Страница 193, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

ο30.22.

a) $x \cdot \sqrt{\frac{x+5}{x}} + (x+5)\sqrt{\frac{x}{x+5}} = 12;$

б) $(x-5)\sqrt{\frac{x+2}{x-5}} + (x+2)\sqrt{\frac{x-5}{x+2}} = 14\sqrt{2}.$

а) $x \cdot \sqrt{\frac{x+5}{x}} + (x+5)\sqrt{\frac{x}{x+5}} = 12$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатели дробей не должны равняться нулю.

$\frac{x+5}{x} \ge 0$ и $x \neq 0, x \neq -5$.

Решая неравенство методом интервалов, получаем, что $x \in (-\infty, -5) \cup (0, \infty)$.

2. Рассмотрим два случая в зависимости от знака множителей перед корнями.

Случай 1: $x > 0$.

В этом случае $x$ и $x+5$ положительны. Мы можем внести множители под знак корня:

$x\sqrt{\frac{x+5}{x}} = \sqrt{x^2 \cdot \frac{x+5}{x}} = \sqrt{x(x+5)}$

$(x+5)\sqrt{\frac{x}{x+5}} = \sqrt{(x+5)^2 \cdot \frac{x}{x+5}} = \sqrt{(x+5)x}$

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{x(x+5)} + \sqrt{x(x+5)} = 12$

$2\sqrt{x(x+5)} = 12$

$\sqrt{x(x+5)} = 6$

Возведем обе части в квадрат:

$x(x+5) = 36$

$x^2 + 5x - 36 = 0$

По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -9$.

Условию $x > 0$ удовлетворяет только корень $x=4$.

Случай 2: $x < -5$.

В этом случае $x < 0$ и $x+5 < 0$. При внесении отрицательного множителя под знак корня перед корнем появляется знак минус.

$x\sqrt{\frac{x+5}{x}} = -|x|\sqrt{\frac{x+5}{x}} = -\sqrt{x^2 \cdot \frac{x+5}{x}} = -\sqrt{x(x+5)}$

$(x+5)\sqrt{\frac{x}{x+5}} = -|x+5|\sqrt{\frac{x}{x+5}} = -\sqrt{(x+5)^2 \cdot \frac{x}{x+5}} = -\sqrt{(x+5)x}$

Уравнение принимает вид:

$-\sqrt{x(x+5)} - \sqrt{x(x+5)} = 12$

$-2\sqrt{x(x+5)} = 12$

$\sqrt{x(x+5)} = -6$

Это уравнение не имеет действительных решений, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным.

Таким образом, единственным решением является $x=4$.

Ответ: $4$.

б) $(x-5)\sqrt{\frac{x+2}{x-5}} + (x+2)\sqrt{\frac{x-5}{x+2}} = 14\sqrt{2}$

1. Найдем ОДЗ. Выражения под корнем должны быть неотрицательными, а знаменатели не равны нулю.

$\frac{x+2}{x-5} \ge 0$ и $x \neq 5, x \neq -2$.

Решая неравенство методом интервалов, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (5, \infty)$.

2. Рассмотрим два случая в соответствии с ОДЗ.

Случай 1: $x > 5$.

В этом случае множители $x-5$ и $x+2$ положительны. Внесем их под знак корня:

$(x-5)\sqrt{\frac{x+2}{x-5}} = \sqrt{(x-5)^2 \cdot \frac{x+2}{x-5}} = \sqrt{(x-5)(x+2)}$

$(x+2)\sqrt{\frac{x-5}{x+2}} = \sqrt{(x+2)^2 \cdot \frac{x-5}{x+2}} = \sqrt{(x+2)(x-5)}$

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(x-5)(x+2)} + \sqrt{(x-5)(x+2)} = 14\sqrt{2}$

$2\sqrt{(x-5)(x+2)} = 14\sqrt{2}$

$\sqrt{(x-5)(x+2)} = 7\sqrt{2}$

Возведем обе части в квадрат:

$(x-5)(x+2) = (7\sqrt{2})^2$

$x^2 - 3x - 10 = 49 \cdot 2$

$x^2 - 3x - 10 = 98$

$x^2 - 3x - 108 = 0$

Найдем корни через дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(1)(-108) = 9 + 432 = 441 = 21^2$.

$x = \frac{3 \pm 21}{2}$

$x_1 = \frac{3+21}{2} = 12$, $x_2 = \frac{3-21}{2} = -9$.

Условию $x > 5$ удовлетворяет только корень $x=12$.

Случай 2: $x < -2$.

В этом случае множители $x-5$ и $x+2$ отрицательны. При внесении их под корень ставим знак минус:

$(x-5)\sqrt{\frac{x+2}{x-5}} = -\sqrt{(x-5)^2 \cdot \frac{x+2}{x-5}} = -\sqrt{(x-5)(x+2)}$

$(x+2)\sqrt{\frac{x-5}{x+2}} = -\sqrt{(x+2)^2 \cdot \frac{x-5}{x+2}} = -\sqrt{(x+2)(x-5)}$

Уравнение принимает вид:

$-\sqrt{(x-5)(x+2)} - \sqrt{(x-5)(x+2)} = 14\sqrt{2}$

$-2\sqrt{(x-5)(x+2)} = 14\sqrt{2}$

$\sqrt{(x-5)(x+2)} = -7\sqrt{2}$

Уравнение не имеет действительных решений.

Единственным решением является $x=12$.

Ответ: $12$.

30.23. a) $\sqrt{-2x + 20} = 2^x$;

б) $\sqrt{5 + 12 \cdot 3^x - 9^x} = 3^x - 7$;

в) $\sqrt{7 - 0,5^x} = 0,5^x - 1$;

г) $5\sqrt{36^x - 2} = 4^{x+1} \cdot 9^x - 14$.

