Страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

22.11. Коэффициенты $a$ и $b$ в уравнении прямой $y = ax + b$ случайным образом выбираются из множества $\{-5, -4, ..., -1, 0, 1, ..., 4, 5\}$. Найдите вероятность того, что эта прямая:

Указание. Считать, что точки осей координат не принадлежат ни одной четверти.

Коэффициенты $a$ и $b$ для уравнения прямой $y = ax + b$ выбираются из множества $M = \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. В этом множестве 11 элементов. Поскольку коэффициенты $a$ и $b$ выбираются независимо, общее число возможных пар $(a, b)$, а следовательно, и различных прямых, равно $N = 11 \times 11 = 121$. Это общее число равновозможных элементарных исходов.

а) пересекает ось ординат;

Уравнение прямой задано в виде $y = ax + b$. Любая прямая, которую можно представить в такой форме, не является вертикальной. Точка пересечения с осью ординат (осью $y$) существует всегда и имеет координаты $(0, b)$. Поскольку для любой из 121 возможной пары $(a, b)$ прямая $y=ax+b$ определена и не является вертикальной, каждая из этих прямых пересекает ось ординат.
Следовательно, число благоприятных исходов $m$ равно общему числу исходов $N$.
$m = 121$.
Вероятность события: $P = \frac{m}{N} = \frac{121}{121} = 1$.

Ответ: $1$

б) пересекает только две координатные четверти;

Согласно указанию, точки на осях координат не принадлежат ни одной четверти. Прямая пересекает ровно две координатные четверти только в двух случаях:

1. Прямая проходит через начало координат $(0, 0)$, но не совпадает ни с одной из осей. Это условие выполняется, когда $b = 0$ и $a \neq 0$.
   • Если $a > 0$, прямая $y=ax$ проходит через I и III четверти.
   • Если $a < 0$, прямая $y=ax$ проходит через II и IV четверти.
   Количество ненулевых значений для $a$ в множестве $M$ равно 10 (это числа от -5 до -1 и от 1 до 5). Значение $b$ должно быть равно 0 (1 вариант). Число таких пар $(a, b)$ равно $10 \times 1 = 10$.
2. Прямая параллельна одной из осей координат, но не совпадает с ней.
   • Прямая параллельна оси абсцисс ($Ox$): это происходит, когда $a=0$ и $b \neq 0$. Уравнение прямой $y=b$. При $b>0$ прямая пересекает I и II четверти. При $b<0$ прямая пересекает III и IV четверти. Значение $a$ равно 0 (1 вариант). Количество ненулевых значений для $b$ равно 10. Число таких пар $(a, b)$ равно $1 \times 10 = 10$.
   • Прямая, параллельная оси ординат (вертикальная), не может быть задана уравнением вида $y=ax+b$, поэтому этот случай невозможен.

Случай $a=0$ и $b=0$ дает прямую $y=0$ (ось абсцисс), которая, по условию, не пересекает ни одной четверти.
Общее число благоприятных исходов $m$ равно сумме исходов из двух рассмотренных случаев: $m = 10 + 10 = 20$.
Вероятность этого события: $P = \frac{m}{N} = \frac{20}{121}$.

Ответ: $\frac{20}{121}$

в) не пересекает ось абсцисс;

Прямая $y = ax + b$ не пересекает ось абсцисс ($Ox$) тогда и только тогда, когда она является горизонтальной прямой, не совпадающей с самой осью $Ox$.
Условие горизонтальности прямой — равенство нулю углового коэффициента, то есть $a=0$. Уравнение принимает вид $y=b$.
Чтобы эта прямая не пересекала ось абсцисс ($y=0$), необходимо, чтобы $b \neq 0$.
Таким образом, благоприятными являются пары, в которых $a=0$ и $b \neq 0$.

• Количество вариантов для $a$: 1 (только $a=0$).
• Количество вариантов для $b$: 10 (любое значение из множества $M$, кроме 0).

