Страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

29.37. а) $|5x + 3| < |2x - 1|;$

б) $|9x + 1| > |5 - 9x|;$

в) $|3 - 7x| \le |x + 5|;$

г) $|x - 3| \ge |2x + 3|.$

а) $|5x + 3| < |2x - 1|$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(5x + 3)^2 < (2x - 1)^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$(5x + 3)^2 - (2x - 1)^2 < 0$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$((5x + 3) - (2x - 1))((5x + 3) + (2x - 1)) < 0$

Упростим выражения в скобках:

$(5x + 3 - 2x + 1)(5x + 3 + 2x - 1) < 0$

$(3x + 4)(7x + 2) < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни левой части:

$3x + 4 = 0 \implies x = -4/3$

$7x + 2 = 0 \implies x = -2/7$

Отметим корни на числовой оси и определим знаки выражения $(3x + 4)(7x + 2)$ в каждом интервале. Нам нужен интервал, где произведение отрицательно.

Решением является интервал $(-4/3; -2/7)$.

Ответ: $x \in (-4/3; -2/7)$.

б) $|9x + 1| > |5 - 9x|$

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$(9x + 1)^2 > (5 - 9x)^2$

Перенесем все в левую часть и применим формулу разности квадратов:

$(9x + 1)^2 - (5 - 9x)^2 > 0$

$((9x + 1) - (5 - 9x))((9x + 1) + (5 - 9x)) > 0$

Упростим выражения в скобках:

$(9x + 1 - 5 + 9x)(9x + 1 + 5 - 9x) > 0$

$(18x - 4)(6) > 0$

Разделим обе части на 6:

$18x - 4 > 0$

$18x > 4$

$x > 4/18$

$x > 2/9$

Ответ: $x \in (2/9; +\infty)$.

в) $|3 - 7x| \le |x + 5|$

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$(3 - 7x)^2 \le (x + 5)^2$

Перенесем все в левую часть:

$(3 - 7x)^2 - (x + 5)^2 \le 0$

Применим формулу разности квадратов:

$((3 - 7x) - (x + 5))((3 - 7x) + (x + 5)) \le 0$

Упростим выражения в скобках:

$(3 - 7x - x - 5)(3 - 7x + x + 5) \le 0$

$(-8x - 2)(-6x + 8) \le 0$

Вынесем общие множители:

$-2(4x + 1) \cdot (-2)(3x - 4) \le 0$

$4(4x + 1)(3x - 4) \le 0$

Разделим на 4:

$(4x + 1)(3x - 4) \le 0$

Решим методом интервалов. Найдем корни:

$4x + 1 = 0 \implies x = -1/4$

$3x - 4 = 0 \implies x = 4/3$

Парабола $y = (4x+1)(3x-4)$ ветвями вверх, поэтому она принимает неположительные значения между корнями (включая сами корни).

Решением является отрезок $[-1/4; 4/3]$.

Ответ: $x \in [-1/4; 4/3]$.

г) $|x - 3| \ge |2x + 3|$

Возведем обе части неравенства в квадрат:

$(x - 3)^2 \ge (2x + 3)^2$

Перенесем все в левую часть:

$(x - 3)^2 - (2x + 3)^2 \ge 0$

Применим формулу разности квадратов:

$((x - 3) - (2x + 3))((x - 3) + (2x + 3)) \ge 0$

Упростим выражения в скобках:

$(x - 3 - 2x - 3)(x - 3 + 2x + 3) \ge 0$

$(-x - 6)(3x) \ge 0$

$-3x(x + 6) \ge 0$

Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный:

$x(x + 6) \le 0$

Решим методом интервалов. Корни: $x = 0$ и $x = -6$.

Парабола $y = x(x+6)$ ветвями вверх, поэтому она принимает неположительные значения между корнями (включая сами корни).

Решением является отрезок $[-6; 0]$.

Ответ: $x \in [-6; 0]$.

29.38. a) $|x^2 - 7x + 3| < |2x^2 + 5x - 10|;$

б) $|x^2 + 11x - 6| \le 10|x|;$

в) $|x^2 + 3x - 5| \ge |x^2 - 7x + 5|;$

г) $|5x^2 - x| \ge |x - 5| \cdot |x + 2|.$

а) Исходное неравенство: $|x^2 - 7x + 3| < |2x^2 + 5x - 10|$.

