Страница 179, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

28.46. a) $( \frac{1}{7} )^{5 - 2x} > 7^{-2x + 11};$

б) $0,3^{\sqrt{5x - 1} - 2} \le 1;$

В) $(3^{-1})^{\sin x - \cos 2x} < 3^{\cos 2x - 0,5};$

Г) $10^{\ln (x - 2)} \cdot 0,1 \ge (10^{-1})^{\ln (x + 2)}.$

а) $(\frac{1}{7})^{5-2x} > 7^{-2x+11}$

Приведем обе части неравенства к основанию 7. Так как $\frac{1}{7} = 7^{-1}$, левую часть можно переписать:

$(7^{-1})^{5-2x} > 7^{-2x+11}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$7^{-1(5-2x)} > 7^{-2x+11}$

$7^{-5+2x} > 7^{-2x+11}$

Так как основание степени $7 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$-5+2x > -2x+11$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$2x+2x > 11+5$

$4x > 16$

$x > 4$

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

б) $0,3^{\sqrt{5x-1}-2} \le 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$5x-1 \ge 0$

$5x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{5}$

Теперь решим само неравенство. Представим 1 как $0,3^0$:

$0,3^{\sqrt{5x-1}-2} \le 0,3^0$

Так как основание степени $0,3 < 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства меняется на противоположный:

$\sqrt{5x-1}-2 \ge 0$

$\sqrt{5x-1} \ge 2$

Обе части неравенства неотрицательны, поэтому можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$5x-1 \ge 4$

$5x \ge 5$

$x \ge 1$

Совмещая полученное решение с ОДЗ ($x \ge \frac{1}{5}$), получаем итоговый результат.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

в) $(3^{-1})^{\sin x - \cos 2x} < 3^{\cos 2x - 0,5}$

Упростим левую часть неравенства:

$3^{-(\sin x - \cos 2x)} < 3^{\cos 2x - 0,5}$

$3^{-\sin x + \cos 2x} < 3^{\cos 2x - 0,5}$

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степени знак неравенства сохраняется:

$-\sin x + \cos 2x < \cos 2x - 0,5$

Вычтем $\cos 2x$ из обеих частей:

$-\sin x < -0,5$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$\sin x > 0,5$

Решением этого тригонометрического неравенства является интервал, концы которого находятся из уравнения $\sin x = 0,5$. Корни этого уравнения: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, решение неравенства $\sin x > 0,5$ имеет вид:

$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

г) $10^{\ln(x-2)} \cdot 0,1 \ge (10^{-1})^{\ln(x+2)}$

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x-2 > 0 \\ x+2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > -2 \end{cases} \implies x > 2$

Преобразуем неравенство. Представим $0,1$ как $10^{-1}$:

$10^{\ln(x-2)} \cdot 10^{-1} \ge 10^{-\ln(x+2)}$

Используя свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$10^{\ln(x-2) - 1} \ge 10^{-\ln(x+2)}$

Так как основание степени $10 > 1$, то знак неравенства для показателей сохраняется:

$\ln(x-2) - 1 \ge -\ln(x+2)$

$\ln(x-2) + \ln(x+2) \ge 1$

Используя свойство логарифмов $\ln a + \ln b = \ln(ab)$, получаем:

$\ln((x-2)(x+2)) \ge 1$

$\ln(x^2-4) \ge 1$

Представим 1 как $\ln e$:

$\ln(x^2-4) \ge \ln e$

Так как функция $y = \ln t$ возрастающая, то:

$x^2-4 \ge e$

$x^2 \ge e+4$

Это неравенство равносильно совокупности $x \ge \sqrt{e+4}$ или $x \le -\sqrt{e+4}$.

Учитывая ОДЗ ($x > 2$), отбрасываем решение $x \le -\sqrt{e+4}$, так как $\sqrt{e+4} > \sqrt{4} = 2$, и значит $-\sqrt{e+4} < -2$.

Остается решение $x \ge \sqrt{e+4}$. Это решение удовлетворяет ОДЗ, так как $\sqrt{e+4} > 2$.

Ответ: $x \in [\sqrt{e+4}; +\infty)$.

28.47. a) $lg (0,2^x - 5) < log_{0,1} (95 - 3 \cdot 0,2^x)^{-1}$;

б) $log_{0,1} (3\sqrt{3x+1} - 2) > 0,25 \cdot log_{0,1} \sqrt{3x+1} \cdot lg (0,1^{-8})$.

а) $\lg(0,2^x - 5) < \log_{0,1}(95 - 3 \cdot 0,2^x)^{-1}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases} 0,2^x - 5 > 0 \\ (95 - 3 \cdot 0,2^x)^{-1} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0,2^x > 5 \\ 95 - 3 \cdot 0,2^x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0,2^x > 5 \\ 95 > 3 \cdot 0,2^x \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 0,2^x > 5 \\ 0,2^x < \frac{95}{3} \end{cases}$

Преобразуем правую часть неравенства, используя свойства логарифмов: $\log_{0,1} y = \log_{10^{-1}} y = -\lg y$ и $\log_a b^p = p \log_a b$.

$\log_{0,1}(95 - 3 \cdot 0,2^x)^{-1} = -1 \cdot \log_{0,1}(95 - 3 \cdot 0,2^x) = -1 \cdot (-\lg(95 - 3 \cdot 0,2^x)) = \lg(95 - 3 \cdot 0,2^x)$.

Исходное неравенство принимает вид:

$\lg(0,2^x - 5) < \lg(95 - 3 \cdot 0,2^x)$

Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, функция $y = \lg t$ является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для аргументов, сохранив знак неравенства:

$0,2^x - 5 < 95 - 3 \cdot 0,2^x$

Введем замену $t = 0,2^x$. С учетом ОДЗ, $5 < t < \frac{95}{3}$.

Неравенство для $t$:

$t - 5 < 95 - 3t$

$4t < 100$

$t < 25$

Объединим полученное решение с ОДЗ для $t$:

$\begin{cases} t < 25 \\ 5 < t < \frac{95}{3} \end{cases}$

Так как $\frac{95}{3} = 31\frac{2}{3} > 25$, то решением системы является $5 < t < 25$.

