Страница 163, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Что называют первообразной для функции $y = f(x)$?

1.

Первообразной для функции $y=f(x)$ на некотором промежутке $I$ называется такая функция $F(x)$, которая определена на этом промежутке и производная которой для всех $x$ из этого промежутка равна $f(x)$.

Иными словами, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если выполняется следующее равенство:

$F'(x) = f(x)$

Например, для функции $f(x) = 2x$ одной из первообразных будет функция $F(x) = x^2$, поскольку производная от $x^2$ равна $(x^2)' = 2x$, что в точности совпадает с исходной функцией $f(x)$.

Важно отметить, что если $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, то и любая функция вида $G(x) = F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа), также является первообразной для $f(x)$. Это следует из того, что производная постоянной равна нулю:

$G'(x) = (F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$

Таким образом, у функции существует бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Совокупность всех первообразных для функции $f(x)$ называется неопределенным интегралом.

Ответ: Первообразной для функции $f(x)$ называют такую функцию $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

2. Укажите по две первообразных для каждой из следующих функций:

а) $y = x^3$;

б) $y = \sqrt{x}$;

в) $y = \frac{1}{x}$;

г) $y = \sin x$;

д) $y = \cos x$;

е) $y = e^x$.

Первообразная функции $f(x)$ — это такая функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Если $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, то любая другая первообразная для $f(x)$ имеет вид $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная. Чтобы найти две первообразные, достаточно найти одну ($F(x)$) и затем добавить к ней две разные константы.

а) Для нахождения первообразной функции $y = x^3$ воспользуемся формулой для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. При $n=3$ общий вид первообразной будет $F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$. Чтобы указать две первообразные, выберем два различных значения для константы $C$. Например, при $C=0$ получаем $F_1(x) = \frac{x^4}{4}$, а при $C=5$ получаем $F_2(x) = \frac{x^4}{4} + 5$.

Ответ: $F_1(x) = \frac{x^4}{4}$ и $F_2(x) = \frac{x^4}{4} + 5$.

б) Представим функцию $y = \sqrt{x}$ как $y = x^{1/2}$. Применяя ту же формулу для степенной функции при $n=1/2$, получаем общий вид первообразной: $F(x) = \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$, или $F(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$. Выберем две произвольные константы, например, $C=0$ и $C=-1$. Тогда две первообразные будут $F_1(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x}$ и $F_2(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 1$.

Ответ: $F_1(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x}$ и $F_2(x) = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 1$.

в) Первообразная для функции $y = \frac{1}{x}$ - это натуральный логарифм. Общий вид первообразной: $F(x) = \ln|x| + C$. Модуль $x$ необходим, так как область определения исходной функции - все действительные числа, кроме нуля ($x \neq 0$). Выбрав $C=0$ и $C=2$, получим две первообразные: $F_1(x) = \ln|x|$ и $F_2(x) = \ln|x| + 2$.

Ответ: $F_1(x) = \ln|x|$ и $F_2(x) = \ln|x| + 2$.

г) Первообразная для функции $y = \sin x$ находится из основного правила интегрирования тригонометрических функций. Так как $(\cos x)' = -\sin x$, то первообразной для $\sin x$ будет $-\cos x$. Общий вид первообразной: $F(x) = -\cos x + C$. В качестве двух примеров возьмем $C=0$ и $C=1$. Тогда $F_1(x) = -\cos x$ и $F_2(x) = -\cos x + 1$.

Ответ: $F_1(x) = -\cos x$ и $F_2(x) = -\cos x + 1$.

д) Первообразная для функции $y = \cos x$ находится аналогично. Так как $(\sin x)' = \cos x$, то общий вид первообразной: $F(x) = \sin x + C$. Возьмем константы $C=0$ и $C=-10$. Получаем две первообразные: $F_1(x) = \sin x$ и $F_2(x) = \sin x - 10$.

Ответ: $F_1(x) = \sin x$ и $F_2(x) = \sin x - 10$.

е) Экспоненциальная функция $y = e^x$ уникальна тем, что ее производная равна самой функции. Следовательно, и ее первообразная также будет $e^x$. Общий вид первообразной: $F(x) = e^x + C$. Выбрав $C=0$ и $C=3$, получим две первообразные: $F_1(x) = e^x$ и $F_2(x) = e^x + 3$.

