Страница 162, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

В пунктах а) – г) задач 25.3–25.5 следует заполнить пропуски в приведённых формулах для подсчёта вероятностей по теореме Бернулли, если известно, что вероятность $p$ успеха не меньше вероятности $q$ неудачи:

25.3. а) $P_{10}(3) = C_{?}^{?} \cdot 0.6^{?} \cdot ?^{?}$

б) $P_{100}(99) = C_{?}^{?} \cdot 0.1^{?} \cdot ?^{?}$

в) $P_{20}(5) = C_{?}^{?} \cdot 0.3^{?} \cdot ?^{?}$

г) $P_{1000}(0) = 0.2^{?}$

Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли для вероятности $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях:
$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$
Здесь $n$ — общее число испытаний, $k$ — число успехов, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, а $q=1-p$ — вероятность неудачи.
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.
По условию, вероятность успеха $p$ не меньше вероятности неудачи $q$, то есть $p \ge q$. Из этого и условия $p+q=1$ следует, что $p \ge 0,5$ и $q \le 0,5$.

а) В выражении $P_{10}(3)$ дано общее число испытаний $n=10$ и число успехов $k=3$.
Формула Бернулли для этих значений: $P_{10}(3) = C_{10}^3 p^3 q^{10-3} = C_{10}^3 p^3 q^7$.
В предложенном для заполнения выражении $P_{10}(3) = C_?^? \cdot 0,6^? \cdot ?^?$ есть множитель с основанием $0,6$.
Поскольку $0,6 \ge 0,5$, это значение является вероятностью успеха: $p = 0,6$.
Тогда вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4$.
Теперь заполняем пропуски в формуле, подставляя все известные значения:
$C_n^k \rightarrow C_{10}^3$
$p^k \rightarrow 0,6^3$
$q^{n-k} \rightarrow 0,4^7$
Ответ: $P_{10}(3) = C_{10}^3 \cdot 0,6^3 \cdot 0,4^7$

б) В выражении $P_{100}(99)$ дано $n=100$ и $k=99$.
Формула Бернулли: $P_{100}(99) = C_{100}^{99} p^{99} q^{100-99} = C_{100}^{99} p^{99} q^1$.
В выражении $P_{100}(99) = C_?^? \cdot 0,1^? \cdot ?^?$ есть множитель с основанием $0,1$.
Поскольку $0,1 \le 0,5$, это значение является вероятностью неудачи: $q = 0,1$.
Тогда вероятность успеха $p = 1 - q = 1 - 0,1 = 0,9$.
Множители в формуле Бернулли: $C_{100}^{99}$, $p^{99} = 0,9^{99}$ и $q^1 = 0,1^1$.
Заполняем пропуски в предложенном выражении, учитывая порядок множителей:
$C_?^? \rightarrow C_{100}^{99}$
$0,1^? \rightarrow 0,1^1$ (соответствует $q^{n-k}$)
$?^? \rightarrow 0,9^{99}$ (соответствует $p^k$)
Ответ: $P_{100}(99) = C_{100}^{99} \cdot 0,9^{99} \cdot 0,1^1$

в) В выражении $P_{20}(5)$ дано $n=20$ и $k=5$.
Формула Бернулли: $P_{20}(5) = C_{20}^5 p^5 q^{20-5} = C_{20}^5 p^5 q^{15}$.
В выражении $P_{20}(5) = C_?^? \cdot 0,3^? \cdot ?^?$ есть множитель с основанием $0,3$.
Поскольку $0,3 \le 0,5$, это значение является вероятностью неудачи: $q = 0,3$.
Тогда вероятность успеха $p = 1 - q = 1 - 0,3 = 0,7$.
Множители в формуле Бернулли: $C_{20}^5$, $p^5 = 0,7^5$ и $q^{15} = 0,3^{15}$.
Заполняем пропуски в предложенном выражении, учитывая порядок множителей:
$C_?^? \rightarrow C_{20}^5$
$0,3^? \rightarrow 0,3^{15}$ (соответствует $q^{n-k}$)
$?^? \rightarrow 0,7^5$ (соответствует $p^k$)
Ответ: $P_{20}(5) = C_{20}^5 \cdot 0,7^5 \cdot 0,3^{15}$

г) В выражении $P_{1000}(0)$ дано $n=1000$ и $k=0$.
Формула Бернулли: $P_{1000}(0) = C_{1000}^0 p^0 q^{1000-0}$.
Так как $C_{1000}^0 = 1$ и $p^0=1$, формула упрощается до $P_{1000}(0) = q^{1000}$.
Нам дано выражение $P_{1000}(0) = 0,2^?$.
Сравнивая его с полученной формулой, заключаем, что $q=0,2$, а недостающий показатель степени равен $1000$.
Проверим выполнение условия $p \ge q$. $p = 1 - q = 1 - 0,2 = 0,8$. Условие $0,8 \ge 0,2$ выполняется.
Ответ: $P_{1000}(0) = 0,2^{1000}$

25.4. a) $P_?(5) = C_{50}^? \cdot 0,7^? \cdot ?^?$;б) $P_?(?) = C_?^? \cdot 0,6^7 \cdot ?^{23}$;В) $P_{100}(?) = C_?^3 \cdot 0,5^?$;Г) $P_{40}(?) = 0,7^?$.