Число благоприятных исходов $m = 1 \times 10 = 10$.
Вероятность этого события: $P = \frac{m}{N} = \frac{10}{121}$.

Ответ: $\frac{10}{121}$

г) не пересекает вторую координатную четверть.

Вторая координатная четверть (II) определяется условиями $x < 0$ и $y > 0$. Прямая $y = ax + b$ не пересекает эту четверть, если для любого $x < 0$ значение $y$ не является положительным, то есть $y \le 0$.
Рассмотрим условия на коэффициенты $a$ и $b$.

1. Проанализируем значение $y$ при $x=0$. $y(0) = b$. Если $b > 0$, то точка $(0, b)$ находится на положительной части оси ординат. Любая невертикальная прямая, проходящая через эту точку, обязательно попадет во вторую четверть (если $a \le 0$) или будет приходить из нее (если $a > 0$). Следовательно, необходимо, чтобы $b \le 0$.
2. Теперь рассмотрим наклон прямой при условии $b \le 0$.
   • Если $a < 0$, прямая является убывающей. Она проходит через точку $(0, b)$, где $b \le 0$. Для любого $x < 0$ имеем $ax > 0$, поэтому $y = ax+b$ может стать положительным. Например, для прямой $y=-x-1$, в точке $x=-2$ получаем $y=-(-2)-1=1$, т.е. точка $(-2, 1)$ лежит во второй четверти. Значит, $a$ не может быть отрицательным.
   • Если $a \ge 0$ и $b \le 0$. Возьмем любое $x < 0$. Так как $a \ge 0$, то $ax \le 0$. Тогда $y = ax + b \le 0 + b$. А так как $b \le 0$, получаем $y \le 0$. Это означает, что для любого $x < 0$ соответствующее значение $y$ будет неположительным, и прямая не попадет во вторую четверть.

Таким образом, благоприятными являются все пары $(a, b)$, для которых $a \ge 0$ и $b \le 0$.

• Возможные значения для $a$: $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ — всего 6 значений.
• Возможные значения для $b$: $\{-5, -4, -3, -2, -1, 0\}$ — всего 6 значений.

Число благоприятных исходов $m = 6 \times 6 = 36$.
Вероятность этого события: $P = \frac{m}{N} = \frac{36}{121}$.

Ответ: $\frac{36}{121}$

О22.12. Из отрезка $[-1; 1]$ произвольно выбирают два числа — $x$ и $y$ — и на координатной плоскости отмечают точку $(x; y)$. Какова вероятность того, что:

а) эта точка лежит в первой координатной четверти;

б) $x + y < 0$;

в) эта точка лежит или во второй, или в четвёртой координатной четверти;

г) $x + y > 0$, а $xy < 0$?

Для решения данной задачи воспользуемся методами геометрической вероятности. Поскольку числа $x$ и $y$ выбираются произвольно из отрезка $[-1; 1]$, пространство всех возможных исходов можно представить в виде квадрата на координатной плоскости. Этот квадрат ограничен прямыми $x = -1$, $x = 1$, $y = -1$ и $y = 1$. Вершины этого квадрата находятся в точках $(-1, -1)$, $(1, -1)$, $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.

Площадь этого квадрата (общая мера пространства исходов) равна $S_{общ} = (1 - (-1)) \times (1 - (-1)) = 2 \times 2 = 4$.

Вероятность любого события будет равна отношению площади фигуры, соответствующей благоприятным исходам ($S_{бл}$), к общей площади квадрата: $P = \frac{S_{бл}}{S_{общ}}$.

а) эта точка лежит в первой координатной четверти

Первая координатная четверть определяется условиями $x > 0$ и $y > 0$. В пересечении с нашим исходным квадратом $[-1, 1] \times [-1, 1]$ это образует квадрат, ограниченный прямыми $x=0, x=1, y=0, y=1$.

Площадь этой области (благоприятных исходов) $S_{а}$ равна площади квадрата со стороной 1: $S_{а} = 1 \times 1 = 1$.

