Номер 1.81, страница 39 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.81, страница 39.

Условие.

1.81 a) $y = x^2 - 5 |x - 1| + 1;$

Б) $y = |x^2 - 3x + 2| + 2x - 3;$

В) $y = (x + 1) (|x| - 2);$

Г) $y = |x^2 + 3x - 2| - |5x - 2|;$

Д) $y = \frac{2x - 6}{|3 - x|};$

е) $y = \frac{2 |x| + 1}{2 - x};$

Ж) $y = \sin |x|;$

З) $y = |\cos |x||.$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для того чтобы решить данное уравнение, необходимо раскрыть модуль $|x - 1|$. Выражение под модулем меняет знак в точке $x = 1$.
1. При $x \ge 1$, имеем $|x - 1| = x - 1$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - 5(x - 1) + 1 = x^2 - 5x + 5 + 1 = x^2 - 5x + 6$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх.
2. При $x < 1$, имеем $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - 5(-(x - 1)) + 1 = x^2 + 5(x - 1) + 1 = x^2 + 5x - 5 + 1 = x^2 + 5x - 4$.
Это также парабола с ветвями вверх.
Таким образом, функция является кусочно-заданной.
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - 5x + 6, & \text{если } x \ge 1 \\ x^2 + 5x - 4, & \text{если } x < 1 \end{cases}$

б) В данном уравнении модуль содержит квадратичную функцию $x^2 - 3x + 2$. Найдем корни этого выражения: $x^2 - 3x + 2 = 0$, что равносильно $(x-1)(x-2)=0$. Корни: $x=1$ и $x=2$. Парабола $x^2 - 3x + 2$ неотрицательна при $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$ и отрицательна при $x \in (1, 2)$.
1. При $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$, имеем $|x^2 - 3x + 2| = x^2 - 3x + 2$. Функция принимает вид:
$y = (x^2 - 3x + 2) + 2x - 3 = x^2 - x - 1$.
2. При $x \in (1, 2)$, имеем $|x^2 - 3x + 2| = -(x^2 - 3x + 2) = -x^2 + 3x - 2$. Функция принимает вид:
$y = (-x^2 + 3x - 2) + 2x - 3 = -x^2 + 5x - 5$.
Таким образом, функция является кусочно-заданной.
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - x - 1, & \text{если } x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty) \\ -x^2 + 5x - 5, & \text{если } x \in (1, 2) \end{cases}$

в) Раскроем модуль $|x|$. Выражение под модулем меняет знак в точке $x = 0$.
1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = (x + 1)(x - 2) = x^2 - x - 2$.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = (x + 1)(-x - 2) = -(x + 1)(x + 2) = -x^2 - 3x - 2$.
Таким образом, функция является кусочно-заданной.
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 - x - 2, & \text{если } x \ge 0 \\ -x^2 - 3x - 2, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

г) В этом уравнении два модуля: $|x^2 + 3x - 2|$ и $|5x - 2|$. Найдем точки, в которых выражения под модулями равны нулю.
1. $x^2 + 3x - 2 = 0 \implies x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$.
2. $5x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{5} = 0.4$.
Точки $\frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \approx -3.56$, $0.4$ и $\frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \approx 0.56$ делят числовую ось на четыре интервала. Раскроем модули на каждом из них.
- При $x \le \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}$: $y = (x^2 + 3x - 2) - (-(5x-2)) = x^2 + 8x - 4$.
- При $\frac{-3 - \sqrt{17}}{2} < x \le 0.4$: $y = -(x^2 + 3x - 2) - (-(5x-2)) = -x^2 + 2x$.
- При $0.4 < x < \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$: $y = -(x^2 + 3x - 2) - (5x-2) = -x^2 - 8x + 4$.
- При $x \ge \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$: $y = (x^2 + 3x - 2) - (5x-2) = x^2 - 2x$.
Ответ: $y = \begin{cases} x^2 + 8x - 4, & x \le \frac{-3-\sqrt{17}}{2} \\ -x^2 + 2x, & \frac{-3-\sqrt{17}}{2} < x \le 0.4 \\ -x^2 - 8x + 4, & 0.4 < x < \frac{-3+\sqrt{17}}{2} \\ x^2 - 2x, & x \ge \frac{-3+\sqrt{17}}{2} \end{cases}$

д) Функция $y = \frac{2x - 6}{|3 - x|}$ не определена в точке $x=3$, так как знаменатель обращается в ноль. Заметим, что числитель можно преобразовать: $2x - 6 = 2(x - 3) = -2(3 - x)$.
Тогда $y = \frac{-2(3 - x)}{|3 - x|}$.
1. При $x > 3$, $3 - x < 0$, поэтому $|3 - x| = -(3 - x)$.
$y = \frac{-2(3 - x)}{-(3 - x)} = 2$.
2. При $x < 3$, $3 - x > 0$, поэтому $|3 - x| = 3 - x$.
$y = \frac{-2(3 - x)}{3 - x} = -2$.
Функция является кусочно-постоянной.
Ответ: $y = \begin{cases} 2, & \text{если } x > 3 \\ -2, & \text{если } x < 3 \end{cases}$

е) Раскроем модуль $|x|$ в функции $y = \frac{2|x| + 1}{2 - x}$. Точка смены знака подмодульного выражения: $x = 0$. Область определения функции: $x \ne 2$.
1. При $x \ge 0$ и $x \ne 2$, имеем $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{2x + 1}{2 - x}$.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{2(-x) + 1}{2 - x} = \frac{-2x + 1}{2 - x}$.
Таким образом, функция является кусочно-заданной.
Ответ: $y = \begin{cases} \frac{2x + 1}{2 - x}, & \text{если } x \in [0, 2) \cup (2, \infty) \\ \frac{-2x + 1}{2 - x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

ж) Функция $y = \sin|x|$ является четной, так как $y(-x) = \sin|-x| = \sin|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси OY.
1. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sin(x)$.
2. При $x < 0$, имеем $|x| = -x$, и функция принимает вид $y = \sin(-x) = -\sin(x)$ (так как синус - нечетная функция).
Для построения графика можно взять часть графика $y=\sin(x)$ для $x \ge 0$ и отразить ее симметрично относительно оси OY.
Ответ: $y = \begin{cases} \sin(x), & \text{если } x \ge 0 \\ -\sin(x), & \text{если } x < 0 \end{cases}$, что эквивалентно описанию четной функции $y = \sin|x|$.

з) Рассмотрим функцию $y = |\cos|x||$. Преобразование можно выполнить в два шага.
1. Сначала рассмотрим внутреннюю функцию $y_1 = \cos|x|$. Так как функция косинуса является четной, то есть $\cos(-x) = \cos(x)$ для любого $x$, то $\cos|x| = \cos(x)$ для всех действительных $x$.
2. Таким образом, исходная функция тождественно равна $y = |\cos(x)|$.
Для получения этой функции необходимо взять график $y = \cos(x)$ и все его части, которые лежат ниже оси абсцисс (где $\cos(x) < 0$), симметрично отразить относительно этой оси вверх. В результате получается неотрицательная периодическая функция с периодом $\pi$.
Ответ: Функция $y = |\cos|x||$ эквивалентна функции $y = |\cos(x)|$.