Страница 180, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите неравенство:

28.57. a) $\frac{(x^2 + x + 1)^2 + 2(x^3 + x^2 + x) - 3x^2}{10x^2 - 17x - 6} \ge 0;$

б) $\frac{(x^2 - x - 1)^2 - 2(x^3 - x^2 - x) - 3x^2}{10x^4 - 43x^3 - 9x^2} \le 0.$

a)

Решим неравенство $ \frac{(x^2 + x + 1)^2 + 2(x^3 + x^2 + x) - 3x^2}{10x^2 - 17x - 6} \ge 0 $.

Сначала преобразуем числитель дроби. Заметим, что $x^3 + x^2 + x = x(x^2 + x + 1)$. Сделаем замену $t = x^2 + x + 1$.

Числитель примет вид: $t^2 + 2(xt) - 3x^2 = t^2 + 2xt - 3x^2$.

Это квадратное выражение относительно переменной $t$. Найдем его корни, решив уравнение $t^2 + 2xt - 3x^2 = 0$:

$t = \frac{-2x \pm \sqrt{(2x)^2 - 4(1)(-3x^2)}}{2} = \frac{-2x \pm \sqrt{4x^2 + 12x^2}}{2} = \frac{-2x \pm \sqrt{16x^2}}{2} = \frac{-2x \pm 4x}{2}$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-2x+4x}{2} = x$ и $t_2 = \frac{-2x-4x}{2} = -3x$.

Следовательно, числитель можно разложить на множители: $(t - x)(t + 3x)$.

Выполним обратную замену $t = x^2 + x + 1$:

$(x^2 + x + 1 - x)(x^2 + x + 1 + 3x) = (x^2 + 1)(x^2 + 4x + 1)$.

Выражение $x^2 + 1$ всегда строго положительно при любом действительном $x$. Корни множителя $x^2 + 4x + 1$ найдем из уравнения $x^2 + 4x + 1 = 0$:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.

Теперь преобразуем знаменатель: $10x^2 - 17x - 6$. Найдем его корни из уравнения $10x^2 - 17x - 6 = 0$:

$D = (-17)^2 - 4(10)(-6) = 289 + 240 = 529 = 23^2$.

$x = \frac{17 \pm 23}{20}$. Корни: $x_1 = \frac{17+23}{20} = \frac{40}{20} = 2$ и $x_2 = \frac{17-23}{20} = \frac{-6}{20} = -\frac{3}{10}$.

Таким образом, исходное неравенство эквивалентно следующему:

$ \frac{(x^2 + 1)(x^2 + 4x + 1)}{10(x-2)(x+\frac{3}{10})} \ge 0 $

Поскольку $x^2 + 1 > 0$ и $10 > 0$, неравенство можно упростить до:

$ \frac{x^2 + 4x + 1}{(x-2)(x+\frac{3}{10})} \ge 0 $

Решим это неравенство методом интервалов. Корни числителя (включаются в решение, так как неравенство нестрогое): $-2 - \sqrt{3}$ и $-2 + \sqrt{3}$. Корни знаменателя (исключаются из решения): $2$ и $-\frac{3}{10}$.

Расположим корни на числовой оси в порядке возрастания: $-2 - \sqrt{3} \approx -3.73$; $-\frac{3}{10} = -0.3$; $-2 + \sqrt{3} \approx -0.27$; $2$.

Определим знаки выражения на полученных интервалах:

• $(-\infty, -2-\sqrt{3}]$: знак $(+)$. Интервал является решением.
• $[-2-\sqrt{3}, -\frac{3}{10})$: знак $(-)$.
• $(-\frac{3}{10}, -2+\sqrt{3}]$: знак $(+)$. Интервал является решением.
• $[-2+\sqrt{3}, 2)$: знак $(-)$.
• $(2, +\infty)$: знак $(+)$. Интервал является решением.

Объединяя интервалы, получаем решение неравенства.

Ответ: $x \in (-\infty, -2-\sqrt{3}] \cup (-\frac{3}{10}, -2+\sqrt{3}] \cup (2, +\infty)$.

б)

Решим неравенство $ \frac{(x^2 - x - 1)^2 - 2(x^3 - x^2 - x) - 3x^2}{10x^4 - 43x^3 - 9x^2} \le 0 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$10x^4 - 43x^3 - 9x^2 \neq 0 \implies x^2(10x^2 - 43x - 9) \neq 0$.

Отсюда следует, что $x \neq 0$. Решим квадратное уравнение $10x^2 - 43x - 9 = 0$:

$D = (-43)^2 - 4(10)(-9) = 1849 + 360 = 2209 = 47^2$.

$x = \frac{43 \pm 47}{20}$. Корни: $x_1 = \frac{43+47}{20} = \frac{90}{20} = \frac{9}{2}$ и $x_2 = \frac{43-47}{20} = \frac{-4}{20} = -\frac{1}{5}$.

ОДЗ: $x \neq -\frac{1}{5}$, $x \neq 0$, $x \neq \frac{9}{2}$.

Преобразуем числитель. Заметим, что $x^3 - x^2 - x = x(x^2 - x - 1)$. Сделаем замену $t = x^2 - x - 1$.

Числитель примет вид: $t^2 - 2(xt) - 3x^2 = t^2 - 2xt - 3x^2$.

Найдем корни этого выражения как квадратного относительно $t$: $t = \frac{2x \pm \sqrt{(-2x)^2 - 4(1)(-3x^2)}}{2} = \frac{2x \pm 4x}{2}$.