Вероятность того, что точка лежит в первой четверти, равна: $P(A) = \frac{S_{а}}{S_{общ}} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) $x + y < 0$

Неравенство $x + y < 0$ можно переписать как $y < -x$. Это условие описывает область на координатной плоскости, которая находится ниже прямой $y = -x$.

Прямая $y = -x$ проходит через вершины нашего квадрата $(-1, 1)$ и $(1, -1)$ и делит его ровно на две равные части (два треугольника). Область, удовлетворяющая условию $y < -x$, — это нижний треугольник с вершинами в точках $(-1, -1)$, $(1, -1)$ и $(-1, 1)$... нет, правильные вершины треугольника, являющегося пересечением квадрата и полуплоскости $y < -x$, это $(-1, -1)$, $(1, -1)$ и $(-1, 1)$. Ой, снова ошибка. Вершины треугольника, ограниченного линиями $x=-1$, $y=-1$ и $y=-x$ это $(-1, -1)$, $(1,-1)$ и $(-1,1)$... нет, давайте проще.

Прямая $y = -x$ является диагональю, соединяющей вершины $(-1, 1)$ и $(1, -1)$, и делит квадрат на две равные части. Площадь области благоприятных исходов $S_{б}$ равна половине площади всего квадрата.

$S_{б} = \frac{1}{2} S_{общ} = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.

Вероятность события равна: $P(Б) = \frac{S_{б}}{S_{общ}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) эта точка лежит или во второй, или в четвертой координатной четверти

Точка лежит во второй координатной четверти, если $x < 0$ и $y > 0$. В пересечении с исходным квадратом это область, ограниченная прямыми $x=-1, x=0, y=0, y=1$. Это квадрат со стороной 1 и площадью $1 \times 1 = 1$.

Точка лежит в четвертой координатной четверти, если $x > 0$ и $y < 0$. В пересечении с исходным квадратом это область, ограниченная прямыми $x=0, x=1, y=-1, y=0$. Это также квадрат со стороной 1 и площадью $1 \times 1 = 1$.

Так как эти две области не пересекаются, общая площадь благоприятных исходов $S_{в}$ равна сумме их площадей: $S_{в} = 1 + 1 = 2$.

Вероятность события равна: $P(В) = \frac{S_{в}}{S_{общ}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

г) $x + y > 0$, а $xy < 0$

Это событие является пересечением двух условий:

1. $x + y > 0$, что эквивалентно $y > -x$. Эта область находится выше прямой $y = -x$ и ее площадь внутри квадрата равна 2 (как мы выяснили в пункте б, это половина площади квадрата).

2. $xy < 0$. Это условие выполняется, когда $x$ и $y$ имеют разные знаки, то есть точка $(x;y)$ лежит либо во второй, либо в четвертой координатной четверти. Площадь этой области, как мы выяснили в пункте в, равна 2.

Нам нужно найти площадь пересечения этих двух областей. Рассмотрим каждую из четвертей отдельно.

- Во второй четверти ($x \in [-1, 0), y \in (0, 1]$): здесь условие $y > -x$ описывает область над прямой $y=-x$. Эта область представляет собой треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(0, 1)$ и $(-1, 1)$. Площадь этого треугольника равна $\frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.

- В четвертой четверти ($x \in (0, 1], y \in [-1, 0)$): здесь условие $y > -x$ также описывает область над прямой $y=-x$. Эта область представляет собой треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$ и $(1, -1)$. Площадь этого треугольника равна $\frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$.

Общая площадь благоприятных исходов $S_{г}$ равна сумме площадей этих двух треугольников: $S_{г} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.

