Страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Из скольких основных шагов состоит классическая вероятностная схема?

1. Классическая вероятностная схема, которая применяется для вычисления вероятности события в экспериментах с конечным числом равновероятных исходов, включает в себя четыре основных шага.

Шаг 1: Формализация эксперимента. На этом этапе необходимо точно описать случайный эксперимент и определить пространство элементарных исходов $\Omega$ — то есть множество всех возможных, несовместных и равновероятных исходов. Важно убедиться, что условия применимости классической модели (конечность и равновероятность исходов) выполняются.

Шаг 2: Подсчет общего числа исходов ($n$). Далее следует найти общее количество всех элементарных исходов. Это число, обозначаемое как $n$, равно размеру (мощности) пространства элементарных исходов: $n = |\Omega|$. Для нахождения $n$ часто применяются формулы комбинаторики (сочетания, размещения, перестановки).

Шаг 3: Определение события и подсчет благоприятствующих исходов ($m$). Требуется определить событие $A$, вероятность которого нужно найти, как подмножество пространства $\Omega$. Затем необходимо подсчитать число $m$ — количество исходов, входящих в это подмножество, то есть исходов, при которых событие $A$ наступает. Такие исходы называют благоприятствующими.

Шаг 4: Вычисление вероятности. На последнем шаге вероятность события $A$ вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m}{n}$

Последовательное выполнение этих четырех шагов позволяет корректно найти вероятность в рамках классической схемы.

Ответ: классическая вероятностная схема состоит из четырех основных шагов.

2. Сформулируйте классическое определение вероятности.

Сформулируйте классическое определение вероятности.

Классическое определение вероятности применяется к случайным экспериментам, которые обладают конечным числом равновозможных исходов.

Пусть проводится некоторый эксперимент, который имеет $N$ возможных элементарных исходов. Элементарными исходами называют простейшие, неделимые результаты эксперимента. Для применимости классического определения эти исходы должны удовлетворять следующим условиям:

• Они должны быть несовместны (взаимоисключающи), то есть появление одного исхода исключает появление любого другого в том же эксперименте.
• Они должны образовывать полную группу событий, то есть в результате эксперимента обязательно произойдет один и только один из этих исходов.
• Они должны быть равновозможны, то есть нет никаких объективных причин считать, что какой-либо из исходов более вероятен, чем другие (это часто следует из симметрии условий эксперимента, например, при броске идеальной монеты или игральной кости).

Событием $A$ называется любое подмножество множества всех элементарных исходов. Те исходы, которые приводят к наступлению события $A$, называются благоприятствующими этому событию.

Если число исходов, благоприятствующих событию $A$, равно $M$, то вероятностью события $A$ называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов.

Вероятность события $A$ обозначается как $P(A)$ и вычисляется по формуле:
$P(A) = \frac{M}{N}$
где:

• $M$ — число элементарных исходов, благоприятствующих событию $A$;
• $N$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента.

Из этого определения следуют основные свойства вероятности:

• Вероятность достоверного события (когда $M=N$) равна 1.
• Вероятность невозможного события (когда $M=0$) равна 0.
• Вероятность любого случайного события $A$ есть неотрицательное число, не превышающее единицу: $0 \le P(A) \le 1$.

Ответ: Классическое определение вероятности гласит, что вероятность события $A$ равна отношению числа $M$ исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу $N$ всех единственно возможных и равновозможных исходов эксперимента. Формула для вычисления: $P(A) = \frac{M}{N}$.

3. Сформулируйте правило нахождения геометрических вероятностей для случая плоских фигур.

3. Сформулируйте правило нахождения геометрических вероятностей для случая плоских фигур.

Геометрическое определение вероятности используется в тех случаях, когда пространство элементарных исходов бесконечно и представляет собой некоторое геометрическое множество (отрезок, часть плоскости, часть пространства). В отличие от классического определения, где подсчитывается количество исходов, в геометрическом подходе исходы измеряются (длиной, площадью, объемом).

Для случая плоских фигур правило нахождения геометрической вероятности основывается на следующих предположениях:

1. Существует некоторая плоская фигура $G$ с конечной, ненулевой площадью. Эта фигура представляет собой пространство всех возможных элементарных исходов. Например, это может быть мишень, в которую производится выстрел.

2. Внутри фигуры $G$ есть ее часть — фигура $g$ (то есть, $g \subset G$), также имеющая измеримую площадь. Попадание в фигуру $g$ является благоприятным исходом (событием $A$). Например, это может быть «яблочко» мишени.

3. В фигуру $G$ наудачу бросается точка. Предполагается, что вероятность попадания точки в любую часть фигуры $G$ пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения или формы. Это предположение о равновозможности или равномерном распределении.

При этих условиях вероятность $P(A)$ того, что наудачу брошенная в фигуру $G$ точка попадет в фигуру $g$, определяется как отношение площади фигуры $g$ к площади всей фигуры $G$.

Формула для расчета геометрической вероятности на плоскости выглядит так: $P(A) = \frac{S(g)}{S(G)}$

Здесь $P(A)$ — вероятность события $A$ (попадания точки в фигуру $g$), $S(g)$ — площадь фигуры $g$ (благоприятствующая область), а $S(G)$ — площадь фигуры $G$ (область всех возможных исходов).

