Страница 30 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

В системе координат $xOy$ постройте графики функций (1.58–1.65):

1.58 а) $y = x^3$ и $y = -x^3$;

б) $y = x^4$ и $y = -x^4$;

в) $y = 3^x$ и $y = -3^x$;

г) $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и $y = -\log_{\frac{1}{3}} x$;

д) $y = \sin x$ и $y = -\sin x$;

е) $y = \operatorname{tg} x$ и $y = -\operatorname{tg} x$.

Для построения графиков функций во всех пунктах используется общее правило: график функции $y = -f(x)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси $Ox$).

а) $y = x^3$ и $y = -x^3$

1. Сначала строим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола. Функция является нечетной, поэтому ее график симметричен относительно начала координат. Она проходит через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$, а также $(-1, -1)$, $(-2, -8)$. Функция возрастает на всей своей области определения.

2. График функции $y = -x^3$ получаем, отразив график $y = x^3$ относительно оси $Ox$. Каждая точка $(x, y)$ на первом графике перейдет в точку $(x, -y)$ на втором. Например, точки $(1, 1)$ и $(2, 8)$ перейдут в $(1, -1)$ и $(2, -8)$. Функция $y = -x^3$ также является нечетной и ее график симметричен относительно начала координат. Она убывает на всей своей области определения.

Ответ: Графики функций $y = x^3$ и $y = -x^3$ симметричны друг другу относительно оси абсцисс $Ox$.

б) $y = x^4$ и $y = -x^4$

1. Строим график функции $y = x^4$. Это степенная функция, график которой похож на параболу $y = x^2$, но при $|x| > 1$ растет быстрее, а при $|x| < 1$ ближе прилегает к оси $Ox$. Функция является четной, поэтому ее график симметричен относительно оси ординат $Oy$. Вершина находится в точке $(0, 0)$, ветви направлены вверх. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(-1, 1)$.

2. График функции $y = -x^4$ получаем отражением графика $y = x^4$ относительно оси $Ox$. График также симметричен относительно оси $Oy$, вершина находится в $(0, 0)$, но ветви направлены вниз. Ключевые точки: $(0, 0)$, $(1, -1)$, $(-1, -1)$.

Ответ: Графики функций $y = x^4$ и $y = -x^4$ симметричны друг другу относительно оси абсцисс $Ox$.

в) $y = 3^x$ и $y = -3^x$

1. Строим график показательной функции $y = 3^x$. Поскольку основание $3 > 1$, функция является возрастающей. График проходит через точку $(0, 1)$. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. Другие точки для построения: $(1, 3)$, $(-1, 1/3)$.

2. График функции $y = -3^x$ получаем отражением графика $y = 3^x$ относительно оси $Ox$. График проходит через точку $(0, -1)$ и является убывающим. Ось $Ox$ также является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. Ключевые точки: $(0, -1)$, $(1, -3)$, $(-1, -1/3)$.

Ответ: Графики функций $y = 3^x$ и $y = -3^x$ симметричны друг другу относительно оси абсцисс $Ox$.

г) $y = \log_{1/3} x$ и $y = -\log_{1/3} x$

1. Строим график логарифмической функции $y = \log_{1/3} x$. Область определения $x > 0$. Поскольку основание $1/3 < 1$, функция является убывающей. График проходит через точку $(1, 0)$. Ось $Oy$ является вертикальной асимптотой. Ключевые точки: $(1, 0)$, $(1/3, 1)$, $(3, -1)$.

2. График функции $y = -\log_{1/3} x$ получаем отражением графика $y = \log_{1/3} x$ относительно оси $Ox$. Используя свойства логарифмов, можно преобразовать функцию: $y = -\log_{1/3} x = \log_{(1/3)^{-1}} x = \log_3 x$. Это возрастающая логарифмическая функция, которая также проходит через $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$. Ключевые точки: $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(1/3, -1)$.

Ответ: Графики функций $y = \log_{1/3} x$ и $y = -\log_{1/3} x$ симметричны друг другу относительно оси абсцисс $Ox$.

д) $y = \sin x$ и $y = -\sin x$

1. Строим график функции $y = \sin x$ (синусоида). Это периодическая функция с периодом $2\pi$. Область значений $[-1, 1]$. График проходит через начало координат. Ключевые точки на отрезке $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\pi/2, 1)$, $(\pi, 0)$, $(3\pi/2, -1)$, $(2\pi, 0)$.

2. График функции $y = -\sin x$ получаем отражением синусоиды относительно оси $Ox$. "Горбы" синусоиды становятся "впадинами" и наоборот. Функция также периодическая с периодом $2\pi$ и областью значений $[-1, 1]$. Ключевые точки на отрезке $[0, 2\pi]$: $(0, 0)$, $(\pi/2, -1)$, $(\pi, 0)$, $(3\pi/2, 1)$, $(2\pi, 0)$.

Ответ: Графики функций $y = \sin x$ и $y = -\sin x$ симметричны друг другу относительно оси абсцисс $Ox$.

е) $y = \text{tg } x$ и $y = -\text{tg } x$

1. Строим график функции $y = \text{tg } x$ (тангенсоида). Это периодическая функция с периодом $\pi$. Имеет вертикальные асимптоты в точках $x = \pi/2 + k\pi$, где $k$ - целое число. Функция является возрастающей на каждом из интервалов области определения. Проходит через точки $(k\pi, 0)$.

2. График функции $y = -\text{tg } x$ получаем отражением тангенсоиды относительно оси $Ox$. Асимптоты и нули функции остаются теми же. Однако функция становится убывающей на каждом из интервалов области определения. Поскольку $y = \text{tg } x$ - нечетная функция, то $y = -\text{tg } x = \text{tg}(-x)$, что означает, что график $y = -\text{tg } x$ можно также получить отражением графика $y = \text{tg } x$ относительно оси $Oy$.

Ответ: Графики функций $y = \text{tg } x$ и $y = -\text{tg } x$ симметричны друг другу относительно оси абсцисс $Ox$.