Корни: $t_1 = 3x$ и $t_2 = -x$. Тогда числитель равен $(t - 3x)(t + x)$.

После обратной замены $t = x^2 - x - 1$ получаем: $(x^2 - x - 1 - 3x)(x^2 - x - 1 + x) = (x^2 - 4x - 1)(x^2 - 1)$.

Неравенство принимает вид: $ \frac{(x^2 - 4x - 1)(x^2 - 1)}{x^2(10x^2 - 43x - 9)} \le 0 $.

Разложив знаменатель на множители, имеем: $ \frac{(x^2 - 4x - 1)(x - 1)(x + 1)}{10x^2(x - \frac{9}{2})(x + \frac{1}{5})} \le 0 $.

Так как $10x^2 > 0$ для всех $x$ из ОДЗ, знак дроби зависит от остальных множителей. Решим неравенство:

$ \frac{(x^2 - 4x - 1)(x - 1)(x + 1)}{(x - \frac{9}{2})(x + \frac{1}{5})} \le 0 $ с учетом $x \neq 0$.

Найдем корни числителя: $x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$. Из $x^2 - 4x - 1 = 0 \implies x = \frac{4 \pm \sqrt{16+4}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$.

Используем метод интервалов. Критические точки, расположенные на числовой оси:

$-1$, $2 - \sqrt{5} \approx -0.236$, $-\frac{1}{5} = -0.2$, $0$, $1$, $2 + \sqrt{5} \approx 4.236$, $\frac{9}{2} = 4.5$.

Корни числителя ($ -1, 1, 2 \pm \sqrt{5} $) включаются в решение, а точки, в которых знаменатель равен нулю ($-\frac{1}{5}, 0, \frac{9}{2}$), исключаются.

Определим знаки выражения в интервалах и выберем те, где оно меньше или равно нулю:

• $[-1, 2-\sqrt{5}]$: знак $(-)$. Интервал является решением.
• $(-\frac{1}{5}, 0)$: знак $(-)$. Интервал является решением.
• $(0, 1]$: знак $(-)$. Интервал является решением.
• $[2+\sqrt{5}, \frac{9}{2})$: знак $(-)$. Интервал является решением.

В остальных интервалах выражение положительно.

Ответ: $x \in [-1, 2-\sqrt{5}] \cup (-\frac{1}{5}, 0) \cup (0, 1] \cup [2+\sqrt{5}, \frac{9}{2})$.

28.58. a) $(x^2 + 8x + 15)\log_{0,5} \left(1 + \cos^2 \frac{\pi x}{4}\right) \ge 1;$

б) $(10x - x^2 - 24)\log_5 \left(4 \sin^2 \frac{\pi x}{2} + 1\right) \ge 1.$

а) Решим неравенство $(x^2 + 8x + 15)\log_{0,5}(1 + \cos^2(\frac{\pi x}{4})) \geq 1$.

Рассмотрим каждый множитель в левой части неравенства отдельно.

Первый множитель: $f(x) = x^2 + 8x + 15$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем ее наименьшее значение. Координата вершины параболы $x_v = - \frac{b}{2a} = - \frac{8}{2 \cdot 1} = -4$. Значение функции в вершине: $f(-4) = (-4)^2 + 8(-4) + 15 = 16 - 32 + 15 = -1$. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $x^2 + 8x + 15 \ge -1$.

Второй множитель: $g(x) = \log_{0,5}(1 + \cos^2(\frac{\pi x}{4}))$.

Оценим выражение под знаком логарифма. Область значений функции $y=\cos^2(\alpha)$ — это отрезок $[0, 1]$.

Следовательно, $0 \le \cos^2(\frac{\pi x}{4}) \le 1$.

Прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим: $1 \le 1 + \cos^2(\frac{\pi x}{4}) \le 2$.

Логарифмическая функция $y = \log_{0,5}t$ является убывающей, так как ее основание $0,5$ находится в интервале $(0, 1)$. Применяя логарифм к полученному двойному неравенству, меняем знаки неравенства:

$\log_{0,5}2 \le \log_{0,5}(1 + \cos^2(\frac{\pi x}{4})) \le \log_{0,5}1$.

Поскольку $\log_{0,5}2 = -1$ и $\log_{0,5}1 = 0$, получаем оценку для второго множителя: $-1 \le \log_{0,5}(1 + \cos^2(\frac{\pi x}{4})) \le 0$.

Итак, исходное неравенство имеет вид $f(x) \cdot g(x) \ge 1$, где $f(x) \ge -1$ и $g(x) \in [-1, 0]$.

Произведение $f(x)g(x)$ должно быть не меньше 1. Так как $g(x) \le 0$, для выполнения неравенства $f(x)g(x) \ge 1$ необходимо, чтобы множитель $f(x)$ был также неположительным. Если $g(x) = 0$, то $0 \ge 1$, что неверно. Значит $g(x) < 0$, и, следовательно, $f(x) < 0$.

Мы имеем произведение двух отрицательных чисел, при этом $f(x) \ge -1$ и $g(x) \ge -1$. Произведение двух таких чисел может быть больше или равно 1 только в том случае, если оба они равны -1. То есть $-f(x) \le 1$ и $-g(x) \le 1$, а их произведение $(-f(x))(-g(x)) \ge 1$ возможно только при $(-f(x))=1$ и $(-g(x))=1$.

