Страница 172, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

27.44. a) $10^{\ln^2 (3x-e)} - 5 \ln (2x + e) = (0,1)^{\ln (2x + e)^5} - 1$

б) $\lg (9^x + 3^x + 1 - 1) - \lg (3^x - 2 \cdot 9^x) = 0.$

а) $10^{\ln^2(3x-e) - 5\ln(2x+e)} = (0,1)^{\ln(2x+e)^5 - 1}$

Первым шагом определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1) $3x-e > 0 \implies 3x > e \implies x > \frac{e}{3}$

2) $2x+e > 0 \implies 2x > -e \implies x > -\frac{e}{2}$

Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x > \frac{e}{3}$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения. Заметим, что $0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$, и используем свойство логарифма $\ln(a^b) = b\ln(a)$:

$(0,1)^{\ln(2x+e)^5 - 1} = (10^{-1})^{5\ln(2x+e) - 1} = 10^{-(5\ln(2x+e) - 1)} = 10^{-5\ln(2x+e) + 1}$

Теперь исходное уравнение можно записать в виде:

$10^{\ln^2(3x-e) - 5\ln(2x+e)} = 10^{-5\ln(2x+e) + 1}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$\ln^2(3x-e) - 5\ln(2x+e) = -5\ln(2x+e) + 1$

Сократим одинаковые члены $-5\ln(2x+e)$ в обеих частях уравнения:

$\ln^2(3x-e) = 1$

Это уравнение распадается на два случая:

1) $\ln(3x-e) = 1$

$3x-e = e^1 \implies 3x = 2e \implies x = \frac{2e}{3}$

2) $\ln(3x-e) = -1$

$3x-e = e^{-1} \implies 3x = e + \frac{1}{e} \implies 3x = \frac{e^2+1}{e} \implies x = \frac{e^2+1}{3e}$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x > \frac{e}{3}$):

Для $x_1 = \frac{2e}{3}$: так как $2 > 1$, то $\frac{2e}{3} > \frac{e}{3}$. Корень подходит.

Для $x_2 = \frac{e^2+1}{3e}$: сравним $\frac{e^2+1}{3e}$ с $\frac{e}{3}$. Это эквивалентно сравнению $\frac{e^2+1}{e}$ с $e$. Умножив на $e > 0$, получим $e^2+1 > e^2$, что является верным неравенством. Следовательно, этот корень также подходит.

Ответ: $x = \frac{2e}{3}$, $x = \frac{e^2+1}{3e}$.

б) $\lg(9^x + 3^{x+1} - 1) - \lg(3^x - 2 \cdot 9^x) = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительны:

1) $9^x + 3^{x+1} - 1 > 0 \implies (3^x)^2 + 3 \cdot 3^x - 1 > 0$

2) $3^x - 2 \cdot 9^x > 0 \implies 3^x - 2 \cdot (3^x)^2 > 0$

Сделаем замену $t = 3^x$. Поскольку $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Из второго неравенства: $t - 2t^2 > 0 \implies t(1-2t) > 0$. Так как $t > 0$, то $1-2t > 0 \implies 2t < 1 \implies t < \frac{1}{2}$.

Таким образом, $0 < t < \frac{1}{2}$.

Из первого неравенства: $t^2 + 3t - 1 > 0$. Корни уравнения $t^2 + 3t - 1 = 0$ равны $t = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$. Так как $t>0$, нас интересует только $t > \frac{-3+\sqrt{13}}{2}$.

Объединяя условия на $t$, получаем ОДЗ для $t$: $\frac{\sqrt{13}-3}{2} < t < \frac{1}{2}$.

Теперь решим само уравнение. Перенесем второй логарифм в правую часть:

$\lg(9^x + 3^{x+1} - 1) = \lg(3^x - 2 \cdot 9^x)$

Потенцируя, получаем:

$9^x + 3^{x+1} - 1 = 3^x - 2 \cdot 9^x$

Снова используем замену $t = 3^x$:

$t^2 + 3t - 1 = t - 2t^2$

$3t^2 + 2t - 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} = \frac{-2 \pm 4}{6}$

$t_1 = \frac{-2+4}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{-2-4}{6} = -1$

Поскольку $t = 3^x > 0$, корень $t_2 = -1$ является посторонним. Остается $t_1 = \frac{1}{3}$.

Проверим, удовлетворяет ли $t = \frac{1}{3}$ ОДЗ для $t$: $\frac{\sqrt{13}-3}{2} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$.

Неравенство $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ верно, так как $2 < 3$.

Неравенство $\frac{\sqrt{13}-3}{2} < \frac{1}{3}$ эквивалентно $3(\sqrt{13}-3) < 2 \implies 3\sqrt{13} - 9 < 2 \implies 3\sqrt{13} < 11 \implies 9 \cdot 13 < 121 \implies 117 < 121$, что также верно.

Таким образом, значение $t=\frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.

Производим обратную замену:

$3^x = \frac{1}{3} \implies 3^x = 3^{-1} \implies x = -1$

Ответ: $x = -1$.