Данное неравенство вида $|f(x)| < |g(x)|$ равносильно неравенству $f(x)^2 < g(x)^2$. Возведем обе части в квадрат:

$(x^2 - 7x + 3)^2 < (2x^2 + 5x - 10)^2$

Перенесем все в левую часть:

$(x^2 - 7x + 3)^2 - (2x^2 + 5x - 10)^2 < 0$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$((x^2 - 7x + 3) - (2x^2 + 5x - 10))((x^2 - 7x + 3) + (2x^2 + 5x - 10)) < 0$

Упростим выражения в скобках:

$(-x^2 - 12x + 13)(3x^2 - 2x - 7) < 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$(x^2 + 12x - 13)(3x^2 - 2x - 7) > 0$

Найдем корни каждого множителя, приравняв их к нулю.

1) $x^2 + 12x - 13 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 1, x_2 = -13$.

2) $3x^2 - 2x - 7 = 0$. Найдем корни через дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-7) = 4 + 84 = 88$.
$x_{3,4} = \frac{2 \pm \sqrt{88}}{6} = \frac{2 \pm 2\sqrt{22}}{6} = \frac{1 \pm \sqrt{22}}{3}$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-13$, $\frac{1 - \sqrt{22}}{3}$, $1$, $\frac{1 + \sqrt{22}}{3}$.

Решим неравенство методом интервалов. Так как старший коэффициент произведения положителен, в крайнем правом интервале будет знак «+». Далее знаки чередуются.

Знаки на интервалах: $(-\infty, -13) \rightarrow +$; $(-13, \frac{1 - \sqrt{22}}{3}) \rightarrow -$; $(\frac{1 - \sqrt{22}}{3}, 1) \rightarrow +$; $(1, \frac{1 + \sqrt{22}}{3}) \rightarrow -$; $(\frac{1 + \sqrt{22}}{3}, +\infty) \rightarrow +$.

Нам нужны интервалы со знаком «+», так как неравенство имеет вид $> 0$.

Ответ: $x \in (-\infty; -13) \cup (\frac{1 - \sqrt{22}}{3}; 1) \cup (\frac{1 + \sqrt{22}}{3}; +\infty)$.

б) Исходное неравенство: $|x^2 + 11x - 6| \le 10|x|$.

Используя свойство $|a| = \sqrt{a^2}$ и то, что $|10x| = |10||x|$, преобразуем неравенство к виду $|x^2 + 11x - 6| \le |10x|$.

Это неравенство равносильно $(x^2 + 11x - 6)^2 \le (10x)^2$.

$(x^2 + 11x - 6)^2 - (10x)^2 \le 0$

Применим формулу разности квадратов:

$((x^2 + 11x - 6) - 10x)((x^2 + 11x - 6) + 10x) \le 0$

$(x^2 + x - 6)(x^2 + 21x - 6) \le 0$

Найдем корни каждого множителя.

1) $x^2 + x - 6 = 0$. По теореме Виета корни $x_1 = 2, x_2 = -3$.

2) $x^2 + 21x - 6 = 0$. Найдем корни через дискриминант:
$D = 21^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 441 + 24 = 465$.
$x_{3,4} = \frac{-21 \pm \sqrt{465}}{2}$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $\frac{-21 - \sqrt{465}}{2}$, $-3$, $\frac{-21 + \sqrt{465}}{2}$, $2$.

Решим неравенство методом интервалов. Крайний правый интервал имеет знак «+». Далее знаки чередуются.

Нам нужны интервалы со знаком «-», так как неравенство имеет вид $\le 0$. Включаем концы интервалов.

Ответ: $x \in [\frac{-21 - \sqrt{465}}{2}; -3] \cup [\frac{-21 + \sqrt{465}}{2}; 2]$.

в) Исходное неравенство: $|x^2 + 3x - 5| \ge |x^2 - 7x + 5|$.

Неравенство вида $|f(x)| \ge |g(x)|$ равносильно $f(x)^2 \ge g(x)^2$.

