Номер 1.75, страница 38 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.75, страница 38.

Условие.

1.75° Как построить график функции $y = |f(x)|$, если дан график функции $y = f(x)$?

Решение 1.

Решение 4.

Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, имея готовый график функции $y = f(x)$, следует исходить из определения абсолютной величины (модуля).

По определению, модуль раскрывается следующим образом: $|a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases}$

Применительно к функции $f(x)$ это означает, что значение $y$ в каждой точке $x$ будет вычисляться по-разному в зависимости от знака $f(x)$: $y = |f(x)| = \begin{cases} f(x), & \text{если } f(x) \ge 0 \\ -f(x), & \text{если } f(x) < 0 \end{cases}$

Это правило напрямую определяет алгоритм построения графика:

1. Анализируем случай $f(x) \ge 0$. Это те участки графика $y=f(x)$, которые лежат выше оси абсцисс ($Ox$) или на самой оси. Для этих участков, согласно определению, $|f(x)| = f(x)$. Это значит, что соответствующая часть графика функции $y = |f(x)|$ полностью совпадает с графиком $y = f(x)$. Таким образом, всю часть графика, находящуюся в верхней полуплоскости (и на оси $Ox$), мы оставляем без изменений.
2. Анализируем случай $f(x) < 0$. Это те участки графика $y=f(x)$, которые лежат ниже оси абсцисс ($Ox$). Для этих участков $|f(x)| = -f(x)$. Преобразование графика $y = f(x)$ в $y = -f(x)$ — это симметричное (зеркальное) отражение относительно оси абсцисс ($Ox$). Следовательно, всю часть графика, находящуюся в нижней полуплоскости, необходимо симметрично отразить относительно оси $Ox$ в верхнюю полуплоскость.

В результате объединения этих двух шагов весь итоговый график функции $y = |f(x)|$ будет расположен не ниже оси $Ox$ (т.е. в верхней полуплоскости и на самой оси).

Ответ: Чтобы построить график функции $y=|f(x)|$, зная график функции $y=f(x)$, нужно ту часть графика $y=f(x)$, которая лежит выше оси $Ox$ или на ней, оставить без изменений, а ту часть, которая лежит ниже оси $Ox$, симметрично отразить относительно оси $Ox$.