac{1}{2}} $.

б) Сначала преобразуем выражение в знаменателе, используя формулу $ \sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}} $.
$ \sqrt[4]{x^{-3}} = x^{\frac{-3}{4}} = x^{-\frac{3}{4}} $.
Теперь подставим полученное выражение в исходную дробь:
$ \frac{1}{\sqrt[4]{x^{-3}}} = \frac{1}{x^{-\frac{3}{4}}} $.
Далее воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $ \frac{1}{a^{-n}} = a^n $.
$ \frac{1}{x^{-\frac{3}{4}}} = x^{\frac{3}{4}} $.
Ответ: $ x^{\frac{3}{4}} $.

в) Используем ту же формулу, что и в предыдущих пунктах: $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $.
В данном случае степень корня $ n=12 $, основание степени $ a=b $, а показатель степени под корнем $ m=-5 $.
$ \sqrt[12]{b^{-5}} = b^{\frac{-5}{12}} = b^{-\frac{5}{12}} $.
Ответ: $ b^{-\frac{5}{12}} $.

г) Решение аналогично пункту б).
Сначала преобразуем знаменатель дроби, используя формулу $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $:
$ \sqrt[3]{a^{-2}} = a^{\frac{-2}{3}} = a^{-\frac{2}{3}} $.
Подставим это в исходное выражение:
$ \frac{1}{\sqrt[3]{a^{-2}}} = \frac{1}{a^{-\frac{2}{3}}} $.
Используя свойство степени $ \frac{1}{x^{-n}} = x^n $, получаем:
$ \frac{1}{a^{-\frac{2}{3}}} = a^{\frac{2}{3}} $.
Ответ: $ a^{\frac{2}{3}} $.

Вычислите:

8.8. a) $49^{\frac{1}{2}};$

б) $1000^{\frac{1}{3}};$

в) $27^{\frac{1}{3}};$

г) $25^{\frac{1}{2}}.$

а) Чтобы вычислить $49^{\frac{1}{2}}$, воспользуемся определением степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае показатель степени равен $\frac{1}{2}$, что соответствует извлечению квадратного корня.

Таким образом, $49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49}$.

Квадратный корень из 49 — это число, которое при умножении само на себя дает 49. Мы знаем, что $7^2 = 49$.

Другой способ — представить основание 49 как степень числа 7, то есть $49 = 7^2$. Тогда, используя свойство степеней $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$, получаем:

$49^{\frac{1}{2}} = (7^2)^{\frac{1}{2}} = 7^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 7^1 = 7$.

Ответ: 7

б) Для вычисления $1000^{\frac{1}{3}}$ используем то же определение. Показатель степени $\frac{1}{3}$ означает извлечение кубического корня.

Следовательно, $1000^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{1000}$.

Кубический корень из 1000 — это число, которое в третьей степени равно 1000. Таким числом является 10, так как $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.

Также можно представить 1000 как $10^3$ и применить свойство степени:

$1000^{\frac{1}{3}} = (10^3)^{\frac{1}{3}} = 10^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 10^1 = 10$.

Ответ: 10

в) Вычислим $27^{\frac{1}{3}}$. Показатель степени $\frac{1}{3}$ соответствует извлечению кубического корня.

По определению, $27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27}$.

Нам нужно найти число, которое при возведении в куб даст 27. Это число 3, так как $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

Используя второй способ, представим 27 как степень числа 3, то есть $27 = 3^3$.

$27^{\frac{1}{3}} = (3^3)^{\frac{1}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3

г) Чтобы вычислить $25^{\frac{1}{2}}$, мы снова используем определение степени с рациональным показателем. Показатель $\frac{1}{2}$ означает извлечение квадратного корня.

$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25}$.

Квадратный корень из 25 равен 5, потому что $5^2 = 25$.

Альтернативно, представим 25 как $5^2$:

$25^{\frac{1}{2}} = (5^2)^{\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5

8.9. a) $9^{2\frac{1}{2}}$;

б) $0,16^{1\frac{1}{2}};$

в) $(3\frac{3}{8})^{\frac{4}{3}};$

г) $0,001^{\frac{2}{3}}.$

a) Чтобы вычислить значение выражения $9^{2\frac{1}{2}}$, первым шагом преобразуем смешанный показатель степени в неправильную дробь: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$.
Теперь исходное выражение можно записать как $9^{\frac{5}{2}}$.
Представим основание 9 в виде степени: $9 = 3^2$.
Подставим это в выражение: $(3^2)^{\frac{5}{2}}$.
Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $3^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 3^5$.
Вычислим $3^5$: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
Ответ: 243