а)

Дано иррациональное уравнение: $\sqrt{-2^x + 20} = 2^x$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Во-первых, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $-2^x + 20 \ge 0 \implies 2^x \le 20$. Во-вторых, правая часть уравнения, равная арифметическому корню, также должна быть неотрицательной: $2^x \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого действительного $x$, так как показательная функция всегда положительна. Итак, ОДЗ: $2^x \le 20$.

Для решения уравнения введем замену: пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$, то $t > 0$. С учетом ОДЗ получаем условие для $t$: $0 < t \le 20$. Уравнение принимает вид: $\sqrt{-t + 20} = t$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $-t + 20 = t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $t^2 + t - 20 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$. Корни: $t_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$ $t_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Проверим найденные корни на соответствие условию $0 < t \le 20$. $t_1 = 4$ удовлетворяет условию. $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию ($t > 0$), поэтому это посторонний корень.

Выполним обратную замену для $t = 4$: $2^x = 4$ $2^x = 2^2$ $x = 2$

Проверим найденный корень $x=2$ подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{-2^2 + 20} = \sqrt{-4 + 20} = \sqrt{16} = 4$. Правая часть: $2^2 = 4$. $4 = 4$. Корень найден верно.

Ответ: $2$

б)

Дано уравнение: $\sqrt{5 + 12 \cdot 3^x - 9^x} = 3^x - 7$.

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Уравнение можно переписать так: $\sqrt{5 + 12 \cdot 3^x - (3^x)^2} = 3^x - 7$.

ОДЗ: 1. Выражение под корнем неотрицательно: $5 + 12 \cdot 3^x - (3^x)^2 \ge 0$. 2. Правая часть неотрицательна: $3^x - 7 \ge 0 \implies 3^x \ge 7$.

Сделаем замену: пусть $t = 3^x$. Условие $3^x \ge 7$ превращается в $t \ge 7$. Уравнение с новой переменной: $\sqrt{5 + 12t - t^2} = t - 7$.

Возводим обе части в квадрат (это возможно, так как обе части неотрицательны при $t \ge 7$): $5 + 12t - t^2 = (t - 7)^2$ $5 + 12t - t^2 = t^2 - 14t + 49$

Приводим подобныe члены: $2t^2 - 26t + 44 = 0$ Разделим все уравнение на 2: $t^2 - 13t + 22 = 0$

Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 13, произведение равно 22. Корни $t_1 = 11$ и $t_2 = 2$. Или через дискриминант: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 169 - 88 = 81 = 9^2$. $t_1 = \frac{13 + 9}{2} = \frac{22}{2} = 11$ $t_2 = \frac{13 - 9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Проверяем корни по условию $t \ge 7$. $t_1 = 11$ удовлетворяет условию. $t_2 = 2$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.

Выполняем обратную замену для $t=11$: $3^x = 11$ По определению логарифма: $x = \log_3 11$.

Ответ: $\log_3 11$

в)

Дано уравнение: $\sqrt{7 - 0,5^x} = 0,5^x - 1$.

ОДЗ: 1. $7 - 0,5^x \ge 0 \implies 0,5^x \le 7$. 2. $0,5^x - 1 \ge 0 \implies 0,5^x \ge 1$. Объединяя условия, получаем: $1 \le 0,5^x \le 7$.

Пусть $t = 0,5^x$. Тогда для $t$ имеем условие $1 \le t \le 7$. Уравнение: $\sqrt{7 - t} = t - 1$.

Возводим в квадрат обе части: $7 - t = (t - 1)^2$ $7 - t = t^2 - 2t + 1$

Получаем квадратное уравнение: $t^2 - t - 6 = 0$

Решаем его. По теореме Виета: сумма корней 1, произведение -6. Корни $t_1 = 3$ и $t_2 = -2$. Или через дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 = 5^2$. $t_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3$ $t_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2$

Проверяем корни по условию $1 \le t \le 7$. $t_1 = 3$ удовлетворяет условию. $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, посторонний корень.

Обратная замена для $t=3$: $0,5^x = 3$ $(\frac{1}{2})^x = 3$ $2^{-x} = 3$ Берем логарифм по основанию 2 от обеих частей: $\log_2(2^{-x}) = \log_2 3$ $-x = \log_2 3$ $x = -\log_2 3$

Ответ: $-\log_2 3$

г)

Дано уравнение: $5\sqrt{36^x - 2} = 4^{x+1} \cdot 9^x - 14$.

Преобразуем показательные выражения: $36^x = (6^2)^x = (6^x)^2$. $4^{x+1} \cdot 9^x = 4 \cdot 4^x \cdot 9^x = 4 \cdot (4 \cdot 9)^x = 4 \cdot 36^x = 4 \cdot (6^x)^2$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение: $5\sqrt{(6^x)^2 - 2} = 4 \cdot (6^x)^2 - 14$.

ОДЗ: $36^x - 2 \ge 0 \implies 36^x \ge 2$.

Сделаем замену. Пусть $t = 36^x$. Тогда условие ОДЗ: $t \ge 2$. Уравнение принимает вид: $5\sqrt{t - 2} = 4t - 14$.

Для решения такого уравнения удобно сделать еще одну замену. Пусть $y = \sqrt{t - 2}$. Тогда $y \ge 0$. Из этой замены следует, что $y^2 = t - 2$, откуда $t = y^2 + 2$.

Подставим $y$ и $t$ в уравнение $5\sqrt{t - 2} = 4t - 14$: $5y = 4(y^2 + 2) - 14$ $5y = 4y^2 + 8 - 14$ $5y = 4y^2 - 6$

Получаем квадратное уравнение относительно $y$: $4y^2 - 5y - 6 = 0$. Решаем его: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121 = 11^2$. $y_1 = \frac{5 + 11}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$ $y_2 = \frac{5 - 11}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$

Проверяем корни $y$ по условию $y \ge 0$. $y_1 = 2$ подходит. $y_2 = -3/4$ не подходит, посторонний корень.

