Страница 190, часть 1 - гдз по алгебре 11 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

30.4. a) $\sqrt[4]{2 \sin x} = 1;$

Б) $\sqrt[4]{4 \operatorname{tg} \frac{x}{4}} = 2;$

б) $\sqrt[6]{1 - 2 \cos 4x} = \sqrt{2} - \sqrt{3};$

Г) $\sqrt[3]{2 \sin 3x + 1} = -1.$

а) Дано уравнение $\sqrt[4]{2 \sin x} = 1$.

Поскольку корень четной степени (четвертой), подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):$2 \sin x \ge 0$, откуда $\sin x \ge 0$.Это означает, что $x$ должен находиться в первой или второй координатной четверти (включая границы), то есть $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$ для любого целого $k$.

Для решения уравнения возведем обе его части в четвертую степень:$(\sqrt[4]{2 \sin x})^4 = 1^4$$2 \sin x = 1$$\sin x = \frac{1}{2}$

Полученное значение $\sin x = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию ОДЗ, так как $\frac{1}{2} > 0$.Общее решение для уравнения $\sin x = a$ имеет вид $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.В нашем случае $\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$.Следовательно, общее решение уравнения:$x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) Дано уравнение $\sqrt[6]{1 - 2 \cos 4x} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$.

ОДЗ определяется условием неотрицательности подкоренного выражения для корня четной степени:$1 - 2 \cos 4x \ge 0 \implies 2 \cos 4x \le 1 \implies \cos 4x \le \frac{1}{2}$.

Возведем обе части уравнения в шестую степень. Учитывая, что $\sqrt{a} = a^{1/2}$, правая часть станет $(\sqrt{2 - \sqrt{3}})^6 = ((2 - \sqrt{3})^{1/2})^6 = (2 - \sqrt{3})^3$.$1 - 2 \cos 4x = (2 - \sqrt{3})^3$

Раскроем куб разности в правой части:$(2 - \sqrt{3})^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^3 = 8 - 12\sqrt{3} + 6 \cdot 3 - 3\sqrt{3} = 8 - 12\sqrt{3} + 18 - 3\sqrt{3} = 26 - 15\sqrt{3}$.

Подставим это значение обратно в уравнение:$1 - 2 \cos 4x = 26 - 15\sqrt{3}$$-2 \cos 4x = 25 - 15\sqrt{3}$$2 \cos 4x = 15\sqrt{3} - 25$$\cos 4x = \frac{15\sqrt{3} - 25}{2}$

Проверим, удовлетворяет ли это решение ОДЗ. Приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$:$\frac{15 \cdot 1.732 - 25}{2} = \frac{25.98 - 25}{2} = \frac{0.98}{2} = 0.49$.Поскольку $0.49 < 0.5$, условие $\cos 4x \le \frac{1}{2}$ выполняется. Также значение $0.49$ находится в интервале $[-1, 1]$, поэтому решение существует.

Общее решение для уравнения $\cos y = a$ имеет вид $y = \pm \arccos(a) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.Следовательно:$4x = \pm \arccos\left(\frac{15\sqrt{3} - 25}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$x = \pm \frac{1}{4} \arccos\left(\frac{15\sqrt{3} - 25}{2}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{1}{4} \arccos\left(\frac{15\sqrt{3} - 25}{2}\right) + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

в) Дано уравнение $\sqrt[4]{4 \operatorname{tg} \frac{x}{4}} = 2$.

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, $4 \operatorname{tg} \frac{x}{4} \ge 0$, что эквивалентно $\operatorname{tg} \frac{x}{4} \ge 0$. Также сам тангенс должен быть определен, то есть $\frac{x}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Возведем обе части уравнения в четвертую степень:$(\sqrt[4]{4 \operatorname{tg} \frac{x}{4}})^4 = 2^4$$4 \operatorname{tg} \frac{x}{4} = 16$$\operatorname{tg} \frac{x}{4} = 4$

Поскольку $4 > 0$, условие ОДЗ $\operatorname{tg} \frac{x}{4} \ge 0$ выполнено.Общее решение для уравнения $\operatorname{tg} y = a$ имеет вид $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.$\frac{x}{4} = \operatorname{arctg}(4) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$x = 4 \operatorname{arctg}(4) + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = 4 \operatorname{arctg}(4) + 4\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) Дано уравнение $\sqrt[3]{2 \sin 3x + 1} = -1$.