Ответ: $F_1(x) = e^x$ и $F_2(x) = e^x + 3$.

3. Какие из приведённых ниже утверждений о двух функциях, имеющих первообразные, верны, а какие — нет:

а) первообразная суммы равна сумме первообразных;

б) первообразная произведения равна произведению первообразных;

в) первообразная разности равна разности первообразных;

г) первообразная частного равна частному первообразных?

Чтобы определить, верны ли утверждения, мы будем использовать определение первообразной. Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$, если выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

а) первообразная суммы равна сумме первообразных;

Это утверждение верно.
Пусть у нас есть две функции $f(x)$ и $g(x)$, и пусть $F(x)$ и $G(x)$ являются их первообразными соответственно. Это означает, что $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$.
Мы хотим проверить, является ли сумма первообразных $F(x) + G(x)$ первообразной для суммы функций $f(x) + g(x)$. Для этого нужно найти производную от суммы первообразных:
$(F(x) + G(x))'$
Согласно правилу дифференцирования суммы, производная суммы равна сумме производных:
$(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x)$
Так как $F'(x) = f(x)$ и $G'(x) = g(x)$, мы получаем:
$F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x)$
Таким образом, производная от суммы первообразных действительно равна сумме исходных функций. Это одно из основных правил интегрирования: $\int(f(x) + g(x))dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx$.
Ответ: верно.

б) первообразная произведения равна произведению первообразных;

Это утверждение неверно.
Рассмотрим контрпример. Пусть $f(x) = 1$ и $g(x) = x$.
Их первообразные: $F(x) = \int 1 dx = x$ и $G(x) = \int x dx = \frac{x^2}{2}$. (Для простоты мы опускаем константу интегрирования $C$).
Произведение первообразных: $F(x) \cdot G(x) = x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}$.
Теперь найдем первообразную от произведения функций $f(x) \cdot g(x) = 1 \cdot x = x$.
$\int (f(x) \cdot g(x)) dx = \int x dx = \frac{x^2}{2}$.
Сравнивая результаты, мы видим, что $\frac{x^3}{2} \neq \frac{x^2}{2}$.
Проблема в том, что правило дифференцирования произведения (правило Лейбница) выглядит так: $(F(x) \cdot G(x))' = F'(x)G(x) + F(x)G'(x) = f(x)G(x) + F(x)g(x)$, что в общем случае не равно $f(x)g(x)$.
Ответ: нет.

в) первообразная разности равна разности первообразных;

Это утверждение верно.
Доказательство аналогично пункту а). Пусть $F(x)$ и $G(x)$ являются первообразными для $f(x)$ и $g(x)$ соответственно.
Проверим, является ли разность $F(x) - G(x)$ первообразной для разности $f(x) - g(x)$, взяв производную:
$(F(x) - G(x))'$
По правилу дифференцирования разности:
$(F(x) - G(x))' = F'(x) - G'(x)$
Подставляя определения первообразных, получаем:
$F'(x) - G'(x) = f(x) - g(x)$
Производная разности первообразных равна разности исходных функций. Это также одно из основных правил интегрирования: $\int(f(x) - g(x))dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx$.
Ответ: верно.

г) первообразная частного равна частному первообразных?

Это утверждение неверно.
Приведем контрпример. Пусть $f(x) = 2x$ и $g(x) = 1$.
Их первообразные: $F(x) = \int 2x dx = x^2$ и $G(x) = \int 1 dx = x$.
Частное первообразных: $\frac{F(x)}{G(x)} = \frac{x^2}{x} = x$.
Теперь найдем первообразную от частного функций $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{2x}{1} = 2x$.
$\int \frac{f(x)}{g(x)} dx = \int 2x dx = x^2$.
Сравнивая результаты, мы видим, что $x \neq x^2$.
Правило дифференцирования частного: $(\frac{F(x)}{G(x)})' = \frac{F'(x)G(x) - F(x)G'(x)}{[G(x)]^2} = \frac{f(x)G(x) - F(x)g(x)}{[G(x)]^2}$, что в общем случае не равно $\frac{f(x)}{g(x)}$.
Ответ: нет.