Во всех пунктах задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность наступления ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где $n$ — общее число испытаний, $k$ — число успехов, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, а $q = 1-p$ — вероятность неудачи в одном испытании.

а) В выражении $P_?(5) = C_{50}^? \cdot 0,7^? \cdot ?^?$ необходимо найти значения, отмеченные вопросительными знаками.
Сравнивая с общей формулой Бернулли, мы можем определить известные параметры:
- Число испытаний $n=50$ (из нижнего индекса биномиального коэффициента $C_{50}^?$).
- Число успехов $k=5$ (из аргумента вероятности $P_?(5)$).
- Вероятность успеха $p=0,7$ (из основания степени $0,7^?$).
Теперь мы можем вычислить недостающие части формулы:
- Вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3$.
- Показатель степени для вероятности неудачи $q$ равен $n-k = 50-5=45$.
Подставляя все значения, получаем полностью определенное выражение.
Ответ: $P_{50}(5) = C_{50}^5 \cdot 0,7^5 \cdot 0,3^{45}$.

б) В выражении $P_?(?) = C_?^? \cdot 0,6^7 \cdot ?^{23}$ также нужно восстановить недостающие элементы.
Анализируем известные части:
- Из множителя $0,6^7$ следует, что вероятность успеха $p=0,6$, а число успехов $k=7$.
- Из множителя $?^{23}$ следует, что показатель степени для вероятности неудачи $q$ равен $n-k=23$.
Теперь найдем остальные параметры:
- Общее число испытаний $n = k + (n-k) = 7 + 23 = 30$.
- Вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4$.
Таким образом, мы можем заполнить все пропуски в формуле.
Ответ: $P_{30}(7) = C_{30}^7 \cdot 0,6^7 \cdot 0,4^{23}$.

в) Рассмотрим выражение $P_{100}(?) = C_?^3 \cdot 0,5^?$.
Определяем известные параметры:
- Общее число испытаний $n=100$ (из индекса вероятности $P_{100}(?)$).
- Число успехов $k=3$ (из верхнего индекса биномиального коэффициента $C_?^3$).
- Вероятность успеха $p=0,5$ (из основания степени $0,5^?$).
В данном случае вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - 0,5 = 0,5$.
Полная формула Бернулли для этих параметров: $P_{100}(3) = C_{100}^3 \cdot p^k \cdot q^{n-k} = C_{100}^3 \cdot 0,5^3 \cdot 0,5^{100-3} = C_{100}^3 \cdot 0,5^3 \cdot 0,5^{97}$.
Поскольку $p=q$, мы можем упростить произведение степеней: $0,5^3 \cdot 0,5^{97} = 0,5^{3+97} = 0,5^{100}$.
Это означает, что данное в задаче выражение является сокращённой записью для случая $p=0,5$.
Ответ: $P_{100}(3) = C_{100}^3 \cdot 0,5^{100}$.

г) Анализируем выражение $P_{40}(?) = 0,7^?$.
Из $P_{40}(?)$ следует, что общее число испытаний $n=40$.
Правая часть уравнения $0,7^?$ не содержит биномиального коэффициента. В формуле Бернулли это возможно, только если $C_n^k=1$. Это условие выполняется при $k=0$ или $k=n$.
1. Если $k=n=40$, то формула принимает вид $P_{40}(40) = C_{40}^{40} \cdot p^{40} \cdot q^0 = 1 \cdot p^{40} \cdot 1 = p^{40}$. Сравнивая с $0,7^?$, получаем $p=0,7$ и показатель степени 40. Это соответствует событию "40 успехов в 40 испытаниях".
2. Если $k=0$, то формула принимает вид $P_{40}(0) = C_{40}^0 \cdot p^0 \cdot q^{40} = 1 \cdot 1 \cdot q^{40} = q^{40}$. Сравнивая с $0,7^?$, получаем $q=0,7$ и показатель степени 40. Это соответствует событию "0 успехов в 40 испытаниях".
Обычно, если не указано иное, заданная вероятность относится к вероятности "успеха", то есть $p$. Поэтому наиболее вероятным является первый вариант.
Ответ: $P_{40}(40) = 0,7^{40}$.

25.5. a) $P_{?}(?) = ? \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^8;$

б) $P_{?}(?) = ? \cdot 0.01^9 \cdot 0.99;$

В) $P_{?}(?) = ? \cdot 0.6^5 \cdot \text{?}25;$

Г) $P_{?}(?) = 0.1^{100}.$

а) В задаче используется формула Бернулли для вероятности того, что в $n$ независимых испытаниях событие с вероятностью $p$ наступит ровно $k$ раз: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $q = 1-p$ – вероятность противоположного события.

Рассмотрим выражение: $P_?(?) = ? \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^{78}$.

Сопоставляя его с формулой Бернулли, мы можем определить параметры:

• Из множителя $0,3^2$ следует, что вероятность успеха $p = 0,3$, а число успехов $k = 2$.
• Из множителя $0,7^{78}$ следует, что вероятность неудачи $q = 0,7$, а число неудач $n-k = 78$.

