Страница 44 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Постройте график функции (1.84–1.89):

1.84 a) $y = \lg \cos x$;

б) $y = \sqrt{\operatorname{ctg} x + 1}$;

в) $y = 2^{\operatorname{tg} x}$;

г) $y = (\log_2 \sqrt{x} - 1)^3$.

а) $y = \lg \cos x$

Для построения графика функции проведем ее исследование.

1. Область определения функции (ОДЗ). Аргумент десятичного логарифма должен быть строго положительным, поэтому требуется выполнение условия $\cos x > 0$. Это неравенство справедливо для всех $x$, принадлежащих объединению интервалов $(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Периодичность и четность. Функция $\cos x$ имеет основной период $2\pi$. Следовательно, функция $y = \lg \cos x$ также является периодической с периодом $T = 2\pi$. Кроме того, функция является четной, так как $\cos(-x) = \cos x$, поэтому $y(-x) = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат $Oy$. Для построения достаточно рассмотреть интервал $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ и затем периодически продолжить его.

3. Область значений и экстремумы. На области определения $0 < \cos x \le 1$. Так как логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, то $\lg(\cos x) \le \lg 1 = 0$. Максимальное значение функции равно 0 и достигается в точках, где $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Таким образом, область значений функции: $(-\infty, 0]$.

4. Асимптоты и поведение на границах ОДЗ. Когда $x$ стремится к граничным точкам области определения, например $x \to (\frac{\pi}{2} + \pi k)^-$ или $x \to (\frac{\pi}{2} + \pi k)^+$, значение $\cos x \to 0^+$. В этом случае $\lg(\cos x) \to -\infty$. Следовательно, прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, являются вертикальными асимптотами графика.

5. Построение графика. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ график имеет максимум в точке $(0, 0)$. Он симметричен относительно оси $Oy$ и стремится к вертикальным асимптотам $x=-\frac{\pi}{2}$ и $x=\frac{\pi}{2}$ вниз (к $-\infty$). Ключевые точки: при $x=\pm\frac{\pi}{3}$, $y=\lg(0.5) \approx -0.3$; при $x=0$, $y=\lg(1)=0$. Строим этот фрагмент и повторяем его с периодом $2\pi$.

Ответ: График функции представляет собой набор периодически повторяющихся с периодом $2\pi$ "холмов", симметричных относительно прямых $x=2\pi k$. Вершины "холмов" находятся в точках $(2\pi k, 0)$. Прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются вертикальными асимптотами, к которым ветви графика уходят на $-\infty$.

б) $y = \sqrt{\ctg x + 1}$

Проведем исследование функции для построения ее графика.

1. Область определения функции (ОДЗ). Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $\ctg x + 1 \ge 0$, что эквивалентно $\ctg x \ge -1$. Во-вторых, сам котангенс должен быть определен, то есть $x \neq \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Решая неравенство $\ctg x \ge -1$ с учетом периодичности, получаем, что область определения есть объединение промежутков $(\pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Периодичность. Функция $\ctg x$ имеет период $\pi$. Следовательно, и данная функция $y=\sqrt{\ctg x + 1}$ периодична с периодом $T = \pi$. Для построения достаточно рассмотреть промежуток $(0, \frac{3\pi}{4}]$ и затем продолжить его периодически.

3. Область значений и экстремумы. Поскольку квадратный корень всегда неотрицателен, $y \ge 0$. Минимальное значение достигается, когда подкоренное выражение минимально. $\ctg x + 1$ минимально при $\ctg x = -1$, что происходит в точках $x = \frac{3\pi}{4} + \pi k$. В этих точках $y = \sqrt{-1+1} = 0$. Таким образом, область значений функции: $[0, +\infty)$.

4. Асимптоты и поведение на границах ОДЗ. Когда $x \to (\pi k)^+$, значение $\ctg x \to +\infty$, следовательно, $\sqrt{\ctg x + 1} \to +\infty$. Прямые $x=\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$, являются вертикальными асимптотами.

5. Построение графика. На промежутке $(0, \frac{3\pi}{4}]$ график начинается от вертикальной асимптоты $x=0$ (уходя в $+\infty$), убывает и касается оси $Ox$ в точке $x = \frac{3\pi}{4}$. Ключевые точки: при $x = \frac{\pi}{4}$, $\ctg x = 1$, $y=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} \approx 1.41$; при $x = \frac{\pi}{2}$, $\ctg x=0$, $y=\sqrt{0+1}=1$. Строим ветвь на $(0, \frac{3\pi}{4}]$ и повторяем ее с периодом $\pi$.