25.12. Один из этапов отбора участников для игры «Ну и счастливчик!» организован так. Ведущий записывает произвольную цифру от 0 до 9. После этого очередной участник вслух произвольно называет свою цифру от 0 до 9. Если цифры совпали, то участник проходит в следующий этап. С помощью таблицы значений функции $ \varphi $ найдите приближённо (с точностью до четвёртого знака после запятой) вероятность того, что из 10 000 игроков в следующий этап пройдут ровно:

a) 2000;

б) 1000;

в) 970;

г) 900 человек.

Данная задача описывает серию из $n=10000$ независимых испытаний (схема Бернулли), где каждое испытание — это попытка одного игрока угадать цифру. Поскольку число испытаний $n$ очень велико, для нахождения вероятности того, что событие наступит ровно $k$ раз, используется локальная теорема Муавра-Лапласа.

Формула локальной теоремы Муавра-Лапласа:

$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)$

где $n$ — число испытаний, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, $q=1-p$ — вероятность неудачи, $k$ — число успехов, $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ — функция плотности стандартного нормального распределения (функция Гаусса), а $x$ вычисляется по формуле:

$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}$

Сначала определим параметры для нашей задачи.

Число испытаний: $n = 10000$.

Вероятность успеха в одном испытании (участник угадал цифру): ведущий выбирает одну из 10 цифр (от 0 до 9), и участник делает то же самое. Существует 10 благоприятных исходов (0-0, 1-1, ..., 9-9) из $10 \cdot 10 = 100$ возможных. Таким образом, вероятность успеха:

$p = \frac{10}{100} = 0.1$

Вероятность неудачи:

$q = 1 - p = 1 - 0.1 = 0.9$

Теперь вычислим значения, необходимые для применения формулы:

Математическое ожидание (среднее число успехов):

$np = 10000 \cdot 0.1 = 1000$

Среднеквадратическое отклонение:

$\sqrt{npq} = \sqrt{10000 \cdot 0.1 \cdot 0.9} = \sqrt{900} = 30$

Подставив эти значения, получаем рабочую формулу для нашей задачи:

$P_{10000}(k) \approx \frac{1}{30} \phi\left(\frac{k - 1000}{30}\right)$

Для вычислений нам понадобятся табличные значения функции $\phi(x)$.

а) Вероятность того, что пройдут ровно $k=2000$ человек.

Вычислим аргумент $x$ для функции $\phi(x)$:

$x = \frac{2000 - 1000}{30} = \frac{1000}{30} \approx 33.33$

Значение функции $\phi(x)$ для таких больших $x$ чрезвычайно мало и на практике принимается равным нулю: $\phi(33.33) \approx 0$.

Тогда вероятность:

$P_{10000}(2000) \approx \frac{1}{30} \cdot \phi(33.33) \approx 0$

С точностью до четвёртого знака после запятой это 0.0000.

Ответ: $0.0000$

б) Вероятность того, что пройдёт ровно $k=1000$ человек.

Вычислим $x$:

$x = \frac{1000 - 1000}{30} = \frac{0}{30} = 0$

Из таблиц значений функции Гаусса находим $\phi(0) \approx 0.3989$.

Вычисляем вероятность:

$P_{10000}(1000) \approx \frac{1}{30} \cdot \phi(0) \approx \frac{0.3989}{30} \approx 0.013296...$

Округляя до четвёртого знака после запятой, получаем 0.0133.

Ответ: $0.0133$

в) Вероятность того, что пройдёт ровно $k=970$ человек.

Вычислим $x$:

$x = \frac{970 - 1000}{30} = \frac{-30}{30} = -1$

Функция $\phi(x)$ является чётной, то есть $\phi(-x) = \phi(x)$. Поэтому $\phi(-1) = \phi(1)$. Из таблиц находим $\phi(1) \approx 0.2420$.

Вычисляем вероятность:

$P_{10000}(970) \approx \frac{1}{30} \cdot \phi(-1) \approx \frac{0.2420}{30} \approx 0.008066...$

Округляя до четвёртого знака после запятой, получаем 0.0081.

Ответ: $0.0081$

г) Вероятность того, что пройдёт ровно $k=900$ человек.

Вычислим $x$:

$x = \frac{900 - 1000}{30} = \frac{-100}{30} = -\frac{10}{3} \approx -3.33$

Используя свойство чётности функции $\phi(x)$, имеем $\phi(-3.33) = \phi(3.33)$. Из таблиц находим $\phi(3.33) \approx 0.0016$.

