Страница 117, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

18.46. a) $log_{5x - 4x^2} (4^{-x}) > 0;$

б) $log_{-5x^2 - 6x} (6^x) > 0.$

а)

Решим неравенство $\log_{5x - 4x^2} (4^{-x}) > 0$.

Данное неравенство равносильно системе, полученной с использованием метода рационализации для логарифмов:

$\begin{cases} 5x - 4x^2 > 0 \\ 5x - 4x^2 \neq 1 \\ 4^{-x} > 0 \\ (5x - 4x^2 - 1)(4^{-x} - 1) > 0 \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив первые три условия системы.

1. $4^{-x} > 0$ - верно для любого действительного $x$.

2. $5x - 4x^2 > 0 \implies x(5 - 4x) > 0$. Решением является интервал $x \in (0, \frac{5}{4})$.

3. $5x - 4x^2 \neq 1 \implies 4x^2 - 5x + 1 \neq 0$. Корни квадратного трехчлена $x_1 = \frac{1}{4}, x_2 = 1$. Следовательно, $x \neq \frac{1}{4}$ и $x \neq 1$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; 1) \cup (1; \frac{5}{4})$.

Теперь решим основное неравенство на ОДЗ:

$(5x - 4x^2 - 1)(4^{-x} - 1) > 0$.

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$(4x^2 - 5x + 1)(4^{-x} - 1) < 0$.

Разложим квадратный трехчлен на множители: $(4x-1)(x-1)(4^{-x} - 1) < 0$.

Решим это неравенство методом интервалов на ОДЗ.

Нули множителей: $x = \frac{1}{4}, x = 1, x = 0$.

Рассмотрим знак произведения на интервалах, входящих в ОДЗ:

- На интервале $(0; \frac{1}{4})$: выражение $(+ \text{число} - 1)(+ \text{число} - 1)(4^{-\text{число}} - 1)$ имеет вид $(-)(-)(-) = (-)$. Неравенство $(< 0)$ выполняется.

- На интервале $(\frac{1}{4}; 1)$: выражение имеет вид $(+)(-)(-) = (+)$. Неравенство не выполняется.

- На интервале $(1; \frac{5}{4})$: выражение имеет вид $(+)(+)(-) = (-)$. Неравенство $(< 0)$ выполняется.

Объединяя полученные интервалы, получаем решение.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{4}) \cup (1; \frac{5}{4})$.

б)

Решим неравенство $\log_{-5x^2 - 6x} (6^x) > 0$.

Используем метод рационализации. Неравенство $\log_{a(x)} f(x) > 0$ равносильно системе:

$\begin{cases} a(x) > 0 \\ a(x) \neq 1 \\ f(x) > 0 \\ (a(x)-1)(f(x)-1) > 0 \end{cases}$

В нашем случае $a(x) = -5x^2 - 6x$ и $f(x) = 6^x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $6^x > 0$ - верно для любого $x$.

2. $-5x^2 - 6x > 0 \implies 5x^2 + 6x < 0 \implies x(5x+6) < 0$. Корни $x=0$ и $x=-\frac{6}{5}$. Решение: $x \in (-\frac{6}{5}, 0)$.

3. $-5x^2 - 6x \neq 1 \implies 5x^2 + 6x + 1 \neq 0$. Корни уравнения $5x^2 + 6x + 1 = 0$ это $x_1 = -1$ и $x_2 = -\frac{1}{5}$. Значит $x \neq -1$ и $x \neq -\frac{1}{5}$.

ОДЗ: $x \in (-\frac{6}{5}; -1) \cup (-1; -\frac{1}{5}) \cup (-\frac{1}{5}; 0)$.

Теперь решим неравенство $(a(x)-1)(f(x)-1) > 0$ на ОДЗ:

$(-5x^2 - 6x - 1)(6^x - 1) > 0$.

$-(5x^2 + 6x + 1)(6^x - 1) > 0$.

$(5x^2 + 6x + 1)(6^x - 1) < 0$.

Рассмотрим знаки сомножителей на ОДЗ.

Первый сомножитель $5x^2 + 6x + 1$ имеет корни $x=-1$ и $x=-\frac{1}{5}$. Это парабола с ветвями вверх, она положительна вне корней и отрицательна между ними.

Второй сомножитель $6^x - 1$ равен нулю при $x=0$. Так как в ОДЗ $x < 0$, то $6^x < 1$, и следовательно, $6^x - 1 < 0$ на всей области ОДЗ.

Поскольку второй сомножитель $(6^x - 1)$ всегда отрицателен на ОДЗ, неравенство $(5x^2 + 6x + 1)(6^x - 1) < 0$ сводится к $5x^2 + 6x + 1 > 0$.

Решением неравенства $5x^2 + 6x + 1 > 0$ является $x \in (-\infty; -1) \cup (-\frac{1}{5}; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $x \in ((-\frac{6}{5}; -1) \cup (-1; -\frac{1}{5}) \cup (-\frac{1}{5}; 0)) \cap ((-\infty; -1) \cup (-\frac{1}{5}; +\infty))$.

Пересечение дает: $x \in (-\frac{6}{5}; -1) \cup (-\frac{1}{5}; 0)$.

Ответ: $x \in (-\frac{6}{5}; -1) \cup (-\frac{1}{5}; 0)$.

18.47. а) $\frac{\log_5(2x - 3) - \lg(2x - 3)}{\lg x - \log_{20} x} \ge \log_5 20;$

б) $\frac{\log_4(2 - x) - \log_6(2 - x)}{\log_6 x - \log_9 x} \le \log_4 9.$

Решим неравенство:

$$ \frac{\log_5(2x - 3) - \lg(2x - 3)}{\lg x - \log_{20} x} \ge \log_5 20 $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными, а знаменатель не должен равняться нулю.

$$ \begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ x > 0 \\ \lg x - \log_{20} x \ne 0 \end{cases} $$

Из первого неравенства получаем $x > 1.5$. Это условие является более строгим, чем $x > 0$.

Рассмотрим условие для знаменателя: $\lg x - \log_{20} x \ne 0$. Используя формулу перехода к новому основанию, получаем $\lg x - \frac{\lg x}{\lg 20} \ne 0$, что можно записать как $\lg x \left(1 - \frac{1}{\lg 20}\right) \ne 0$. Это выражение обращается в ноль только при $\lg x = 0$, то есть при $x=1$.

Так как $x > 1.5$, условие $x \ne 1$ выполняется автоматически. Таким образом, ОДЗ: $x > 1.5$.

2. Упростим левую часть неравенства, используя формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$. Перейдем к десятичному логарифму ($\lg$).