ο27.45. а) $\log_{\frac{10}{7}} (\lg (x + 1) - 1)^{-1} = \log_{0.7} (3 \lg (x + 1) - 1) - \log_{0.7} (\lg (x + 1) + 3);$

б) $\log_{\sqrt{3}} (3x - 2\sqrt{3x - 1}) = 2 \log_3 (2\sqrt{3x - 1} + 1).$

a) $\log_{\frac{10}{7}}(\lg(x+1) - 1)^{-1} = \log_{0,7}(3\lg(x+1) - 1) - \log_{0,7}(\lg(x+1) + 3)$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго положительными, а также аргумент десятичного логарифма `lg`.

1. $x + 1 > 0 \implies x > -1$.

2. $\lg(x+1) - 1 > 0 \implies \lg(x+1) > 1 \implies x+1 > 10^1 \implies x > 9$.

3. $3\lg(x+1) - 1 > 0 \implies \lg(x+1) > \frac{1}{3} \implies x+1 > 10^{\frac{1}{3}} \implies x > \sqrt[3]{10} - 1$.

4. $\lg(x+1) + 3 > 0 \implies \lg(x+1) > -3 \implies x+1 > 10^{-3} \implies x > -0,999$.

Объединяя все эти условия, получаем наиболее строгое ограничение для ОДЗ: $x > 9$.

Теперь преобразуем уравнение. Воспользуемся свойствами логарифмов.

Заметим, что основание логарифма в левой части $\frac{10}{7}$ является обратным к основанию $0,7 = \frac{7}{10}$. Используем свойство $\log_{1/b} a = -\log_b a$.

Левая часть уравнения: $\log_{\frac{10}{7}}(\lg(x+1) - 1)^{-1} = \log_{0,7^{-1}}(\lg(x+1) - 1)^{-1}$.

Применяя свойства $\log_{b^k} a = \frac{1}{k}\log_b a$ и $\log_a(M^p) = p\log_a M$, получаем:

$\frac{1}{-1} \log_{0,7}(\lg(x+1) - 1)^{-1} = (-1) \cdot (-1) \log_{0,7}(\lg(x+1) - 1) = \log_{0,7}(\lg(x+1) - 1)$.

В правой части уравнения используем свойство разности логарифмов $\log_a M - \log_a N = \log_a(\frac{M}{N})$:

$\log_{0,7}(3\lg(x+1) - 1) - \log_{0,7}(\lg(x+1) + 3) = \log_{0,7}\left(\frac{3\lg(x+1) - 1}{\lg(x+1) + 3}\right)$.

Теперь уравнение имеет вид:

$\log_{0,7}(\lg(x+1) - 1) = \log_{0,7}\left(\frac{3\lg(x+1) - 1}{\lg(x+1) + 3}\right)$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$\lg(x+1) - 1 = \frac{3\lg(x+1) - 1}{\lg(x+1) + 3}$

Для упрощения введем замену: пусть $t = \lg(x+1)$. Из ОДЗ ($x > 9$) следует, что $t > \lg(9+1) = \lg(10) = 1$.

Уравнение для $t$:

$t - 1 = \frac{3t - 1}{t + 3}$

Так как $t > 1$, знаменатель $t+3$ не равен нулю. Умножим обе части на $(t+3)$:

$(t - 1)(t + 3) = 3t - 1$

$t^2 + 2t - 3 = 3t - 1$

$t^2 - t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета его корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Сравним корни с условием $t > 1$. Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет этому условию, а $t_2 = -1$ — нет.

Выполним обратную замену для $t=2$:

$\lg(x+1) = 2$

$x + 1 = 10^2$

$x + 1 = 100$

$x = 99$

Полученное значение $x=99$ удовлетворяет ОДЗ ($99 > 9$).

Ответ: $x=99$.

б) $\log_{\sqrt{3}}(3x - 2\sqrt{3x-1}) = 2\log_3(2\sqrt{3x-1} + 1)$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $3x - 1 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{3}$.

2. Аргумент первого логарифма должен быть положительным: $3x - 2\sqrt{3x-1} > 0$. Преобразуем это выражение: $3x - 2\sqrt{3x-1} = (3x-1) - 2\sqrt{3x-1} + 1 = (\sqrt{3x-1})^2 - 2\sqrt{3x-1} + 1^2 = (\sqrt{3x-1} - 1)^2$. Неравенство $(\sqrt{3x-1} - 1)^2 > 0$ выполняется, когда $\sqrt{3x-1} - 1 \neq 0$, то есть $\sqrt{3x-1} \neq 1$, что означает $3x-1 \neq 1$, или $x \neq \frac{2}{3}$.

3. Аргумент второго логарифма должен быть положительным: $2\sqrt{3x-1} + 1 > 0$. Так как $\sqrt{3x-1} \ge 0$, это выражение всегда $\ge 1$, поэтому условие выполняется для всех $x$ из первого пункта.