б) Чтобы вычислить $0,16^{1\frac{1}{2}}$, сначала преобразуем показатель степени из смешанного числа в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
Выражение принимает вид $0,16^{\frac{3}{2}}$.
Представим основание 0,16 как квадрат числа: $0,16 = 0,4^2$.
Подставим это в выражение: $(0,4^2)^{\frac{3}{2}}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получим: $0,4^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 0,4^3$.
Вычислим $0,4^3$: $0,4^3 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,064$.
Ответ: 0,064

в) Рассмотрим выражение $(3\frac{3}{8})^{\frac{4}{3}}$.
Сначала преобразуем смешанное число в основании в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.
Теперь выражение выглядит так: $(\frac{27}{8})^{\frac{4}{3}}$.
Воспользуемся свойством дробной степени $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$. В данном случае $n=3$, $m=4$. $(\frac{27}{8})^{\frac{4}{3}} = \left(\sqrt[3]{\frac{27}{8}}\right)^4$.
Вычислим кубический корень: $\sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{3}{2}$.
Теперь возведем полученный результат в четвертую степень: $\left(\frac{3}{2}\right)^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$.
Ответ: $\frac{81}{16}$

г) Рассмотрим выражение $0,001^{\frac{2}{3}}$.
Представим десятичную дробь 0,001 в виде степени: $0,001 = \frac{1}{1000} = \frac{1}{10^3} = (\frac{1}{10})^3 = 0,1^3$.
Подставим это в исходное выражение: $(0,1^3)^{\frac{2}{3}}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $0,1^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 0,1^2$.
Вычислим $0,1^2$: $0,1^2 = 0,01$.
Ответ: 0,01

8.10. a) $(27 \cdot 3^{-4})^2;$

б) $\frac{6^{-4} \cdot 6^{-9}}{6^{-12}};$

в) $16 \cdot (2^{-3})^2;$

г) $\frac{7^{-7} \cdot 7^{-8}}{7^{-13}}.$

а) Для вычисления значения выражения $(27 \cdot 3^{-4})^2$ выполним следующие действия:
1. Представим число 27 как степень с основанием 3: $27 = 3^3$.
2. Подставим это значение в исходное выражение: $(3^3 \cdot 3^{-4})^2$.
3. Упростим выражение в скобках, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$3^3 \cdot 3^{-4} = 3^{3 + (-4)} = 3^{3-4} = 3^{-1}$.
4. Теперь возведем полученный результат в квадрат, используя свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(3^{-1})^2 = 3^{-1 \cdot 2} = 3^{-2}$.
5. Преобразуем степень с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Ответ: $\frac{1}{9}$.

б) Для вычисления значения выражения $\frac{6^{-4} \cdot 6^{-9}}{6^{-12}}$ выполним следующие действия:
1. Упростим числитель дроби, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$6^{-4} \cdot 6^{-9} = 6^{-4 + (-9)} = 6^{-13}$.
2. Теперь выражение имеет вид $\frac{6^{-13}}{6^{-12}}$.
3. Упростим дробь, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{6^{-13}}{6^{-12}} = 6^{-13 - (-12)} = 6^{-13 + 12} = 6^{-1}$.
4. Преобразуем степень с отрицательным показателем:
$6^{-1} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

в) Для вычисления значения выражения $16 \cdot (2^{-3})^2$ выполним следующие действия:
1. Упростим множитель в скобках, который возводится в степень, используя свойство возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):
$(2^{-3})^2 = 2^{-3 \cdot 2} = 2^{-6}$.
2. Представим число 16 как степень с основанием 2: $16 = 2^4$.
3. Теперь выражение имеет вид $2^4 \cdot 2^{-6}$.
4. Умножим степени с одинаковым основанием, сложив их показатели ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$2^4 \cdot 2^{-6} = 2^{4 + (-6)} = 2^{4-6} = 2^{-2}$.
5. Преобразуем степень с отрицательным показателем:
$2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) Для вычисления значения выражения $\frac{7^{-7} \cdot 7^{-8}}{7^{-13}}$ выполним следующие действия:
1. Упростим числитель дроби, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):
$7^{-7} \cdot 7^{-8} = 7^{-7 + (-8)} = 7^{-15}$.
2. Теперь выражение имеет вид $\frac{7^{-15}}{7^{-13}}$.
3. Упростим дробь, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):
$\frac{7^{-15}}{7^{-13}} = 7^{-15 - (-13)} = 7^{-15 + 13} = 7^{-2}$.
4. Преобразуем степень с отрицательным показателем:
$7^{-2} = \frac{1}{7^2} = \frac{1}{49}$.
Ответ: $\frac{1}{49}$.

8.11. a) $\frac{5^4 \cdot 49^{-3}}{7^{-7} \cdot 25^3}$

б) $\frac{81^{12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 27^{17}}$

а)

Для решения данного примера необходимо упростить выражение, приведя все основания степеней к простым числам и используя свойства степеней.