Ответ: Вероятность того, что точка, случайным образом выбранная из плоской фигуры $G$, окажется в ее подмножестве (фигуре) $g$, равна отношению площади фигуры $g$ к площади фигуры $G$: $P = \frac{S(g)}{S(G)}$.

29.43. a) Докажите, что неравенство $|f(x)| < f(x)$ не выполняется ни при каких значениях $x$ из области существования $f(x).

б) Докажите, что каждое из неравенств $|f(x)| \leq f(x)$ и $|-f(x)| \leq f(x)$ равносильно неравенству $f(x) \geq 0$.

а) Для доказательства рассмотрим два возможных случая для значения функции $f(x)$, исходя из определения модуля.

Случай 1: $f(x) \ge 0$.
По определению модуля, в этом случае $|f(x)| = f(x)$.
Тогда исходное неравенство $|f(x)| < f(x)$ принимает вид $f(x) < f(x)$.
Это неравенство является ложным для любого числа, так как число не может быть строго меньше самого себя. Следовательно, в этом случае решений нет.

Случай 2: $f(x) < 0$.
По определению модуля, в этом случае $|f(x)| = -f(x)$.
Тогда исходное неравенство $|f(x)| < f(x)$ принимает вид $-f(x) < f(x)$.
Прибавим $f(x)$ к обеим частям неравенства: $0 < 2f(x)$.
Разделим обе части на 2: $0 < f(x)$, или $f(x) > 0$.
Полученное условие $f(x) > 0$ противоречит исходному условию данного случая $f(x) < 0$. Следовательно, и в этом случае решений нет.

Поскольку ни один из возможных случаев (которые охватывают всю область существования $f(x)$) не дает решений, мы доказали, что неравенство $|f(x)| < f(x)$ не выполняется ни при каких значениях $x$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Равносильность означает, что из одного неравенства следует другое, и наоборот. Докажем это для каждого случая.

1. Докажем, что $|f(x)| \le f(x)$ равносильно $f(x) \ge 0$.

Доказательство ($\implies$): Допустим, что неравенство $|f(x)| \le f(x)$ верно. По определению, модуль любого действительного числа является неотрицательным, то есть $|f(x)| \ge 0$. Сопоставляя два этих факта, получаем цепочку неравенств: $f(x) \ge |f(x)| \ge 0$. Отсюда напрямую следует, что $f(x) \ge 0$.

Доказательство ($\impliedby$): Допустим, что неравенство $f(x) \ge 0$ верно. По определению модуля, если подмодульное выражение неотрицательно, то его модуль равен самому выражению. Таким образом, $|f(x)| = f(x)$. Подставим это равенство в неравенство $|f(x)| \le f(x)$, получим $f(x) \le f(x)$. Это неравенство является верным для любого значения $f(x)$.

Таким образом, мы доказали, что $|f(x)| \le f(x) \iff f(x) \ge 0$.

2. Докажем, что $|-f(x)| \le f(x)$ равносильно $f(x) \ge 0$.

Воспользуемся свойством модуля $|-a| = |a|$, которое верно для любого действительного числа $a$. Применив его, получаем, что $|-f(x)| = |f(x)|$.
Следовательно, неравенство $|-f(x)| \le f(x)$ полностью эквивалентно неравенству $|f(x)| \le f(x)$.
Как было доказано в предыдущем пункте, неравенство $|f(x)| \le f(x)$ равносильно неравенству $f(x) \ge 0$.
Значит, и неравенство $|-f(x)| \le f(x)$ равносильно $f(x) \ge 0$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

29.44. a) $|x^2 + 4x - 5| \le x^2 + 4x - 5;$

б) $|x - 2 - \frac{3}{x}| \le \frac{x^2 - 2x - 3}{x};$

в) $|8x^2 + \frac{1}{x}| \le 8x^2 + \frac{1}{x};$

г) $|\frac{1 - x}{x + 2}| \cdot |x + 2| \le x - 1.$

а) $|x^2 + 4x - 5| \le x^2 + 4x - 5$

Данное неравенство имеет вид $|A| \le A$. По определению модуля, $|A| \ge A$ для любого действительного $A$. Неравенство $|A| \le A$ возможно только в случае, когда $|A| = A$, а это, в свою очередь, выполняется тогда и только тогда, когда выражение под знаком модуля неотрицательно.

Таким образом, исходное неравенство равносильно следующему:

$x^2 + 4x - 5 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а их произведение равно $-5$. Следовательно, корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Графиком функции $y = x^2 + 4x - 5$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны (т.е. график находится на или выше оси Ox) при $x$, находящихся вне интервала между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решение неравенства: $x \le -5$ или $x \ge 1$.

Ответ: $x \in (-\infty, -5] \cup [1, +\infty)$.

б) $|x - 2 - \frac{3}{x}| \le \frac{x^2 - 2x - 3}{x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) неравенства: $x \ne 0$. Приведем выражение в левой части к общему знаменателю:

$|\frac{x^2 - 2x - 3}{x}| \le \frac{x^2 - 2x - 3}{x}$

Обозначим $A = \frac{x^2 - 2x - 3}{x}$. Неравенство принимает вид $|A| \le A$, что, как и в предыдущем пункте, равносильно условию $A \ge 0$.

Решим неравенство $\frac{x^2 - 2x - 3}{x} \ge 0$ методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя. Нули числителя: $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни этого уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Нуль знаменателя: $x = 0$.