Вероятность события равна: $P(Г) = \frac{S_{г}}{S_{общ}} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

22.13. Случайным образом выбирают два решения — $x_1$ и $x_2$ неравенства $|x - 2| \le 2$ и точку $(x_1; x_2)$ отмечают на координатной плоскости. Найдите вероятность того, что:

а) оба решения не больше 2;

б) хотя бы одно из решений не больше 2;

в) сумма этих решений больше 3;

г) $x_1$ и $x_2$ отличаются друг от друга (по модулю) не более, чем на 1.

Для начала решим неравенство $|x - 2| \le 2$, чтобы определить множество всех возможных решений. Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-2 \le x - 2 \le 2$

Прибавив 2 ко всем частям, получаем:

$0 \le x \le 4$

Таким образом, оба решения $x_1$ и $x_2$ выбираются случайным образом из отрезка $[0; 4]$. На координатной плоскости $(x_1; x_2)$ все возможные исходы образуют квадрат с вершинами в точках (0, 0), (4, 0), (4, 4) и (0, 4).

Площадь этого квадрата (пространства элементарных исходов) равна $S = 4 \times 4 = 16$.

Вероятность события в данном случае будет равна отношению площади фигуры, соответствующей благоприятным исходам, к площади всего квадрата.

а) оба решения не больше 2;

Это условие означает, что $x_1 \le 2$ и $x_2 \le 2$. Учитывая, что $x_1, x_2 \in [0; 4]$, получаем систему неравенств: $0 \le x_1 \le 2$ $0 \le x_2 \le 2$ Эта система определяет квадрат в координатной плоскости с вершинами в точках (0, 0), (2, 0), (2, 2) и (0, 2). Площадь этой области (благоприятных исходов) $S_a = 2 \times 2 = 4$. Вероятность этого события равна: $P_a = \frac{S_a}{S} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$

б) хотя бы одно из решений не больше 2;

Это условие означает, что $x_1 \le 2$ или $x_2 \le 2$. Проще найти вероятность противоположного события, которое заключается в том, что оба решения больше 2, то есть $x_1 > 2$ и $x_2 > 2$. Эта система неравенств определяет квадрат с вершинами в точках (2, 2), (4, 2), (4, 4) и (2, 4). Площадь этой области $S_{б'} = (4-2) \times (4-2) = 4$. Вероятность противоположного события: $P_{б'} = \frac{S_{б'}}{S} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$. Тогда вероятность искомого события равна: $P_б = 1 - P_{б'} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$

в) сумма этих решений больше 3;

Это условие описывается неравенством $x_1 + x_2 > 3$. Рассмотрим противоположное событие: $x_1 + x_2 \le 3$. В нашем квадрате $0 \le x_1 \le 4, 0 \le x_2 \le 4$ область, заданная неравенством $x_1 + x_2 \le 3$, представляет собой прямоугольный треугольник, ограниченный осями координат и прямой $x_1 + x_2 = 3$. Вершины этого треугольника — (0, 0), (3, 0) и (0, 3). Площадь этого треугольника (неблагоприятных исходов) $S_{в'} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$. Площадь области благоприятных исходов равна разности площади всего квадрата и площади этого треугольника: $S_в = S - S_{в'} = 16 - 4.5 = 11.5$. Вероятность искомого события: $P_в = \frac{S_в}{S} = \frac{11.5}{16} = \frac{23/2}{16} = \frac{23}{32}$.
Ответ: $\frac{23}{32}$

г) $x_1$ и $x_2$ отличаются друг от друга (по модулю) не более, чем на 1.