Ответ: График функции — это периодическая кривая (с периодом $\pi$), состоящая из бесконечного числа одинаковых ветвей. Каждая ветвь определена на промежутке $(\pi k, \frac{3\pi}{4} + \pi k]$, имеет вертикальную асимптоту $x=\pi k$ (где график уходит в $+\infty$) и касается оси абсцисс в точке $(\frac{3\pi}{4} + \pi k, 0)$.

в) $y = 2^{\tg x}$

Проведем исследование функции для построения ее графика.

1. Область определения функции (ОДЗ). Показательная функция определена для любого действительного показателя. Таким образом, ОДЗ совпадает с областью определения функции $u = \tg x$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Периодичность. Функция $\tg x$ имеет период $\pi$, следовательно, и функция $y = 2^{\tg x}$ периодична с периодом $T = \pi$. Достаточно построить график на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

3. Область значений. Диапазон значений тангенса — вся числовая прямая, $\tg x \in (-\infty, +\infty)$. Поскольку показательная функция $f(u)=2^u$ принимает только положительные значения, область значений исходной функции: $(0, +\infty)$.

4. Асимптоты и поведение на границах ОДЗ. При $x \to (\frac{\pi}{2})^-$, $\tg x \to +\infty$, следовательно, $y = 2^{\tg x} \to +\infty$. Прямые $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ являются вертикальными асимптотами. При $x \to (-\frac{\pi}{2})^+$, $\tg x \to -\infty$, следовательно, $y = 2^{\tg x} \to 0$. График приближается к точке $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, 0)$, не достигая ее.

5. Построение графика. На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ график является возрастающей кривой. Он проходит через точку $(0, 1)$, так как $\tg 0 = 0$ и $2^0 = 1$. Ключевые точки: при $x=\frac{\pi}{4}$, $\tg x=1$, $y=2^1=2$; при $x=-\frac{\pi}{4}$, $\tg x=-1$, $y=2^{-1}=0.5$. Строим этот фрагмент и повторяем его с периодом $\pi$.

Ответ: График функции — это периодическая кривая (с периодом $\pi$), состоящая из бесконечного числа одинаковых возрастающих ветвей. Каждая ветвь определена на интервале $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, проходит через точку $(\pi k, 1)$, имеет вертикальную асимптоту $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (где график уходит в $+\infty$) и асимптотически приближается к точке $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, 0)$ слева.

г) $y = (\log_2 \sqrt{x-1})^3$

Для удобства анализа упростим выражение: $y = (\log_2 (x-1)^{1/2})^3 = (\frac{1}{2}\log_2(x-1))^3 = \frac{1}{8}(\log_2(x-1))^3$.

1. Область определения функции (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть положительным: $x-1 > 0$, откуда $x > 1$. ОДЗ: $(1, +\infty)$.

2. Область значений. Когда $x$ изменяется от $1$ до $+\infty$, выражение $x-1$ изменяется от $0$ до $+\infty$. Тогда $\log_2(x-1)$ изменяется от $-\infty$ до $+\infty$. Куб этой величины также принимает все действительные значения. Следовательно, область значений функции: $(-\infty, +\infty)$ или $\mathbb{R}$.

3. Асимптоты, нули и поведение функции.
- При $x \to 1^+$, $\log_2(x-1) \to -\infty$, следовательно, $y \to -\infty$. Прямая $x=1$ является вертикальной асимптотой.
- Функция равна нулю, когда $\log_2(x-1)=0$, что означает $x-1=1$, то есть $x=2$. График пересекает ось абсцисс в точке $(2, 0)$.
- Функция возрастает на всей области определения, так как является композицией возрастающих функций ($x-1$, $\log_2 t$, $t^3$ для $t \in \mathbb{R}$) и положительного коэффициента $\frac{1}{8}$.

4. Построение графика. Построение можно выполнить на основе графика $z = \log_2(x-1)$. Этот график получается сдвигом $z=\log_2 x$ на 1 вправо, он проходит через $(2,0)$ и имеет асимптоту $x=1$. Затем значения $z$ возводятся в куб и умножаются на $\frac{1}{8}$.
- Ключевые точки: при $x=2$, $y=0$. Точка $(2,0)$ является точкой перегиба с горизонтальной касательной.
- При $x=3$, $\log_2(3-1)=1$, $y=\frac{1}{8}(1)^3 = \frac{1}{8}$.
- При $x=1.5$, $\log_2(1.5-1)=-1$, $y=\frac{1}{8}(-1)^3 = -\frac{1}{8}$.
- При $x=5$, $\log_2(5-1)=2$, $y=\frac{1}{8}(2)^3 = 1$.
График начинается от асимптоты $x=1$ из $-\infty$, возрастает, проходит через точки $(1.5, -1/8)$, $(2,0)$, $(3, 1/8)$, $(5,1)$ и уходит в $+\infty$.

