Страница 159, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

В задачах 24.11—24.16 рассматриваются результаты, которые получили выпускники одной из школ за сочинение. Выставлялись две оценки: первая — по литературе, вторая — по русскому языку. Оценки таковы:

5/4 4/5 3/1 4/3 2/3 3/3 4/3 5/3 3/3 1/2 4/4 4/2 2/1
3/5 3/4 4/3 5/5 4/4 5/4 2/2 2/3 4/3 5/4 2/3 3/3

24.11. Для оценок по литературе:

а) выпишите сгруппированный ряд данных;

б) составьте таблицу распределения кратностей;

в) постройте многоугольник распределения процентных частот;

г) найдите среднее.

Для выполнения заданий сначала выпишем ряд данных, состоящий из оценок по литературе. Согласно условию, это первая оценка в каждой паре.

Исходные пары оценок (литература/русский язык): 5/4, 4/5, 3/1, 4/3, 2/3, 3/3, 4/3, 5/3, 3/3, 1/2, 4/4, 4/2, 2/1, 3/5, 3/4, 4/3, 5/5, 4/4, 5/4, 2/2, 2/3, 4/3, 5/4, 2/3, 3/3.

Выпишем оценки по литературе (первая оценка в каждой паре):

5, 4, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 3, 1, 4, 4, 2, 3, 3, 4, 5, 4, 5, 2, 2, 4, 5, 2, 3.

Всего в ряду данных $N = 25$ оценок.

а) выпишите сгруппированный ряд данных;

Сгруппированный (или упорядоченный) ряд данных получается путем расположения всех оценок в порядке возрастания.

1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5.

Ответ: 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5.

б) составьте таблицу распределения кратностей;

Кратность (или абсолютная частота) — это количество повторений каждой оценки в ряду данных. Составим таблицу, в которой для каждой уникальной оценки (варианты) укажем ее кратность.

• Оценка "1" встречается 1 раз.
• Оценка "2" встречается 5 раз.
• Оценка "3" встречается 6 раз.
• Оценка "4" встречается 8 раз.
• Оценка "5" встречается 5 раз.

Проверка: $1 + 5 + 6 + 8 + 5 = 25$, что соответствует общему числу оценок.

Таблица распределения кратностей:

Ответ: Таблица приведена выше.

в) постройте многоугольник распределения процентных частот;

Сначала найдем процентные частоты для каждой оценки. Процентная частота $P_i$ вычисляется по формуле $P_i = \frac{n_i}{N} \times 100\%$, где $n_i$ — кратность оценки, а $N=25$ — общее число оценок.

• Для оценки "1": $P_1 = \frac{1}{25} \times 100\% = 4\%$
• Для оценки "2": $P_2 = \frac{5}{25} \times 100\% = 20\%$
• Для оценки "3": $P_3 = \frac{6}{25} \times 100\% = 24\%$
• Для оценки "4": $P_4 = \frac{8}{25} \times 100\% = 32\%$
• Для оценки "5": $P_5 = \frac{5}{25} \times 100\% = 20\%$

Для построения многоугольника распределения (полигона частот) на координатной плоскости по оси абсцисс (X) откладываем оценки, а по оси ординат (Y) — соответствующие им процентные частоты. Затем соединяем полученные точки отрезками.

Точки для построения: (1; 4), (2; 20), (3; 24), (4; 32), (5; 20).

Ответ: Многоугольник распределения процентных частот построен на графике выше.

г) найдите среднее.

Среднее арифметическое ряда данных (средняя оценка) вычисляется как отношение суммы всех оценок к их количеству. Удобнее использовать формулу для взвешенного среднего, используя таблицу кратностей:

$\bar{x} = \frac{\sum{x_i \cdot n_i}}{N}$

где $x_i$ — оценка, $n_i$ — её кратность, $N$ — общее число оценок.

Вычислим сумму произведений оценок на их кратности:

$\sum{x_i \cdot n_i} = (1 \cdot 1) + (2 \cdot 5) + (3 \cdot 6) + (4 \cdot 8) + (5 \cdot 5) = 1 + 10 + 18 + 32 + 25 = 86.$

Общее количество оценок $N=25$.