Итоговая ОДЗ: $x \ge \frac{1}{3}$ и $x \neq \frac{2}{3}$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу смены основания $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:

$\log_{\sqrt{3}}(3x - 2\sqrt{3x-1}) = \log_{3^{1/2}}(3x - 2\sqrt{3x-1}) = \frac{1}{1/2}\log_3(3x - 2\sqrt{3x-1}) = 2\log_3(3x - 2\sqrt{3x-1})$.

Уравнение принимает вид:

$2\log_3(3x - 2\sqrt{3x-1}) = 2\log_3(2\sqrt{3x-1} + 1)$

Разделив обе части на 2, получим:

$\log_3(3x - 2\sqrt{3x-1}) = \log_3(2\sqrt{3x-1} + 1)$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$3x - 2\sqrt{3x-1} = 2\sqrt{3x-1} + 1$

$3x - 1 = 4\sqrt{3x-1}$

Сделаем замену $y = \sqrt{3x-1}$. Условие $x \ge \frac{1}{3}$ означает, что $y \ge 0$. Также $y^2 = 3x-1$.

Уравнение для $y$:

$y^2 = 4y$

$y^2 - 4y = 0$

$y(y - 4) = 0$

Отсюда $y_1 = 0$ или $y_2 = 4$. Оба значения неотрицательны.

Производим обратную замену:

1. Если $y = 0$: $\sqrt{3x-1} = 0 \implies 3x - 1 = 0 \implies x_1 = \frac{1}{3}$.

2. Если $y = 4$: $\sqrt{3x-1} = 4 \implies 3x - 1 = 16 \implies 3x = 17 \implies x_2 = \frac{17}{3}$.

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x \ge \frac{1}{3}$ и $x \neq \frac{2}{3}$).

Корень $x_1 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет ОДЗ: $\frac{1}{3} \ge \frac{1}{3}$ и $\frac{1}{3} \neq \frac{2}{3}$.

Корень $x_2 = \frac{17}{3}$ также удовлетворяет ОДЗ: $\frac{17}{3} \ge \frac{1}{3}$ и $\frac{17}{3} \neq \frac{2}{3}$.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $x=\frac{1}{3}; x=\frac{17}{3}$.

27.46. a) $ \log^2 x - 5|\log x| = 0; $

б) $ \ln^2 x - \frac{3 \ln^2 x}{|\ln x|} = 0. $

а) Дано уравнение $\lg^2 x - 5|\lg x| = 0$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, поэтому $x > 0$.

2. Заметим, что $\lg^2 x$ это то же самое, что и $(\lg x)^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа равен квадрату его модуля, мы можем записать $(\lg x)^2 = |\lg x|^2$.

3. Подставим это свойство в исходное уравнение: $|\lg x|^2 - 5|\lg x| = 0$.

4. Введём замену переменной. Пусть $t = |\lg x|$. Так как модуль не может быть отрицательным, то $t \ge 0$. Уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $t$: $t^2 - 5t = 0$.

5. Решим это уравнение. Вынесем $t$ за скобку: $t(t-5) = 0$. Отсюда получаем два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

6. Выполним обратную замену:

• Если $t = 0$, то $|\lg x| = 0$. Это означает, что $\lg x = 0$. Отсюда $x = 10^0 = 1$.
• Если $t = 5$, то $|\lg x| = 5$. Это уравнение распадается на два:
  • $\lg x = 5 \implies x = 10^5 = 100000$.
  • $\lg x = -5 \implies x = 10^{-5} = 0.00001$.

7. Все три найденных значения ($1, 100000, 0.00001$) удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $1; 10^5; 10^{-5}$.

б) Дано уравнение $\ln^2 x - \frac{3 \ln^2 x}{|\ln x|} = 0$.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ).

• Аргумент логарифма должен быть положителен: $x > 0$.
• Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $|\ln x| \ne 0$, что означает $\ln x \ne 0$, а следовательно $x \ne 1$.

Итак, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Вынесем общий множитель $\ln^2 x$ за скобки: $\ln^2 x \left(1 - \frac{3}{|\ln x|}\right) = 0$.

3. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом существует.

4. Рассмотрим два случая:

• Случай 1: $\ln^2 x = 0$. Отсюда $\ln x = 0$, что дает $x = e^0 = 1$. Однако это значение не входит в ОДЗ, так как $x \ne 1$. Следовательно, это не является решением.
• Случай 2: $1 - \frac{3}{|\ln x|} = 0$. Перенесём дробь в правую часть: $1 = \frac{3}{|\ln x|}$. Отсюда следует, что $|\ln x| = 3$. Это уравнение равносильно двум уравнениям:
  • $\ln x = 3 \implies x = e^3$.
  • $\ln x = -3 \implies x = e^{-3}$.

5. Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ. Оба значения $e^3$ и $e^{-3}$ положительны и не равны 1, следовательно, они являются решениями.

Ответ: $e^3; e^{-3}$.

27.47. a) $log^2_{0.5} x - 3|\log_{0.5} x| + \log_{0.5} x = 0;$

б) $lg^2 x - 9|lg x| - lg x = 0.$

а) $\log_{0,5}^2 x - 3|\log_{0,5} x| + \log_{0,5} x = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \log_{0,5} x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 - 3|t| + t = 0$

Рассмотрим два случая, чтобы раскрыть модуль.