Ответ: График функции — это возрастающая кривая, определенная для $x > 1$. Она имеет вертикальную асимптоту $x=1$, к которой стремится на $-\infty$. График пересекает ось абсцисс в точке $(2, 0)$, которая является точкой перегиба, и уходит в $+\infty$ при $x \to +\infty$.

1.85 a) $y = \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{2-x};$

Б) $y = 2^x + \sin x;$

В) $y = \operatorname{tg} x - \log_3 x;$

Г) $y = \operatorname{ctg} x + \sqrt[3]{x^2}.$

а) $y = \sqrt[3]{x} + \sqrt[4]{2-x}$

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$, а также правилом дифференцирования степенной и сложной функций.

Сначала представим функцию в виде слагаемых со степенными показателями:
$y = x^{1/3} + (2-x)^{1/4}$

Производная суммы равна сумме производных:
$y' = (x^{1/3})' + ((2-x)^{1/4})'$

Находим производную первого слагаемого, используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$(x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Здесь внешняя функция $f(u) = u^{1/4}$, а внутренняя $g(x) = 2-x$.
Производная внешней функции: $f'(u) = \frac{1}{4}u^{-3/4}$.
Производная внутренней функции: $g'(x) = (2-x)' = -1$.
Следовательно, производная второго слагаемого:
$((2-x)^{1/4})' = \frac{1}{4}(2-x)^{1/4-1} \cdot (-1) = -\frac{1}{4}(2-x)^{-3/4} = -\frac{1}{4\sqrt[4]{(2-x)^3}}$

Складываем полученные производные:
$y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{1}{4\sqrt[4]{(2-x)^3}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{1}{4\sqrt[4]{(2-x)^3}}$

б) $y = 2^x + \sin x$

Используем правило дифференцирования суммы: производная суммы двух функций равна сумме их производных.
$y' = (2^x + \sin x)' = (2^x)' + (\sin x)'$

Находим производную первого слагаемого по формуле производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$:
$(2^x)' = 2^x \ln 2$

Находим производную второго слагаемого по формуле производной тригонометрической функции $(\sin x)' = \cos x$:
$(\sin x)' = \cos x$

Складываем производные:
$y' = 2^x \ln 2 + \cos x$

Ответ: $y' = 2^x \ln 2 + \cos x$

в) $y = \tg x - \log_3 x$

Используем правило дифференцирования разности: производная разности двух функций равна разности их производных.
$y' = (\tg x - \log_3 x)' = (\tg x)' - (\log_3 x)'$

Находим производную первого слагаемого по формуле производной тангенса $(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$:
$(\tg x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Находим производную второго слагаемого по формуле производной логарифмической функции $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$:
$(\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$

Вычитаем вторую производную из первой:
$y' = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{x \ln 3}$

Ответ: $y' = \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{x \ln 3}$

г) $y = \ctg x + \sqrt[3]{x^2}$

Для нахождения производной используем правило дифференцирования суммы.
Представим функцию в виде: $y = \ctg x + x^{2/3}$

Производная суммы равна сумме производных:
$y' = (\ctg x)' + (x^{2/3})'$

Находим производную первого слагаемого по формуле производной котангенса $(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$:
$(\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Находим производную второго слагаемого по формуле производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$(x^{2/3})' = \frac{2}{3}x^{2/3 - 1} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

Складываем полученные производные:
$y' = -\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

Ответ: $y' = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{\sin^2 x}$

1.86 a) $y = \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[4]{2-x};$

б) $y = 2^x \cdot \sin x;$

B) $y = \operatorname{tg} x \cdot \log_3 x;$

г) $y = \operatorname{ctg} x \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}.$

а) $y = \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[4]{2-x}$

Для нахождения производной данной функции, которая является произведением двух функций $u(x) = \sqrt[3]{x}$ и $v(x) = \sqrt[4]{2-x}$, воспользуемся правилом произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Сначала представим функции в виде степеней: $u(x) = x^{1/3}$ и $v(x) = (2-x)^{1/4}$.