Преобразуем числитель:

$$ \log_5(2x - 3) - \lg(2x - 3) = \frac{\lg(2x - 3)}{\lg 5} - \lg(2x - 3) = \lg(2x - 3) \left( \frac{1}{\lg 5} - 1 \right) = \lg(2x - 3) \frac{1 - \lg 5}{\lg 5} = \lg(2x - 3) \frac{\lg 10 - \lg 5}{\lg 5} = \lg(2x - 3) \frac{\lg 2}{\lg 5} $$

Преобразуем знаменатель:

$$ \lg x - \log_{20} x = \lg x - \frac{\lg x}{\lg 20} = \lg x \left( 1 - \frac{1}{\lg 20} \right) = \lg x \frac{\lg 20 - 1}{\lg 20} = \lg x \frac{\lg 20 - \lg 10}{\lg 20} = \lg x \frac{\lg 2}{\lg 20} $$

Подставим упрощенные выражения в левую часть неравенства:

$$ \frac{\lg(2x - 3) \frac{\lg 2}{\lg 5}}{\lg x \frac{\lg 2}{\lg 20}} = \frac{\lg(2x - 3)}{\lg 5} \cdot \frac{\lg 20}{\lg x} = \frac{\lg(2x-3)}{\lg x} \cdot \frac{\lg 20}{\lg 5} $$

Используя формулу перехода к новому основанию в обратном порядке, получаем:

$$ \log_x(2x-3) \cdot \log_5 20 $$

3. Неравенство принимает вид:

$$ \log_x(2x-3) \cdot \log_5 20 \ge \log_5 20 $$

Так как $20 > 5$, то $\log_5 20 > \log_5 5 = 1$. Следовательно, $\log_5 20$ — положительное число, и мы можем разделить на него обе части неравенства, сохранив знак.

$$ \log_x(2x-3) \ge 1 $$

Представим 1 как $\log_x x$:

$$ \log_x(2x-3) \ge \log_x x $$

Согласно ОДЗ, $x > 1.5$, значит, основание логарифма $x > 1$. Для основания больше 1 логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.

$$ 2x - 3 \ge x $$

$$ x \ge 3 $$

4. Совместим полученное решение с ОДЗ ($x > 1.5$). Решение $x \ge 3$ полностью удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in [3; +\infty)$.

Решим неравенство:

$$ \frac{\log_4(2 - x) - \log_6(2 - x)}{\log_6 x - \log_9 x} \le \log_4 9 $$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

$$ \begin{cases} 2 - x > 0 \\ x > 0 \\ \log_6 x - \log_9 x \ne 0 \end{cases} $$

Из первых двух неравенств следует, что $0 < x < 2$.

Рассмотрим знаменатель: $\log_6 x - \log_9 x \ne 0$. Это равенство $\log_6 x = \log_9 x$ выполняется только при $x=1$, так как $\frac{\ln x}{\ln 6} = \frac{\ln x}{\ln 9}$ эквивалентно $\ln x = 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 1) \cup (1; 2)$.

2. Упростим левую часть неравенства, используя формулу перехода к новому основанию. Перейдем к натуральному логарифму ($\ln$).

Преобразуем числитель:

$$ \log_4(2 - x) - \log_6(2 - x) = \frac{\ln(2 - x)}{\ln 4} - \frac{\ln(2 - x)}{\ln 6} = \ln(2-x) \left( \frac{1}{\ln 4} - \frac{1}{\ln 6} \right) = \ln(2-x) \frac{\ln 6 - \ln 4}{\ln 4 \ln 6} = \ln(2-x) \frac{\ln(3/2)}{\ln 4 \ln 6} $$

Преобразуем знаменатель:

$$ \log_6 x - \log_9 x = \frac{\ln x}{\ln 6} - \frac{\ln x}{\ln 9} = \ln x \left( \frac{1}{\ln 6} - \frac{1}{\ln 9} \right) = \ln x \frac{\ln 9 - \ln 6}{\ln 6 \ln 9} = \ln x \frac{\ln(3/2)}{\ln 6 \ln 9} $$

Подставим упрощенные выражения в дробь (так как $x \ne 1$, то $\ln(3/2) \ne 0$, и мы можем на него сократить):

$$ \frac{\ln(2-x) \frac{\ln(3/2)}{\ln 4 \ln 6}}{\ln x \frac{\ln(3/2)}{\ln 6 \ln 9}} = \frac{\ln(2-x)}{\ln 4} \cdot \frac{\ln 9}{\ln x} = \frac{\ln(2-x)}{\ln x} \cdot \frac{\ln 9}{\ln 4} $$

Используя формулу перехода к новому основанию в обратном порядке, получаем:

$$ \log_x(2-x) \cdot \log_4 9 $$

3. Неравенство принимает вид:

$$ \log_x(2-x) \cdot \log_4 9 \le \log_4 9 $$

Так как $9 > 4$, то $\log_4 9 > \log_4 4 = 1$. Это положительное число, поэтому мы можем разделить на него обе части неравенства, не меняя знака.

$$ \log_x(2-x) \le 1 $$

Представим 1 как $\log_x x$:

$$ \log_x(2-x) \le \log_x x $$

Рассмотрим два случая в зависимости от основания логарифма $x$, согласно ОДЗ.

Случай 1: $x \in (1; 2)$. В этом случае основание $x > 1$, и логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется.

$$ 2 - x \le x $$

$$ 2 \le 2x $$

$$ 1 \le x $$

Пересечение решения $x \ge 1$ с интервалом $x \in (1; 2)$ дает $x \in (1; 2)$.

Случай 2: $x \in (0; 1)$. В этом случае основание $0 < x < 1$, и логарифмическая функция является убывающей. Знак неравенства меняется на противоположный.

$$ 2 - x \ge x $$

$$ 2 \ge 2x $$

$$ 1 \ge x $$

Пересечение решения $x \le 1$ с интервалом $x \in (0; 1)$ дает $x \in (0; 1)$.

4. Объединим решения, полученные в двух случаях.

Общим решением является объединение интервалов: $(0; 1) \cup (1; 2)$.

Ответ: $x \in (0; 1) \cup (1; 2)$.

18.48. a) Найдите сумму всех целых чисел, которые являются решениями неравенства $log_2(5-x) > log_{0.5}x - 6$.

б) Найдите наименьшее натуральное число, которое является решением неравенства $\frac{41x - 4x^2 - 100}{\log_{100}(x - 3)} \le 0$.

a)

Решим неравенство $\log_{2}(5 - x) > \log_{0,5}x - 6$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 5 - x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x > 0 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0; 5)$.

2. Приведем логарифмы к одному основанию 2. Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$:

$\log_{0,5}x = \log_{2^{-1}}x = \frac{\log_2 x}{\log_2 2^{-1}} = \frac{\log_2 x}{-1} = -\log_2 x$.