Случай 1: $t \ge 0$

В этом случае $|t| = t$. Уравнение становится:

$t^2 - 3t + t = 0$

$t^2 - 2t = 0$

$t(t - 2) = 0$

Отсюда получаем два корня: $t_1 = 0$ и $t_2 = 2$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1) $\log_{0,5} x = 0 \implies x = (0,5)^0 = 1$.

2) $\log_{0,5} x = 2 \implies x = (0,5)^2 = 0,25$.

Случай 2: $t < 0$

В этом случае $|t| = -t$. Уравнение становится:

$t^2 - 3(-t) + t = 0$

$t^2 + 3t + t = 0$

$t^2 + 4t = 0$

$t(t + 4) = 0$

Отсюда получаем два корня: $t_3 = 0$ и $t_4 = -4$. Корень $t_3 = 0$ не удовлетворяет условию $t < 0$. Корень $t_4 = -4$ удовлетворяет этому условию.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$\log_{0,5} x = -4 \implies x = (0,5)^{-4} = (\frac{1}{2})^{-4} = 2^4 = 16$.

Все найденные значения $x$ (1; 0,25; 16) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 0,25, x_2 = 1, x_3 = 16$.

б) $\lg^2 x - 9|\lg x| - \lg x = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \lg x$. Тогда уравнение примет вид:

$y^2 - 9|y| - y = 0$

Рассмотрим два случая, чтобы раскрыть модуль.

Случай 1: $y \ge 0$

В этом случае $|y| = y$. Уравнение становится:

$y^2 - 9y - y = 0$

$y^2 - 10y = 0$

$y(y - 10) = 0$

Отсюда получаем два корня: $y_1 = 0$ и $y_2 = 10$. Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1) $\lg x = 0 \implies x = 10^0 = 1$.

2) $\lg x = 10 \implies x = 10^{10}$.

Случай 2: $y < 0$

В этом случае $|y| = -y$. Уравнение становится:

$y^2 - 9(-y) - y = 0$

$y^2 + 9y - y = 0$

$y^2 + 8y = 0$

$y(y + 8) = 0$

Отсюда получаем два корня: $y_3 = 0$ и $y_4 = -8$. Корень $y_3 = 0$ не удовлетворяет условию $y < 0$. Корень $y_4 = -8$ удовлетворяет этому условию.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$\lg x = -8 \implies x = 10^{-8}$.

Все найденные значения $x$ (1; $10^{10}$; $10^{-8}$) удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = 10^{-8}, x_2 = 1, x_3 = 10^{10}$.

27.48. a) $log_{1/6} (2 \sin x - 1) = log_{1/6} (2 - \sin^2 x);$

б) $log_5 (2 \cos^2 x - 1) = log_5 (-11 \cos x + 5).$

a) $\log_{\frac{1}{6}}(2 \sin x - 1) = \log_{\frac{1}{6}}(2 - \sin^2 x)$

Данное логарифмическое уравнение эквивалентно системе, состоящей из равенства подлогарифмических выражений и условия, что они положительны. Так как выражения равны, достаточно проверить положительность только одного из них.

$ \begin{cases} 2 \sin x - 1 = 2 - \sin^2 x, \\ 2 \sin x - 1 > 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$2 \sin x - 1 = 2 - \sin^2 x$

$\sin^2 x + 2 \sin x - 3 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 + 2t - 3 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$t_1 = 1$

$t_2 = -3$

Возвращаемся к замене:

$\sin x = 1$ или $\sin x = -3$.

Уравнение $\sin x = -3$ не имеет решений, так как область значений синуса $[-1; 1]$.

Остается единственный вариант $\sin x = 1$.

Теперь проверим, удовлетворяет ли это значение второму условию системы (ОДЗ): $2 \sin x - 1 > 0$.

Подставляем $\sin x = 1$: $2(1) - 1 = 1 > 0$.

Условие выполняется. Следовательно, решением исходного уравнения будут все $x$, для которых $\sin x = 1$.

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение $\sin x = 1$:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\log_{5}(2 \cos^2 x - 1) = \log_{5}(-11 \cos x + 5)$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 2 \cos^2 x - 1 = -11 \cos x + 5, \\ -11 \cos x + 5 > 0. \end{cases} $

Решим первое уравнение системы:

$2 \cos^2 x - 1 = -11 \cos x + 5$

$2 \cos^2 x + 11 \cos x - 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 + 11t - 6 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169 = 13^2$

Найдем корни квадратного уравнения:

$t_1 = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 2} = \frac{-24}{4} = -6$

$t_2 = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Возвращаемся к замене:

$\cos x = -6$ или $\cos x = \frac{1}{2}$.

Уравнение $\cos x = -6$ не имеет решений, так как область значений косинуса $[-1; 1]$.

Остается единственный вариант $\cos x = \frac{1}{2}$.