Проверим, что $p+q=1$: $0,3 + 0,7 = 1$. Это верно.

Теперь найдем общее число испытаний $n$: $n-k = 78 \implies n - 2 = 78 \implies n = 80$.

Недостающий множитель перед степенями – это биномиальный коэффициент $C_n^k = C_{80}^2$. Вычислим его: $C_{80}^2 = \frac{80!}{2!(80-2)!} = \frac{80 \cdot 79}{2 \cdot 1} = 40 \cdot 79 = 3160$.

Таким образом, мы заполнили все пропуски в исходном выражении.

Ответ: $P_{80}(2) = 3160 \cdot 0,3^2 \cdot 0,7^{78}$.

б) Рассмотрим выражение: $P_?(?) = ? \cdot 0,01^9 \cdot 0,99$.

Применяем ту же формулу Бернулли $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$.

• Из множителя $0,01^9$ следует, что $p = 0,01$ и $k = 9$.
• Множитель $0,99$ можно записать как $0,99^1$. Отсюда следует, что $q = 0,99$ и $n-k = 1$.

Проверка: $p+q = 0,01 + 0,99 = 1$.

Найдем общее число испытаний $n$: $n-k = 1 \implies n - 9 = 1 \implies n = 10$.

Недостающий множитель – это $C_n^k = C_{10}^9$. Вычислим его: $C_{10}^9 = \frac{10!}{9!(10-9)!} = \frac{10!}{9!1!} = 10$.

Заполняем пропуски в выражении.

Ответ: $P_{10}(9) = 10 \cdot 0,01^9 \cdot 0,99^1$.

в) Рассмотрим выражение: $P_?(?) = ? \cdot 0,6^5 \cdot ?^{25}$.

Используем формулу Бернулли $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$.

• Из множителя $0,6^5$ следует, что вероятность успеха $p = 0,6$, а число успехов $k = 5$.
• Вероятность неудачи $q$ должна быть равна $1-p$. Значит, $q = 1 - 0,6 = 0,4$. Это значение для второго знака вопроса в правой части.
• Теперь у нас есть множитель $0,4^{25}$. Из него следует, что число неудач $n-k = 25$.

Найдем общее число испытаний $n$: $n-k = 25 \implies n - 5 = 25 \implies n = 30$.

Недостающий множитель – это $C_n^k = C_{30}^5$. Вычислим его: $C_{30}^5 = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 26}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 6 \cdot 29 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 13 = 142506$.

Заполняем все пропуски.

Ответ: $P_{30}(5) = 142506 \cdot 0,6^5 \cdot 0,4^{25}$.

г) Рассмотрим выражение: $P_?(?) = 0,1^{100}$.

Это частный случай формулы Бернулли $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$. В данном выражении отсутствуют множители $C_n^k$ и $q^{n-k}$, что означает, что они должны быть равны 1.

Рассмотрим два возможных случая:

1. Случай, когда число успехов равно числу испытаний: $k=n$. В этом случае $C_n^n = 1$ и $n-k=0$, поэтому $q^{n-k} = q^0 = 1$. Формула Бернулли принимает вид $P_n(n) = p^n$. Сравнивая с $0,1^{100}$, получаем $p=0,1$ и $n=100$. Так как $k=n$, то и $k=100$. Это соответствует вероятности получить 100 успехов в 100 испытаниях, если вероятность успеха в одном испытании равна 0,1.
2. Случай, когда число успехов равно нулю: $k=0$. В этом случае $C_n^0 = 1$ и $p^k=p^0=1$. Формула принимает вид $P_n(0) = q^n$. Сравнивая с $0,1^{100}$, получаем $q=0,1$ и $n=100$. Тогда вероятность успеха $p=1-q=0,9$. Это соответствует вероятности получить 0 успехов в 100 испытаниях, если вероятность успеха в одном испытании равна 0,9.

Оба варианта математически корректны. Однако, как правило, в выражении $p^k$ основание степени обозначает вероятность рассматриваемого события. Поэтому наиболее прямой интерпретацией является первая, где $p=0,1$ и $k=100$.

Ответ: $P_{100}(100) = 0,1^{100}$.

25.6. Объясните, какие ошибки допущены в формуле:

а) $P_{10}(3) = 120 \cdot 0.6^3 \cdot 0.7^6$;

б) $P_{100}(99) = 100 \cdot 0.9^{99} \cdot 0.01$;

в) $P_{20}(2) = 180 \cdot 0.8^2 \cdot 0.2^{18}$;

г) $P_{1000}(1) = 0.2^{1000}$.

Для анализа ошибок в представленных формулах воспользуемся формулой Бернулли для вероятности того, что в $n$ независимых испытаниях событие с вероятностью $p$ наступит ровно $k$ раз:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $q = 1-p$ — вероятность противоположного события (неудачи), а $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

а) $P_{10}(3) = 120 \cdot 0,6^3 \cdot 0,7^6$

В данной формуле $n=10$ и $k=3$.