Возвращаемся к переменной $t$ через $y=2$: $y = \sqrt{t-2} \implies 2 = \sqrt{t-2}$. Возводим в квадрат: $4 = t - 2 \implies t = 6$.

Проверяем $t=6$ по условию $t \ge 2$. Условие выполняется. Теперь возвращаемся к переменной $x$: $t = 36^x \implies 6 = 36^x$ $6^1 = (6^2)^x$ $6^1 = 6^{2x}$ $1 = 2x$ $x = \frac{1}{2}$

Проверим найденный корень $x=1/2$ подстановкой в исходное уравнение. Левая часть: $5\sqrt{36^{1/2} - 2} = 5\sqrt{6 - 2} = 5\sqrt{4} = 5 \cdot 2 = 10$. Правая часть: $4^{1/2+1} \cdot 9^{1/2} - 14 = 4^{3/2} \cdot 3 - 14 = (2^2)^{3/2} \cdot 3 - 14 = 2^3 \cdot 3 - 14 = 8 \cdot 3 - 14 = 24 - 14 = 10$. $10=10$. Корень найден верно.

Ответ: $0,5$

30.24. a) $\sqrt{|-2^x + 42|} = 2^x$;

б) $\sqrt{|5 + 12 \cdot 3^x - 9^x|} = 3^x - 7$.

а) $\sqrt{|-2^x+42|} = 2^x$

Данное уравнение эквивалентно системе: $$ \begin{cases} 2^x \ge 0 \\ |-2^x+42| = (2^x)^2 \end{cases} $$ Первое неравенство $2^x \ge 0$ выполняется для любого действительного $x$, так как показательная функция всегда положительна.

Решим второе уравнение: $|-2^x+42| = (2^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид: $|42-t| = t^2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $42-t \ge 0$, то есть $t \le 42$.
$42-t = t^2$
$t^2 + t - 42 = 0$
По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 6$ и $t_2 = -7$.
Проверим соответствие условиям $t > 0$ и $t \le 42$:
$t_1 = 6$ удовлетворяет обоим условиям ($6 > 0$ и $6 \le 42$), следовательно, является корнем.
$t_2 = -7$ не удовлетворяет условию $t>0$, следовательно, не является корнем.

Случай 2: $42-t < 0$, то есть $t > 42$.
$-(42-t) = t^2$
$t-42 = t^2$
$t^2 - t + 42 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 1 - 168 = -167$.
Так как $D < 0$, в этом случае действительных корней нет.

Единственным решением для $t$ является $t=6$. Выполним обратную замену:
$2^x = 6$
$x = \log_2 6$

Ответ: $x = \log_2 6$

б) $\sqrt{|5+12 \cdot 3^x - 9^x|} = 3^x - 7$

Данное уравнение эквивалентно системе: $$ \begin{cases} 3^x - 7 \ge 0 \\ |5+12 \cdot 3^x - 9^x| = (3^x - 7)^2 \end{cases} $$

Решим первое неравенство (ОДЗ):
$3^x \ge 7$
$x \ge \log_3 7$

Решим второе уравнение: $|5+12 \cdot 3^x - (3^x)^2| = (3^x - 7)^2$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Учитывая ОДЗ, имеем $t \ge 7$.
Уравнение примет вид: $|5+12t - t^2| = (t - 7)^2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $-t^2+12t+5$.
Найдем корни квадратного трехчлена $-t^2+12t+5=0$ или $t^2-12t-5=0$.
$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 144 + 20 = 164 = 4 \cdot 41$.
$t = \frac{12 \pm \sqrt{164}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{41}}{2} = 6 \pm \sqrt{41}$.
Поскольку парабола $y=-t^2+12t+5$ имеет ветви вниз, выражение $-t^2+12t+5 \ge 0$ при $t \in [6 - \sqrt{41}, 6 + \sqrt{41}]$.

Случай 1: $-t^2+12t+5 \ge 0$, то есть $t \in [6 - \sqrt{41}, 6 + \sqrt{41}]$.
Уравнение: $5+12t-t^2 = (t-7)^2$
$5+12t-t^2 = t^2 - 14t + 49$
$2t^2 - 26t + 44 = 0$
$t^2 - 13t + 22 = 0$
Корни: $t_1 = 2$, $t_2 = 11$.
Проверим корни. Условие для этого случая с учетом ОДЗ: $t \in [7, 6+\sqrt{41}]$.
$t_1=2$ не удовлетворяет условию $t \ge 7$.
$t_2=11$. Проверим $11 \in [7, 6+\sqrt{41}]$. $11 \ge 7$ (верно). $11 \le 6+\sqrt{41} \Leftrightarrow 5 \le \sqrt{41} \Leftrightarrow 25 \le 41$ (верно). Значит, $t=11$ - корень.

Случай 2: $-t^2+12t+5 < 0$, то есть $t \in (-\infty, 6 - \sqrt{41}) \cup (6 + \sqrt{41}, +\infty)$.
Уравнение: $-(5+12t-t^2) = (t-7)^2$
$t^2 - 12t - 5 = t^2 - 14t + 49$
$2t = 54$
$t = 27$
Проверим корень. Условие для этого случая с учетом ОДЗ: $t > 6+\sqrt{41}$.
$27 > 6+\sqrt{41} \Leftrightarrow 21 > \sqrt{41} \Leftrightarrow 441 > 41$ (верно). Значит, $t=27$ - корень.

Мы получили два решения для $t$: $t=11$ и $t=27$. Выполним обратную замену:
1) $3^x = 11 \implies x = \log_3 11$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ $x \ge \log_3 7$, так как $11>7$.
2) $3^x = 27 \implies 3^x = 3^3 \implies x = 3$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ $x \ge \log_3 7$, так как $3 = \log_3 27$ и $27>7$.