Это условие можно записать как $|x_1 - x_2| \le 1$. Это неравенство равносильно системе: $-1 \le x_1 - x_2 \le 1$, что можно переписать как $x_2 \le x_1 + 1$ и $x_2 \ge x_1 - 1$. Область благоприятных исходов — это часть квадрата, заключенная между прямыми $x_2 = x_1 - 1$ и $x_2 = x_1 + 1$. Найдем площадь неблагоприятных исходов, то есть области, где $|x_1 - x_2| > 1$. Это соответствует двум областям: $x_2 > x_1 + 1$ и $x_2 < x_1 - 1$. 1. Область $x_2 > x_1 + 1$ в квадрате $0 \le x_1 \le 4, 0 \le x_2 \le 4$ — это треугольник с вершинами (0, 1), (0, 4) и (3, 4). Его площадь $S_{г'_1} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$. 2. Область $x_2 < x_1 - 1$ в квадрате $0 \le x_1 \le 4, 0 \le x_2 \le 4$ — это треугольник с вершинами (1, 0), (4, 0) и (4, 3). Его площадь $S_{г'_2} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$. Общая площадь неблагоприятных исходов $S_{г'} = S_{г'_1} + S_{г'_2} = 4.5 + 4.5 = 9$. Площадь благоприятных исходов $S_г = S - S_{г'} = 16 - 9 = 7$. Вероятность искомого события: $P_г = \frac{S_г}{S} = \frac{7}{16}$.
Ответ: $\frac{7}{16}$

22.14. На координатной плоскости даны точки A(0; 3), B(4; 6), C(6; 0). В треугольнике ABC случайным образом выбирают точку. Найдите вероятность того, что она расположена:

а) ниже прямой $y = 3$;

б) правее прямой $x = 4$;

в) ближе к прямой AC, чем к прямой AB;

г) ближе к прямой AC, чем к прямой BC.

Данная задача относится к классу задач на геометрическую вероятность. Вероятность события определяется как отношение площади благоприятной области к общей площади фигуры. В данном случае, общая фигура — это треугольник ABC.

Сначала найдем общую площадь — площадь треугольника ABC с вершинами в точках A(0; 3), B(4; 6), C(6; 0). Воспользуемся формулой площади треугольника по координатам его вершин (метод "шнурков"):

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |(x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B))|$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |(0(6 - 0) + 4(0 - 3) + 6(3 - 6))|$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} |(0 + 4(-3) + 6(-3))| = \frac{1}{2} |(-12 - 18)| = \frac{1}{2} |-30| = 15$.

Итак, общая площадь $S_{ABC} = 15$ квадратных единиц.

а) ниже прямой $y = 3$

Нам нужно найти площадь той части треугольника ABC, которая лежит ниже прямой $y = 3$ (т.е. где $y < 3$). Эта прямая проходит через вершину A(0; 3). Чтобы найти область, ограниченную этой прямой, найдем ее точку пересечения со стороной BC.

Уравнение прямой BC, проходящей через точки B(4; 6) и C(6; 0):

Наклон: $k = \frac{0 - 6}{6 - 4} = \frac{-6}{2} = -3$.

Уравнение: $y - 0 = -3(x - 6) \Rightarrow y = -3x + 18$.

Найдем пересечение с прямой $y = 3$:

$3 = -3x + 18 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5$.

Точка пересечения D имеет координаты (5; 3).

Благоприятная область — это треугольник ADC с вершинами A(0; 3), D(5; 3) и C(6; 0). Основание AD этого треугольника лежит на прямой $y=3$ и его длина равна $5 - 0 = 5$. Высота треугольника ADC, проведенная из вершины C к основанию AD, равна разности y-координат: $3 - 0 = 3$.

Площадь благоприятной области:

$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 3 = 7.5$.

Вероятность того, что случайно выбранная точка окажется ниже прямой $y=3$, равна:

$P(а) = \frac{S_{ADC}}{S_{ABC}} = \frac{7.5}{15} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) правее прямой $x = 4$

Теперь найдем площадь той части треугольника ABC, которая лежит правее прямой $x = 4$ (т.е. где $x > 4$). Эта прямая проходит через вершину B(4; 6). Найдем ее точку пересечения со стороной AC.

Уравнение прямой AC, проходящей через точки A(0; 3) и C(6; 0):

Наклон: $k = \frac{0 - 3}{6 - 0} = \frac{-3}{6} = -0.5$.

Уравнение: $y - 3 = -0.5(x - 0) \Rightarrow y = -0.5x + 3$.