1. Проверим коэффициент $C_n^k$:
   $C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$.
   Коэффициент в формуле указан верно.
2. Проверим вероятности $p$ и $q$.
   Из члена $0,6^3$ можно предположить, что вероятность успеха $p=0,6$. Тогда вероятность неудачи должна быть $q = 1 - p = 1 - 0,6 = 0,4$. В формуле же используется значение $0,7$. Сумма указанных вероятностей $0,6 + 0,7 = 1,3$, что не равно 1. Это первая ошибка.
3. Проверим показатели степеней.
   Показатель степени у вероятности успеха $p$ должен быть равен $k=3$. В формуле стоит $0,6^3$, что верно. Показатель степени у вероятности неудачи $q$ должен быть равен $n-k = 10-3 = 7$. В формуле же стоит $0,7^6$, то есть показатель равен 6. Это вторая ошибка.

Ответ: Допущены две ошибки: 1) вероятности $p=0,6$ и $q=0,7$ не являются взаимодополняющими ($p+q \neq 1$); 2) показатель степени для вероятности неудачи должен быть $10-3=7$, а не 6. Правильная формула (при $p=0,6$): $P_{10}(3) = 120 \cdot 0,6^3 \cdot 0,4^7$.

б) $P_{100}(99) = 100 \cdot 0,99^{99} \cdot 0,01$

В данной формуле $n=100$ и $k=99$.

1. Проверим коэффициент $C_n^k$:
   $C_{100}^{99} = \frac{100!}{99!(100-99)!} = \frac{100!}{99!1!} = 100$.
   Коэффициент в формуле указан верно.
2. Проверим вероятности $p$ и $q$.
   Из члена $0,99^{99}$ можно предположить, что $p=0,99$. Тогда $q = 1 - 0,99 = 0,01$. Это соответствует второму множителю в формуле. Вероятности указаны верно.
3. Проверим показатели степеней.
   Показатель у $p$ должен быть $k=99$. В формуле стоит $0,99^{99}$, что верно.
   Показатель у $q$ должен быть $n-k = 100-99 = 1$. В формуле стоит множитель $0,01$, что математически эквивалентно $0,01^1$. Однако, для строгого соответствия формуле Бернулли, показатель степени должен быть указан явно. Отсутствие показателя степени 1 у числа $0,01$ можно считать формальной неточностью или ошибкой записи.

Ответ: Формула математически верна, но для полного соответствия каноническому виду формулы Бернулли у множителя $0,01$ следует явно указать показатель степени 1. Ошибка носит формальный характер. Правильная запись: $P_{100}(99) = 100 \cdot 0,99^{99} \cdot 0,01^1$.

в) $P_{20}(2) = 180 \cdot 0,8^2 \cdot 0,2^{18}$

В данной формуле $n=20$ и $k=2$.

1. Проверим коэффициент $C_n^k$:
   $C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20!}{2!18!} = \frac{20 \cdot 19}{2 \cdot 1} = 190$.
   В формуле указан коэффициент 180, что является ошибкой.
2. Проверим вероятности $p$ и $q$.
   Из члена $0,8^2$ можно предположить, что $p=0,8$. Тогда $q = 1 - 0,8 = 0,2$. Это соответствует другому множителю. Вероятности указаны верно ($0,8+0,2=1$).
3. Проверим показатели степеней.
   Показатель у $p$ должен быть $k=2$. В формуле стоит $0,8^2$, что верно.
   Показатель у $q$ должен быть $n-k = 20-2 = 18$. В формуле стоит $0,2^{18}$, что также верно.

Ответ: Допущена ошибка в вычислении биномиального коэффициента $C_{20}^2$. Он равен 190, а не 180. Правильная формула: $P_{20}(2) = 190 \cdot 0,8^2 \cdot 0,2^{18}$.

г) $P_{1000}(1) = 0,2^{1000}$

В данной формуле $n=1000$ и $k=1$.

Формула в задании совершенно не соответствует формуле Бернулли. Разберем ошибки подробно, предполагая, что $p=0,2$.

1. Отсутствует биномиальный коэффициент $C_n^k$.
   Он должен быть равен $C_{1000}^1 = \frac{1000!}{1!(1000-1)!} = 1000$.
2. Неверно указаны вероятности и их показатели.
   Если $p=0,2$, то $q = 1 - 0,2 = 0,8$.
   - Множитель для вероятности успеха должен быть $p^k = 0,2^1$. В формуле же стоит $0,2^{1000}$. Показатель степени неверен.
   - Множитель для вероятности неудачи $q^{n-k} = 0,8^{1000-1} = 0,8^{999}$ полностью отсутствует в формуле.

Выражение $0,2^{1000}$ представляет собой вероятность того, что событие с вероятностью 0,2 произойдет во всех 1000 испытаниях, то есть $P_{1000}(1000)$.

Ответ: Допущены многочисленные ошибки: отсутствует биномиальный коэффициент ($C_{1000}^1=1000$), отсутствует множитель, отвечающий за вероятность неудачи ($0,8^{999}$), и неверно указан показатель степени у вероятности успеха (1000 вместо 1). Правильная формула: $P_{1000}(1) = 1000 \cdot 0,2^1 \cdot 0,8^{999}$.