$(x^2 + 3x - 5)^2 \ge (x^2 - 7x + 5)^2$

$(x^2 + 3x - 5)^2 - (x^2 - 7x + 5)^2 \ge 0$

По формуле разности квадратов:

$((x^2 + 3x - 5) - (x^2 - 7x + 5))((x^2 + 3x - 5) + (x^2 - 7x + 5)) \ge 0$

$(x^2 + 3x - 5 - x^2 + 7x - 5)(x^2 + 3x - 5 + x^2 - 7x + 5) \ge 0$

$(10x - 10)(2x^2 - 4x) \ge 0$

$10(x - 1) \cdot 2x(x - 2) \ge 0$

$20x(x - 1)(x - 2) \ge 0$

Разделим на 20:

$x(x - 1)(x - 2) \ge 0$

Корни этого выражения: $x=0$, $x=1$, $x=2$.

Применим метод интервалов. Корни разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, +\infty)$.

Знаки на интервалах: $(-\infty, 0] \rightarrow -$; $[0, 1] \rightarrow +$; $[1, 2] \rightarrow -$; $[2, +\infty) \rightarrow +$.

Выбираем интервалы со знаком «+», включая концы.

Ответ: $x \in [0; 1] \cup [2; +\infty)$.

г) Исходное неравенство: $|5x^2 - x| \ge |x - 5| \cdot |x + 2|$.

Используем свойство $|a| \cdot |b| = |ab|$ для правой части:

$|x - 5| \cdot |x + 2| = |(x - 5)(x + 2)| = |x^2 - 3x - 10|$.

Неравенство принимает вид: $|5x^2 - x| \ge |x^2 - 3x - 10|$.

Это неравенство равносильно $(5x^2 - x)^2 \ge (x^2 - 3x - 10)^2$.

$(5x^2 - x)^2 - (x^2 - 3x - 10)^2 \ge 0$

По формуле разности квадратов:

$((5x^2 - x) - (x^2 - 3x - 10))((5x^2 - x) + (x^2 - 3x - 10)) \ge 0$

$(4x^2 + 2x + 10)(6x^2 - 4x - 10) \ge 0$

Вынесем общие множители:

$2(2x^2 + x + 5) \cdot 2(3x^2 - 2x - 5) \ge 0$

$4(2x^2 + x + 5)(3x^2 - 2x - 5) \ge 0$

Рассмотрим первый множитель $2x^2 + x + 5$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 1 - 40 = -39$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $2 > 0$, то выражение $2x^2 + x + 5$ всегда положительно.

Значит, мы можем разделить обе части неравенства на $2x^2 + x + 5$ без изменения знака:

$3x^2 - 2x - 5 \ge 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 - 2x - 5 = 0$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
$x_{1,2} = \frac{2 \pm 8}{6}$.
$x_1 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$, $x_2 = \frac{-6}{6} = -1$.

Парабола $y = 3x^2 - 2x - 5$ имеет ветви, направленные вверх. Следовательно, выражение неотрицательно при $x$, находящихся вне интервала между корнями.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [\frac{5}{3}; +\infty)$.

29.39. a) $ \left| \frac{1 - x}{1 + 3x} \right| > |1 + x|; $

б) $ \left| \frac{x - x^2}{1 + x - 3x^2} \right| > |1 - x|; $

В) $ \left| 1 - \frac{1}{x} \right| \le \left| 2 + \frac{5}{x} \right|; $

Г) $ \left| x - \frac{1}{x} \right| \le \left| 2x^2 - \frac{2}{x} \right|. $

a) Исходное неравенство: $|\frac{1-x}{1+3x}| > |1+x|$.

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель дроби не должен быть равен нулю, то есть $1+3x \neq 0$, откуда $x \neq -\frac{1}{3}$.

Используя свойство модуля $|\frac{A}{B}| = \frac{|A|}{|B|}$, перепишем неравенство в виде:

$\frac{|1-x|}{|1+3x|} > |1+x|$.

Поскольку по ОДЗ $x \neq -\frac{1}{3}$, знаменатель $|1+3x|$ строго больше нуля. Умножим обе части неравенства на него:

$|1-x| > |1+x| \cdot |1+3x|$.

Воспользуемся свойством $|A| \cdot |B| = |AB|$:

$|1-x| > |(1+x)(1+3x)|$

$|1-x| > |1+3x+x+3x^2|$

$|1-x| > |3x^2+4x+1|$.

Так как обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(1-x)^2 > (3x^2+4x+1)^2$.

Перенесем все члены в одну сторону и применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(1-x)^2 - (3x^2+4x+1)^2 > 0$

$((1-x) - (3x^2+4x+1)) \cdot ((1-x) + (3x^2+4x+1)) > 0$

$(-3x^2-3x-2)(3x^2+5x) > 0$.