Нанесем точки $-1, 0, 3$ на числовую ось. Они разбивают ось на интервалы $(-\infty, -1]$, $[-1, 0)$, $(0, 3]$, $[3, +\infty)$. Определим знак выражения $\frac{(x-3)(x+1)}{x}$ на каждом интервале. Выражение положительно при $x \in (-1, 0)$ и $x \in (3, +\infty)$. Так как неравенство нестрогое ($\ge 0$), мы включаем в решение нули числителя ($x=-1$ и $x=3$) и исключаем нуль знаменателя ($x=0$).

Ответ: $x \in [-1, 0) \cup [3, +\infty)$.

в) $|8x^2 + \frac{1}{x}| \le 8x^2 + \frac{1}{x}$

Это неравенство также имеет вид $|A| \le A$, где $A = 8x^2 + \frac{1}{x}$. Оно равносильно неравенству $A \ge 0$.

ОДЗ: $x \ne 0$. Решаем неравенство $8x^2 + \frac{1}{x} \ge 0$. Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{8x^3 + 1}{x} \ge 0$.

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Найдем нуль числителя: $8x^3 + 1 = 0 \Rightarrow 8x^3 = -1 \Rightarrow x^3 = -\frac{1}{8} \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$. Нуль знаменателя: $x = 0$.

Точки $x = -1/2$ и $x = 0$ разбивают числовую ось на интервалы. Проверим знак выражения $\frac{8x^3 + 1}{x}$ на этих интервалах.

• При $x > 0$ числитель и знаменатель положительны, дробь положительна.
• При $x \in (-1/2, 0)$ числитель положителен ($x^3 > -1/8$), а знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
• При $x < -1/2$ числитель и знаменатель отрицательны, дробь положительна.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge 0$), решением являются промежутки, где выражение положительно, а также корень числителя. Таким образом, получаем $x \in (-\infty, -1/2] \cup (0, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1/2] \cup (0, +\infty)$.

г) $|\frac{1-x}{x+2}| \cdot |x+2| \le x-1$

ОДЗ неравенства определяется знаменателем дроби: $x+2 \ne 0 \Rightarrow x \ne -2$. Кроме того, левая часть неравенства является произведением модулей и, следовательно, всегда неотрицательна. Это означает, что правая часть также должна быть неотрицательной: $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$. Это условие автоматически удовлетворяет ОДЗ ($x \ne -2$).

При $x \ne -2$ можно использовать свойство модуля $|a| \cdot |b| = |ab|$ для упрощения левой части:

$|\frac{1-x}{x+2} \cdot (x+2)| \le x-1$

$|1-x| \le x-1$

Используя свойство $|-a| = |a|$, получаем $|1-x| = |-(x-1)| = |x-1|$. Неравенство принимает вид:

$|x-1| \le x-1$

Это неравенство вида $|A| \le A$, где $A = x-1$. Оно равносильно условию $A \ge 0$.

$x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$

Полученное решение полностью совпадает с условием неотрицательности правой части, которое мы вывели в начале.

Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

29.45. a) $|5x + 7| < 8x - 11;$

б) $|5 - 4x| \le 8x + 17;$

в) $|5x + 7| \le 14x^2 - 2;$

г) $|5 - 4x| \le 11 - 10x^2.$

а)

Исходное неравенство: $|5x + 7| < 8x - 11$.

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе двух неравенств:

$ \begin{cases} 5x + 7 < 8x - 11 \\ 5x + 7 > -(8x - 11) \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:
$5x + 7 < 8x - 11$
$7 + 11 < 8x - 5x$
$18 < 3x$
$x > 6$

Решим второе неравенство системы:
$5x + 7 > -8x + 11$
$5x + 8x > 11 - 7$
$13x > 4$
$x > \frac{4}{13}$

Решением системы является пересечение полученных множеств: $x > 6$ и $x > \frac{4}{13}$. Общим решением является $x > 6$.

Ответ: $x \in (6; +\infty)$.

б)

Исходное неравенство: $|5 - 4x| \le 8x + 17$.

Неравенство вида $|f(x)| \le g(x)$ равносильно системе двух неравенств:

$ \begin{cases} 5 - 4x \le 8x + 17 \\ 5 - 4x \ge -(8x + 17) \end{cases} $

Решим первое неравенство системы:
$5 - 4x \le 8x + 17$
$-4x - 8x \le 17 - 5$
$-12x \le 12$
$x \ge -1$

Решим второе неравенство системы:
$5 - 4x \ge -8x - 17$
$-4x + 8x \ge -17 - 5$
$4x \ge -22$
$x \ge -\frac{22}{4}$
$x \ge -\frac{11}{2}$

Решением системы является пересечение полученных множеств: $x \ge -1$ и $x \ge -\frac{11}{2}$. Общим решением является $x \ge -1$.

Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

в)

Исходное неравенство: $|5x + 7| \le 14x^2 - 2$.

Неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 5x + 7 \le 14x^2 - 2 \\ 5x + 7 \ge -(14x^2 - 2) \end{cases} $

Решим первое неравенство: $14x^2 - 5x - 9 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $14x^2 - 5x - 9 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 14 \cdot (-9) = 25 + 504 = 529 = 23^2$.
Корни: $x_1 = \frac{5 - 23}{2 \cdot 14} = \frac{-18}{28} = -\frac{9}{14}$, $x_2 = \frac{5 + 23}{2 \cdot 14} = \frac{28}{28} = 1$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; -\frac{9}{14}] \cup [1; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $5x + 7 \ge -14x^2 + 2$, что равносильно $14x^2 + 5x + 5 \ge 0$.
Найдем дискриминант уравнения $14x^2 + 5x + 5 = 0$.
$D = 5^2 - 4 \cdot 14 \cdot 5 = 25 - 280 = -255$.
Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($14 > 0$), выражение $14x^2 + 5x + 5$ всегда положительно. Следовательно, это неравенство верно для любого действительного $x$.

Пересечением решений $x \in (-\infty; -\frac{9}{14}] \cup [1; +\infty)$ и $x \in (-\infty; +\infty)$ является множество $(-\infty; -\frac{9}{14}] \cup [1; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{9}{14}] \cup [1; +\infty)$.

г)

Исходное неравенство: $|5 - 4x| \le 11 - 10x^2$.

Так как $|5 - 4x| = |4x - 5|$, неравенство равносильно системе:

$ \begin{cases} 4x - 5 \le 11 - 10x^2 \\ 4x - 5 \ge -(11 - 10x^2) \end{cases} $

Решим первое неравенство: $10x^2 + 4x - 16 \le 0$, или $5x^2 + 2x - 8 \le 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 + 2x - 8 = 0$.
$D = 2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 4 + 160 = 164$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{164}}{10} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{41}}{10} = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{5}$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in [\frac{-1 - \sqrt{41}}{5}; \frac{-1 + \sqrt{41}}{5}]$.

Решим второе неравенство: $4x - 5 \ge -11 + 10x^2$, что равносильно $10x^2 - 4x - 6 \le 0$, или $5x^2 - 2x - 3 \le 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - 2x - 3 = 0$.
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
Корни: $x_1 = \frac{2 - 8}{10} = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$, $x_2 = \frac{2 + 8}{10} = 1$.
Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in [-\frac{3}{5}; 1]$.

Найдем пересечение двух множеств решений: $[\frac{-1 - \sqrt{41}}{5}; \frac{-1 + \sqrt{41}}{5}] \cap [-\frac{3}{5}; 1]$.
Приближенные значения: $\sqrt{41} \approx 6.4$.
Первый интервал: $[\frac{-1 - 6.4}{5}; \frac{-1 + 6.4}{5}] \approx [-1.48; 1.08]$.
Второй интервал: $[-\frac{3}{5}; 1] = [-0.6; 1]$.
Пересечением этих отрезков является отрезок $[-\frac{3}{5}; 1]$.

Ответ: $x \in [-\frac{3}{5}; 1]$.

29.46. a) $|5x - \frac{1}{x}| < 4x;$

Б) $|\frac{x-1}{x+2}| < \frac{17x-39}{20x-20};$

В) $|x-1| \le \frac{32-14x}{x+2};$

Г) $|\frac{x-2}{x+2}| \le \frac{x-2}{x}.$

а) $|5x - \frac{1}{x}| < 4x$

1. Область допустимых значений (ОДЗ).
Поскольку модуль числа всегда неотрицателен, для существования решений необходимо, чтобы правая часть неравенства была строго положительной: $4x > 0 \implies x > 0$. Также, из-за наличия дроби $\frac{1}{x}$, имеем $x \neq 0$. Условие $x > 0$ удовлетворяет этому. Таким образом, ОДЗ: $x \in (0, +\infty)$.

2. Решение неравенства.
Для $x > 0$ неравенство с модулем $|A| < B$ равносильно системе неравенств $-B < A < B$: $-4x < 5x - \frac{1}{x} < 4x$. Это эквивалентно системе двух неравенств: $$ \begin{cases} 5x - \frac{1}{x} < 4x \\ 5x - \frac{1}{x} > -4x \end{cases} $$

3. Решим первое неравенство системы:
$5x - \frac{1}{x} < 4x$
$x - \frac{1}{x} < 0$
Приводим к общему знаменателю: $\frac{x^2 - 1}{x} < 0$
Поскольку мы решаем для $x > 0$, знаменатель $x$ положителен. Значит, знак дроби определяется знаком числителя: $x^2 - 1 < 0$
$(x - 1)(x + 1) < 0$
Решением этого неравенства является интервал $x \in (-1, 1)$. С учетом ОДЗ ($x > 0$), получаем решение для первого неравенства: $x \in (0, 1)$.

4. Решим второе неравенство системы:
$5x - \frac{1}{x} > -4x$
$9x - \frac{1}{x} > 0$
$\frac{9x^2 - 1}{x} > 0$
Так как $x > 0$, знаменатель положителен, поэтому: $9x^2 - 1 > 0$
$(3x - 1)(3x + 1) > 0$
Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty, -\frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$. С учетом ОДЗ ($x > 0$), получаем решение для второго неравенства: $x \in (\frac{1}{3}, +\infty)$.

5. Найдем пересечение решений обоих неравенств: $x \in (0, 1) \cap (\frac{1}{3}, +\infty) = (\frac{1}{3}, 1)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}, 1)$.

б) $|\frac{x-1}{x+2}| < \frac{17x - 39}{20x - 20}$

1. ОДЗ и условие положительности правой части.
Знаменатели не могут быть равны нулю: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$ и $20x-20 \neq 0 \implies x \neq 1$. Правая часть должна быть строго положительной: $\frac{17x - 39}{20(x - 1)} > 0$.
Методом интервалов находим, что это условие выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (\frac{39}{17}, +\infty)$.