25.7. По таблице значений функции $\varphi$ найдите:

а) $\varphi(1)$, $\varphi(2)$, $\varphi(3)$;

б) $\varphi(0,5)$, $\varphi(1,5)$, $\varphi(2,5)$;

в) $\varphi(0,1)$, $\varphi(1,1)$, $\varphi(2,1)$;

г) $\varphi(0,9)$, $\varphi(0,99)$, $\varphi(1,99)$.

В задаче требуется найти значения функции $\phi$ по таблице. Поскольку сама таблица не предоставлена, будем исходить из стандартного предположения, что $\phi(x)$ — это функция плотности вероятности стандартного нормального распределения, значения которой приводятся в статистических таблицах. Формула для этой функции:

$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

Для нахождения значений функции используется таблица значений для неотрицательных $x$. Аргумент $x$ представляется в виде суммы значения из первого столбца (целая часть и первый десятичный знак) и значения из первой строки (второй десятичный знак). Так, для нахождения $\phi(1.23)$ нужно найти строку $1.2$ и столбец $0.03$.

а) $\phi(1), \phi(2), \phi(3)$;

Для нахождения значений функции для целых чисел, мы ищем соответствующую строку и столбец $0.00$.

• Для $\phi(1)$: находим в таблице строку $1.0$ и столбец $0.00$. Значение на их пересечении равно $0.2420$.

• Для $\phi(2)$: находим в таблице строку $2.0$ и столбец $0.00$. Значение на их пересечении равно $0.0540$.

• Для $\phi(3)$: находим в таблице строку $3.0$ и столбец $0.00$. Значение на их пересечении равно $0.0044$.

Ответ: $\phi(1) \approx 0.2420, \phi(2) \approx 0.0540, \phi(3) \approx 0.0044$.

б) $\phi(0,5), \phi(1,5), \phi(2,5)$;

Значения находятся аналогично предыдущему пункту.

• Для $\phi(0.5)$: находим строку $0.5$ и столбец $0.00$. Значение равно $0.3521$.

• Для $\phi(1.5)$: находим строку $1.5$ и столбец $0.00$. Значение равно $0.1295$.

• Для $\phi(2.5)$: находим строку $2.5$ и столбец $0.00$. Значение равно $0.0175$.

Ответ: $\phi(0.5) \approx 0.3521, \phi(1.5) \approx 0.1295, \phi(2.5) \approx 0.0175$.

в) $\phi(0,1), \phi(1,1), \phi(2,1)$;

Значения находятся аналогично.

• Для $\phi(0.1)$: находим строку $0.1$ и столбец $0.00$. Значение равно $0.3970$.

• Для $\phi(1.1)$: находим строку $1.1$ и столбец $0.00$. Значение равно $0.2179$.

• Для $\phi(2.1)$: находим строку $2.1$ и столбец $0.00$. Значение равно $0.0440$.

Ответ: $\phi(0.1) \approx 0.3970, \phi(1.1) \approx 0.2179, \phi(2.1) \approx 0.0440$.

г) $\phi(0,9), \phi(0,99), \phi(1,99)$.

Для значений с двумя знаками после запятой, мы используем соответствующий столбец.

• Для $\phi(0.9)$: находим строку $0.9$ и столбец $0.00$. Значение равно $0.2661$.

• Для $\phi(0.99)$: находим строку $0.9$ и столбец $0.09$. Значение равно $0.2444$.

• Для $\phi(1.99)$: находим строку $1.9$ и столбец $0.09$. Значение равно $0.0551$.

Ответ: $\phi(0.9) \approx 0.2661, \phi(0.99) \approx 0.2444, \phi(1.99) \approx 0.0551$.

25.8. Используя таблицу значений функции $\varphi$, найдите приближённое значение $x$, если известно, что:

a) $\varphi(x) = 0,1781$;

б) $\varphi(x) = 0,1006$;

в) $\varphi(x) = 0,3988$;

г) $\varphi(x) = 0,0116$.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться таблицей значений функции Гаусса (или функции плотности стандартного нормального распределения) $ \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2} $. Задача состоит в том, чтобы по заданному значению функции $ \varphi(x) $ найти соответствующее значение аргумента $ x $. Поскольку функция $ \varphi(x) $ является четной (т.е. $ \varphi(x) = \varphi(-x) $), для каждого значения функции (кроме максимального) существует два противоположных по знаку значения аргумента $ x $.

а)

Дано, что $ \varphi(x) = 0,1781 $.

По таблице значений функции $ \varphi(x) $ находим, что значение $ 0,1781 $ соответствует аргументу $ x = 1,27 $.

Учитывая четность функции, получаем второе решение $ x = -1,27 $.

Ответ: $x \approx \pm 1,27$.

б)

Дано, что $ \varphi(x) = 0,1006 $.

По таблице значений функции $ \varphi(x) $ находим, что значение $ 0,1006 $ соответствует аргументу $ x = 1,66 $.

Учитывая четность функции, получаем второе решение $ x = -1,66 $.

Ответ: $x \approx \pm 1,66$.

в)

Дано, что $ \varphi(x) = 0,3988 $.

