Страница 191, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

30.10. Решите уравнение:

а) $\sqrt{\lg (1 - x)} = \sqrt{\lg x}$;

б) $\sqrt{\log_{0,2} \sqrt{x} - 1} = \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{3 - x}}$;

в) $\sqrt{\log_{0,3} (1 - x)} = \sqrt{\log_{0,3} x}$;

г) $\sqrt{\log_{0,2} \sqrt{x} - 1} = \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{9 - x}}$.

а)
Дано уравнение $ \sqrt{\lg (1 - x)} = \sqrt{\lg x} $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого необходимо, чтобы все подкоренные и подлогарифмические выражения удовлетворяли следующим условиям:
1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $ 1 - x > 0 \implies x < 1 $.
2. Аргумент второго логарифма также должен быть строго больше нуля: $ x > 0 $.
3. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным: $ \lg (1 - x) \ge 0 $. Так как основание десятичного логарифма $ 10 > 1 $, это неравенство равносильно $ 1 - x \ge 10^0 $, то есть $ 1 - x \ge 1 $. Отсюда $ -x \ge 0 $, что означает $ x \le 0 $.
4. Выражение под вторым знаком корня также должно быть неотрицательным: $ \lg x \ge 0 $. Это неравенство равносильно $ x \ge 10^0 $, то есть $ x \ge 1 $.
Объединим все условия в систему: $ \begin{cases} x < 1 \\ x > 0 \\ x \le 0 \\ x \ge 1 \end{cases} $
Условия $ x > 0 $ и $ x \le 0 $ противоречат друг другу. Также противоречат друг другу условия $ x < 1 $ и $ x \ge 1 $. Система не имеет решений, следовательно, область допустимых значений пуста.
Таким образом, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

б)
Дано уравнение $ \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{x - 1}} = \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{3 - x}} $.
Найдем ОДЗ. Условия:
1. Аргументы под внутренними корнями должны быть неотрицательны: $ x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 $ и $ 3 - x \ge 0 \implies x \le 3 $.
2. Аргументы логарифмов должны быть строго положительны: $ \sqrt{x - 1} > 0 \implies x - 1 > 0 \implies x > 1 $ и $ \sqrt{3 - x} > 0 \implies 3 - x > 0 \implies x < 3 $.
3. Выражения под внешними корнями должны быть неотрицательны.
$ \log_{0,2} \sqrt{x - 1} \ge 0 $. Так как основание логарифма $ 0,2 < 1 $, логарифмическая функция убывающая. Неравенство равносильно $ 0 < \sqrt{x - 1} \le 1 $. Возводя в квадрат, получаем $ x - 1 \le 1 $, откуда $ x \le 2 $.
$ \log_{0,2} \sqrt{3 - x} \ge 0 $. Аналогично, $ 0 < \sqrt{3 - x} \le 1 $. Возводя в квадрат, получаем $ 3 - x \le 1 $, откуда $ x \ge 2 $.
Соберем все условия в систему: $ \begin{cases} x > 1 \\ x < 3 \\ x \le 2 \\ x \ge 2 \end{cases} $
Из последних двух неравенств следует, что $ x = 2 $. Это значение удовлетворяет первым двум неравенствам ($ 1 < 2 < 3 $).
Таким образом, ОДЗ состоит из единственного числа $ x = 2 $.
Проверим, является ли $ x = 2 $ решением, подставив его в исходное уравнение:
$ \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{2 - 1}} = \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{3 - 2}} $
$ \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{1}} = \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{1}} $
$ \sqrt{\log_{0,2} 1} = \sqrt{\log_{0,2} 1} $
$ \sqrt{0} = \sqrt{0} $, что является верным равенством.
Следовательно, $ x = 2 $ является единственным решением уравнения.
Ответ: $ 2 $.

