Страница 182, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

29.13. а) $|x^2 - 5x| = 4|x|;$

б) $|2x - x^2 + 3| = |x + 3|;$

в) $|x^2 - 6x + 10| = |x + 10|;$

г) $|-x^2 + 4x - 8| = 2|-x|.$

а)

Исходное уравнение: $|x^2 - 5x| = 4|x|$.
Поскольку $4 > 0$, можно внести множитель 4 под знак модуля: $4|x| = |4x|$.
Уравнение принимает вид $|x^2 - 5x| = |4x|$.
Уравнение вида $|f(x)| = |g(x)|$ равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.

1. Решим первое уравнение: $x^2 - 5x = 4x$.
$x^2 - 9x = 0$
$x(x - 9) = 0$
Отсюда получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 9$.

2. Решим второе уравнение: $x^2 - 5x = -4x$.
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Отсюда получаем корни $x_3 = 0$ и $x_4 = 1$.

Объединяя все найденные корни, получаем итоговое множество решений.

Ответ: $\{0, 1, 9\}$.

б)

Исходное уравнение: $|2x - x^2 + 3| = |x + 3|$.
Данное уравнение имеет вид $|f(x)| = |g(x)|$, что равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.

1. Решим первое уравнение: $2x - x^2 + 3 = x + 3$.
$-x^2 + x = 0$
$x^2 - x = 0$
$x(x - 1) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$.

2. Решим второе уравнение: $2x - x^2 + 3 = -(x + 3)$.
$2x - x^2 + 3 = -x - 3$
$-x^2 + 3x + 6 = 0$
$x^2 - 3x - 6 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-6) = 9 + 24 = 33$.
Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $\{0, 1, \frac{3 - \sqrt{33}}{2}, \frac{3 + \sqrt{33}}{2}\}$.

в)

Исходное уравнение: $|x^2 - 6x + 10| = |x + 10|$.
Уравнение вида $|f(x)| = |g(x)|$ равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.

1. Решим первое уравнение: $x^2 - 6x + 10 = x + 10$.
$x^2 - 7x = 0$
$x(x - 7) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 7$.

2. Решим второе уравнение: $x^2 - 6x + 10 = -(x + 10)$.
$x^2 - 6x + 10 = -x - 10$
$x^2 - 5x + 20 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(20) = 25 - 80 = -55$.
Поскольку $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни, полученные в первом случае.

Ответ: $\{0, 7\}$.

г)

Исходное уравнение: $|-x^2 + 4x - 8| = 2|-x|$.
Используем свойства модуля: $|-a| = |a|$.
$|-x^2 + 4x - 8| = |-(x^2 - 4x + 8)| = |x^2 - 4x + 8|$.
$2|-x| = 2|x| = |2x|$.
Уравнение принимает вид: $|x^2 - 4x + 8| = |2x|$.
Это уравнение вида $|f(x)| = |g(x)|$, которое равносильно совокупности $f(x) = g(x)$ и $f(x) = -g(x)$.

1. Решим первое уравнение: $x^2 - 4x + 8 = 2x$.
$x^2 - 6x + 8 = 0$
По теореме Виета (или через разложение на множители) находим корни: $(x-2)(x-4)=0$.
Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

2. Решим второе уравнение: $x^2 - 4x + 8 = -2x$.
$x^2 - 2x + 8 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(8) = 4 - 32 = -28$.
Поскольку $D < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются только корни, полученные в первом случае.

Ответ: $\{2, 4\}$.

29.14. a) $|x - 5| + 4|x| = 17;$

б) $2|x - 5| - |x + 6| = 7;$

в) $|x + 10| - 2|x - 10| = 11;$

г) $3|4x - 5| = 2|-x| + 1.$

а) $|x - 5| + 4|x| = 17$

Для решения уравнения раскроем модули, рассмотрев три случая в зависимости от знака выражений под модулем. Точки, в которых выражения под модулем равны нулю: $x-5=0 \implies x=5$ и $x=0$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $[0; 5)$ и $[5; +\infty)$.

1. При $x < 0$:
Оба выражения под модулем отрицательны: $x-5 < 0$ и $x < 0$.
$|x-5| = -(x-5) = 5-x$
$|x| = -x$
Уравнение принимает вид:
$(5-x) + 4(-x) = 17$
$5 - x - 4x = 17$
$5 - 5x = 17$
$-5x = 12$
$x = -12/5 = -2.4$
Значение $x = -2.4$ удовлетворяет условию $x < 0$, следовательно, является корнем.