По таблице значений функции $ \varphi(x) $ находим, что значение $ 0,3988 $ (очень близкое к максимальному значению $ \varphi(0) \approx 0,3989 $) соответствует аргументу $ x = 0,02 $.

Учитывая четность функции, получаем второе решение $ x = -0,02 $.

Ответ: $x \approx \pm 0,02$.

г)

Дано, что $ \varphi(x) = 0,0116 $.

По таблице значений функции $ \varphi(x) $ находим, что значение $ 0,0116 $ соответствует аргументу $ x = 2,66 $.

Учитывая четность функции, получаем второе решение $ x = -2,66 $.

Ответ: $x \approx \pm 2,66$.

25.9. Найдите $x > 0$, для которого значение $\varphi(x)$ ближе всего к заданному числу:

а) 0,33;

б) 0,333;

в) 0,1;

г) 0,01.

В условии задачи не дано определение функции $φ(x)$. Стандартное обозначение $φ(x)$ — это функция Эйлера, которая для натурального числа $x$ равна количеству натуральных чисел, меньших $x$ и взаимно простых с ним. Значения функции Эйлера для $x>1$ являются целыми числами ($φ(1)=1, φ(2)=1, φ(3)=2, ...$), в то время как заданные числа (0,33; 0,333; 0,1; 0,01) являются дробными. Это говорит о том, что $φ(x)$ в данной задаче, вероятно, обозначает не саму функцию Эйлера, а некоторую другую функцию, возможно, связанную с ней или с другими теоретико-числовыми функциями, значение которой может быть дробным.

Рассмотрим гипотезу, что $φ(x)$ обозначает отношение количества натуральных делителей числа $x$ к самому числу $x$. Обозначим количество делителей стандартно через $d(x)$ или $τ(x)$. Таким образом, мы будем искать $x > 0$ (будем считать $x$ натуральным числом, так как теория делимости определена для них), для которого значение функции $f(x) = d(x)/x$ ближе всего к заданному числу.

а) 0,33

Нам нужно найти натуральное число $x$, для которого значение $d(x)/x$ близко к $0,33$. Число $0,33$ близко к $1/3$. Попробуем найти $x$, для которого $d(x)/x = 1/3$.

Переберем небольшие значения $x$:

• $x=1$: $d(1)=1$, $d(1)/1 = 1$.
• $x=2$: $d(2)=2$, $d(2)/2 = 1$.
• $x=3$: $d(3)=2$, $d(3)/3 = 2/3$.
• $x=4$: $d(4)=3$, $d(4)/4 = 3/4$.
• $x=6$: $d(6)=4$, $d(6)/6 = 4/6 = 2/3$.
• $x=12$: $d(12)=6$, $d(12)/12 = 6/12 = 1/2$.
• $x=24$: $x = 2^3 \cdot 3^1$. Число делителей $d(24) = (3+1)(1+1) = 8$. Тогда $d(24)/24 = 8/24 = 1/3$.

Значение $1/3 = 0,3333...$ очень близко к $0,33$. Разница составляет $|1/3 - 0,33| = |1/3 - 33/100| = |100/300 - 99/300| = 1/300 \approx 0,0033$. Найти существенно более близкое значение для небольших $x$ маловероятно. Таким образом, $x=24$ является хорошим кандидатом.

Ответ: $x=24$.

б) 0,333

Нужно найти $x$, для которого $d(x)/x$ близко к $0,333$. Это число еще ближе к $1/3$, чем $0,33$.

Как мы уже выяснили в предыдущем пункте, для $x=24$ значение $d(x)/x$ в точности равно $1/3$.

Разница составляет $|1/3 - 0,333| = |0,3333... - 0,333| = 0,000333... = 1/3000$. Это очень малая величина.

Ответ: $x=24$.

в) 0,1

Мы ищем $x$, для которого $d(x)/x$ близко к $0,1 = 1/10$. Попробуем найти $x$, для которого это соотношение выполняется точно: $d(x)/x = 1/10$, или $x = 10 \cdot d(x)$.

Так как $x$ должен делиться на 10, его простые множители должны включать 2 и 5. Пусть $x = 2^a \cdot 5^b \cdot k$, где $k$ не делится на 2 и 5.Число делителей $d(x) = (a+1)(b+1) \cdot d(k)$.

Рассмотрим число $x=180 = 18 \cdot 10 = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$.

Найдем количество его делителей: $d(180) = (2+1)(2+1)(1+1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$.

Теперь вычислим отношение: $d(180)/180 = 18/180 = 1/10 = 0,1$.

Значение совпало с заданным числом в точности.

Ответ: $x=180$.

г) 0,01

Мы ищем $x$, для которого $d(x)/x$ близко к $0,01 = 1/100$. То есть, мы хотим, чтобы $x/d(x)$ было близко к 100.

Функция $d(x)$ растет гораздо медленнее, чем $x$. Нам нужно найти такое число $x$, для которого отношение $x/d(x)$ близко к 100. Этого можно достичь, подбирая степени простых множителей в разложении числа $x$. Отношение $p^k/(k+1)$ растет с ростом $k$. Чтобы получить большое значение $x/d(x)$, нужно брать большие степени небольших простых чисел.