в)
Дано уравнение $ \sqrt{\log_{0,3} (1 - x)} = \sqrt{\log_{0,3} x} $.
Уравнение вида $ \sqrt{A} = \sqrt{B} $ равносильно системе $ A = B $ и $ A \ge 0 $ (или $ B \ge 0 $).
$ \begin{cases} \log_{0,3} (1 - x) = \log_{0,3} x \\ \log_{0,3} x \ge 0 \end{cases} $
Из первого уравнения, так как логарифмическая функция является монотонной, следует:
$ 1 - x = x \implies 2x = 1 \implies x = 0,5 $.
Теперь подставим найденное значение во второе условие системы, а также проверим ОДЗ логарифмов:
1. Проверка $ \log_{0,3} x \ge 0 $ для $ x = 0,5 $:
$ \log_{0,3} 0,5 \ge 0 $. Так как основание $ 0,3 < 1 $, логарифмическая функция убывающая. Неравенство $ \log_{0,3} 0,5 \ge \log_{0,3} 1 $ равносильно $ 0,5 \le 1 $, что является верным.
2. Проверка ОДЗ самих логарифмов:
$ x > 0 \implies 0,5 > 0 $ (верно).
$ 1 - x > 0 \implies 1 - 0,5 > 0 \implies 0,5 > 0 $ (верно).
Так как $ x = 0,5 $ удовлетворяет и уравнению, и всем ограничениям, это и есть решение.
Ответ: $ 0,5 $.

г)
Дано уравнение $ \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{x - 1}} = \sqrt{\log_{0,2} \sqrt{9 - x}} $.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Аргументы логарифмов должны быть строго положительны: $ \sqrt{x - 1} > 0 \implies x > 1 $ и $ \sqrt{9 - x} > 0 \implies x < 9 $.
2. Выражения под внешними корнями должны быть неотрицательны.
$ \log_{0,2} \sqrt{x - 1} \ge 0 $. Так как основание $ 0,2 < 1 $, это неравенство равносильно $ 0 < \sqrt{x - 1} \le 1 $. Возведя в квадрат, получаем $ x - 1 \le 1 $, откуда $ x \le 2 $.
$ \log_{0,2} \sqrt{9 - x} \ge 0 $. Аналогично, $ 0 < \sqrt{9 - x} \le 1 $. Возведя в квадрат, получаем $ 9 - x \le 1 $, откуда $ x \ge 8 $.
Объединим все условия в систему: $ \begin{cases} x > 1 \\ x < 9 \\ x \le 2 \\ x \ge 8 \end{cases} $
Условия $ x \le 2 $ и $ x \ge 8 $ не могут выполняться одновременно. Следовательно, система не имеет решений, и область допустимых значений пуста.
Поскольку ОДЗ пуста, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: решений нет.

30.11. Решите уравнение с параметром a:

a) $\sqrt{x + 2} = \sqrt{2a - x};$

б) $\sqrt{x - 2a} = \sqrt{4 + 2a - 5x};$

в) $\sqrt{5a - 2x + 1} = \sqrt{6x - a - 7};$

г) $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4x + a}.$

а)

Исходное уравнение $\sqrt{x + 2} = \sqrt{2a - x}$.

Уравнение вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ равносильно системе, в которой подкоренные выражения равны, и одно из них (любое, обычно более простое) неотрицательно. Таким образом, данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x + 2 = 2a - x \\ x + 2 \ge 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы относительно $x$:

$x + x = 2a - 2$

$2x = 2a - 2$

$x = a - 1$

Теперь подставим найденное выражение для $x$ в неравенство системы, чтобы найти значения параметра $a$, при которых корень существует:

$(a - 1) + 2 \ge 0$

$a + 1 \ge 0$

$a \ge -1$

Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x = a - 1$ при всех значениях $a$, удовлетворяющих условию $a \ge -1$. Если $a < -1$, то решений нет.

Ответ: при $a \ge -1$ корень $x = a - 1$; при $a < -1$ корней нет.