Проверим, удовлетворяет ли это значение второму условию системы (ОДЗ): $-11 \cos x + 5 > 0$.

Подставляем $\cos x = \frac{1}{2}$: $-11 \cdot (\frac{1}{2}) + 5 = -5.5 + 5 = -0.5$.

Неравенство $-0.5 > 0$ является ложным.

Так как единственное возможное значение $\cos x = \frac{1}{2}$ не удовлетворяет области допустимых значений, то исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: $\emptyset$.

27.49. a) $ \log_2 \sin x = \log_2 (-\cos x); $

б) $ \log_3 \cos x = \log_3 (-\sin x). $

а) $\log_2 \sin x = \log_2 (-\cos x)$

Уравнение с логарифмами равносильно системе, состоящей из уравнения, получаемого приравниванием аргументов логарифмов, и неравенств, задающих область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным.

$\begin{cases}\sin x = -\cos x, \\\sin x > 0, \\-\cos x > 0.\end{cases}$

Рассмотрим систему неравенств для нахождения ОДЗ:

$\begin{cases}\sin x > 0 \\\cos x < 0\end{cases}$

Синус положителен в I и II координатных четвертях. Косинус отрицателен во II и III координатных четвертях. Одновременное выполнение этих условий возможно только для углов $x$, находящихся во II координатной четверти. То есть, $\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим уравнение $\sin x = -\cos x$. Поскольку из ОДЗ следует, что $\cos x \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $\cos x$:

$\frac{\sin x}{\cos x} = -1$

$\tan x = -1$

Общее решение этого тригонометрического уравнения:$x = \arctan(-1) + \pi k = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь из найденных решений отберем те, которые удовлетворяют ОДЗ, то есть принадлежат II координатной четверти.Подставим разные целые значения $k$:

• При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$ (IV четверть). Не подходит.
• При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$ (II четверть). Подходит.
• При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$ (IV четверть). Не подходит.

Таким образом, решениями являются только те углы, которые соответствуют значению $\frac{3\pi}{4}$ с периодом $2\pi$.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\log_3 \cos x = \log_3 (-\sin x)$

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases}\cos x = -\sin x, \\\cos x > 0, \\-\sin x > 0.\end{cases}$

Рассмотрим систему неравенств для нахождения ОДЗ:

$\begin{cases}\cos x > 0 \\\sin x < 0\end{cases}$

Косинус положителен в I и IV координатных четвертях. Синус отрицателен в III и IV координатных четвертях. Одновременное выполнение этих условий возможно только для углов $x$, находящихся в IV координатной четверти. То есть, $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим уравнение $\cos x = -\sin x$. Разделим обе части на $\cos x$ (из ОДЗ мы знаем, что $\cos x \neq 0$):

$1 = -\frac{\sin x}{\cos x}$

$\tan x = -1$

Общее решение этого уравнения:$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отберем решения, удовлетворяющие ОДЗ (принадлежащие IV координатной четверти).Подставим разные целые значения $k$:

• При $k=0$, $x = -\frac{\pi}{4}$ (IV четверть). Подходит.
• При $k=1$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi = \frac{3\pi}{4}$ (II четверть). Не подходит.
• При $k=2$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$ (IV четверть, совпадает с $-\frac{\pi}{4}$). Подходит.

Таким образом, решениями являются только те углы, которые соответствуют значению $-\frac{\pi}{4}$ с периодом $2\pi$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

27.50. a) $ \sqrt{x} \sin x \log_2 x = 0; $

б) $ \sqrt{3x + 1} \cos 2x \lg x = 0. $

а) $\sqrt{x} \sin x \log_2 x = 0$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Уравнение содержит три множителя, и для каждого из них должны выполняться свои условия:

• Для $\sqrt{x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
• Для $\log_2 x$ выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x > 0$.

Пересекая эти два условия ($x \ge 0$ и $x > 0$), получаем ОДЗ: $x > 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом определены (то есть значение $x$ входит в ОДЗ).

Рассмотрим три случая:

1. $\sqrt{x} = 0$.
Возведя обе части в квадрат, получаем $x = 0$. Это значение не входит в ОДЗ ($x > 0$), поэтому не является решением исходного уравнения.

2. $\sin x = 0$.
Общее решение этого тригонометрического уравнения: $x = \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Теперь нужно отобрать те корни, которые удовлетворяют условию ОДЗ $x > 0$.
$\pi k > 0 \implies k > 0$.
Поскольку $k$ — целое число, то $k$ может быть любым натуральным числом ($k = 1, 2, 3, \ldots$). Таким образом, решения из этой серии: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{N}$.

3. $\log_2 x = 0$.
По определению логарифма, $x = 2^0$, что дает $x = 1$.
Это значение удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$), следовательно, $x=1$ является решением.

Объединяя все найденные решения, удовлетворяющие ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = 1; x = \pi k, k \in \mathbb{N}$.

б) $\sqrt{3x+1} \cos 2x \lg x = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения:

• Для $\sqrt{3x+1}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3}$.
• Для десятичного логарифма $\lg x$ (то есть $\log_{10} x$) его аргумент должен быть строго положительным: $x > 0$.