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_{2}(5 - x) > -\log_2 x - 6$

$\log_{2}(5 - x) + \log_2 x > -6$

3. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_{2}((5 - x)x) > -6$

$\log_{2}(5x - x^2) > -6$

Представим правую часть как логарифм по основанию 2:

$-6 = -6 \cdot \log_2 2 = \log_2 2^{-6} = \log_2 \frac{1}{64}$

Неравенство принимает вид:

$\log_{2}(5x - x^2) > \log_2 \frac{1}{64}$

4. Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства сохраняется:

$5x - x^2 > \frac{1}{64}$

$x^2 - 5x + \frac{1}{64} < 0$

5. Решим квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + \frac{1}{64} = 0$.

Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{64} = 25 - \frac{4}{64} = 25 - \frac{1}{16} = \frac{400 - 1}{16} = \frac{399}{16}$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{\frac{399}{16}}}{2} = \frac{5 \pm \frac{\sqrt{399}}{4}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{399}}{8}$.

Парабола $y = x^2 - 5x + \frac{1}{64}$ ветвями вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x + \frac{1}{64} < 0$ выполняется между корнями:

$\frac{20 - \sqrt{399}}{8} < x < \frac{20 + \sqrt{399}}{8}$

6. Совместим полученное решение с ОДЗ $x \in (0; 5)$. Оценим значения корней:

Так как $19^2 = 361$ и $20^2 = 400$, то $19 < \sqrt{399} < 20$.

$x_1 = \frac{20 - \sqrt{399}}{8}$: $0 < \frac{20 - 20}{8} < x_1 < \frac{20 - 19}{8} = \frac{1}{8}$. То есть $0 < x_1 < 0.125$.

$x_2 = \frac{20 + \sqrt{399}}{8}$: $4.875 = \frac{20 + 19}{8} < x_2 < \frac{20 + 20}{8} = 5$.

Интервал решения $(\frac{20 - \sqrt{399}}{8}; \frac{20 + \sqrt{399}}{8})$ полностью входит в ОДЗ $(0; 5)$.

7. Найдем все целые числа, принадлежащие этому интервалу. Так как $0 < \frac{20 - \sqrt{399}}{8} < 1$ и $4 < \frac{20 + \sqrt{399}}{8} < 5$, целыми решениями являются числа 1, 2, 3, 4.

8. Найдем сумму этих целых чисел:

$1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

Ответ: 10

б)

Решим неравенство $\frac{41x - 4x^2 - 100}{\log_{100}(x - 3)} \le 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x - 3 > 0 & \text{(аргумент логарифма больше нуля)} \\ \log_{100}(x - 3) \ne 0 & \text{(знаменатель не равен нулю)} \end{cases}$

$\begin{cases} x > 3 \\ x - 3 \ne 100^0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x - 3 \ne 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x \ne 4 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in (3; 4) \cup (4; +\infty)$.

2. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя: $41x - 4x^2 - 100 = 0$.

Умножим на -1: $4x^2 - 41x + 100 = 0$.

Дискриминант $D = (-41)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 100 = 1681 - 1600 = 81 = 9^2$.

Корни: $x_1 = \frac{41 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$.

$x_2 = \frac{41 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{50}{8} = \frac{25}{4} = 6.25$.

Нуль знаменателя: $\log_{100}(x-3) = 0 \implies x - 3 = 1 \implies x = 4$.

3. Отметим на числовой оси точки, в которых числитель или знаменатель меняют знак, с учетом ОДЗ. Это точки $x=4$ и $x=6.25$. Точка $x=4$ (нуль знаменателя) будет выколотой, точка $x=6.25$ (нуль числителя) будет закрашенной, так как неравенство нестрогое.

Рассмотрим знаки выражения на интервалах, входящих в ОДЗ $(3; 4) \cup (4; +\infty)$.

Пусть $f(x) = \frac{41x - 4x^2 - 100}{\log_{100}(x - 3)}$.

• Интервал $(3; 4)$: Возьмем $x=3.5$.
  Числитель: $41(3.5) - 4(3.5)^2 - 100 = 143.5 - 4(12.25) - 100 = 143.5 - 49 - 100 = -5.5 < 0$.
  Знаменатель: $\log_{100}(3.5 - 3) = \log_{100}(0.5) < 0$.
  $f(x) = \frac{-}{-} > 0$.
• Интервал $(4; 6.25)$: Возьмем $x=5$.
  Числитель: $41(5) - 4(5)^2 - 100 = 205 - 100 - 100 = 5 > 0$.
  Знаменатель: $\log_{100}(5 - 3) = \log_{100}(2) > 0$.
  $f(x) = \frac{+}{+} > 0$.
• Интервал $(6.25; +\infty)$: Возьмем $x=10$.
  Числитель: $41(10) - 4(10)^2 - 100 = 410 - 400 - 100 = -90 < 0$.
  Знаменатель: $\log_{100}(10 - 3) = \log_{100}(7) > 0$.
  $f(x) = \frac{-}{+} < 0$.

Неравенство $\le 0$ выполняется на интервале $(6.25; +\infty)$ и в точке, где числитель равен нулю, то есть $x=6.25$.

Объединяя, получаем решение: $x \in [6.25; +\infty)$.

4. Нам нужно найти наименьшее натуральное число, которое является решением неравенства. Натуральные числа — это 1, 2, 3, ... . Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию $x \ge 6.25$, это 7.

Ответ: 7

18.49. Сколько целых чисел содержится в решении неравенства

$\frac{\sqrt{5 + 4\log_2 x - \log_2^2 x}}{\log_2 32x^2} \le \frac{\sqrt{\log_2 32x^4 - \log_2^2 x}}{4 - \log_{0,5} x^3}$

Для решения данного неравенства сначала определим область допустимых значений (ОДЗ).

1. Аргументы логарифмов должны быть положительными, следовательно, $x > 0$.

2. Выражения, находящиеся под знаком квадратного корня, должны быть неотрицательными:

$5 + 4\log_2 x - \log_2^2 x \ge 0$

$\log_2 32x^4 - \log_2^2 x \ge 0$

3. Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

$\log_2 32x^2 \ne 0$

$4 - \log_{0.5} x^3 \ne 0$

Для удобства введем замену $t = \log_2 x$. Теперь перепишем условия ОДЗ в терминах переменной $t$:

1. Из $5 + 4t - t^2 \ge 0$, умножив на $-1$, получим $t^2 - 4t - 5 \le 0$. Корни квадратного трехчлена $t^2 - 4t - 5 = 0$ — это $t_1 = -1$ и $t_2 = 5$. Следовательно, решением этого неравенства является отрезок $t \in [-1, 5]$.

2. Преобразуем второе подкоренное выражение: $\log_2 32x^4 - \log_2^2 x = \log_2 32 + \log_2 x^4 - (\log_2 x)^2 = 5 + 4\log_2 x - (\log_2 x)^2 = 5 + 4t - t^2$. Таким образом, второе условие $5 + 4t - t^2 \ge 0$ совпадает с первым.

3. Преобразуем знаменатели:

$\log_2 32x^2 = \log_2 32 + \log_2 x^2 = 5 + 2\log_2 x = 5 + 2t$. Условие $5 + 2t \ne 0$ дает $t \ne -2.5$.