Вернемся к переменной $x$:

$5 < 0,2^x < 25$

Представим числа в виде степеней с основанием 5, учитывая, что $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$:

$5^1 < (5^{-1})^x < 5^2$

$5^1 < 5^{-x} < 5^2$

Так как основание степени $5 > 1$, функция $y = 5^z$ возрастающая. Переходим к неравенству для показателей степеней:

$1 < -x < 2$

Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$-1 > x > -2$

Что эквивалентно $-2 < x < -1$.

Ответ: $x \in (-2; -1)$.

б) $\log_{0,1}(3\sqrt{3x+1} - 2) > 0,25 \cdot \log_{0,1}\sqrt{3x+1} \cdot \lg(0,1^{-8})$

Сначала упростим правую часть неравенства. Вычислим $\lg(0,1^{-8})$:

$\lg(0,1^{-8}) = \lg((10^{-1})^{-8}) = \lg(10^8) = 8 \cdot \lg 10 = 8 \cdot 1 = 8$.

Теперь правая часть выглядит так:

$0,25 \cdot \log_{0,1}\sqrt{3x+1} \cdot 8 = 2 \cdot \log_{0,1}\sqrt{3x+1} = \log_{0,1}(\sqrt{3x+1})^2 = \log_{0,1}(3x+1)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{0,1}(3\sqrt{3x+1} - 2) > \log_{0,1}(3x+1)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x+1 \ge 0 & \text{(подкоренное выражение)} \\ 3\sqrt{3x+1} - 2 > 0 & \text{(аргумент первого логарифма)} \\ 3x+1 > 0 & \text{(аргумент второго логарифма)} \end{cases}$

Из второго неравенства: $3\sqrt{3x+1} > 2 \Rightarrow \sqrt{3x+1} > \frac{2}{3}$. Возведя в квадрат обе части, получаем $3x+1 > \frac{4}{9}$, откуда $3x > -\frac{5}{9}$, то есть $x > -\frac{5}{27}$. Это условие является самым сильным и включает в себя остальные ($x > -\frac{1}{3}$). Итак, ОДЗ: $x > -\frac{5}{27}$.

Так как основание логарифма $0,1 < 1$, функция $y = \log_{0,1}t$ является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$3\sqrt{3x+1} - 2 < 3x+1$

Введем замену $y = \sqrt{3x+1}$. Из ОДЗ ($x > -\frac{5}{27}$) следует, что $\sqrt{3x+1} > \frac{2}{3}$, то есть $y > \frac{2}{3}$.

Также имеем $y^2 = 3x+1$. Неравенство для $y$:

$3y - 2 < y^2$

$y^2 - 3y + 2 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $y^2 - 3y + 2 = 0$. По теореме Виета, $y_1=1$, $y_2=2$.

Решением неравенства $y^2 - 3y + 2 > 0$ является $y \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.

Учитывая ограничение $y > \frac{2}{3}$, получаем два промежутка для $y$:

$\frac{2}{3} < y < 1$ или $y > 2$.

Вернемся к переменной $x$:

1) $\frac{2}{3} < \sqrt{3x+1} < 1$. Возводим в квадрат:

$\frac{4}{9} < 3x+1 < 1$

$\frac{4}{9} - 1 < 3x < 1 - 1$

$-\frac{5}{9} < 3x < 0$

$-\frac{5}{27} < x < 0$

2) $\sqrt{3x+1} > 2$. Возводим в квадрат:

$3x+1 > 4$

$3x > 3$

$x > 1$

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{27}; 0) \cup (1; +\infty)$.

28.48. а) $\sqrt[3]{3^{2-x} - 13} < \sqrt[3]{\left(\frac{1}{3}\right)^x} + 11;$

б) $\sqrt[7]{2 \ln^2 x - 3 \ln x + 5} > \sqrt[7]{6 - 4 \ln x}.$

а) Исходное неравенство:

$\sqrt[3]{3^{2-x} - 13} < \sqrt[3]{(\frac{1}{3})^x + 11}$

Так как функция $f(t) = \sqrt[3]{t}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, мы можем возвести обе части неравенства в третью степень, сохранив знак неравенства:

$3^{2-x} - 13 < (\frac{1}{3})^x + 11$

Преобразуем степени с основанием 3:

$3^2 \cdot 3^{-x} - 13 < (3^{-1})^x + 11$

$9 \cdot 3^{-x} - 13 < 3^{-x} + 11$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = 3^{-x}$. Поскольку показательная функция всегда принимает положительные значения, $y > 0$.

$9y - 13 < y + 11$

Теперь решим полученное линейное неравенство относительно $y$:

$9y - y < 11 + 13$

$8y < 24$

$y < 3$

Учитывая условие $y > 0$, получаем систему неравенств:

$\begin{cases} y < 3 \\ y > 0 \end{cases}$

Таким образом, $0 < y < 3$.

Вернемся к исходной переменной $x$, подставив $y = 3^{-x}$:

$0 < 3^{-x} < 3$

Неравенство $3^{-x} > 0$ выполняется для любого действительного $x$.

Решим вторую часть неравенства: $3^{-x} < 3$.

$3^{-x} < 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, функция $f(t) = 3^t$ является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$-x < 1$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x > -1$

Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

б) Исходное неравенство:

$\sqrt[7]{2 \ln^2 x - 3 \ln x + 5} > \sqrt[7]{6 - 4 \ln x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования натурального логарифма: $x > 0$.

Функция $f(t) = \sqrt[7]{t}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Поэтому мы можем возвести обе части неравенства в седьмую степень, сохранив знак неравенства:

$2 \ln^2 x - 3 \ln x + 5 > 6 - 4 \ln x$

Перенесем все члены в левую часть:

$2 \ln^2 x - 3 \ln x + 4 \ln x + 5 - 6 > 0$

$2 \ln^2 x + \ln x - 1 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \ln x$. Тогда неравенство принимает вид:

$2t^2 + t - 1 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $2t^2 + t - 1 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1$

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Парабола $y=2t^2 + t - 1$ направлена ветвями вверх (так как коэффициент при $t^2$ положителен), поэтому неравенство $2t^2 + t - 1 > 0$ выполняется при значениях $t$, находящихся вне интервала между корнями.