2. При $0 \le x < 5$:
$x-5 < 0$, а $x \ge 0$.
$|x-5| = -(x-5) = 5-x$
$|x| = x$
Уравнение принимает вид:
$(5-x) + 4x = 17$
$5 + 3x = 17$
$3x = 12$
$x = 4$
Значение $x=4$ удовлетворяет условию $0 \le x < 5$, следовательно, является корнем.

3. При $x \ge 5$:
Оба выражения под модулем неотрицательны: $x-5 \ge 0$ и $x > 0$.
$|x-5| = x-5$
$|x| = x$
Уравнение принимает вид:
$(x-5) + 4x = 17$
$5x - 5 = 17$
$5x = 22$
$x = 22/5 = 4.4$
Значение $x=4.4$ не удовлетворяет условию $x \ge 5$, следовательно, не является корнем.

Ответ: $x = -2.4; x = 4$.

б) $2|x - 5| - |x + 6| = 7$

Находим нули подмодульных выражений: $x-5=0 \implies x=5$ и $x+6=0 \implies x=-6$. Рассматриваем три интервала: $(-\infty; -6)$, $[-6; 5)$ и $[5; +\infty)$.

1. При $x < -6$:
$x-5 < 0$ и $x+6 < 0$.
$|x-5| = -(x-5) = 5-x$
$|x+6| = -(x+6) = -x-6$
Уравнение принимает вид:
$2(5-x) - (-x-6) = 7$
$10 - 2x + x + 6 = 7$
$16 - x = 7$
$x = 9$
Значение $x=9$ не удовлетворяет условию $x < -6$.

2. При $-6 \le x < 5$:
$x-5 < 0$, а $x+6 \ge 0$.
$|x-5| = -(x-5) = 5-x$
$|x+6| = x+6$
Уравнение принимает вид:
$2(5-x) - (x+6) = 7$
$10 - 2x - x - 6 = 7$
$4 - 3x = 7$
$-3x = 3$
$x = -1$
Значение $x=-1$ удовлетворяет условию $-6 \le x < 5$, следовательно, является корнем.

3. При $x \ge 5$:
$x-5 \ge 0$ и $x+6 > 0$.
$|x-5| = x-5$
$|x+6| = x+6$
Уравнение принимает вид:
$2(x-5) - (x+6) = 7$
$2x - 10 - x - 6 = 7$
$x - 16 = 7$
$x = 23$
Значение $x=23$ удовлетворяет условию $x \ge 5$, следовательно, является корнем.

Ответ: $x = -1; x = 23$.

в) $|x + 10| - 2|x - 10| = 11$

Нули подмодульных выражений: $x+10=0 \implies x=-10$ и $x-10=0 \implies x=10$. Рассматриваем три интервала: $(-\infty; -10)$, $[-10; 10)$ и $[10; +\infty)$.

1. При $x < -10$:
$x+10 < 0$ и $x-10 < 0$.
$|x+10| = -(x+10) = -x-10$
$|x-10| = -(x-10) = 10-x$
Уравнение принимает вид:
$(-x-10) - 2(10-x) = 11$
$-x - 10 - 20 + 2x = 11$
$x - 30 = 11$
$x = 41$
Значение $x=41$ не удовлетворяет условию $x < -10$.

2. При $-10 \le x < 10$:
$x+10 \ge 0$, а $x-10 < 0$.
$|x+10| = x+10$
$|x-10| = -(x-10) = 10-x$
Уравнение принимает вид:
$(x+10) - 2(10-x) = 11$
$x + 10 - 20 + 2x = 11$
$3x - 10 = 11$
$3x = 21$
$x = 7$
Значение $x=7$ удовлетворяет условию $-10 \le x < 10$, следовательно, является корнем.

3. При $x \ge 10$:
$x+10 > 0$ и $x-10 \ge 0$.
$|x+10| = x+10$
$|x-10| = x-10$
Уравнение принимает вид:
$(x+10) - 2(x-10) = 11$
$x + 10 - 2x + 20 = 11$
$-x + 30 = 11$
$-x = -19$
$x = 19$
Значение $x=19$ удовлетворяет условию $x \ge 10$, следовательно, является корнем.

Ответ: $x = 7; x = 19$.

г) $3|4x - 5| = 2|-x| + 1$

Сначала упростим уравнение, используя свойство $|-x|=|x|$:
$3|4x - 5| = 2|x| + 1$
Нули подмодульных выражений: $4x-5=0 \implies x=5/4$ и $x=0$. Рассматриваем три интервала: $(-\infty; 0)$, $[0; 5/4)$ и $[5/4; +\infty)$.