б)

Исходное уравнение $\sqrt{x - 2a} = \sqrt{4 + 2a - 5x}$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x - 2a = 4 + 2a - 5x \\ x - 2a \ge 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы относительно $x$:

$x + 5x = 4 + 2a + 2a$

$6x = 4 + 4a$

$x = \frac{4 + 4a}{6} = \frac{2(2 + 2a)}{6} = \frac{2 + 2a}{3}$

Подставим найденное выражение для $x$ в неравенство системы:

$\frac{2 + 2a}{3} - 2a \ge 0$

Умножим обе части на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$2 + 2a - 6a \ge 0$

$2 - 4a \ge 0$

$2 \ge 4a$

$a \le \frac{2}{4}$

$a \le \frac{1}{2}$

Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{2 + 2a}{3}$ при всех значениях $a \le \frac{1}{2}$. Если $a > \frac{1}{2}$, то решений нет.

Ответ: при $a \le \frac{1}{2}$ корень $x = \frac{2 + 2a}{3}$; при $a > \frac{1}{2}$ корней нет.

в)

Исходное уравнение $\sqrt{5a - 2x + 1} = \sqrt{6x - a - 7}$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 5a - 2x + 1 = 6x - a - 7 \\ 6x - a - 7 \ge 0 \end{cases}$

(Мы выбрали второе подкоренное выражение для неравенства, так как это упростит проверку в дальнейшем).

Решим первое уравнение системы относительно $x$:

$5a + a + 1 + 7 = 6x + 2x$

$6a + 8 = 8x$

$x = \frac{6a + 8}{8} = \frac{2(3a + 4)}{8} = \frac{3a + 4}{4}$

Подставим найденное выражение для $x$ в неравенство системы:

$6\left(\frac{3a + 4}{4}\right) - a - 7 \ge 0$

$\frac{3(3a + 4)}{2} - a - 7 \ge 0$

Умножим обе части на 2:

$3(3a + 4) - 2a - 14 \ge 0$

$9a + 12 - 2a - 14 \ge 0$

$7a - 2 \ge 0$

$7a \ge 2$

$a \ge \frac{2}{7}$

Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{3a + 4}{4}$ при всех значениях $a \ge \frac{2}{7}$. Если $a < \frac{2}{7}$, то решений нет.

Ответ: при $a \ge \frac{2}{7}$ корень $x = \frac{3a + 4}{4}$; при $a < \frac{2}{7}$ корней нет.

г)

Исходное уравнение $\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4x + a}$.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 4 - x^2 = 4x + a \\ 4 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим неравенство $4 - x^2 \ge 0$, чтобы определить область допустимых значений $x$:

$x^2 \le 4 \implies -2 \le x \le 2$

Теперь преобразуем уравнение системы в квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 + 4x + (a - 4) = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения, чтобы определить количество корней:

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a - 4) = 16 - 4a + 16 = 32 - 4a$

Для существования действительных корней необходимо, чтобы $D \ge 0$:

$32 - 4a \ge 0 \implies 32 \ge 4a \implies a \le 8$

Если $a > 8$, то $D < 0$, и действительных корней нет.

Если $a \le 8$, то корни уравнения равны:

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{32 - 4a}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{4(8 - a)}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{8 - a}}{2} = -2 \pm \sqrt{8 - a}$

Имеем два потенциальных корня: $x_1 = -2 + \sqrt{8 - a}$ и $x_2 = -2 - \sqrt{8 - a}$.

Проверим, при каких значениях $a$ (из условия $a \le 8$) эти корни принадлежат отрезку $[-2, 2]$.

1. Для корня $x_1 = -2 + \sqrt{8 - a}$:

Должно выполняться двойное неравенство: $-2 \le -2 + \sqrt{8 - a} \le 2$.

Левая часть: $-2 \le -2 + \sqrt{8 - a} \implies 0 \le \sqrt{8 - a}$. Это верно для всех $a \le 8$.

Правая часть: $-2 + \sqrt{8 - a} \le 2 \implies \sqrt{8 - a} \le 4$. Возводим в квадрат: $8 - a \le 16 \implies -a \le 8 \implies a \ge -8$.