Попробуем различные комбинации.Пусть $x = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c \cdot ...$. Тогда $x/d(x) = \frac{2^a}{a+1} \cdot \frac{3^b}{b+1} \cdot \frac{5^c}{c+1} \cdot ...$

• Попробуем $x = 2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^1 = 32 \cdot 27 \cdot 5 = 4320$. $d(4320) = (5+1)(3+1)(1+1) = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48$. $d(4320)/4320 = 48/4320 = 1/90$. $1/90 \approx 0,0111...$. Разница с $0,01$ составляет $|1/90 - 1/100| = 1/900 \approx 0,0011$.
• Попробуем $x = 2^7 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 128 \cdot 9 \cdot 5 = 5760$. $d(5760) = (7+1)(2+1)(1+1) = 8 \cdot 3 \cdot 2 = 48$. $d(5760)/5760 = 48/5760 = 1/120$. $1/120 \approx 0,00833...$. Разница с $0,01$ составляет $|1/120 - 1/100| = |5/600 - 6/600| = 1/600 \approx 0,00167$.

Сравнение разниц показывает, что $x=4320$ дает более близкое значение к $0,01$.

Ответ: $x=4320$.

25.10. Вероятность рождения мальчика примем равной 50 %.

Найдите вероятность того, что среди 400 новорождённых будет ровно:

а) 220 мальчиков;

б) 180 девочек;

в) 210 мальчиков;

г) 300 девочек.

Для решения данной задачи мы используем схему испытаний Бернулли. У нас есть $n=400$ независимых испытаний (рождений), и вероятность «успеха» (рождения мальчика) в каждом испытании равна $p=0.5$. Так как количество испытаний $n$ велико, для нахождения вероятности того, что событие наступит ровно $k$ раз, применяется локальная теорема Муавра-Лапласа. Формула имеет вид:$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)$где $q = 1-p$, $x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}$, а $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ — это функция плотности вероятности для стандартного нормального распределения.

Вычислим параметры для этой задачи:
- Количество испытаний: $n = 400$.
- Вероятность рождения мальчика: $p = 0.5$.
- Вероятность рождения девочки: $q = 1 - 0.5 = 0.5$.
- Математическое ожидание (среднее число успехов): $E(X) = np = 400 \cdot 0.5 = 200$.
- Среднеквадратическое отклонение: $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{400 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \sqrt{100} = 10$.
Таким образом, приближенная формула для вероятности $P_{400}(k)$ (вероятности рождения ровно $k$ мальчиков или девочек) выглядит так:$P_{400}(k) \approx \frac{1}{10} \phi\left(\frac{k - 200}{10}\right)$.
Значения функции $\phi(x)$ берутся из таблиц стандартного нормального распределения.

Ищем вероятность того, что родится ровно $k = 220$ мальчиков.
1. Находим значение аргумента $x$ для функции $\phi(x)$:$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{220 - 200}{10} = \frac{20}{10} = 2$.
2. Находим значение функции $\phi(x)$ для $x=2$. Из таблицы значений функции Гаусса: $\phi(2) \approx 0.0540$.
3. Вычисляем искомую вероятность:$P_{400}(220) \approx \frac{1}{10} \phi(2) \approx \frac{1}{10} \cdot 0.0540 = 0.0054$.
Ответ: $0.0054$.

Ищем вероятность того, что родится ровно $k = 180$ девочек. Вероятность рождения девочки также равна $0.5$, поэтому все расчетные параметры ($np$ и $\sigma$) остаются прежними.
1. Находим значение аргумента $x$:$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{180 - 200}{10} = \frac{-20}{10} = -2$.
2. Находим значение функции $\phi(x)$ для $x=-2$. Функция $\phi(x)$ является четной, то есть $\phi(-x) = \phi(x)$. Следовательно, $\phi(-2) = \phi(2) \approx 0.0540$.
3. Вычисляем искомую вероятность:$P_{400}(180) \approx \frac{1}{10} \phi(-2) \approx \frac{1}{10} \cdot 0.0540 = 0.0054$.
(Заметим, что событие «родилось 180 девочек» из 400 новорожденных эквивалентно событию «родилось $400 - 180 = 220$ мальчиков», поэтому результат совпадает с пунктом а)).
Ответ: $0.0054$.

Ищем вероятность того, что родится ровно $k = 210$ мальчиков.
1. Находим значение аргумента $x$:$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{210 - 200}{10} = \frac{10}{10} = 1$.
2. Находим значение функции $\phi(x)$ для $x=1$. Из таблицы значений функции Гаусса: $\phi(1) \approx 0.2420$.
3. Вычисляем искомую вероятность:$P_{400}(210) \approx \frac{1}{10} \phi(1) \approx \frac{1}{10} \cdot 0.2420 = 0.0242$.
Ответ: $0.0242$.