Рассмотрим первый множитель: $-3x^2-3x-2$. Это квадратичная функция. Найдем ее дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(-3)(-2) = 9 - 24 = -15$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=-3 < 0$, парабола направлена ветвями вниз и не пересекает ось Ох, то есть выражение $-3x^2-3x-2$ всегда отрицательно.

Чтобы произведение было положительным, второй множитель также должен быть отрицательным:

$3x^2+5x < 0$

$x(3x+5) < 0$.

Решая это неравенство методом интервалов, находим корни $x=0$ и $x=-5/3$. Парабола $y=x(3x+5)$ направлена ветвями вверх, поэтому она отрицательна между корнями.

Решение: $x \in (-\frac{5}{3}, 0)$.

Учтем ОДЗ: $x \neq -\frac{1}{3}$. Эта точка находится внутри найденного интервала, поэтому ее нужно исключить.

Окончательное решение: $x \in (-\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}, 0)$.

Ответ: $x \in (-\frac{5}{3}, -\frac{1}{3}) \cup (-\frac{1}{3}, 0)$.

б) Исходное неравенство: $|\frac{x-x^2}{1+x-3x^2}| > |1-x|$.

Преобразуем выражение в левой части: $|\frac{x(1-x)}{1+x-3x^2}| > |1-x|$.

ОДЗ: $1+x-3x^2 \neq 0$. Решим уравнение $3x^2-x-1=0$. $D=(-1)^2-4(3)(-1)=13$. Корни $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$. Таким образом, $x \neq \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$.

Рассмотрим случай $1-x=0$, то есть $x=1$. Неравенство принимает вид $0 > 0$, что неверно. Значит, $x=1$ не является решением.

При $x \neq 1$, $|1-x|>0$. Разделим обе части неравенства на $|1-x|$:

$\frac{|x|}{|1+x-3x^2|} > 1$.

Умножим на знаменатель $|1+x-3x^2|$ (он положителен по ОДЗ):

$|x| > |1+x-3x^2|$.

Возведем в квадрат обе неотрицательные части:

$x^2 > (1+x-3x^2)^2$

$x^2 - (1+x-3x^2)^2 > 0$.

По формуле разности квадратов:

$(x - (1+x-3x^2))(x + (1+x-3x^2)) > 0$

$(3x^2-1)(-3x^2+2x+1) > 0$.

Умножим на -1 и сменим знак неравенства:

$(3x^2-1)(3x^2-2x-1) < 0$.

Найдем корни множителей. Корни $3x^2-1=0$ это $x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{3}$. Корни $3x^2-2x-1=0$ это $x=1$ и $x=-\frac{1}{3}$.

Нанесем корни на числовую ось в порядке возрастания: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $-\frac{1}{3}$, $\frac{\sqrt{3}}{3}$, $1$.

Методом интервалов определяем знаки произведения. Выражение $(3x^2-1)(3x^2-2x-1)$ отрицательно на интервалах $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{1}{3})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1)$.

Теперь учтем ОДЗ: $x \neq \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$.

$\frac{1-\sqrt{13}}{6} \approx -0.435$, что лежит в интервале $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{1}{3}) \approx (-0.577, -0.333)$.

$\frac{1+\sqrt{13}}{6} \approx 0.768$, что лежит в интервале $(\frac{\sqrt{3}}{3}, 1) \approx (0.577, 1)$.

Исключаем эти точки из решения.

Ответ: $x \in (-\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{1-\sqrt{13}}{6}) \cup (\frac{1-\sqrt{13}}{6}; -\frac{1}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}; \frac{1+\sqrt{13}}{6}) \cup (\frac{1+\sqrt{13}}{6}; 1)$.

в) Исходное неравенство: $|1-\frac{1}{x}| \leq |2+\frac{5}{x}|$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Приведем выражения под модулями к общему знаменателю:

$|\frac{x-1}{x}| \leq |\frac{2x+5}{x}|$.

Используя свойство модуля, получаем: $\frac{|x-1|}{|x|} \leq \frac{|2x+5|}{|x|}$.

Так как $x \neq 0$, $|x|>0$. Умножим обе части на $|x|$:

$|x-1| \leq |2x+5|$.