Ответ: $x=3; x=\log_3 11$

30.25. a) $\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = x - 1$;

б) $\sqrt{x + 8 + 2\sqrt{x + 7}} + \sqrt{x + 1 - \sqrt{x + 7}} = 4$.

а) $\sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} = x - 1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
2. Выражения под внешними корнями также должны быть неотрицательными. Для первого корня: $x + 2\sqrt{x - 1}$. При $x \ge 1$, $x$ положительно, а $2\sqrt{x-1}$ неотрицательно, поэтому их сумма всегда неотрицательна.
Для второго корня: $x - 2\sqrt{x - 1} \ge 0 \implies x \ge 2\sqrt{x-1}$. Так как обе части неотрицательны при $x \ge 1$, можно возвести в квадрат: $x^2 \ge 4(x-1) \implies x^2 - 4x + 4 \ge 0 \implies (x-2)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого $x$.
3. Левая часть уравнения (сумма корней) неотрицательна, значит и правая часть должна быть неотрицательна: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
Итак, ОДЗ: $x \ge 1$.

Преобразуем подкоренные выражения, используя формулу полного квадрата. Заметим, что $x = (x-1) + 1 = (\sqrt{x-1})^2 + 1^2$.
Тогда:
$x + 2\sqrt{x - 1} = (\sqrt{x-1})^2 + 2\sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} + 1)^2$.
$x - 2\sqrt{x - 1} = (\sqrt{x-1})^2 - 2\sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$.

Подставим это в исходное уравнение:
$\sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} = x - 1$
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$|\sqrt{x-1} + 1| + |\sqrt{x-1} - 1| = x - 1$
Так как $\sqrt{x-1} \ge 0$, то $\sqrt{x-1} + 1$ всегда положительно, поэтому $|\sqrt{x-1} + 1| = \sqrt{x-1} + 1$.
Уравнение принимает вид:
$\sqrt{x-1} + 1 + |\sqrt{x-1} - 1| = x - 1$

Рассмотрим два случая для раскрытия модуля $|\sqrt{x-1} - 1|$:
Случай 1: $\sqrt{x-1} - 1 \ge 0 \implies \sqrt{x-1} \ge 1 \implies x-1 \ge 1 \implies x \ge 2$.
В этом случае $|\sqrt{x-1} - 1| = \sqrt{x-1} - 1$.
Уравнение становится:
$(\sqrt{x-1} + 1) + (\sqrt{x-1} - 1) = x - 1$
$2\sqrt{x-1} = x - 1$
Пусть $t = \sqrt{x-1}$, где $t \ge 1$ (так как $x \ge 2 \implies x-1 \ge 1 \implies \sqrt{x-1} \ge 1$).
$2t = t^2$
$t^2 - 2t = 0$
$t(t-2) = 0$
$t=0$ или $t=2$.
$t=0$ не удовлетворяет условию $t \ge 1$.
$t=2$ удовлетворяет. Вернемся к замене:
$\sqrt{x-1} = 2 \implies x-1 = 4 \implies x=5$.
Число 5 удовлетворяет условию $x \ge 2$, значит, это корень.

Случай 2: $\sqrt{x-1} - 1 < 0 \implies \sqrt{x-1} < 1 \implies 0 \le x-1 < 1 \implies 1 \le x < 2$.
В этом случае $|\sqrt{x-1} - 1| = -(\sqrt{x-1} - 1) = 1 - \sqrt{x-1}$.
Уравнение становится:
$(\sqrt{x-1} + 1) + (1 - \sqrt{x-1}) = x - 1$
$2 = x - 1$
$x = 3$.
Это значение не входит в рассматриваемый промежуток $1 \le x < 2$, поэтому корней в этом случае нет.

Единственным решением является $x=5$.
Ответ: 5.

б) $\sqrt{x + 8 + 2\sqrt{x + 7}} + \sqrt{x + 1 - \sqrt{x + 7}} = 4$

Найдем ОДЗ.
1. $x + 7 \ge 0 \implies x \ge -7$.
2. $x + 8 + 2\sqrt{x + 7} \ge 0$. Преобразуем это выражение: $x+7+2\sqrt{x+7}+1 = (\sqrt{x+7}+1)^2$. Это выражение всегда неотрицательно.
3. $x + 1 - \sqrt{x + 7} \ge 0$.

Упростим первый член уравнения:
$\sqrt{x + 8 + 2\sqrt{x + 7}} = \sqrt{(\sqrt{x+7}+1)^2} = |\sqrt{x+7}+1|$.
Так как $\sqrt{x+7} \ge 0$, то $\sqrt{x+7}+1 > 0$, поэтому $|\sqrt{x+7}+1| = \sqrt{x+7}+1$.

Подставим упрощенное выражение в уравнение:
$\sqrt{x+7} + 1 + \sqrt{x + 1 - \sqrt{x + 7}} = 4$
$\sqrt{x + 1 - \sqrt{x + 7}} = 3 - \sqrt{x+7}$

Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна квадратному корню:
$3 - \sqrt{x+7} \ge 0$
$3 \ge \sqrt{x+7}$
Возведем обе неотрицательные части в квадрат:
$9 \ge x+7$
$x \le 2$.
С учетом ОДЗ ($x \ge -7$), получаем ограничение на $x$: $-7 \le x \le 2$.