Так как корень нечетной степени (кубический), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Ограничений на ОДЗ нет.

Возведем обе части уравнения в третью степень:$(\sqrt[3]{2 \sin 3x + 1})^3 = (-1)^3$$2 \sin 3x + 1 = -1$$2 \sin 3x = -2$$\sin 3x = -1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Решение для $\sin y = -1$ имеет вид $y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.В нашем случае:$3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

30.5. a) $\sqrt{\lg (1 - x)} = 1$

б) $\log_{0.2} \sqrt[3]{6x^2 - 25} = -1$

в) $\sqrt{\log_2 (x^2 + 3x - 24)} = 2$

г) $\log_{0.25} \sqrt[4]{x^2 - 6x - 11} = -0.5$

a) $\sqrt{\lg(1 - x)} = 1$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а выражение под знаком логарифма – строго положительным.

$\begin{cases} \lg(1-x) \ge 0 \\ 1-x > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства получаем $x < 1$.

Решим первое неравенство: $\lg(1-x) \ge \lg(1)$. Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, то $1-x \ge 1$, откуда $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$.

Пересекая условия $x < 1$ и $x \le 0$, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 0]$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{\lg(1 - x)})^2 = 1^2$

$\lg(1 - x) = 1$

По определению десятичного логарифма:

$1 - x = 10^1$

$1 - x = 10$

$-x = 9$

$x = -9$

3. Проверим, принадлежит ли корень ОДЗ. Так как $-9 \le 0$, корень подходит.

Ответ: -9

б) $\log_{0,2} \sqrt[3]{6x^2 - 25} = -1$

1. Найдем ОДЗ. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$\sqrt[3]{6x^2 - 25} > 0$

Возведем обе части в куб:

$6x^2 - 25 > 0$

$6x^2 > 25$

$x^2 > \frac{25}{6}$

$|x| > \sqrt{\frac{25}{6}}$, то есть $|x| > \frac{5}{\sqrt{6}}$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, -\frac{5}{\sqrt{6}}) \cup (\frac{5}{\sqrt{6}}, \infty)$.

2. Решим уравнение. По определению логарифма:

$\sqrt[3]{6x^2 - 25} = (0,2)^{-1}$

$\sqrt[3]{6x^2 - 25} = (\frac{1}{5})^{-1}$

$\sqrt[3]{6x^2 - 25} = 5$

Возведем обе части в куб:

$6x^2 - 25 = 5^3$

$6x^2 - 25 = 125$

$6x^2 = 150$

$x^2 = 25$

$x_1 = 5, x_2 = -5$

3. Проверим корни. Нам нужно, чтобы $|x| > \frac{5}{\sqrt{6}}$.

Для $x=5$: $|5| = 5$. Сравним $5$ и $\frac{5}{\sqrt{6}}$. Так как $\sqrt{6} > 1$, то $5 > \frac{5}{\sqrt{6}}$. Корень подходит.

Для $x=-5$: $|-5| = 5$. Аналогично, корень подходит.

Ответ: -5; 5

в) $\sqrt{\log_2 (x^2 + 3x - 24)} = 2$

1. Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а под знаком логарифма – строго положительным.

$\begin{cases} \log_2(x^2 + 3x - 24) \ge 0 \\ x^2 + 3x - 24 > 0 \end{cases}$

Первое неравенство $\log_2(x^2 + 3x - 24) \ge \log_2(1)$ эквивалентно $x^2 + 3x - 24 \ge 1$, так как основание $2>1$. Получаем $x^2 + 3x - 25 \ge 0$. Это условие более сильное, чем второе, поэтому достаточно решить его.

Найдем корни $x^2 + 3x - 25 = 0$. Дискриминант $D = 3^2 - 4(1)(-25) = 9 + 100 = 109$. Корни $x = \frac{-3 \pm \sqrt{109}}{2}$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, \frac{-3 - \sqrt{109}}{2}] \cup [\frac{-3 + \sqrt{109}}{2}, \infty)$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$\log_2 (x^2 + 3x - 24) = 4$

По определению логарифма:

$x^2 + 3x - 24 = 2^4$

$x^2 + 3x - 24 = 16$

$x^2 + 3x - 40 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение -40. Корни: $x_1 = 5, x_2 = -8$.