Вычисляем вероятность:

$P_{10000}(900) \approx \frac{1}{30} \cdot \phi(-3.33) \approx \frac{0.0016}{30} \approx 0.000053...$

Округляя до четвёртого знака после запятой, получаем 0.0001.

Ответ: $0.0001$

25.13. По таблице значений функции $\Phi$ найдите:

а) $\Phi(1), \Phi(2), \Phi(3);$

б) $\Phi(0,5), \Phi(1,5), \Phi(2,5);$

в) $\Phi(0,1), \Phi(1,1), \Phi(2,1);$

г) $\Phi(0,9), \Phi(0,99), \Phi(1,99).$

Для решения задачи воспользуемся таблицей значений функции Лапласа $\Phi(x)$, которая определяется как интеграл $\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^2/2} dt$. Чтобы найти значение $\Phi(x)$ для заданного аргумента $x$, необходимо использовать стандартную таблицу значений. В таких таблицах, как правило, целая часть и первый десятичный знак аргумента $x$ задают номер строки, а второй десятичный знак — номер столбца. Искомое значение функции находится на пересечении этой строки и столбца.

а)

Находим значение для $\Phi(1)$, что соответствует $x = 1,00$. В таблице на пересечении строки $1,0$ и столбца $0,00$ находим значение. Получаем $\Phi(1) \approx 0,3413$.
Находим значение для $\Phi(2)$, что соответствует $x = 2,00$. В таблице на пересечении строки $2,0$ и столбца $0,00$ находим значение. Получаем $\Phi(2) \approx 0,4772$.
Находим значение для $\Phi(3)$, что соответствует $x = 3,00$. В таблице на пересечении строки $3,0$ и столбца $0,00$ находим значение. Получаем $\Phi(3) \approx 0,4987$.

Ответ: $\Phi(1) \approx 0,3413$; $\Phi(2) \approx 0,4772$; $\Phi(3) \approx 0,4987$.

б)

Находим значение для $\Phi(0,5)$, что соответствует $x = 0,50$. В таблице на пересечении строки $0,5$ и столбца $0,00$ находим значение. Получаем $\Phi(0,5) \approx 0,1915$.
Находим значение для $\Phi(1,5)$, что соответствует $x = 1,50$. В таблице на пересечении строки $1,5$ и столбца $0,00$ находим значение. Получаем $\Phi(1,5) \approx 0,4332$.
Находим значение для $\Phi(2,5)$, что соответствует $x = 2,50$. В таблице на пересечении строки $2,5$ и столбца $0,00$ находим значение. Получаем $\Phi(2,5) \approx 0,4938$.

Ответ: $\Phi(0,5) \approx 0,1915$; $\Phi(1,5) \approx 0,4332$; $\Phi(2,5) \approx 0,4938$.

в)

Находим значение для $\Phi(0,1)$, что соответствует $x = 0,10$. В таблице на пересечении строки $0,1$ и столбца $0,00$ находим значение. Получаем $\Phi(0,1) \approx 0,0398$.
Находим значение для $\Phi(1,1)$, что соответствует $x = 1,10$. В таблице на пересечении строки $1,1$ и столбца $0,00$ находим значение. Получаем $\Phi(1,1) \approx 0,3643$.
Находим значение для $\Phi(2,1)$, что соответствует $x = 2,10$. В таблице на пересечении строки $2,1$ и столбца $0,00$ находим значение. Получаем $\Phi(2,1) \approx 0,4821$.

Ответ: $\Phi(0,1) \approx 0,0398$; $\Phi(1,1) \approx 0,3643$; $\Phi(2,1) \approx 0,4821$.

г)

Находим значение для $\Phi(0,9)$, что соответствует $x = 0,90$. В таблице на пересечении строки $0,9$ и столбца $0,00$ находим значение. Получаем $\Phi(0,9) \approx 0,3159$.
Находим значение для $\Phi(0,99)$. В таблице на пересечении строки $0,9$ и столбца $0,09$ находим значение. Получаем $\Phi(0,99) \approx 0,3389$.
Находим значение для $\Phi(1,99)$. В таблице на пересечении строки $1,9$ и столбца $0,09$ находим значение. Получаем $\Phi(1,99) \approx 0,4767$.