$4 - \log_{0.5} x^3 = 4 - \frac{\log_2 x^3}{\log_2 0.5} = 4 - \frac{3\log_2 x}{-1} = 4 + 3\log_2 x = 4 + 3t$. Условие $4 + 3t \ne 0$ дает $t \ne -4/3$.

Объединяя все условия для $t$, получаем, что $t$ должен принадлежать отрезку $[-1, 5]$. Условия $t \ne -2.5$ и $t \ne -4/3 \approx -1.33$ выполняются автоматически, так как эти значения не входят в данный отрезок. Таким образом, ОДЗ для $t$ есть $t \in [-1, 5]$.

Теперь преобразуем исходное неравенство, используя замену и упрощенные выражения:

$$ \frac{\sqrt{5 + 4t - t^2}}{5 + 2t} \le \frac{\sqrt{5 + 4t - t^2}}{4 + 3t} $$

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

$$ \sqrt{5 + 4t - t^2} \left( \frac{1}{5 + 2t} - \frac{1}{4 + 3t} \right) \le 0 $$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$$ \sqrt{5 + 4t - t^2} \left( \frac{(4 + 3t) - (5 + 2t)}{(5 + 2t)(4 + 3t)} \right) \le 0 $$

$$ \sqrt{5 + 4t - t^2} \cdot \frac{t - 1}{(5 + 2t)(4 + 3t)} \le 0 $$

Данное неравенство выполняется в двух случаях:

1. Когда множитель с корнем равен нулю: $\sqrt{5 + 4t - t^2} = 0$. Это происходит при $t = -1$ и $t = 5$. Оба эти значения входят в ОДЗ, поэтому являются решениями.

2. Когда множитель с корнем строго больше нуля, а второй множитель меньше или равен нулю. Условие $\sqrt{5 + 4t - t^2} > 0$ выполняется для $t \in (-1, 5)$. Для этих значений $t$ неравенство сводится к следующему:

$$ \frac{t - 1}{(5 + 2t)(4 + 3t)} \le 0 $$

На интервале $t \in (-1, 5)$ оба выражения в знаменателе, $5 + 2t$ и $4 + 3t$, являются положительными. Например, при $t=-1$ они равны $3$ и $1$ соответственно, а так как это возрастающие линейные функции, они остаются положительными на всем интервале. Следовательно, знаменатель $(5 + 2t)(4 + 3t)$ положителен. Тогда неравенство упрощается до $t - 1 \le 0$, откуда $t \le 1$.

Пересекая полученное решение $t \le 1$ с условием $t \in (-1, 5)$, получаем $t \in (-1, 1]$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем общее решение для $t$: $t \in \{-1, 5\} \cup (-1, 1]$, что равносильно $t \in [-1, 1] \cup \{5\}$.

Теперь выполним обратную замену $x = 2^t$.

Если $t \in [-1, 1]$, то $x \in [2^{-1}, 2^1]$, то есть $x \in [0.5, 2]$.

Если $t = 5$, то $x = 2^5 = 32$.

Таким образом, множество решений исходного неравенства есть $x \in [0.5, 2] \cup \{32\}$.

Найдем целые числа, которые принадлежат этому множеству. Из интервала $[0.5, 2]$ целыми решениями являются числа $1$ и $2$. Также решением является число $32$.

Всего целых решений: 1, 2, 32. Их количество равно 3.

Ответ: 3.

Решите неравенство:

18.50. $
\frac{\log_4(2 - x) - \log_{14}(2 - x)}{\log_{14} x - \log_{49} x} \leq \frac{\log_9 49}{\log_{27} 8}$

Для решения неравенства сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ).

Определение области допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными:$2 - x > 0 \implies x < 2$$x > 0$Знаменатели дробей не должны равняться нулю. Для знаменателя левой части: $\log_{14}x - \log_{49}x \ne 0$. Это выражение равно нулю только при $x=1$, так как основания $14$ и $49$ различны. Следовательно, $x \ne 1$. Знаменатель правой части $\log_{27} 8$ не равен нулю, так как $8 \ne 1$.Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 2)$.

Упрощение неравенства. Преобразуем обе части неравенства. Начнем с правой части, используя свойства логарифмов:

$\frac{\log_9 49}{\log_{27} 8} = \frac{\log_{3^2} 7^2}{\log_{3^3} 2^3} = \frac{\frac{2}{2} \log_3 7}{\frac{3}{3} \log_3 2} = \frac{\log_3 7}{\log_3 2} = \log_2 7$.

Теперь преобразуем левую часть, применив формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\ln a}{\ln b}$:

$\frac{\log_4(2 - x) - \log_{14}(2 - x)}{\log_{14}x - \log_{49}x} = \frac{\frac{\ln(2-x)}{\ln 4} - \frac{\ln(2-x)}{\ln 14}}{\frac{\ln x}{\ln 14} - \frac{\ln x}{\ln 49}} = \frac{\ln(2-x) \left(\frac{1}{\ln 4} - \frac{1}{\ln 14}\right)}{\ln x \left(\frac{1}{\ln 14} - \frac{1}{\ln 49}\right)}$

Упростим выражения в скобках:

$\frac{1}{\ln 4} - \frac{1}{\ln 14} = \frac{\ln 14 - \ln 4}{\ln 4 \cdot \ln 14} = \frac{\ln(14/4)}{\ln 4 \cdot \ln 14} = \frac{\ln(3.5)}{\ln 4 \cdot \ln 14}$

$\frac{1}{\ln 14} - \frac{1}{\ln 49} = \frac{\ln 49 - \ln 14}{\ln 14 \cdot \ln 49} = \frac{\ln(49/14)}{\ln 14 \cdot \ln 49} = \frac{\ln(3.5)}{\ln 14 \cdot \ln 49}$

Подставим это обратно в левую часть:

$\frac{\ln(2-x) \frac{\ln(3.5)}{\ln 4 \cdot \ln 14}}{\ln x \frac{\ln(3.5)}{\ln 14 \cdot \ln 49}} = \frac{\ln(2-x)}{\ln x} \cdot \frac{\ln 14 \cdot \ln 49}{\ln 4 \cdot \ln 14} = \frac{\ln(2-x)}{\ln x} \cdot \frac{\ln 49}{\ln 4}$

Заметим, что $\frac{\ln 49}{\ln 4} = \frac{\ln 7^2}{\ln 2^2} = \frac{2\ln 7}{2\ln 2} = \frac{\ln 7}{\ln 2} = \log_2 7$.Также, $\frac{\ln(2-x)}{\ln x} = \log_x(2-x)$.Следовательно, левая часть равна $\log_x(2-x) \cdot \log_2 7$.