Теперь возведем в квадрат обе части уравнения $\sqrt{x + 1 - \sqrt{x + 7}} = 3 - \sqrt{x+7}$:
$x + 1 - \sqrt{x + 7} = (3 - \sqrt{x+7})^2$
$x + 1 - \sqrt{x + 7} = 9 - 6\sqrt{x+7} + (\sqrt{x+7})^2$
$x + 1 - \sqrt{x + 7} = 9 - 6\sqrt{x+7} + x + 7$
$x + 1 - \sqrt{x + 7} = x + 16 - 6\sqrt{x+7}$
Перенесем члены с корнем в одну сторону, а остальные в другую:
$6\sqrt{x+7} - \sqrt{x+7} = 16 - 1$
$5\sqrt{x+7} = 15$
$\sqrt{x+7} = 3$
Возведем в квадрат:
$x+7 = 9$
$x = 2$.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=2$ всем условиям. 1. $x=2$ принадлежит ОДЗ $x \ge -7$. 2. $x=2$ удовлетворяет условию $-7 \le x \le 2$. 3. Проверим условие $x + 1 - \sqrt{x + 7} \ge 0$: $2 + 1 - \sqrt{2 + 7} = 3 - \sqrt{9} = 3 - 3 = 0$. Условие $0 \ge 0$ выполняется.
Следовательно, $x=2$ является корнем уравнения.

Ответ: 2.

30.26. а) $ \sqrt[3]{x+7} + \sqrt[3]{28-x} = 5; $

б) $ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x-3} = \sqrt[3]{12(x-1)}; $

в) $ \sqrt[3]{x^2-1} + \sqrt[3]{x^2+18} = 5; $

г) $ \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} = \sqrt[3]{x-8}. $

а) Решим уравнение $\sqrt[3]{x+7} + \sqrt[3]{28-x} = 5$.

Возведем обе части уравнения в куб, используя формулу $(a+b)^3 = a^3+b^3+3ab(a+b)$:

$(\sqrt[3]{x+7} + \sqrt[3]{28-x})^3 = 5^3$

$(x+7) + (28-x) + 3\sqrt[3]{(x+7)(28-x)}(\sqrt[3]{x+7} + \sqrt[3]{28-x}) = 125$

Заметим, что выражение в скобках $(\sqrt[3]{x+7} + \sqrt[3]{28-x})$ равно 5 по условию исходного уравнения. Подставим это значение:

$35 + 3\sqrt[3]{(x+7)(28-x)} \cdot 5 = 125$

$15\sqrt[3]{(x+7)(28-x)} = 125 - 35$

$15\sqrt[3]{(x+7)(28-x)} = 90$

$\sqrt[3]{(x+7)(28-x)} = 6$

Возведем обе части в куб еще раз:

$(x+7)(28-x) = 6^3$

$(x+7)(28-x) = 216$

$28x - x^2 + 196 - 7x = 216$

$-x^2 + 21x + 196 - 216 = 0$

$-x^2 + 21x - 20 = 0$

Умножим на -1, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$x^2 - 21x + 20 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 21, а произведение равно 20. Легко подобрать корни: $x_1=1$ и $x_2=20$.

Проверка:
При $x=1$: $\sqrt[3]{1+7} + \sqrt[3]{28-1} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{27} = 2+3=5$. Верно.
При $x=20$: $\sqrt[3]{20+7} + \sqrt[3]{28-20} = \sqrt[3]{27} + \sqrt[3]{8} = 3+2=5$. Верно.

Ответ: $1; 20$.

б) Решим уравнение $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x-3} = \sqrt[3]{12(x-1)}$.

Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x-3})^3 = (\sqrt[3]{12(x-1)})^3$

$x + (2x-3) + 3\sqrt[3]{x(2x-3)}(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{2x-3}) = 12(x-1)$

Заменим сумму корней в скобках на правую часть исходного уравнения:

$3x-3 + 3\sqrt[3]{x(2x-3)}\sqrt[3]{12(x-1)} = 12(x-1)$

$3(x-1) + 3\sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)} = 12(x-1)$

Разделим обе части на 3:

$(x-1) + \sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)} = 4(x-1)$

$\sqrt[3]{12x(2x-3)(x-1)} = 3(x-1)$

Один из корней уравнения — $x=1$, так как в этом случае обе части уравнения обращаются в ноль.
Проверка: $\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{2(1)-3} = 1 + \sqrt[3]{-1} = 1-1=0$. Правая часть: $\sqrt[3]{12(1-1)} = \sqrt[3]{0} = 0$. Корень $x=1$ подходит.

Предположим, что $x \neq 1$. Тогда можно возвести обе части в куб:

$12x(2x-3)(x-1) = (3(x-1))^3$

$12x(2x-3)(x-1) = 27(x-1)^3$

Так как $x \neq 1$, разделим обе части на $x-1$:

$12x(2x-3) = 27(x-1)^2$

$24x^2 - 36x = 27(x^2 - 2x + 1)$

$24x^2 - 36x = 27x^2 - 54x + 27$

$3x^2 - 18x + 27 = 0$

Разделим на 3:

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x-3)^2 = 0$

Отсюда $x=3$.

Проверка:
При $x=3$: $\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2(3)-3} = \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{3} = 2\sqrt[3]{3}$. Правая часть: $\sqrt[3]{12(3-1)} = \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{8 \cdot 3} = 2\sqrt[3]{3}$. Верно.

Ответ: $1; 3$.

в) Решим уравнение $\sqrt[3]{x^2-1} + \sqrt[3]{x^2+18} = 5$.

Сделаем замену $y = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $y \ge 0$. Уравнение примет вид:

$\sqrt[3]{y-1} + \sqrt[3]{y+18} = 5$

Рассмотрим функцию $f(y) = \sqrt[3]{y-1} + \sqrt[3]{y+18}$. Её производная:

$f'(y) = \frac{1}{3(y-1)^{2/3}} + \frac{1}{3(y+18)^{2/3}}$

Поскольку $(y-1)^{2/3} \ge 0$ и $(y+18)^{2/3} \ge 0$, производная $f'(y) > 0$ для всех $y$ из области определения. Это означает, что функция $f(y)$ является строго возрастающей. Следовательно, уравнение $f(y)=5$ может иметь не более одного корня.