2. Решение неравенства.
При выполнении условия положительности правой части, неравенство равносильно системе: $$ -\frac{17x - 39}{20(x - 1)} < \frac{x-1}{x+2} < \frac{17x - 39}{20(x - 1)} $$

3. Решим первое неравенство $\frac{x-1}{x+2} < \frac{17x - 39}{20(x-1)}$:
$\frac{x-1}{x+2} - \frac{17x - 39}{20(x-1)} < 0$
$\frac{20(x-1)^2 - (17x-39)(x+2)}{20(x+2)(x-1)} < 0$
$\frac{20(x^2-2x+1) - (17x^2-5x-78)}{20(x+2)(x-1)} < 0$
$\frac{3x^2 - 35x + 98}{20(x+2)(x-1)} < 0$
Корни числителя $3x^2 - 35x + 98 = 0$: $x_1 = \frac{14}{3}, x_2 = 7$. $\frac{3(x - \frac{14}{3})(x - 7)}{20(x+2)(x-1)} < 0$
Методом интервалов получаем: $x \in (-2, 1) \cup (\frac{14}{3}, 7)$.

4. Решим второе неравенство $\frac{x-1}{x+2} > -\frac{17x - 39}{20(x-1)}$:
$\frac{x-1}{x+2} + \frac{17x - 39}{20(x-1)} > 0$
$\frac{20(x-1)^2 + (17x-39)(x+2)}{20(x+2)(x-1)} > 0$
$\frac{37x^2 - 45x - 58}{20(x+2)(x-1)} > 0$
Корни числителя $37x^2 - 45x - 58 = 0$: $x_3 = -\frac{29}{37}, x_4 = 2$. $\frac{37(x + \frac{29}{37})(x - 2)}{20(x+2)(x-1)} > 0$
Методом интервалов получаем: $x \in (-\infty, -2) \cup (-\frac{29}{37}, 1) \cup (2, +\infty)$.

5. Найдем пересечение всех полученных множеств.
Сначала пересечем решения двух неравенств: $( (-2, 1) \cup (\frac{14}{3}, 7) ) \cap ( (-\infty, -2) \cup (-\frac{29}{37}, 1) \cup (2, +\infty) ) = (-\frac{29}{37}, 1) \cup (\frac{14}{3}, 7)$.
Теперь учтем условие положительности правой части $x \in (-\infty, 1) \cup (\frac{39}{17}, +\infty)$. Поскольку $-\frac{29}{37} \approx -0.78$ и $1$ лежат в интервале $(-\infty, 1)$, то $(-\frac{29}{37}, 1)$ входит в решение. Поскольку $\frac{14}{3} \approx 4.67$ и $\frac{39}{17} \approx 2.29$, то $\frac{14}{3} > \frac{39}{17}$, поэтому интервал $(\frac{14}{3}, 7)$ также входит в решение. Итоговое решение: $x \in (-\frac{29}{37}, 1) \cup (\frac{14}{3}, 7)$.

Ответ: $x \in (-\frac{29}{37}, 1) \cup (\frac{14}{3}, 7)$.

в) $|x - 1| \le \frac{32 - 14x}{x + 2}$

1. ОДЗ и условие неотрицательности правой части.
Знаменатель не равен нулю: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$. Правая часть должна быть неотрицательной: $\frac{32 - 14x}{x + 2} \ge 0 \implies \frac{2(16 - 7x)}{x + 2} \ge 0$.
Методом интервалов находим: $x \in (-2, \frac{16}{7}]$.

2. Решение неравенства.
При выполнении условия неотрицательности правой части, неравенство равносильно системе: $$ -\frac{32 - 14x}{x + 2} \le x - 1 \le \frac{32 - 14x}{x + 2} $$

3. Решим первое неравенство $x - 1 \le \frac{32 - 14x}{x + 2}$:
$x - 1 - \frac{32 - 14x}{x + 2} \le 0$
$\frac{(x-1)(x+2) - (32-14x)}{x+2} \le 0$
$\frac{x^2+x-2-32+14x}{x+2} \le 0$
$\frac{x^2 + 15x - 34}{x+2} \le 0$
Корни числителя $x^2 + 15x - 34 = 0$: $x_1 = -17, x_2 = 2$. $\frac{(x+17)(x-2)}{x+2} \le 0$
Методом интервалов получаем: $x \in (-\infty, -17] \cup (-2, 2]$.

4. Решим второе неравенство $x - 1 \ge -\frac{32 - 14x}{x + 2}$:
$x - 1 + \frac{32 - 14x}{x + 2} \ge 0$
$\frac{(x-1)(x+2) + 32-14x}{x+2} \ge 0$
$\frac{x^2+x-2+32-14x}{x+2} \ge 0$
$\frac{x^2 - 13x + 30}{x+2} \ge 0$
Корни числителя $x^2 - 13x + 30 = 0$: $x_3 = 3, x_4 = 10$. $\frac{(x-3)(x-10)}{x+2} \ge 0$
Методом интервалов получаем: $x \in (-2, 3] \cup [10, +\infty)$.