Ответ: $\Phi(0,9) \approx 0,3159$; $\Phi(0,99) \approx 0,3389$; $\Phi(1,99) \approx 0,4767$.

25.14. Используя таблицу значений функции Φ, найдите приближённое значение $x$, если известно, что:

а) $\Phi(x) = 0,3461$;

б) $\Phi(x) = 0,4441$;

в) $\Phi(x) = 0,004$;

г) $\Phi(-x) = 0,4904$.

Для решения данной задачи используется таблица значений функции Лапласа $Φ(x)$, которая определяется как интеграл $Φ(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^2/2} dt$. Задача состоит в том, чтобы по заданному значению функции найти соответствующее значение аргумента $x$.

а) Дано уравнение $Φ(x) = 0,3461$.

Обратившись к таблице значений функции Лапласа, мы ищем значение, наиболее близкое к $0,3461$. В стандартных таблицах этому значению функции соответствует аргумент $x = 1,02$.

Таким образом, $Φ(1,02) \approx 0,3461$.

Ответ: $x \approx 1,02$.

б) Дано уравнение $Φ(x) = 0,4441$.

По таблице значений функции Лапласа находим, что значению функции $0,4441$ соответствует аргумент $x = 1,59$.

Таким образом, $Φ(1,59) \approx 0,4441$.

Ответ: $x \approx 1,59$.

в) Дано уравнение $Φ(x) = 0,004$.

Представим значение как $0,0040$ для удобства поиска по таблице. По таблице значений функции Лапласа находим, что значению $0,0040$ соответствует аргумент $x = 0,01$.

Таким образом, $Φ(0,01) \approx 0,0040$.

Ответ: $x \approx 0,01$.

г) Дано уравнение $Φ(-x) = 0,4904$.

Для решения этого уравнения введем замену переменной. Пусть $y = -x$. Тогда уравнение принимает вид $Φ(y) = 0,4904$.

Теперь по таблице значений функции Лапласа найдем, какому аргументу $y$ соответствует значение функции $0,4904$. Из таблицы следует, что $y \approx 2,34$.

Мы нашли, что $y \approx 2,34$. Выполним обратную замену: так как $y = -x$, то $-x \approx 2,34$.

Отсюда находим $x \approx -2,34$.

Ответ: $x \approx -2,34$.

25.15. Найдите $x$, для которого значение $\Phi(x)$ ближе всего к заданному числу:

а) $0,33$;

б) $0,46$;

в) $0,1$;

г) $0,49$.

Для решения данной задачи необходимо использовать таблицу значений функции Лапласа $\Phi(x)$. Функция Лапласа, также известная как интеграл вероятностей, определяется следующим образом:

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{-t^2/2} dt$

Поскольку этот интеграл не выражается через элементарные функции, для нахождения аргумента $x$ по заданному значению функции $\Phi(x)$ пользуются заранее вычисленными таблицами. Задача сводится к поиску в таблице значения, наиболее близкого к заданному, и определению соответствующего ему аргумента $x$.

а)

Требуется найти $x$, для которого значение $\Phi(x)$ ближе всего к 0,33. Обратимся к таблице значений функции Лапласа. В таблице мы не найдем точного значения 0,33, поэтому ищем два наиболее близких:

$\Phi(0.95) = 0.3289$

$\Phi(0.96) = 0.3315$

Теперь сравним, какое из этих значений находится ближе к 0,33, вычислив абсолютные разности:

$|0.33 - 0.3289| = 0.0011$

$|0.3315 - 0.33| = 0.0015$

Поскольку $0.0011 < 0.0015$, значение $\Phi(0.95)$ ближе к 0,33. Следовательно, искомое значение $x$ примерно равно 0,95.

Ответ: $x \approx 0.95$

б)

Требуется найти $x$, для которого значение $\Phi(x)$ ближе всего к 0,46. По таблице значений функции Лапласа находим два ближайших значения:

$\Phi(1.75) = 0.4599$

$\Phi(1.76) = 0.4608$

Сравним их удаленность от 0,46:

$|0.46 - 0.4599| = 0.0001$

$|0.4608 - 0.46| = 0.0008$

Так как $0.0001 < 0.0008$, значение $\Phi(1.75)$ является ближайшим. Таким образом, искомое значение $x$ примерно равно 1,75.