3. Проверим корни. $\sqrt{109} \approx 10,4$.

$\frac{-3 - \sqrt{109}}{2} \approx \frac{-3 - 10,4}{2} \approx -6,7$.

$\frac{-3 + \sqrt{109}}{2} \approx \frac{-3 + 10,4}{2} \approx 3,7$.

ОДЗ примерно: $(-\infty, -6.7] \cup [3.7, \infty)$.

Корень $x=5$ входит в интервал $[3.7, \infty)$.

Корень $x=-8$ входит в интервал $(-\infty, -6.7]$.

Оба корня подходят.

Ответ: -8; 5

г) $\log_{0,25} \sqrt[4]{x^2 - 6x - 11} = -0,5$

1. Найдем ОДЗ. Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$\sqrt[4]{x^2 - 6x - 11} > 0$

Это эквивалентно $x^2 - 6x - 11 > 0$.

Найдем корни $x^2 - 6x - 11 = 0$. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4(1)(-11) = 36 + 44 = 80$. Корни $x = \frac{6 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{5}$.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 3 - 2\sqrt{5}) \cup (3 + 2\sqrt{5}, \infty)$.

2. Решим уравнение. По определению логарифма:

$\sqrt[4]{x^2 - 6x - 11} = (0,25)^{-0,5}$

$\sqrt[4]{x^2 - 6x - 11} = (\frac{1}{4})^{-1/2} = (4^{1/2}) = \sqrt{4} = 2$

Возведем обе части в четвертую степень:

$x^2 - 6x - 11 = 2^4$

$x^2 - 6x - 11 = 16$

$x^2 - 6x - 27 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а произведение -27. Корни: $x_1 = 9, x_2 = -3$.

3. Проверим корни. $\sqrt{5} \approx 2,24$.

$3 - 2\sqrt{5} \approx 3 - 2(2,24) = 3 - 4,48 = -1,48$.

$3 + 2\sqrt{5} \approx 3 + 4,48 = 7,48$.

ОДЗ примерно: $(-\infty, -1.48) \cup (7.48, \infty)$.

Корень $x=9$ входит в интервал $(7.48, \infty)$.

Корень $x=-3$ входит в интервал $(-\infty, -1.48)$.

Оба корня подходят.

Ответ: -3; 9

30.6. Найдите все действительные значения $a$, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один действительный корень:

а) $\sqrt{x - 4} = 2 - a$;

б) $\sqrt[5]{x^2 - 2x - 7} = 1 - a$;

в) $\sqrt{16 - x^2} = a + 1$;

г) $\sqrt[5]{1 - 4x - x^2} = a.$

а) $\sqrt{x - 4} = 2 - a$

Для того чтобы данное уравнение имело хотя бы один действительный корень, необходимо выполнение двух условий:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным (область определения):
$x - 4 \ge 0$
$x \ge 4$

2. Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной:
$2 - a \ge 0$
$a \le 2$

При выполнении условия $a \le 2$ можно возвести обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x - 4})^2 = (2 - a)^2$
$x - 4 = (2 - a)^2$
$x = 4 + (2 - a)^2$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденное выражение для $x$ первому условию $x \ge 4$.
Поскольку $(2 - a)^2$ является квадратом действительного числа, оно всегда неотрицательно: $(2 - a)^2 \ge 0$.
Следовательно, $4 + (2 - a)^2 \ge 4$. Условие $x \ge 4$ выполняется для любого $a$.

Таким образом, единственным ограничением для существования действительного корня является условие $a \le 2$.

Ответ: $a \in (-\infty; 2]$.

б) $\sqrt[5]{x^2 - 2x - 7} = 1 - a$

Поскольку корень нечетной степени (пятой), он определен для любого действительного значения подкоренного выражения, и его значение может быть любым действительным числом. Поэтому никаких ограничений на переменную $a$ из-за корня не возникает. Найдем множество значений, которые может принимать левая часть уравнения. Для этого исследуем подкоренное выражение $f(x) = x^2 - 2x - 7$.

Графиком функции $f(x)$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Ее наименьшее значение достигается в вершине. Координата вершины параболы: $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.

Найдем наименьшее значение функции $f(x)$:
$f_{min} = f(1) = 1^2 - 2(1) - 7 = 1 - 2 - 7 = -8$.