Попробуем найти корень подбором. Пусть $\sqrt[3]{y-1}=a$ и $\sqrt[3]{y+18}=b$. Тогда $a+b=5$. Если предположить, что $a$ и $b$ — целые числа, то возможные пары $(a, b)$ это $(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)$.

Проверим пару $(a, b) = (2, 3)$:

$\sqrt[3]{y-1} = 2 \Rightarrow y-1 = 2^3 = 8 \Rightarrow y=9$

$\sqrt[3]{y+18} = 3 \Rightarrow y+18 = 3^3 = 27 \Rightarrow y=9$

Значение $y=9$ удовлетворяет обоим условиям. Так как корень единственный, то $y=9$ — это решение уравнения для $y$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

$x^2 = y = 9$

$x_1 = 3, x_2 = -3$

Ответ: $-3; 3$.

г) Решим уравнение $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} = \sqrt[3]{x-8}$.

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x-16} - \sqrt[3]{x-8} = 0$.

Воспользуемся тождеством: если $a+b+c=0$, то $a^3+b^3+c^3=3abc$.
Пусть $a=\sqrt[3]{x}$, $b=\sqrt[3]{x-16}$, $c=-\sqrt[3]{x-8}=\sqrt[3]{8-x}$.
Уравнение имеет вид $a+b+c=0$. Следовательно, оно равносильно уравнению $a^3+b^3+c^3=3abc$ (поскольку второй множитель в разложении $a^3+b^3+c^3-3abc$ не равен нулю при $a \neq b$).

$(\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{x-16})^3 + (\sqrt[3]{8-x})^3 = 3\sqrt[3]{x(x-16)(8-x)}$

$x + (x-16) + (8-x) = 3\sqrt[3]{-x(x-16)(x-8)}$

$x - 8 = -3\sqrt[3]{x(x-16)(x-8)}$

Возведем обе части в куб:

$(x-8)^3 = (-3)^3 \cdot x(x-16)(x-8)$

$(x-8)^3 = -27x(x-16)(x-8)$

$(x-8)^3 + 27x(x-16)(x-8) = 0$

Вынесем общий множитель $(x-8)$:

$(x-8)[(x-8)^2 + 27x(x-16)] = 0$

Это равенство выполняется в двух случаях:

1) $x-8 = 0 \Rightarrow x_1=8$.

2) $(x-8)^2 + 27x(x-16) = 0$

$x^2 - 16x + 64 + 27x^2 - 432x = 0$

$28x^2 - 448x + 64 = 0$

Разделим уравнение на 4:

$7x^2 - 112x + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение по формуле корней:

$D = (-112)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 16 = 12544 - 448 = 12096 = 576 \cdot 21$

$\sqrt{D} = \sqrt{576 \cdot 21} = 24\sqrt{21}$

$x = \frac{112 \pm 24\sqrt{21}}{2 \cdot 7} = \frac{112 \pm 24\sqrt{21}}{14} = \frac{56 \pm 12\sqrt{21}}{7}$

Таким образом, мы получили еще два корня: $x_2 = \frac{56 + 12\sqrt{21}}{7}$ и $x_3 = \frac{56 - 12\sqrt{21}}{7}$.

Ответ: $8; \frac{56 \pm 12\sqrt{21}}{7}$.

30.27. a) $\sqrt{\lg x + 2\sqrt{\lg x - 1}} + \sqrt{\lg x - 2\sqrt{\lg x - 1}} = \lg x - 1;$

б) $\sqrt{5^x + 8 + 2\sqrt{5^x + 7}} + \sqrt{5^x + 1 - \sqrt{5^x + 7}} = 4.$

a)

Исходное уравнение: $ \sqrt{\lg x + 2\sqrt{\lg x - 1}} + \sqrt{\lg x - 2\sqrt{\lg x - 1}} = \lg x - 1 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться следующие условия:

1. Аргумент логарифма должен быть положительным: $ x > 0 $.
2. Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $ \lg x - 1 \ge 0 \implies \lg x \ge 1 \implies x \ge 10 $.
3. Выражения под внешними корнями должны быть неотрицательными.
   Рассмотрим $ \lg x - 2\sqrt{\lg x - 1} \ge 0 $. Пусть $ t = \lg x $. С учетом $ t \ge 1 $, неравенство примет вид $ t \ge 2\sqrt{t-1} $. Так как обе части неотрицательны, можно возвести в квадрат: $ t^2 \ge 4(t-1) \implies t^2 - 4t + 4 \ge 0 \implies (t-2)^2 \ge 0 $. Это неравенство верно для любых $ t $.
   Выражение $ \lg x + 2\sqrt{\lg x - 1} $ при $ \lg x \ge 1 $ всегда положительно.
4. Правая часть уравнения, равная сумме двух арифметических корней, должна быть неотрицательной: $ \lg x - 1 \ge 0 $, что совпадает с условием 2.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $ x \ge 10 $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ y = \lg x $. С учетом ОДЗ, $ y \ge 1 $. Уравнение принимает вид:

$ \sqrt{y + 2\sqrt{y - 1}} + \sqrt{y - 2\sqrt{y - 1}} = y - 1 $

Преобразуем выражения под внешними корнями, выделив полные квадраты. Заметим, что $ y = (y-1) + 1 $.

$ y + 2\sqrt{y - 1} = (y-1) + 2\sqrt{y-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{y-1} + 1)^2 $

$ y - 2\sqrt{y - 1} = (y-1) - 2\sqrt{y-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{y-1} - 1)^2 $

Подставим эти выражения в уравнение:

$ \sqrt{(\sqrt{y-1} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{y-1} - 1)^2} = y - 1 $

$ |\sqrt{y-1} + 1| + |\sqrt{y-1} - 1| = y - 1 $

Поскольку $ \sqrt{y-1} \ge 0 $, то $ \sqrt{y-1} + 1 > 0 $, и первый модуль раскрывается со знаком плюс. Пусть $ z = \sqrt{y-1} $, тогда $ y-1 = z^2 $. Уравнение примет вид:

$ (z + 1) + |z - 1| = z^2 $, где $ z \ge 0 $.