Найдем производные каждой функции.
Для $u(x)$ используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$u'(x) = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):
$v'(x) = ((2-x)^{1/4})' = \frac{1}{4}(2-x)^{\frac{1}{4}-1} \cdot (2-x)' = \frac{1}{4}(2-x)^{-3/4} \cdot (-1) = -\frac{1}{4(2-x)^{3/4}} = -\frac{1}{4\sqrt[4]{(2-x)^3}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу правила произведения:
$y' = u'v + uv' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \cdot \sqrt[4]{2-x} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(-\frac{1}{4\sqrt[4]{(2-x)^3}}\right) = \frac{\sqrt[4]{2-x}}{3\sqrt[3]{x^2}} - \frac{\sqrt[3]{x}}{4\sqrt[4]{(2-x)^3}}$.

Для упрощения приведем выражение к общему знаменателю $12\sqrt[3]{x^2}\sqrt[4]{(2-x)^3}$:
$y' = \frac{4\sqrt[4]{2-x} \cdot \sqrt[4]{(2-x)^3} - 3\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x^2}}{12\sqrt[3]{x^2}\sqrt[4]{(2-x)^3}} = \frac{4(2-x) - 3x}{12\sqrt[3]{x^2}\sqrt[4]{(2-x)^3}} = \frac{8 - 4x - 3x}{12\sqrt[3]{x^2}\sqrt[4]{(2-x)^3}} = \frac{8 - 7x}{12\sqrt[3]{x^2}\sqrt[4]{(2-x)^3}}$.

Ответ: $y' = \frac{8 - 7x}{12\sqrt[3]{x^2}\sqrt[4]{(2-x)^3}}$.

б) $y = 2^x \cdot \sin x$

Это произведение двух функций: $u(x) = 2^x$ и $v(x) = \sin x$. Применяем правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производные каждой функции:
Производная показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$:
$u'(x) = (2^x)' = 2^x \ln 2$.
Производная синуса:
$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Подставляем в формулу правила произведения:
$y' = u'v + uv' = (2^x \ln 2) \cdot \sin x + 2^x \cdot \cos x$.

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки для упрощения:
$y' = 2^x(\sin x \ln 2 + \cos x)$.

Ответ: $y' = 2^x(\sin x \ln 2 + \cos x)$.

в) $y = \operatorname{tg} x \cdot \log_3 x$

Функция является произведением $u(x) = \operatorname{tg} x$ и $v(x) = \log_3 x$. Используем правило $(uv)' = u'v + uv'$.

Находим производные:
$u'(x) = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.
Производная логарифма $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$:
$v'(x) = (\log_3 x)' = \frac{1}{x \ln 3}$.

Подставляем производные в правило произведения:
$y' = u'v + uv' = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \log_3 x + \operatorname{tg} x \cdot \frac{1}{x \ln 3}$.

Запишем итоговое выражение:
$y' = \frac{\log_3 x}{\cos^2 x} + \frac{\operatorname{tg} x}{x \ln 3}$.

Ответ: $y' = \frac{\log_3 x}{\cos^2 x} + \frac{\operatorname{tg} x}{x \ln 3}$.

г) $y = \operatorname{ctg} x \cdot \sqrt[3]{x^2}$

Применим правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$ для функций $u(x) = \operatorname{ctg} x$ и $v(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$.

Найдем производные этих функций:
$u'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
$v'(x) = (x^{2/3})' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.

Подставляем в правило произведения:
$y' = u'v + uv' = \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) \cdot \sqrt[3]{x^2} + \operatorname{ctg} x \cdot \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} = -\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sin^2 x} + \frac{2\operatorname{ctg} x}{3\sqrt[3]{x}}$.

Упростим выражение. Представим $\operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}$ и приведем к общему знаменателю $3\sqrt[3]{x}\sin^2 x$:
$y' = -\frac{x^{2/3}}{\sin^2 x} + \frac{2 \cos x}{3 \sin x \cdot x^{1/3}} = \frac{-3x^{1/3} \cdot x^{2/3} + 2\cos x \cdot \sin x}{3x^{1/3}\sin^2 x} = \frac{-3x + 2\sin x \cos x}{3\sqrt[3]{x}\sin^2 x}$.

Используя формулу синуса двойного угла $2\sin x \cos x = \sin(2x)$, получаем:
$y' = \frac{\sin(2x) - 3x}{3\sqrt[3]{x}\sin^2 x}$.