Решение упрощенного неравенства. Исходное неравенство можно переписать в виде:

$\log_x(2-x) \cdot \log_2 7 \le \log_2 7$

Поскольку $\log_2 7 > 0$, мы можем разделить обе части на $\log_2 7$, сохранив знак неравенства:

$\log_x(2-x) \le 1$

Представим $1$ как $\log_x x$:

$\log_x(2-x) \le \log_x x$

Для решения этого неравенства рассмотрим два случая, определяемых основанием логарифма $x$ в рамках ОДЗ.

Случай 1: $0 < x < 1$. В этом случае основание логарифма меньше 1, поэтому логарифмическая функция является убывающей. При потенцировании знак неравенства меняется на противоположный:$2 - x \ge x \implies 2 \ge 2x \implies 1 \ge x$.Учитывая условие $0 < x < 1$, решением в этом случае является интервал $(0, 1)$.

Случай 2: $1 < x < 2$. В этом случае основание логарифма больше 1, и логарифмическая функция является возрастающей. Знак неравенства сохраняется:$2 - x \le x \implies 2 \le 2x \implies 1 \le x$.Учитывая условие $1 < x < 2$, решением в этом случае является интервал $(1, 2)$.

Объединяя решения из обоих случаев, мы получаем окончательное решение, которое совпадает с ОДЗ.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (1, 2)$.

18.51. $\log_8 (x - 3)^2 \cdot \log_{16} (x - 5)^6 + \log_2 \frac{(x - 3)^3}{x - 5} - 3 > 0.$

Решим данное логарифмическое неравенство:

$$ \log_8 (x - 3)^2 \cdot \log_{16} (x - 5)^6 + \log_2 \frac{(x-3)^3}{x-5} - 3 > 0 $$

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Для существования логарифмов их аргументы должны быть строго положительными. Запишем систему неравенств:

$$ \begin{cases} (x-3)^2 > 0 \\ (x-5)^6 > 0 \\ \frac{(x-3)^3}{x-5} > 0 \end{cases} $$

Из первого неравенства следует, что $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Из второго неравенства следует, что $x-5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.

Третье неравенство решим методом интервалов. Оно равносильно тому, что числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки.

• Если $x-3 > 0$ и $x-5 > 0$, то есть $x > 3$ и $x > 5$, получаем $x > 5$.
• Если $x-3 < 0$ и $x-5 < 0$, то есть $x < 3$ и $x < 5$, получаем $x < 3$.

Объединяя эти два случая, получаем, что третье неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 3) \cup (5, \infty)$.

Эта область и является ОДЗ для всего неравенства, так как она уже исключает точки $x=3$ и $x=5$.

Итак, ОДЗ: $x \in (-\infty, 3) \cup (5, \infty)$.

2. Преобразование неравенства

Приведем все логарифмы к основанию 2, используя формулы перехода к новому основанию и свойства степеней: $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$ и $\log_a b^{2n} = 2n \log_a |b|$.

$$ \log_8(x-3)^2 = \log_{2^3}(x-3)^2 = \frac{1}{3} \log_2(x-3)^2 = \frac{2}{3} \log_2|x-3| $$

$$ \log_{16}(x-5)^6 = \log_{2^4}(x-5)^6 = \frac{1}{4} \log_2(x-5)^6 = \frac{6}{4} \log_2|x-5| = \frac{3}{2} \log_2|x-5| $$

Подставим преобразования в исходное неравенство:

$$ \left(\frac{2}{3} \log_2|x-3|\right) \cdot \left(\frac{3}{2} \log_2|x-5|\right) + \log_2 \frac{(x-3)^3}{x-5} - 3 > 0 $$

$$ \log_2|x-3| \cdot \log_2|x-5| + \log_2 \frac{(x-3)^3}{x-5} - 3 > 0 $$

Рассмотрим два случая, на которые ОДЗ делит числовую прямую.

Случай 1: $x \in (5, \infty)$

В этом интервале $x-3 > 0$ и $x-5 > 0$, поэтому $|x-3| = x-3$ и $|x-5| = x-5$.

Логарифм дроби можно представить в виде разности логарифмов:

$$ \log_2 \frac{(x-3)^3}{x-5} = \log_2(x-3)^3 - \log_2(x-5) = 3\log_2(x-3) - \log_2(x-5) $$

Неравенство принимает вид:

$$ \log_2(x-3) \cdot \log_2(x-5) + 3\log_2(x-3) - \log_2(x-5) - 3 > 0 $$

Сгруппируем слагаемые и разложим на множители:

$$ \log_2(x-3)(\log_2(x-5) + 3) - 1(\log_2(x-5) + 3) > 0 $$

$$ (\log_2(x-3) - 1)(\log_2(x-5) + 3) > 0 $$

Это неравенство выполняется, если оба множителя имеют одинаковый знак.

a) Оба множителя больше нуля:

$$ \begin{cases} \log_2(x-3) > 1 \\ \log_2(x-5) > -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x-3 > 2^1 \\ x-5 > 2^{-3} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 5 \\ x > 5 + \frac{1}{8} \end{cases} \implies x > 5,125 $$

Интервал $(5,125; \infty)$ входит в рассматриваемый случай $x > 5$.

б) Оба множителя меньше нуля:

$$ \begin{cases} \log_2(x-3) < 1 \\ \log_2(x-5) < -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x-3 < 2 \\ x-5 < \frac{1}{8} \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x < 5,125 \end{cases} \implies x < 5 $$

Это решение не пересекается с условием $x > 5$, поэтому здесь решений нет.

Решение для первого случая: $x \in (5,125; \infty)$.

Случай 2: $x \in (-\infty, 3)$

В этом интервале $x-3 < 0$ и $x-5 < 0$, поэтому $|x-3| = -(x-3) = 3-x$ и $|x-5| = -(x-5) = 5-x$.

Аргумент третьего логарифма преобразуется так: $\frac{(x-3)^3}{x-5} = \frac{-(3-x)^3}{-(5-x)} = \frac{(3-x)^3}{5-x}$. Так как $3-x > 0$ и $5-x > 0$, логарифм дроби можно разложить:

$$ \log_2 \frac{(3-x)^3}{5-x} = 3\log_2(3-x) - \log_2(5-x) $$

Неравенство принимает вид:

$$ \log_2(3-x) \cdot \log_2(5-x) + 3\log_2(3-x) - \log_2(5-x) - 3 > 0 $$

Разложение на множители аналогично первому случаю:

$$ (\log_2(3-x) - 1)(\log_2(5-x) + 3) > 0 $$

a) Оба множителя больше нуля:

$$ \begin{cases} \log_2(3-x) > 1 \\ \log_2(5-x) > -3 \end{cases} \implies \begin{cases} 3-x > 2 \\ 5-x > \frac{1}{8} \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x < 5 - \frac{1}{8} \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1 \\ x < 4,875 \end{cases} \implies x < 1 $$

Интервал $(-\infty, 1)$ входит в рассматриваемый случай $x < 3$.