Таким образом, $t < -1$ или $t > \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к переменной $x$:

1) $\ln x < -1$

$x < e^{-1}$

$x < \frac{1}{e}$

2) $\ln x > \frac{1}{2}$

$x > e^{1/2}$

$x > \sqrt{e}$

Объединим полученные решения с ОДЗ ($x > 0$):

Из первого случая получаем $0 < x < \frac{1}{e}$.

Второй случай $x > \sqrt{e}$ уже удовлетворяет ОДЗ, так как $\sqrt{e} > 0$.

Итоговое решение является объединением этих двух интервалов.

Ответ: $x \in (0; \frac{1}{e}) \cup (\sqrt{e}; +\infty)$.

28.49. a) $\log_x (21 - 4x) > 2;$

б) $\log_{2x - 3} (x^2 - 10x + 9) \leq 2.$

а) $\log_x (21 - 4x) > 2$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $x$ должно быть положительным и не равным единице, а аргумент $21 - 4x$ должен быть строго положительным. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} 21 - 4x > 0 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 4x < 21 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 5.25 \\ x > 0 \\ x \ne 1 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 5.25)$.

Решение неравенства зависит от значения основания $x$. Рассмотрим два случая, на которые ОДЗ делит область определения.

Случай 1: $x > 1$.

При основании, большем единицы ($x > 1$), логарифмическая функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется:

$21 - 4x > x^2$

$x^2 + 4x - 21 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант, корни $x_1 = -7$ и $x_2 = 3$. Так как ветви параболы $y = x^2 + 4x - 21$ направлены вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (-7, 3)$.

Учитывая условие этого случая ($x > 1$), получаем решение $x \in (1, 3)$. Этот интервал полностью удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: $0 < x < 1$.

При основании от нуля до единицы ($0 < x < 1$), логарифмическая функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$21 - 4x < x^2$

$x^2 + 4x - 21 > 0$

Это неравенство выполняется вне интервала между корнями $x_1 = -7$ и $x_2 = 3$: $x \in (-\infty, -7) \cup (3, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием этого случая ($0 < x < 1$): $\left( (-\infty, -7) \cup (3, \infty) \right) \cap (0, 1) = \emptyset$. В этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем итоговое решение.

Ответ: $(1, 3)$.

б) $\log_{2x - 3} (x^2 - 10x + 9) \le 2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Основание логарифма $2x-3$ должно быть положительным и не равным единице, а аргумент $x^2 - 10x + 9$ должен быть строго положительным.

Запишем систему неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 10x + 9 > 0 \\ 2x - 3 > 0 \\ 2x - 3 \ne 1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство отдельно:

1) $x^2 - 10x + 9 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 10x + 9 = 0$ это $x_1 = 1$ и $x_2 = 9$. Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство верно при $x \in (-\infty, 1) \cup (9, \infty)$.

2) $2x - 3 > 0 \Rightarrow 2x > 3 \Rightarrow x > 1.5$.

3) $2x - 3 \ne 1 \Rightarrow 2x \ne 4 \Rightarrow x \ne 2$.

Найдем пересечение всех трех условий. Из $x > 1.5$ и $x \in (-\infty, 1) \cup (9, \infty)$ следует, что $x > 9$. Условие $x \ne 2$ при этом выполняется автоматически. Таким образом, ОДЗ: $x \in (9, \infty)$.

Рассмотрим основание логарифма $2x - 3$ на ОДЗ. Если $x > 9$, то $2x > 18$, и $2x - 3 > 15$. Следовательно, на всей области допустимых значений основание логарифма больше 1.

Так как основание $2x - 3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При потенцировании знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 10x + 9 \le (2x - 3)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 10x + 9 \le 4x^2 - 12x + 9$

$0 \le 3x^2 - 2x$

$x(3x - 2) \ge 0$

Корни $x = 0$ и $x = \frac{2}{3}$. Ветви параболы $y = 3x^2 - 2x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{2}{3}, \infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x \in (9, \infty)$):

$\left( (-\infty, 0] \cup [\frac{2}{3}, \infty) \right) \cap (9, \infty) = (9, \infty)$.

Ответ: $(9, \infty)$.

28.50. $log_{x+2} (x^2 - 4x + 1) > log_{\frac{3x-5}{x-6}} 1$

Исходное неравенство:

$$ \log_{x+2}(x^2 - 4x + 1) > \log_{\frac{3x-5}{x-6}}(1) $$

Правая часть неравенства представляет собой логарифм от 1. Логарифм числа 1 по любому допустимому основанию равен 0. Таким образом, неравенство можно упростить:

$$ \log_{x+2}(x^2 - 4x + 1) > 0 $$

Для решения этого неравенства сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ), исходя из исходного неравенства.

ОДЗ

Система ограничений:

$$ \begin{cases} x+2 > 0 & \text{(основание левого логарифма больше 0)} \\ x+2 \neq 1 & \text{(основание левого логарифма не равно 1)} \\ x^2 - 4x + 1 > 0 & \text{(аргумент левого логарифма больше 0)} \\ \frac{3x-5}{x-6} > 0 & \text{(основание правого логарифма больше 0)} \\ \frac{3x-5}{x-6} \neq 1 & \text{(основание правого логарифма не равно 1)} \end{cases} $$

Решим каждое неравенство системы:

1. $x+2 > 0 \implies x > -2$

2. $x+2 \neq 1 \implies x \neq -1$

3. $x^2 - 4x + 1 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 1 = 0$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 16 - 4 = 12$
$x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 2-\sqrt{3}) \cup (2+\sqrt{3}, +\infty)$.

4. $\frac{3x-5}{x-6} > 0$. Решим методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = 5/3$ и $x = 6$.
Метод интервалов дает решение: $x \in (-\infty, 5/3) \cup (6, +\infty)$.

5. $\frac{3x-5}{x-6} \neq 1 \implies 3x-5 \neq x-6 \implies 2x \neq -1 \implies x \neq -1/2$.