Ответ: $x \approx 1.75$

в)

Требуется найти $x$, для которого значение $\Phi(x)$ ближе всего к 0,1. По таблице значений функции Лапласа находим:

$\Phi(0.25) = 0.0987$

$\Phi(0.26) = 0.1026$

Сравним абсолютные разности с 0,1:

$|0.1 - 0.0987| = 0.0013$

$|0.1026 - 0.1| = 0.0026$

Поскольку $0.0013 < 0.0026$, значение $\Phi(0.25)$ ближе к 0,1. Значит, искомое значение $x$ примерно равно 0,25.

Ответ: $x \approx 0.25$

г)

Требуется найти $x$, для которого значение $\Phi(x)$ ближе всего к 0,49. По таблице значений функции Лапласа находим:

$\Phi(2.32) = 0.4898$

$\Phi(2.33) = 0.4901$

Сравним их удаленность от 0,49:

$|0.49 - 0.4898| = 0.0002$

$|0.4901 - 0.49| = 0.0001$

Так как $0.0001 < 0.0002$, значение $\Phi(2.33)$ является ближайшим. Следовательно, искомое значение $x$ примерно равно 2,33.

Ответ: $x \approx 2.33$

○25.16. Вероятность рождения мальчика примем равной 50 %.

Найдите вероятность того, что среди 900 новорождённых будет:

a) от 400 до 450 мальчиков;

б) не менее 440 мальчиков;

в) от 430 до 470 девочек;

г) не более 460 девочек.

Для решения данной задачи мы имеем дело с серией из $n=900$ независимых испытаний (рождений), в каждом из которых событие (рождение мальчика) происходит с вероятностью $p=0,5$. Число мальчиков $k$ среди 900 новорожденных подчиняется биномиальному распределению.

Поскольку число испытаний $n=900$ велико, для вычисления вероятностей можно использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа, которая аппроксимирует биномиальное распределение нормальным.

Найдем параметры этого нормального распределения:

• Математическое ожидание (среднее число мальчиков): $M(X) = np = 900 \cdot 0,5 = 450$.
• Дисперсия: $D(X) = npq = 900 \cdot 0,5 \cdot (1-0,5) = 900 \cdot 0,25 = 225$.
• Среднеквадратическое отклонение: $\sigma = \sqrt{D(X)} = \sqrt{225} = 15$.

Вероятность того, что число мальчиков $k$ будет находиться в пределах от $k_1$ до $k_2$, вычисляется по формуле:

$P(k_1 \le k \le k_2) \approx \Phi_0(x_2) - \Phi_0(x_1)$

где $\Phi_0(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^x e^{-t^2/2} dt$ — функция Лапласа, а $x_1$ и $x_2$ — стандартизованные значения:

$x_1 = \frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}}$ и $x_2 = \frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}}$

Для повышения точности при переходе от дискретного распределения к непрерывному применяется поправка на непрерывность. Интервал $[k_1, k_2]$ заменяется на $[k_1 - 0.5, k_2 + 0.5]$.

а) от 400 до 450 мальчиков

Нужно найти вероятность $P(400 \le k \le 450)$.Применяем поправку на непрерывность: интервал становится $[399.5, 450.5]$.Найдем значения $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{399.5 - 450}{15} = \frac{-50.5}{15} \approx -3.37$

$x_2 = \frac{450.5 - 450}{15} = \frac{0.5}{15} \approx 0.03$

Теперь вычислим вероятность, используя значения функции Лапласа из таблиц ($\Phi_0(-x) = -\Phi_0(x)$):

$P(400 \le k \le 450) \approx \Phi_0(0.03) - \Phi_0(-3.37) = \Phi_0(0.03) + \Phi_0(3.37)$

Из таблиц находим: $\Phi_0(0.03) \approx 0.0120$ и $\Phi_0(3.37) \approx 0.4996$.

$P \approx 0.0120 + 0.4996 = 0.5116$

Ответ: $0.5116$

б) не менее 440 мальчиков

Нужно найти вероятность $P(k \ge 440)$, что эквивалентно $P(440 \le k \le 900)$.Применяем поправку на непрерывность: интервал становится $[439.5, 900.5]$.Найдем значения $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{439.5 - 450}{15} = \frac{-10.5}{15} = -0.7$

$x_2 = \frac{900.5 - 450}{15} = \frac{450.5}{15} \approx 30.03$

Вычислим вероятность:

$P(k \ge 440) \approx \Phi_0(30.03) - \Phi_0(-0.7) = \Phi_0(30.03) + \Phi_0(0.7)$

Значение функции Лапласа для больших аргументов ($x > 5$) стремится к 0.5. Таким образом, $\Phi_0(30.03) \approx 0.5$. Из таблиц: $\Phi_0(0.7) \approx 0.2580$.