Следовательно, исходное неравенство равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 8x + 15 = -1 \\ \log_{0,5}(1 + \cos^2(\frac{\pi x}{4})) = -1 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$x^2 + 8x + 16 = 0$

$(x+4)^2 = 0$

$x = -4$.

Проверим, является ли $x=-4$ решением второго уравнения. Подставим это значение:

$\log_{0,5}(1 + \cos^2(\frac{\pi(-4)}{4})) = \log_{0,5}(1 + \cos^2(-\pi)) = \log_{0,5}(1 + (-1)^2) = \log_{0,5}(1+1) = \log_{0,5}2 = -1$.

Равенство верно. Таким образом, $x = -4$ является единственным решением системы и исходного неравенства.

Ответ: $x = -4$.

б) Решим неравенство $(10x - x^2 - 24)\log_{5}(4\sin^2(\frac{\pi x}{2}) + 1) \ge 1$.

Рассмотрим каждый множитель в левой части неравенства отдельно.

Первый множитель: $f(x) = 10x - x^2 - 24$. Это квадратичная функция $f(x) = -(x^2 - 10x + 24)$, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем ее наибольшее значение. Координата вершины параболы $x_v = - \frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5$. Значение функции в вершине: $f(5) = 10(5) - 5^2 - 24 = 50 - 25 - 24 = 1$. Таким образом, для любого действительного $x$ выполняется неравенство $10x - x^2 - 24 \le 1$.

Второй множитель: $g(x) = \log_{5}(4\sin^2(\frac{\pi x}{2}) + 1)$.

Оценим выражение под знаком логарифма. Область значений функции $y=\sin^2(\alpha)$ — это отрезок $[0, 1]$.

Следовательно, $0 \le \sin^2(\frac{\pi x}{2}) \le 1$.

Умножая на 4, получаем $0 \le 4\sin^2(\frac{\pi x}{2}) \le 4$.

Прибавляя 1 ко всем частям, получаем $1 \le 4\sin^2(\frac{\pi x}{2}) + 1 \le 5$.

Логарифмическая функция $y = \log_{5}t$ является возрастающей, так как ее основание $5 > 1$. Применяя логарифм к полученному двойному неравенству, получаем:

$\log_{5}1 \le \log_{5}(4\sin^2(\frac{\pi x}{2}) + 1) \le \log_{5}5$.

Поскольку $\log_{5}1 = 0$ и $\log_{5}5 = 1$, получаем оценку для второго множителя: $0 \le \log_{5}(4\sin^2(\frac{\pi x}{2}) + 1) \le 1$.

Итак, исходное неравенство имеет вид $f(x) \cdot g(x) \ge 1$, где $f(x) \le 1$ и $g(x) \in [0, 1]$.

Произведение $f(x)g(x)$ должно быть не меньше 1. Пусть $A=f(x)$ и $B=g(x)$. Мы имеем $A \le 1$ и $0 \le B \le 1$. Необходимо, чтобы $A \cdot B \ge 1$.

Если $B < 1$, то для выполнения $A \cdot B \ge 1$ требуется $A \ge \frac{1}{B} > 1$, что противоречит условию $A \le 1$.

Значит, единственная возможность — это $B = 1$. Тогда неравенство принимает вид $A \cdot 1 \ge 1$, то есть $A \ge 1$. Учитывая условие $A \le 1$, получаем, что $A = 1$.

Таким образом, исходное неравенство равносильно системе уравнений:

$\begin{cases} 10x - x^2 - 24 = 1 \\ \log_{5}(4\sin^2(\frac{\pi x}{2}) + 1) = 1 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$10x - x^2 - 25 = 0$

$x^2 - 10x + 25 = 0$

$(x-5)^2 = 0$

$x = 5$.

Проверим, является ли $x=5$ решением второго уравнения. Подставим это значение:

$\log_{5}(4\sin^2(\frac{5\pi}{2}) + 1)$.

Так как $\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, то $\sin^2(\frac{5\pi}{2}) = 1^2 = 1$.

Выражение принимает вид: $\log_{5}(4 \cdot 1 + 1) = \log_{5}5 = 1$.

Равенство верно. Таким образом, $x = 5$ является единственным решением системы и исходного неравенства.

Ответ: $x = 5$.

28.59. При каких значениях параметра $a$ ни одно решение неравенства $x + 3^x - 2^a - 9^a < 0$ не является решением неравенства $\frac{x-3a-1}{x-5a+3} < 0$?

Условие задачи состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых множество решений первого неравенства не пересекается с множеством решений второго неравенства.

Обозначим множество решений неравенства $x + 3^x - 2a - 9^a < 0$ как $M_1$, а множество решений неравенства $\frac{x - 3a - 1}{x - 5a + 3} < 0$ как $M_2$. Задача сводится к нахождению таких $a$, при которых $M_1 \cap M_2 = \emptyset$.

1. Найдем множество решений первого неравенства.

Рассмотрим неравенство $x + 3^x - 2a - 9^a < 0$. Перепишем его в виде $x + 3^x < 2a + 9^a$.

Введем функцию $f(x) = x + 3^x$. Ее производная $f'(x) = 1 + 3^x \ln 3$.

Так как $3^x > 0$ и $\ln 3 > 0$, то $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси.

Заметим, что значение $f(x)$ при $x=2a$ равно правой части неравенства:

$f(2a) = 2a + 3^{2a} = 2a + (3^2)^a = 2a + 9^a$.