Объединяя условия $a \le 8$ и $a \ge -8$, получаем, что корень $x_1$ является решением при $-8 \le a \le 8$.

2. Для корня $x_2 = -2 - \sqrt{8 - a}$:

Должно выполняться двойное неравенство: $-2 \le -2 - \sqrt{8 - a} \le 2$.

Левая часть: $-2 \le -2 - \sqrt{8 - a} \implies 0 \le -\sqrt{8 - a}$. Это неравенство выполняется только при $\sqrt{8 - a} = 0$, то есть при $a = 8$.

Правая часть: $-2 - \sqrt{8 - a} \le 2 \implies -\sqrt{8 - a} \le 4$, что верно для всех $a \le 8$.

Следовательно, корень $x_2$ является решением только при $a=8$. При этом $x_2 = -2 - \sqrt{8-8} = -2$. Заметим, что при $a=8$ корень $x_1$ также равен $-2$, то есть корни совпадают.

Итог:

• При $a < -8$ или $a > 8$ решений нет.
• При $-8 \le a \le 8$ решением является $x = -2 + \sqrt{8 - a}$.

Ответ: при $a \in [-8, 8]$ корень $x = -2 + \sqrt{8 - a}$; при $a < -8$ или $a > 8$ корней нет.

30.12. Докажите, что уравнение $ \sqrt{f(x)} = h(x) $ равносильно системе $ \begin{cases} f(x) = h^2(x), \\ h(x) \ge 0. \end{cases} $

Для того чтобы доказать равносильность (эквивалентность) уравнения и системы, необходимо доказать два утверждения:

1. Если некоторое число $x_0$ является решением уравнения $\sqrt{f(x)} = h(x)$, то оно также является решением системы $\begin{cases} f(x) = h^2(x), \\ h(x) \ge 0. \end{cases}$
2. Если некоторое число $x_0$ является решением системы $\begin{cases} f(x) = h^2(x), \\ h(x) \ge 0, \end{cases}$ то оно также является решением уравнения $\sqrt{f(x)} = h(x)$.

Доказательство 1-го утверждения (прямое следствие):

Пусть $x_0$ – корень уравнения $\sqrt{f(x)} = h(x)$. Это означает, что при подстановке $x_0$ в уравнение мы получаем верное числовое равенство: $\sqrt{f(x_0)} = h(x_0)$.

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{a}$) всегда является неотрицательным числом. Следовательно, левая часть уравнения $\sqrt{f(x_0)} \ge 0$.

Поскольку левая часть равна правой, то и правая часть должна быть неотрицательной: $h(x_0) \ge 0$. Это доказывает, что второе условие системы выполняется.

Теперь возведем обе части верного равенства $\sqrt{f(x_0)} = h(x_0)$ в квадрат. Так как обе части неотрицательны, такое преобразование является равносильным.

Получаем: $(\sqrt{f(x_0)})^2 = (h(x_0))^2$.

Это упрощается до $f(x_0) = h^2(x_0)$. Это доказывает, что первое уравнение системы также выполняется.

Таким образом, мы показали, что любой корень исходного уравнения является решением системы.

Доказательство 2-го утверждения (обратное следствие):

Пусть $x_0$ – решение системы $\begin{cases} f(x) = h^2(x), \\ h(x) \ge 0. \end{cases}$ Это означает, что для $x_0$ верны оба соотношения: $f(x_0) = h^2(x_0)$ и $h(x_0) \ge 0$.

Рассмотрим первое равенство: $f(x_0) = h^2(x_0)$.

Поскольку квадрат любого числа $h^2(x_0)$ является неотрицательным, то и $f(x_0) \ge 0$. Это означает, что область определения для корня $\sqrt{f(x_0)}$ соблюдена, и мы можем извлечь корень из обеих частей равенства.

$\sqrt{f(x_0)} = \sqrt{h^2(x_0)}$

По свойству квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это свойство, получаем:

$\sqrt{f(x_0)} = |h(x_0)|$

Теперь воспользуемся вторым условием системы: $h(x_0) \ge 0$. По определению модуля, если выражение под модулем неотрицательно, то модуль равен самому выражению: $|h(x_0)| = h(x_0)$.