Ответ: $y' = \frac{\sin(2x) - 3x}{3\sqrt[3]{x}\sin^2 x}$.

1.87 а) $y = \sqrt{x^2 + 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 6x + 9};$

б) $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1} - \sqrt{x^2 + 6x + 9};$

в) $y = \sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 + 4x + 4};$

г) $y = \sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{x^2 - 4x + 4}.$

а)

Дана функция $y = \sqrt{x^2 + 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}$.

Заметим, что выражения под корнями являются полными квадратами, так как соответствуют формулам квадрата суммы и квадрата разности:

$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$

$x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$y = \sqrt{(x+1)^2} + \sqrt{(x-3)^2}$

Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, получим функцию с модулями:

$y = |x+1| + |x-3|$

Для того чтобы раскрыть модули, необходимо рассмотреть числовые промежутки, которые определяются нулями подмодульных выражений: $x+1=0 \implies x=-1$ и $x-3=0 \implies x=3$. Эти точки делят числовую прямую на три интервала.

1. При $x < -1$. На этом интервале оба выражения под модулями отрицательны: $x+1 < 0$ и $x-3 < 0$. Поэтому $|x+1| = -(x+1)$ и $|x-3| = -(x-3)$.

$y = -(x+1) - (x-3) = -x - 1 - x + 3 = -2x + 2$.

2. При $-1 \le x < 3$. На этом интервале $x+1 \ge 0$, а $x-3 < 0$. Поэтому $|x+1| = x+1$ и $|x-3| = -(x-3)$.

$y = (x+1) - (x-3) = x + 1 - x + 3 = 4$.

3. При $x \ge 3$. На этом интервале оба выражения под модулями неотрицательны: $x+1 > 0$ и $x-3 \ge 0$. Поэтому $|x+1| = x+1$ и $|x-3| = x-3$.

$y = (x+1) + (x-3) = x + 1 + x - 3 = 2x - 2$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} -2x+2, & \text{при } x < -1 \\ 4, & \text{при } -1 \le x < 3 \\ 2x-2, & \text{при } x \ge 3 \end{cases}$

б)

Дана функция $y = \sqrt{x^2 - 2x + 1} - \sqrt{x^2 + 6x + 9}$.

Упростим подкоренные выражения, которые являются полными квадратами:

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$

Подставим их в уравнение:

$y = \sqrt{(x-1)^2} - \sqrt{(x+3)^2}$

Применяя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$y = |x-1| - |x+3|$

Раскроем модули, рассмотрев интервалы, определяемые нулями подмодульных выражений: $x = 1$ и $x = -3$.

1. При $x < -3$: $x-1 < 0$ и $x+3 < 0$.

$y = -(x-1) - (-(x+3)) = -x + 1 + x + 3 = 4$.

2. При $-3 \le x < 1$: $x-1 < 0$ и $x+3 \ge 0$.

$y = -(x-1) - (x+3) = -x + 1 - x - 3 = -2x - 2$.

3. При $x \ge 1$: $x-1 \ge 0$ и $x+3 > 0$.

$y = (x-1) - (x+3) = x - 1 - x - 3 = -4$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} 4, & \text{при } x < -3 \\ -2x-2, & \text{при } -3 \le x < 1 \\ -4, & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$

в)

Дана функция $y = \sqrt{x^2 - 4x + 4} + \sqrt{x^2 + 4x + 4}$.

Упростим подкоренные выражения, являющиеся полными квадратами:

$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

Подставим их в уравнение:

$y = \sqrt{(x-2)^2} + \sqrt{(x+2)^2}$

Используя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$y = |x-2| + |x+2|$

Раскроем модули, рассмотрев интервалы, определяемые нулями подмодульных выражений: $x = 2$ и $x = -2$.

1. При $x < -2$: $x-2 < 0$ и $x+2 < 0$.

$y = -(x-2) - (x+2) = -x + 2 - x - 2 = -2x$.

2. При $-2 \le x < 2$: $x-2 < 0$ и $x+2 \ge 0$.

$y = -(x-2) + (x+2) = -x + 2 + x + 2 = 4$.

3. При $x \ge 2$: $x-2 \ge 0$ и $x+2 > 0$.

$y = (x-2) + (x+2) = x - 2 + x + 2 = 2x$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} -2x, & \text{при } x < -2 \\ 4, & \text{при } -2 \le x < 2 \\ 2x, & \text{при } x \ge 2 \end{cases}$

г)

Дана функция $y = \sqrt{x^2 + 4x + 4} - \sqrt{x^2 - 4x + 4}$.