Следовательно, множество значений выражения $x^2 - 2x - 7$ есть промежуток $[-8; +\infty)$.
Функция $g(t) = \sqrt[5]{t}$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Поэтому множество значений левой части уравнения $\sqrt[5]{x^2 - 2x - 7}$ есть промежуток $[\sqrt[5]{-8}; +\infty)$, то есть $[-\sqrt[5]{8}; +\infty)$.

Чтобы уравнение имело хотя бы один корень, правая часть $1 - a$ должна принадлежать этому множеству значений:
$1 - a \ge -\sqrt[5]{8}$
$-a \ge -1 - \sqrt[5]{8}$
$a \le 1 + \sqrt[5]{8}$

Ответ: $a \in (-\infty; 1 + \sqrt[5]{8}]$.

в) $\sqrt{16 - x^2} = a + 1$

Рассмотрим это уравнение с точки зрения множества значений. Найдем множество значений функции $f(x) = \sqrt{16 - x^2}$.

1. Область определения функции задается условием $16 - x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 16$, то есть $x \in [-4; 4]$.

2. Значение функции $f(x)$ неотрицательно. Наименьшее значение равно 0 при $x = \pm 4$.
Наибольшее значение достигается при $x = 0$ и равно $f(0) = \sqrt{16 - 0^2} = 4$.

Таким образом, множество значений левой части уравнения — это отрезок $[0; 4]$.
Для существования хотя бы одного действительного корня необходимо, чтобы правая часть уравнения $a + 1$ принадлежала этому отрезку:
$0 \le a + 1 \le 4$

Решим эту систему неравенств:
1) $a + 1 \ge 0 \implies a \ge -1$
2) $a + 1 \le 4 \implies a \le 3$

Объединяя эти два условия, получаем: $-1 \le a \le 3$.

Ответ: $a \in [-1; 3]$.

г) $\sqrt[5]{1 - 4x - x^2} = a$

Это уравнение, аналогично пункту б), содержит корень нечетной степени, который определен для любых действительных чисел. Уравнение будет иметь хотя бы один корень, если значение $a$ будет принадлежать множеству значений функции, стоящей в левой части.

Найдем множество значений функции $y = \sqrt[5]{1 - 4x - x^2}$.
Для этого сначала найдем множество значений подкоренного выражения $f(x) = 1 - 4x - x^2$.
Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз. Свое наибольшее значение она принимает в вершине. Координата вершины параболы:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot (-1)} = -2$.

Наибольшее значение функции $f(x)$:
$f_{max} = f(-2) = 1 - 4(-2) - (-2)^2 = 1 + 8 - 4 = 5$.

Следовательно, множество значений выражения $1 - 4x - x^2$ есть промежуток $(-\infty; 5]$.
Функция $g(t) = \sqrt[5]{t}$ является монотонно возрастающей. Поэтому множество значений левой части уравнения $\sqrt[5]{1 - 4x - x^2}$ есть промежуток $(-\infty; \sqrt[5]{5}]$.

Чтобы уравнение имело корень, значение $a$ должно принадлежать этому множеству:
$a \le \sqrt[5]{5}$

Ответ: $a \in (-\infty; \sqrt[5]{5}]$.

30.7. Докажите, что уравнение $\sqrt{f(x)} = \sqrt{h(x)}$ равносильно каждой из систем: $\begin{cases} f(x) = h(x) \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$, $\begin{cases} f(x) = h(x) \\ h(x) \ge 0 \end{cases}$.

Для доказательства того, что уравнение $\sqrt{f(x)} = \sqrt{h(x)}$ равносильно каждой из двух предложенных систем, необходимо показать для каждой системы, что любое решение уравнения является решением системы, и наоборот, любое решение системы является решением уравнения. Это означает, что множества решений уравнения и каждой из систем совпадают.

$\begin{cases} f(x) = h(x) \\ f(x) \ge 0 \end{cases}$

Докажем равносильность уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{h(x)}$ и данной системы.

