Номер 1.73, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.73, страница 34.
№1.73 (с. 34)
Условие. №1.73 (с. 34)
скриншот условия

1.73 На рисунке 34, a–e изображена полуокружность. Является ли эта полуокружность графиком функции $y = f(x)$ или $x = \varphi(y)$?
Если да, то задайте эту функцию формулой.
Решение 1. №1.73 (с. 34)






Решение 4. №1.73 (с. 34)
Для того чтобы определить, является ли кривая на графике функцией вида $y = f(x)$ или $x = \phi(y)$, используют тест вертикальной и горизонтальной линий.
- Кривая является графиком функции $y = f(x)$, если любая вертикальная прямая (параллельная оси Oy) пересекает ее не более чем в одной точке.
- Кривая является графиком функции $x = \phi(y)$, если любая горизонтальная прямая (параллельная оси Ox) пересекает ее не более чем в одной точке.
Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Полуокружность является половиной этой окружности.
Поскольку изображения для рисунков 34, a-e, не предоставлены, мы рассмотрим пять наиболее вероятных случаев расположения полуокружностей. Для решения конкретной задачи необходимо по рисунку определить тип полуокружности, координаты ее центра $(x_0, y_0)$ и ее радиус $R$.
a)
Предположим, на рисунке a изображена верхняя полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$.
Проверка на функцию $y=f(x)$: Любая вертикальная прямая $x=c$ (где $-R \le x \le R$) пересекает эту полуокружность ровно в одной точке. Следовательно, эта полуокружность является графиком функции $y = f(x)$.
Проверка на функцию $x=\phi(y)$: Любая горизонтальная прямая $y=c$ (где $0 < y < R$) пересекает эту полуокружность в двух точках. Следовательно, она не является графиком функции $x = \phi(y)$.
Задание формулой: Для нахождения формулы решим уравнение окружности $x^2 + y^2 = R^2$ относительно $y$: $y^2 = R^2 - x^2$, откуда $y = \pm\sqrt{R^2 - x^2}$. Поскольку это верхняя полуокружность, значения $y$ неотрицательны, поэтому мы выбираем знак «+».
Ответ: Полуокружность является графиком функции $y = f(x)$, заданной формулой $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$, где область определения $x \in [-R, R]$.
b)
Предположим, на рисунке b изображена нижняя полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$.
Проверка: Аналогично случаю a, эта кривая проходит тест вертикальной линии и является графиком функции $y = f(x)$. Она не проходит тест горизонтальной линии, поэтому не является графиком функции $x = \phi(y)$.
Задание формулой: Из уравнения $y = \pm\sqrt{R^2 - x^2}$ выбираем знак «–», так как значения $y$ неположительны.
Ответ: Полуокружность является графиком функции $y = f(x)$, заданной формулой $f(x) = -\sqrt{R^2 - x^2}$, где область определения $x \in [-R, R]$.
c)
Предположим, на рисунке c изображена правая полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$.
Проверка на функцию $y=f(x)$: Любая вертикальная прямая $x=c$ (где $0 < x < R$) пересекает эту полуокружность в двух точках. Следовательно, она не является графиком функции $y = f(x)$.
Проверка на функцию $x=\phi(y)$: Любая горизонтальная прямая $y=c$ (где $-R \le y \le R$) пересекает эту полуокружность ровно в одной точке. Следовательно, эта полуокружность является графиком функции $x = \phi(y)$.
Задание формулой: Для нахождения формулы решим уравнение окружности $x^2 + y^2 = R^2$ относительно $x$: $x^2 = R^2 - y^2$, откуда $x = \pm\sqrt{R^2 - y^2}$. Поскольку это правая полуокружность, значения $x$ неотрицательны, поэтому мы выбираем знак «+».
Ответ: Полуокружность является графиком функции $x = \phi(y)$, заданной формулой $\phi(y) = \sqrt{R^2 - y^2}$, где область определения $y \in [-R, R]$.
d)
Предположим, на рисунке d изображена левая полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$.
Проверка: Аналогично случаю c, эта кривая не является графиком функции $y=f(x)$, но является графиком функции $x = \phi(y)$, так как проходит тест горизонтальной линии.
Задание формулой: Из уравнения $x = \pm\sqrt{R^2 - y^2}$ выбираем знак «–», так как значения $x$ неположительны.
Ответ: Полуокружность является графиком функции $x = \phi(y)$, заданной формулой $\phi(y) = -\sqrt{R^2 - y^2}$, где область определения $y \in [-R, R]$.
e)
Предположим, на рисунке e изображена верхняя полуокружность с центром в произвольной точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$.
Проверка: Эта кривая является графиком функции $y=f(x)$, так как любая вертикальная прямая $x=c$ (где $x_0 - R \le x \le x_0 + R$) пересекает ее в одной точке. Она не является графиком функции $x = \phi(y)$, так как горизонтальная прямая $y=c$ (где $y_0 < y < y_0+R$) пересекает ее в двух точках.
Задание формулой: Для нахождения формулы решим уравнение окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ относительно $y$: $(y - y_0)^2 = R^2 - (x - x_0)^2$, откуда $y - y_0 = \pm\sqrt{R^2 - (x - x_0)^2}$. Так как это верхняя полуокружность, значения $y \ge y_0$, поэтому выбираем знак «+» и переносим $y_0$ в правую часть.
Ответ: Полуокружность является графиком функции $y = f(x)$, заданной формулой $f(x) = y_0 + \sqrt{R^2 - (x - x_0)^2}$, где область определения $x \in [x_0 - R, x_0 + R]$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 1.73 расположенного на странице 34 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.73 (с. 34), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.