Пересечение этих условий ($x \ge -\frac{1}{3}$ и $x > 0$) дает итоговую ОДЗ: $x > 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю, чтобы найти возможные корни уравнения.

1. $\sqrt{3x+1} = 0$.
$3x+1 = 0 \implies 3x = -1 \implies x = -\frac{1}{3}$.
Этот корень не входит в ОДЗ ($x > 0$), поэтому он не является решением.

2. $\cos 2x = 0$.
Общее решение этого уравнения: $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.
Теперь отберем корни, удовлетворяющие ОДЗ ($x > 0$):
$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} > 0$.
$\frac{\pi}{4}(1 + 2n) > 0$.
Поскольку $\frac{\pi}{4} > 0$, неравенство сводится к $1 + 2n > 0 \implies 2n > -1 \implies n > -0.5$.
Так как $n$ — целое число, это условие выполняется для всех целых неотрицательных чисел $n$ ($n = 0, 1, 2, \ldots$).

3. $\lg x = 0$.
По определению логарифма, $x = 10^0$, что дает $x = 1$.
Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$), значит, это решение.

Соберем все найденные решения, входящие в ОДЗ.

Ответ: $x = 1; x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}, n \ge 0$.

27.51. а) $2^{5x - 1}\left(\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \log_{0,5} (x + 4) = 0;$

б) $(\sin 2x + \cos 2x)(x - 8\sqrt{2x - 15}) = 0.$

а) $2^{5x-1}\left(\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\log_{0,5}(x+4) = 0$

Произведение трех множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл (определены). Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения.

ОДЗ определяется выражением под знаком логарифма, которое должно быть строго положительным:

$x + 4 > 0$

$x > -4$

Теперь рассмотрим три случая, когда один из множителей равен нулю, с учетом ОДЗ.

1. $2^{5x-1} = 0$.

Показательная функция $y=a^z$ (где $a>0, a \ne 1$) всегда принимает строго положительные значения. Следовательно, уравнение $2^{5x-1} = 0$ не имеет решений.

2. $\sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$.

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Решения этого стандартного тригонометрического уравнения имеют вид:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \pi k = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

3. $\log_{0,5}(x+4) = 0$.

По определению логарифма, это уравнение равносильно следующему:

$x + 4 = (0,5)^0$

$x + 4 = 1$

$x = -3$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ ($x > -4$).

Корень $x = -3$ удовлетворяет условию $-3 > -4$, поэтому он является решением исходного уравнения.

Для серии корней $x_k = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$ проверим, при каких целых значениях $k$ выполняется неравенство $x_k > -4$.

• При $k = 0$: $x_0 = \frac{\pi}{3} \approx \frac{3,14}{3} \approx 1,05$. $1,05 > -4$ (верно).
• При $k = 1$: $x_1 = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \approx 2,09$. $2,09 > -4$ (верно).
• При всех $k > 1$, значения $x_k$ будут только увеличиваться и, следовательно, будут больше -4.
• При $k = -1$: $x_{-1} = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3} \approx -4,18$. $-4,18 < -4$ (неверно).
• При всех $k < -1$, значения $x_k$ будут еще меньше и также не будут удовлетворять ОДЗ.

Таким образом, для этой серии решений подходят только те, где $k$ — целое неотрицательное число, то есть $k \ge 0$.

Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x = -3$; $x = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.

б) $(\sin 2x + \cos 2x)(x - 8\sqrt{2x-15}) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом определен. Найдем ОДЗ.

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$2x - 15 \ge 0 \implies 2x \ge 15 \implies x \ge 7,5$

Рассмотрим два случая, приравнивая каждый множитель к нулю.

1. $\sin 2x + \cos 2x = 0$.

Это однородное тригонометрическое уравнение. Если предположить, что $\cos 2x = 0$, то из уравнения следует, что и $\sin 2x = 0$, что невозможно, так как $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Следовательно, $\cos 2x \ne 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\cos 2x$:

$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} + 1 = 0$

$\tan 2x = -1$

$2x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Отберем корни, удовлетворяющие ОДЗ ($x \ge 7,5$):

$-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} \ge 7,5$

$\frac{\pi k}{2} \ge 7,5 + \frac{\pi}{8}$

$\pi k \ge 15 + \frac{\pi}{4}$

$k \ge \frac{15}{\pi} + \frac{1}{4}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, оценим правую часть:

$k \ge \frac{15}{3,14} + 0,25 \approx 4,777 + 0,25 = 5,027$

Так как $k$ — целое число, наименьшее подходящее значение $k=6$. Таким образом, решения из этой серии: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 6$.

2. $x - 8\sqrt{2x-15} = 0$.