Ищем вероятность того, что родится ровно $k = 300$ девочек.
1. Находим значение аргумента $x$:$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{300 - 200}{10} = \frac{100}{10} = 10$.
2. Находим значение функции $\phi(x)$ для $x=10$.$\phi(10) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-10^2/2} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-50}$.Это чрезвычайно малое число: $\phi(10) \approx 7.69 \times 10^{-23}$.
3. Вычисляем искомую вероятность:$P_{400}(300) \approx \frac{1}{10} \phi(10) \approx \frac{1}{10} \cdot (7.69 \times 10^{-23}) \approx 7.69 \times 10^{-24}$.
Вероятность такого события пренебрежимо мала и практически равна нулю.
Ответ: $\approx 7.69 \times 10^{-24}$ (практически 0).

25.11. При входе на выставку аттракционов стоит урна с четырьмя чёрными и одним белым шаром. Входящий вытаскивает шар и потом возвращает его обратно. Если шар окажется белым, то посетитель проходит на выставку бесплатно, а если чёрным, то покупает билет.

С помощью таблицы значений функции $\varphi$ найдите приближённо (с точностью до четвёртого знака после запятой) вероятность того, что из 2500 посетителей бесплатно пройдут ровно:

а) 1000 человек;

б) 500 человек;

в) 450 человек;

г) 510 человек.

Для решения данной задачи используется локальная теорема Муавра-Лапласа. Она позволяет найти приближенное значение вероятности того, что в $n$ независимых испытаниях событие с вероятностью $p$ наступит ровно $k$ раз. Формула имеет вид: $P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \phi(x)$ где $x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}}$, $q=1-p$, а $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ – это плотность стандартного нормального распределения. Значения функции $\phi(x)$ берутся из соответствующей таблицы.

Сначала определим параметры для нашей задачи:

• Общее число испытаний (посетителей): $n = 2500$.
• Вероятность "успеха" (посетитель вытащит белый шар и пройдет бесплатно). В урне 1 белый и 4 черных шара, всего 5 шаров. Следовательно, вероятность успеха в одном испытании: $p = \frac{1}{5} = 0.2$.
• Вероятность "неудачи" (посетитель вытащит черный шар): $q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8$.

Теперь вычислим вспомогательные величины, которые будут использоваться во всех пунктах:

• Математическое ожидание числа успехов (среднее количество посетителей, прошедших бесплатно): $np = 2500 \cdot 0.2 = 500$.
• Среднеквадратическое отклонение: $\sqrt{npq} = \sqrt{2500 \cdot 0.2 \cdot 0.8} = \sqrt{400} = 20$.

Таким образом, общая формула для вычисления искомой вероятности принимает вид: $P_{2500}(k) \approx \frac{1}{20} \phi(\frac{k - 500}{20})$.

Теперь решим каждый из подпунктов.

а) 1000 человек;

Найдем вероятность того, что бесплатно пройдут ровно $k=1000$ человек. Сначала вычислим значение аргумента $x$ для функции $\phi(x)$: $x = \frac{1000 - 500}{20} = \frac{500}{20} = 25$. Значение функции $\phi(x)$ при $x=25$ чрезвычайно мало и стремится к нулю. В стандартных таблицах для $x>5$ значение $\phi(x)$ принимается равным 0. Тогда вероятность: $P_{2500}(1000) \approx \frac{1}{20} \phi(25) \approx 0.05 \cdot 0 = 0$. С точностью до четвертого знака после запятой, вероятность равна $0.0000$.

Ответ: $0.0000$.

б) 500 человек;

Найдем вероятность того, что бесплатно пройдут ровно $k=500$ человек. Вычислим значение $x$: $x = \frac{500 - 500}{20} = \frac{0}{20} = 0$. Из таблицы значений функции Гаусса находим: $\phi(0) \approx 0.3989$. Вычисляем вероятность: $P_{2500}(500) \approx \frac{1}{20} \phi(0) \approx 0.05 \cdot 0.3989 = 0.019945$. Округляя до четвертого знака после запятой, получаем $0.0199$.

Ответ: $0.0199$.

в) 450 человек;

Найдем вероятность того, что бесплатно пройдут ровно $k=450$ человек. Вычислим значение $x$: $x = \frac{450 - 500}{20} = \frac{-50}{20} = -2.5$. Функция $\phi(x)$ является четной, то есть $\phi(-x) = \phi(x)$. Следовательно, $\phi(-2.5) = \phi(2.5)$. Из таблицы значений находим: $\phi(2.5) \approx 0.0175$. Вычисляем вероятность: $P_{2500}(450) \approx \frac{1}{20} \phi(-2.5) \approx 0.05 \cdot 0.0175 = 0.000875$. Округляя до четвертого знака после запятой, получаем $0.0009$.

Ответ: $0.0009$.

г) 510 человек;

Найдем вероятность того, что бесплатно пройдут ровно $k=510$ человек. Вычислим значение $x$: $x = \frac{510 - 500}{20} = \frac{10}{20} = 0.5$. Из таблицы значений находим: $\phi(0.5) \approx 0.3521$. Вычисляем вероятность: $P_{2500}(510) \approx \frac{1}{20} \phi(0.5) \approx 0.05 \cdot 0.3521 = 0.017605$. Округляя до четвертого знака после запятой, получаем $0.0176$.

Ответ: $0.0176$.