б) Оба множителя меньше нуля:

$$ \begin{cases} \log_2(3-x) < 1 \\ \log_2(5-x) < -3 \end{cases} \implies \begin{cases} 3-x < 2 \\ 5-x < \frac{1}{8} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 4,875 \end{cases} \implies x > 4,875 $$

Это решение не пересекается с условием $x < 3$, поэтому здесь решений нет.

Решение для второго случая: $x \in (-\infty, 1)$.

3. Объединение решений

Объединяем решения, полученные в обоих случаях:

$$ x \in (-\infty, 1) \cup (5,125; \infty) $$

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (5,125; +\infty)$.

18.52. При каких значениях $a$ сумма целочисленных решений неравенства $\log_{a}^{2}(2-x) - 8 \le \log_{a}(x-2)^2$ равна нулю?

Область допустимых значений (ОДЗ)

Исходное неравенство: $\log_a^2(2-x) - 8 \le \log_a (x-2)^2$. Для существования логарифмов необходимо выполнение следующих условий:

1. Основание логарифма должно быть положительным и не равным единице: $a > 0, a \ne 1$.

2. Аргумент логарифма $\log_a(2-x)$ должен быть строго больше нуля: $2-x > 0$, что равносильно $x < 2$.

3. Аргумент логарифма $\log_a((x-2)^2)$ должен быть строго больше нуля: $(x-2)^2 > 0$, что выполняется для всех $x \ne 2$.

Объединяя условия на переменную $x$, получаем область допустимых значений для $x$: $x < 2$.

Упрощение и решение неравенства

Преобразуем правую часть неравенства, учитывая, что на ОДЗ выражение $2-x$ положительно: $\log_a (x-2)^2 = \log_a (-(2-x))^2 = \log_a (2-x)^2 = 2 \log_a(2-x)$.

Подставив это в исходное неравенство, получим: $\log_a^2(2-x) - 8 \le 2 \log_a(2-x)$.

Введем замену переменной $t = \log_a(2-x)$. Неравенство примет вид квадратного: $t^2 - 2t - 8 \le 0$.

Найдем корни уравнения $t^2 - 2t - 8 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант получаем $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$. Поскольку ветви параболы $y=t^2 - 2t - 8$ направлены вверх, решение неравенства находится между корнями: $-2 \le t \le 4$.

Выполним обратную замену: $-2 \le \log_a(2-x) \le 4$.

Анализ целочисленных решений и нахождение параметра $a$

Решение логарифмического неравенства зависит от основания $a$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a > 1$

Если основание $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При потенцировании знаки неравенства сохраняются: $a^{-2} \le 2-x \le a^4$.

Выразим $x$: $-a^4 \le x-2 \le -a^{-2}$ $2 - a^4 \le x \le 2 - a^{-2}$.

Оценим правую границу интервала $2 - a^{-2}$. Поскольку $a>1$, то $a^2>1$, и $0 < 1/a^2 < 1$. Отсюда следует, что $1 < 2 - a^{-2} < 2$. Это означает, что наибольшим целым решением неравенства в этом случае всегда будет $x=1$.

По условию, сумма всех целочисленных решений должна быть равна нулю. Так как $x=1$ является решением, то для обнуления суммы в множестве решений должны быть и отрицательные числа. Если целочисленные решения образуют непрерывную последовательность (что и происходит в данном случае), то единственным набором решений, включающим 1 и имеющим сумму 0, является набор $\{-1, 0, 1\}$.

Чтобы множество целочисленных решений было именно таким, левая граница интервала $2-a^4$ должна находиться между -2 и -1 (включая -1): $-2 < 2-a^4 \le -1$.

Решим это двойное неравенство: $2-a^4 \le -1 \implies 3 \le a^4 \implies a \ge \sqrt[4]{3}$ (так как $a > 1$). $-2 < 2-a^4 \implies a^4 < 4 \implies a < \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$.

Таким образом, для первого случая получаем: $\sqrt[4]{3} \le a < \sqrt{2}$.

Случай 2: $0 < a < 1$

Если основание $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При потенцировании знаки неравенства меняются на противоположные: $a^{-2} \ge 2-x \ge a^4$, что равносильно $a^4 \le 2-x \le a^{-2}$.

Выразим $x$: $-a^{-2} \le x-2 \le -a^4$ $2 - a^{-2} \le x \le 2 - a^4$.

Оценим правую границу $2-a^4$. Так как $0<a<1$, то $0<a^4<1$, следовательно $1 < 2-a^4 < 2$. Наибольшим целым решением снова является $x=1$. По тем же соображениям, что и в первом случае, множество целочисленных решений должно быть $\{-1, 0, 1\}$.

Для этого левая граница $2 - a^{-2}$ должна удовлетворять условию: $-2 < 2-a^{-2} \le -1$.

Решим неравенство: $2 - a^{-2} \le -1 \implies 3 \le a^{-2} \implies 3 \le 1/a^2 \implies a^2 \le 1/3 \implies a \le 1/\sqrt{3}$ (так как $a>0$). $-2 < 2 - a^{-2} \implies a^{-2} < 4 \implies 1/a^2 < 4 \implies a^2 > 1/4 \implies a > 1/2$ (так как $a>0$).

Таким образом, для второго случая получаем: $1/2 < a \le 1/\sqrt{3}$.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, находим все значения параметра $a$, при которых сумма целочисленных решений неравенства равна нулю.

Ответ: $a \in (1/2, 1/\sqrt{3}] \cup [\sqrt[4]{3}, \sqrt{2})$.

18.53. При каких значениях $a$ хотя бы одно целое число из интервала $(-\sqrt{51}; \lg 0,1)$ является решением неравенства
$\log_a^2(1 - x) - 3 \ge 0.5 \log_a (x - 1)^4$?

1. Определение целых чисел из заданного интервала

Сначала найдем все целые числа $x$, которые принадлежат интервалу $(-\sqrt{51}; \lg 0,1)$.

Оценим границы интервала:

Левая граница: $-\sqrt{51}$. Так как $7^2 = 49$ и $8^2 = 64$, то $7 < \sqrt{51} < 8$. Следовательно, $-8 < -\sqrt{51} < -7$.

Правая граница: $\lg 0,1 = \log_{10}(10^{-1}) = -1$.

Таким образом, интервал $(-\sqrt{51}; -1)$ содержит следующие целые числа: $-7, -6, -5, -4, -3, -2$.

Задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых хотя бы одно из этих чисел является решением данного неравенства.

2. Упрощение и анализ неравенства

Рассмотрим неравенство $\log_a^2(1-x) - 3 \ge 0.5 \log_a (x-1)^4$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется следующими условиями:

1. Основание логарифма: $a > 0$ и $a \ne 1$.
2. Аргумент логарифма: $1 - x > 0$, что означает $x < 1$.
3. Аргумент логарифма: $(x-1)^4 > 0$, что означает $x \ne 1$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $a \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$ и $x < 1$. Все найденные нами целые числа ($-7, -6, \dots, -2$) удовлетворяют условию $x < 1$.