Теперь найдем пересечение всех этих условий. Для наглядности расположим ключевые точки на числовой оси: $-2, -1, -1/2, 2-\sqrt{3} \approx 0.27, 5/3 \approx 1.67, 2+\sqrt{3} \approx 3.73, 6$.

Пересечение всех множеств дает итоговую ОДЗ:

$x \in (-2, -1) \cup (-1, -1/2) \cup (-1/2, 2-\sqrt{3}) \cup (6, +\infty)$.

Решение неравенства

Вернемся к упрощенному неравенству $log_{x+2}(x^2 - 4x + 1) > 0$. Представим 0 как $log_{x+2}(1)$:

$$ \log_{x+2}(x^2 - 4x + 1) > \log_{x+2}(1) $$

Решение этого неравенства зависит от значения основания $x+2$. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1

Пусть $x+2 > 1$, то есть $x > -1$. В этом случае логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 4x + 1 > 1$

$x^2 - 4x > 0$

$x(x-4) > 0$

Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с условием $x > -1$ и с ОДЗ.
Условие $x > -1$ и $x \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$ дает $x \in (-1, 0) \cup (4, +\infty)$.
Пересечем этот результат с ОДЗ. Часть ОДЗ, где $x > -1$, это $x \in (-1, -1/2) \cup (-1/2, 2-\sqrt{3}) \cup (6, +\infty)$.
Пересечение $(-1, 0) \cup (4, +\infty)$ и $(-1, -1/2) \cup (-1/2, 2-\sqrt{3}) \cup (6, +\infty)$ дает:
$(-1, -1/2) \cup (-1/2, 0) \cup (6, +\infty)$.

Случай 2: Основание от 0 до 1

Пусть $0 < x+2 < 1$, то есть $-2 < x < -1$. В этом случае логарифмическая функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 4x + 1 < 1$

$x^2 - 4x < 0$

$x(x-4) < 0$

Решением этого неравенства является $x \in (0, 4)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $-2 < x < -1$. Так как интервалы $(0, 4)$ и $(-2, -1)$ не пересекаются, в этом случае решений нет.

Итоговый результат

Объединяя решения из двух случаев, получаем окончательное решение, которое совпадает с решением из первого случая.

Ответ: $x \in (-1, -1/2) \cup (-1/2, 0) \cup (6, +\infty)$.

28.51. $(12x^3 - 16x^2 - 7x + 6)(\log_{\frac{1}{3}}(4 - 2x) + \log_3(x + 2)) > 0.$

Решим данное неравенство, используя метод интервалов. Неравенство имеет вид $f(x) \cdot g(x) > 0$, где $f(x) = 12x^3 - 16x^2 - 7x + 6$ и $g(x) = \log_{\frac{1}{3}}(4-2x) + \log_3(x+2)$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

Найдём ОДЗ, исходя из того, что выражения под знаками логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 4 - 2x > 0 \\ x + 2 > 0\end{cases}$

Решая систему, получаем:

$\begin{cases} 4 > 2x \\ x > -2\end{cases}\implies\begin{cases} x < 2 \\ x > -2\end{cases}$

Таким образом, ОДЗ неравенства: $x \in (-2; 2)$.

2. Анализ сомножителей

Рассмотрим каждый сомножитель отдельно и найдём его нули.

Первый сомножитель: $f(x) = 12x^3 - 16x^2 - 7x + 6$

Найдём корни уравнения $12x^3 - 16x^2 - 7x + 6 = 0$. Попробуем найти рациональные корни среди делителей свободного члена, делённых на делители старшего коэффициента. Подходит корень $x = \frac{1}{2}$:

$12(\frac{1}{2})^3 - 16(\frac{1}{2})^2 - 7(\frac{1}{2}) + 6 = 12 \cdot \frac{1}{8} - 16 \cdot \frac{1}{4} - \frac{7}{2} + 6 = \frac{3}{2} - 4 - \frac{7}{2} + 6 = \frac{3-7}{2} + 2 = -2 + 2 = 0$.

Разделим многочлен на $(2x-1)$:

$(12x^3 - 16x^2 - 7x + 6) \div (2x - 1) = 6x^2 - 5x - 6$.

Найдём корни квадратного уравнения $6x^2 - 5x - 6 = 0$ через дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{5 \pm 13}{12}$.

Получаем два корня: $x_1 = \frac{5+13}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ и $x_2 = \frac{5-13}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3}$.

Нули первого сомножителя: $x = -\frac{2}{3}$, $x = \frac{1}{2}$, $x = \frac{3}{2}$. Все эти корни входят в ОДЗ.

Второй сомножитель: $g(x) = \log_{\frac{1}{3}}(4-2x) + \log_3(x+2)$

Упростим выражение, приведя логарифмы к одному основанию 3:

$\log_{\frac{1}{3}}(4-2x) = \log_{3^{-1}}(4-2x) = -1 \cdot \log_3(4-2x) = -\log_3(4-2x)$.

Тогда $g(x) = \log_3(x+2) - \log_3(4-2x) = \log_3\left(\frac{x+2}{4-2x}\right)$.

Найдём нули второго сомножителя:

$\log_3\left(\frac{x+2}{4-2x}\right) = 0$

$\frac{x+2}{4-2x} = 3^0 = 1$

$x+2 = 4-2x$

$3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.

Нуль второго сомножителя: $x = \frac{2}{3}$. Этот корень также входит в ОДЗ.

3. Решение методом интервалов

Нанесём на числовую ось точки, в которых сомножители обращаются в ноль: $-\frac{2}{3}$, $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{2}$. Эти точки разбивают ОДЗ $(-2; 2)$ на следующие интервалы: $(-2; -\frac{2}{3})$, $(-\frac{2}{3}; \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; \frac{3}{2})$, $(\frac{3}{2}; 2)$.

Определим знаки сомножителей $f(x)$ и $g(x)$ на каждом интервале.

Произведение $f(x) \cdot g(x)$ больше нуля там, где знаки сомножителей совпадают (оба положительны или оба отрицательны). Согласно таблице, это происходит на интервалах $(-2; -\frac{2}{3})$, $(\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$ и $(\frac{3}{2}; 2)$.