1. Доказательство того, что любое решение уравнения является решением системы.
Пусть $x_0$ — это корень уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{h(x)}$. Это означает, что при подстановке $x_0$ в уравнение мы получаем верное числовое равенство $\sqrt{f(x_0)} = \sqrt{h(x_0)}$.
Из определения арифметического квадратного корня следует, что подкоренные выражения должны быть неотрицательными. В частности, для существования левой части уравнения необходимо выполнение условия $f(x_0) \ge 0$. Это второе условие системы.
Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, получив равносильное на области определения равенство:$(\sqrt{f(x_0)})^2 = (\sqrt{h(x_0)})^2$, что приводит к $f(x_0) = h(x_0)$. Это первое условие системы.
Таким образом, любое решение уравнения удовлетворяет обоим условиям системы.

2. Доказательство того, что любое решение системы является решением уравнения.
Пусть $x_0$ — это решение системы. Это означает, что при подстановке $x_0$ одновременно выполняются два условия: $f(x_0) = h(x_0)$ и $f(x_0) \ge 0$.
Из этих двух условий напрямую следует, что $h(x_0)$ также неотрицательно, так как $h(x_0) = f(x_0)$, а $f(x_0) \ge 0$.
Поскольку обе части равенства $f(x_0) = h(x_0)$ неотрицательны, мы имеем право извлечь из них арифметический квадратный корень, получая верное равенство $\sqrt{f(x_0)} = \sqrt{h(x_0)}$.
Это означает, что $x_0$ является решением исходного уравнения.
Поскольку мы доказали, что множества решений уравнения и системы полностью совпадают, они равносильны.

Ответ: Равносильность доказана.

$\begin{cases} f(x) = h(x) \\ h(x) \ge 0 \end{cases}$

Доказательство равносильности уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{h(x)}$ и данной системы аналогично предыдущему.

1. Доказательство того, что любое решение уравнения является решением системы.
Пусть $x_0$ — это корень уравнения $\sqrt{f(x)} = \sqrt{h(x)}$, то есть $\sqrt{f(x_0)} = \sqrt{h(x_0)}$.
По определению арифметического квадратного корня, выражение $\sqrt{h(x_0)}$ определено только при $h(x_0) \ge 0$. Это второе условие системы.
Возведя обе части верного равенства в квадрат, получаем $f(x_0) = h(x_0)$. Это первое условие системы.
Следовательно, любое решение уравнения является и решением системы.

2. Доказательство того, что любое решение системы является решением уравнения.
Пусть $x_0$ — это решение системы. Значит, для $x_0$ верны утверждения: $f(x_0) = h(x_0)$ и $h(x_0) \ge 0$.
Из этих условий следует, что $f(x_0)$ также неотрицательно: $f(x_0) = h(x_0) \ge 0$.
Поскольку и $f(x_0)$, и $h(x_0)$ неотрицательны, из равенства $f(x_0) = h(x_0)$ следует и равенство их арифметических квадратных корней: $\sqrt{f(x_0)} = \sqrt{h(x_0)}$.
Это означает, что $x_0$ является решением исходного уравнения.
Таким образом, множества решений уравнения и системы совпадают, что доказывает их равносильность.

Ответ: Равносильность доказана.

Решите уравнение:

30.8. a) $\sqrt{x - 2} = \sqrt{4 - x}$;

б) $\sqrt{x^3 - 2x^2 + 1} = \sqrt{x^3 + x^2 - 8x - 2}$;

в) $\sqrt{25 - x^2} = \sqrt{5x - 11}$;

г) $\sqrt{x^3 - x^2} = \sqrt{2 - x - x^2}$.

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{x - 2} = \sqrt{4 - x}$.

Уравнение имеет смысл, когда подкоренные выражения неотрицательны. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x - 2 \ge 0 \\ 4 - x \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x \ge 2 \\ x \le 4 \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \in [2; 4]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны:

$(\sqrt{x - 2})^2 = (\sqrt{4 - x})^2$

$x - 2 = 4 - x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы в другую:

$x + x = 4 + 2$

$2x = 6$

$x = 3$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $3 \in [2; 4]$, корень является решением уравнения.

Ответ: $3$

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{x^3 - 2x^2 + 1} = \sqrt{x^3 + x^2 - 8x - 2}$.

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат. Это приведет к равносильному уравнению при условии, что подкоренные выражения неотрицательны.

$(\sqrt{x^3 - 2x^2 + 1})^2 = (\sqrt{x^3 + x^2 - 8x - 2})^2$

$x^3 - 2x^2 + 1 = x^3 + x^2 - 8x - 2$

Упростим полученное уравнение:

$-2x^2 + 1 = x^2 - 8x - 2$

$3x^2 - 8x - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ, то есть выполняется ли условие $x^3 - 2x^2 + 1 \ge 0$ (и, соответственно, $x^3 + x^2 - 8x - 2 \ge 0$, так как при найденных $x$ эти выражения равны).