Найдем пересечение с прямой $x = 4$:

$y = -0.5(4) + 3 = -2 + 3 = 1$.

Точка пересечения E имеет координаты (4; 1).

Благоприятная область — это треугольник BCE с вершинами B(4; 6), C(6; 0) и E(4; 1). Основание BE этого треугольника лежит на прямой $x=4$ и его длина равна $6 - 1 = 5$. Высота треугольника BCE, проведенная из вершины C к основанию BE, равна разности x-координат: $6 - 4 = 2$.

Площадь благоприятной области:

$S_{BCE} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5$.

Вероятность того, что случайно выбранная точка окажется правее прямой $x=4$, равна:

$P(б) = \frac{S_{BCE}}{S_{ABC}} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) ближе к прямой AC, чем к прямой AB

Множество точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, является биссектрисой угла между ними. Точки внутри треугольника ABC, которые ближе к прямой AC, чем к AB, отделены от остальной части треугольника биссектрисой угла BAC.

Благоприятной областью является та часть треугольника, что лежит между стороной AC и биссектрисой угла A. Вероятность равна отношению площади этой области к площади всего треугольника ABC. По свойству биссектрисы, отношение площадей треугольников, на которые биссектриса делит исходный треугольник, равно отношению прилежащих сторон. Вероятность можно выразить через длины сторон:

$P(в) = \frac{AC}{AB + AC}$.

Найдем длины сторон AB и AC:

$AB = \sqrt{(4-0)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.

$AC = \sqrt{(6-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.

Подставим значения в формулу вероятности:

$P(в) = \frac{3\sqrt{5}}{5 + 3\sqrt{5}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$P(в) = \frac{3\sqrt{5}}{5 + 3\sqrt{5}} \cdot \frac{5 - 3\sqrt{5}}{5 - 3\sqrt{5}} = \frac{15\sqrt{5} - 9 \cdot 5}{5^2 - (3\sqrt{5})^2} = \frac{15\sqrt{5} - 45}{25 - 45} = \frac{15\sqrt{5} - 45}{-20} = \frac{45 - 15\sqrt{5}}{20} = \frac{9 - 3\sqrt{5}}{4}$.

Ответ: $\frac{9 - 3\sqrt{5}}{4}$.

г) ближе к прямой AC, чем к прямой BC

Аналогично пункту в), множество точек, которые ближе к прямой AC, чем к BC, ограничено биссектрисой угла BCA. Вероятность равна отношению длины прилежащей стороны AC к сумме длин прилежащих сторон AC и BC:

$P(г) = \frac{AC}{AC + BC}$.

Длина AC уже известна: $AC = 3\sqrt{5}$.

Найдем длину стороны BC:

$BC = \sqrt{(6-4)^2 + (0-6)^2} = \sqrt{2^2 + (-6)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

Подставим значения в формулу вероятности:

$P(г) = \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5} + 2\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5} + 2\sqrt{2 \cdot 5}} = \frac{3\sqrt{5}}{3\sqrt{5} + 2\sqrt{2}\sqrt{5}}$.

Сократим на $\sqrt{5}$:

$P(г) = \frac{3}{3 + 2\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - 2\sqrt{2})$:

$P(г) = \frac{3(3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})} = \frac{9 - 6\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{9 - 6\sqrt{2}}{9 - 8} = 9 - 6\sqrt{2}$.

Ответ: $9 - 6\sqrt{2}$.

22.15. Точку случайным образом выбирают из фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$, осью абсцисс и прямой $x = 3$. Найдите вероятность того, что она лежит:

a) левее прямой $x = 1$;

б) выше прямой $y = 4$;

в) правее прямой $x = 2$;

г) ниже прямой $y = 1$.

Для решения задачи используется геометрическое определение вероятности. Вероятность события равна отношению площади области, благоприятствующей событию, к площади всей фигуры.