1. При $x < 0$:
$4x-5 < 0$ и $x < 0$.
$|4x-5| = -(4x-5) = 5-4x$
$|x| = -x$
Уравнение принимает вид:
$3(5-4x) = 2(-x) + 1$
$15 - 12x = -2x + 1$
$14 = 10x$
$x = 1.4$
Значение $x=1.4$ не удовлетворяет условию $x < 0$.

2. При $0 \le x < 5/4$:
$4x-5 < 0$, а $x \ge 0$.
$|4x-5| = -(4x-5) = 5-4x$
$|x| = x$
Уравнение принимает вид:
$3(5-4x) = 2x + 1$
$15 - 12x = 2x + 1$
$14 = 14x$
$x = 1$
Значение $x=1$ удовлетворяет условию $0 \le x < 5/4$ (так как $5/4 = 1.25$), следовательно, является корнем.

3. При $x \ge 5/4$:
$4x-5 \ge 0$ и $x > 0$.
$|4x-5| = 4x-5$
$|x| = x$
Уравнение принимает вид:
$3(4x-5) = 2x + 1$
$12x - 15 = 2x + 1$
$10x = 16$
$x = 1.6$
Значение $x=1.6$ удовлетворяет условию $x \ge 5/4$ (так как $1.6 > 1.25$), следовательно, является корнем.

Ответ: $x = 1; x = 1.6$.

29.15. Докажите, что уравнение $|f(x)| + |h(x)| = 0$ равносильно

системе уравнений

$\begin{cases} f(x) = 0, \\ h(x) = 0. \end{cases}$

Чтобы доказать, что уравнение $|f(x)| + |h(x)| = 0$ равносильно системе уравнений $\begin{cases} f(x) = 0, \\ h(x) = 0 \end{cases}$, мы должны показать, что любое решение уравнения является решением системы, и наоборот.

Доказательство основывается на следующих свойствах модуля (абсолютной величины):

1. Модуль любого действительного числа является неотрицательным. То есть, для любого числа $a$, выполняется неравенство $|a| \ge 0$. Применительно к нашему уравнению это означает, что оба слагаемых в левой части неотрицательны:

$|f(x)| \ge 0$ и $|h(x)| \ge 0$ для всех допустимых значений $x$.

2. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Рассмотрим сумму $|f(x)| + |h(x)|$. Если бы хотя бы одно из слагаемых было строго больше нуля (например, $|f(x)| > 0$), то для выполнения равенства $|f(x)| + |h(x)| = 0$ второе слагаемое должно было бы быть отрицательным ($|h(x)| = -|f(x)| < 0$), что невозможно согласно свойству 1.

Следовательно, уравнение $|f(x)| + |h(x)| = 0$ может выполняться только при одновременном выполнении двух условий:

$|f(x)| = 0$ и $|h(x)| = 0$.

3. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю. То есть, $|a| = 0 \iff a = 0$.

Применяя это свойство к полученным условиям, мы видим, что:

условие $|f(x)| = 0$ равносильно уравнению $f(x) = 0$,

условие $|h(x)| = 0$ равносильно уравнению $h(x) = 0$.

Поскольку оба этих равенства должны выполняться одновременно, мы приходим к системе уравнений, которая имеет то же самое множество решений, что и исходное уравнение:

$ \begin{cases} f(x) = 0, \\ h(x) = 0. \end{cases} $

Таким образом, мы доказали равносильность исходного уравнения и системы уравнений. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равносильность доказана. Уравнение $|f(x)| + |h(x)| = 0$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) = 0, \\ h(x) = 0 \end{cases}$, так как сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только в том случае, когда каждое из этих выражений равно нулю.

Решите уравнение:

29.16. а) $|x^2 - 4x + 3| + |x^2 - 5x + 4| = 0;$

б) $|\frac{4x}{x^2(x + 1)} - \frac{5x + 1}{x + 2}| + |x^2 + x - 2| = 0;$

в) $|x^2 - 2x| + |2x^2 - 5x + 2| = 0;$

г) $|\frac{3x}{2x + 1} - \frac{1 - 4x}{x^3(x + 6)}| + |x^2 - 6x - 7| = 0.$

Все уравнения в данной задаче имеют вид $|A| + |B| = 0$. Так как абсолютная величина (модуль) любого действительного числа неотрицательна ($|A| \geq 0$ и $|B| \geq 0$), сумма двух модулей равна нулю тогда и только тогда, когда оба выражения под модулем одновременно равны нулю. Таким образом, каждое уравнение равносильно системе из двух уравнений: $A = 0$ и $B = 0$.