5. Найдем пересечение всех трех множеств: $x \in (-2, \frac{16}{7}] \cap ((-\infty, -17] \cup (-2, 2]) \cap ((-2, 3] \cup [10, +\infty))$.
Пересечение $x \in (-2, \frac{16}{7}]$ и $x \in ((-\infty, -17] \cup (-2, 2])$ дает $x \in (-2, 2]$, так как $2 = \frac{14}{7} < \frac{16}{7}$.
Пересечение полученного результата $x \in (-2, 2]$ с $x \in ((-2, 3] \cup [10, +\infty))$ дает $x \in (-2, 2]$.

Ответ: $x \in (-2, 2]$.

г) $|\frac{x-2}{x+2}| \le \frac{x-2}{x}$

1. ОДЗ и условие неотрицательности правой части.
Знаменатели не равны нулю: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$ и $x \neq 0$. Правая часть должна быть неотрицательной: $\frac{x-2}{x} \ge 0$.
Методом интервалов находим: $x \in (-\infty, 0) \cup [2, +\infty)$.

2. Решение неравенства.
При выполнении условия неотрицательности правой части, можно возвести обе части неравенства в квадрат, так как они обе неотрицательны: $(\frac{x-2}{x+2})^2 \le (\frac{x-2}{x})^2$
$(\frac{x-2}{x+2})^2 - (\frac{x-2}{x})^2 \le 0$
Используем формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $(\frac{x-2}{x+2} - \frac{x-2}{x})(\frac{x-2}{x+2} + \frac{x-2}{x}) \le 0$
Вынесем $(x-2)$ за скобки в каждом множителе: $(x-2)^2 (\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x})(\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x}) \le 0$
Приведем к общему знаменателю в скобках: $(x-2)^2 (\frac{x-(x+2)}{x(x+2)})(\frac{x+x+2}{x(x+2)}) \le 0$
$(x-2)^2 \frac{-2}{x(x+2)} \frac{2x+2}{x(x+2)} \le 0$
$\frac{-4(x-2)^2(x+1)}{x^2(x+2)^2} \le 0$
Множители $(x-2)^2$, $x^2$, $(x+2)^2$ всегда неотрицательны (в ОДЗ они строго положительны, кроме точки $x=2$). Множитель $-4$ отрицателен. Неравенство сводится к $\frac{-(x+1)}{+} \le 0$ (учитывая знаки), что равносильно $-(x+1) \le 0 \implies x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
Это решение справедливо для всех $x$ из ОДЗ. Также нужно проверить точку $x=2$, где левая часть неравенства обнуляется. При $x=2$ получаем $0 \le 0$, что верно. Таким образом, $x=2$ входит в решение. Решение этого преобразованного неравенства с учетом ОДЗ ($x \neq 0, x \neq -2$) есть $x \in [-1, 0) \cup (0, +\infty)$.

3. Объединим с начальным условием.
Найдем пересечение полученного решения $x \in [-1, 0) \cup (0, +\infty)$ с условием неотрицательности правой части $x \in (-\infty, 0) \cup [2, +\infty)$: $([-1, 0) \cup (0, +\infty)) \cap ((-\infty, 0) \cup [2, +\infty)) = [-1, 0) \cup [2, +\infty)$.

Ответ: $x \in [-1, 0) \cup [2, +\infty)$.

29.47. a) $|x^2 + 7x - 7| \le 2x + 7;$

б) $|-x^2 + 5x + 1| \le x^2 + 6x + 1;$

в) $|5 - 4x - x^2| < 7 - 6x - x^2;$

г) $|x^3 - x^2 - 4x - 2| \le -x^2 - 3x - 2.$

а) $|x^2 + 7x - 7| \le 2x + 7$

Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} 2x + 7 \ge 0 \\ -(2x + 7) \le x^2 + 7x - 7 \le 2x + 7 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство системы:

$2x + 7 \ge 0 \implies 2x \ge -7 \implies x \ge -3.5$.

2. Решим двойное неравенство, разбив его на два:

$\begin{cases} x^2 + 7x - 7 \le 2x + 7 \\ x^2 + 7x - 7 \ge -(2x + 7) \end{cases}$

Решаем первое неравенство из этой системы:

$x^2 + 7x - 7 - 2x - 7 \le 0$

$x^2 + 5x - 14 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 5x - 14$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in [-7, 2]$.

Решаем второе неравенство из этой системы:

$x^2 + 7x - 7 \ge -2x - 7$

$x^2 + 9x \ge 0$

$x(x + 9) \ge 0$

Корни уравнения $x(x+9)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -9$.

Ветви параболы $y = x^2 + 9x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -9] \cup [0, \infty)$.

3. Найдем пересечение полученных решений с условием $x \ge -3.5$.

Пересечение решений двух неравенств: $x \in [-7, 2] \cap ((-\infty, -9] \cup [0, \infty)) \implies x \in [0, 2]$.

Теперь учтем условие $x \ge -3.5$: $x \in [0, 2] \cap [-3.5, \infty) \implies x \in [0, 2]$.

Ответ: $x \in [0, 2]$.

б) $|-x^2 + 5x + 1| \le x^2 + 6x + 1$

Данное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^2 + 6x + 1 \ge 0 \\ -(x^2 + 6x + 1) \le -x^2 + 5x + 1 \le x^2 + 6x + 1 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство системы: $x^2 + 6x + 1 \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 6x + 1 = 0$.