Найдем среднее арифметическое:

$\bar{x} = \frac{86}{25} = 3.44$

Ответ: 3.44

24.12. Для оценок по русскому языку:

а) выпишите сгруппированный ряд данных;

б) составьте таблицу распределения кратностей;

в) постройте многоугольник распределения процентных частот;

г) найдите среднее.

Поскольку в задаче не приведен исходный ряд данных (оценок по русскому языку), для демонстрации решения воспользуемся гипотетическим набором из 20 оценок, полученных учениками одного класса:

4, 5, 3, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 5, 4, 3, 3, 5, 4, 4, 5, 3, 4, 4.

а) выпишите сгруппированный ряд данных;

Сгруппированный ряд данных (также называемый упорядоченным или вариационным рядом) — это последовательность всех значений выборки, расположенных в порядке неубывания. Для нашего набора данных необходимо расставить все оценки от наименьшей к наибольшей.

Исходный ряд: 4, 5, 3, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 5, 4, 3, 3, 5, 4, 4, 5, 3, 4, 4.

Упорядоченный ряд: 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5.

Ответ: 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5.

б) составьте таблицу распределения кратностей;

Таблица распределения кратностей (частот) показывает, сколько раз каждое уникальное значение (оценка) встречается в ряду данных. Подсчитаем количество каждой оценки в нашей выборке:

Оценка «2» встречается 1 раз.

Оценка «3» встречается 5 раз.

Оценка «4» встречается 9 раз.

Оценка «5» встречается 5 раз.

Общее количество оценок (объем выборки) $N = 1 + 5 + 9 + 5 = 20$.

На основе этих данных составим таблицу распределения:

Ответ: Таблица распределения кратностей представлена выше.

в) постройте многоугольник распределения процентных частот;

Для построения многоугольника распределения процентных частот сначала необходимо рассчитать эти частоты. Процентная частота ($P_i$) для каждого значения вычисляется по формуле: $P_i = \frac{n_i}{N} \times 100\%$, где $n_i$ – кратность оценки, а $N$ – общий объем выборки.

Рассчитаем процентные частоты для каждой оценки:

Для оценки «2»: $P_1 = \frac{1}{20} \times 100\% = 5\%$

Для оценки «3»: $P_2 = \frac{5}{20} \times 100\% = 25\%$

Для оценки «4»: $P_3 = \frac{9}{20} \times 100\% = 45\%$

Для оценки «5»: $P_4 = \frac{5}{20} \times 100\% = 25\%$

Многоугольник распределения (полигон частот) строится на координатной плоскости. По оси абсцисс (горизонтальной оси) откладываются значения оценок ($x_i$), а по оси ординат (вертикальной оси) – соответствующие им процентные частоты ($P_i$). На плоскости отмечаются точки с координатами ($x_i; P_i$) и последовательно соединяются отрезками прямых.

Координаты точек для построения:

(2; 5), (3; 25), (4; 45), (5; 25).

Обычно для наглядности полигон «замыкают», соединяя крайние точки с осью абсцисс в точках, значения которых на единицу меньше минимального и на единицу больше максимального (в данном случае это (1; 0) и (6; 0)).

Ответ: Многоугольник распределения процентных частот – это ломаная линия, проходящая через точки с координатами (2; 5), (3; 25), (4; 45), (5; 25) в системе координат, где по оси OX отложены оценки, а по оси OY – процентные частоты.

г) найдите среднее.

Среднее арифметическое для сгруппированных данных вычисляется по формуле взвешенного среднего:

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \dots + x_k n_k}{N}$$

где $x_i$ – значение оценки, $n_i$ – её кратность (частота), а $N$ – общее количество оценок.

Используя данные из таблицы кратностей (пункт б):

$$\bar{x} = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 9 + 5 \cdot 5}{20}$$

$$\bar{x} = \frac{2 + 15 + 36 + 25}{20}$$

$$\bar{x} = \frac{78}{20}$$

$$\bar{x} = 3.9$$

Таким образом, средняя оценка по русскому языку в данной выборке составляет 3.9 балла.

Ответ: 3.9.