а) $|x^2 - 4x + 3| + |x^2 - 5x + 4| = 0$

Данное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 4x + 3 = 0 \\ x^2 - 5x + 4 = 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Решим второе уравнение $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Общим решением для обоих уравнений является корень, который удовлетворяет и первому, и второму уравнению. Таким корнем является $x = 1$.

Ответ: $1$

б) $\left|\frac{4x}{x^2(x + 1)} - \frac{5x + 1}{x + 2}\right| + |x^2 + x - 2| = 0$

Данное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \frac{4x}{x^2(x + 1)} - \frac{5x + 1}{x + 2} = 0 \\ x^2 + x - 2 = 0 \end{cases} $

Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю: $x^2(x+1) \neq 0$ и $x+2 \neq 0$. Следовательно, $x \neq 0$, $x \neq -1$ и $x \neq -2$.

Решим второе, более простое, уравнение: $x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.

Теперь проверим эти корни. Корень $x = -2$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $x+2$ обращается в ноль. Следовательно, $x=-2$ не является решением системы.

Проверим корень $x = 1$. Он входит в ОДЗ. Подставим его в первое уравнение системы:

$\frac{4(1)}{1^2(1 + 1)} - \frac{5(1) + 1}{1 + 2} = \frac{4}{1 \cdot 2} - \frac{6}{3} = \frac{4}{2} - 2 = 2 - 2 = 0$.

Равенство выполняется. Значит, $x = 1$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $1$

в) $|x^2 - 2x| + |2x^2 - 5x + 2| = 0$

Данное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 2x = 0 \\ 2x^2 - 5x + 2 = 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение $x^2 - 2x = 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 2) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Решим второе уравнение $2x^2 - 5x + 2 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения: $x = \frac{5 \pm 3}{2 \cdot 2}$.

$x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Общим решением для обоих уравнений является $x = 2$.

Ответ: $2$

г) $\left|\frac{3x}{2x + 1} - \frac{1 - 4x}{x^3(x + 6)}\right| + |x^2 - 6x - 7| = 0$

Данное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} \frac{3x}{2x + 1} - \frac{1 - 4x}{x^3(x + 6)} = 0 \\ x^2 - 6x - 7 = 0 \end{cases} $

Найдём ОДЗ: $2x+1 \neq 0$ и $x^3(x+6) \neq 0$. Следовательно, $x \neq -\frac{1}{2}$, $x \neq 0$ и $x \neq -6$.

Решим второе уравнение: $x^2 - 6x - 7 = 0$. По теореме Виета, корнями являются $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$.

Оба корня входят в ОДЗ. Проверим каждый из них, подставив в первое уравнение.

Проверка для $x = 7$:

$\frac{3(7)}{2(7) + 1} - \frac{1 - 4(7)}{7^3(7 + 6)} = \frac{21}{15} - \frac{1 - 28}{343 \cdot 13} = \frac{7}{5} - \frac{-27}{4459} = \frac{7}{5} + \frac{27}{4459}$.

Сумма двух положительных чисел не может быть равна нулю, значит, $x = 7$ не является решением.

Проверка для $x = -1$:

$\frac{3(-1)}{2(-1) + 1} - \frac{1 - 4(-1)}{(-1)^3(-1 + 6)} = \frac{-3}{-2 + 1} - \frac{1 + 4}{-1 \cdot 5} = \frac{-3}{-1} - \frac{5}{-5} = 3 - (-1) = 4$.

Так как $4 \neq 0$, корень $x = -1$ также не является решением.

Поскольку ни один из корней второго уравнения не удовлетворяет первому, у системы нет решений.

Ответ: корней нет

29.17. a) $|1 + \log_2 x| + |1 - \sqrt{2x}| = 0;$

б) $|\log_5 (2x^3 - x) + \log_2 x| + \left|\frac{x - 1}{x^2 + 1}\right| = 0.$

а) $|1 + \log_2 x| + |1 - \sqrt{2x}| = 0$

Сумма двух неотрицательных чисел (модулей) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} 1 + \log_2 x = 0 \\ 1 - \sqrt{2x} = 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$1 + \log_2 x = 0$

$\log_2 x = -1$

$x = 2^{-1}$

$x = \frac{1}{2}$

Решим второе уравнение системы:

$1 - \sqrt{2x} = 0$

$\sqrt{2x} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Оба уравнения системы имеют один и тот же корень $x = \frac{1}{2}$.