Объединение этих интервалов и является решением исходного неравенства.

Ответ: $x \in (-2; -\frac{2}{3}) \cup (\frac{1}{2}; \frac{2}{3}) \cup (\frac{3}{2}; 2)$.

28.52. $\log_8 \log_9 \log_{7x+6} (((7x+6)^9 + x^2 - x - 56)) > 0.$

Дано логарифмическое неравенство:

$$ \log_{8} \log_{9} \log_{7x+6} ((7x+6)^9 + x^2 - x - 56) > 0 $$

Поскольку основание внешнего логарифма $8 > 1$, неравенство равносильно тому, что его аргумент больше $8^0=1$:

$$ \log_{9} \log_{7x+6} ((7x+6)^9 + x^2 - x - 56) > 1 $$

Аналогично, так как основание второго логарифма $9 > 1$, переходим к неравенству, в котором аргумент больше $9^1=9$:

$$ \log_{7x+6} ((7x+6)^9 + x^2 - x - 56) > 9 $$

Теперь мы имеем дело с логарифмом с переменным основанием. Решение этого неравенства зависит от значения основания $7x+6$. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ): основание должно быть больше нуля и не равно единице ($7x+6 > 0$ и $7x+6 \ne 1$), а аргумент логарифма должен быть строго положителен ($(7x+6)^9 + x^2 - x - 56 > 0$).

Разобьем решение на два случая.

Случай 1: Основание больше 1

Пусть $7x+6 > 1$, что равносильно $7x > -5$, или $x > -5/7$.

При потенцировании знак неравенства сохраняется:

$$ (7x+6)^9 + x^2 - x - 56 > (7x+6)^9 $$

Упрощая, получаем квадратное неравенство:

$$ x^2 - x - 56 > 0 $$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 56 = 0$. Используя формулу для корней квадратного уравнения, получаем: $x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-56)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 224}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{225}}{2} = \frac{1 \pm 15}{2}$. Корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -7$.

Решением неравенства $(x-8)(x+7) > 0$ является объединение интервалов $(-\infty, -7) \cup (8, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x > -5/7$. Получаем $x \in (8, \infty)$.

На этом интервале ОДЗ для аргумента ($(7x+6)^9 + x^2 - x - 56 > 0$) выполняется, так как $x^2 - x - 56 > 0$ и $7x+6 > 1$, следовательно $(7x+6)^9 > 1$, и их сумма положительна. Таким образом, решение в первом случае: $x > 8$.

Случай 2: Основание от 0 до 1

Пусть $0 < 7x+6 < 1$, что равносильно $-6 < 7x < -5$, или $-6/7 < x < -5/7$.

При потенцировании знак неравенства меняется на противоположный. Кроме того, по определению логарифма, его аргумент должен быть положителен.

$$ 0 < (7x+6)^9 + x^2 - x - 56 < (7x+6)^9 $$

Это двойное неравенство эквивалентно системе:

1) $x^2 - x - 56 < 0 \implies -7 < x < 8$.

2) $(7x+6)^9 + x^2 - x - 56 > 0$.

Пересекая решение первого неравенства $(-7, 8)$ с условием данного случая $(-6/7, -5/7)$, получаем интервал $x \in (-6/7, -5/7)$.

Теперь проверим, выполняется ли на этом интервале второе неравенство. Для $x \in (-6/7, -5/7)$ имеем $0 < 7x+6 < 1$, так что $0 < (7x+6)^9 < 1$. Выражение $f(x)=x^2 - x - 56$ на этом интервале отрицательно, так как, например, $f(-5/7) = (-5/7)^2 - (-5/7) - 56 = 60/49 - 56 < 0$ и $f(-6/7) = (-6/7)^2 - (-6/7) - 56 = 78/49 - 56 < 0$. Сумма малого положительного числа (из интервала $(0,1)$) и большого по модулю отрицательного числа (около -54) будет отрицательной. Следовательно, неравенство $(7x+6)^9 + x^2 - x - 56 > 0$ не выполняется.

В этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем, что решением исходного неравенства является только решение из первого случая.

Ответ: $x \in (8, \infty)$.

28.53. $(x^2 - x + 1)^{\frac{x-11}{x-4}} \le (x^2 - x + 1)^3$.

Решим показательное неравенство $(x^2 - x + 1)^{\frac{x-11}{x-4}} \le (x^2 - x + 1)^3$. Обозначим основание степени $a = x^2 - x + 1$. Исследуем это выражение. Это квадратичная функция, её график — парабола с ветвями вверх. Вершина параболы находится в точке $x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$. Минимальное значение функции в вершине: $a_{min} = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4}$. Следовательно, основание $a = x^2 - x + 1 \ge \frac{3}{4}$ при всех действительных значениях $x$. Это означает, что основание всегда положительно. Показатель степени $\frac{x-11}{x-4}$ определен при $x-4 \ne 0$, то есть $x \ne 4$. Решение показательного неравенства вида $a^{f(x)} \le a^{g(x)}$ зависит от значения основания $a$. Рассмотрим три случая.

Пусть $a = x^2 - x + 1 = 1$. $x^2 - x = 0$ $x(x - 1) = 0$ Отсюда $x = 0$ или $x = 1$. При этих значениях $x$ исходное неравенство принимает вид $1^p \le 1^3$, где $p$ — значение показателя. Так как $x=0$ и $x=1$ не равны 4, показатели существуют. Неравенство $1 \le 1$ является верным. Следовательно, $x = 0$ и $x = 1$ являются решениями неравенства.