Таким образом, исходное неравенство можно записать в виде $f(x) < f(2a)$.

Поскольку функция $f(x)$ строго возрастающая, это неравенство равносильно неравенству $x < 2a$.

Следовательно, множество решений первого неравенства есть интервал $M_1 = (-\infty; 2a)$.

2. Найдем множество решений второго неравенства.

Рассмотрим неравенство $\frac{x - 3a - 1}{x - 5a + 3} < 0$.

Решим его методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

$x_1 = 3a + 1$

$x_2 = 5a - 3$

Решением неравенства является интервал между точками $x_1$ и $x_2$. Чтобы определить, какая из точек больше, найдем их разность:

$x_1 - x_2 = (3a + 1) - (5a - 3) = 4 - 2a = 2(2 - a)$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака этого выражения:

• Случай а) $a < 2$. В этом случае $2(2-a) > 0$, значит $x_1 > x_2$. Решением неравенства будет интервал $M_2 = (x_2; x_1) = (5a - 3; 3a + 1)$.
• Случай б) $a > 2$. В этом случае $2(2-a) < 0$, значит $x_1 < x_2$. Решением неравенства будет интервал $M_2 = (x_1; x_2) = (3a + 1; 5a - 3)$.
• Случай в) $a = 2$. В этом случае $x_1 = x_2 = 7$. Неравенство принимает вид $\frac{x-7}{x-7} < 0$, что при $x \neq 7$ равносильно $1 < 0$. Это неверно, поэтому при $a=2$ второе неравенство не имеет решений, то есть $M_2 = \emptyset$.

3. Найдем значения $a$, при которых $M_1 \cap M_2 = \emptyset$.

Теперь для каждого из трех случаев найдем, при каких $a$ пересечение множеств $M_1 = (-\infty; 2a)$ и $M_2$ будет пустым.

• Случай а) $a < 2$. Здесь $M_2 = (5a - 3; 3a + 1)$. Пересечение $M_1 \cap M_2$ будет пустым, если правая граница интервала $M_1$ будет меньше или равна левой границе интервала $M_2$:

  $2a \le 5a - 3$

  $3 \le 3a$

  $a \ge 1$

  С учетом условия $a < 2$, получаем для этого случая $a \in [1; 2)$.

• Случай б) $a = 2$. Здесь $M_2 = \emptyset$. Пересечение любого множества с пустым множеством пусто ($M_1 \cap \emptyset = \emptyset$). Значит, $a=2$ является решением.
• Случай в) $a > 2$. Здесь $M_2 = (3a + 1; 5a - 3)$. Пересечение $M_1 \cap M_2$ будет пустым, если правая граница $M_1$ будет меньше или равна левой границе $M_2$:

  $2a \le 3a + 1$

  $-1 \le a$

  $a \ge -1$

  С учетом условия $a > 2$, все значения из этого промежутка удовлетворяют условию $a \ge -1$. Таким образом, все $a \in (2; +\infty)$ являются решениями.

4. Объединим полученные результаты.

Условию задачи удовлетворяют значения $a$ из следующих промежутков:

$[1; 2) \cup \{2\} \cup (2; +\infty)$.

Объединение этих множеств дает итоговый промежуток $[1; +\infty)$.

Ответ: $a \in [1; +\infty)$.

Решите уравнение:

29.1. a) $|x| = 7$;

б) $|x - 8| = 7$;

в) $|x + 5| = 7$;

г) $|5x - 2| = 1$.

а) Решение уравнения $|x| = 7$.
По определению модуля, если модуль числа равен положительному числу $c$, то само число может быть равно $c$ или $-c$. В данном случае уравнение $|x| = 7$ равносильно совокупности двух случаев:
1) $x = 7$
2) $x = -7$
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: $\{-7; 7\}$.

б) Решение уравнения $|x - 8| = 7$.
Данное уравнение означает, что выражение, стоящее под знаком модуля, равно $7$ или $-7$. Это приводит к совокупности двух линейных уравнений:
1) $x - 8 = 7$
$x = 7 + 8$
$x = 15$
2) $x - 8 = -7$
$x = -7 + 8$
$x = 1$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $\{1; 15\}$.

в) Решение уравнения $|x + 5| = 7$.
Это уравнение также равносильно совокупности двух линейных уравнений, так как выражение под знаком модуля может быть равно $7$ или $-7$.
1) $x + 5 = 7$
$x = 7 - 5$
$x = 2$
2) $x + 5 = -7$
$x = -7 - 5$
$x = -12$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $\{-12; 2\}$.

г) Решение уравнения $|5x - 2| = 1$.
Раскрываем модуль, рассматривая два случая для выражения $5x-2$:
1) $5x - 2 = 1$
$5x = 1 + 2$
$5x = 3$
$x = \frac{3}{5}$
2) $5x - 2 = -1$
$5x = -1 + 2$
$5x = 1$
$x = \frac{1}{5}$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $\{\frac{1}{5}; \frac{3}{5}\}$.

29.2. a) $|x + 2| = -7;$

б) $|x + 5| = -2 + \sqrt{7};$

В) $|x + 8| = 2 - \sqrt{7};$

Г) $|x + 5| = 3,14 - \pi.$

а)

Дано уравнение $|x + 2| = -7$.

По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа или выражения является неотрицательной величиной, то есть $|x + 2| \geq 0$ для любого значения $x$.

Правая часть уравнения равна -7, что является отрицательным числом.