Проверим область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Выражение под логарифмом должно быть положительным, а выражение под корнем — неотрицательным:

$\begin{cases} x > 0 \\ 2x \ge 0 \end{cases} \implies x > 0$

Найденный корень $x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $x > 0$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) $|\log_5 (2x^3 - x) + \log_2 x| + |\frac{x-1}{x^2+1}| = 0$

Аналогично пункту а), сумма модулей равна нулю, если выражения под каждым из модулей равны нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \log_5 (2x^3 - x) + \log_2 x = 0 \\ \frac{x-1}{x^2+1} = 0 \end{cases}$

Начнем с решения второго, более простого уравнения. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

Знаменатель $x^2 + 1$ всегда больше нуля при любом действительном $x$ ($x^2 \ge 0 \implies x^2+1 \ge 1$), поэтому он никогда не равен нулю.

Таким образом, единственное решение второго уравнения — $x = 1$.

Теперь подставим это значение в первое уравнение системы, чтобы проверить, является ли оно его корнем:

$\log_5 (2(1)^3 - 1) + \log_2 (1) = \log_5 (2 - 1) + \log_2 (1) = \log_5 (1) + \log_2 (1) = 0 + 0 = 0$

Равенство выполняется. Значит, $x=1$ является решением системы.

Определим область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Выражения под знаками логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x > 0 \\ 2x^3 - x > 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство: $x(2x^2 - 1) > 0$.

Так как из первого неравенства мы знаем, что $x > 0$, то для выполнения второго неравенства достаточно, чтобы $2x^2 - 1 > 0$.

$2x^2 > 1$

$x^2 > \frac{1}{2}$

Учитывая, что $x>0$, получаем $x > \sqrt{\frac{1}{2}}$ или $x > \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Итак, ОДЗ: $x > \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=1$ этому условию. Так как $1 > \frac{1}{2}$, то $1 > \frac{1}{\sqrt{2}}$. Условие выполняется.

Ответ: $1$

29.18. a) $\left| \sin x \right| + \left| \cos \frac{x}{2} \right| = 0;$
б) $\left| \sin 3x + \cos 3x \right| + \left| \cos 6x \right| = 0;$
в) $\left| \cos 2x \right| + \left| \sin 4x \right| = 0;$
г) $\left| \sqrt{3} \sin 3x - \cos 3x \right| + \left| 1 - \cos \left(6x - \frac{\pi}{3}\right) \right| = 0.$