$x = 8\sqrt{2x-15}$

Согласно ОДЗ, $x \ge 7,5$, поэтому обе части уравнения неотрицательны. Можем возвести обе части в квадрат:

$x^2 = (8\sqrt{2x-15})^2$

$x^2 = 64(2x-15)$

$x^2 = 128x - 960$

$x^2 - 128x + 960 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-128)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 960 = 16384 - 3840 = 12544$

$\sqrt{D} = \sqrt{12544} = 112$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{128 \pm 112}{2}$

$x_1 = \frac{128 + 112}{2} = \frac{240}{2} = 120$

$x_2 = \frac{128 - 112}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ ($x \ge 7,5$):

• $x_1 = 120$: $120 \ge 7,5$ (верно).
• $x_2 = 8$: $8 \ge 7,5$ (верно).

Оба корня являются решениями.

Объединяя все найденные решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x = 8$; $x = 120$; $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}, k \ge 6$.

27.52. a) $1 + x^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$;

б) $3 - x^2 = 2^{|x|}$.

а) $1 + x^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $y_1 = 1 + x^2$ и $y_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$.

Проанализируем функцию $y_1 = 1 + x^2$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Ее вершина находится в точке $(0, 1)$, что является ее точкой минимума. Следовательно, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $y_1 \ge 1$. Равенство достигается только при $x=0$.

Проанализируем функцию $y_2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{|x|}$. Поскольку основание степени $a = \frac{1}{2}$ находится в интервале $0 < a < 1$, а показатель степени $|x| \ge 0$, то функция является убывающей для $x>0$ и возрастающей для $x<0$ (симметричной относительно оси OY). Максимальное значение функция принимает при $|x|=0$, то есть при $x=0$. Это значение равно $y_2(0) = \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 1$. Таким образом, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $y_2 \le 1$. Равенство достигается только при $x=0$.

Исходное уравнение $y_1 = y_2$ может иметь решение только в том случае, если обе части одновременно равны. Исходя из анализа функций, это возможно только если $y_1 = y_2 = 1$.

Условие $y_1 = 1$ выполняется при $1 + x^2 = 1$, откуда $x^2 = 0$, то есть $x=0$.

Условие $y_2 = 1$ выполняется при $\left(\frac{1}{2}\right)^{|x|} = 1$, откуда $|x| = 0$, то есть $x=0$.

Поскольку обе части уравнения равны 1 при одном и том же значении $x=0$, это и является единственным решением уравнения.

Ответ: $x=0$.

б) $3 - x^2 = 2^{|x|}$

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: $y_1 = 3 - x^2$ и $y_2 = 2^{|x|}$.

Заметим, что обе функции являются четными, так как $y_1(-x) = 3 - (-x)^2 = 3 - x^2 = y_1(x)$ и $y_2(-x) = 2^{|-x|} = 2^{|x|} = y_2(x)$. Это означает, что если $x_0$ является корнем уравнения, то и $-x_0$ также является корнем. Поэтому достаточно найти неотрицательные корни ($x \ge 0$), а затем добавить к ним симметричные отрицательные.

Для $x \ge 0$ уравнение принимает вид: $3 - x^2 = 2^x$.

Рассмотрим поведение функций для $x \ge 0$.

Функция $f(x) = 3 - x^2$ является убывающей на промежутке $[0, +\infty)$.

Функция $g(x) = 2^x$ является возрастающей на всей числовой оси, в том числе и на $[0, +\infty)$.

Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Найдем корень подбором.

Проверим $x=1$:
Левая часть: $3 - 1^2 = 2$.
Правая часть: $2^1 = 2$.
Поскольку $2 = 2$, то $x=1$ является корнем уравнения.

Так как для $x \ge 0$ существует не более одного корня, то $x=1$ — единственный неотрицательный корень.

В силу четности исходных функций, если $x=1$ является корнем, то и $x=-1$ также является корнем. Проверим это:
Левая часть: $3 - (-1)^2 = 3 - 1 = 2$.
Правая часть: $2^{|-1|} = 2^1 = 2$.
Равенство выполняется.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $x = -1; x = 1$.

○27.53. a) $2 - x - \sqrt[5]{x} = 0;$

б) $\log_5 x - 1 + (x - 5)^3 = 0.$

a) Рассмотрим уравнение $2 - x - \sqrt[5]{x} = 0$. Область определения данного уравнения — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$), так как корень пятой степени определен для любого числа. Рассмотрим функцию $f(x) = 2 - x - \sqrt[5]{x}$. Нам нужно найти нули этой функции. Для этого исследуем её на монотонность с помощью производной: $f'(x) = (2 - x - x^{1/5})' = -1 - \frac{1}{5}x^{-4/5} = -1 - \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$. Поскольку $x^4 \ge 0$ для любого $x$, то и $\sqrt[5]{x^4} \ge 0$. Знаменатель $5\sqrt[5]{x^4}$ положителен для всех $x \neq 0$. Следовательно, выражение $\frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$ является положительным для всех $x \neq 0$. Таким образом, производная $f'(x) = -1 - (\text{положительное число})$ всегда отрицательна ($f'(x) < 0$) для всех $x$ из области определения, кроме $x=0$ (где она не определена). Это означает, что функция $f(x)$ является строго убывающей на всей своей области определения $(-\infty, \infty)$. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс не более одного раза, следовательно, уравнение $f(x)=0$ имеет не более одного корня. Найдем этот корень методом подбора. Проверим целое значение $x=1$: $2 - 1 - \sqrt[5]{1} = 2 - 1 - 1 = 0$. Равенство выполняется, значит $x=1$ является корнем уравнения. Поскольку мы доказали, что корень может быть только один, то $x=1$ является единственным решением.
Ответ: $1$.