Рассмотрим два случая:

1. Если $ z - 1 \ge 0 $, то есть $ z \ge 1 $.
$ (z+1) + (z-1) = z^2 $
$ 2z = z^2 $
$ z^2 - 2z = 0 $
$ z(z-2) = 0 $
Получаем $ z=0 $ или $ z=2 $. Условию $ z \ge 1 $ удовлетворяет только $ z=2 $.

2. Если $ 0 \le z < 1 $.
$ (z+1) - (z-1) = z^2 $
$ 2 = z^2 $
Получаем $ z = \sqrt{2} $ или $ z = -\sqrt{2} $. Ни один из этих корней не удовлетворяет условию $ 0 \le z < 1 $.

Единственным решением является $ z=2 $. Вернемся к исходным переменным:

$ \sqrt{y-1} = 2 $
Возводим в квадрат: $ y-1 = 4 \implies y=5 $.

$ \lg x = 5 \implies x = 10^5 = 100000 $.

Найденный корень $ x=100000 $ удовлетворяет ОДЗ ($ x \ge 10 $).

Ответ: $ x = 100000 $.

б)

Исходное уравнение: $ \sqrt{5^x + 8 + 2\sqrt{5^x + 7}} + \sqrt{5^x + 1 - \sqrt{5^x + 7}} = 4 $.

ОДЗ:
$ 5^x + 7 \ge 0 \implies 5^x \ge -7 $, что верно для любого действительного $ x $.
$ 5^x + 1 - \sqrt{5^x + 7} \ge 0 $.

Преобразуем первое слагаемое в левой части, выделив полный квадрат:

$ 5^x + 8 + 2\sqrt{5^x + 7} = (5^x+7) + 2\sqrt{5^x+7} + 1 = (\sqrt{5^x+7} + 1)^2 $.

Тогда $ \sqrt{5^x + 8 + 2\sqrt{5^x + 7}} = \sqrt{(\sqrt{5^x+7} + 1)^2} = |\sqrt{5^x+7} + 1| = \sqrt{5^x+7} + 1 $.

Уравнение принимает вид:

$ (\sqrt{5^x+7} + 1) + \sqrt{5^x + 1 - \sqrt{5^x + 7}} = 4 $.

Сделаем замену. Пусть $ y = \sqrt{5^x+7} $. Тогда $ 5^x = y^2 - 7 $. Так как $ 5^x > 0 $, то $ y^2 - 7 > 0 \implies y > \sqrt{7} $.

Подставим $ y $ в уравнение:

$ (y+1) + \sqrt{(y^2-7) + 1 - y} = 4 $

$ y+1 + \sqrt{y^2-y-6} = 4 $

Изолируем радикал:

$ \sqrt{y^2-y-6} = 3-y $.

Для решения этого иррационального уравнения необходимо, чтобы выполнялись условия:

1. Подкоренное выражение неотрицательно: $ y^2-y-6 \ge 0 \implies (y-3)(y+2) \ge 0 $. Это верно при $ y \le -2 $ или $ y \ge 3 $.
2. Правая часть уравнения неотрицательна: $ 3-y \ge 0 \implies y \le 3 $.

Учитывая также условие замены $ y > \sqrt{7} \approx 2.64 $, получаем систему ограничений для $ y $:

$ \begin{cases} y \ge 3 \text{ или } y \le -2 \\ y \le 3 \\ y > \sqrt{7} \end{cases} $

Единственное значение, удовлетворяющее всем этим условиям, — это $ y=3 $. Проверим его, подставив в уравнение $ \sqrt{y^2-y-6} = 3-y $:

$ \sqrt{3^2-3-6} = 3-3 \implies \sqrt{0} = 0 $. Верно.

Таким образом, $ y=3 $ является единственным решением. Вернемся к переменной $ x $:

$ \sqrt{5^x+7} = 3 $

Возведем обе части в квадрат:

$ 5^x+7 = 9 $

$ 5^x = 2 $

$ x = \log_5 2 $.

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Мы должны проверить условие $ 5^x + 1 - \sqrt{5^x + 7} \ge 0 $. Подставляя $ 5^x=2 $:

$ 2 + 1 - \sqrt{2+7} = 3 - \sqrt{9} = 3-3 = 0 $. Условие $ 0 \ge 0 $ выполняется.

Ответ: $ x = \log_5 2 $.

30.28. a) $\sqrt{x} + \sqrt{x+5} = 9 - x;$

б) $3\sqrt{x+2} + 5\sqrt{3x+10} = 30 - 2x.$

a) Решим уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{x+5} = 9 - x$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными. Также правая часть уравнения, равная сумме двух неотрицательных слагаемых в левой части, должна быть неотрицательной.

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x+5 \ge 0 \\ 9-x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge -5 \\ x \le 9 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ для $x$ — это промежуток $[0, 9]$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: $f(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x+5}$ и $g(x) = 9-x$.

Функция $f(x)$ является суммой двух возрастающих функций ($\sqrt{x}$ и $\sqrt{x+5}$), поэтому она строго возрастает на всей своей области определения. Функция $g(x)$ является линейной убывающей функцией. Уравнение вида $f(x)=g(x)$, где одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора, проверяя целые значения из ОДЗ.

Подставим $x=4$:

Левая часть: $\sqrt{4} + \sqrt{4+5} = 2 + \sqrt{9} = 2 + 3 = 5$.

Правая часть: $9 - 4 = 5$.

Поскольку $5=5$, значение $x=4$ является корнем уравнения. Так как мы установили, что корень может быть только один, это и есть единственное решение.

