Страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

1.73 На рисунке 34, a–e изображена полуокружность. Является ли эта полуокружность графиком функции $y = f(x)$ или $x = \varphi(y)$?

Если да, то задайте эту функцию формулой.

Для того чтобы определить, является ли кривая на графике функцией вида $y = f(x)$ или $x = \phi(y)$, используют тест вертикальной и горизонтальной линий.

• Кривая является графиком функции $y = f(x)$, если любая вертикальная прямая (параллельная оси Oy) пересекает ее не более чем в одной точке.
• Кривая является графиком функции $x = \phi(y)$, если любая горизонтальная прямая (параллельная оси Ox) пересекает ее не более чем в одной точке.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Полуокружность является половиной этой окружности.

Поскольку изображения для рисунков 34, a-e, не предоставлены, мы рассмотрим пять наиболее вероятных случаев расположения полуокружностей. Для решения конкретной задачи необходимо по рисунку определить тип полуокружности, координаты ее центра $(x_0, y_0)$ и ее радиус $R$.

a)

Предположим, на рисунке a изображена верхняя полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$.

Проверка на функцию $y=f(x)$: Любая вертикальная прямая $x=c$ (где $-R \le x \le R$) пересекает эту полуокружность ровно в одной точке. Следовательно, эта полуокружность является графиком функции $y = f(x)$.

Проверка на функцию $x=\phi(y)$: Любая горизонтальная прямая $y=c$ (где $0 < y < R$) пересекает эту полуокружность в двух точках. Следовательно, она не является графиком функции $x = \phi(y)$.

Задание формулой: Для нахождения формулы решим уравнение окружности $x^2 + y^2 = R^2$ относительно $y$: $y^2 = R^2 - x^2$, откуда $y = \pm\sqrt{R^2 - x^2}$. Поскольку это верхняя полуокружность, значения $y$ неотрицательны, поэтому мы выбираем знак «+».

Ответ: Полуокружность является графиком функции $y = f(x)$, заданной формулой $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$, где область определения $x \in [-R, R]$.

b)

Предположим, на рисунке b изображена нижняя полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$.

Проверка: Аналогично случаю a, эта кривая проходит тест вертикальной линии и является графиком функции $y = f(x)$. Она не проходит тест горизонтальной линии, поэтому не является графиком функции $x = \phi(y)$.

Задание формулой: Из уравнения $y = \pm\sqrt{R^2 - x^2}$ выбираем знак «–», так как значения $y$ неположительны.

Ответ: Полуокружность является графиком функции $y = f(x)$, заданной формулой $f(x) = -\sqrt{R^2 - x^2}$, где область определения $x \in [-R, R]$.

c)

Предположим, на рисунке c изображена правая полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$.

Проверка на функцию $y=f(x)$: Любая вертикальная прямая $x=c$ (где $0 < x < R$) пересекает эту полуокружность в двух точках. Следовательно, она не является графиком функции $y = f(x)$.

Проверка на функцию $x=\phi(y)$: Любая горизонтальная прямая $y=c$ (где $-R \le y \le R$) пересекает эту полуокружность ровно в одной точке. Следовательно, эта полуокружность является графиком функции $x = \phi(y)$.

Задание формулой: Для нахождения формулы решим уравнение окружности $x^2 + y^2 = R^2$ относительно $x$: $x^2 = R^2 - y^2$, откуда $x = \pm\sqrt{R^2 - y^2}$. Поскольку это правая полуокружность, значения $x$ неотрицательны, поэтому мы выбираем знак «+».

Ответ: Полуокружность является графиком функции $x = \phi(y)$, заданной формулой $\phi(y) = \sqrt{R^2 - y^2}$, где область определения $y \in [-R, R]$.

d)

Предположим, на рисунке d изображена левая полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$.

Проверка: Аналогично случаю c, эта кривая не является графиком функции $y=f(x)$, но является графиком функции $x = \phi(y)$, так как проходит тест горизонтальной линии.

Задание формулой: Из уравнения $x = \pm\sqrt{R^2 - y^2}$ выбираем знак «–», так как значения $x$ неположительны.

Ответ: Полуокружность является графиком функции $x = \phi(y)$, заданной формулой $\phi(y) = -\sqrt{R^2 - y^2}$, где область определения $y \in [-R, R]$.

e)

Предположим, на рисунке e изображена верхняя полуокружность с центром в произвольной точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$.

Проверка: Эта кривая является графиком функции $y=f(x)$, так как любая вертикальная прямая $x=c$ (где $x_0 - R \le x \le x_0 + R$) пересекает ее в одной точке. Она не является графиком функции $x = \phi(y)$, так как горизонтальная прямая $y=c$ (где $y_0 < y < y_0+R$) пересекает ее в двух точках.