б) Рассмотрим уравнение $\log_5 x - 1 + (x - 5)^3 = 0$. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным, поэтому $x > 0$. Рассмотрим функцию $f(x) = \log_5 x - 1 + (x - 5)^3$ на её области определения $x \in (0, \infty)$. Для определения количества решений исследуем функцию на монотонность с помощью производной: $f'(x) = (\log_5 x - 1 + (x - 5)^3)' = (\log_5 x)' + ((x-5)^3)' - (1)'$. Производная логарифма: $(\log_5 x)' = \frac{1}{x \ln 5}$. Производная степенной функции: $((x-5)^3)' = 3(x-5)^2 \cdot (x-5)' = 3(x-5)^2$. Таким образом, $f'(x) = \frac{1}{x \ln 5} + 3(x-5)^2$. На ОДЗ ($x > 0$) имеем: 1. $\frac{1}{x \ln 5} > 0$, так как $x > 0$ и $\ln 5 > 0$. 2. $3(x-5)^2 \ge 0$, так как квадрат любого числа неотрицателен. Равенство нулю достигается только при $x=5$. Сумма строго положительного и неотрицательного слагаемых всегда строго положительна. Следовательно, $f'(x) > 0$ для всех $x$ из области определения. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения. Строго возрастающая функция может иметь не более одного корня. Найдем этот корень методом подбора. Наличие слагаемого $(x-5)^3$ подсказывает проверить значение $x=5$. Подставим $x=5$ в исходное уравнение: $\log_5 5 - 1 + (5 - 5)^3 = 1 - 1 + 0^3 = 0$. Равенство верное, значит $x=5$ является корнем уравнения. Так как решение единственное, то $x=5$ — единственный корень.
Ответ: $5$.

27.54. a) $\sin \frac{5\pi}{4} x = x^2 - 4x + 5; $

б) $ - \cos 7\pi x = x^2 - 6x + 10. $

a) $\sin\frac{5\pi}{4}x = x^2 - 4x + 5$

Для решения этого уравнения применим метод оценки значений левой и правой частей.

1. Оценим левую часть: $f(x) = \sin\frac{5\pi}{4}x$. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$, следовательно, $\sin\frac{5\pi}{4}x \le 1$.

2. Оценим правую часть: $g(x) = x^2 - 4x + 5$. Это квадратичная функция. Выделим полный квадрат, чтобы найти её наименьшее значение: $x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x-2)^2 + 1$. Так как $(x-2)^2 \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение правой части равно $1$. Таким образом, $x^2 - 4x + 5 \ge 1$.

Равенство в исходном уравнении возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $1$. Это условие эквивалентно системе уравнений:

$\begin{cases} \sin\frac{5\pi}{4}x = 1 \\ x^2 - 4x + 5 = 1 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы: $x^2 - 4x + 4 = 0$, что равносильно $(x-2)^2 = 0$. Отсюда получаем единственный корень $x=2$.

Подставим найденное значение $x=2$ в первое уравнение системы, чтобы проверить его истинность:

$\sin(\frac{5\pi}{4} \cdot 2) = \sin(\frac{10\pi}{4}) = \sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Равенство $1=1$ выполняется. Следовательно, $x=2$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $2$.

б) $-\cos(7\pi x) = x^2 - 6x + 10$

Воспользуемся методом оценки, как и в предыдущем задании.

1. Оценим левую часть: $f(x) = -\cos(7\pi x)$. Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$, значит $-1 \le \cos(7\pi x) \le 1$. Умножив на $-1$, получаем $-1 \le -\cos(7\pi x) \le 1$.

2. Оценим правую часть: $g(x) = x^2 - 6x + 10$. Выделим полный квадрат: $x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x-3)^2 + 1$. Так как $(x-3)^2 \ge 0$, наименьшее значение правой части равно $1$. Таким образом, $x^2 - 6x + 10 \ge 1$.

Из оценок следует, что равенство может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны $1$, так как $f(x) \le 1$, а $g(x) \ge 1$. Составим систему:

$\begin{cases} -\cos(7\pi x) = 1 \\ x^2 - 6x + 10 = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения $x^2 - 6x + 9 = 0$, или $(x-3)^2=0$, находим $x=3$.

Проверим это значение, подставив его в первое уравнение системы: $-\cos(7\pi \cdot 3) = 1$.

Вычислим $\cos(21\pi) = \cos(\pi + 20\pi) = \cos(\pi) = -1$.

Тогда первое уравнение принимает вид $-(-1)=1$, или $1=1$, что является верным равенством. Значит, $x=3$ — единственный корень.

Ответ: $3$.