Упростим правую часть неравенства, используя свойство логарифма $\log_b(c^p) = p \log_b c$ и тождество $(x-1)^4 = (-(1-x))^4 = (1-x)^4$. Так как по ОДЗ $1-x > 0$, преобразование будет корректным:

$0.5 \log_a (x-1)^4 = 0.5 \log_a (1-x)^4 = 0.5 \cdot 4 \log_a(1-x) = 2 \log_a(1-x)$.

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_a^2(1-x) - 3 \ge 2 \log_a(1-x)$

$\log_a^2(1-x) - 2 \log_a(1-x) - 3 \ge 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_a(1-x)$. Неравенство принимает вид:

$t^2 - 2t - 3 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $t^2 - 2t - 3 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант получаем корни $t_1 = -1$ и $t_2 = 3$.

Так как парабола $y = t^2 - 2t - 3$ ветвями направлена вверх, решением неравенства является объединение промежутков $t \le -1$ и $t \ge 3$.

Возвращаясь к исходной переменной, получаем совокупность двух неравенств:

$\log_a(1-x) \le -1$ или $\log_a(1-x) \ge 3$.

3. Решение логарифмических неравенств относительно параметра $a$

Нам нужно найти такие значения $a$, при которых эта совокупность выполняется хотя бы для одного целого $x \in \{-7, -6, -5, -4, -3, -2\}$.

Пусть $y = 1-x$. Найдем соответствующие значения $y$ для каждого целого $x$:

• $x = -7 \implies y = 1 - (-7) = 8$
• $x = -6 \implies y = 1 - (-6) = 7$
• $x = -5 \implies y = 1 - (-5) = 6$
• $x = -4 \implies y = 1 - (-4) = 5$
• $x = -3 \implies y = 1 - (-3) = 4$
• $x = -2 \implies y = 1 - (-2) = 3$

Таким образом, задача сводится к нахождению таких $a$, что хотя бы для одного $y \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ выполняется совокупность $\log_a y \le -1$ или $\log_a y \ge 3$.

Рассмотрим два случая для основания логарифма $a$.

Случай 1: $0 < a < 1$

В этом случае логарифмическая функция $f(z) = \log_a z$ является убывающей, поэтому при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный.

Из $\log_a y \le -1 = \log_a(a^{-1})$ следует $y \ge a^{-1}$, то есть $y \ge \frac{1}{a}$, откуда $a \ge \frac{1}{y}$.

Из $\log_a y \ge 3 = \log_a(a^3)$ следует $y \le a^3$, откуда $a \ge \sqrt[3]{y}$. Но так как $y \ge 3$, то $\sqrt[3]{y} > \sqrt[3]{1} = 1$. Условие $a \ge \sqrt[3]{y}$ не имеет решений в рассматриваемом интервале $0 < a < 1$.

Следовательно, для $0 < a < 1$ совокупность равносильна неравенству $a \ge \frac{1}{y}$.

Нам нужно, чтобы это условие выполнялось хотя бы для одного $y \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Это означает, что $a$ должно удовлетворять объединению неравенств:

$a \ge \frac{1}{3}$ или $a \ge \frac{1}{4}$ или ... или $a \ge \frac{1}{8}$.

Объединением этих условий является $a \ge \frac{1}{8}$. Учитывая ограничение $0 < a < 1$, получаем решение для первого случая: $a \in [\frac{1}{8}, 1)$.

Случай 2: $a > 1$

В этом случае логарифмическая функция $f(z) = \log_a z$ является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется.

Из $\log_a y \le -1 = \log_a(a^{-1})$ следует $y \le a^{-1}$, то есть $y \le \frac{1}{a}$, откуда $a \le \frac{1}{y}$. Но так как $y \ge 3$, то $\frac{1}{y} \le \frac{1}{3}$. Условие $a \le \frac{1}{y}$ не имеет решений при $a > 1$.

Из $\log_a y \ge 3 = \log_a(a^3)$ следует $y \ge a^3$, откуда $a \le \sqrt[3]{y}$.

Следовательно, для $a > 1$ совокупность равносильна неравенству $a \le \sqrt[3]{y}$.

Нам нужно, чтобы это условие выполнялось хотя бы для одного $y \in \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$. Это означает, что $a$ должно удовлетворять объединению неравенств:

$a \le \sqrt[3]{3}$ или $a \le \sqrt[3]{4}$ или ... или $a \le \sqrt[3]{8}$.

Объединением этих условий является $a \le \max\{\sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{4}, \dots, \sqrt[3]{8}\}$. Максимальное значение в этом наборе — $\sqrt[3]{8} = 2$. Таким образом, получаем $a \le 2$.

Учитывая ограничение $a > 1$, получаем решение для второго случая: $a \in (1, 2]$.

4. Объединение результатов

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, находим все искомые значения параметра $a$.

Из первого случая: $a \in [\frac{1}{8}, 1)$.

Из второго случая: $a \in (1, 2]$.

Итоговое множество значений $a$ является объединением этих двух интервалов.

Ответ: $a \in [\frac{1}{8}, 1) \cup (1, 2]$.

19.1. Постройте график функции:

а) $y = e^{x+4}$;

б) $y = e^{-x} + 1$;

в) $y = e^{x-3}$;

г) $y = e^{x-2} - 3$.

а) $y = e^{x+4}$
Для построения графика функции $y = e^{x+4}$ воспользуемся методом преобразования графиков, взяв за основу график функции $y_0 = e^x$.
1. Базовый график — это график показательной функции $y_0 = e^x$. Это возрастающая кривая, которая проходит через точку $(0, 1)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox), когда $x$ стремится к $-\infty$.
2. График функции $y = e^{x+4}$ получается из графика $y_0 = e^x$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси Ox на 4 единицы влево. Это преобразование вида $f(x) \to f(x+a)$ при $a=4$.
Таким образом, каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y=e^x$ переходит в точку $(x_0-4, y_0)$ на графике $y=e^{x+4}$.
Найдем несколько ключевых точек для построения:
– Точка $(0, 1)$ с графика $y=e^x$ перемещается в точку $(-4, 1)$. Проверка: $y(-4) = e^{-4+4} = e^0 = 1$.
– Точка $(1, e)$ с графика $y=e^x$ перемещается в точку $(-3, e)$. Проверка: $y(-3) = e^{-3+4} = e^1 = e \approx 2.72$.
– Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$ имеем $y = e^{0+4} = e^4 \approx 54.6$. Точка $(0, e^4)$.
Горизонтальная асимптота $y=0$ при сдвиге влево не изменяется.

Ответ: График функции $y = e^{x+4}$ является копией графика функции $y = e^x$, сдвинутой на 4 единицы влево вдоль оси Ox. Он проходит через точки $(-4, 1)$ и $(-3, e)$. Горизонтальная асимптота — $y=0$.