Проверка для $x = 3$:

$3^3 - 2 \cdot 3^2 + 1 = 27 - 18 + 1 = 10 \ge 0$. Корень подходит.

Проверка для $x = -1/3$:

$(-\frac{1}{3})^3 - 2(-\frac{1}{3})^2 + 1 = -\frac{1}{27} - 2(\frac{1}{9}) + 1 = -\frac{1}{27} - \frac{6}{27} + \frac{27}{27} = \frac{20}{27} \ge 0$. Корень подходит.

Ответ: $-\frac{1}{3}; 3$

в)

Исходное уравнение: $\sqrt{25 - x^2} = \sqrt{5x - 11}$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 25 - x^2 \ge 0 \\ 5x - 11 \ge 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x^2 \le 25 \\ 5x \ge 11 \end{cases}$

$\begin{cases} -5 \le x \le 5 \\ x \ge \frac{11}{5} \end{cases}$

Следовательно, ОДЗ: $x \in [\frac{11}{5}; 5]$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$25 - x^2 = 5x - 11$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 36 = 0$

Решим уравнение. Найдем дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5 + 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$

$x_2 = \frac{-5 - 13}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Проверим корни на принадлежность ОДЗ $x \in [2.2; 5]$.

Корень $x = 4$ принадлежит этому промежутку.

Корень $x = -9$ не принадлежит этому промежутку.

Следовательно, решением является только $x=4$.

Ответ: $4$

г)

Исходное уравнение: $\sqrt{x^3 - x^2} = \sqrt{2 - x - x^2}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^3 - x^2 = 2 - x - x^2$

Упростим уравнение:

$x^3 + x - 2 = 0$

Это кубическое уравнение. Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-2), то есть $\pm1, \pm2$.

Подставим $x = 1$: $1^3 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Значит, $x = 1$ является корнем.

Разделим многочлен $x^3 + x - 2$ на $(x - 1)$:

$(x^3 + x - 2) : (x - 1) = x^2 + x + 2$

Таким образом, уравнение можно записать в виде:

$(x - 1)(x^2 + x + 2) = 0$

Это дает нам два случая:

1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$

2) $x^2 + x + 2 = 0$. Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 - 8 = -7$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.

Единственный возможный корень — $x = 1$.

Проверим этот корень, подставив его в условия ОДЗ:

$x^3 - x^2 \ge 0 \implies 1^3 - 1^2 = 0 \ge 0$. Верно.

$2 - x - x^2 \ge 0 \implies 2 - 1 - 1^2 = 0 \ge 0$. Верно.

Корень $x = 1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $1$

30.9. a) $\sqrt{\sin x} = \sqrt{\cos x}$;

Б) $\sqrt{2 - \operatorname{tg} x} = \sqrt{\operatorname{ctg} x}$;

В) $\sqrt{2 - \sqrt{3} \sin 2x} = \sqrt{\cos 2x}$;

Г) $\sqrt{\operatorname{tg} x} = \sqrt{\operatorname{ctg} x}$.

а) $\sqrt{\sin x} = \sqrt{\cos x}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых подкоренные выражения неотрицательны: $\sin x \ge 0$ и $\cos x \ge 0$. Это условие выполняется, когда угол $x$ находится в первой координатной четверти, включая ее границы. Таким образом, ОДЗ можно записать в виде $x \in [2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$ для любого целого числа $n$.

Поскольку обе части уравнения неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, не опасаясь появления посторонних корней (в рамках ОДЗ): $(\sqrt{\sin x})^2 = (\sqrt{\cos x})^2$ $\sin x = \cos x$

Для решения уравнения $\sin x = \cos x$ заметим, что $\cos x \ne 0$ (иначе $\sin x$ тоже был бы равен нулю, что противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$). Поэтому можно разделить обе части на $\cos x$: $\frac{\sin x}{\cos x} = 1$ $\tan x = 1$