Подставим это в наше равенство: $\sqrt{f(x_0)} = h(x_0)$.

Это в точности исходное уравнение. Таким образом, мы показали, что любое решение системы является корнем исходного уравнения.

Поскольку мы доказали оба утверждения, множества решений уравнения и системы полностью совпадают, а значит, они равносильны.

Ответ: Утверждение доказано.

Решите уравнение:

30.13. a) $\sqrt{x + 12} = x;$

б) $\sqrt{x^3 + x^2 + 1} = x;$

в) $\sqrt{5 + 12x - x^2} = x - 7;$

г) $\sqrt{x^3 + x^2 - 1} = x.$

а) $\sqrt{x + 12} = x$

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения необходимо найти область допустимых значений (ОДЗ).

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 12 \ge 0$, откуда $x \ge -12$.

2. Арифметический квадратный корень (левая часть) не может быть отрицательным, следовательно, правая часть также должна быть неотрицательной: $x \ge 0$.

Объединяя оба условия, получаем ОДЗ: $x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt{x + 12})^2 = x^2$
$x + 12 = x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Ищем два числа, произведение которых равно $-12$, а сумма равна $1$. Это числа $4$ и $-3$.
Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
- Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $4 \ge 0$.
- Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $-3 \ge 0$, поэтому является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $4$.

б) $\sqrt[3]{x^3 + x^2 + 1} = x$

Это иррациональное уравнение с кубическим корнем. Область определения кубического корня — все действительные числа, поэтому ОДЗ для этого уравнения $x \in \mathbb{R}$.

Возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от знака корня:
$(\sqrt[3]{x^3 + x^2 + 1})^3 = x^3$
$x^3 + x^2 + 1 = x^3$

Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:
$x^2 + 1 = 0$

Перенесем $1$ в правую часть:
$x^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

в) $\sqrt{5 + 12x - x^2} = x - 7$

Это иррациональное уравнение. Найдем ОДЗ.

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5 + 12x - x^2 \ge 0$.
Решим неравенство. Найдем корни квадратного трехчлена $-x^2 + 12x + 5 = 0$ (или $x^2 - 12x - 5 = 0$).
Дискриминант $D = 12^2 - 4(1)(-5) = 144 + 20 = 164 = 4 \cdot 41$.
Корни: $x = \frac{12 \pm \sqrt{164}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{41}}{2} = 6 \pm \sqrt{41}$.
Так как ветви параболы $y = -x^2 + 12x + 5$ направлены вниз, неравенство выполняется между корнями: $6 - \sqrt{41} \le x \le 6 + \sqrt{41}$.

2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $x - 7 \ge 0$, откуда $x \ge 7$.

Объединим условия: $\left\{ \begin{array}{l} 6 - \sqrt{41} \le x \le 6 + \sqrt{41} \\ x \ge 7 \end{array} \right.$.
Так как $6 < \sqrt{41} < 7$, то $6 - \sqrt{41}$ — отрицательное число, а $6 + \sqrt{41}$ находится между $12$ и $13$.
ОДЗ: $7 \le x \le 6 + \sqrt{41}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{5 + 12x - x^2})^2 = (x - 7)^2$
$5 + 12x - x^2 = x^2 - 14x + 49$

Приведем подобные слагаемые:
$2x^2 - 26x + 44 = 0$
Разделим уравнение на $2$:
$x^2 - 13x + 22 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 11$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($7 \le x \le 6 + \sqrt{41}$).
- Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $x \ge 7$, значит, это посторонний корень.
- Корень $x_2 = 11$. Проверим, удовлетворяет ли он ОДЗ. $11 \ge 7$ (верно). $11 \le 6 + \sqrt{41} \implies 5 \le \sqrt{41} \implies 25 \le 41$ (верно).
Следовательно, $x = 11$ является решением.

Ответ: $11$.