Возведем обе неотрицательные части в квадрат:

$(x-1)^2 \leq (2x+5)^2$

$x^2-2x+1 \leq 4x^2+20x+25$.

Перенесем все в одну сторону:

$0 \leq 3x^2+22x+24$.

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2+22x+24=0$.

$D = 22^2 - 4 \cdot 3 \cdot 24 = 484 - 288 = 196 = 14^2$.

$x_{1,2} = \frac{-22 \pm 14}{6}$.

$x_1 = \frac{-36}{6} = -6$, $x_2 = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$.

Парабола $y=3x^2+22x+24$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает неотрицательные значения при $x \leq -6$ и $x \geq -\frac{4}{3}$.

Решение: $x \in (-\infty, -6] \cup [-\frac{4}{3}, \infty)$.

Учитывая ОДЗ $x \neq 0$, исключаем эту точку из второго интервала.

Ответ: $x \in (-\infty, -6] \cup [-\frac{4}{3}, 0) \cup (0, \infty)$.

г) Исходное неравенство: $|x-\frac{1}{x}| \leq |2x^2-\frac{2}{x}|$.

ОДЗ: $x \neq 0$.

Приведем выражения под модулями к общему знаменателю:

$|\frac{x^2-1}{x}| \leq |\frac{2x^3-2}{x}|$.

Разложим на множители: $|\frac{(x-1)(x+1)}{x}| \leq |\frac{2(x-1)(x^2+x+1)}{x}|$.

Используя свойства модуля: $\frac{|x-1||x+1|}{|x|} \leq \frac{|2||x-1||x^2+x+1|}{|x|}$.

Рассмотрим случай $x=1$. Неравенство становится $0 \leq 0$, что верно. Значит, $x=1$ является решением.

Рассмотрим случай $x \neq 1$ и $x \neq 0$. Мы можем умножить обе части на $|x|$ и разделить на $|x-1|$ (так как эти выражения положительны):

$|x+1| \leq 2|x^2+x+1|$.

Рассмотрим выражение $x^2+x+1$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, выражение $x^2+x+1$ всегда положительно. Следовательно, $|x^2+x+1| = x^2+x+1$.

Неравенство принимает вид: $|x+1| \leq 2(x^2+x+1)$, или $|x+1| \leq 2x^2+2x+2$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1) Если $x+1 \geq 0$, т.е. $x \geq -1$.

$x+1 \leq 2x^2+2x+2 \implies 0 \leq 2x^2+x+1$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = -7 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $2x^2+x+1$ всегда больше нуля. Неравенство верно для всех $x$ из рассматриваемого промежутка $x \geq -1$.

2) Если $x+1 < 0$, т.е. $x < -1$.

$-(x+1) \leq 2x^2+2x+2 \implies -x-1 \leq 2x^2+2x+2 \implies 0 \leq 2x^2+3x+3$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = -15 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, $2x^2+3x+3$ всегда больше нуля. Неравенство верно для всех $x$ из рассматриваемого промежутка $x < -1$.

Объединяя оба случая, получаем, что неравенство выполняется для всех $x$, кроме, возможно, $x=1$ (который мы рассматривали отдельно). Вместе с решением $x=1$, получаем, что исходное неравенство верно для всех $x$ из ОДЗ.

Таким образом, решение - это все действительные числа, кроме $x=0$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, \infty)$.

29.40. a) Докажите, что неравенство $|f(x)| \ge f(x)$ выполняется для любого $x$ из области определения выражения $f(x).

б) Докажите, что неравенство $|f(x)| > f(x)$ равносильно неравенству $f(x) < 0$.

а)

Для доказательства неравенства $|f(x)| \ge f(x)$ рассмотрим два возможных случая для значения выражения $f(x)$ для любого $x$ из его области определения.

Случай 1: $f(x) \ge 0$ (выражение неотрицательно).
По определению модуля, если число неотрицательно, его модуль равен самому числу. Таким образом, $|f(x)| = f(x)$.
Подставив это в исходное неравенство, получаем $f(x) \ge f(x)$. Это неравенство является верным тождеством (в частности, выполняется как равенство), поэтому оно справедливо для всех $x$, при которых $f(x) \ge 0$.