$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 32$. Корни $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{32}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2}$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $x \in (-\infty, -3-2\sqrt{2}] \cup [-3+2\sqrt{2}, \infty)$.

2. Решим двойное неравенство:

$\begin{cases} -x^2 + 5x + 1 \le x^2 + 6x + 1 \\ -x^2 + 5x + 1 \ge -(x^2 + 6x + 1) \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$0 \le 2x^2 + x \implies x(2x+1) \ge 0$. Решение: $x \in (-\infty, -1/2] \cup [0, \infty)$.

Решаем второе неравенство:

$-x^2 + 5x + 1 \ge -x^2 - 6x - 1 \implies 11x \ge -2 \implies x \ge -2/11$.

3. Найдем пересечение решений.

Пересечение решений двух неравенств: $x \in ((-\infty, -1/2] \cup [0, \infty)) \cap [-2/11, \infty)$.

Так как $-1/2 = -0.5$ и $-2/11 \approx -0.18$, то $-1/2 < -2/11$. Пересечением будет $x \in [0, \infty)$.

Теперь учтем ОДЗ $x \in (-\infty, -3-2\sqrt{2}] \cup [-3+2\sqrt{2}, \infty)$.

Так как $-3+2\sqrt{2} \approx -0.17 < 0$, пересечением $x \in [0, \infty)$ с этим множеством будет $x \in [0, \infty)$.

Ответ: $x \in [0, \infty)$.

в) $|5 - 4x - x^2| < 7 - 6x - x^2$

Неравенство вида $|f(x)| < g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} 7 - 6x - x^2 > 0 \\ -(7 - 6x - x^2) < 5 - 4x - x^2 < 7 - 6x - x^2 \end{cases}$

1. Решим первое неравенство: $7 - 6x - x^2 > 0 \implies x^2 + 6x - 7 < 0$.

Корни уравнения $x^2 + 6x - 7 = 0$ это $x_1 = -7$ и $x_2 = 1$.

Решение неравенства: $x \in (-7, 1)$.

2. Решим двойное неравенство:

$\begin{cases} 5 - 4x - x^2 < 7 - 6x - x^2 \\ 5 - 4x - x^2 > -(7 - 6x - x^2) \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$5 - 4x < 7 - 6x \implies 2x < 2 \implies x < 1$.

Решаем второе неравенство:

$5 - 4x - x^2 > -7 + 6x + x^2 \implies 0 > 2x^2 + 10x - 12 \implies x^2 + 5x - 6 < 0$.

Корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$ это $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$.

Решение неравенства: $x \in (-6, 1)$.

3. Пересечение решений:

$x \in (-7, 1) \cap (-\infty, 1) \cap (-6, 1) \implies x \in (-6, 1)$.

Ответ: $x \in (-6, 1)$.

г) $|x^3 - x^2 - 4x - 2| \le -x^2 - 3x - 2$

Левая часть неравенства $|x^3 - x^2 - 4x - 2|$ всегда неотрицательна. Следовательно, для существования решений правая часть также должна быть неотрицательной.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$-x^2 - 3x - 2 \ge 0 \implies x^2 + 3x + 2 \le 0$.

Корни уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$ это $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$.

Решение неравенства: $x \in [-2, -1]$.

2. На этой ОДЗ исходное неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x^3 - x^2 - 4x - 2 \le -x^2 - 3x - 2 \\ x^3 - x^2 - 4x - 2 \ge -(-x^2 - 3x - 2) \end{cases}$

Решаем первое неравенство:

$x^3 - x \le 0 \implies x(x^2 - 1) \le 0 \implies x(x-1)(x+1) \le 0$.

Методом интервалов получаем решение: $x \in (-\infty, -1] \cup [0, 1]$.

Решаем второе неравенство:

$x^3 - x^2 - 4x - 2 \ge x^2 + 3x + 2 \implies x^3 - 2x^2 - 7x - 4 \ge 0$.

Заметим, что $x = -1$ является корнем многочлена $P(x) = x^3 - 2x^2 - 7x - 4$.

Разделив $P(x)$ на $(x+1)$, получим $x^2 - 3x - 4$. Корни этого квадратного трехчлена: $x = 4$ и $x = -1$.

Таким образом, $P(x) = (x+1)(x+1)(x-4) = (x+1)^2(x-4)$.

Неравенство принимает вид $(x+1)^2(x-4) \ge 0$.

Так как $(x+1)^2 \ge 0$ для всех $x$, неравенство выполняется при $x-4 \ge 0$ или при $x = -1$.

Решение: $x \in \{-1\} \cup [4, \infty)$.

3. Найдем пересечение всех полученных решений:

ОДЗ: $x \in [-2, -1]$.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -1] \cup [0, 1]$.

Решение второго неравенства: $x \in \{-1\} \cup [4, \infty)$.

Пересечение всех трех множеств дает единственную точку $x = -1$.

Ответ: $\{-1\}$.

29.48. a) $|7x - 11| > 3x + 5;$

б) $|5x + 7| \ge 3x^2 + 11x - 2;$

в) $|4 - x| > -3x - 2;$

г) $|5 - 4x| \ge 5 - 7x - 3x^2.$

а) $|7x - 11| > 3x + 5$

Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств:

$f(x) > g(x)$ или $f(x) < -g(x)$.