Ответ: 4

б) Решим уравнение $3\sqrt{x+2} + 5\sqrt{3x+10} = 30 - 2x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исходя из тех же соображений, что и в предыдущем пункте:

$\begin{cases} x+2 \ge 0 \\ 3x+10 \ge 0 \\ 30-2x \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -2 \\ 3x \ge -10 \\ 2x \le 30 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge -2 \\ x \ge -10/3 \\ x \le 15 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in [-2, 15]$.

Рассмотрим функции $f(x) = 3\sqrt{x+2} + 5\sqrt{3x+10}$ (левая часть) и $g(x) = 30 - 2x$ (правая часть).

Функция $f(x)$ является суммой двух возрастающих функций, следовательно, она строго возрастает на своей области определения. Функция $g(x)$ — линейная убывающая. Таким образом, данное уравнение может иметь не более одного корня.

Найдем корень методом подбора, проверяя целые значения из ОДЗ. Удобно искать такие $x$, при которых подкоренные выражения являются полными квадратами.

Проверим $x=2$:

Левая часть: $3\sqrt{2+2} + 5\sqrt{3(2)+10} = 3\sqrt{4} + 5\sqrt{6+10} = 3 \cdot 2 + 5\sqrt{16} = 6 + 5 \cdot 4 = 6 + 20 = 26$.

Правая часть: $30 - 2(2) = 30 - 4 = 26$.

Левая и правая части равны, значит $x=2$ — корень уравнения. Поскольку решение единственное, это и есть ответ.

Ответ: 2

30.29. a) $\sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x} = 6 - 16x;$

б) $\sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} = 20 - x + \sqrt{17 - x}.$

Дано уравнение: $\sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x} = 6 - 16x$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными:

$x + \frac{7}{8} \ge 0 \implies x \ge -\frac{7}{8}$

$8x + 3 \ge 0 \implies 8x \ge -3 \implies x \ge -\frac{3}{8}$

Выражение под знаком кубического корня определено для любого $x$.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge -\frac{3}{8}$.

Рассмотрим левую и правую части уравнения как две функции.

Левая часть: $f(x) = \sqrt{x + \frac{7}{8}} + \sqrt{8x + 3} + 2\sqrt[3]{x}$.
Эта функция является суммой трех возрастающих функций ($\sqrt{x + \frac{7}{8}}$, $\sqrt{8x + 3}$ и $2\sqrt[3]{x}$) на всей области определения. Следовательно, $f(x)$ является строго возрастающей функцией.

Правая часть: $g(x) = 6 - 16x$.
Эта функция является линейной с отрицательным угловым коэффициентом ($k=-16$), поэтому она строго убывает.

Так как строго возрастающая функция и строго убывающая функция могут пересечься не более чем в одной точке, данное уравнение имеет не более одного решения.

Попробуем найти это решение подбором. Выражения $8x+3$ и $\sqrt[3]{x}$ наводят на мысль проверить значение $x$, которое упростит эти члены, например $x = \frac{1}{8}$.

Проверим, является ли $x = \frac{1}{8}$ корнем уравнения. Это значение удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{1}{8} \ge -\frac{3}{8}$.

Подставим $x = \frac{1}{8}$ в левую часть уравнения:

$\sqrt{\frac{1}{8} + \frac{7}{8}} + \sqrt{8 \cdot \frac{1}{8} + 3} + 2\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \sqrt{1} + \sqrt{1 + 3} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 + \sqrt{4} + 1 = 1 + 2 + 1 = 4$.

Подставим $x = \frac{1}{8}$ в правую часть уравнения:

$6 - 16 \cdot \frac{1}{8} = 6 - 2 = 4$.

Поскольку левая и правая части равны (4 = 4), $x = \frac{1}{8}$ является решением уравнения. Так как решение единственное, это и есть окончательный ответ.

Ответ: $x = \frac{1}{8}$.

Дано уравнение: $\sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} = 20 - x + \sqrt{17 - x}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$3x + 1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -\frac{1}{3}$

$17 - x \ge 0 \implies x \le 17$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-\frac{1}{3}, 17]$.

Преобразуем уравнение, сгруппировав члены так, чтобы в одной части оказались возрастающие функции, а в другой — убывающие.

$\sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} + x = 20 + \sqrt{17 - x}$.

Рассмотрим левую и правую части полученного уравнения как две функции.

Левая часть: $f(x) = \sqrt{3x + 1} + 5\sqrt[3]{x} + x$.
Все слагаемые ($\sqrt{3x + 1}$, $5\sqrt[3]{x}$, $x$) являются возрастающими функциями на ОДЗ. Их сумма $f(x)$ также является строго возрастающей функцией.

Правая часть: $g(x) = 20 + \sqrt{17 - x}$.
Функция $\sqrt{17-x}$ является убывающей, так как подкоренное выражение $17-x$ убывает при росте $x$. Следовательно, функция $g(x)$ является строго убывающей.

Уравнение вида $f(x) = g(x)$, где $f(x)$ — строго возрастающая, а $g(x)$ — строго убывающая функция, имеет не более одного корня.

Попробуем найти корень подбором. Наличие $\sqrt[3]{x}$ подсказывает, что $x$ может быть целым числом, являющимся полным кубом. Проверим $x=8$.

Значение $x=8$ входит в ОДЗ: $-\frac{1}{3} \le 8 \le 17$.

Подставим $x=8$ в левую часть преобразованного уравнения:

$f(8) = \sqrt{3 \cdot 8 + 1} + 5\sqrt[3]{8} + 8 = \sqrt{24+1} + 5 \cdot 2 + 8 = \sqrt{25} + 10 + 8 = 5 + 10 + 8 = 23$.

Подставим $x=8$ в правую часть:

$g(8) = 20 + \sqrt{17 - 8} = 20 + \sqrt{9} = 20 + 3 = 23$.

Так как $f(8) = g(8)$, значение $x=8$ является решением. В силу единственности, это единственный корень уравнения.

Ответ: $x = 8$.