Случай 2: $f(x) < 0$ (выражение отрицательно).
По определению модуля, если число отрицательно, его модуль равен противоположному ему числу. Таким образом, $|f(x)| = -f(x)$.
Так как $f(x) < 0$, то $-f(x) > 0$. Значит, $|f(x)|$ является положительным числом.
Исходное неравенство принимает вид: $|f(x)| \ge f(x)$.
В данном случае мы сравниваем положительное число $|f(x)|$ и отрицательное число $f(x)$. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного, поэтому неравенство $|f(x)| > f(x)$ строго выполняется, а значит, нестрогое неравенство $|f(x)| \ge f(x)$ также выполняется.

Поскольку мы рассмотрели все возможные случаи для значения $f(x)$, и в каждом из них неравенство $|f(x)| \ge f(x)$ оказалось верным, мы доказали, что оно выполняется для любого $x$ из области определения выражения $f(x)$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

Чтобы доказать, что неравенство $|f(x)| > f(x)$ равносильно неравенству $f(x) < 0$, нужно показать, что множества решений этих двух неравенств совпадают. Для этого докажем два утверждения:

1. Если $f(x) < 0$, то $|f(x)| > f(x)$.
2. Если $|f(x)| > f(x)$, то $f(x) < 0$.

Доказательство утверждения 1:
Пусть $f(x) < 0$. По определению модуля для отрицательного числа, $|f(x)| = -f(x)$.
Поскольку $f(x)$ — отрицательное число, то $-f(x)$ — положительное число.
Неравенство $|f(x)| > f(x)$ превращается в сравнение положительного числа ($-f(x)$) и отрицательного числа ($f(x)$). Любое положительное число больше любого отрицательного, следовательно, неравенство $-f(x) > f(x)$ всегда верно при $f(x) < 0$.

Доказательство утверждения 2:
Пусть $|f(x)| > f(x)$. Проверим, каким может быть знак $f(x)$.
Предположим, что $f(x) \ge 0$. В этом случае, по определению модуля, $|f(x)| = f(x)$.
Подставив это в неравенство $|f(x)| > f(x)$, получим $f(x) > f(x)$. Это неравенство ложно при любом значении $f(x)$.
Следовательно, наше предположение о том, что $f(x) \ge 0$, неверно. Единственная оставшаяся возможность для знака $f(x)$ — это $f(x) < 0$.

Таким образом, мы показали, что неравенство $|f(x)| > f(x)$ выполняется тогда и только тогда, когда $f(x) < 0$. Это означает, что данные неравенства равносильны.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Решите неравенство:

29.41. a) $|x^2 - x| \ge x^2 - x$;

б) $|x + \frac{1}{|x - 2| - |x^2 - 4|}| \ge x + \frac{1}{|x - 2| - |x^2 - 4|}$;

В) $|\frac{x}{x^2 - 4}| \ge \frac{x}{x^2 - 4}$;

Г) $|\frac{1}{|x^3 - 2x^2| - |x - 2|}| \ge \frac{1}{|x^3 - 2x^2| - |x - 2|}$.

а) $|x^2 - x| \ge x^2 - x$

Данное неравенство имеет вид $|A| \ge A$, где $A = x^2 - x$.

Неравенство такого вида справедливо для любого действительного значения $A$. Если $A \ge 0$, то $|A|=A$, и неравенство принимает вид $A \ge A$, что верно. Если $A < 0$, то $|A|=-A$, и неравенство принимает вид $-A \ge A$, что равносильно $2A \le 0$ или $A \le 0$, что также верно при $A < 0$.

Следовательно, исходное неравенство будет верным для всех значений $x$, при которых выражение $f(x) = x^2 - x$ определено.

Функция $f(x) = x^2 - x$ является многочленом и определена для всех действительных чисел $x$.

Таким образом, решением неравенства является множество всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.

б) $|x + \frac{1}{|x - 2| - |x^2 - 4|}| \ge x + \frac{1}{|x - 2| - |x^2 - 4|}$

Это неравенство также имеет вид $|A| \ge A$, где $A = x + \frac{1}{|x - 2| - |x^2 - 4|}$.

Как и в предыдущем пункте, решение неравенства совпадает с областью определения выражения $A$.

Область определения (ОДЗ) находится из условия, что знаменатель дроби не равен нулю:

$|x - 2| - |x^2 - 4| \neq 0$

Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$|x - 2| = |x^2 - 4|$

Используя свойство модуля $|ab| = |a||b|$, преобразуем правую часть:

$|x^2 - 4| = |(x-2)(x+2)| = |x-2| \cdot |x+2|$

Тогда уравнение принимает вид:

$|x - 2| = |x-2| \cdot |x+2|$

Рассмотрим два случая:

1. Если $|x-2| = 0$, то есть $x=2$. Уравнение становится $0=0$, что является верным равенством. Значит, $x=2$ является корнем знаменателя.