В данном случае получаем совокупность:

$\left[\begin{array}{l} 7x - 11 > 3x + 5 \\ 7x - 11 < -(3x + 5) \end{array}\right.$

Решим первое неравенство:

$7x - 11 > 3x + 5$

$7x - 3x > 5 + 11$

$4x > 16$

$x > 4$

Решим второе неравенство:

$7x - 11 < -3x - 5$

$7x + 3x < 11 - 5$

$10x < 6$

$x < 0.6$

Решением исходного неравенства является объединение полученных решений: $x < 0.6$ или $x > 4$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0.6) \cup (4; +\infty)$.

б) $|5x + 7| \ge 3x^2 + 11x - 2$

Неравенство вида $|f(x)| \ge g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств:

$f(x) \ge g(x)$ или $f(x) \le -g(x)$.

Получаем совокупность:

$\left[\begin{array}{l} 5x + 7 \ge 3x^2 + 11x - 2 \\ 5x + 7 \le -(3x^2 + 11x - 2) \end{array}\right.$

Решим первое неравенство:

$0 \ge 3x^2 + 11x - 5x - 2 - 7$

$3x^2 + 6x - 9 \le 0$

$x^2 + 2x - 3 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Неравенство можно записать как $(x+3)(x-1) \le 0$.

Так как ветви параболы $y = x^2 + 2x - 3$ направлены вверх, решение неравенства: $x \in [-3; 1]$.

Решим второе неравенство:

$5x + 7 \le -3x^2 - 11x + 2$

$3x^2 + 5x + 11x + 7 - 2 \le 0$

$3x^2 + 16x + 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 + 16x + 5 = 0$.

Дискриминант $D = 16^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 256 - 60 = 196 = 14^2$.

Корни: $x_1 = \frac{-16 - 14}{6} = -5$, $x_2 = \frac{-16 + 14}{6} = -\frac{1}{3}$.

Так как ветви параболы $y = 3x^2 + 16x + 5$ направлены вверх, решение неравенства: $x \in [-5; -1/3]$.

Объединим полученные решения: $[-3; 1] \cup [-5; -1/3]$. Это объединение дает промежуток $[-5; 1]$.

Ответ: $x \in [-5; 1]$.

в) $|4 - x| > -3x - 2$

Так как $|4 - x| = |x - 4|$, перепишем неравенство в виде $|x - 4| > -3x - 2$.

Неравенство вида $|f(x)| > g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств:

$f(x) > g(x)$ или $f(x) < -g(x)$.

Получаем совокупность:

$\left[\begin{array}{l} x - 4 > -3x - 2 \\ x - 4 < -(-3x - 2) \end{array}\right.$

Решим первое неравенство:

$x + 3x > 4 - 2$

$4x > 2$

$x > 1/2$

Решим второе неравенство:

$x - 4 < 3x + 2$

$-4 - 2 < 3x - x$

$-6 < 2x$

$x > -3$

Решением исходного неравенства является объединение полученных решений: $(1/2; +\infty) \cup (-3; +\infty)$. Это объединение дает интервал $(-3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; +\infty)$.

г) $|5 - 4x| \ge 5 - 7x - 3x^2$

Так как $|5 - 4x| = |4x - 5|$, перепишем неравенство в виде $|4x - 5| \ge 5 - 7x - 3x^2$.

Неравенство вида $|f(x)| \ge g(x)$ равносильно совокупности двух неравенств:

$f(x) \ge g(x)$ или $f(x) \le -g(x)$.

Получаем совокупность:

$\left[\begin{array}{l} 4x - 5 \ge 5 - 7x - 3x^2 \\ 4x - 5 \le -(5 - 7x - 3x^2) \end{array}\right.$

Решим первое неравенство:

$3x^2 + 4x + 7x - 5 - 5 \ge 0$

$3x^2 + 11x - 10 \ge 0$

Найдем корни уравнения $3x^2 + 11x - 10 = 0$.

Дискриминант $D = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 121 + 120 = 241$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-11 \pm \sqrt{241}}{6}$.

Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; \frac{-11 - \sqrt{241}}{6}] \cup [\frac{-11 + \sqrt{241}}{6}; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$4x - 5 \le -5 + 7x + 3x^2$

$0 \le 3x^2 + 7x - 4x$

$3x^2 + 3x \ge 0$

$3x(x + 1) \ge 0$

Корни $x_1 = 0$, $x_2 = -1$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$.

Теперь найдем объединение множеств решений:

$(-\infty; \frac{-11 - \sqrt{241}}{6}] \cup [\frac{-11 + \sqrt{241}}{6}; +\infty)$ и $(-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$.

Для этого сравним граничные точки. Так как $\sqrt{241} > \sqrt{25}=5$, то $-11 - \sqrt{241} < -16$, и $\frac{-11 - \sqrt{241}}{6} < -1$. Следовательно, объединение $(-\infty; \frac{-11 - \sqrt{241}}{6}] \cup (-\infty; -1]$ равно $(-\infty; -1]$.

Так как $\sqrt{241} > \sqrt{121}=11$, то $-11 + \sqrt{241} > 0$, и $\frac{-11 + \sqrt{241}}{6} > 0$. Следовательно, объединение $[\frac{-11 + \sqrt{241}}{6}; +\infty) \cup [0; +\infty)$ равно $[0; +\infty)$.

Итоговым решением является объединение этих двух результатов.

Ответ: $x \in (-\infty; -1] \cup [0; +\infty)$.