Поскольку неотрицательное значение не может быть равно отрицательному числу, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б)

Дано уравнение $|x + 5| = -2 + \sqrt{7}$.

Сначала оценим знак выражения в правой части уравнения, то есть $-2 + \sqrt{7}$.

Для этого сравним числа $2$ и $\sqrt{7}$. Возведем оба числа в квадрат: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$.

Так как $4 < 7$, то $2 < \sqrt{7}$.

Следовательно, разность $-2 + \sqrt{7}$ является положительным числом.

Поскольку правая часть уравнения положительна, уравнение $|A| = B$ (где $B > 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$.

Таким образом, получаем два случая:

1) $x + 5 = -2 + \sqrt{7}$

$x = -5 - 2 + \sqrt{7}$

$x_1 = -7 + \sqrt{7}$

2) $x + 5 = -(-2 + \sqrt{7})$

$x + 5 = 2 - \sqrt{7}$

$x = -5 + 2 - \sqrt{7}$

$x_2 = -3 - \sqrt{7}$

Ответ: $x_1 = -7 + \sqrt{7}$, $x_2 = -3 - \sqrt{7}$.

в)

Дано уравнение $|x + 8| = 2 - \sqrt{7}$.

Левая часть уравнения, $|x + 8|$, по определению модуля, всегда неотрицательна: $|x + 8| \geq 0$.

Оценим знак выражения в правой части: $2 - \sqrt{7}$.

Как мы установили в пункте б), $2 < \sqrt{7}$. Следовательно, разность $2 - \sqrt{7}$ является отрицательным числом.

Уравнение, в котором неотрицательная величина приравнивается к отрицательной, не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

г)

Дано уравнение $|x + 5| = 3,14 - \pi$.

Левая часть уравнения, $|x + 5|$, всегда неотрицательна: $|x + 5| \geq 0$.

Рассмотрим правую часть: $3,14 - \pi$.

Число $\pi$ (пи) — это иррациональное число, его значение приблизительно равно $3,14159...$

Поскольку $\pi \approx 3,14159... > 3,14$, то разность $3,14 - \pi$ будет отрицательной.

Так как модуль не может быть равен отрицательному числу, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет.

29.3. a) $\left| \frac{x + 1}{x - 3} \right| = 1;$

б) $\left| \frac{4x - 5}{4x + 1} \right| = 4;$

в) $\left| \frac{2x + 5}{2 - x} \right| = 2;$

г) $\left| \frac{2 - 3x}{3 + x} \right| = 3.$

а)

Дано уравнение: $|\frac{x+1}{x-3}| = 1$.
Уравнение вида $|A| = c$ (где $c \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = c$ или $A = -c$.
Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель $x - 3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.

Рассмотрим два случая:
1) $\frac{x+1}{x-3} = 1$
$x + 1 = 1 \cdot (x - 3)$
$x + 1 = x - 3$
$1 = -3$
Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

2) $\frac{x+1}{x-3} = -1$
$x + 1 = -1 \cdot (x - 3)$
$x + 1 = -x + 3$
$x + x = 3 - 1$
$2x = 2$
$x = 1$

Найденный корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ ($1 \neq 3$).
Ответ: 1.

б)

Дано уравнение: $|\frac{4x-5}{4x+1}| = 4$.
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений при условии, что знаменатель не равен нулю.
ОДЗ: $4x + 1 \neq 0$, следовательно, $4x \neq -1$, $x \neq -\frac{1}{4}$.

Рассмотрим два случая:
1) $\frac{4x-5}{4x+1} = 4$
$4x - 5 = 4(4x + 1)$
$4x - 5 = 16x + 4$
$4x - 16x = 4 + 5$
$-12x = 9$
$x = -\frac{9}{12} = -\frac{3}{4}$

2) $\frac{4x-5}{4x+1} = -4$
$4x - 5 = -4(4x + 1)$
$4x - 5 = -16x - 4$
$4x + 16x = -4 + 5$
$20x = 1$
$x = \frac{1}{20}$

Оба корня $x_1 = -\frac{3}{4}$ и $x_2 = \frac{1}{20}$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -\frac{1}{4}$).
Ответ: $-\frac{3}{4}; \frac{1}{20}$.

в)

Дано уравнение: $|\frac{2x+5}{2-x}| = 2$.
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений при условии, что знаменатель не равен нулю.
ОДЗ: $2 - x \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Рассмотрим два случая:
1) $\frac{2x+5}{2-x} = 2$
$2x + 5 = 2(2 - x)$
$2x + 5 = 4 - 2x$
$2x + 2x = 4 - 5$
$4x = -1$
$x = -\frac{1}{4}$

2) $\frac{2x+5}{2-x} = -2$
$2x + 5 = -2(2 - x)$
$2x + 5 = -4 + 2x$
$5 = -4$
Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Найденный корень $x = -\frac{1}{4}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 2$).
Ответ: $-\frac{1}{4}$.

г)

Дано уравнение: $|\frac{2-3x}{3+x}| = 3$.
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений при условии, что знаменатель не равен нулю.
ОДЗ: $3 + x \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.

Рассмотрим два случая:
1) $\frac{2-3x}{3+x} = 3$
$2 - 3x = 3(3 + x)$
$2 - 3x = 9 + 3x$
$-3x - 3x = 9 - 2$
$-6x = 7$
$x = -\frac{7}{6}$

2) $\frac{2-3x}{3+x} = -3$
$2 - 3x = -3(3 + x)$
$2 - 3x = -9 - 3x$
$2 = -9$
Это неверное равенство, следовательно, в этом случае решений нет.