г) $\sqrt[3]{x^3 + x^2 - 1} = x$

Данное иррациональное уравнение содержит кубический корень. ОДЗ для этого уравнения: $x \in \mathbb{R}$.

Возведем обе части уравнения в третью степень:
$(\sqrt[3]{x^3 + x^2 - 1})^3 = x^3$
$x^3 + x^2 - 1 = x^3$

Вычтем $x^3$ из обеих частей:
$x^2 - 1 = 0$

Это разность квадратов:
$(x - 1)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.
Так как ОДЗ — все действительные числа, оба корня являются решениями. Проведем проверку.
При $x = 1$: $\sqrt[3]{1^3 + 1^2 - 1} = \sqrt[3]{1} = 1$. Правая часть: $x = 1$. Верно.
При $x = -1$: $\sqrt[3]{(-1)^3 + (-1)^2 - 1} = \sqrt[3]{-1 + 1 - 1} = \sqrt[3]{-1} = -1$. Правая часть: $x = -1$. Верно.

Ответ: $-1; 1$.

30.14. a) $\sqrt{x^4 - 3x^2 + 4} = x^2 - 5;$

б) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1;$

в) $\sqrt{x^4 - 3x^2 + 4} = 5 - x^2;$

г) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = 1 - x^2.$

а) $\sqrt{x^4 - 3x^2 + 4} = x^2 - 5$

Решение иррационального уравнения вида $\sqrt{f(x)} = g(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) = (g(x))^2 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$

В данном случае $f(x) = x^4 - 3x^2 + 4$ и $g(x) = x^2 - 5$.

1. Проверим условие $f(x) \ge 0$. Выражение $x^4 - 3x^2 + 4$ можно рассмотреть как квадратный трехчлен относительно $t = x^2$ ($t \ge 0$): $t^2 - 3t + 4$. Дискриминант этого трехчлена $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$. Так как дискриминант отрицательный, а старший коэффициент положителен, то $t^2 - 3t + 4 > 0$ при любых $t$. Следовательно, подкоренное выражение $x^4 - 3x^2 + 4$ всегда положительно.

2. Основным ограничением является условие $g(x) \ge 0$:

$x^2 - 5 \ge 0$

$x^2 \ge 5$

$x \in (-\infty; -\sqrt{5}] \cup [\sqrt{5}; \infty)$

3. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^4 - 3x^2 + 4 = (x^2 - 5)^2$

$x^4 - 3x^2 + 4 = x^4 - 10x^2 + 25$

Приведем подобные слагаемые:

$-3x^2 + 10x^2 = 25 - 4$

$7x^2 = 21$

$x^2 = 3$

$x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$

4. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x^2 \ge 5$.

Для обоих корней $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$ имеем $x^2 = 3$.

Так как $3 < 5$, условие $x^2 \ge 5$ не выполняется. Следовательно, оба корня являются посторонними.

Ответ: нет корней.

б) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = x^2 - 1$

Применим ту же схему решения, что и в пункте а). Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2 \\ x^2 - 1 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим неравенство $x^2 - 1 \ge 0$:

$x^2 \ge 1$

$x \in (-\infty; -1] \cup [1; \infty)$

2. Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$x^4 - 3x - 1 = (x^2 - 1)^2$

$x^4 - 3x - 1 = x^4 - 2x^2 + 1$

$-3x - 1 = -2x^2 + 1$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

$x_1 = \frac{3 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$

$x_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$

3. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in (-\infty; -1] \cup [1; \infty)$.

Для $x_1 = -0.5$: $-1 < -0.5 < 1$, корень не принадлежит области допустимых значений, значит, является посторонним.

Для $x_2 = 2$: $2 \ge 1$, корень принадлежит области допустимых значений.

Так как мы использовали равносильный переход (систему), дополнительная проверка для $x=2$ не обязательна, но для уверенности можно подставить его в исходное уравнение:

$\sqrt{2^4 - 3(2) - 1} = \sqrt{16 - 6 - 1} = \sqrt{9} = 3$

$2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

$3=3$, верно.