Сначала определим фигуру и найдем ее общую площадь. Фигура ограничена параболой $y = x^2$, осью абсцисс ($y=0$) и прямой $x=3$. Поскольку парабола $y=x^2$ пересекает ось $y=0$ в точке $x=0$, область определения фигуры по оси $x$ — это отрезок $[0, 3]$.

Общая площадь фигуры ($S_{общ}$) вычисляется как площадь криволинейной трапеции под графиком функции $y=x^2$ на отрезке от 0 до 3. Эта площадь находится с помощью определенного интеграла:

$S_{общ} = \int_{0}^{3} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{27}{3} = 9$.

Теперь найдем вероятность для каждого из указанных случаев.

а) левее прямой x = 1

Событие состоит в том, что выбранная точка имеет координату $x < 1$. Благоприятствующая этому событию область ($S_a$) — это часть исходной фигуры, лежащая в полосе $0 \le x \le 1$. Площадь этой области вычисляется аналогично общей площади, но с другими пределами интегрирования:

$S_a = \int_{0}^{1} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$.

Вероятность $P(a)$ равна отношению площади $S_a$ к общей площади $S_{общ}$:

$P(a) = \frac{S_a}{S_{общ}} = \frac{1/3}{9} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$.

б) выше прямой y = 4

Событие состоит в том, что координата $y$ выбранной точки больше 4. Так как все точки фигуры находятся под параболой $y=x^2$, условие $y > 4$ влечет за собой $x^2 > 4$. Учитывая, что $x \ge 0$, получаем $x > 2$.

Таким образом, благоприятствующая область ($S_б$) ограничена прямыми $x=2$, $x=3$, $y=4$ и параболой $y=x^2$. Ее площадь можно вычислить как интеграл от разности функций $y=x^2$ и $y=4$ на отрезке от 2 до 3:

$S_б = \int_{2}^{3} (x^2 - 4) \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 4x \right]_{2}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} - 4 \cdot 3 \right) - \left( \frac{2^3}{3} - 4 \cdot 2 \right) = (9 - 12) - \left( \frac{8}{3} - 8 \right) = -3 - \left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{16}{3} - 3 = \frac{7}{3}$.

Вероятность $P(б)$ равна:

$P(б) = \frac{S_б}{S_{общ}} = \frac{7/3}{9} = \frac{7}{27}$.

Ответ: $\frac{7}{27}$.

в) правее прямой x = 2

Событие состоит в том, что координата $x$ выбранной точки больше 2. Благоприятствующая область ($S_в$) — это часть исходной фигуры, лежащая в полосе $2 \le x \le 3$. Ее площадь вычисляется интегрированием:

$S_в = \int_{2}^{3} x^2 \,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{8}{3} = \frac{19}{3}$.

Вероятность $P(в)$ равна:

$P(в) = \frac{S_в}{S_{общ}} = \frac{19/3}{9} = \frac{19}{27}$.

Ответ: $\frac{19}{27}$.

г) ниже прямой y = 1

Событие состоит в том, что координата $y$ выбранной точки меньше 1. Благоприятствующая область ($S_г$) — это часть исходной фигуры, лежащая ниже прямой $y=1$. Прямая $y=1$ пересекает параболу $y=x^2$ при $x=1$ (так как $x \ge 0$).

Эту область удобно разбить на две части:

1. Для $0 \le x \le 1$, область ограничена сверху параболой $y=x^2$. Ее площадь $S_1 = \int_{0}^{1} x^2 \,dx = \frac{1}{3}$.

2. Для $1 \le x \le 3$, область ограничена сверху прямой $y=1$. Эта часть является прямоугольником с высотой 1 и шириной $3-1=2$. Его площадь $S_2 = 1 \cdot (3-1) = 2$.

Суммарная площадь благоприятствующей области:

$S_г = S_1 + S_2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$.

Вероятность $P(г)$ равна:

$P(г) = \frac{S_г}{S_{общ}} = \frac{7/3}{9} = \frac{7}{27}$.

Ответ: $\frac{7}{27}$.