Найденный корень $x = -\frac{7}{6}$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -3$).
Ответ: $-\frac{7}{6}$.

29.4. Решите уравнение для каждого значения параметра p:

а) $|2x + 1| = p;$

б) $|x^2 - 1| = (p - 1)p;$

в) $|2x + 1| = -1 - 5p;$

г) $|x^2 - 1| = 4(p - 1) - p^2.$

а)

Дано уравнение $|2x + 1| = p$.

Левая часть уравнения, модуль $|2x + 1|$, всегда неотрицательна, то есть $|2x + 1| \ge 0$. Следовательно, уравнение может иметь решения только если правая часть $p$ также неотрицательна.

Рассмотрим три случая для параметра $p$:

1. Если $p < 0$, правая часть уравнения отрицательна, а левая неотрицательна. В этом случае уравнение не имеет решений.

2. Если $p = 0$, уравнение принимает вид $|2x + 1| = 0$. Это возможно, только когда выражение под модулем равно нулю: $2x + 1 = 0$, откуда $2x = -1$ и $x = -1/2$. Уравнение имеет один корень.

3. Если $p > 0$, правая часть положительна. Уравнение $|2x + 1| = p$ равносильно совокупности двух уравнений:

$2x + 1 = p$ или $2x + 1 = -p$.

Решаем первое уравнение: $2x = p - 1$, откуда $x_1 = \frac{p - 1}{2}$.

Решаем второе уравнение: $2x = -p - 1$, откуда $x_2 = \frac{-p - 1}{2}$.

В этом случае уравнение имеет два различных корня.

Ответ: если $p < 0$, корней нет; если $p = 0$, то $x = -1/2$; если $p > 0$, то $x_1 = \frac{p-1}{2}, x_2 = \frac{-p-1}{2}$.

б)

Дано уравнение $|x^2 - 1| = (p - 1)p$.

Левая часть уравнения $|x^2 - 1|$ неотрицательна, поэтому правая часть $(p-1)p$ также должна быть неотрицательной. Неравенство $(p-1)p \ge 0$ выполняется при $p \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$. Если $p \in (0, 1)$, уравнение не имеет решений.

Для $p \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$ уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $x^2 - 1 = p^2 - p \implies x^2 = p^2 - p + 1$.

2) $x^2 - 1 = -(p^2 - p) \implies x^2 = -p^2 + p + 1$.

Рассмотрим уравнение (1): $x^2 = p^2 - p + 1$. Выражение $p^2 - p + 1$ всегда положительно для любого $p$, так как его дискриминант $D = (-1)^2 - 4 < 0$. Следовательно, это уравнение всегда имеет два корня: $x = \pm\sqrt{p^2 - p + 1}$.

Рассмотрим уравнение (2): $x^2 = -p^2 + p + 1$. Оно имеет решения, если $-p^2 + p + 1 \ge 0$, то есть $p^2 - p - 1 \le 0$. Корни квадратного трехчлена $p^2 - p - 1 = 0$ равны $p = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Таким образом, решения существуют при $p \in [\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}]$.

Объединим результаты, учитывая исходное условие $p \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$:

Случай 1: $p \in (-\infty, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$. В этом случае условие $p \in [\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, \frac{1 + \sqrt{5}}{2}]$ не выполнено, корни дает только уравнение (1). Два корня: $x = \pm\sqrt{p^2 - p + 1}$.

Случай 2: $p = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ или $p = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$. Для этих значений $p^2 - p - 1 = 0 \implies p^2-p=1$. Уравнение (1) дает $x^2 = 1+1=2 \implies x = \pm\sqrt{2}$. Уравнение (2) дает $x^2 = 0 \implies x=0$. Три корня: $x=0, x=\pm\sqrt{2}$.

Случай 3: $p \in (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0] \cup [1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$. Здесь оба уравнения дают корни. Проверим, могут ли они совпадать. $p^2 - p + 1 = -p^2 + p + 1 \implies 2p^2 - 2p = 0 \implies 2p(p-1)=0 \implies p=0$ или $p=1$.

- Если $p=0$ или $p=1$, корни совпадают. В обоих случаях $x^2=1$, что дает два корня: $x = \pm 1$.

- Если $p \in (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$, все корни различны. Четыре корня: $x = \pm\sqrt{p^2 - p + 1}$ и $x = \pm\sqrt{-p^2 + p + 1}$.

Случай 4: $p \in (0, 1)$. Корней нет.

Ответ:

при $p \in (0, 1)$ корней нет;

при $p=0$ или $p=1$ — два корня: $x=\pm 1$;

при $p = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ — три корня: $x=0, x=\pm\sqrt{2}$;

при $p \in (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0) \cup (1, \frac{1 + \sqrt{5}}{2})$ — четыре корня: $x = \pm\sqrt{p^2 - p + 1}, x = \pm\sqrt{-p^2 + p + 1}$;

при $p \in (-\infty, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}, +\infty)$ — два корня: $x = \pm\sqrt{p^2 - p + 1}$.

в)

Дано уравнение $|2x + 1| = -1 - 5p$.

Левая часть уравнения, модуль $|2x + 1|$, всегда неотрицательна. Следовательно, правая часть $-1 - 5p$ также должна быть неотрицательной: $-1 - 5p \ge 0$.

