Номер 1.85, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 1. Функции и их графики. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 1.85, страница 44.

Условие.

1.85 a) $y = \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{2-x};$

Б) $y = 2^x + \sin x;$

В) $y = \operatorname{tg} x - \log_3 x;$

Г) $y = \operatorname{ctg} x + \sqrt[3]{x^2}.$

Решение 1.

Решение 4.

а) $y = \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{2-x}$

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$, а также правилом дифференцирования степенной и сложной функций.

Сначала представим функцию в виде слагаемых со степенными показателями:
$y = x^{1/3} + (2-x)^{1/4}$

Производная суммы равна сумме производных:
$y' = (x^{1/3})' + ((2-x)^{1/4})'$

Находим производную первого слагаемого, используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$(x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Здесь внешняя функция $f(u) = u^{1/4}$, а внутренняя $g(x) = 2-x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = \frac{1}{4}u^{-3/4}$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (2-x)' = -1$.
Следовательно, производная второго слагаемого:
$((2-x)^{1/4})' = \frac{1}{4}(2-x)^{1/4-1} \cdot (-1) = -\frac{1}{4}(2-x)^{-3/4} = -\frac{1}{4\sqrt[4]{(2-x)^3}}$

Складываем полученные производные:
$y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{1}{4\sqrt[4]{(2-x)^3}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{1}{4\sqrt[4]{(2-x)^3}}$

б) $y = 2^x + \sin x$

Используем правило дифференцирования суммы: производная суммы двух функций равна сумме их производных.
$y' = (2^x + \sin x)' = (2^x)' + (\sin x)'$

Находим производную первого слагаемого по формуле производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$:
$(2^x)' = 2^x \ln 2$

Находим производную второго слагаемого по формуле производной тригонометрической функции $(\sin x)' = \cos x$:
$(\sin x)' = \cos x$

Складываем производные:
$y' = 2^x \ln 2 + \cos x$

Ответ: $y' = 2^x \ln 2 + \cos x$

в) $y = \tg x - \log_3 x$

Используем правило дифференцирования разности: производная разности двух функций равна разности их производных.
$y' = (\tg x - \log_3 x)' = (\tg x)' - (\log_3 x)'$

Находим производную первого слагаемого по формуле производной тангенса $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$:
$(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Находим производную второго слагаемого по формуле производной логарифмической функции $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$:
$(\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$

Вычитаем вторую производную из первой:
$y' = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{x \ln 3}$

Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{x \ln 3}$

г) $y = \ctg x + \sqrt[3]{x^2}$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы.
Представим функцию в виде: $y = \ctg x + x^{2/3}$

Производная суммы равна сумме производных:
$y' = (\ctg x)' + (x^{2/3})'$

Находим производную первого слагаемого по формуле производной котангенса $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$:
$(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Находим производную второго слагаемого по формуле производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$(x^{2/3})' = \frac{2}{3}x^{2/3 - 1} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

Складываем полученные производные:
$y' = -\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

Ответ: $y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{\sin^2 x}$