Пусть $0 < a < 1$, то есть $0 < x^2 - x + 1 < 1$. Так как мы выяснили, что $x^2 - x + 1 \ge \frac{3}{4} > 0$, левая часть двойного неравенства выполняется всегда. Решим правую часть: $x^2 - x + 1 < 1$. $x^2 - x < 0$ $x(x - 1) < 0$. Решением этого неравенства является интервал $x \in (0, 1)$. Для основания $0 < a < 1$ показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный: $\frac{x-11}{x-4} \ge 3$ $\frac{x-11}{x-4} - 3 \ge 0$ $\frac{x-11 - 3(x-4)}{x-4} \ge 0$ $\frac{x-11 - 3x + 12}{x-4} \ge 0$ $\frac{-2x + 1}{x-4} \ge 0$ Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $\frac{2x - 1}{x-4} \le 0$ Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя: $x = \frac{1}{2}$ и $x = 4$. Решением неравенства является промежуток $x \in [\frac{1}{2}, 4)$. Теперь найдем пересечение полученного решения $x \in [\frac{1}{2}, 4)$ с условием для данного случая $x \in (0, 1)$. Пересечением является полуинтервал $[\frac{1}{2}, 1)$.

Пусть $a > 1$, то есть $x^2 - x + 1 > 1$. $x^2 - x > 0$ $x(x - 1) > 0$. Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$. Для основания $a > 1$ показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется: $\frac{x-11}{x-4} \le 3$ $\frac{x-11}{x-4} - 3 \le 0$ $\frac{-2x + 1}{x-4} \le 0$ Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $\frac{2x - 1}{x-4} \ge 0$ Решением этого неравенства является объединение $x \in (-\infty, \frac{1}{2}] \cup (4, \infty)$. Теперь найдем пересечение полученного решения с условием для данного случая $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$. Пересечение $(-\infty, \frac{1}{2}]$ и $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ дает $(-\infty, 0)$. Пересечение $(4, \infty)$ и $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ дает $(4, \infty)$. Таким образом, решение для этого случая: $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.

Соберем вместе все найденные решения из трех случаев: 1. $x = 0$ и $x = 1$. 2. $x \in [\frac{1}{2}, 1)$. 3. $x \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$. Объединяя эти множества, получаем: $(-\infty, 0) \cup \{0\} \implies (-\infty, 0]$. $[\frac{1}{2}, 1) \cup \{1\} \implies [\frac{1}{2}, 1]$. И интервал $(4, \infty)$ остается. Итоговое множество решений: $(-\infty, 0] \cup [\frac{1}{2}, 1] \cup (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{1}{2}, 1] \cup (4, \infty)$.

28.54. a) $\sqrt{\sin x - 1} \le 4 - x^2$;

б) $\sqrt{\cos x - 1} \ge x^2 - 49$.

а) $\sqrt{\sin x - 1} \le 4 - x^2$

1. Найдем область определения левой части неравенства. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\sin x - 1 \ge 0$
$\sin x \ge 1$
Так как максимальное значение функции синуса равно 1, это неравенство выполняется только в том случае, когда $\sin x = 1$.
При этом левая часть неравенства обращается в ноль: $\sqrt{1 - 1} = 0$.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} \sin x = 1 \\ 0 \le 4 - x^2 \end{cases}$

3. Решим первое уравнение системы:
$\sin x = 1$
$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Решим второе неравенство системы:
$0 \le 4 - x^2$
$x^2 \le 4$
$-2 \le x \le 2$

5. Теперь найдем, какие из решений уравнения $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$ удовлетворяют условию $-2 \le x \le 2$.
Подставим различные целые значения $k$:
- При $k = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $x \approx 1.57$. Это значение удовлетворяет условию $-2 \le 1.57 \le 2$.
- При $k = 1$, $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \approx 7.85$. Это значение не входит в промежуток $[-2, 2]$.
- При $k = -1$, $x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} \approx -4.71$. Это значение не входит в промежуток $[-2, 2]$.
При других целых значениях $k$ корни также не будут попадать в искомый промежуток.

Следовательно, единственным решением является $x = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

б) $\sqrt{\cos x - 1} \ge x^2 - 49$

1. Найдем область определения левой части неравенства. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$\cos x - 1 \ge 0$
$\cos x \ge 1$
Так как максимальное значение функции косинуса равно 1, это неравенство выполняется только в том случае, когда $\cos x = 1$.
При этом левая часть неравенства обращается в ноль: $\sqrt{1 - 1} = 0$.

2. Таким образом, исходное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} \cos x = 1 \\ 0 \ge x^2 - 49 \end{cases}$

3. Решим первое уравнение системы:
$\cos x = 1$
$x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

4. Решим второе неравенство системы:
$0 \ge x^2 - 49$
$x^2 \le 49$
$-7 \le x \le 7$

5. Теперь найдем, какие из решений уравнения $x = 2\pi k$ удовлетворяют условию $-7 \le x \le 7$.
Подставим различные целые значения $k$:
- При $k = 0$, $x = 0$. Это значение удовлетворяет условию $-7 \le 0 \le 7$.
- При $k = 1$, $x = 2\pi$. Так как $\pi \approx 3.14$, то $x \approx 6.28$. Это значение удовлетворяет условию $-7 \le 6.28 \le 7$.
- При $k = -1$, $x = -2\pi \approx -6.28$. Это значение удовлетворяет условию $-7 \le -6.28 \le 7$.
- При $k = 2$, $x = 4\pi \approx 12.56$. Это значение не входит в промежуток $[-7, 7]$.
- При $k = -2$, $x = -4\pi \approx -12.56$. Это значение не входит в промежуток $[-7, 7]$.
При других целых значениях $k$ (кроме -1, 0, 1) корни также не будут попадать в искомый промежуток.

Следовательно, решениями являются $x=0$, $x=2\pi$ и $x=-2\pi$.
Ответ: $-2\pi; 0; 2\pi$.

28.55. a) $6 \log_3 |x - 1| \le 14 + 2x - x^2;$

б) $\log_2 (x^2 + x - 10) > 25 - 2x - 2x^2.$

а) $6 \log_3 |x-1| \le 14 + 2x - x^2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$|x-1| > 0$
Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x=1$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Преобразуем правую часть неравенства, выделив полный квадрат:
$14 + 2x - x^2 = -(x^2 - 2x - 14) = -(x^2 - 2x + 1 - 15) = -((x-1)^2 - 15) = 15 - (x-1)^2$.

Неравенство принимает вид:
$6 \log_3 |x-1| \le 15 - (x-1)^2$.