2. Если $|x-2| \neq 0$, то есть $x \neq 2$. Мы можем разделить обе части уравнения на $|x-2|$:

$1 = |x+2|$

Это уравнение распадается на два:

$x+2 = 1 \implies x = -1$

$x+2 = -1 \implies x = -3$

Таким образом, знаменатель обращается в ноль при $x \in \{-3, -1, 2\}$. Эти значения необходимо исключить из области определения.

Следовательно, решением исходного неравенства является множество всех действительных чисел, кроме -3, -1 и 2.

Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, -1) \cup (-1, 2) \cup (2, +\infty)$.

в) $|\frac{x}{x^2 - 4}| \ge \frac{x}{x^2 - 4}$

Неравенство вида $|A| \ge A$, где $A = \frac{x}{x^2 - 4}$.

Решением является область определения выражения $A$.

Выражение определено, когда его знаменатель не равен нулю:

$x^2 - 4 \neq 0$

$x^2 \neq 4$

$x \neq 2$ и $x \neq -2$

Таким образом, область определения (и, следовательно, решение неравенства) — это все действительные числа, кроме -2 и 2.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty)$.

г) $|\frac{1}{|x^3 - 2x^2| - |x - 2|}| \ge \frac{1}{|x^3 - 2x^2| - |x - 2|}$

Данное неравенство имеет вид $|A| \ge A$, где $A = \frac{1}{|x^3 - 2x^2| - |x - 2|}$.

Решением является область определения выражения $A$. Найдем ее, потребовав, чтобы знаменатель был не равен нулю:

$|x^3 - 2x^2| - |x - 2| \neq 0$

Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$|x^3 - 2x^2| = |x - 2|$

Разложим на множители выражение в левой части:

$|x^2(x - 2)| = |x - 2|$

$|x^2| \cdot |x - 2| = |x - 2|$

Поскольку $x^2 \ge 0$, то $|x^2|=x^2$.

$x^2 |x - 2| = |x - 2|$

Перенесем все в одну сторону и вынесем общий множитель:

$x^2 |x - 2| - |x - 2| = 0$

$|x - 2|(x^2 - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1. $|x - 2| = 0 \implies x - 2 = 0 \implies x = 2$

2. $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = 1$ или $x = -1$

Знаменатель равен нулю при $x \in \{-1, 1, 2\}$. Эти значения необходимо исключить.

Следовательно, решением неравенства является множество всех действительных чисел, кроме -1, 1 и 2.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, 2) \cup (2, +\infty)$.

29.42. a) $|x^2 + 3x - 1| > x^2 + 3x - 1;$

б) $\left|1 - \frac{1}{x}\right| > \frac{x^2 - 1}{x};$

в) $|5x^2 + x| > 5x^2 + x;$

г) $|x| \cdot |x - 7| > 7x - x^2.$

а) Данное неравенство имеет вид $|A| > A$. По определению модуля, $|A| \ge A$ для любого действительного $A$. Строгое неравенство $|A| > A$ выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля является строго отрицательным, то есть $A < 0$. В данном случае $A = x^2 + 3x - 1$.
Следовательно, исходное неравенство равносильно квадратному неравенству $x^2 + 3x - 1 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 9 + 4 = 13$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$ и $x_2 = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$.
Графиком функции $y = x^2 + 3x - 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Значит, значения функции отрицательны на интервале между корнями.
Таким образом, решением неравенства является интервал $(\frac{-3 - \sqrt{13}}{2}, \frac{-3 + \sqrt{13}}{2})$.
Ответ: $( \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}; \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} )$.