Упростим подкоренные выражения, являющиеся полными квадратами:

$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$

$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

Подставим их в уравнение:

$y = \sqrt{(x+2)^2} - \sqrt{(x-2)^2}$

Применяя тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:

$y = |x+2| - |x-2|$

Раскроем модули, рассмотрев интервалы, определяемые нулями подмодульных выражений: $x = -2$ и $x = 2$.

1. При $x < -2$: $x+2 < 0$ и $x-2 < 0$.

$y = -(x+2) - (-(x-2)) = -x - 2 + x - 2 = -4$.

2. При $-2 \le x < 2$: $x+2 \ge 0$ и $x-2 < 0$.

$y = (x+2) - (-(x-2)) = x + 2 + x - 2 = 2x$.

3. При $x \ge 2$: $x+2 > 0$ и $x-2 \ge 0$.

$y = (x+2) - (x-2) = x + 2 - x + 2 = 4$.

Таким образом, мы получили кусочно-линейную функцию.

Ответ: $y = \begin{cases} -4, & \text{при } x < -2 \\ 2x, & \text{при } -2 \le x < 2 \\ 4, & \text{при } x \ge 2 \end{cases}$

1.88 a) $y = \sqrt{x + 4} - \sqrt{x};$

б) $y = \sqrt{x} - \sqrt{x + 9}.$

а) $y = \sqrt{x+4 - \sqrt{x}}$

Для нахождения области определения функции необходимо, чтобы все подкоренные выражения были неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x+4 - \sqrt{x} \ge 0 \end{cases}$

Первое неравенство $x \ge 0$ уже задает условие для внутреннего корня.

Рассмотрим второе неравенство: $x+4 - \sqrt{x} \ge 0$.

Перенесем $\sqrt{x}$ в правую часть: $x+4 \ge \sqrt{x}$.

Так как из первого неравенства мы знаем, что $x \ge 0$, то левая часть $x+4$ заведомо положительна, а правая часть $\sqrt{x}$ неотрицательна. Следовательно, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя знака неравенства:

$(x+4)^2 \ge (\sqrt{x})^2$

$x^2 + 8x + 16 \ge x$

$x^2 + 7x + 16 \ge 0$

Чтобы решить это квадратичное неравенство, рассмотрим соответствующую функцию $f(x) = x^2 + 7x + 16$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем ее корни, вычислив дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 49 - 64 = -15$.

Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a=1 > 0$), квадратичный трехчлен $x^2 + 7x + 16$ положителен при любых действительных значениях $x$.

Таким образом, второе неравенство $x+4 - \sqrt{x} \ge 0$ выполняется для всех $x$, для которых определен $\sqrt{x}$, то есть для всех $x \ge 0$.

Объединяя решения обоих неравенств системы, получаем, что область определения функции задается условием $x \ge 0$.

Ответ: $x \in [0; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{x - \sqrt{x+9}}$

Область определения функции находится из системы неравенств, обеспечивающих неотрицательность подкоренных выражений:

$\begin{cases} x+9 \ge 0 \\ x - \sqrt{x+9} \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем: $x \ge -9$.

Рассмотрим второе неравенство: $x - \sqrt{x+9} \ge 0$, или $x \ge \sqrt{x+9}$.

Поскольку правая часть $\sqrt{x+9}$ является неотрицательной, левая часть $x$ также должна быть неотрицательной, чтобы неравенство имело решение. Таким образом, получаем дополнительное условие: $x \ge 0$.

Объединяя условия $x \ge -9$ и $x \ge 0$, получаем более сильное ограничение: $x \ge 0$.

При условии $x \ge 0$ обе части неравенства $x \ge \sqrt{x+9}$ неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$x^2 \ge (\sqrt{x+9})^2$

$x^2 \ge x+9$

$x^2 - x - 9 \ge 0$

Для решения этого неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 9 = 0$ по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+36}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{2}$.

Парабола $f(x) = x^2 - x - 9$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $x^2 - x - 9 \ge 0$ выполняется при $x \le \frac{1 - \sqrt{37}}{2}$ или $x \ge \frac{1 + \sqrt{37}}{2}$.

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ранее установленным условием $x \ge 0$.

1. $x \le \frac{1 - \sqrt{37}}{2}$. Так как $\sqrt{37} > \sqrt{1} = 1$, то $\frac{1 - \sqrt{37}}{2} < 0$. Этот интервал не пересекается с $x \ge 0$.