$P \approx 0.5 + 0.2580 = 0.7580$

Ответ: $0.7580$

в) от 430 до 470 девочек

Вероятность рождения девочки также равна $0.5$, поэтому параметры нормального распределения для числа девочек такие же: $\mu = 450$, $\sigma = 15$.Нужно найти вероятность $P(430 \le k_{девочек} \le 470)$.Применяем поправку на непрерывность: интервал становится $[429.5, 470.5]$.Найдем значения $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{429.5 - 450}{15} = \frac{-20.5}{15} \approx -1.37$

$x_2 = \frac{470.5 - 450}{15} = \frac{20.5}{15} \approx 1.37$

Вычислим вероятность:

$P(430 \le k_{девочек} \le 470) \approx \Phi_0(1.37) - \Phi_0(-1.37) = 2 \cdot \Phi_0(1.37)$

Из таблиц находим: $\Phi_0(1.37) \approx 0.4147$.

$P \approx 2 \cdot 0.4147 = 0.8294$

Ответ: $0.8294$

г) не более 460 девочек

Нужно найти вероятность $P(k_{девочек} \le 460)$, что эквивалентно $P(0 \le k_{девочек} \le 460)$.Применяем поправку на непрерывность: интервал становится $[-0.5, 460.5]$.Найдем значения $x_1$ и $x_2$:

$x_1 = \frac{-0.5 - 450}{15} = \frac{-450.5}{15} \approx -30.03$

$x_2 = \frac{460.5 - 450}{15} = \frac{10.5}{15} = 0.7$

Вычислим вероятность:

$P(k_{девочек} \le 460) \approx \Phi_0(0.7) - \Phi_0(-30.03) = \Phi_0(0.7) + \Phi_0(30.03)$

Как и в пункте б), $\Phi_0(30.03) \approx 0.5$ и $\Phi_0(0.7) \approx 0.2580$.

$P \approx 0.2580 + 0.5 = 0.7580$

Заметим, что событие "не более 460 девочек" ($k_{девочек} \le 460$) эквивалентно событию "не менее 440 мальчиков" ($k_{мальчиков} = 900 - k_{девочек} \ge 900 - 460 = 440$). Поэтому вероятности в пунктах б) и г) совпадают.

Ответ: $0.7580$

$25.17$. (Продолжение задачи $25.11$.) Какова вероятность того, что из $2500$ посетителей бесплатно пройдут:

а) от $500$ до $1000$ человек;

б) от $400$ до $600$ человек;

в) от $500$ до $520$ человек;

г) от $490$ до $510$ человек?

Для решения данной задачи необходимо знать вероятность $p$ того, что один посетитель пройдет бесплатно. Поскольку эта задача является продолжением задачи 25.11, условие которой не предоставлено, мы сделаем стандартное предположение для подобных задач: каждый пятый посетитель проходит бесплатно. Таким образом, вероятность бесплатного прохода для одного посетителя составляет $p = 1/5 = 0.2$.

Мы имеем дело с серией из $n=2500$ независимых испытаний (посетителей), где вероятность "успеха" (бесплатного прохода) в каждом испытании равна $p=0.2$. Число $k$ посетителей, прошедших бесплатно, подчиняется биномиальному распределению. Поскольку число испытаний $n$ велико, для нахождения вероятности того, что число успехов $k$ окажется в определенном интервале, можно использовать интегральную теорему Муавра-Лапласа. Эта теорема позволяет аппроксимировать биномиальное распределение нормальным распределением.