а) Исходное уравнение: $|\sin x| + |\cos \frac{x}{2}| = 0$.
Сумма модулей двух выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю. Таким образом, данное уравнение равносильно системе уравнений:$$\begin{cases}\sin x = 0 \\\cos \frac{x}{2} = 0\end{cases}$$Решим первое уравнение системы: $\sin x = 0$. Его решения: $x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Решим второе уравнение системы: $\cos \frac{x}{2} = 0$. Его решения: $\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi$, откуда $x = \pi + 2n\pi = (2n+1)\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Для нахождения решения исходного уравнения необходимо найти пересечение полученных множеств решений. Множество $x = k\pi$ включает в себя все целые кратные $\pi$, а множество $x = (2n+1)\pi$ — только нечетные целые кратные $\pi$. Пересечением этих множеств является множество нечетных кратных $\pi$.
Ответ: $x = \pi + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $|\sin 3x + \cos 3x| + |\cos 6x| = 0$.
Данное уравнение равносильно системе, в которой каждое подмодульное выражение равно нулю:$$\begin{cases}\sin 3x + \cos 3x = 0 \\\cos 6x = 0\end{cases}$$Решим первое уравнение: $\sin 3x + \cos 3x = 0$. Разделим обе части на $\cos 3x$, который не может быть равен нулю (иначе $\sin 3x = \pm 1$, и равенство $\pm 1 = 0$ не выполняется). Получим $\tan 3x = -1$.
Отсюда $3x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, и $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные значения $x$ второму уравнению системы: $\cos 6x = 0$.
Подставим $x$: $6x = 6(-\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3}) = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$.
Тогда $\cos(6x) = \cos(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$.
Так как все решения первого уравнения удовлетворяют второму, они являются решениями системы.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $|\cos 2x| + |\sin 4x| = 0$.
Уравнение равносильно системе уравнений:$$\begin{cases}\cos 2x = 0 \\\sin 4x = 0\end{cases}$$Решим первое уравнение: $\cos 2x = 0$.
$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Проверим выполнение второго уравнения $\sin 4x = 0$ для найденных $x$.
Используем формулу синуса двойного угла: $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$.
Поскольку из первого уравнения следует, что $\cos 2x = 0$, то $\sin 4x = 2 \sin 2x \cdot 0 = 0$ для любого значения $\sin 2x$.
Таким образом, все решения первого уравнения являются решениями и второго уравнения. Следовательно, они и есть решения исходной системы.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $|\sqrt{3} \sin 3x - \cos 3x| + |1 - \cos(6x - \frac{\pi}{3})| = 0$.
Уравнение равносильно системе:$$\begin{cases}\sqrt{3} \sin 3x - \cos 3x = 0 \\1 - \cos(6x - \frac{\pi}{3}) = 0\end{cases}$$Решим первое уравнение: $\sqrt{3} \sin 3x - \cos 3x = 0$.
Преобразуем его, используя метод вспомогательного угла. Вынесем за скобки $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$:
$2(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 3x - \frac{1}{2} \cos 3x) = 0$
$2(\cos\frac{\pi}{6} \sin 3x - \sin\frac{\pi}{6} \cos 3x) = 0$
$2 \sin(3x - \frac{\pi}{6}) = 0$
$3x - \frac{\pi}{6} = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Решим второе уравнение: $1 - \cos(6x - \frac{\pi}{3}) = 0$, или $\cos(6x - \frac{\pi}{3}) = 1$.
$6x - \frac{\pi}{3} = 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$6x = \frac{\pi}{3} + 2n\pi$
$x = \frac{\pi}{18} + \frac{n\pi}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Множества решений первого и второго уравнений совпадают. Следовательно, решением системы является найденная серия корней.
Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

29.19. Докажите, что уравнение $ |f(x)| + |h(x)| = f(x) $ равносильно системе

$$ \begin{cases} h(x) = 0, \\ f(x) \geq 0. \end{cases} $$

Чтобы доказать, что уравнение $|f(x)| + |h(x)| = f(x)$ равносильно системе $\begin{cases} h(x) = 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$, мы должны показать, что любое решение уравнения является решением системы, и наоборот, любое решение системы является решением уравнения. Это доказывается в два этапа.

1. Доказательство того, что из уравнения следует система.

Пусть дано уравнение $|f(x)| + |h(x)| = f(x)$.

По определению модуля, значение модуля любого числа является неотрицательным, то есть $|f(x)| \ge 0$ и $|h(x)| \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных величин также неотрицательна: $|f(x)| + |h(x)| \ge 0$.

Поскольку левая часть уравнения равна $f(x)$, то из этого следует, что $f(x) \ge 0$. Это доказывает второе условие системы.

Теперь, зная, что $f(x) \ge 0$, мы можем раскрыть модуль $|f(x)|$. По определению, если выражение под знаком модуля неотрицательно, то его модуль равен самому выражению. Следовательно, $|f(x)| = f(x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$f(x) + |h(x)| = f(x)$

Теперь вычтем $f(x)$ из обеих частей равенства:

$|h(x)| = 0$

Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю. Отсюда следует, что $h(x) = 0$. Это доказывает первое условие системы.

Таким образом, мы показали, что если выполняется уравнение, то обязательно выполняется и система.

2. Доказательство того, что из системы следует уравнение.

Пусть дана система $\begin{cases} h(x) = 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$.

Мы должны доказать, что при выполнении этих двух условий будет верным равенство $|f(x)| + |h(x)| = f(x)$.

Рассмотрим левую часть этого равенства: $|f(x)| + |h(x)|$.

Используем условия системы:

Из условия $f(x) \ge 0$ по определению модуля следует, что $|f(x)| = f(x)$.

Из условия $h(x) = 0$ следует, что $|h(x)| = |0| = 0$.

Теперь подставим полученные результаты в левую часть исходного уравнения:

$|f(x)| + |h(x)| = f(x) + 0 = f(x)$

Мы видим, что левая часть уравнения тождественно равна правой части $f(x)$. Следовательно, если выполняется система, то выполняется и уравнение.

Поскольку мы доказали следование в обе стороны, уравнение и система равносильны.

Ответ: Утверждение доказано. Уравнение $|f(x)| + |h(x)| = f(x)$ и система $\begin{cases} h(x) = 0 \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$ являются равносильными.