2. $x \ge \frac{1 + \sqrt{37}}{2}$. Так как $\frac{1 + \sqrt{37}}{2} > 0$, пересечение этого множества с $x \ge 0$ есть $x \ge \frac{1 + \sqrt{37}}{2}$.

Следовательно, область определения исходной функции — это промежуток, удовлетворяющий всем условиям.

Ответ: $x \in [\frac{1 + \sqrt{37}}{2}; +\infty)$.

1.89* а) $y = \begin{cases} 2^x, &\text{если } x \le -1 \\ \frac{1}{x^2}, &\text{если } -1 < x < 0 \\ x^2, &\text{если } x \ge 0; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -1, &\text{если } x \le -\frac{3\pi}{2} \\ \cos x, &\text{если } -\frac{3\pi}{2} < x \le 0 \\ x^2+1, &\text{если } 0 < x < 1 \\ \log_2(x+3), &\text{если } x \ge 1; \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} x^2, &\text{если } x \le -2 \\ \frac{1}{x^2}, &\text{если } -2 < x < 0 \\ \sqrt{x}, &\text{если } 0 \le x \le 4 \\ \log_2 x, &\text{если } x > 4; \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} \cos x, &\text{если } -\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4} \\ \text{tg } x, &\text{если } \frac{\pi}{4} < x < \pi \\ \sin x, &\text{если } \pi \le x \le \frac{3\pi}{2}. \end{cases}$

а)Для функции $y = \begin{cases} 2^x, & \text{если } x \le -1 \\ \frac{1}{x^2}, & \text{если } -1 < x < 0 \\ x^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$исследуем непрерывность в точках, где меняется ее аналитическое выражение, то есть в точках $x = -1$ и $x = 0$.

1. Точка $x = -1$:

Найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке:

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to -1-0} y(x) = \lim_{x \to -1-0} 2^x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to -1+0} y(x) = \lim_{x \to -1+0} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1$.
• Значение функции: $y(-1) = 2^{-1} = \frac{1}{2}$.

Поскольку левосторонний и правосторонний пределы существуют, но не равны друг другу ($\frac{1}{2} \neq 1$), функция в точке $x = -1$ имеет разрыв первого рода (скачок).

2. Точка $x = 0$:

Найдем односторонние пределы и значение функции в этой точке:

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0-0} y(x) = \lim_{x \to 0-0} \frac{1}{x^2} = +\infty$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0+0} y(x) = \lim_{x \to 0+0} x^2 = 0^2 = 0$.
• Значение функции: $y(0) = 0^2 = 0$.

Так как левосторонний предел равен бесконечности, функция в точке $x = 0$ имеет разрыв второго рода.

Ответ: функция непрерывна на интервалах $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$. В точке $x = -1$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). В точке $x = 0$ функция имеет разрыв второго рода.

б)Для функции $y = \begin{cases} -1, & \text{если } x \le -\frac{3\pi}{2} \\ \cos x, & \text{если } -\frac{3\pi}{2} < x \le 0 \\ x^2+1, & \text{если } 0 < x < 1 \\ \log_2(x+3), & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$исследуем непрерывность в точках $x = -\frac{3\pi}{2}$, $x = 0$ и $x = 1$.

1. Точка $x = -\frac{3\pi}{2}$:

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to -3\pi/2-0} y(x) = \lim_{x \to -3\pi/2-0} (-1) = -1$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to -3\pi/2+0} y(x) = \lim_{x \to -3\pi/2+0} \cos x = \cos(-\frac{3\pi}{2}) = 0$.
• Значение функции: $y(-\frac{3\pi}{2}) = -1$.

Так как односторонние пределы не равны ($-1 \neq 0$), функция в точке $x = -\frac{3\pi}{2}$ имеет разрыв первого рода (скачок).

2. Точка $x = 0$:

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0-0} y(x) = \lim_{x \to 0-0} \cos x = \cos(0) = 1$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0+0} y(x) = \lim_{x \to 0+0} (x^2 + 1) = 0^2 + 1 = 1$.
• Значение функции: $y(0) = \cos(0) = 1$.

Так как левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке равны ($1 = 1 = 1$), функция непрерывна в точке $x = 0$.

3. Точка $x = 1$:

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to 1-0} y(x) = \lim_{x \to 1-0} (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to 1+0} y(x) = \lim_{x \to 1+0} \log_2(x+3) = \log_2(1+3) = \log_2(4) = 2$.
• Значение функции: $y(1) = \log_2(1+3) = 2$.