24.13. Для суммы оценок по литературе и русскому языку:

а) выпишите сгруппированный ряд данных;

б) составьте таблицу распределения кратностей;

в) постройте многоугольник распределения процентных частот;

г) найдите среднее.

Поскольку исходные данные (оценки по литературе и русскому языку) в задаче не предоставлены, для решения будет использован гипотетический набор данных. Предположим, что мы проанализировали сумму оценок 25 учащихся и получили следующий ряд данных:

8, 7, 9, 8, 10, 6, 7, 8, 9, 8, 7, 8, 9, 10, 7, 8, 6, 9, 8, 7, 8, 9, 7, 8, 10.

Общее количество данных в выборке $N=25$.

а) выпишите сгруппированный ряд данных;

Сгруппированный (в данном случае, упорядоченный по возрастанию или вариационный) ряд данных представляет собой все значения из исходного набора, расположенные в порядке от наименьшего к наибольшему.

6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10.

Ответ: 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10.

б) составьте таблицу распределения кратностей;

Таблица распределения кратностей (частот) показывает, сколько раз каждое уникальное значение (сумма оценок) встречается в наборе данных. Для удобства в таблицу также добавлены относительные и процентные частоты, которые понадобятся для следующего пункта.

• Кратность ($M_i$) — это количество повторений значения $x_i$.
• Относительная частота ($W_i$) вычисляется как $W_i = M_i/N$.
• Процентная частота — это относительная частота, выраженная в процентах: $W_i \times 100\%$.

Ответ: Таблица распределения кратностей представлена выше.

в) постройте многоугольник распределения процентных частот;

Многоугольник распределения (полигон частот) — это график, состоящий из отрезков, соединяющих точки с координатами $(x_i, W_i\%)$. По оси абсцисс откладываются значения (суммы оценок), а по оси ординат — соответствующие им процентные частоты. Для наглядности и замкнутости полигон соединяют с осью абсцисс в точках, отстоящих на один шаг левее минимального и правее максимального значений.

Точки, по которым строится полигон: (6; 8), (7; 24), (8; 36), (9; 20), (10; 12). Полигон соединен с осью X в точках (5; 0) и (11; 0).

Ответ: Графическое представление многоугольника распределения процентных частот показано выше.

г) найдите среднее.

Среднее арифметическое для сгруппированных данных вычисляется по формуле взвешенного среднего:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i M_i}{N}$

где $x_i$ — варианты (суммы оценок), $M_i$ — их кратности (частоты), а $N$ — общее число данных.

Используя данные из таблицы распределения, рассчитаем сумму произведений значений на их кратности:

$\sum x_i M_i = (6 \cdot 2) + (7 \cdot 6) + (8 \cdot 9) + (9 \cdot 5) + (10 \cdot 3)$

$\sum x_i M_i = 12 + 42 + 72 + 45 + 30 = 201$

Теперь найдем среднее, разделив эту сумму на общее количество данных $N=25$:

$\bar{x} = \frac{201}{25} = 8.04$

Таким образом, средняя сумма оценок по литературе и русскому языку в данной выборке составляет 8.04.

Ответ: 8.04.

24.14. Найдите размах, моду и медиану:

а) оценок по литературе;

б) оценок по русскому языку;

в) суммы оценок по литературе и русскому языку;

г) модуля разности оценок по литературе и русскому языку.

Для решения задачи необходимы сами наборы данных (оценки), которые в вопросе не предоставлены. Ниже приведено развернутое решение на основе гипотетического примера, чтобы продемонстрировать методику вычислений.

Предположим, у нас есть оценки 10 учеников по литературе и русскому языку:

а) оценок по литературе

Исходный ряд оценок по литературе: 4, 5, 3, 5, 4, 2, 4, 5, 3, 4.

1. Упорядочиваем ряд (ранжируем): 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5.

2. Находим размах. Размах – это разность между наибольшим и наименьшим значением ряда.
$x_{max} = 5$, $x_{min} = 2$.
Размах $= 5 - 2 = 3$.

3. Находим моду. Мода – это значение, которое встречается в ряду чаще всего.
Оценка «4» встречается 4 раза, что чаще, чем любая другая оценка.
Мода $= 4$.