Решим это неравенство: $-5p \ge 1 \implies p \le -1/5$.

Рассмотрим три случая для параметра $p$:

1. Если $p > -1/5$, правая часть уравнения отрицательна, и уравнение не имеет решений.

2. Если $p = -1/5$, уравнение принимает вид $|2x + 1| = -1 - 5(-1/5) = -1 + 1 = 0$. Это равносильно $2x + 1 = 0$, откуда $x = -1/2$. Уравнение имеет один корень.

3. Если $p < -1/5$, правая часть $-1 - 5p$ положительна. Уравнение $|2x + 1| = -1 - 5p$ равносильно совокупности двух уравнений:

$2x + 1 = -1 - 5p$ или $2x + 1 = -(-1 - 5p)$.

Решаем первое уравнение: $2x = -2 - 5p$, откуда $x_1 = \frac{-2 - 5p}{2} = -1 - \frac{5}{2}p$.

Решаем второе уравнение: $2x + 1 = 1 + 5p$, откуда $2x = 5p$ и $x_2 = \frac{5p}{2}$.

В этом случае уравнение имеет два различных корня.

Ответ: если $p > -1/5$, корней нет; если $p = -1/5$, то $x = -1/2$; если $p < -1/5$, то $x_1 = -1 - \frac{5}{2}p, x_2 = \frac{5p}{2}$.

г)

Дано уравнение $|x^2 - 1| = 4(p - 1) - p^2$.

Левая часть уравнения, $|x^2 - 1|$, всегда неотрицательна. Следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной.

Рассмотрим правую часть: $4(p - 1) - p^2 = 4p - 4 - p^2 = -(p^2 - 4p + 4) = -(p - 2)^2$.

Условие того, что уравнение имеет решения, таково: $-(p - 2)^2 \ge 0$.

Так как квадрат любого действительного числа $(p - 2)^2$ неотрицателен, то $-(p - 2)^2$ всегда неположительно, то есть $-(p - 2)^2 \le 0$.

Неравенство $-(p - 2)^2 \ge 0$ может выполняться только в одном случае: когда обе части равны нулю.

$-(p - 2)^2 = 0 \implies (p - 2)^2 = 0 \implies p - 2 = 0 \implies p = 2$.

Таким образом, уравнение имеет решения только при $p=2$. При всех остальных значениях $p$ ($p \neq 2$), правая часть строго отрицательна, и уравнение не имеет корней.

Подставим $p = 2$ в исходное уравнение:

$|x^2 - 1| = 4(2 - 1) - 2^2 = 4(1) - 4 = 4 - 4 = 0$.

Получаем уравнение $|x^2 - 1| = 0$, которое равносильно $x^2 - 1 = 0$.

Решая его, находим $x^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$.

Ответ: если $p = 2$, то $x = \pm 1$; если $p \neq 2$, корней нет.

29.5. Для каждого значения параметра p определите число корней уравнения:

а) $|x + 1| = 2 - p;$

б) $|2x - x^2| = \log_5 p;$

в) $|2 - x| = 1 - 2 \sin p;$

г) $|x^2 - 1| = \lg \frac{p}{p - 1}.$

а) $|x + 1| = 2 - p$

Левая часть уравнения, $|x+1|$, по определению модуля, всегда неотрицательна, то есть $|x+1| \ge 0$.Для того чтобы уравнение имело решения, его правая часть также должна быть неотрицательной.Следовательно, должно выполняться условие:$2 - p \ge 0 \implies p \le 2$.Рассмотрим три возможных случая:

1. Если правая часть строго больше нуля: $2 - p > 0$, что эквивалентно $p < 2$.В этом случае уравнение $|x+1| = 2-p$ распадается на два линейных уравнения:$x+1 = 2-p$ или $x+1 = -(2-p)$.Из первого уравнения находим корень: $x = 1-p$.Из второго уравнения: $x+1 = p-2$, откуда $x = p-3$.Поскольку $p < 2$, то $1-p \ne p-3$ (равенство достигается при $2p=4 \implies p=2$), корни различны. Таким образом, при $p < 2$ уравнение имеет два корня.

2. Если правая часть равна нулю: $2 - p = 0$, что эквивалентно $p = 2$.Уравнение принимает вид $|x+1|=0$.Это уравнение имеет единственное решение: $x+1=0 \implies x = -1$.Таким образом, при $p = 2$ уравнение имеет один корень.

3. Если правая часть меньше нуля: $2 - p < 0$, что эквивалентно $p > 2$.Уравнение принимает вид $|x+1| = \text{отрицательное число}$.Так как модуль любого выражения не может быть отрицательным, в этом случае уравнение не имеет корней.

Ответ: если $p < 2$, уравнение имеет 2 корня; если $p=2$, уравнение имеет 1 корень; если $p > 2$, уравнение не имеет корней.

б) $|2x - x^2| = \log_5 p$

Сначала определим область допустимых значений параметра $p$. Выражение $\log_5 p$ определено только при $p > 0$.Левая часть уравнения, $|2x - x^2|$, неотрицательна. Следовательно, для существования корней правая часть также должна быть неотрицательной:$\log_5 p \ge 0 \implies p \ge 5^0 \implies p \ge 1$.Объединяя условия, получаем, что решения могут существовать только при $p \ge 1$. Если $p \in (-\infty, 1)$, корней нет.