Найдем параметры этого нормального распределения:

• Математическое ожидание (среднее число бесплатных посетителей):
  $\mu = np = 2500 \cdot 0.2 = 500$
• Дисперсия:
  $\sigma^2 = np(1-p) = 2500 \cdot 0.2 \cdot (1-0.2) = 2500 \cdot 0.2 \cdot 0.8 = 400$
• Среднее квадратическое отклонение:
  $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{400} = 20$

Вероятность того, что число $k$ бесплатных посетителей будет находиться в пределах от $k_1$ до $k_2$, вычисляется по интегральной формуле Лапласа:$P(k_1 \le k \le k_2) \approx \Phi_0(z_2) - \Phi_0(z_1)$,где $\Phi_0(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{z} e^{-t^2/2} dt$ — функция Лапласа. Значения этой функции берутся из специальных таблиц или вычисляются с помощью калькулятора. Важным свойством функции является $\Phi_0(-z) = -\Phi_0(z)$.

Для повышения точности при переходе от дискретного распределения к непрерывному будем использовать поправку на непрерывность. Тогда стандартизированные значения $z_1$ и $z_2$ вычисляются как:$z_1 = \frac{k_1 - 0.5 - \mu}{\sigma}$$z_2 = \frac{k_2 + 0.5 - \mu}{\sigma}$

а) от 500 до 1000 человек

Найдем вероятность того, что бесплатно пройдут от $k_1=500$ до $k_2=1000$ человек.Вычислим значения $z_1$ и $z_2$:$z_1 = \frac{500 - 0.5 - 500}{20} = \frac{-0.5}{20} = -0.025$$z_2 = \frac{1000 + 0.5 - 500}{20} = \frac{500.5}{20} = 25.025$Теперь вычислим вероятность:$P(500 \le k \le 1000) \approx \Phi_0(25.025) - \Phi_0(-0.025) = \Phi_0(25.025) + \Phi_0(0.025)$Значение $\Phi_0(z)$ для $z > 5$ практически равно $0.5$. Поэтому $\Phi_0(25.025) \approx 0.5$.Из таблиц, $\Phi_0(0.025) \approx 0.0100$.$P \approx 0.5 + 0.0100 = 0.5100$Ответ: $0.5100$

б) от 400 до 600 человек

Найдем вероятность того, что бесплатно пройдут от $k_1=400$ до $k_2=600$ человек.Вычислим значения $z_1$ и $z_2$:$z_1 = \frac{400 - 0.5 - 500}{20} = \frac{-100.5}{20} = -5.025$$z_2 = \frac{600 + 0.5 - 500}{20} = \frac{100.5}{20} = 5.025$Теперь вычислим вероятность:$P(400 \le k \le 600) \approx \Phi_0(5.025) - \Phi_0(-5.025) = 2\Phi_0(5.025)$Значение $\Phi_0(5.025)$ очень близко к $0.5$, $\Phi_0(5.025) \approx 0.49999975$.$P \approx 2 \cdot 0.49999975 = 0.9999995$Вероятность этого события практически равна 1.Ответ: $0.9999995$

в) от 500 до 520 человек

Найдем вероятность того, что бесплатно пройдут от $k_1=500$ до $k_2=520$ человек.Вычислим значения $z_1$ и $z_2$:$z_1 = \frac{500 - 0.5 - 500}{20} = \frac{-0.5}{20} = -0.025$$z_2 = \frac{520 + 0.5 - 500}{20} = \frac{20.5}{20} = 1.025$Теперь вычислим вероятность:$P(500 \le k \le 520) \approx \Phi_0(1.025) - \Phi_0(-0.025) = \Phi_0(1.025) + \Phi_0(0.025)$Из таблиц находим: $\Phi_0(1.025) \approx 0.3473$ и $\Phi_0(0.025) \approx 0.0100$.$P \approx 0.3473 + 0.0100 = 0.3573$Ответ: $0.3573$

г) от 490 до 510 человек

Найдем вероятность того, что бесплатно пройдут от $k_1=490$ до $k_2=510$ человек.Вычислим значения $z_1$ и $z_2$:$z_1 = \frac{490 - 0.5 - 500}{20} = \frac{-10.5}{20} = -0.525$$z_2 = \frac{510 + 0.5 - 500}{20} = \frac{10.5}{20} = 0.525$Теперь вычислим вероятность:$P(490 \le k \le 510) \approx \Phi_0(0.525) - \Phi_0(-0.525) = 2\Phi_0(0.525)$Из таблиц находим: $\Phi_0(0.525) \approx 0.2002$.$P \approx 2 \cdot 0.2002 = 0.4004$Ответ: $0.4004$