Ответ: 2.

в) $\sqrt{x^4 - 3x^2 + 4} = 5 - x^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 - 3x^2 + 4 = (5 - x^2)^2 \\ 5 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим неравенство $5 - x^2 \ge 0$:

$x^2 \le 5$

$-\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}$, то есть $x \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$

2. Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$x^4 - 3x^2 + 4 = (5 - x^2)^2$

$x^4 - 3x^2 + 4 = 25 - 10x^2 + x^4$

$-3x^2 + 4 = 25 - 10x^2$

$7x^2 = 21$

$x^2 = 3$

$x_1 = \sqrt{3}$, $x_2 = -\sqrt{3}$

3. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.

Для $x_1 = \sqrt{3}$ и $x_2 = -\sqrt{3}$ имеем $x^2=3$.

Так как $3 < 5$, то $\sqrt{3} < \sqrt{5}$ и $-\sqrt{3} > -\sqrt{5}$. Оба корня удовлетворяют условию $x^2 \le 5$.

Подкоренное выражение $x^4 - 3x^2 + 4$, как было показано в пункте а), всегда положительно.

Ответ: $\sqrt{3}; -\sqrt{3}$.

г) $\sqrt{x^4 - 3x - 1} = 1 - x^2$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x^4 - 3x - 1 = (1 - x^2)^2 \\ 1 - x^2 \ge 0 \end{cases}$

1. Решим неравенство $1 - x^2 \ge 0$:

$x^2 \le 1$

$-1 \le x \le 1$, то есть $x \in [-1; 1]$

2. Решим уравнение, возведя обе части в квадрат:

$x^4 - 3x - 1 = (1 - x^2)^2$

$x^4 - 3x - 1 = 1 - 2x^2 + x^4$

$-3x - 1 = 1 - 2x^2$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Это то же самое квадратное уравнение, что и в пункте б). Его корни:

$x_1 = -0.5$, $x_2 = 2$

3. Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \in [-1; 1]$.

Для $x_1 = -0.5$: $-1 \le -0.5 \le 1$, корень принадлежит области допустимых значений.

Для $x_2 = 2$: $2 > 1$, корень не принадлежит области допустимых значений, значит, является посторонним.

Остался один корень $x = -0.5$. Проверим для него условие неотрицательности подкоренного выражения $x^4 - 3x - 1 \ge 0$:

$(-0.5)^4 - 3(-0.5) - 1 = (\frac{-1}{2})^4 + \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{16} + \frac{24}{16} - \frac{16}{16} = \frac{9}{16} \ge 0$.

Условие выполняется, значит, корень $x=-0.5$ является решением.

Ответ: -0.5.

30.15. a) $\sqrt{\cos x} = \sin x;$

б) $\sqrt{0,5 + \sin x + \cos x} = \cos x;$

в) $\sqrt{\cos 2x} = \sin x;$

г) $\sqrt{\sin x + \sin 3x} = -\cos x.$

а) $\sqrt{\cos x} = \sin x$

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \sin x \ge 0 \\ \cos x = \sin^2 x \end{cases} $

Условие $\cos x \ge 0$ (область определения корня) выполняется автоматически, так как $\cos x = \sin^2 x$, а квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Решим второе уравнение системы, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$\cos x = 1 - \cos^2 x$

$\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$

Сделаем замену $t = \cos x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 + t - 1 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения по формуле:

$t_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Получаем два значения для $t$:

$t_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} \approx -1.618$. Этот корень не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как он меньше -1.

$t_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \approx 0.618$. Этот корень удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Возвращаемся к замене:

$\cos x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Теперь учтем условие $\sin x \ge 0$. Так как $\cos x > 0$, угол $x$ может находиться в I или IV четверти. Условию $\sin x \ge 0$ удовлетворяют углы только в I четверти.

Следовательно, из двух серий решений $x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + 2\pi n$ мы выбираем ту, что соответствует I четверти.