4. Находим медиану. Медиана – это значение, которое делит упорядоченный ряд пополам.
В ряду 10 элементов (четное число). Медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов (5-го и 6-го).
Упорядоченный ряд: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5.
Медиана $= \frac{4 + 4}{2} = 4$.

Ответ: размах – 3; мода – 4; медиана – 4.

б) оценок по русскому языку

Исходный ряд оценок по русскому языку: 5, 4, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 5.

1. Упорядочиваем ряд: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

2. Находим размах.
$x_{max} = 5$, $x_{min} = 3$.
Размах $= 5 - 3 = 2$.

3. Находим моду.
Оценки «4» и «5» встречаются по 4 раза каждая. Это наиболее частые значения. Следовательно, у этого ряда две моды (он бимодальный).
Моды $= 4$ и $5$.

4. Находим медиану.
В ряду 10 элементов (четное число). Медиана равна среднему арифметическому 5-го и 6-го элементов.
Упорядоченный ряд: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Медиана $= \frac{4 + 4}{2} = 4$.

Ответ: размах – 2; моды – 4 и 5; медиана – 4.

в) суммы оценок по литературе и русскому языку

Сначала вычислим сумму оценок для каждого ученика:
4+5=9; 5+4=9; 3+3=6; 5+5=10; 4+4=8; 2+3=5; 4+4=8; 5+5=10; 3+4=7; 4+5=9.

Исходный ряд сумм: 9, 9, 6, 10, 8, 5, 8, 10, 7, 9.

1. Упорядочиваем ряд: 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10.

2. Находим размах.
$x_{max} = 10$, $x_{min} = 5$.
Размах $= 10 - 5 = 5$.

3. Находим моду.
Значение «9» встречается 3 раза, чаще других.
Мода $= 9$.

4. Находим медиану.
В ряду 10 элементов. Медиана равна среднему арифметическому 5-го и 6-го элементов.
Упорядоченный ряд: 5, 6, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10.
Медиана $= \frac{8 + 9}{2} = 8.5$.

Ответ: размах – 5; мода – 9; медиана – 8,5.

г) модуля разности оценок по литературе и русскому языку

Сначала вычислим модуль разности оценок для каждого ученика:
$|4-5|=1$; $|5-4|=1$; $|3-3|=0$; $|5-5|=0$; $|4-4|=0$; $|2-3|=1$; $|4-4|=0$; $|5-5|=0$; $|3-4|=1$; $|4-5|=1$.

Исходный ряд модулей разности: 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1.

1. Упорядочиваем ряд: 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1.

2. Находим размах.
$x_{max} = 1$, $x_{min} = 0$.
Размах $= 1 - 0 = 1$.

3. Находим моду.
Значения «0» и «1» встречаются по 5 раз каждое. У ряда две моды.
Моды $= 0$ и $1$.

4. Находим медиану.
В ряду 10 элементов. Медиана равна среднему арифметическому 5-го и 6-го элементов.
Упорядоченный ряд: 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1.
Медиана $= \frac{0 + 1}{2} = 0.5$.

Ответ: размах – 1; моды – 0 и 1; медиана – 0,5.

24.15. а) Вычислите среднее квадратическое отклонение для оценок по литературе.

б) Вычислите среднее квадратическое отклонение для оценок по русскому языку.

в) По какому предмету оценки в среднем выше?

г) По какому предмету оценки имеют более устойчивый характер?

Поскольку в самом задании не предоставлены данные (ряды оценок), для демонстрации решения примем следующие гипотетические наборы оценок за четверть:
Оценки по литературе: 4, 5, 3, 4, 5, 4
Оценки по русскому языку: 3, 5, 2, 4, 5, 3