б) Область допустимых значений (ОДЗ) переменной $x$ определяется условием $x \neq 0$.
Преобразуем неравенство:
$|1 - \frac{1}{x}| = |\frac{x-1}{x}| = \frac{|x-1|}{|x|}$.
$\frac{x^2 - 1}{x} = \frac{(x-1)(x+1)}{x}$.
Неравенство принимает вид: $\frac{|x-1|}{|x|} > \frac{(x-1)(x+1)}{x}$.
Раскроем модули, рассмотрев три случая, определяемых точками $x=0$ и $x=1$.
1) Пусть $x > 1$. Тогда $x-1 > 0$ и $x > 0$, поэтому $|x-1|=x-1$ и $|x|=x$. Неравенство принимает вид:
$\frac{x-1}{x} > \frac{(x-1)(x+1)}{x}$.
Поскольку $x > 0$, умножим обе части на $x$: $x-1 > (x-1)(x+1)$.
Так как $x > 1$, то $x-1 > 0$, разделим обе части на $x-1$: $1 > x+1$, что равносильно $x < 0$.
Полученное условие $x < 0$ противоречит предположению $x > 1$. В этом случае решений нет.
2) Пусть $0 < x < 1$. Тогда $x-1 < 0$ и $x > 0$, поэтому $|x-1|=-(x-1)$ и $|x|=x$. Неравенство принимает вид:
$\frac{-(x-1)}{x} > \frac{(x-1)(x+1)}{x}$.
Умножим на $x > 0$: $-(x-1) > (x-1)(x+1)$.
Перенесем все в правую часть: $0 > (x-1)(x+1) + (x-1)$.
$0 > (x-1)(x+1+1)$, то есть $(x-1)(x+2) < 0$.
Корни левой части: $x=1$ и $x=-2$. Ветви параболы $y=(x-1)(x+2)$ направлены вверх, значит, неравенство выполняется на интервале $(-2, 1)$.
С учетом условия $0 < x < 1$, получаем решение для этого случая: $x \in (0, 1)$.
3) Пусть $x < 0$. Тогда $x-1 < 0$ и $x < 0$, поэтому $|x-1|=-(x-1)$ и $|x|=-x$. Неравенство принимает вид:
$\frac{-(x-1)}{-x} > \frac{(x-1)(x+1)}{x}$, что упрощается до $\frac{x-1}{x} > \frac{(x-1)(x+1)}{x}$.
Умножим обе части на $x < 0$, изменив знак неравенства на противоположный: $x-1 < (x-1)(x+1)$.
Поскольку $x < 0$, то $x-1 < 0$. Разделим на $x-1$, снова изменив знак неравенства: $1 > x+1$, что равносильно $x < 0$.
Это условие совпадает с предположением $x < 0$. Следовательно, все $x$ из интервала $(-\infty, 0)$ являются решениями.
Объединяя решения из всех случаев, получаем $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 1)$.
Ответ: $(-\infty, 0) \cup (0, 1)$.

в) Данное неравенство также имеет вид $|A| > A$. Как и в пункте а), это неравенство равносильно условию $A < 0$.
В данном случае $A = 5x^2 + x$.
Решаем неравенство $5x^2 + x < 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(5x + 1) < 0$.
Найдем корни уравнения $x(5x + 1) = 0$. Это $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{1}{5}$.
Графиком функции $y = 5x^2 + x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции отрицательны между корнями.
Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-\frac{1}{5}, 0)$.
Ответ: $(-\frac{1}{5}, 0)$.

г) Используем свойство модуля $|a| \cdot |b| = |ab|$ для левой части неравенства:
$|x(x-7)| > 7x - x^2$
$|x^2 - 7x| > 7x - x^2$.
Заметим, что выражение в правой части является противоположным выражению под знаком модуля: $7x - x^2 = -(x^2 - 7x)$.
Пусть $A = x^2 - 7x$. Тогда неравенство принимает вид $|A| > -A$.
Рассмотрим это неравенство.
Если $A > 0$, то $|A|=A$, и неравенство становится $A > -A$, или $2A > 0$, что эквивалентно $A > 0$. Это верно для всех $A > 0$.
Если $A < 0$, то $|A|=-A$, и неравенство становится $-A > -A$, что неверно.
Если $A = 0$, то $|A|=0$, и неравенство становится $0 > 0$, что также неверно.
Следовательно, неравенство $|A| > -A$ равносильно условию $A > 0$.
В нашем случае это означает, что мы должны решить неравенство $x^2 - 7x > 0$.
Разложим левую часть на множители: $x(x - 7) > 0$.
Корни уравнения $x(x - 7) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется за пределами интервала между корнями.
Решением является объединение интервалов $(-\infty, 0) \cup (7, \infty)$.
Ответ: $(-\infty, 0) \cup (7, \infty)$.