Для анализа количества корней используем графический метод. Рассмотрим графики функций $y = |2x - x^2|$ и $y = C$, где $C = \log_5 p$. Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения этих графиков.График функции $y=|2x-x^2|=|x(2-x)|$ имеет локальный максимум в точке $(1, 1)$ и два минимума (нули функции) в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

1. Если $p=1$, то $C = \log_5 1 = 0$. Прямая $y=0$ пересекает график $y=|2x-x^2|$ в двух точках: $x=0$ и $x=2$. Уравнение имеет 2 корня.

2. Если $1 < p < 5$, то $0 < \log_5 p < 1$, то есть $0 < C < 1$. Горизонтальная прямая $y=C$ пересекает график в четырех точках. Уравнение имеет 4 корня.

3. Если $p=5$, то $C = \log_5 5 = 1$. Прямая $y=1$ касается графика в его вершине $(1,1)$ и пересекает две другие ветви. Уравнение $|2x-x^2|=1$ имеет 3 корня. Один корень $x=1$ (из $2x-x^2=1$) и два корня из $-(2x-x^2)=1 \implies x^2-2x-1=0$, которые равны $x=1 \pm \sqrt{2}$.

4. Если $p > 5$, то $C = \log_5 p > 1$. Прямая $y=C$ пересекает график в двух точках. Уравнение имеет 2 корня.

Ответ: если $p \in (-\infty, 1)$, корней нет; если $p = 1$, 2 корня; если $p \in (1, 5)$, 4 корня; если $p = 5$, 3 корня; если $p > 5$, 2 корня.

в) $|2 - x| = 1 - 2 \sin p$

Левая часть уравнения, $|2-x|$, неотрицательна. Следовательно, правая часть $1 - 2 \sin p$ также должна быть неотрицательной для существования решений:$1 - 2 \sin p \ge 0 \implies 2 \sin p \le 1 \implies \sin p \le \frac{1}{2}$.

1. Если $1 - 2 \sin p > 0$, что эквивалентно $\sin p < \frac{1}{2}$.В этом случае уравнение $|2-x| = 1-2\sin p$ имеет два различных корня:$2-x = 1 - 2\sin p \implies x = 1 + 2\sin p$$2-x = -(1 - 2\sin p) \implies x = 3 - 2\sin p$

2. Если $1 - 2 \sin p = 0$, что эквивалентно $\sin p = \frac{1}{2}$.Уравнение принимает вид $|2-x|=0$ и имеет один корень: $x=2$.

3. Если $1 - 2 \sin p < 0$, что эквивалентно $\sin p > \frac{1}{2}$.Уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным.

Ответ: если $\sin p > \frac{1}{2}$, корней нет; если $\sin p = \frac{1}{2}$, один корень; если $\sin p < \frac{1}{2}$, два корня.

г) $|x^2 - 1| = \lg \frac{p}{p-1}$

Область допустимых значений параметра $p$ определяется условием $\frac{p}{p-1} > 0$. Решая это неравенство, получаем $p \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.Левая часть уравнения, $|x^2-1|$, неотрицательна, поэтому для существования корней правая часть также должна быть неотрицательной:$\lg \frac{p}{p-1} \ge 0 \implies \frac{p}{p-1} \ge 10^0 = 1$.$\frac{p}{p-1} - 1 \ge 0 \implies \frac{p - (p-1)}{p-1} \ge 0 \implies \frac{1}{p-1} \ge 0$.Это неравенство выполняется только при $p-1 > 0$, то есть $p > 1$.Таким образом, уравнение может иметь корни только при $p > 1$. При $p \le 1$ корней нет.

Рассмотрим количество корней графически, анализируя пересечения графика $y = |x^2 - 1|$ с горизонтальной прямой $y = C$, где $C = \lg \frac{p}{p-1}$.График $y=|x^2-1|$ имеет минимумы в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$ и локальный максимум в точке $(0, 1)$.Функция $C(p) = \lg \frac{p}{p-1}$ при $p > 1$ убывает от $+\infty$ (при $p \to 1^+$) до $0$ (при $p \to \infty$).

1. Если $C > 1$. Прямая $y=C$ пересекает график в 2 точках.Условие $C > 1$ равносильно $\lg \frac{p}{p-1} > 1 \implies \frac{p}{p-1} > 10 \implies \frac{10-9p}{p-1} > 0$.Учитывая, что $p > 1$, знаменатель $p-1 > 0$. Тогда $10-9p > 0 \implies p < \frac{10}{9}$.Следовательно, при $p \in (1, \frac{10}{9})$ уравнение имеет 2 корня.

2. Если $C = 1$. Прямая $y=1$ пересекает график в 3 точках: в локальном максимуме $(0,1)$ и в двух точках, где $x^2-1=1 \implies x=\pm\sqrt{2}$.Условие $C = 1$ равносильно $\lg \frac{p}{p-1} = 1 \implies \frac{p}{p-1} = 10 \implies p = 10p-10 \implies 9p = 10 \implies p = \frac{10}{9}$.При $p = \frac{10}{9}$ уравнение имеет 3 корня.

3. Если $0 < C < 1$. Прямая $y=C$ пересекает график в 4 точках.Условие $0 < C < 1$ равносильно $p > \frac{10}{9}$.При $p > \frac{10}{9}$ уравнение имеет 4 корня.

Ответ: если $p \le 1$, корней нет; если $p \in (1, \frac{10}{9})$, 2 корня; если $p = \frac{10}{9}$, 3 корня; если $p > \frac{10}{9}$, 4 корня.