Общее решение этого уравнения имеет вид: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо отобрать те решения, которые удовлетворяют ОДЗ ($\sin x \ge 0$ и $\cos x \ge 0$). Если $k$ — четное число, т.е. $k = 2n$, то $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$. Для этих значений $x$ находится в первой четверти, где $\sin x > 0$ и $\cos x > 0$. Эти решения подходят. Если $k$ — нечетное число, т.е. $k = 2n + 1$, то $x = \frac{\pi}{4} + \pi(2n+1) = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$. Для этих значений $x$ находится в третьей четверти, где $\sin x < 0$ и $\cos x < 0$. Эти решения не удовлетворяют ОДЗ. Следовательно, подходят только решения с периодом $2\pi$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sqrt{2 - \tan x} = \sqrt{\cot x}$

Найдем ОДЗ. Подкоренные выражения должны быть неотрицательны, а сами тангенс и котангенс определены: 1. $2 - \tan x \ge 0 \implies \tan x \le 2$ 2. $\cot x \ge 0$ 3. $x \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$ Из условия $\cot x \ge 0$ следует, что $\tan x > 0$ (поскольку $\cot x = 1/\tan x$, они одного знака, а $\tan x = 0$ недопустимо, так как тогда $\cot x$ не определен). Объединяя условия, получаем ОДЗ в виде $0 < \tan x \le 2$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $2 - \tan x = \cot x$

Используем тождество $\cot x = \frac{1}{\tan x}$ и введем замену $t = \tan x$: $2 - t = \frac{1}{t}$ $2t - t^2 = 1$ $t^2 - 2t + 1 = 0$ $(t-1)^2 = 0$ $t = 1$

Вернемся к исходной переменной: $\tan x = 1$. Проверим это значение по ОДЗ: $0 < 1 \le 2$. Условие выполняется, значит, решение не является посторонним.

Решаем простейшее тригонометрическое уравнение $\tan x = 1$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\sqrt{2 - \sqrt{3} \sin 2x} = \sqrt{\cos 2x}$

ОДЗ определяется условиями: 1. $2 - \sqrt{3} \sin 2x \ge 0 \implies \sin 2x \le \frac{2}{\sqrt{3}}$. Это неравенство выполняется для любого $x$, так как $\sin 2x \le 1$, а $1 < \frac{2}{\sqrt{3}}$. 2. $\cos 2x \ge 0$. Таким образом, единственным ограничением является $\cos 2x \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $2 - \sqrt{3} \sin 2x = \cos 2x$ $\cos 2x + \sqrt{3} \sin 2x = 2$

Применим метод вспомогательного угла (R-формула). Коэффициент $R = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$. Разделим уравнение на 2: $\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x = 1$

Заметим, что $\frac{1}{2} = \cos(\frac{\pi}{3})$ и $\frac{\sqrt{3}}{2} = \sin(\frac{\pi}{3})$. Подставим эти значения: $\cos(\frac{\pi}{3})\cos 2x + \sin(\frac{\pi}{3})\sin 2x = 1$ По формуле косинуса разности, левая часть сворачивается: $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = 1$

Решение этого уравнения: $2x - \frac{\pi}{3} = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ $2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($\cos 2x \ge 0$). Подставим $2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$ в выражение $\cos 2x$: $\cos(2x) = \cos(\frac{\pi}{3} + 2\pi n) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} \ge 0$, все решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

г) $\sqrt{\tan x} = \sqrt{\cot x}$

ОДЗ: $\tan x \ge 0$ и $\cot x \ge 0$. Также тангенс и котангенс должны быть определены, то есть $x \ne \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Поскольку $\cot x = 1/\tan x$, они могут быть неотрицательными только если оба строго положительны ($\tan x > 0, \cot x > 0$), так как если один из них равен нулю, другой не определен. Условие $\tan x > 0$ выполняется в первой и третьей координатных четвертях: $x \in (\pi n, \frac{\pi}{2} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $\tan x = \cot x$

Заменим $\cot x = \frac{1}{\tan x}$: $\tan x = \frac{1}{\tan x}$ $\tan^2 x = 1$ Отсюда $\tan x = 1$ или $\tan x = -1$.

Согласно ОДЗ, нам требуется $\tan x > 0$. Поэтому решение $\tan x = -1$ является посторонним. Остается только $\tan x = 1$.

Решаем уравнение $\tan x = 1$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Все корни этой серии удовлетворяют ОДЗ, так как для них $\tan x = 1 > 0$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.