3. Введем замену переменной. Пусть $t = |x-1|$. Учитывая ОДЗ, $t > 0$. Также заметим, что $(x-1)^2 = |x-1|^2 = t^2$.
Подставив $t$ в неравенство, получим:
$6 \log_3 t \le 15 - t^2$, где $t > 0$.

4. Рассмотрим две функции: $f(t) = 6 \log_3 t$ и $g(t) = 15 - t^2$.
Функция $f(t)$ является логарифмической и возрастает на всей своей области определения $t > 0$.
Функция $g(t)$ является параболой с ветвями вниз, и при $t > 0$ она убывает.
Так как одна функция возрастает, а другая убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $f(t) = g(t)$.

5. $6 \log_3 t = 15 - t^2$. Методом подбора легко найти корень. Проверим $t=3$:
Левая часть: $6 \log_3 3 = 6 \cdot 1 = 6$.
Правая часть: $15 - 3^2 = 15 - 9 = 6$.
Поскольку $6 = 6$, то $t=3$ является единственным решением уравнения.

6. Вернемся к неравенству $f(t) \le g(t)$. Так как $f(t)$ возрастает, а $g(t)$ убывает, неравенство будет выполняться для всех $t$ до точки их пересечения (включительно). С учетом области определения $t>0$, получаем:
$0 < t \le 3$.

7. Произведем обратную замену:
$0 < |x-1| \le 3$.
Это двойное неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} |x-1| > 0 \\ |x-1| \le 3 \end{cases}$
Решение первого неравенства: $x \ne 1$.
Решение второго неравенства: $-3 \le x-1 \le 3$, что дает $-2 \le x \le 4$.

8. Объединяя полученные условия, находим окончательное решение: $x \in [-2, 4]$ и $x \ne 1$.

Ответ: $[-2, 1) \cup (1, 4]$.

б) $\log_2 (x^2 + x - 10) > 25 - 2x - 2x^2$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$x^2 + x - 10 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + x - 10 = 0$.
$D = 1^2 - 4(1)(-10) = 41$.
$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{2}$.
Парабола $y=x^2+x-10$ имеет ветви вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}) \cup (\frac{-1 + \sqrt{41}}{2}, \infty)$.

2. Преобразуем исходное неравенство. Заметим, что выражение в правой части связано с выражением под логарифмом.
$\log_2 (x^2 + x - 10) > 25 - 2(x^2 + x)$.

3. Введем замену. Пусть $t = x^2 + x - 10$. Из ОДЗ следует, что $t > 0$.
Тогда $x^2 + x = t + 10$. Подставим это в неравенство:
$\log_2 t > 25 - 2(t + 10)$
$\log_2 t > 25 - 2t - 20$
$\log_2 t > 5 - 2t$.

4. Рассмотрим функции $f(t) = \log_2 t$ и $g(t) = 5 - 2t$.
Функция $f(t)$ является возрастающей при $t > 0$.
Функция $g(t)$ является убывающей.
Найдем точку их пересечения, решив уравнение $f(t) = g(t)$.

5. $\log_2 t = 5 - 2t$. Методом подбора находим корень. Проверим $t=2$:
Левая часть: $\log_2 2 = 1$.
Правая часть: $5 - 2 \cdot 2 = 1$.
Так как $1=1$, то $t=2$ - единственный корень уравнения.

6. Вернемся к неравенству $f(t) > g(t)$. Так как $f(t)$ возрастает, а $g(t)$ убывает, неравенство будет выполняться для всех $t$, больших точки их пересечения.
Таким образом, решение для $t$: $t > 2$.

7. Выполним обратную замену:
$x^2 + x - 10 > 2$
$x^2 + x - 12 > 0$.
Разложим левую часть на множители: $(x+4)(x-3) > 0$.
Решением этого неравенства является объединение интервалов: $x \in (-\infty, -4) \cup (3, \infty)$.

8. Совместим полученное решение с ОДЗ.
ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{41}}{2}) \cup (\frac{-1 + \sqrt{41}}{2}, \infty)$.
Решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (3, \infty)$.
Сравним граничные точки. Так как $6 < \sqrt{41} < 7$:
$\frac{-1 - \sqrt{41}}{2} \approx \frac{-1 - 6.4}{2} = -3.7$. Так как $-4 < -3.7$, то $(-\infty, -4) \subset (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{41}}{2})$.
$\frac{-1 + \sqrt{41}}{2} \approx \frac{-1 + 6.4}{2} = 2.7$. Так как $3 > 2.7$, то $(3, \infty) \subset (\frac{-1 + \sqrt{41}}{2}, \infty)$.
Полученное решение полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $(-\infty, -4) \cup (3, \infty)$.

28.56. a) $\sqrt{4 - \log_{0,5} x} < \sqrt{\log_2 x - 1} + \sqrt{6 - \log_8 x^3}$;

б) $\sqrt{\log_{\sqrt{3}} \sqrt{x}} \le \sqrt{\log_3 243x} - \sqrt{\log_{\frac{1}{3}} \frac{27}{x}}$.

а)

Исходное неравенство: $ \sqrt{4 - \log_{0.5} x} < \sqrt{\log_2 x - 1} + \sqrt{6 - \log_8 x^3} $.

Для решения приведем все логарифмы к одному основанию, например, к основанию 2. Используем формулу перехода к новому основанию $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $ и свойство $ \log_{1/a} b = -\log_a b $.

$ \log_{0.5} x = \log_{2^{-1}} x = -\log_2 x $

$ \log_8 x^3 = \log_{2^3} x^3 = \frac{3}{3} \log_2 x = \log_2 x $

Введем замену переменной: пусть $ t = \log_2 x $. Тогда неравенство принимает вид:

$ \sqrt{4 - (-t)} < \sqrt{t - 1} + \sqrt{6 - t} $

$ \sqrt{4 + t} < \sqrt{t - 1} + \sqrt{6 - t} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$ \begin{cases} 4 + t \ge 0 \\ t - 1 \ge 0 \\ 6 - t \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} t \ge -4 \\ t \ge 1 \\ t \le 6 \end{cases} $

Пересечение этих трех условий дает нам ОДЗ для $t$: $ t \in [1, 6] $.