Так как односторонние пределы и значение функции равны ($2 = 2 = 2$), функция непрерывна в точке $x = 1$.

Ответ: функция непрерывна на интервалах $(-\infty; -3\pi/2)$ и $(-3\pi/2; +\infty)$. В точке $x = -3\pi/2$ функция имеет разрыв первого рода (скачок).

в)Для функции $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x \le -2 \\ \frac{1}{x^2}, & \text{если } -2 < x < 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } 0 \le x \le 4 \\ \log_2 x, & \text{если } x > 4 \end{cases}$исследуем непрерывность в точках $x = -2$, $x = 0$ и $x = 4$.

1. Точка $x = -2$:

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to -2-0} y(x) = \lim_{x \to -2-0} x^2 = (-2)^2 = 4$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to -2+0} y(x) = \lim_{x \to -2+0} \frac{1}{x^2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$.
• Значение функции: $y(-2) = (-2)^2 = 4$.

Поскольку $4 \neq \frac{1}{4}$, функция в точке $x = -2$ имеет разрыв первого рода (скачок).

2. Точка $x = 0$:

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to 0-0} y(x) = \lim_{x \to 0-0} \frac{1}{x^2} = +\infty$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to 0+0} y(x) = \lim_{x \to 0+0} \sqrt{x} = \sqrt{0} = 0$.
• Значение функции: $y(0) = \sqrt{0} = 0$.

Так как левосторонний предел равен бесконечности, функция в точке $x = 0$ имеет разрыв второго рода.

3. Точка $x = 4$:

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to 4-0} y(x) = \lim_{x \to 4-0} \sqrt{x} = \sqrt{4} = 2$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to 4+0} y(x) = \lim_{x \to 4+0} \log_2 x = \log_2 4 = 2$.
• Значение функции: $y(4) = \sqrt{4} = 2$.

Так как односторонние пределы и значение функции равны ($2 = 2 = 2$), функция непрерывна в точке $x = 4$.

Ответ: функция непрерывна на интервалах $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$ и $(0; +\infty)$. В точке $x = -2$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). В точке $x = 0$ функция имеет разрыв второго рода.

г)Для функции $y = \begin{cases} \cos x, & \text{если } -\frac{\pi}{6} \le x \le \frac{\pi}{4} \\ \tan x, & \text{если } \frac{\pi}{4} < x < \pi \\ \sin x, & \text{если } \pi \le x \le \frac{3\pi}{2} \end{cases}$исследуем непрерывность в точках "стыка" $x = \frac{\pi}{4}$, $x = \pi$, а также в точках, где может быть разрыв у самой функции $\tan x$.

1. Точка $x = \frac{\pi}{4}$:

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to \pi/4-0} y(x) = \lim_{x \to \pi/4-0} \cos x = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to \pi/4+0} y(x) = \lim_{x \to \pi/4+0} \tan x = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
• Значение функции: $y(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поскольку $\frac{\sqrt{2}}{2} \neq 1$, функция в точке $x = \frac{\pi}{4}$ имеет разрыв первого рода (скачок).

2. Исследование на интервале $(\frac{\pi}{4}, \pi)$:

На этом интервале функция задана как $y = \tan x$. Функция $\tan x$ имеет разрывы в точках $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ - целое число. В интервал $(\frac{\pi}{4}, \pi)$ попадает точка $x = \frac{\pi}{2}$.

В точке $x = \frac{\pi}{2}$:

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to \pi/2-0} \tan x = +\infty$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to \pi/2+0} \tan x = -\infty$.

Следовательно, в точке $x = \frac{\pi}{2}$ функция имеет разрыв второго рода.

3. Точка $x = \pi$:

• Левосторонний предел: $\lim_{x \to \pi-0} y(x) = \lim_{x \to \pi-0} \tan x = \tan(\pi) = 0$.
• Правосторонний предел: $\lim_{x \to \pi+0} y(x) = \lim_{x \to \pi+0} \sin x = \sin(\pi) = 0$.
• Значение функции: $y(\pi) = \sin(\pi) = 0$.

Так как односторонние пределы и значение функции равны ($0 = 0 = 0$), функция непрерывна в точке $x = \pi$.

Ответ: функция непрерывна на множестве $[-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{4}) \cup (\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}]$. В точке $x = \frac{\pi}{4}$ функция имеет разрыв первого рода (скачок). В точке $x = \frac{\pi}{2}$ функция имеет разрыв второго рода.