$x = \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \arccos\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{0,5 + \sin x + \cos x} = \cos x$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \cos x \ge 0 \\ 0,5 + \sin x + \cos x = \cos^2 x \end{cases} $

Преобразуем второе уравнение:

$0,5 + \sin x + \cos x - \cos^2 x = 0$

Домножим на 2:

$1 + 2\sin x + 2\cos x - 2\cos^2 x = 0$

Используем формулу $2\cos^2 x = 1 + \cos(2x)$:

$1 + 2(\sin x + \cos x) - (1 + \cos(2x)) = 0$

$2(\sin x + \cos x) - \cos(2x) = 0$

Используем формулу двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$:

$2(\sin x + \cos x) - (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = 0$

Вынесем общий множитель $(\sin x + \cos x)$ за скобки:

$(\sin x + \cos x)(2 - (\cos x - \sin x)) = 0$

$(\sin x + \cos x)(2 - \cos x + \sin x) = 0$

Получаем два случая:

1) $\sin x + \cos x = 0 \implies \tan x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Проверим эти решения по условию $\cos x \ge 0$.

Если $k=2n$ (четное), то $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$. В этом случае $\cos x = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0$. Это решение подходит.

Если $k=2n+1$ (нечетное), то $x = -\frac{\pi}{4} + \pi(2n+1) = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$. В этом случае $\cos x = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Это решение не подходит.

Таким образом, из этого случая получаем серию решений $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) $2 - \cos x + \sin x = 0 \implies \cos x - \sin x = 2$.

Преобразуем левую часть: $\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin x) = \sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})$.

Уравнение принимает вид $\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4}) = 2$, откуда $\cos(x+\frac{\pi}{4}) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

Так как $\sqrt{2} > 1$, а область значений косинуса $[-1, 1]$, это уравнение не имеет решений.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\sqrt{\cos 2x} = \sin x$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \sin x \ge 0 \\ \cos 2x = \sin^2 x \end{cases} $

Условие $\cos 2x \ge 0$ выполняется, так как $\cos 2x = \sin^2 x \ge 0$.

Решим второе уравнение, используя формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:

$1 - 2\sin^2 x = \sin^2 x$

$3\sin^2 x = 1$

$\sin^2 x = \frac{1}{3}$

$\sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Согласно первому условию системы, $\sin x \ge 0$, поэтому выбираем только положительное значение:

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Решения этого уравнения:

$x = \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ (углы в I четверти)

$x = \pi - \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ (углы в II четверти)

Обе серии решений удовлетворяют условию $\sin x \ge 0$. Их можно объединить в одну формулу:

$x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt{\sin x + \sin 3x} = -\cos x$

Уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} -\cos x \ge 0 \implies \cos x \le 0 \\ \sin x + \sin 3x = (-\cos x)^2 = \cos^2 x \end{cases} $

Преобразуем левую часть второго уравнения, используя формулу суммы синусов:

$\sin x + \sin 3x = 2\sin\left(\frac{x+3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x-3x}{2}\right) = 2\sin(2x)\cos(-x) = 2\sin(2x)\cos x$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:

$2(2\sin x \cos x)\cos x = 4\sin x \cos^2 x$

Подставим это во второе уравнение системы:

$4\sin x \cos^2 x = \cos^2 x$

$\cos^2 x (4\sin x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два:

1) $\cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0$.

Это решение удовлетворяет условию системы $\cos x \le 0$. Решениями являются $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. При этих значениях $x$ подкоренное выражение $\sin x + \sin 3x = 4\sin x \cos^2 x = 0$, что является допустимым. Таким образом, эта серия решений подходит.

2) $4\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{4}$.

Мы должны проверить эти решения на соответствие условию $\cos x \le 0$.

Если $\sin x = \frac{1}{4}$, то $x$ может находиться в I или II четверти. Условию $\cos x \le 0$ удовлетворяют только углы во II четверти (в данном случае $\cos x < 0$, т.к. $\cos x = 0$ рассмотрен отдельно).

Решения во II четверти имеют вид $x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Объединяем решения из обоих случаев.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{4}\right) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.