Задание формулой: Для нахождения формулы решим уравнение окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ относительно $y$: $(y - y_0)^2 = R^2 - (x - x_0)^2$, откуда $y - y_0 = \pm\sqrt{R^2 - (x - x_0)^2}$. Так как это верхняя полуокружность, значения $y \ge y_0$, поэтому выбираем знак «+» и переносим $y_0$ в правую часть.

Ответ: Полуокружность является графиком функции $y = f(x)$, заданной формулой $f(x) = y_0 + \sqrt{R^2 - (x - x_0)^2}$, где область определения $x \in [x_0 - R, x_0 + R]$.

1.74* На рисунке 35, а—е изображена парабола. Является ли эта парабола графиком функции $y = f(x)$ или $x = \varphi(y)$? Если да, то задайте эту функцию формулой.

а) $y = f(x)$, $y = x^2$

б) $y = f(x)$, $y = -x^2$

в) $x = \varphi(y)$, $x = y^2$

г) $x = \varphi(y)$, $x = -y^2$

д) $y = f(x)$, $y = 2(x-1)^2+1$

е) $y = f(x)$, $y = -2x(x-2)$

Рис. 35

а) На рисунке изображена парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх. Данный график является графиком функции $y = f(x)$, так как любая вертикальная прямая пересекает его не более чем в одной точке. Общее уравнение параболы с вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $y = a(x-h)^2 + k$. Для данной параболы с вершиной в $(0, 0)$ уравнение принимает вид $y = ax^2$. Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся точкой на графике, например, $(1, 1)$. Подставив ее координаты в уравнение, получим: $1 = a \cdot 1^2$, откуда $a=1$. Таким образом, функция задается формулой $y = x^2$.
Ответ: $y = x^2$.

б) На рисунке изображена парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вниз. Этот график является графиком функции $y = f(x)$, так как удовлетворяет тесту с вертикальной прямой. Уравнение параболы имеет вид $y = ax^2$. График проходит через точку $(1, -2)$. Подставим ее координаты в уравнение: $-2 = a \cdot 1^2$, откуда $a=-2$. Следовательно, функция задается формулой $y = -2x^2$.
Ответ: $y = -2x^2$.

в) На рисунке изображена парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вправо. Этот график не является графиком функции $y = f(x)$, так как любая вертикальная прямая $x=c$ при $c>0$ пересекает его в двух точках (например, прямая $x=1$ пересекает параболу в точках $(1, 1)$ и $(1, -1)$). Однако этот график является графиком функции $x = \phi(y)$, так как любая горизонтальная прямая пересекает его не более чем в одной точке. Общее уравнение параболы с горизонтальной осью симметрии и вершиной в точке $(h, k)$ имеет вид $x = a(y-k)^2 + h$. Для данной параболы с вершиной в $(0, 0)$ уравнение принимает вид $x = ay^2$. График проходит через точку $(1, 1)$. Подставив ее координаты, получим: $1 = a \cdot 1^2$, откуда $a=1$. Таким образом, функция задается формулой $x = y^2$.
Ответ: $x = y^2$.

г) На рисунке изображена парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными влево. Этот график не является графиком функции $y = f(x)$, так как не проходит тест с вертикальной прямой. Он является графиком функции $x = \phi(y)$, так как проходит тест с горизонтальной прямой. Уравнение параболы имеет вид $x = ay^2$. График проходит через точку $(-1, 1)$. Подставим ее координаты в уравнение: $-1 = a \cdot 1^2$, откуда $a=-1$. Следовательно, функция задается формулой $x = -y^2$.
Ответ: $x = -y^2$.

д) На рисунке изображена парабола с ветвями, направленными вверх. Этот график является графиком функции $y = f(x)$. Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Уравнение параболы имеет вид $y = a(x-1)^2 + 1$. График проходит через точку $(2, 2)$. Подставим ее координаты в уравнение: $2 = a(2-1)^2 + 1$, что дает $2 = a \cdot 1^2 + 1$, откуда $a=1$. Таким образом, функция задается формулой $y = (x-1)^2 + 1$.
Ответ: $y = (x-1)^2 + 1$.

е) На рисунке изображена парабола с ветвями, направленными вниз. Этот график является графиком функции $y = f(x)$. Парабола пересекает ось $x$ в точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$. Абсцисса вершины находится посередине между корнями: $x_v = (0+2)/2 = 1$. Из графика видно, что ордината вершины $y_v = 2$. Таким образом, вершина находится в точке $(1, 2)$. Уравнение параболы имеет вид $y = a(x-1)^2 + 2$. График проходит через точку $(0, 0)$. Подставим ее координаты в уравнение: $0 = a(0-1)^2 + 2$, что дает $0 = a + 2$, откуда $a=-2$. Следовательно, функция задается формулой $y = -2(x-1)^2 + 2$.
Ответ: $y = -2(x-1)^2 + 2$.