б) $y = e^{-x} + 1$
Для построения графика функции $y = e^{-x} + 1$ выполним последовательные преобразования графика $y_0 = e^x$.
1. Сначала построим график функции $y_1 = e^{-x}$. Он получается из графика $y_0 = e^x$ путем симметричного отражения относительно оси Oy. Это преобразование вида $f(x) \to f(-x)$. График $y_1 = e^{-x}$ — это убывающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$.
2. Затем построим график функции $y = e^{-x} + 1$. Он получается из графика $y_1 = e^{-x}$ путем сдвига на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Это преобразование вида $f(x) \to f(x)+b$ при $b=1$.
Найдем ключевые точки для построения:
– Точка $(0, 1)$ на графике $y_1=e^{-x}$ сдвигается вверх и переходит в точку $(0, 2)$. Это точка пересечения с осью Oy: $y(0) = e^{-0} + 1 = 1+1=2$.
– Точка $(-1, e)$ на графике $y_1=e^{-x}$ переходит в точку $(-1, e+1)$. Проверка: $y(-1) = e^{-(-1)} + 1 = e+1 \approx 3.72$.
Горизонтальная асимптота $y=0$ для графика $y_1=e^{-x}$ также сдвигается на 1 единицу вверх и становится $y=1$ для итогового графика.

Ответ: График функции $y = e^{-x} + 1$ получается из графика $y = e^x$ путем его отражения относительно оси Oy и последующего сдвига на 1 единицу вверх. График является убывающей кривой, проходящей через точки $(0, 2)$ и $(-1, e+1)$. Горизонтальная асимптота — $y=1$.

в) $y = e^{x-3}$
Для построения графика функции $y = e^{x-3}$ воспользуемся преобразованием графика $y_0 = e^x$.
1. Базовый график — $y_0 = e^x$.
2. График функции $y = e^{x-3}$ получается из графика $y_0 = e^x$ путем сдвига вдоль оси Ox на 3 единицы вправо. Это преобразование вида $f(x) \to f(x-a)$ при $a=3$.
Каждая точка $(x_0, y_0)$ на графике $y=e^x$ переходит в точку $(x_0+3, y_0)$ на графике $y=e^{x-3}$.
Найдем несколько ключевых точек для построения:
– Точка $(0, 1)$ с графика $y=e^x$ перемещается в точку $(3, 1)$. Проверка: $y(3) = e^{3-3} = e^0 = 1$.
– Точка $(1, e)$ с графика $y=e^x$ перемещается в точку $(4, e)$. Проверка: $y(4) = e^{4-3} = e^1 = e \approx 2.72$.
– Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$ имеем $y = e^{0-3} = e^{-3} \approx 0.05$. Точка $(0, e^{-3})$.
Горизонтальная асимптота $y=0$ при сдвиге вправо не изменяется.

Ответ: График функции $y = e^{x-3}$ является копией графика функции $y = e^x$, сдвинутой на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Он проходит через точки $(3, 1)$, $(4, e)$ и $(0, e^{-3})$. Горизонтальная асимптота — $y=0$.

г) $y = e^{x-2} - 3$
Для построения графика функции $y = e^{x-2} - 3$ выполним последовательные преобразования графика $y_0 = e^x$.
1. Сначала построим график функции $y_1 = e^{x-2}$. Он получается из графика $y_0 = e^x$ путем сдвига на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Асимптота остается $y=0$.
2. Затем построим график функции $y = e^{x-2} - 3$. Он получается из графика $y_1 = e^{x-2}$ путем сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.
Найдем ключевые точки для построения:
– Базовая точка $(0, 1)$ графика $y=e^x$ после сдвига на 2 вправо и на 3 вниз переходит в точку $(0+2, 1-3) = (2, -2)$. Проверка: $y(2) = e^{2-2} - 3 = e^0 - 3 = 1-3 = -2$.
– Точка пересечения с осью Oy: при $x=0$ имеем $y = e^{0-2} - 3 = e^{-2} - 3 \approx 0.135 - 3 = -2.865$. Точка $(0, e^{-2}-3)$.
– Точка пересечения с осью Ox: при $y=0$ получаем уравнение $e^{x-2} - 3 = 0$, откуда $e^{x-2} = 3$. Логарифмируя по основанию $e$, имеем $x-2 = \ln 3$, то есть $x = 2 + \ln 3 \approx 2 + 1.0986 = 3.0986$. Точка $(2+\ln 3, 0)$.
Горизонтальная асимптота $y=0$ для графика $y_1$ сдвигается на 3 единицы вниз и становится $y=-3$ для итогового графика.

Ответ: График функции $y = e^{x-2} - 3$ получается из графика $y = e^x$ путем сдвига на 2 единицы вправо и на 3 единицы вниз. График проходит через точки $(2, -2)$, $(0, e^{-2}-3)$ и $(2+\ln 3, 0)$. Горизонтальная асимптота — $y=-3$.

19.2. Найдите производную функции:

а) $f(x) = 4 - e^x;$

б) $f(x) = 13e^x;$

в) $f(x) = e^x - 19;$

г) $f(x) = -8e^x.$

а) Чтобы найти производную функции $f(x) = 4 - e^x$, воспользуемся правилами дифференцирования. Производная разности функций равна разности их производных: $(u-v)' = u' - v'$.
В нашем случае, $u(x) = 4$ (константа) и $v(x) = e^x$.
Производная константы равна нулю: $(4)' = 0$.
Производная экспоненциальной функции $e^x$ равна самой себе: $(e^x)' = e^x$.
Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = (4 - e^x)' = (4)' - (e^x)' = 0 - e^x = -e^x$.
Ответ: $f'(x) = -e^x$.

б) Чтобы найти производную функции $f(x) = 13e^x$, используем правило вынесения постоянного множителя за знак производной: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.
Здесь постоянный множитель $c = 13$, а функция $u(x) = e^x$.
Производная функции $e^x$ равна $e^x$.
Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = (13e^x)' = 13 \cdot (e^x)' = 13e^x$.
Ответ: $f'(x) = 13e^x$.

в) Чтобы найти производную функции $f(x) = e^x - 19$, применяем правило дифференцирования разности: $(u-v)' = u' - v'$.
Здесь $u(x) = e^x$ и $v(x) = 19$ (константа).
Производная функции $(e^x)' = e^x$.
Производная константы $(19)' = 0$.
Тогда производная функции $f(x)$ будет:
$f'(x) = (e^x - 19)' = (e^x)' - (19)' = e^x - 0 = e^x$.
Ответ: $f'(x) = e^x$.

г) Чтобы найти производную функции $f(x) = -8e^x$, используем правило вынесения постоянного множителя за знак производной: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.
Постоянный множитель $c = -8$, а функция $u(x) = e^x$.
Производная функции $(e^x)' = e^x$.
Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = (-8e^x)' = -8 \cdot (e^x)' = -8e^x$.
Ответ: $f'(x) = -8e^x$.