Исходное выражение: $ \frac{5^4 \cdot 49^{-3}}{7^{-7} \cdot 25^3} $.

Представим числа 49 и 25 в виде степеней простых чисел: $49 = 7^2$ и $25 = 5^2$.

Подставим эти значения в исходное выражение: $ \frac{5^4 \cdot (7^2)^{-3}}{7^{-7} \cdot (5^2)^3} $

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $ \frac{5^4 \cdot 7^{2 \cdot (-3)}}{7^{-7} \cdot 5^{2 \cdot 3}} = \frac{5^4 \cdot 7^{-6}}{7^{-7} \cdot 5^6} $

Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $ \frac{5^4}{5^6} \cdot \frac{7^{-6}}{7^{-7}} = 5^{4-6} \cdot 7^{-6 - (-7)} = 5^{-2} \cdot 7^{-6+7} = 5^{-2} \cdot 7^1 $

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$: $ 5^{-2} \cdot 7 = \frac{1}{5^2} \cdot 7 = \frac{1}{25} \cdot 7 = \frac{7}{25} $

Ответ: $ \frac{7}{25} $.

б)

Аналогично предыдущему пункту, упростим выражение, используя свойства степеней.

Исходное выражение: $ \frac{81^{12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 27^{17}} $.

Представим числа 81 и 27 в виде степеней простого числа 3: $81 = 3^4$ и $27 = 3^3$.

Подставим эти значения в исходное выражение: $ \frac{(3^4)^{12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot (3^3)^{17}} $

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $ \frac{3^{4 \cdot 12} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 3^{3 \cdot 17}} = \frac{3^{48} \cdot 10^{-7}}{10^{-5} \cdot 3^{51}} $

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $ \frac{3^{48}}{3^{51}} \cdot \frac{10^{-7}}{10^{-5}} = 3^{48-51} \cdot 10^{-7 - (-5)} = 3^{-3} \cdot 10^{-7+5} = 3^{-3} \cdot 10^{-2} $

Используя свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получим: $ \frac{1}{3^3} \cdot \frac{1}{10^2} = \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{100} = \frac{1}{2700} $

Ответ: $ \frac{1}{2700} $.

8.12. а) $4^{-\frac{1}{2}}$;

б) $8^{-\frac{1}{3}}$;

в) $32^{-\frac{1}{5}}$;

г) $16^{-\frac{1}{4}}$.

а)

Чтобы вычислить значение выражения $4^{-\frac{1}{2}}$, можно использовать два основных свойства степеней: свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и свойство степени с дробным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.

Способ 1: Использование определения корня.

Сначала применим свойство отрицательной степени:

$4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}}$

Теперь преобразуем степень с дробным показателем в корень. Показатель $\frac{1}{2}$ означает квадратный корень:

$4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, получаем:

$\frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}$

Способ 2: Представление основания в виде степени.

Представим основание 4 как степень числа 2, то есть $4 = 2^2$.

$4^{-\frac{1}{2}} = (2^2)^{-\frac{1}{2}}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. В этом случае показатели степеней перемножаются:

$(2^2)^{-\frac{1}{2}} = 2^{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 2^{-1}$

Теперь применим правило для отрицательной степени $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$2^{-1} = \frac{1}{2}$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б)

Для вычисления выражения $8^{-\frac{1}{3}}$ представим основание 8 в виде степени. Так как $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$, то мы можем записать:

$8^{-\frac{1}{3}} = (2^3)^{-\frac{1}{3}}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Перемножим показатели:

$(2^3)^{-\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot (-\frac{1}{3})} = 2^{-1}$

Используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-1} = \frac{1}{a}$, получаем конечный результат:

$2^{-1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в)

Чтобы вычислить значение выражения $32^{-\frac{1}{5}}$, представим основание 32 как степень числа 2. Мы знаем, что $2^5 = 32$.

Подставим это в наше выражение:

$32^{-\frac{1}{5}} = (2^5)^{-\frac{1}{5}}$

Применяя правило возведения степени в степень, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, перемножим показатели:

$(2^5)^{-\frac{1}{5}} = 2^{5 \cdot (-\frac{1}{5})} = 2^{-1}$

По определению степени с отрицательным показателем $a^{-1} = \frac{1}{a}$, находим результат:

$2^{-1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

г)

Для вычисления $16^{-\frac{1}{4}}$ представим число 16 в виде степени. Поскольку $2^4 = 16$, мы можем переписать выражение следующим образом:

$16^{-\frac{1}{4}} = (2^4)^{-\frac{1}{4}}$

Используем свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для умножения показателей:

$(2^4)^{-\frac{1}{4}} = 2^{4 \cdot (-\frac{1}{4})} = 2^{-1}$

Наконец, применяем правило для отрицательной степени $a^{-1} = \frac{1}{a}$:

$2^{-1} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$