На этой области обе части неравенства $ \sqrt{4 + t} < \sqrt{t - 1} + \sqrt{6 - t} $ неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$ (\sqrt{4 + t})^2 < (\sqrt{t - 1} + \sqrt{6 - t})^2 $

$ 4 + t < (t - 1) + 2\sqrt{(t - 1)(6 - t)} + (6 - t) $

$ 4 + t < t + 5 + 2\sqrt{-t^2 + 6t + t - 6} $

$ t - 1 < 2\sqrt{-t^2 + 7t - 6} $

В области $ t \in [1, 6] $ левая часть $ t - 1 $ неотрицательна. Если $t=1$, неравенство принимает вид $0 < 0$, что ложно. Следовательно, $t > 1$. При $ t > 1 $ обе части неравенства положительны, и можно снова возвести их в квадрат:

$ (t - 1)^2 < \left(2\sqrt{-t^2 + 7t - 6}\right)^2 $

$ t^2 - 2t + 1 < 4(-t^2 + 7t - 6) $

$ t^2 - 2t + 1 < -4t^2 + 28t - 24 $

$ 5t^2 - 30t + 25 < 0 $

Разделим обе части на 5:

$ t^2 - 6t + 5 < 0 $

Найдем корни квадратного трехчлена $ t^2 - 6t + 5 = 0 $. По теореме Виета, корни $ t_1 = 1 $ и $ t_2 = 5 $. Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство $ t^2 - 6t + 5 < 0 $ выполняется на интервале между корнями: $ 1 < t < 5 $.

Теперь необходимо учесть ОДЗ для $t$, которое мы нашли ранее: $ t \in [1, 6] $. Пересечение решения $ (1, 5) $ с ОДЗ $ [1, 6] $ дает нам итоговый интервал для $t$: $ 1 < t < 5 $.

Выполним обратную замену $ t = \log_2 x $:

$ 1 < \log_2 x < 5 $

Поскольку основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей, и мы можем потенцировать неравенство:

$ 2^1 < x < 2^5 $

$ 2 < x < 32 $

Ответ: $ (2, 32) $.

б)

Исходное неравенство: $ \sqrt{\log_{\sqrt{3}} \sqrt{x}} \le \sqrt{\log_3 243x} - \sqrt{\log_{\frac{1}{3}} \frac{27}{x}} $.

Приведем все логарифмические выражения к основанию 3:

$ \log_{\sqrt{3}} \sqrt{x} = \log_{3^{1/2}} x^{1/2} = \frac{1/2}{1/2} \log_3 x = \log_3 x $

$ \log_3 243x = \log_3(3^5 \cdot x) = \log_3 3^5 + \log_3 x = 5 + \log_3 x $

$ \log_{\frac{1}{3}} \frac{27}{x} = \log_{3^{-1}} \left(\frac{27}{x}\right) = -\log_3\left(\frac{27}{x}\right) = -(\log_3 27 - \log_3 x) = -(3 - \log_3 x) = \log_3 x - 3 $

Введем замену переменной: пусть $ y = \log_3 x $. Неравенство примет вид:

$ \sqrt{y} \le \sqrt{5 + y} - \sqrt{y - 3} $

Найдем ОДЗ для переменной $y$. Выражения под корнями должны быть неотрицательны:

$ \begin{cases} y \ge 0 \\ 5 + y \ge 0 \\ y - 3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y \ge 0 \\ y \ge -5 \\ y \ge 3 \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ y \ge 3 $.

Для удобства решения перенесем член с отрицательным знаком в левую часть, чтобы обе части неравенства стали неотрицательными:

$ \sqrt{y} + \sqrt{y - 3} \le \sqrt{5 + y} $

На ОДЗ $ y \ge 3 $ обе части неравенства неотрицательны, поэтому возводим их в квадрат:

$ (\sqrt{y} + \sqrt{y - 3})^2 \le (\sqrt{5 + y})^2 $

$ y + 2\sqrt{y(y-3)} + (y - 3) \le 5 + y $

$ 2y - 3 + 2\sqrt{y^2 - 3y} \le 5 + y $

$ y - 8 + 2\sqrt{y^2 - 3y} \le 0 $

$ 2\sqrt{y^2 - 3y} \le 8 - y $

Левая часть этого неравенства всегда неотрицательна. Следовательно, для существования решений правая часть также должна быть неотрицательной: $ 8 - y \ge 0 \implies y \le 8 $.

Совмещая это условие с ОДЗ ($ y \ge 3 $), получаем, что дальнейшее решение ищем на отрезке $ y \in [3, 8] $. На этом отрезке обе части неравенства $ 2\sqrt{y^2 - 3y} \le 8 - y $ неотрицательны, и мы можем снова возвести их в квадрат:

$ 4(y^2 - 3y) \le (8 - y)^2 $

$ 4y^2 - 12y \le 64 - 16y + y^2 $

$ 3y^2 + 4y - 64 \le 0 $

Найдем корни квадратного уравнения $ 3y^2 + 4y - 64 = 0 $:

$ D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-64) = 16 + 768 = 784 = 28^2 $

$ y_{1,2} = \frac{-4 \pm 28}{2 \cdot 3} \implies y_1 = \frac{-32}{6} = -\frac{16}{3}, \quad y_2 = \frac{24}{6} = 4 $.

Решением неравенства $ 3y^2 + 4y - 64 \le 0 $ является отрезок $ [-\frac{16}{3}, 4] $.

Найдем пересечение этого решения с ранее установленным ограничением $ y \in [3, 8] $:

$ \left[-\frac{16}{3}, 4\right] \cap [3, 8] = [3, 4] $

Таким образом, для $y$ получили решение $ 3 \le y \le 4 $. Выполним обратную замену $ y = \log_3 x $:

$ 3 \le \log_3 x \le 4 $

Так как основание логарифма $3 > 1$, функция возрастающая, поэтому:

$ 3^3 \le x \le 3^4 $

$ 27 \le x \le 81 $

Ответ: $ [27, 81] $.