а) Вычислите среднее квадратическое отклонение для оценок по литературе.
Среднее квадратическое отклонение (обозначается как $ \sigma $) — это мера разброса данных относительно их среднего значения. Оно вычисляется как квадратный корень из дисперсии.
Формула среднего квадратического отклонения: $ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}} $, где $ x_i $ — каждый элемент выборки, $ \bar{x} $ — среднее арифметическое, $ n $ — количество элементов.
1. Найдем среднее арифметическое ($ \bar{x}_{лит} $) для оценок по литературе (4, 5, 3, 4, 5, 4):
$ \bar{x}_{лит} = \frac{4+5+3+4+5+4}{6} = \frac{25}{6} \approx 4.17 $
2. Найдем квадраты отклонений каждой оценки от среднего:
$ (4 - 4.17)^2 = (-0.17)^2 \approx 0.0289 $
$ (5 - 4.17)^2 = (0.83)^2 \approx 0.6889 $
$ (3 - 4.17)^2 = (-1.17)^2 \approx 1.3689 $
$ (4 - 4.17)^2 = (-0.17)^2 \approx 0.0289 $
$ (5 - 4.17)^2 = (0.83)^2 \approx 0.6889 $
$ (4 - 4.17)^2 = (-0.17)^2 \approx 0.0289 $
3. Найдем сумму этих квадратов:
$ \sum(x_i - \bar{x})^2 \approx 0.0289 + 0.6889 + 1.3689 + 0.0289 + 0.6889 + 0.0289 = 2.8334 $
4. Найдем дисперсию (D), разделив сумму на количество оценок (n=6):
$ D_{лит} = \frac{2.8334}{6} \approx 0.4722 $
5. Найдем среднее квадратическое отклонение, извлекая квадратный корень из дисперсии:
$ \sigma_{лит} = \sqrt{0.4722} \approx 0.687 $
Ответ: Среднее квадратическое отклонение для оценок по литературе составляет примерно 0.687.

б) Вычислите среднее квадратическое отклонение для оценок по русскому языку.
Используем тот же алгоритм для оценок по русскому языку (3, 5, 2, 4, 5, 3).
1. Найдем среднее арифметическое ($ \bar{x}_{рус} $):
$ \bar{x}_{рус} = \frac{3+5+2+4+5+3}{6} = \frac{22}{6} \approx 3.67 $
2. Найдем квадраты отклонений каждой оценки от среднего:
$ (3 - 3.67)^2 = (-0.67)^2 \approx 0.4489 $
$ (5 - 3.67)^2 = (1.33)^2 \approx 1.7689 $
$ (2 - 3.67)^2 = (-1.67)^2 \approx 2.7889 $
$ (4 - 3.67)^2 = (0.33)^2 \approx 0.1089 $
$ (5 - 3.67)^2 = (1.33)^2 \approx 1.7689 $
$ (3 - 3.67)^2 = (-0.67)^2 \approx 0.4489 $
3. Найдем сумму этих квадратов:
$ \sum(x_i - \bar{x})^2 \approx 0.4489 + 1.7689 + 2.7889 + 0.1089 + 1.7689 + 0.4489 = 7.3334 $
4. Найдем дисперсию (D):
$ D_{рус} = \frac{7.3334}{6} \approx 1.2222 $
5. Найдем среднее квадратическое отклонение:
$ \sigma_{рус} = \sqrt{1.2222} \approx 1.106 $
Ответ: Среднее квадратическое отклонение для оценок по русскому языку составляет примерно 1.106.

в) По какому предмету оценки в среднем выше?
Для ответа на этот вопрос нужно сравнить средние арифметические оценки по двум предметам, которые мы уже вычислили.
Средняя оценка по литературе: $ \bar{x}_{лит} \approx 4.17 $
Средняя оценка по русскому языку: $ \bar{x}_{рус} \approx 3.67 $
Сравниваем: $ 4.17 > 3.67 $.
Ответ: В среднем оценки выше по литературе.

г) По какому предмету оценки имеют более устойчивый характер?
Устойчивость (или стабильность) оценок характеризуется тем, насколько сильно они разбросаны вокруг среднего значения. Чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем меньше разброс и тем более устойчивы оценки.
Среднее квадратическое отклонение по литературе: $ \sigma_{лит} \approx 0.687 $
Среднее квадратическое отклонение по русскому языку: $ \sigma_{рус} \approx 1.106 $
Сравниваем: $ 0.687 < 1.106 $.
Поскольку среднее квадратическое отклонение для оценок по литературе меньше, это означает, что оценки по этому предмету более сгруппированы вокруг среднего значения.
Ответ: Оценки по литературе имеют более устойчивый характер.