Номер 1.73, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 1. Функции и их графики - номер 1.73, страница 34.

Условие.

1.73 На рисунке 34, a–e изображена полуокружность. Является ли эта полуокружность графиком функции $y = f(x)$ или $x = \varphi(y)$?

Если да, то задайте эту функцию формулой.

Решение 1.

Решение 4.

Для того чтобы определить, является ли кривая на графике функцией вида $y = f(x)$ или $x = \phi(y)$, используют тест вертикальной и горизонтальной линий.

• Кривая является графиком функции $y = f(x)$, если любая вертикальная прямая (параллельная оси Oy) пересекает ее не более чем в одной точке.
• Кривая является графиком функции $x = \phi(y)$, если любая горизонтальная прямая (параллельная оси Ox) пересекает ее не более чем в одной точке.

Общее уравнение окружности с центром в точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$. Полуокружность является половиной этой окружности.

Поскольку изображения для рисунков 34, a-e, не предоставлены, мы рассмотрим пять наиболее вероятных случаев расположения полуокружностей. Для решения конкретной задачи необходимо по рисунку определить тип полуокружности, координаты ее центра $(x_0, y_0)$ и ее радиус $R$.

a)

Предположим, на рисунке a изображена верхняя полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$.

Проверка на функцию $y=f(x)$: Любая вертикальная прямая $x=c$ (где $-R \le x \le R$) пересекает эту полуокружность ровно в одной точке. Следовательно, эта полуокружность является графиком функции $y = f(x)$.

Проверка на функцию $x=\phi(y)$: Любая горизонтальная прямая $y=c$ (где $0 < y < R$) пересекает эту полуокружность в двух точках. Следовательно, она не является графиком функции $x = \phi(y)$.

Задание формулой: Для нахождения формулы решим уравнение окружности $x^2 + y^2 = R^2$ относительно $y$: $y^2 = R^2 - x^2$, откуда $y = \pm\sqrt{R^2 - x^2}$. Поскольку это верхняя полуокружность, значения $y$ неотрицательны, поэтому мы выбираем знак «+».

Ответ: Полуокружность является графиком функции $y = f(x)$, заданной формулой $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$, где область определения $x \in [-R, R]$.

b)

Предположим, на рисунке b изображена нижняя полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$.

Проверка: Аналогично случаю a, эта кривая проходит тест вертикальной линии и является графиком функции $y = f(x)$. Она не проходит тест горизонтальной линии, поэтому не является графиком функции $x = \phi(y)$.

Задание формулой: Из уравнения $y = \pm\sqrt{R^2 - x^2}$ выбираем знак «–», так как значения $y$ неположительны.

Ответ: Полуокружность является графиком функции $y = f(x)$, заданной формулой $f(x) = -\sqrt{R^2 - x^2}$, где область определения $x \in [-R, R]$.

c)

Предположим, на рисунке c изображена правая полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$.

Проверка на функцию $y=f(x)$: Любая вертикальная прямая $x=c$ (где $0 < x < R$) пересекает эту полуокружность в двух точках. Следовательно, она не является графиком функции $y = f(x)$.

Проверка на функцию $x=\phi(y)$: Любая горизонтальная прямая $y=c$ (где $-R \le y \le R$) пересекает эту полуокружность ровно в одной точке. Следовательно, эта полуокружность является графиком функции $x = \phi(y)$.

Задание формулой: Для нахождения формулы решим уравнение окружности $x^2 + y^2 = R^2$ относительно $x$: $x^2 = R^2 - y^2$, откуда $x = \pm\sqrt{R^2 - y^2}$. Поскольку это правая полуокружность, значения $x$ неотрицательны, поэтому мы выбираем знак «+».

Ответ: Полуокружность является графиком функции $x = \phi(y)$, заданной формулой $\phi(y) = \sqrt{R^2 - y^2}$, где область определения $y \in [-R, R]$.

d)

Предположим, на рисунке d изображена левая полуокружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R$.

Проверка: Аналогично случаю c, эта кривая не является графиком функции $y=f(x)$, но является графиком функции $x = \phi(y)$, так как проходит тест горизонтальной линии.

Задание формулой: Из уравнения $x = \pm\sqrt{R^2 - y^2}$ выбираем знак «–», так как значения $x$ неположительны.

Ответ: Полуокружность является графиком функции $x = \phi(y)$, заданной формулой $\phi(y) = -\sqrt{R^2 - y^2}$, где область определения $y \in [-R, R]$.

e)

Предположим, на рисунке e изображена верхняя полуокружность с центром в произвольной точке $(x_0, y_0)$ и радиусом $R$.

Проверка: Эта кривая является графиком функции $y=f(x)$, так как любая вертикальная прямая $x=c$ (где $x_0 - R \le x \le x_0 + R$) пересекает ее в одной точке. Она не является графиком функции $x = \phi(y)$, так как горизонтальная прямая $y=c$ (где $y_0 < y < y_0+R$) пересекает ее в двух точках.

Задание формулой: Для нахождения формулы решим уравнение окружности $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$ относительно $y$: $(y - y_0)^2 = R^2 - (x - x_0)^2$, откуда $y - y_0 = \pm\sqrt{R^2 - (x - x_0)^2}$. Так как это верхняя полуокружность, значения $y \ge y_0$, поэтому выбираем знак «+» и переносим $y_0$ в правую часть.

Ответ: Полуокружность является графиком функции $y = f(x)$, заданной формулой $f(x) = y_0 + \sqrt{R^2 - (x - x_0)^2}$, где область определения $x \in [x_0 - R, x_0 + R]$.